初三圆的经典例题

有关圆的经典例题

１.

在半径为的⊙中，弦、的长分别为和，求∠的度数。132O AB AC BAC

分析：根据题意，需要自己画出图形进行解答，在画图时要注意A Ｂ与AC 有不同的位置关系。

解：由题意画图，分AB 、ＡC 在圆心O 的同侧、异侧两种情况讨论, 当ＡB 、ＡＣ在圆心O 的异侧时，如下图所示,

过Ｏ作OD ⊥AB 于D,过O 作OE ⊥AC 于E ，

∵，，∴，AB AC AD AE =

==

=323222 ∵，∴∠，OA OAD AD OA ===13

2

cos cos ∠OAE AE OA ==2

2

∴∠ＯAD=30°,∠OA Ｅ=45°,故∠ＢA Ｃ＝７5°,

当A Ｂ、A Ｃ在圆心Ｏ同侧时,如下图所示，

同理可知∠OAD=3０°，∠ＯAE=４5°， ∴∠BA Ｃ=１５°

点拨：本题易出现只画出一种情况，而出现漏解的错误。

例2． 如图:△ＡBC 的顶点A 、B 在⊙O 上,⊙O 的半径为R ，⊙O 与AC 交于Ｄ，

如果点既是的中点，又是边的中点，D AB AC ⋂

（1）求证:△ＡBC 是直角三角形；

()22

求的值AD BC

分析:()1由为的中点，联想到垂径定理的推论，连结交于，D AB OD AB F ⋂

则AF=FB,OD ⊥AB ，可证DF 是△A ＢＣ的中位线;

（2）延长DO 交⊙O 于Ｅ，连接A Ｅ,由于∠DA Ｅ=90°，D Ｅ⊥AB ，∴△ＡDF

∽△，可得·，而，，故可求DAE AD DF DE DF BC DE R AD BC

2

2

122===

解：（１）证明,作直径DE 交AB 于F,交圆于E

∵为的中点，∴⊥，D AB AB DE AF FB ⋂

=

又∵AD=DC ∴∥，DF BC DF BC =

12

∴AB ⊥BC ，∴△ABC 是直角三角形。 （2)解:连结ＡＥ ∵DE 是⊙Ｏ的直径 ∴∠DAE=90°

而AB ⊥DE ，∴△ADF ∽△E ＤA

∴

，即·AD DE DF

AD

AD DE DF ==2 ∵，DE R DF BC ==21

2

∴·，故AD BC R AD BC

R 2

2==

例3. 如图,在⊙O 中,AB ＝2CD ，那么（ ）

A A

B CD

B AB CD ..⋂>⋂⋂<⋂

22 C AB CD

D AB CD ..⋂=⋂⋂⋂

22与的大小关系不确定 分析:要比较与的大小，可以用下面两种思路进行：AB CD ⋂⋂

2

()112

把的一半作出来，然后比较与的大小。AB AB CD ⋂⋂

⋂

()222把作出来，变成一段弧，然后比较与的大小。CD CD AB ⋂⋂⋂

解:解法(一），如图,过圆心O 作半径OF ⊥AB ，垂足为E,

则AF FB AB ⋂=⋂=⋂

12

AE EB AB ==

12

∵，∴AB CD AE CD AB ===

212

∵AF FB AF FB ⋂=⋂

=，∴

在△AFB 中,有A Ｆ+F Ｂ＞AB

∴，∴，∴，∴22

22AF AB AF AB

AF CD AF CD >>>⋂>⋂

∴AB CD ⋂>⋂

2

∴选A 。

解法（二),如图，作弦DE ＝ＣD ，连结C Ｅ

则DE CD CE ⋂=⋂=⋂

12

在△C ＤＥ中，有C Ｄ+ＤＥ>ＣE ∴2CD>ＣE

∵AB=2CD ，∴ＡB>CE

∴，∴AB CE AB CD ⋂>⋂⋂>⋂

2

∴选A 。

例4. 如图，四边形内接于半径为的⊙，已知，ABCD 2O AB BC AD ===1

4

1 求C Ｄ的长。

分析:连结ＢD ，由AB=BC,可得DB 平分∠ＡDC,延长AB 、DC 交于E ，易得△EBC ∽△E ＤＡ,又可判定A Ｄ是⊙Ｏ的直径,得∠ABD=90°，可证得△ＡBD ≌△EBD ，得DE ＝AD,利用△E ＢC ∽△EDA ，可先求出CE 的长。 解:延长AB 、DC 交于E 点,连结BD ∵AB BC AD ==

=1

4

1

--

∴，，∴∠∠AB BC AD ADB EDB ⋂=⋂

==4

∵⊙Ｏ的半径为2,∴ＡD 是⊙Ｏ的直径 ∴∠A ＢD=∠EBD ＝90°，又∵BD=ＢD

∴△ＡBD ≌△EBD ，∴ＡＢ=ＢE=1，AD=D Ｅ=４ ∵四边形AB ＣD 内接于⊙O,

∴∠EBC ＝∠E ＤA ，∠ECB ＝∠EAD

∴△∽△，∴EBC EDA BC AD CE

AE

=

∴·CE BC AE AD BC AB BE AD =

=+=+=()1141

2

∴CD DE CE =-=-=4127

2

例５. 如图，、分别是⊙的直径和弦，为劣弧上一点，⊥AB AC O D AC DE AB ⋂

于H,交⊙O 于点Ｅ,交AC 于点F ，P 为E Ｄ的延长线上一点。

（1）当△PCF 满足什么条件时，PC 与⊙O 相切，为什么?

()22

当点在劣弧的什么位置时，才能使·，为什么？D AC AD DE DF ⋂=

分析：由题意容易想到作辅助线OC, (1）要使ＰC 与⊙Ｏ相切，只要使∠PCO=90°，问题转化为使∠OCA+∠P ＣF ＝∠FAH+∠AFH 就可以了。

()22要使·，即使

，也就是使△∽△AD DE DF AD DE DF

AD

DAF DEA == 解:（1）当PC ＝P Ｆ，（或∠PC Ｆ=∠P ＦＣ）时,PC 与⊙O 相切, 下面对满足条件P Ｃ=ＰF 进行证明， 连结O Ｃ，则∠OCA=∠ＦAH ，

∵PC ＝PF,∴∠P ＣＦ=∠PF Ｃ=∠ＡFH,

∵DE ⊥AB 于Ｈ,∴∠OC Ａ＋∠PCF=∠FA Ｈ+∠AFH=9０° 即O Ｃ⊥PC ，∴ＰC 与⊙Ｏ相切。

()22

当点是劣弧的中点时，·，理由如下：D AC AD DE DF ⋂=

连结，∵，∴∠∠AE AD CD DAF DEA ⋂=⋂

= 又∵∠∠，ADF EDA =

∴△∽△，∴DAF DEA AD DE DF

AD

=