高等数学定积分的概念及性质课件
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《高数》定积分课件
《高数》定积分ppt 课件
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
目录
• 定积分的概念 • 定积分的计算 • 微积分的应用 • 定积分的物理应用 • 定积分的进一步理解
01
CATALOGUE
定积分的概念
定积分的定义
01
定积分是积分的一种，是函数在区间上积分和的极 限。
02
定积分常用于计算平面图形的面积、体积等。
03
定积分的定义基于极限思想，通过分割、近似、求 和、取极限等步骤来定义。
物体在重力作用下的功与能
总结词
通过定积分计算重力做功和能量变化
详细描述
在重力作用下，物体运动过程中重力所做的功和能量变化可以用定积分表示。 通过定积分计算，可以得出重力做功和能量变化的具体数值。
05
CATALOGUE
定积分的进一步理解
定积分的极限思想
定积分是通过对曲线下的面积进行极限分割，再求和得到的结果，这个过 程体现了极限的思想。
可加性
对于任意分割的两个区间上的定积分，其和等于两区间上定积分的和 。
区间区间上定积分的值 之和。
比较性质
如果函数在不同区间上单调增加或减少，则其定积分的值也相应增加 或减少。
02
CATALOGUE
定积分的计算
微积分基本定理
总结词
微积分基本定理是定积分计算的基础， 它建立了积分与微分的联系，为解决定 积分问题提供了重要的思路和方法。
另一个函数的定积分进行计算。这些方法在实际应用中具有广泛的应用价值。
积分中值定理
总结词
积分中值定理揭示了定积分与被积函数之间 的关系，它是解决定积分问题的一个重要工 具。
详细描述
积分中值定理指出，对于连续函数f(x)在闭 区间[a,b]上的定积分∫baf(x)dx=f(ξ)(b−a) ，其中ξ∈[a,b]。这个定理说明了定积分的 结果等于被积函数在一个子区间上的取值与 该区间长度的乘积。这个定理在解决定积分 问题时非常有用，特别是当我们需要找到被
《定积分的概念》ppt课件
f
()(ba)
(ab).
性质7的几何意义：
在[a,b]上至少有 ，一使得 [a,以 b]为底边，以曲
y f (x)为曲边的曲A边a梯 B的 b形 面积等于同一
而高f为 ()的矩形的. 面积
假如函数f〔x〕在闭区间[a,b]上连续，我们
称b1aabf (x)dx
如已知某为地函某数时f自〔0x至〕2在4时[a,天b]上气的温平度均曲值线.为f(t),
曲线 f(x)f((x)0 )、x轴及两条直线x=a,x=b所围 成的曲边梯形面积A等于函数f(x)在区间[a,b]上的定积 分，即
Aabf(x)dx.
质点在变力F(s)作用下作直线运动，由起始位置a 移动到b，变力对质点所做之功等于函数F(s)在[a,b] 上的定积分，即
WabF(s)ds
假如函数f〔x〕在区间[a,b]上的定积分存在， 那么称函数f〔x〕在区间[a,b]上可积.
如果在[a,b]上 f(x)0，此时由曲线y=f(x)，直线 x=a，x=b及x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方，则
定积分ab f (x)dx在几何上表示上述曲边梯形的面积A的
相反数.
假如在[a,b]上f〔x〕既可取正值又可取负值，那
么定积ab分f (x)dx 在几何上表示介于曲线y=f〔x〕，
直线x=a，x=b及x轴之间的各部分面积的代数和.
[x0,x1],[x1,x2],,[xi1,xi],,[xn1,xn]
各个小区间的长度为
xi xi xi1
在每一个小[x区 i1,x间 i]上任取一i(点 xi 1ixi),
n
作和 (简式 称积 ) 分 f和 (i)x式 i
i1
记max{xi,x2,...,xn}，如果对[a区 ,b]间 任一分法 和小区[x间 i1,xi]上点 i任意取法，只 要0时 当，上
定积分的概念和性质ppt课件
小区间长度记为：
ti ti ti 1 (i 1 ,2 ,3 , ,n )
n
（2）近似求和：s v(i )ti. i1
（3）取极限：
n
s
lim
0 i1
v(i
)ti
（ 表示所有小区间的长度的最大者）
编辑版pppt
8
二、定积分的定义
定义 设函数f（x）在[a，b]上有界， 在[a，b]中任意插入若干个分点：
四、定积分的几何意义
若f(x)≥0，则
b
a
f (x)dx 的几何意义表示
由曲线y=f(x)，直线x=a，x=b与x轴所围成
的曲边梯形的面积。
编辑版pppt
12
一般情形,ab f (x)dx 的几何意义为：它
是介于x轴，曲线y=f(x)，直线x=a，x=b 之 间的各部分面积的代数和。
y
＋
a
0 －
＋ bx
性质 7（定积分中值如定果理函） f (数 x)在闭区
间[a,b]上连续，[则 a,b]在 上至少存在一点
，使
b af(x )d x f()b ( a )
( a b )
这个公式叫积分中值公 式。
编辑版pppt
22
证由性6， 质有
b
m (ba)af(x)d xM (ba)
即有 m 1
b
f(x)d xM
这些小区间的长度最大者）时，和式 f (i )xi 的
n
i 1
极限就是A，即
Alim
0 i1
f (i)xi
可见，曲边梯形的面积是一和式的极限
y=f(x) y
0 a x0 x1
f(ξｉ) x 2 ξｉ x i x 编1 辑版pi ppt
定积分的概念【高等数学PPT课件】
4
2
ba , 24 4
2 4
2 4
sin xdx x
2 2, 4
1
2
2
4
sin xdx x
2. 2
性质7（定积分中值定理）
如果函数f ( x)在闭区间[a, b]上连续，
则在积分区间[a, b]上至少存在一点,
使
b
f ( x)dx
则 b a
f
(
x
)dx
0.
(a b)
例3 比较积分值 -2 e xdx和 2 xdx的大小.
0
0
解 令 f ( x) e x x, x [2, 0]
f ( x) 0,
0 (e x x)dx 0, 2
0 e xdx
0
xdx,
2
2
f ()(b a)
(a b).
a
积分中值公式
证
m(b
a)
b
a
f
( x)dx
M(b
a)
m
1b
b a a
f ( x)dx
M
由闭区间上连续函数的介值定理知
在区间[a, b]上至少存在一个点 ，
使
f
()
b
1
a
b
a
f
(
x)dx,
即
b
a f ( x)dx
dx x
的值.
解
f
(
x)
3
1 sin 3
《定积分的性质》课件
详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
函数可加性
总结词
函数可加性是指定积分具有函数可加性，即对于任意分割的两个子区间[a,c]和 [c,b]，其上的定积分之和等于整个区间[a,b]上的定积分。
定积分的几何意义
面积
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的区域面积。
体积
02
对于二维平面上的曲线，定积分表示的是面积；对于三维空间
中的曲面，定积分则表示的是体积。
物理应用
03
定积分在物理中有广泛的应用，如计算力矩、功、速度等物理量。Βιβλιοθήκη 定积分的性质线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对 每个函数进行积分后再求和或求差。
详细描述
积分第二中值定理说明了一个函数在两个闭 区间上的定积分值相等时，该函数在这两个 区间上必须满足的条件。这个定理在解决一 些等式问题时非常有用，因为它提供了一种 将两个区间的积分等式转化为函数性质的途 径。
积分第三中值定理
总结词
该定理表明如果一个函数在一个闭区间上的定积分值为零，那么该函数在该区间内至少 存在两个点，使得在这些点的函数值等于零。
详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则 ∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
03
定积分的比较性质
无穷区间上的比较性质
总结词
定积分在无穷区间上的比较性质是指，如果函数在无穷区间上的积分值与其在有限区间上的积分值相 等，则函数在无穷区间上的积分值也相等。
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
函数可加性
总结词
函数可加性是指定积分具有函数可加性，即对于任意分割的两个子区间[a,c]和 [c,b]，其上的定积分之和等于整个区间[a,b]上的定积分。
定积分的几何意义
面积
01
定积分表示曲线与x轴所夹的面积，即曲线下方的区域面积。
体积
02
对于二维平面上的曲线，定积分表示的是面积；对于三维空间
中的曲面，定积分则表示的是体积。
物理应用
03
定积分在物理中有广泛的应用，如计算力矩、功、速度等物理量。Βιβλιοθήκη 定积分的性质线性性质
定积分具有线性性质，即对于两个函数的和或差的积分，可以分别对 每个函数进行积分后再求和或求差。
详细描述
积分第二中值定理说明了一个函数在两个闭 区间上的定积分值相等时，该函数在这两个 区间上必须满足的条件。这个定理在解决一 些等式问题时非常有用，因为它提供了一种 将两个区间的积分等式转化为函数性质的途 径。
积分第三中值定理
总结词
该定理表明如果一个函数在一个闭区间上的定积分值为零，那么该函数在该区间内至少 存在两个点，使得在这些点的函数值等于零。
详细描述
设函数f(x)在区间[a,b]上可积，任意c∈[a,b]，则 ∫(a→b)f(x)dx=∫(a→c)f(x)dx+∫(c→b)f(x)dx。
03
定积分的比较性质
无穷区间上的比较性质
总结词
定积分在无穷区间上的比较性质是指，如果函数在无穷区间上的积分值与其在有限区间上的积分值相 等，则函数在无穷区间上的积分值也相等。
高教社2024高等数学第五版教学课件-5.1 定积分的概念与性质
第五章 定积分
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
第一节 定积分的概念与性质
一、问题的提出
实例1 (求曲边梯形的面积)
由连续曲线 = ()(() ≥ 0)、
轴、直线 = 、 = 所围成的图形
称为曲边梯形。
用矩形面积近似取代曲边梯形面积
y
o
y
a
b
（四个小矩形）
x
o
a
b
x
（九个小矩形）
显然，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积．
→0
= max ∆
1≤≤
= σ=1 ± σ=1
=
→0
±
→0
性质1可以推广到有限个可积函数作和或者作差的情况.
性质2 被积函数的常数因子可提到积分号的外面，即
)(
总有下式成立：
)( = )( + )( .
例如，若 < < ，则
=
+
，
故 )( = )( − )(
= )( + )( .
证
因为 ≤ () ≤ ,由性质4得
≤ ≤ )( ,
又 = − ,
故( − ) ≤ ( ≤ )( − ).
性质6(积分中值定理)
∈
[, ]，使)(
设函数()在[, ]上连续，则至少存在一点
《定积分课件》课件
03 定积分的应用
CHAPTER
面积与体积的计算
总结词
定积分在计算平面图形的面积和三维物体的体积方面具有广 泛应用。
详细描述
利用定积分，可以计算出由曲线围成的平面图形的面积，例 如由y=sinx和y=cosx围成的图形面积。此外，定积分还可以 用于计算三维物体的体积，例如球体、圆柱体和旋转体的体 积。
详细描述
在静水压力问题中，压力分布是深度的函数。通过定积分，我们可以计算任意 深度的压力分布，从而了解水下物体的受力情况。
引力场的强度
总结词
通过定积分计算引力场的强度，理解引 力场的分布规律。
VS
详细描述
在引力场中，场强是位置的函数。通过定 积分，我们可以计算任意位置的场强，从 而了解物体在引力场中的运动规律。
符号表示
02
定积分的符号为∫，读作“拉姆达”。
计算方法
03
定积分的计算方法是通过微积分基本定理，将定积分转化为求
原函数在某点的值。
定积分的几何意义
平面区域面积
定积分可以用来计算平面图形的面积，特别是 当面积元素与坐标轴平行时。
体积
定积分还可以用来计算三维物体的体积，例如 旋转体的体积。
曲线下面积
定积分可以用来计算曲线下在某一区间内的面积。
定积分的计算方法
要点一
总结词
定积分的计算方法包括直接法、换元法和分部积分法等。
要点二
详细描述
定积分的计算可以通过多种方法进行。直接法是根据微积 分基本定理，通过求原函数并计算其差值来得到定积分的 结果。换元法是在积分变量进行换元，使得积分简化。分 部积分法则是通过将两个函数的乘积进行积分，将一个积 分转化为另一个积分，从而简化计算。这些方法在计算定 积分时常常需要结合使用。
《高数定积分》课件
05
广义积分及其收敛性判别法
广义积分的概念及分类
广义积分的定义
广义积分是相对于正常积分而言的一种特殊积分，其积分区间可能包含无穷大或者无界 函数。
广义积分的分类
根据被积函数和积分区间的不同，广义积分可分为无穷限广分的收敛性判别法
比较判别法
通过比较被积函数与已知收敛或发散的函数，来判断广义积分的收敛性。
换元法求解定积分
01
换元法的基本思想
通过变量代换简化定积分的计算 。
02
常见的换元方法
03
换元法的注意事项
三角函数代换、倒代换、根式代 换等。
代换后需调整积分上下限，并验 证代换的可行性。
分部积分法求解定积分
分部积分法的基本思想
将复杂函数拆分为简单函数 进行积分。
常见的分部积分公式
幂函数与三角函数、幂函数 与指数函数、幂函数与对数 函数等。
06
定积分在经济学等领域的应用
由边际函数求原经济函数
边际函数与定积分的关系
边际函数描述的是经济量变化的瞬时速率，而定积分则可用于求取原经济函数，即总量 函数。
求原经济函数的步骤
首先确定边际函数的表达式，然后根据定积分的定义，对边际函数进行积分，得到原经 济函数的表达式。
示例
已知某产品的边际收益函数为MR(q)，通过对其进行定积分，可以得到总收益函数 TR(q)。
曲线的长度、图形的面积等。
THANKS
感谢观看
原函数与不定积分概念
原函数定义
原函数是指一个函数的导数等于给定函数的函数。根据微积分基本定理，不定积分就是求原函数的过 程。
不定积分性质
不定积分具有线性性质、常数倍性质和积分区间可加性。这些性质在求解复杂函数的定积分时非常有 用。
高等数学课件--D5_1定积分概念与性质
第五章 定积分
积分学
不定积分
定积分
第一节 定积分的概念及性质
一、定积分问题举例
第五章
二、 定积分的定义
三、 定积分的近似计算 四、 定积分的性质
2012-10-12 同济高等数学课件
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一、定积分问题举例
矩形面积
梯形面积
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
b
c
b
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如 a b c ,
则有
a
b
c
c
a f ( x ) dx a f ( x ) dx
c
b
f ( x ) dx
b
a f ( x ) dx a f ( x ) dx
b
c
f ( x ) dx
b
c
a f ( x ) dx
7. 设 M max f ( x) , m min f ( x) , 则
[ a , b]
( a b)
2012-10-12 同济高等数学课件
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例4. 试证: 证: 设 f (x)
f (x)
sin x ,
x x cos x sin x
则在 (0 , 2 ) 上, 有
2
n
0
y
i 1
lim
2012-10-12
yx
2
n
1 3
同济高等数学课件
注 目录 上页 下页 返回 结束
O
i n
1 x
例2. 用定积分表示下列极限:
积分学
不定积分
定积分
第一节 定积分的概念及性质
一、定积分问题举例
第五章
二、 定积分的定义
三、 定积分的近似计算 四、 定积分的性质
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一、定积分问题举例
矩形面积
梯形面积
1. 曲边梯形的面积 设曲边梯形是由连续曲线 以及两直线 所围成 , 求其面积 A .
b
c
b
当 a , b , c 的相对位置任意时, 例如 a b c ,
则有
a
b
c
c
a f ( x ) dx a f ( x ) dx
c
b
f ( x ) dx
b
a f ( x ) dx a f ( x ) dx
b
c
f ( x ) dx
b
c
a f ( x ) dx
7. 设 M max f ( x) , m min f ( x) , 则
[ a , b]
( a b)
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例4. 试证: 证: 设 f (x)
f (x)
sin x ,
x x cos x sin x
则在 (0 , 2 ) 上, 有
2
n
0
y
i 1
lim
2012-10-12
yx
2
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同济高等数学课件
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O
i n
1 x
例2. 用定积分表示下列极限:
第五章 积分 5-1 定积分的概念与基本性质
性质 4 若 f (x) 是 [a, b] 上的连续函数, 则 | f (x) | 也是 [a, b] 上的连续函数, 从而可积, 且
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
b
b
|
a
f (x)d
x|
|
a
f (x)|d
x.
证明 由于 | f (x) | f (x) | f (x) |, 应用性质 3
b
b
b
a | f (x)|d x | a f (x) d x a | f (x)|d x,
43
4
1
1
1
2
7 1 sin 2
1 sin 2 x 1 sin 2
, 3
3
4
所以
21
3
4
4 7
d
x
3
4
dx 1 sin 2
x
3
4
2 3
d
x
.
18
《高等数学》课件 (第五章第一节)
推论 2 设 f R [a, b], 且在 [a, b] 上 f (x) 0, 则
b
a f ( x) d x 0.
性质 2 (积分对区间的可加性) 设 a c b, f R [a, b], 则 f R [a, c], f R [c, b],
且
b
c
b
f (x) d x f (x) d x f (x) d x.
a
a
c
一般, 当上式中三个积分都存在时, 无论 a, b, c 之间具有怎样 的大小关系, 等式都成立.
当 f (x) R [a, b] 时, 可在积分的定义中, 对 [a, b] 作特殊的分
划, 并取特殊的 i [x i 1, x i] , 计算和式. 如等分区间 [a, b], 并取 点 i 为 [x i 1, x i] 的右端点 x i 或左端点 x i 1 或中点.
高等数学第五章第一节定积分的概念及性质课件.ppt
二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
上的定积分,
记作
b
a
f
( x) dx
即
b a
f
(
x)
dx
lim
0
n
i1
f
(
i
)
xi
o
a x1
此时称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上可积 .
在区间
i
x xi1xi b
证: f (i ) xi 0
i1
b
n
a
f
( x) d
x
lim
0 i1
f
(i ) xi
0
推论1. 若在 [a , b] 上
则
推论2.
(a b)
证: f (x) f (x) f (x)
b
b
b
a f (x) dx a f (x) dx a f (x) dx
即
b
b
a f (x) dx a f (x) dx
使
因此定理成立.
说明:
• 积分中值定理对
• 可把
b
a f (x) dx f ( )
ba
因
y f (x) y
oa bx
故它是有限个数的平均值概念的推广.
例4. 计算从 0 秒到 T 秒这段时间内自由落体的平均 速度.
解: 已知自由落体速度为
v gt
故所求平均速度
1 1 g T 2 gT
第一节
第五章
定积分的概念及性质
一、定积分问题举例 二、 定积分的定义 三、 定积分的性质
定积分的概念课件
定积分的概念ppt课件
欢迎来到定积分的概念课件！本课件将带你深入探索定积分的定义、基本性 质、计算方法，并展示在不同领域中的应用和几何解释。
定积分的定义
定积分是将曲线下的面积划分成无穷多个矩形，然后通过取极限的方式来求 得曲线下的总面积。
定积分的基本性质
1 线性性质
定积分具有线性性质，可以对函数的和、差和常数倍进行运算。
定积分的概念在实际生活中的应用
统计学
定积分在统计学中有着广泛的 应用，例如求解概率密度函数、 计算累积分布函数。
工程学
工程学中常常使用定积分来计 算流体力学、电磁学以及结构 分析等问题。
经济学
经济学中利用定积分来计算总 产出、消费量和劳动力需求等 关键指标。
定积分在物理学中的应用
1
质量分布
通过定积分求解物体的质量分布，可以帮助
电荷密度
2
我们了解物体的物理特性和性能。
对于并进一步推导出
电场强度。
3
能量积分
定积分可以应用于物体内部的能量分布计算， 例如弹簧势能和微分力的功。
定积分的几何解释
定积分的几何解释是曲线下面积，这代表了函数图像与坐标轴之间的区域所占空间的大小。
2 区间可加性
若函数在闭区间[a, b]上可积，那么它在其中任一子区间上也可积。
3 保号性质
定积分的结果能够反映函数在区间上正负值的变化情况。
利用定积分求曲线下面积
几何解释
通过定积分，我们可以计算曲线与坐标轴之间的面积， 这在几何学上具有重要意义。
计算方法
定积分可以通过求解函数的原函数，并计算两个边界值 之差来实现。
欢迎来到定积分的概念课件！本课件将带你深入探索定积分的定义、基本性 质、计算方法，并展示在不同领域中的应用和几何解释。
定积分的定义
定积分是将曲线下的面积划分成无穷多个矩形，然后通过取极限的方式来求 得曲线下的总面积。
定积分的基本性质
1 线性性质
定积分具有线性性质，可以对函数的和、差和常数倍进行运算。
定积分的概念在实际生活中的应用
统计学
定积分在统计学中有着广泛的 应用，例如求解概率密度函数、 计算累积分布函数。
工程学
工程学中常常使用定积分来计 算流体力学、电磁学以及结构 分析等问题。
经济学
经济学中利用定积分来计算总 产出、消费量和劳动力需求等 关键指标。
定积分在物理学中的应用
1
质量分布
通过定积分求解物体的质量分布，可以帮助
电荷密度
2
我们了解物体的物理特性和性能。
对于并进一步推导出
电场强度。
3
能量积分
定积分可以应用于物体内部的能量分布计算， 例如弹簧势能和微分力的功。
定积分的几何解释
定积分的几何解释是曲线下面积，这代表了函数图像与坐标轴之间的区域所占空间的大小。
2 区间可加性
若函数在闭区间[a, b]上可积，那么它在其中任一子区间上也可积。
3 保号性质
定积分的结果能够反映函数在区间上正负值的变化情况。
利用定积分求曲线下面积
几何解释
通过定积分，我们可以计算曲线与坐标轴之间的面积， 这在几何学上具有重要意义。
计算方法
定积分可以通过求解函数的原函数，并计算两个边界值 之差来实现。
高等数学微积分课件--61定积分的概念与性质
换元法的关键是选择合适的变量替换，使得积分过程简化，常用的换元方法有三角换元、倒代换等。
分部积分法
分部积分法是通过将两个函数的乘积 进行求导，然后将求导结果进行积分 ，从而得到原函数的一种方法。
VS
分部积分法的关键是选择合适的函数 进行乘积，使得求导和积分过程简化 ，常用的分部积分法有凑微分法和部 分分式法。
区间可加性的意义
区间可加性是定积分的一个重要性质，它表明定积分具有可加性，即函数的定积 分值只与区间的端点有关，而与区间的分割方式无关。这一性质在解决实际问题 时非常有用，因为它可以简化计算过程，提高计算的准确性。
函数值的积分性质
函数值的积分性质
如果函数f在区间[a, b]上的定积分等于该区间上任意一点的函数值与区间长度b-a的乘 积，即∫f dx = f(ξ)(b-a)，其中ξ属于[a, b]，则称f的定积分具有函数值的积分性质。
定积分的几何意义
1
定积分的值等于由曲线和x轴所夹的曲边梯形的 面积。
2
定积分的值等于数轴上一定区间内的一个区间所 对应的坐标原点处的值。
3
定积分的值等于函数图像在一定区间内与x轴之 间的面积。
02
定积分的性质
线性性质
线性性质
对于任意两个函数的和或差，其定积 分等于各自定积分的和或差。即，对 于任意函数f和g，以及常数a和b，有 ∫(a*f+b*g) dx = a * ∫f dx + b * ∫g dx。
定积分的计算方法
直接积分法
直接积分法是定积分的基本计算方法 ，通过将积分表达式进行不定积分， 然后求出原函数，再根据定积分的上 下限求出定积分的值。
直接积分法的关键是求出不定积分， 不定积分是微分学的逆运算，可以通 过凑微分、分部积分等方法求解。
分部积分法
分部积分法是通过将两个函数的乘积 进行求导，然后将求导结果进行积分 ，从而得到原函数的一种方法。
VS
分部积分法的关键是选择合适的函数 进行乘积，使得求导和积分过程简化 ，常用的分部积分法有凑微分法和部 分分式法。
区间可加性的意义
区间可加性是定积分的一个重要性质，它表明定积分具有可加性，即函数的定积 分值只与区间的端点有关，而与区间的分割方式无关。这一性质在解决实际问题 时非常有用，因为它可以简化计算过程，提高计算的准确性。
函数值的积分性质
函数值的积分性质
如果函数f在区间[a, b]上的定积分等于该区间上任意一点的函数值与区间长度b-a的乘 积，即∫f dx = f(ξ)(b-a)，其中ξ属于[a, b]，则称f的定积分具有函数值的积分性质。
定积分的几何意义
1
定积分的值等于由曲线和x轴所夹的曲边梯形的 面积。
2
定积分的值等于数轴上一定区间内的一个区间所 对应的坐标原点处的值。
3
定积分的值等于函数图像在一定区间内与x轴之 间的面积。
02
定积分的性质
线性性质
线性性质
对于任意两个函数的和或差，其定积 分等于各自定积分的和或差。即，对 于任意函数f和g，以及常数a和b，有 ∫(a*f+b*g) dx = a * ∫f dx + b * ∫g dx。
定积分的计算方法
直接积分法
直接积分法是定积分的基本计算方法 ，通过将积分表达式进行不定积分， 然后求出原函数，再根据定积分的上 下限求出定积分的值。
直接积分法的关键是求出不定积分， 不定积分是微分学的逆运算，可以通 过凑微分、分部积分等方法求解。
《高数》定积分课件
《高数》定积分PPT课件
一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你 真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的 面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际 问题，如曲线下面的面积、体 积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换 元法、分部积分法、换限积分 法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经 济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的 积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌 握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形 的面积、曲线图形的弧长，从 而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、 力学问题中，定积分可以发挥 关键作用。
一场深入浅出、生动有趣的《高数》定积分知识演讲，解构常见问题，让你 真正掌握定积分的要点和方法。
定积分的概念
什么是定积分？
定积分是用来计算曲线下面的 面积或体积的方法。
定积分的意义
它可以帮助我们解决各种实际 问题，如曲线下面的面积、体 积等。
定积分的计算方法
定积分的基本计算方法包括换 元法、分部积分法、换限积分 法。
定积分的性质
基本性质
定积分满足线性性、可加性、伸缩性、位移性等基本性质。
运算法则
定积分的运算法则包括换元法、ຫໍສະໝຸດ 部积分法、换限积分法。应用领域
定积分在物理、经济、工程等领域有广泛应用。
定积分的计算
1
几何意义
定积分的计算可以用几何形象的方法
基本计算方法
2
来理解，几何意义明显。
常见的计算方法包括基本公式、分部
定积分在货币供应量计算、经 济模型构建等方面有广泛应用。
定积分的拓展
除了用于计算面积和体积外，定积分还可以用于求解各类几何和物理现象的 积分，以及概率论、统计分布、微积分方程等领域。
致谢
感谢各位聆听，希望新掌握的知识可以为您的学习和工作带来帮助。
积分法、换元法、反常积分。
3
常见例题解析
例题分析，掌握方法和技巧，熟练掌 握定积分的计算方式
定积分的应用
在几何学中的应用
在物理学中的应用
在经济学中的应用
通过定积分可以计算平面图形 的面积、曲线图形的弧长，从 而在建筑设计中得到广泛应用。
在牛顿定律、万有引力等天文、 力学问题中，定积分可以发挥 关键作用。
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2.可积的充分条件：
定理1.函数f (x)在[a,b]上连续，则f (x)在[a,b]可积。 定理2.函数f (x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点， 则f (x)在[a,b]可积。
(1) f (x) 0,
b
a f (x)dx A
定积分等于曲边梯形的面积
(2) f (x) 0,
n
A Ai i 1
2.取近似
y
f (i )
y f (x)
Ai
o
x0 x1 x2
x xi1 i
x
x x xn2 n1 n
2.取近似
任取i xi1, xi , Ai f (i )xi
n
A f (i )xi
i =1
3.取极限
y
分割越来越细（也就是插入的分点越来越多）
确定的常数I，则称f (x)在[a,b]上可积，称此极限I为函数
f (x)在区间[a,b]上的定积分, 记作 b f (x)dx，即 a
b
n
a
f (x)dx lim 0 i1
f (i )xi
积分上限 a,b称为积分区间
积分号
b
n
a
f (x)dx lim 0 i1
b
a f (x)dx A
定积分等于曲边梯形面积的相反数
(3) f (x)在区间a,b变号时,
b
a f (x)dx A1 A2 +A3 A4 A5
定积分等于各部分面积的代数和
例1 计算 b f (x)dx a
解：此曲边梯形是高为1,
底边长为b a的矩形
f (x) 0
b
a dx b a
a
例2 xdx (a 0) 0
解：此曲边梯形是高为a，
底边长为a的直角三角形
a xdx 1 a2
0
2
例3 计算 R R2 x2 dx (R 0) 0
解:此曲边梯形是圆心为原点， 半径为R的圆在第一象限的部分
R R2 x2 dx 1 R2
第一节 定积分的概念及其性质
学习目标
目标：1.理解定积分的概念；2.掌握定积分 的性质
重点、难点：学会利用定积分的性质进行定 积分的运算和比较
面积=长宽 面积=（底高） 2
面积=
由y f (x), x a, x b,
y 0(x轴)围成的图形，
称为曲边梯形。
曲边梯形的面积 1.分割
y
y f (x)
Ai
o
x0 x1 x2
x xi1 i
x
x x xn2 n1 n中任意插入n 1个分点：
a x0 x1 x2 xn1 xn b
记xi xi xi1(i 1, 2 n)
记以xi1, xi 为底的小曲边梯形的面积为Ai
0
4
例4
计算
2
sin xdx
0
解:正负面积相消
2
0 sin xdx 0
练习： 计算 1 x dx -1
x1 x1 x0 , x2 x2 x1, , xn xn xn1
在每个小区间[xi1, xi ]上任取一点i (xi1 i xi ),
n
作乘积f (i )xi (i 1, 2, , n),并作和式S f (i )xi， i 1
记=max{x1, x2, , xn},若 0时, 和S总趋于一个 1in
f (i )xi
积分下限
被被 积 积积 分 函表 变 数达 量
式
积分和
定积分的定义
定积分 的定义
曲边梯形面 积的求法
定积分的几何意义
几点说明：
1.定积分仅与被积函数及积分区间有关，而与积分变 量用什么字母表示无关，即
b
b
b
a f (x)dx a f (t)dt a f (u)du
f (i )
y f (x)
o
x
3.取极限
y
f (i )
y f (x)
o
x
3.取极限
令 =max{xi } 1in
当 0时，有f (i )xi Ai
n
f (i )xi A
i 1
n
A lim 0
i 1
f (i )xi
分割
取近似和
取极限
n
A lim 0
i 1
f (i )xi
定积分的定义
定义：设函数f (x)在[a,b]上有界，在[a,b]中任意插入n 1
个分点，a x0 x1 x2 xn1 xn b, 将区间[a,b]分成n
个小区间[x0 , x1],[x1, x2 ], [xn1, xn ], 各小区间的长度依次记为