考点26 圆的方程,直线和圆的位置关系学生版(2021年高考艺体生基础生考点培优讲义

考点26 圆的方程

[玩前必备]

1．圆的定义

在平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆．确定一个圆最基本的要素是圆心和半径． 2. 圆的标准方程

(1) 以(a ，b )为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2． (2) 特殊的，以(0，0)为圆心，r (r >0)为半径的圆的标准方程为x 2＋y 2＝r 2． 3. 圆的一般方程 方程

x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0可变形为⎝⎛⎭⎫x ＋D 22

＋⎝⎛⎭⎫y ＋E 22

＝D 2＋E 2

－4F 4

. (1) 当

D 2＋

E 2－4

F >0

时，方程表示以⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2为圆心，D 2＋E 2－4F 2

为半径的圆；

(2) 当D 2＋E 2－4F ＝0时，该方程表示一个点⎝⎛⎭⎫－D 2，－E 2； (3) 当D 2＋E 2－4F ＜0时，该方程不表示任何图形． 4. 直线与圆的位置关系的判断方法

设直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0(A ，B 不全为0)，圆为(x －a )2＋(y －b )2＝r 2(r >0)，d 为圆心(a ，b )到直线l 的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.

5. (1) 圆与圆的位置关系有五种，分别为外离、外切、相交、内切、内含． (2) 判断两圆位置关系的方法

设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 2

2(r 2>0)．圆心距O 1O 2＝d ，则

6．(1)几何法：设圆的半径为r ，弦心距为d ，弦长为l ，则(l

2)2＝r 2－d 2.

(2)代数方法：运用根与系数的关系及弦长公式： 设直线与圆的交点为A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，

则|AB |＝1＋k 2|x 1－x 2|＝（1＋k 2）[（x 1＋x 2）2－4x 1x 2]. 注意：常用几何法研究圆的弦的有关问题．

[玩转典例]

题型一 求圆的方程

例1 （2020·河南濮阳.高三期末）若圆C 经过(1,0)，(3,0)两点，且与y 轴相切，则圆C 的方程为( ) A ．(x －2)2＋(y ±2)2＝3 B ．(x －2)2＋(y ±3)2＝3 C ．(x －2)2＋(y ±2)2＝4 D ．(x －2)2＋(y ±3)2＝4 [玩转跟踪]

1． (1)圆心在y 轴上且经过点(3，1)的圆与x 轴相切，则该圆的方程是( ) A ．x 2＋y 2＋10y ＝0 B ．x 2＋y 2－10y ＝0 C ．x 2＋y 2＋10x ＝0

D ．x 2＋y 2－10x ＝0

(2) 已知圆C 经过A (5,1)，B (1,3)两点，圆心在x 轴上，则圆C 的方程为______________． 题型二 判断直线与圆的位置关系

例2 （2020·福建高三期末）若直线 :1(0)l y kx k =+<与圆2

2:4230C x

x y y ++-+=相切，则直线l

与圆2

2:(2)3D x y -+=的位置关系是（ ）

A ．相交

B ．相切

C ．相离

D ．不确定

[玩转跟踪]

1．（2020·包头市田家炳中学高三期中）直线y ＝x ﹣1与圆x 2+y 2＝1的位置关系为（ ） A ．相切 B ．相离

C ．直线过圆心

D ．相交但直线不过圆心

题型三 直线与圆相交弦长问题

例3 在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋2y －3＝0被圆(x －2)2＋(y ＋1)2＝4截得的弦长为________． [玩转跟踪]

1．（2020·河南濮阳）斜率为1的直线l 被圆x 2+y 2＝4x 截得的弦长为4，则l 的方程为（ ） A ．y ＝x ﹣3

B ．y ＝x +3

C ．y ＝x ﹣2

D ．y ＝x +2

题型四 直线与圆相切问题

例4 过点P (2,4)引圆(x －1)2＋(y －1)2＝1的切线，则切线方程为__________； [玩转跟踪]

1.过坐标原点且与圆x 2－4x ＋y 2＋2＝0相切的直线方程为______________． 题型五 圆与圆的位置关系问题

例5 （2020·湖南张家界.高三期末）已知圆22:(3)(4)4M x y -++=与圆22

:9N x y +=，则两圆的位

置关系为（ ） A ．内切 B ．外切

C ．相交

D ．外离

[玩转跟踪]

1.（2020·贵州省思南中学高一期末）圆x 2+y 2-2x -3=0与圆x 2+y 2-4x +2y +3=0的位置关系是（ ） A ．相离

B ．内含

C ．相切

D ．相交

2.过两圆x 2＋y 2＋6x ＋4y ＝0及x 2＋y 2＋4x ＋2y －4＝0的交点的直线方程是( ) A ．x ＋y ＋2＝0 B ．x ＋y －2＝0 C ．5x ＋3y －2＝0 D ．不存在

[玩转练习]

1.（2019•全国）若直线5x =与圆2260x y x a +-+=相切，则(a = ) A ．13

B ．5

C ．5-

D ．13-

2.（2018•新课标Ⅲ）直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆22(2)2x y -+=上，则

ABP ∆面积的取值范围是( )

A ．[2，6]

B ．[4，8]

C

．

D

．

3．（2016•山东）已知圆22:20(0)M x y ay a +-=>截直线0x y +=

所得线段的长度是M 与圆

22:(1)(1)1N x y -+-=的位置关系是( ) A ．内切

B ．相交

C ．外切

D ．相离

4．（2016•北京）圆22(1)2x y ++=的圆心到直线3y x =+的距离为( ) A ．1

B ．2

C

D

．5．（2016•新课标Ⅱ）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-=的距离为1，则(a = ) A ．43

-

B ．34

-

C

D ．2