高二数学竞赛试题参考答案

参考答案：

一、选择题：CBCDB ABDCB BD 二、填空题： 13. 5 -15； 14. 0；

15．130 16．)1,2

1[-

三、解答题： 17．解: (Ⅰ)

由cos C =

C

是三角形内角，得sin C ==

∴ sin sin()sin cos cos sin A B C B C B C =+=+

22=

= (Ⅱ) 在ACD ∆中,由正弦定理，

sin sin BC AC

A B

=

，

sin sin AC BC A B =

=6=

1

32

AC CD BC ==

=

, cos 5C =, 由余弦定理得

:AD =

=18．解：（1

(2)

(3)数据大于等于30.5的频率是0.08,∴小于30.5的频率是0.92, ∴数据小于30.5的概率约为0.92

19．设所求的圆C 与直线y=x 交于AB

∵圆心C 在直线x －3y=0上， ∴设圆心为C （3a ，a ） ∵圆与y 轴相切， ∴R=3|a|

而圆心C 到直线x －y=0的距离 ||22

|3|||a a a CD =-=

又∵7||,72||=

=BD AB 在Rt △CBD 中，R 2－|CD|2=（7）2

∴33,1,1,7292

2

2

±=±===-a a a a a ∴圆心的坐标C 分别为（3，1）和（－3，－1）。

故所求圆的方程为 9)1()3(9)1()3(2

2

2

2

=+++=-+-y x y x 或

20．（I ）证明：连结BD ，则BD 与AC 的交点为O ，

,AC BD 为正方形的对角线，故O 为BD 中点；

连结MO ，

,O M 分别为1,DB DD 的中点，

1//OM BD ∴，

OM ⊂平面ACM ，1BD ⊄平面ACM

1//BD ∴平面ACM ． （II ）

AC BD ⊥，1DD ⊥平面ABCD ，且AC ⊂平面ABCD ，

∴1AC DD ⊥；且1BD

DD D =，∴ AC ⊥平面11

BDD B

1OB ⊂平面11BDD B ，∴ 1B O AC ⊥，

连结1B M ，在1B MO ∆

中，2

2

213MO =+

=，

2

22126B O =+

=

，(2

2

2

119B M =+=，

∴222

11B M MO B O =+，1B O OM ∴⊥

又OM AC O =，∴1B O ⊥平面AMC ；

法二：2

1

1==BB DO BO MD

, ∠ODM=∠B 1BO=Rt ∠, ∴ΔMDO ∽ΔOBB 1 , ∴∠MOD=∠OB 1B, 190MOD B OB ︒

∠+∠=，∴1B O OM ⊥．

（Ⅲ）求三棱锥1O AB M -的体积

∴111111

332

O AB M B AOM AOM V V OB S OA OM --∆==⨯⨯=⨯⨯，

11

132

==． 法二：可证AO ⊥平面1OB M ，

则111111111133232

O AB M A OB M OB M V V AO S OB OM --∆==⨯⨯=⨯⨯=

21．解：（Ⅰ）n n x f d a x f n a 22)1(2)(2

2

log )(21=⋅-+=∴===

n n n a a x n

x 22log :==即

（Ⅱ）当21=a 时，n

n x ⎪⎭

⎫

⎝⎛=41

31

411314

1141

414121<⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+++n

n

n x x x

22．解：（Ⅰ）反证法，假设方程x x f =)(有异于α的实根β，即ββ=)(f ，不妨设βα<，在α与β之间存在一点c ，βα<

（Ⅱ）令)()(x f x x -=ϕ，则0)(1)('

'>-=x f x ϕ，从而)(x ϕ为增函数

0)()()(=-=>⇒>αααϕϕαf x x ，所以，当α>x 时，总有x x f <)(成立；

（Ⅲ）不妨设x 1

<

<-x f ，得 f(x)-x 为减函数，所以f(x 1)- x 1>f(x 2)- x 2， 0

2

)- f(x 1)< x 2- x 1,

1212)()(x x x f x f -≤- ,又2121()()x x x x αα-=-+-214x x αα≤-+-<所以，4)()(21<-x f x f