高二数学竞赛试题参考答案

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高二数学竞赛试题及答案广东

高二数学竞赛试题及答案广东高二数学竞赛试题及答案（广东）试题一：函数与方程1. 已知函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)，求\( f(x) \)在区间[-1,2]上的最大值和最小值。

2. 解方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)。

答案：1. 函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 1 \)的导数为\( f'(x) = 4x - 3 \)。

令\( f'(x) = 0 \)得\( x = \frac{3}{4} \)。

在区间[-1, 2]上，\( f(x) \)在\( x = \frac{3}{4} \)处取得最小值\( f\left(\frac{3}{4}\right) = -\frac{1}{8} \)，在区间端点\( x = -1 \)和\( x = 2 \)处分别取得最大值\( f(-1) = 4 \)和\( f(2) = 5 \)。

2. 方程\( x^2 - 5x + 6 = 0 \)可以分解为\( (x - 2)(x - 3) = 0 \)，解得\( x = 2 \)或\( x = 3 \)。

试题二：不等式1. 证明不等式\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 4 \)在\( a, b > 0 \)时成立。

2. 解不等式\( |x - 1| + |x - 3| \geq 4 \)。

答案：1. 由于\( a, b > 0 \)，根据调和平均数与几何平均数的关系，有\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq 2\sqrt{\frac{1}{ab}} =2\sqrt{\frac{1}{ab}} \cdot 2 \geq 4 \)。

2. 根据绝对值的性质，\( |x - 1| + |x - 3| \)表示数轴上\( x \)到1和3两点的距离之和。

当\( x \)在区间[1, 3]之外时，距离之和大于4。

高二数学竞赛(含答案)

高二数学竞赛试题一、选择题（本题满分60分，每题5分） 1．复数()()212z i i =++的虚部为()A. 2i -B. 2-C. 4iD. 42．已知集合A ＝{(x ，y)|x ＋a 2y ＋6＝0}，集合B ＝{(x ，y)|(a －2)x ＋3ay ＋2a ＝0}，若A ∩B ＝Ø，则a 的值是( ) A. 3或-1 B. 0 C. －1 D. 0或－1 3．()423a b c +-的展开式中2abc 的系数为（）A. 208B. 216C. 217D. 218 4.某公司在2013-2017年的收入与支出情况如下表所示：根据表中数据可得回归直线方程为0.8y x a ∧∧=+，依此估计如果2018年该公司收入为7亿元时的支出为( ) A. 4.5亿元 B. 4.4亿元 C. 4.3亿元 D. 4.2亿元5. 在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲线C 的方程为20x y -= ）的点的个数的估计值为( )A. 5000B. 6667C. 7500D. 78546. 函数2cos 3sin cos y x x x =在区间,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域是（） A. 1,12⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B. 122,3⎡-⎢⎣⎦C. 0,32⎡⎤⎢⎥⎣⎦D. 2,301⎡⎤⎢⎥⎣⎦7．小方，小明，小马，小红四人参加完某项比赛，当问到四人谁得第一时，回答如下：小方：“我得第一名”；小明：“小红没得第一名”；小马：“小明没得第一名”；小红：“我得第一名”.已知他们四人中只有一人说真话，且只有一人得第一.根据以上信息可以判断出得第一名的人是（）A. 小明B. 小马C. 小红D. 小方8.一个三棱锥的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是全等的等腰三角形，则此三棱锥外接球的表面积为收入x （亿元） 2.2 2.6 4.0 5.3 5.9 支出y （亿元）0.21.52.02.53.8A.94πB. 9πC. 4πD. π 9．我国南宋时期的数学家秦九韶(约1202-1261)在他的著作《数书九章》中提出了多项式求值的秦九韶算法，如图所示的框图给出了利用秦九韶算法求多项式的一个实例．若输入的5n =，1v =，2x =，则程序框图计算的是（）开始结束是,,n v x1i n =-0?i ≥输出v 1i i =-1v v x =⋅+否输入A ．5432222221+++++B ．5432222225+++++C ．654322222221++++++D ．43222221++++10．设O 点在ABC ∆内部，且有230OA OB OC ++=，则ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比为（） A. 2 B. 3 C.32 D. 5311．已知抛物线C ： 22(0)y px p =>和动直线l ： y kx b =+（k ， b 是参变量，且0k ≠， 0b ≠）相交于()11,A x y ， ()22,B x y 两点，直角坐标系原点为O ，记直线OA ， OB 的斜率分别为OA k ， OB k ，若3OA OB k k ⋅=恒成立，则当k 变化时直线l 恒经过的定点为（）A. ()3,0B. ()23,0- C. 3p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.23,0p ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭12. 已知函数13,1()22ln ,1x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩（lnx 是以e 为底的自然对数，e=2.71828...），若存在实数m,n(m<n)，满足f(m)=f(n)，则n-m 的取值范围为( ) A.B.C.D.二、填空题（本题满分20分，每题5分）13.已知实数,x y 满足约束条件222441 x y x y x y +≥⎧⎪+≤⎨⎪-≥-⎩，则目标函数3z x y =+的取值范围为 .14. 如图，矩形ABCD 中，AB=2AD ，E 为边AB 的中点，将ADE 沿直线DE 翻折成A 1DE ，若M 为线段A 1C 的中点，则在ADE 翻折过程中，下列命题正确的是．（写出所有正确的命题的编号）①线段BM 的长是定值；②存在某个位置，使DE ⊥A 1C ；③点M 的运动轨迹是一个圆；④存在某个位置，使 MB 平面A 1DE ．15. 已知双曲线22221x y a b -= （0a > ， 0b > ）的左、右焦点分别为1F 、2F ，过2F 的直线交双曲线右支于P ，Q 两点，且1PQ PF ⊥ ，若1512PQ PF =，则双曲线的离心率为__________ . 16．九个连续正整数自小到大排成一个数列129,,...,a a a ，若13579a a a a a ++++是一个平方数，2468a a a a +++是一个立方数，则1239...a a a a ++++的最小值是 .三、解答题（本题满分70分）17．（本小题满分10分）△ABC 中，,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，sin sin tan cos cos A BC A B+=+,sin()cos B A C -=.（1）求,A C ；（2）若33ABC S ∆=+,求,a c .18．（本小题满分12分）已知数列{}n a 满足11a =，121()n n a a n N *+=+∈.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）证明：12231 (2)n n a a a na a a ++++<. 19．（本小题满分12分）为响应国家“精准扶贫，产业扶贫”的战略，哈市面向全市征召《扶贫政策》义务宣传志愿者，从年龄在[]20,45的500名志愿者中随机抽取100名，其年龄频率分布直方图如图所示．（1）求图中x的值；（2）在抽出的100名志愿者中按年龄采用分层抽样的方法抽取10名参加中心广场的宣传活动，再从这10名志愿者中选取3名担任主要负责人．记这3名志愿者中“年龄低于35岁”的人数为X，求X的分布列及数学期望．20. （本小题满分12分）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB 于点F，⊙O是△BEF的外接圆，⊙O交BC于点D．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）过点E作EH⊥AB，垂足为H，求证：CD=HF；（3）在（2）条件下，若CD=1，EH=3，求BF及AF长．21．（本小题满分12分）已知椭圆C：=1（a＞b＞0）的离心率为，并且过点P（2，﹣1）（1）求椭圆C的方程；（2）设点Q在椭圆C上，且PQ与x轴平行，过p点作两条直线分别交椭圆C于两点A（x1，y1），B（x2，y2），若直线PQ平分∠APB，求证：直线AB的斜率是定值，并求出这个定值．22. （本小题满分12分）已知函数()ln mx nf x x x-=-，,m n R ∈. （1）若函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，求实数n 的值；（2）试讨论函数()f x 在区间[1,)+∞上最大值；（3）若1n =时，函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，求证：122x x +>.高二数学竞赛试题参考答案1．D 2．D 3．B 4．B 5. B 6. C 7．A 8．A 9．A 10．B 11．D 12. C13. []1,6 14．①③ 1516．18000 17．解：(1) 因为sin sin tan cos cos A B C A B +=+，即sin sin sin cos cos cos C A BC A B+=+，所以sin cos sin cos cos sin cos sin C A C B C A C B +=+，即 sin cos cos sin cos sin sin cos C A C A C B C B -=-，得 sin()sin()C A B C -=-. ....................2分所以C A B C -=-,或()C A B C π-=--(不成立). ．即 2C A B =+, 得3C π=，所以.23B A π+=.................. 4分又因为1sin()cos 2B A C -==，则6B A π-=，或56B A π-=（舍去）得5,412A B ππ== ．.................. 6分(2)1sin 32ABC S ac B ∆===，又sin sin a cA C =, 即22=，．.................. 8分得a c == .................. 10分（1）由已知6B π=， 2220a ab b --=结合正弦定理得：22sin sin 10A A --=，于是sin 1A =或1sin 2A =-（舍）．因为0A π<<，所以2A π=， 3C π=．（2）由题意及余弦定理可知22196a b ab ++=，由（1）2220a ab b --=得()()20a b a b +-=即2a b =，联立解得27b =， 47a = 所以， 1sin 1432ABC S ab C ∆==. 18．（1）∵.∴，∴是以为首项，2为公比的等比数列.∴，即................... 6分（2）证明：∵1121212112122112(21)2k k k n k k kn a a ++---=<==-⋅---，，∴................... 12分19．（1）根据频率分布直方图可得()0.010.020.040.0751x ++++⨯=，解得0.06x =.........2分（2）用分层抽样的方法，从100名志愿者中选取10名，则其中年龄“低于35岁”的人有6名，“年龄不低于35岁”的人有4名，.................. 4分故X 的可能取值为0,1,2,3．()343101030C P X C ===， ()12643103110C C P X C ===， ()2164310122C C P X C ===， ()36310136C P X C ===．故X 的Y 0 1 2 3P130 310 12 16.................. 10分()13110123 1.8301026E Y =⨯+⨯+⨯+⨯=．..................12分 20.证明：（1）如图，连接OE ． ∵BE 平分∠ABC ， ∴∠CBE=∠OBE ， ∵OB=OE ，∴∠OBE=∠OEB ， ∴∠OEB=∠CBE ， ∴OE ∥BC ，∴∠AEO=∠C=90°，∴AC 是⊙O 的切线；．..................3分（2）如图，连结DE ．∵∠CBE=∠OBE ，EC ⊥BC 于C ，EH ⊥AB 于H ， ∴EC=EH ．∵∠CDE+∠BDE=180°，∠HFE+∠BDE=180°， ∴∠CDE=∠HFE ．在△CDE 与△HFE 中，90CDE HFE C EHF EC EH ∠=∠∠=∠=⎪⎨⎩=⎧⎪， ∴△CDE ≌△HFE （AAS ）， ∴CD=HF ．．..................7分（3）由（2）得，CD=HF ．又CD=1 ∴HF ＝1在Rt △HFE 中，EF =2231+＝10 ∵EF ⊥BE ∴∠BEF =90°∴∠EHF =∠BEF =90° ∵∠EFH =∠BFE ∴△EHF ∽△BEF ∴EF HFBF EF =，即10110BF =∴BF =10∴152OE BF ==, 514OH =-=,∴在Rt △OHE 中， 4cos 5EOA ∠=,∴在Rt △EOA 中， 4cos 5OE EOA OA ∠==,∴545OA = ∴254OA =∴255544AF =-=. ．..................12分21．（1）解：由，得，即a 2=4b 2，∴椭圆C 的方程可化为x 2+4y 2=4b 2．又椭圆C过点P （2，﹣1），∴4+4=4b 2，得b 2=2，则a 2=8．∴椭圆C 的方程为；..................4分（2）证明：由题意，直线PA 斜率存在，设直线PA 的方程为y +1=k （x ﹣2），联立，得（1+4k 2）x 2﹣8（2k 2+k ）x +16k 2+16k ﹣4=0．∴，即．∵直线PQ 平分∠APB ，即直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数，设直线PB 的方程为y+1=﹣k （x ﹣2），同理求得． ..........8分又，∴y 1﹣y 2=k （x 1+x 2）﹣4k ．即=，.................. 10分∴直线AB 的斜率为．..................12分22.（1）由'2()n x f x x -=，'2(2)4n f -=，由于函数()f x 在(2,(2))f 处的切线与直线0x y -=平行，故214n -=，解得6n =. .................. 2分（2）'2()(0)n xf x x x-=>，由'()0f x <时，x n >；'()0f x >时，x n <，所以①当1n ≤时，()f x 在[1,)+∞上单调递减，故()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)n 上单调递增，在(,)n +∞上单调递减，故()f x 在[1,)+∞上的最大值为()1ln f n m n =--；综上①当1n ≤时，()f x 在[1,)+∞上的最大值为(1)f m n =-；②当1n >，()f x 在[1,)+∞上的最大值为()1ln f n m n =--；.................. 6分（3）函数()f x 恰有两个零点1212,(0)x x x x <<，则1211221211()ln 0,()ln 0mx mx f x x f x x x x --=-==-=，可得121211ln ln m x x x x =+=+. 于是21221121ln ln ln x x x x x x x x -=-=. 令211x t x =>，则1111ln ,ln t t t x tx t t --==，于是21211(1)ln t x x x t t t-+=+=，.................. 8分∴21212(ln )22ln t t t x x t--+-=，记函数21()ln 2t h t t t -=-，因2'2(1)()02t h t t -=>， ∴()h t 在(1,)+∞递增，∵1t >，∴()(1)0h t h >=，又211x t x =>，ln 0t >，故122x x +>成立. .................. 12分。

高中数学竞赛试题及答案

高中数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数是无理数？A. 2B. πC. 0.5D. √4答案：B2. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，求f(2)的值。

A. 0B. 4C. -4D. 8答案：A3. 一个等差数列的前三项分别为1, 4, 7，求第四项的值。

A. 10B. 11C. 13D. 15答案：A4. 计算复数z = 1 + i的模。

A. √2B. 2C. 1D. √3答案：A二、填空题（每题5分，共20分）5. 已知等比数列的公比为2，首项为1，求第5项的值。

答案：326. 已知向量a = (3, -4)，向量b = (-2, 3)，求向量a与向量b的点积。

答案：-67. 计算函数y = x^3 - 6x^2 + 11x - 6在x = 2处的导数值。

答案：18. 已知圆的方程为(x - 2)^2 + (y - 3)^2 = 9，求圆心坐标。

答案：(2, 3)三、解答题（每题10分，共60分）9. 求证：对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

证明：设n = 3k, 3k + 1, 3k + 2，其中k为整数。

当n = 3k时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 9k + 2 = 3(3k^2 + 3k + 1)，能被3整除。

当n = 3k + 1时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 6k + 1 + 9k + 3 + 2 =3(3k^2 + 5k + 2)，能被3整除。

当n = 3k + 2时，n^2 + 3n + 2 = 9k^2 + 12k + 4 + 9k + 6 + 2 = 3(3k^2 + 7k + 4)，能被3整除。

因此，对于任意正整数n，n^2 + 3n + 2总是能被3整除。

10. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x，求f(x)的单调区间。

解：首先求导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。

高中的数学竞赛试题及答案

高中的数学竞赛试题及答案高中数学竞赛试题一、选择题（每题5分，共20分）1. 下列哪个数不是有理数？A. πB. √2C. 0.333...（无限循环）D. 1/32. 如果函数f(x) = 2x^2 - 5x + 3在x = 2时取得最小值，那么f(2)的值是多少？A. -1B. 1C. 3D. 53. 已知等差数列的前三项分别为3, 8, 13，求第10项的值。

A. 43B. 48C. 53D. 584. 若sinx = 1/2，求cosx的值（假设x在第一象限）。

A. √3/2B. -√3/2C. 1/2D. -1/2二、填空题（每题4分，共12分）5. 计算(2x^3 - 3x^2 + 4x - 5) / (x - 1)的商式和余数。

商式为：________余数为：______6. 已知复数z = 3 + 4i，求其共轭复数。

共轭复数为：______7. 一个圆的半径为5，求其内接正六边形的边长。

边长为：______三、解答题（每题18分，共54分）8. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 总是能被30整除。

9. 已知函数g(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求其导数g'(x)，并找出g(x)的极值点。

10. 解不等式：|x + 2| + |x - 3| > 4。

四、证明题（每题10分，共10分）11. 证明：对于任意实数a和b，(a^2 + b^2)(1/a^2 + 1/b^2) ≥ 2。

五、附加题（每题15分，共15分）12. 一个圆的半径为r，圆内接正n边形的边长为s。

证明：s =2r*sin(π/n)。

高中数学竞赛试题答案一、选择题1. A（π是无理数）2. B（f(2) = 4 - 10 + 3 = -3，但题目要求最小值，故应为B）3. C（公差d = 13 - 8 = 5，第10项a_10 = 3 + 9*5 = 53）4. A（根据勾股定理，cosx = √3/2）二、填空题5. 商式为：2x^2 - x - 5，余数为：-36. 共轭复数为：3 - 4i7. 边长为：10三、解答题8. 证明略。

高二数学竞赛试题及答案

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若函数\( f(x) = 2x^2 - 3x + 5 \)，则\( f(-1) \)的值为多少？A. 12B. 10C. 8D. 62. 已知圆的半径为5，圆心在原点，求圆上一点到原点的距离最远是多少？A. 10B. 5C. 15D. 203. 一个等差数列的前三项分别为2，5，8，求这个数列的第20项是多少？A. 47B. 49C. 52D. 554. 一个直角三角形的两条直角边分别为3和4，求斜边的长度？A. 5B. 6C. 7D. 85. 已知\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，求\( \cos(\alpha) \)的值（假设\( \alpha \)在第一象限）？A. \( \frac{4}{5} \)B. \( -\frac{4}{5} \)C. \( \frac{3}{5} \)D. \( -\frac{3}{5} \)6. 一个函数\( g(x) \)满足\( g(x) = x^2 + 2x + 3 \)，求\( g(-1) \)的值？A. 1B. 3C. 5D. 7二、填空题（每题5分，共20分）7. 已知\( a \)和\( b \)是方程\( x^2 + 5x + 6 = 0 \)的根，求\( a + b \)的值。

______（答案：-5）8. 一个数列的前五项为1, 1, 2, 3, 5，这个数列是斐波那契数列，求第10项的值。

______（答案：55）9. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，求这个三角形的面积。

______（答案：6）10. 已知\( \tan(\beta) = 2 \)，求\( \sin(\beta) \)的值。

______（答案：\( \frac{2\sqrt{5}}{5} \)）三、解答题（每题25分，共50分）11. 证明：对于任意实数\( x \)，不等式\( e^x \ge x + 1 \)恒成立。

高二年级数学竞赛试题含答案

高二年级数学竞赛试题一、选择题（每小题5 分，共12小题，满分60分）1. 已知命题tan 1p x R x ∃∈=：，使，其中正确的是（） (A) tan 1p x R x ⌝∃∈≠：，使(B) tan 1p x R x ⌝∃∉≠：，使 (C) tan 1p x R x ⌝∀∈≠：，使(D) tan 1p x R x ⌝∀∉≠：，使 2. 设a R ∈，则1a >是11a< 的（）（A ）充分但不必要条件（B ）必要但不充分条件（C ）充要条件（D ）既不充分也不必要条件3. 抛物线24(0)y ax a =<的焦点坐标是（）（A ）（a , 0）（B ）(－a , 0) （C ）（0, a ）（D ）（0, －a ）4（文）=∆∆--∆+→∆xx x f x x f 2)()(lim000x （）(A).)(210x f ' (B). )(0x f ' (C). )(20x f ' (D). )(-0x f ' 4（理）有以下命题：①如果向量,与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,不构成空间的一个基底，则点,,,O A B C 一定共面； ③已知向量,,是空间的一个基底，则向量,,-+也是空间的一个基底。

其中正确的命题是（）（A ）①② （B ）②③ （C ）①③ （D ）①②③ 5（文）已知直线kx y =是x y ln =的切线，则k 的值为（）（A ）e 1-（B ）e 1 （C ）e 2 （D ）e2- 5（理）已知△ABC 的三个顶点为A （3，3，2），B （4，－3，7），C （0，5，1），则BC 边上的中线长为（）（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）56（文）设210,,k k k 分别表示正弦函数x y sin =在2,4,0ππ===x x x 附近的平均变化率，则（）(A ). 012k k k << (B). 120k k k << (C). 210k k k << ( D). 201k k k <<6（理）如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。

数学竞赛试题及答案高中生

数学竞赛试题及答案高中生试题一：代数问题题目：已知\( a, b \) 是方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \) 的两个实根，求 \( a^2 + 5a + 6 \) 的值。

解答：根据韦达定理，对于方程 \( x^2 + bx + c = 0 \)，其根\( a \) 和 \( b \) 满足 \( a + b = -b \) 和 \( ab = c \)。

因此，对于给定的方程 \( x^2 + 5x + 6 = 0 \)，我们有 \( a + b =-5 \) 和 \( ab = 6 \)。

由于 \( a \) 是方程的一个根，我们可以将 \( a \) 代入方程得到 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

所以 \( a^2 + 5a + 6 = 0 \)。

试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，已知直角边长分别为 3 厘米和 4 厘米，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 \( c \) 可以通过直角边 \( a \) 和 \( b \) 计算得出，公式为 \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \)。

将给定的边长代入公式，我们得到 \( c = \sqrt{3^2 + 4^2} =\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \) 厘米。

试题三：数列问题题目：一个等差数列的首项 \( a_1 = 3 \)，公差 \( d = 2 \)，求第 10 项 \( a_{10} \) 的值。

解答：等差数列的通项公式为 \( a_n = a_1 + (n - 1)d \)，其中\( n \) 是项数。

将给定的值代入公式，我们得到 \( a_{10} = 3 + (10 - 1) \times 2 = 3 + 9 \times 2 = 3 + 18 = 21 \)。

试题四：组合问题题目：从 10 个不同的球中选取 5 个球，求不同的选取方式有多少种。

竞赛数学高中试题及答案

竞赛数学高中试题及答案试题一：多项式问题题目：已知多项式 \( P(x) = x^3 - 3x^2 + 2x - 5 \)，求 \( P(2) \) 的值。

解答：将 \( x = 2 \) 代入多项式 \( P(x) \) 中，得到：\[ P(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 2 \times 2 - 5 = 8 - 12 + 4 -5 = -5 \]试题二：几何问题题目：在直角三角形 ABC 中，角 C 是直角，若 \( AB = 10 \) 且\( AC = 6 \)，求斜边 BC 的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边 \( BC \) 可以通过以下公式计算：\[ BC = \sqrt{AB^2 - AC^2} = \sqrt{10^2 - 6^2} = \sqrt{100 - 36} = \sqrt{64} = 8 \]试题三：数列问题题目：给定数列 \( a_n = 2n - 3 \)，求数列的前 5 项。

解答：根据数列公式 \( a_n = 2n - 3 \)，我们可以计算出前 5 项：\[ a_1 = 2 \times 1 - 3 = -1 \]\[ a_2 = 2 \times 2 - 3 = 1 \]\[ a_3 = 2 \times 3 - 3 = 3 \]\[ a_4 = 2 \times 4 - 3 = 5 \]\[ a_5 = 2 \times 5 - 3 = 7 \]数列的前 5 项为：-1, 1, 3, 5, 7。

试题四：概率问题题目：一个袋子里有 5 个红球和 3 个蓝球，随机抽取 2 个球，求抽到一个红球和一个蓝球的概率。

解答：首先计算总的可能组合数，即从 8 个球中抽取 2 个球的组合数：\[ \text{总组合数} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2} = 28 \]然后计算抽到一个红球和一个蓝球的组合数：\[ \text{有利组合数} = \binom{5}{1} \times \binom{3}{1} = 5 \times 3 = 15 \]所以，抽到一个红球和一个蓝球的概率为：\[ P = \frac{\text{有利组合数}}{\text{总组合数}} =\frac{15}{28} \]试题五：函数问题题目：若函数 \( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求 \( f(x) \) 的最小值。

丽水高二数学竞赛试题及答案

丽水高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个数不是无理数？A. πB. √2C. 0.1010010001...D. 22/72. 函数f(x) = 2x^2 - 3x + 1的顶点坐标是？A. (3/4, -1/8)B. (-3/4, 1/8)C. (3/2, -1/4)D. (-3/2, 1/4)3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的结果。

A. {1, 2, 3}B. {1, 2, 3, 4}C. {2, 3}D. {1, 4}4. 已知等差数列的首项a1=2，公差d=3，第10项a10的值是多少？A. 29B. 32C. 35D. 425. 直线y = 2x - 4与x轴的交点坐标是？A. (2, 0)B. (-2, 0)C. (4, 0)D. (0, -4)二、填空题（每题4分，共20分）6. 圆的半径为5，圆心到直线x + 2y - 3 = 0的距离是_________。

7. 已知函数g(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求g'(x) = ________。

8. 已知等比数列的首项a1=8，公比q=2，求第5项a5的值是_________。

9. 抛物线y^2 = 4x的焦点坐标是_________。

10. 已知正弦函数y = sin(x)，求其在x=π/4处的导数值是_________。

三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意正整数n，n^5 - n 能被30整除。

12. 已知椭圆的方程为x^2/9 + y^2/4 = 1，求椭圆的长轴和短轴长度。

13. 解不等式：|2x - 1| + |x + 2| ≥ 5。

14. 已知函数f(x) = 3x^3 - 2x^2 - 5x + 6，求其极值点。

15. 已知向量a = (2, -1)，b = (-1, 3)，求向量a在向量b上的投影。

四、附加题（10分）16. 一个圆内接正六边形的边长为a，求圆的半径。

汕尾高二数学竞赛试题及答案

汕尾高二数学竞赛试题及答案试题：一、选择题（每题3分，共15分）1. 下列哪个选项不是实数集R的子集？A. 整数集ZB. 有理数集QC. 复数集CD. 无理数集2. 已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 1，求f'(x)。

A. 6x^2 - 6xB. 6x^2 + 6xC. 6x^2 - 6x + 1D. 6x^2 + 6x - 13. 若a > 0，b < 0，且|a| < |b|，则a + b的符号是？A. 正B. 负C. 零D. 不确定4. 以下哪个不等式是正确的？A. √2 < πB. e > 2.72C. √3 > 1.7D. 1/3 < 0.35. 若cosθ = 1/3，且θ属于第一象限，求sinθ的值。

A. 2√2/3B. √2/3C. √5/3D. 2√5/3二、填空题（每题4分，共20分）6. 已知等差数列的前三项分别为2，5，8，求第10项。

__________7. 已知椭圆的长轴为2a，短轴为2b，且a = 6，b = 3，求椭圆的面积。

__________8. 若函数f(x) = x^2 + 2x + 1在区间[-3,1]上的最大值为4，求f(x)的最小值。

__________9. 已知正方体的体积为64，求正方体的表面积。

__________10. 已知直线y = 3x + 2与抛物线y^2 = 4x相交于两点，求这两点的横坐标之和。

__________三、解答题（每题10分，共65分）11. 证明：对于任意实数x，不等式e^x ≥ x + 1恒成立。

12. 解不等式：|x + 1| + |x - 2| ≤ 4。

13. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f(x)的极值。

14. 已知点A(1,2)，B(4,6)，求直线AB的斜率及方程。

15. 已知等比数列的首项为2，公比为3，求其前5项的和。

遵义数学竞赛高二试题及答案

遵义数学竞赛高二试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 4 \)，求\( f(1) \)的值。

A. 1B. -1C. 3D. 52. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)是三角形的三边长，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，该三角形是：A. 直角三角形B. 等边三角形C. 等腰三角形D. 钝角三角形3. 已知圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，则直线与圆的位置关系是：A. 相切B. 相交C. 相离D. 包含4. 若\( \sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha \)，且\( \alpha \)和\( \beta \)均不为0，求\( \beta \)的值。

A. \( \frac{\pi}{2} \)B. \( -\frac{\pi}{2} \)C.\( \frac{\pi}{4} \) D. \( -\frac{\pi}{4} \)二、填空题（每题4分，共16分）5. 若\( \cos(\theta) = \frac{1}{3} \)，求\( \sin(\theta) \)的值（结果保留根号）。

6. 将\( 8^3 \)写成\( 2 \)的幂次形式。

7. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

8. 已知\( \log_{10} 100 = 2 \)，求\( \log_{10} 0.01 \)的值。

三、解答题（每题14分，共40分）9. 证明：若\( a \)，\( b \)，\( c \)是正数，且\( a + b + c =1 \)，则\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq 9 \)。

10. 解不等式：\( |x - 2| + |x + 3| > 4 \)。

11. 已知点A(-1, 2)，B(2, -1)，C(3, 6)，求三角形ABC的面积。

2023-2024学年安徽省高二竞赛数学质量检测模拟试题(含解析)

2023-2024学年安徽省高二数学竞赛模拟试题一､填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.如果函数()()42231f x cx c x =+-+在区间(),1∞--上单调递减，在区间()1,0-上单调递增，则c 的值为__________.2.已知命题p ：对任意的正数x ，有212ax x >-+，命题q ：不存在实数x ，使223x a x <<-.若命题,p q 都为假命题，则实数a 的取值范围是__________.3.在立方体中放人9个球，一个与立方体6个面都相切，其余8个相等的球都与这个球及立方体的三个切，已知8个相等的球的半径都为2，则立方体的体积为__________.4.圆222(0)x y R R +=>上有一定点(),0,,A R B C 是该圆上的两动点.如果2AB AC r ⋅=为常数(0)r R <<，可证BC 必与某个圆Ω相切，则Ω的方程为__________.5.对26⨯的长方形方格带的某些11⨯小方格染色（染成红色），要求任何一个22⨯的正方形方格中至少有一个11⨯的小方格未被染色，这样的染色方式有__________种.6.一离散型随机变量X 的分布列为：X 0123P0.1a b c其中,a b 为变数，c 为正常数，且当0a b =≠时方差()D X 有最大值，则c 的值为__________.7.已知双曲线22221(,0)x y a b a b-=>的右焦点为F ，过F 的直线与双曲线右支交于,A B 两点，若以AB 为直径的圆过原点，则双曲线离心率e 的取值范围是__________.8.__________.2482cos 12cos 12cos 1999πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫---= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭二､解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明､证明或演算步骤.9.（本小题满分16分）已知函数()()2,,f x ax bx c a b c =++∈R ，且对一切x ∈R ，都有()2428124x f x x x +++.（1）将,b c 分别表示成关于a 的函数，并求出a 的取值范围；（2）对于给定的,a k ，求()f x 在区间[],k k -上的最小值.10.（本小题满分20分）某游戏公司开发了一款游戏，共有两关，公司组织了水平相当的()*3,n n n ∈N位玩家测试这款游戏.玩家按预先指定的顺序依次上场，每位玩家的测试都是相互独立的.他们通过第一关测试的概率都为(01)p p <<，通过第二关测试的概率都为(01)q q <<.若玩家通不过第一关测试，则他下场，由下一位玩家继续上场测试，若玩家通过第一关测试，则继续第二关的测试，若第二关测试通过，则游戏测试终止，若第二关测试通不过，则下一位玩家直接从第二关开始测试.当p q ≠时，求第()*11,k k n k -∈N 位玩家终止测试的概率（用含,,p q k 的式子表示）.11.（本小题满分20分）已知函数3y x ax =-（a 为常数）的图象上存在四个点(),i i i A x y ，过i A 的切线为(1,2,3,4i l i =，其中)13l l ∥，且1234,,,l l l l 围成的图形是正方形.（1）求证：132423x x x x -；（2）试求a 的取值范围.数学答案一､填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.1.1由题意得，()()32423f x cx c x =+-'，由()10f '-=，得()24230c c ---=，解得3c =-或1c =.当3c =-时，()()()1211f x x x x =--+'，当1x <-时，()0f x '>，则()f x 在区间(),1∞--上单调递增，不满足条件，舍去；当1c =时，()()()411f x x x x =-+'，则()f x 在区间(),1∞--上单调递减，在区间()1,0-上单调递增，满足题意，故1c =.2.(]0,1当命题p 为真命题时，对任意的正数22211,11,1,x x a a x x -⎛⎫>=--+∴>∴ ⎪⎝⎭命题p 为假命题时，1a ；当命题q 为假命题时，存在实数x ，使223x a x <<-，03a ∴<<，故命题,p q 都为假命题时，实数a 的取值范围是(]0,1.3.8设立方体的边长为a (212a =++-，解得2a =，则立方体的体积为8.4.2222()2r x R y R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭设A 到BC 的距离为,h BAC ∠α=，则11sin sin 22AB AC BC h R h αα⋅==⋅，又22,,2r AB AC r h BC R ⋅=∴=∴与圆2222()2r x R y R ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭相切.5.3105考虑()21n ⨯+个方格的染色情况.最后2个方格如果没有染色或只有一个染色（它有3种可能的情况），前面的2n ⨯个方格有n a 种染色方式，共有3n a 种染色方式；如果最后两个方格都染色，则与它相邻的2个方格或者没有染色或者只有一格染色，前面的()21n ⨯-方格有1n a -种染色方式，共有13n a -种染色方式，故()113n n n a a a +-=+，其中()4232115,315457a a =-==⨯+=，由此可知()431557216a =⨯+=，()()56357216819,32168193105a a =⨯+==⨯+=.6.0.1由题意得，()()()20.9,230.92,490.938,a b c E X a b c b c E X a b c b c D X ++==++=++=++=++()()222[]0.938(0.92)E X E X b c b c =-=++-++()221.240.09 4.44,b c b c c =-+-++-∴当0.62b c =-时有最大值，此时1.240.9c c -+=，解得0.1c =.7.512+⎣当AB x ⊥轴时，2b c a =，解得512e +=.当AB 不与x 轴垂直时，设():AB y k x c =-，与22221x y a b-=联立得()()222222222220a k b x a ck x a c k b --++=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则()22222212122222222,a c k b a ck x x x x a k b a k b++==--，则()()2421212222k b y y k x c x c a k b=--=--.由题意得，()222224222222121222242242210131a c k b k b a b e b x x y y k e a k b b a c e e a+--+==⇒==>=----+42103112e e e +⇔<-+<⇔<<.综上，双曲线离心率e的取值范围是12⎣.8.1方法一：令29πθ=，()()()22cos 12cos 14cos 12cos2112cos21θθθθθ-+=-=+-=+ ，2cos212cos 12cos 1θθθ+∴-=+，同理得2cos412cos212cos21θθθ+-=+，2cos812cos412cos41θθθ+-=+，以上三式相乘有：162cos 124892cos 12cos 12cos 1129992cos 19πππππ+⎛⎫⎛⎫⎛⎫---== ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭+.方法二：令2248116sin cos cos cos sin2481999989coscos cos 229998sin sin 99a ππππππππππ===-.令248cos cos cos 999b πππ=++，2468cos cos cos cos 9999ππππ+++=24682cos sin 2cos sin 2cos sin 2cos sin999999992sin9πππππππππ+++=3537597sin sin sin sin sin sin sin sin 999999992sin9πππππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-+ ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=sin12489,cos cos cos 029992sin 9b πππππ-=-∴=++=.令244828248cos cos cos cos cos cos cos cos cos 999999999c πππππππππ⎛⎫=++=++⎪⎝⎭24826248248cos cos 2cos cos cos cos cos cos cos cos 9999999999ππππππππππ=+=-+=412411cos cos cos 1399922224πππ--+--+==-，2482cos 12cos 12cos 1842113011999a c b πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴---=-+-=-++-= ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.二､解答题：本大题共3小题，共56分.解答应写出文字说明､证明或演算步骤.9.（本小题满分16分）（1）原不等式可化为()()()424222x f x x x +++.取12x =-，则有1100022f f ⎛⎫⎛⎫-⇒-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，∴令()()12f x x ax n ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，因此有()()111481222x x ax n x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭.当12x >-时，由上式知恒有()481ax n ax n x +⎧⎨++⎩，42a n ∴-+，且1814,4222a a n n ⎛⎫-+-+=∴-+= ⎪⎝⎭.同理，当12x -时，也有42an -+=，()14,44,22224a a a n f x x ax b a c ⎛⎫⎛⎫∴=+∴=+++⇒=+=+ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.由题意得，()()()()22222114204218124802ax b x c a x x a x a x b x c a x ⎧⎛⎫⎛⎫+-+-=++=+⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎨⎛⎫⎪-+-+-=-+ ⎪⎪⎝⎭⎩①②，①②两式恒成立，[]0,8a ∴∈.（2）当0a =时，()42f x x =+，此时()f x 在[],k k -上的最小值为()42f k k -=-+；当(]0,8a ∈时，()f x 图象的对称轴方程为4022b a x a a+=-=-<，此时442a f a a +⎛⎫-=- ⎪⎝⎭.记()f x 的最小值为m ，当(]4,2a k a∞+-∈--时，得()214k a -⑤，故当12k 时，⑤成立，此时()()()121284k k a m f k ⎡⎤--+⎣⎦=-=.当12k >时，()421421k a a k -⇒-.注意到：4343138,821421424k k k k k ⇔>⇔<⇒<<--，∴当1324k <<时，⑥戊立，此时()()121284k k a m ⎡⎤--+⎣⎦=.当34k 时：当4821a k <-时，(]4,2a k k a +-∈-，此时4m a=-.当421ak -时，(]4,2a k a ∞+-∈--，此时()()()121284k k a m f k ⎡⎤--+⎣⎦=-=.综上，()f x 在区间[],k k -上的最小值如下：当304k <<时，()()121284k k a m ⎡⎤--+⎣⎦=；当34k 时，()()121284,042144,821k k a ak m a a k ⎧⎡⎤--+⎣⎦⎪⎪-=⎨⎪-<⎪-⎩.10.（本小题满分20分）设第()*11,k k n k -∈N 位玩家终止测试的概率为kp .当p q ≠且第()*11,k kn k -∈N 位玩家终止测试时，第k 位玩家必通过第二关测试.若前面()1k -位玩家都没有通过第一关测试，其概率为'1(1)k k p p pq -=-，若前面()1k -位玩家中人第()*11,,i i k k i -∈N位玩家才通过第一关测试，则前面()1i -位玩家无人通过第一关测试，其概率为1(1)i p --，第i 位玩家通过第一关测试，但没有通过第二关测试，其概率为()1p q -，第()1i +位玩家到第()1k -位玩家中都没有通过第二关测试，其概率为1(1)k i q ---.∴前面()1k -位玩家中恰有一人通过第一关测试的概率为：111111111(1)(1)(1)(1)1i k k i k i k k i i p p p p q q q pq q q ---''----==⎛⎫-=---=- ⎪-⎝⎭∑∑()11111111(1)(1)(1)111k k k k p pq q q pq q q p p p qq ----⎛⎫--⎪--⎝⎭⎡⎤=-=---⎣⎦----111(1)(1)(1)(1)k k k kk k pq q p p p pq p q p p q'''----⎡⎤∴=+=-+---⎣⎦-()11(1)(1)(1)(1)k k k kpq q pq pq pq p q q p p q p q p q -⎡⎤-⎡⎤=--+-=---⎢⎣⎦---⎣⎦因此，第()*11,k k n k -∈N 位玩家终止测试的概率为(1)(1)k k pq q p p q⎡⎤---⎣⎦-.11.（本小题满分20分）（1）设直线i l 的斜率为()1,2,3,4i k i =，又23y x a '=-，则()231,2,3,4i i k x a i =-=，121k k =-1324,l l l l ∥∥，则2222132413241324,,,,k k k k x x x x x x x x ==∴==⇒=-=-，22132412121113332x x x x x x k k k k ∴-=-=-=+，即132423x x x x -.（2）若0a ，则()212301,2,3,4,1i i k x a i k k =-==-不成立，0a ∴>.不失一般性，可设12120,0,0,0x x k k >>><.()()31:201,2,3,4i i i i l y y k x x y k x x i -=-⇔--==.1l 与3l 的距离2l ､与4l 的距离分别设为d 与d '，则3333121d d k k '⎧===∴=-⎩33112x k x ∴=⋅，令31k t =，则12(0)x tx t =>.222232122132313111113,3x x a k a x at t a at k t t t t t-==-=-∴-=-⇒=-⇒+=- ，431t a t t +∴=-，又0,0a t >>，可得1t >.方法一：令()431(1)x f x x x x+=>-，则()()()()()()2226422233122331xx x x x x f x xxxx++---+==--'，易知当22x =+时，()f x 取得最小值，从而a 取得最小值，2mina a∴==∴的取值范围是)∞⎡+⎣.方法二：令()431(1)xf x xx x+=>-，则()2211211xxf x xxx xx x+==-+--，当且仅当22x=+时，取得等号，mina∴=，a∴的取值范围是)∞⎡+⎣.。

高二数学竞赛练习(附答案)

高二数学练习一、选择题：1.若指数函数()(0,1)x f x a a a =>≠的部分对应值如右表：则不等式1()0fx -<的解集为A ．{11}x x -<<B ．{11}x x x <->或C ．{01}x x <<D ．{1001}x x x -<<<<或2．设数列1{2}n -按“第n 组有个数()n N ∙∈”的规则分组如下：（1），（2，4），（8，16，32），…，则第100组中的第一个数 A ．49512B ．49502C ．50512D ．505023．若数列{}n a 满足1121,2,(3)n n n n a a a a n a --===≥，则17a 等于 A ．1 B ．2 C ．12D ．9872- 4．已知函数()2sin f x x ω=在区间[,]34ππ-上的最小值为2-，则ω的取值范围是 A ．9(,][6,)2-∞-+∞ B ．93(,][,)22-∞-+∞C ．(,2][6,)-∞-+∞D ．3(,2][,)2-∞-+∞二、填空题：5．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且111,3,(1,2)n n a a S n +=== ，则410log S =_____6．设()2x x e e f x -+=，()2x xe e g x --=，计算(1)(3)(1)(3)(4)fg g f g +-=________，(3)(2)(3)(2)(5)f g g f g +-=________，并由此概括出关于函数()f x 和()g x 的一个等式，使上面的两个等式是你写出的等式的特例，这个等式是_______________三、解答题：本大题共6个小题，共75分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

7．已知函数2()2sin ()21,4f x x x x R π=+--∈。

高二数学竞赛试题及答案(精品)

高二数学竞赛拔高试题（二）时间：120分钟满分150分命题人：张付涛审题人：郝庆全一、选择题（每小题5分，共12小题，满分60分）1．在平面直角坐标系中，记d 为点P （cosθ，sinθ）到直线的距离，当θ，m 变化时，d 的最大值为（） A. 1 B. 2 C. 3 D. 42．已知数列{}n a的通项公式2245n a n n =-+，则{}n a 的最大项是（）A ．1aB ．2aC ．3aD ．4a3．已知双曲线C ：，O 为坐标原点，F 为C 的右焦点，过F 的直线与C 的两条渐近线的交点分别为M 、N.若OMN 为直角三角形，则|MN|= （）A. B. 3C.D. 44、若关于x 的方程323()25x aa +=-有负数根，则实数a 的取值范围为（） A.2(,)(5,)3-∞-+∞ B. 3(,)(5,)4-∞-+∞ C. 2(,5)3- D.23(,)34- 5．关于x 的不等式02022<--a ax x 任意两个解的差不超过9，则a 的最大值与最小值的和是（）. （A ） 2 （B ） 1 （C ） 0 （D ） 1- 6．设抛物线C ：y2=4x 的焦点为F ，过点（–2，0）且斜率为的直线与C 交于M ，N 两点，则 = ( ) A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 7已知数列{an}满足3an+1+an=4(n ≥1)，且a1=9，其前n 项之和为Sn 。

则满足不等式|Sn-n-6|<1251的最小整数n 是（）A ．5B ．6C ．7D ．88．直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是 ( )A.B.C.D. 9.已知等差数列{an}的公差为d ，前n 项和为Sn ，则“d>0”是“S4 + S6>2S5”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件10.函数 ()y f x = 的图像按向量 (,2)4a π= 平移后, 得到的图像的解析式为 sin()24y x π=++. 那么 ()y f x = 的解析式为 ( )A. sin y x =B. cos y x =C. sin 2y x =+D. cos 4y x =+11．设，是双曲线：（，）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为( )A. B. 2C.D.12．已知()122007122007f x x x x x x x =+++++++-+-++-（x ∈R ），且2(32)(1),f a a f a -+=- 则a 的值有（）. （A ）2个（B ）3个（C ）4个（D ）无数个二填空题（每小题5分，共4小题，满分20分）13．已知等差数列{an}的前11项的和为55，去掉一项ak 后，余下10项的算术平均值为4．若a1＝－5，则k ＝14.若,a b ∈R ，0ab >，则4441a b ab ++的最小值为___________.15. 设命题P :2a a <，命题Q : 对任何x ∈R ，都有2410x ax ++>. 命题P 与Q 中有且仅有一个成立，则实数a 的取值范围是 . 16圆锥曲线|3|102622=+--+-++y x y x y x 的离心率是．三解答题（17题10分，其他题目满分12分，共计70）17．已知数列的各项均为正数，且. （1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和 .18. 已知函数c bx x x f ++-=22)(在1=x 时有最大值1，n m <<0，并且[]n m x ,∈时，)(x f 的取值范围为⎥⎦⎤⎢⎣⎡m n 1,1. 试求m ，n 的值.19．某公司试销一种成本单价为500元／件的新产品，规定试销时的销售单价不低于成本单价，又不高于800元／件．经试销调查，发现销售量y （件）与销售单价x （元／件）之间近似于如图所示的一次函数y ＝kx ＋b 的关系．（1）根据图象，求一次函数y ＝kx ＋b 的解析式；（2）设公司获得毛利润（毛利润＝销售总价－成本总价）为S 元．① 试用销售单价x 表示毛利润S ．② 试问销售单价定为多少时，此公司获得最大毛利润？最大毛利润是多少？此时的销售量是多少？20.设F 是抛物线x y 42=的焦点，B A 、为抛物线上异于原点O 的两点，且满足0=⋅FB FA ．延长BF AF 、分别交抛物线于点D C 、（如图）．求四边形ABCD 面积的最小值．21.已知{xn}是各项均为正数的等比数列，且x1+x2=3，x3-x2=2 （Ⅰ）求数列{xn}的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P1(x1, 1)，P2(x2, 2)…Pn+1(xn+1, n+1)得到折线P1 P2…Pn+1，求由该折线与直线y=0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.22．已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．（1）证明：；（2）设为的右焦点，为上一点,且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．nT高二数学竞赛拔高试题（二）答案1【答案】C 2．（B）3【答案】B 4、（d）5．（C）．6．【答案】D7 c 8．【答案】A 9. 【答案】C10,B , 即. 故选B 11．【答案】C 12故选（D）．二填空题13 k＝11．14.【答案】15. 的取值范围是或．16 ．三解答题17．【答案】（1）a_n=2n+1,n∈N^*（2）T_n=1+〖(-1)〗^(n-1) (n+1) （1）由〖a_n〗^2-2na_n-(2n+1)=0得[a_n-(2n+1)](a_n+1)=0，所以a_n=2n+1或a_n=-1，又因为数列{a_n }的各项均为正数，负值舍去，所以a_n=2n+1,n∈N^*.（2）因为b_n=〖(-1)〗^(n-1)a_n=〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)，所以T_n=3-5+7-9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)由T_n=3-5+7-9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)①(-1)T_n=-3+5-7+9...+〖(-1)〗^(n-1)(2n+1)+〖(-1)〗^n(2n+1)②由①-②得：2T_n=3-2[1-1+9...+〖(-1)〗^(n-1) ]-〖(-1)〗^n(2n+1)=3-2[1-〖(-1)〗^(n-1) ]/(1-(-1))=2+〖(-1)〗^(n-1)-〖(-1)〗^n(2n+1)=2+〖(-1)〗^(n-1) (2n+2)∴T_n=1+〖(-1)〗^(n-1) (n+1)点睛：本题考查了数列递推关系、错位相减法、分组求和方法、等比数列的求和公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18..解由题，……5分，，即，上单调减，且. ……10分，n是方程的两个解，方程即=0，解方程，得解为1，，.，，. ……15分19解：（1）把（600，400），（700，300）两点的坐标分别代入y＝kx＋b，得解得∴y＝－x＋1000，其中x的取值范围是500≤x≤800．（2）①S＝xy－500y＝x（－x＋1000）－500（－x＋1000），即S＝－x2＋1500x－500000（500≤x≤800）．②S＝－x2＋1500x－500000＝－（x－750）2＋62500．当x＝750时，S最大值＝62500．此时y＝－x＋1000＝－750＋1000＝250（件）．故当销售单价定为750件时，此公司获得最大毛利润62500元；此时的销售量是250件．2020.解析：设，由题设知，直线的斜率存在，设为．因直线过焦点，所以，直线的方程为．联立方程组，消得由根与系数的关系知：，……5分于是……10分又因为，所以直线的斜率为，从而直线的方程为：，同理可得．……15分故当时等号成立．所以，四边形的最小面积为32．……20分21.（II）过……向轴作垂线，垂足分别为……,由(I)得记梯形的面积为.由题意，所以……+= ……+ ①又……+ ②①-②得=所以【答案】（1）（2）或详解：（1）设，则.两式相减，并由得.由题设知，于是.①；由题设得，故.（2）由题意得，设，则.由（1）及题设得.又点P在C上，所以，从而，.于是.同理.所以.故，即成等差数列.设该数列的公差为d，则.②将代入①得.所以l的方程为，代入C的方程，并整理得.故，代入②解得.所以该数列的公差为或.点睛：本题主要考查直线与椭圆的位置关系，等差数列的性质，第一问利用点差法，设而不求可减小计算量，第二问由已知得到,求出m得到直线方程很关键，考查了函数与方程的思想，考察学生的计算能力，难度较大。

全国高二高中数学竞赛测试带答案解析

全国高二高中数学竞赛测试班级:___________ 姓名：___________ 分数：___________一、选择题1.已知函数则函数的反函数是A．y=B．y=C．y="2X+5"D．y=2X+22.设０，则a和b的大小关系是A．a B．C．a D．不确定的。

3.已知X y且bx. ,lnx成等比列，则xy的A．最大值是B．最大值是C．最小值是D．最小值是4.如图1、一个正方体的容器ABCD-中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。

可使流出的油量达到最小，这个最小值是正方体容器容量的。

A．B．C．D．5.函数y=的最小值是A．B．C．D．6.Ahyperbola(双曲线)wjthvertices(顶点)（-2，5）and(-2,-3),has an asynptote(渐近线)thatpasses the point(2.5) Then an equarionk of the hyperbola isA．B．C．D．7.等差数列中有两项和，满足、，则该数列前mk项之和是A．B．C．D．8.当x.yi满足条件时，变量U=的取值范围是A．B．C．D．9.设为椭圆上一点，且,，其中为椭圆的两个焦点，则椭圆的离心率e的值等于A．B．C．D．10.Suppose the least distance fron poinrs of the xurve(曲线)to the y-axis is then the velue of a isA．B．C．or D．or11.已知函数则函数的反函数是A．y=B．y=C．y="2X+5"D．y=2X+212.设０，则a和b的大小关系是A．a B．C．a D．不确定的。

13.已知X y且bx. ,lnx成等比列，则xy的A．最大值是B．最大值是C．最小值是D．最小值是14.如图1、一个正方体的容器ABCD-中盛满了油后，在相邻两侧面的中心处出现了两个小孔，若恰当地将容器放置。

高二数学竞赛试卷及参考答案

高二数学竞赛试卷考生注意：⒈用钢笔、签字笔或圆珠笔作答； ⒉不准使用计算器；⒊考试用时120分钟，全卷满分150分。

一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．请将正确选项前的字母代号填在该小题后的括号内．（1）12,F F 是椭圆22:184x y C +=的焦点，在C 上满足12PF PF ⊥的点P 的个数为（） (A ) 1个 (B ) 2个 (C ) 3个 (D) 4个（2）已知实数集合A 满足条件：若a A ∈，则11aA a+∈-，则集合A 中所有元素的乘积的值为（）(A ) 1 (B ) 1- (C ) 1± (D) 与a 的取值有关（3）若ABC ∆的三边长a 、b 、c 满足2220a a b c ---=且0322=+-+c b a ，则它的最大内角的度数是（）(A )150 (B )135 (C )120 (D)90（4）已知定点()7,8A 和抛物线24y x =，动点B 和P 分别在y 轴上和抛物线上，若0O B P B ⋅=（其中O 为坐标原点），则PB PA +的最小值为（）(A ) 9 (B ) 10 (C ) (D)、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．把答案填在题中横线上．（5）高二数学竞赛获一等奖的人数在30到55人之间，颁奖典礼上给获一等奖的学生照相．按3列排，多出2人；按5列排，多出4人；按7列排，多出2人，则获一等奖的人数有人．（6）若函数()f x 的图像经过点()()1,1,1,0,2,12⎛⎫- ⎪⎝⎭，试写出两个．．满足上述条件的函数的解析式、．（7）已知点()b a P ，在直线01443=--y x 上，则()()2211-+-b a 的最小值为．（8）正三棱锥ABC P -中，30=∠=∠=∠APC BPC APB ，2===CP BP AP ，过点A 作平面分别交PB 、PC 于E 、F ，则AEF ∆的周长的最小值为．（9）现代社会对破译密码的要求越来越高，有一种密码把英文的明文（真实文）按字母分解，其中英文的a 、b 、c 、…、z 的26个字母（不论大小写）依次对应1、2、3、…、给出如下一个变换公式：()()221126213 1262x x x x x x x x x +⎧∈≤≤⎪⎪'=⎨⎪+∈≤≤⎪⎩N N 不能被整除能被整除，　，，　，将明文转换成密文，如1613266＝＋→即f 变为p ；52199＝+→即i 变为e ．按上述规定，明文good 的密文是，密文gawqj 的明文是．（10）对一切实数x ，所有的二次函数()()b a c bx ax x f <++= 2的值均为非负实数，则cb a ab ++-的最大值是．三、解答题：本大题共5小题，共90分．要求写出解答过程．已知函数()a x x x x f ++=2cos cos sin 3（a 为常数）．（Ⅰ）求函数()x f 的最小正周期，并指出其单调减区间；（Ⅱ）若函数()x f 在⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，　上恰有两个x 的值满足()2=x f ，试求实数a 的取值范围．如图，点P 是矩形ABCD 所在平面外一点且⊥PA 平面ABCD ，1==AB PA ，2=BC ．（Ⅰ）求证：平面⊥PDC 平面PAD ；（Ⅱ）若E 是PD 的中点，求异面直线AE 与PC 所成角的余弦值；（Ⅲ）在BC 边上是否存在一点Q ，使得D 点到平面PAQ 的距离为1．若存在，求出BQ 的值；若不存在，请说明理由．如图，将一块直角三角形板ABO 放置于平面直角坐标系中，已知2==BO AB ，OB AB ⊥．点⎪⎭⎫ ⎝⎛211，　P 是三角板内一点，现因三角板中阴影部分（即△POB ）受到损坏，要把损坏部分锯掉，可用经过点P 的任一直线MN 将三角板锯成AMN ∆，设直线MN 的斜率为k ．（Ⅰ）试用k 表示AMN ∆的面积S ，并指出k 的取值范围；（Ⅱ）试求S 的最大值．已知数列{}n a 的各项均为正数，且11=a ，当2≥n 时，都有121n n a a n -=+-，记1211n T a a =++ (1)na +．（Ⅰ）试求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）证明：2<n T ；（Ⅲ）令111n n b a +=-，12n B b b =……n b ，试比较13n n -与n B 的大小．设定义在R 上的函数()e dx cx bx ax x f ++++=234，当1-=x 时，()x f 取得极大值32，并且函数()1-=x f y 的图象关于点()01，　对称．（Ⅰ）求()x f 的表达式；（Ⅱ）试在函数()x f 的图像上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在区间⎡⎣上；（Ⅲ）若212t t x -=，)133t ty -= ()t +∈R ，求证：()()43f x f y -<．\参考答案及评分标准一、选择题：本大题共4小题，每小题6分，共24分．（1）B （2）A （3）C （4）A 二、填空题：本大题共6小题，每小题6分，共36分．（5）44 （6）本小题答案不唯一，只要满足题设条件即为正确答案。

高二数学竞赛试题及答案

高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 设函数f(x) = x^2 - 4x + 3，下列说法正确的是（）A. 函数f(x)的最小值是-1B. 函数f(x)的图像与x轴有两个交点C. 函数f(x)的对称轴是x=2D. 函数f(x)在区间(-∞, 2)上单调递减答案：C2. 已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a_1 = 1，a_2 = 4，下列说法正确的是（）A. 公差d = 3B. S_3 = 15C. 第三项a_3 = 7D. 所有项的和S_n = n^2答案：A3. 已知圆的方程为(x-2)^2 + (y-3)^2 = 9，点P(1, 2)到圆心的距离是（）A. 1B. 2C. 3D. 4答案：C4. 已知函数g(x) = 2^x - 1，x ∈ [0, 1]，下列说法正确的是（）A. 函数g(x)在区间[0, 1]上单调递增B. 函数g(x)在区间[0, 1]上单调递减C. 函数g(x)在区间[0, 1]上先增后减D. 函数g(x)在区间[0, 1]上先减后增答案：A二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2，求f'(x) = _______。

答案：3x^2 - 6x2. 已知等比数列{b_n}的前n项和为T_n，且b_1 = 2，公比q = 3，求T_3 = _______。

答案：343. 已知直线方程为y = 2x + 3，求与该直线垂直的直线方程为_______。

答案：y = -1/2x + b（其中b为任意常数）4. 已知复数z = 1 + i，求z^2 = _______。

答案：2i三、解答题（每题15分，共30分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求函数的单调区间。

答案：函数f(x)的单调递增区间为(-∞, 1)和(3, +∞)，单调递减区间为(1, 3)。

2. 已知圆心在(0, 0)，半径为r的圆与直线y = x + 1相切，求圆的半径r。

台州高二数学竞赛试题及答案

台州高二数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 已知函数\( f(x) = 3x^2 - 4x + 5 \)，求\( f(2) \)的值。

A. 7B. 9C. 11D. 132. 根据题目给出的数列\( a_n = 2n - 1 \)，求第5项的值。

A. 3B. 5C. 7D. 93. 若\( \sin(\alpha) = \frac{3}{5} \)，\( \alpha \)在第一象限，求\( \cos(\alpha) \)的值。

A. \( \frac{4}{5} \)B. \( \frac{12}{13} \)C. \( \frac{16}{25} \)D. \( \frac{24}{25} \)4. 已知三角形ABC，\( AB = 5 \)，\( AC = 7 \)，\( BC = 8 \)，求\( \cos(\angle A) \)的值。

A. \( \frac{49}{85} \)B. \( \frac{56}{85} \)C. \( \frac{40}{63} \)D. 无法确定5. 已知圆的方程为\( x^2 + y^2 = 9 \)，求圆心到直线\( 2x - 3y+ 6 = 0 \)的距离。

A. 1B. 2C. 3D. 46. 一个等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

A. 29B. 32C. 35D. 38二、填空题（每题5分，共20分）7. 若\( a \)，\( b \)，\( c \)是三角形ABC的三边，且满足\( a^2 + b^2 = c^2 \)，则三角形ABC是_________。

8. 已知函数\( g(x) = x^3 - 2x^2 + x - 2 \)，求\( g(-1) \)的值。

9. 若\( \tan(\beta) = -1 \)，求\( \sin(\beta) \)和\( \cos(\beta) \)的值。

10. 已知函数\( h(x) = \log_2(x) \)，求\( h(16) \)的值。