大学物理A课件 10

（1）把物体从平衡位置向右拉到 x 0.05m 处停
下后再释放，求简谐振动方程； （2）求物体从初位置运动到第一次经过
A 处时的
速度；
2
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v0 0.30m s，1 求其振动方程.
x/m
o 0.05
解 （1） k 0.72N m1 6.0s1
d2x dt 2
2x
3）简谐振动的运动学描述 x Acos(t )
（在无外驱动力的情况下） v A sin(t )
➢ 简谐振动的特征 a 2 x
弹簧振子 k m 单摆 g l
（由振动系统本身性质决定）
x Acos(t )
T 2π 取 0
x xt图
A
o
T
A
v vt 图
3
A
π3
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
m 0.01kg
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
x 0.08cos(π t π ) 23
t 1.0s 代入上式得 x 0.069m
F kx m 2x 1.70103 N
（2）由起始位置振动到 x 0.04m 处所需要
的最短时间.
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
解法一 设由起始位置振动到 x 0.04m 处所
需要的最短时间为 t
0.04 0.08cos(π t π) 23
t 0.667s
解法二
t 时刻
t
π3 π3
0.08 0.04 o 0.04
t
v A sin(t ) A
o
Tt
A cos(t π ) A
2
a a t图
a A 2 cos(t ) A 2
o
Tt
A 2 cos(t π ) A 2
10.1.2 描述简谐振动的特征量
（1）振幅
A xmax
（2）周期、频率
x Acos(t )
x xt图
A
o
Tt
T
A
2
x cos y cos sintsin( ) （5）
A
B
以sin 乘以(3)式，sin 乘以(4)式后相减得
x sin y sin costsin( ) （6）
A
B
(5)式、(6)式分别平方后相加得合振动的轨迹方程
x2 A2
y2 B2
2 xy AB
cos(
)
sin2 (
)
此式表明，两个互相垂直的、频率相同的简谐振
3）初相位 (t 0) 描述质点初始时刻的运动状态.
( 取 [ π π] 或 [0 2π] )
（4）常数 A 和 的确定
x Acos(t ) v A sin(t )
初始条件 t 0 x x0 v v0
x0 A cos v0 Asin
A
x02
v02
2
tan v0 x0
对给定振动系统，周期由系统本身性质决定， 振幅和初相由初始条件决定.
态间变化所需的时间. (t2 ) (t1 )
2）对于两个同频率的简谐振动，相位差表示它 们间步调上的差异.（解决振动合成问题）
0同步 x
π 反相
x
超前
为其它
落后
x
o
o
o
t
t
t
例1 如图所示，一轻弹簧的右端连着一物体，弹
簧的劲度系数 k 0.72N m1，物体的质量 m 20g.
合振动的振幅 C A2 B2
2. 当 时
2
x2 y2 A2 B2 1
讨论 A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 1）相位差 2 1 2kπ (k 0，1， 2,)
xx
o
A1
o
A2
A
T
t
A A1 A2
2 1 2kπ
x ( A1 A2 ) cos(t )
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1) 2）相位差 2 1 (2k 1)π (k 0，1, )
x x1 x2
讨论 A1 A2 , 2 1 1 2 的情况
方法一
x x1 x2 A1 cos 2π 1t A2 cos 2π 2t
x
(2
A1
cos2π
2
1
2
t)
cos2π
2
1
2
t
振幅部分
合振动频率
x
(2
A1
cos2π
2
1
2
t
)
cos2π
2
1
2
t
振幅部分
合振动频率
振动频率 (1 2 ) 2
A A1 A2
3）一般情况
相互削弱
A1 A2 A A1 A2
*（2）多个同方向同频率简谐振动的合成
x1 A1 cos(t 1)
x2 A2 cos(t 2 )
xn An cos(t n )
x x1 x2 xn
x Acos(t ) o
A A3
3
A2
2
1 A1
x
作业
P339 10-13 10-14
§10.1 简谐振动 任一物理量在某一定值附近往复变化均称为振动.
机械振动 物体围绕一固定位置往复运动.
简谐振动 最简单、最基本的振动.
简谐振动
合成 分解
复杂振动
10.1.1 简谐振动的基本特征
1）物体受线性回复力作用 F kx 平衡位置 x 0
2）简谐振动的动力学描述
振幅
A
2 A1
cos 2π
2
1
2
t
Amax 2 A1 Amin 0
2π 2 1 T π
2
T 1
2 1
2 1
拍频（振幅变化的频率）
方法二：旋转矢量合成法
(2 1)t (2 1)
2t 2
2 A2
1t 1 o
x2
1
A1
x1
A
2 1
x
x
A
A2 1
A2 2
2A1 A2
cos
1 2 0
k A2
A（2 振幅的动力学意义）
线性回复力是保守力，作简谐振动的系统机械能守恒
x, v
简谐振动能量图
xt 0
o
t x Acost
T v t v A sint
能量
o T T T 3T 42 4
E 1 kA2 2
Ep
1 2
k A2
cos2 t
t Ek
1 2
m 2 A2
sin2 t
例 质量为 0.10kg的物体，以振幅 1.0102 m
Acos[(t T ) ]
周期 T 2π
频率 1
T 2π
圆频率 2π 2π
T
弹簧振子周期
注意
T 2π m
k
周期和频率仅与振动系 统本身的物理性质有关
（3）相位 t
1） t ( x, v) 存在一一对应的关系;
2）相位在 0 ~ 2π 内变化，质点无相同的运动状态；
相差 2nπ (n为整数 )质点运动状态全同.（周期性）
A2
A3
A4
A5
x
AA5A6AO4iAiA1AN3AA2x0
成一个闭合的多边形 .
A0
10.2.2 同一直线上两个频率相近的简谐振动的合成
频率较大而频率之差很小的两个同方向简谐振动的 合成，其合振动的振幅时而加强时而减弱的现象叫拍.
x1 A1 cos1t A1 cos 2π 1t
x2 A2 cos2t A2 cos 2π 2t
x1 A1 cost
x2 A2 cos(t π )
x (A2 A1) cos(t π)
x
x
A A1 A2
A1
2
o
o
2
Tt
A
A2
A A12 A22 2 A1A2 cos(2 1)
➢ 相位差
2 1
1）相位差 2k π (k 0，1，)
A A1 A2
相互加强
2）相位差 (2k 1) π (k 0，1，)
x1 A1 cos(t 1) x2 A2 cos(t 2 )
A2
A
x x1 x2
x Acos(t )
x 0
x22 1
A1 x1
x
A A12 A22 2A1A2 cos(2 1)
tan A1 sin 1 A2 sin 2
两个同方向同频 率简谐振动合成
A1 cos1 A2 cos2 后仍为简谐振动
起始时刻
x/m
0.08
t π
3
π s1
2
t 0.667s
10.1.4 简谐振动的能量
以弹簧振子为例
F kx x Acos(t )
v A sin(t )
Ek
1 2
mv2
1 2
m 2 A2
sin2 (t
)
Ep
1 2
k x2
1 2
k A2
cos2 (t
)
2 k /m
E
Ek
Ep
1 2
E Ek,max 2.0103 J
（4）物体在何处其动能和势能相等？
Ek Ep 时，
Ep 1.0103J
由
Ep
1 2
k x2
1 2
m 2 x2
x2
2Ep
m 2
0.5104 m2
x 0.707cm
§10.2 简谐振动的合成
10.2.1 同方向同频率简谐振动的合成
（1）两个同方向同频率简谐振动的合成
m
0.02kg
A
x02
v02
2
x0
0.05m
tan v0 0 x0
0 或π
oAx
由旋转矢量图可知 0
x Acos(t ) 0.05cos6.0t m
（2）求物体从初位置振动到第一次经过 A 处时的
速度；
2
解 x Acos(t ) Acos(t)
cos(t) x 1
A2
第10章 机械振动和机械波
第10章 机械振动和机械波
§10.1 简谐振动 §10.2 简谐振动的合成 §10.3 阻尼振动 受迫振动 共振 §10.4 机械波的几个概念 §10.5 平面简谐波 §10.6 波的能量 §10.7 波的叠加 §10.8 声波 超声波 次声波 §10.9 多普勒效应 §10.10 电磁波
作简谐振动，其最大加速度为 4.0m s2 ，求：
（1）振动的周期；
解:
amax A 2
amax 20s1
A
T 2π 0.314s
（2）通过平衡位置的动能；
Ek ,m a x
1 2
mvm2 ax
1 2
m 2
A2
2.0103 J
T 0.314s
Ek,max 2.0103J
（3）总能量；
动合成，其合振动的轨迹为一椭圆，而椭圆的形状
决定于分振动的相位差（－）。
讨论：
1. － 0 或 时
( x y )2 0 即 y B x
AB
A
合振动的轨迹是通过坐标原点
y B ba
-A
o Ax
的直线，如图所示。
-B
－ 0 时，相位相同，取正号，斜率为B/A。
－ 时，相位相反，取负号，斜率为-B/A。
（1）t 1.0s 时，物体所处的位置和所受的力；
v
x/m
0.08 0.04 o 0.04 0.08
解 A 0.08m
2π π s1
T2
A 0.08m
2π π s1
T2
t 0, x 0.04m 代入 x Acos(t )
0.04 0.08cos
π
3
v0 0
π
t π 或 5π
33
由旋转矢量图可知 t π
3
v A sint
A
o A Ax
2
0.26m s1 （负号表示速度沿 Ox轴负方向）
（3）如果物体在 x 0.05m 处时速度不等于零，
而是具有向右的初速度 v0 0.30m s，1 求其振动方程.
解 A＇
x02
v02
2
0.0707m
tan＇ v0 1 x0
o π 4 x
＇ π 或 3π
A＇
44
因为 v0 0 ，由旋转矢量图可知 ＇ π 4
x Acos(t ) 0.0707cos(6.0t π)
4
例2 一质量为 0.01kg 的物体作简谐振动，其振
幅为 0.08m，周期为 4s ，起始时刻物体在 x 0.04m
处，向Ox 轴负方向运动（如图）.试求
10.1.3 简谐振动的矢量图解法
用旋转矢量图画简谐振动的 x t 图
x A
x x Acos(t )
A
*
*
**
O
t O * T T * 3T T 5T
4* 2* 4
4
-A
-A
*
T 2π （旋转矢量旋转一周所需的时间）
讨论 ➢ 相位差：表示两个相位之差 .
1）对同一简谐振动，相位差可以给出两振动状
(2 1)t (2 1) 2π ( 2 1)t
A
A2 1
A2 2
2A1 A2
cos
(2 1)t
振幅 A A1 2(1 cos)
2 A1 cos(2
1
2
t)
来自百度文库
拍频 2 1
(2 1)t
A 2
A2
o
x2
1
A1
x1
x
x
1t 2t 2 1
（拍在声学和无线电技术中的应用）
振动圆频率 cost x1 x2
A
1 2
2
拍的振动曲线
10.2.3 相互垂直同频率的简谐振动的合成
两简谐振动为 x Acos(t ) （1）
y B cos(t ) （2）
改写为 x costcos sintsin （3）
A
y costcos sintsin （4）
B
以cos 乘以(3)式，cos 乘以(4)式，后相减得
多个同方向同频率简谐振动合成仍为简谐振动
x1 A0 cost
A x2 A0 cos(t )
x 3 A0 cos(t 2 ) xN A0 cos[t (N 1) ]
1） 2kπ
讨 论
(k 0,1,2,)
2）N 2k 'π
(k' kN, k' 1,2,)
N个矢量依次相接构
o
A1