[精品]2016-2017年安徽省合肥一中高一下学期期末数学试卷及解析答案word版
安徽省合肥市高一下学期期末数学试卷
安徽省合肥市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题;共24分)1. (2分) (2016高一下·蕲春期中) 如果a>b>0,那么下面一定成立的是()A . a﹣b<0B . ac>bcC . <D . a3<b32. (2分) (2016高二下·衡阳期中) 在△ABC中,若A=135°,B=30°,a= ,则b等于()A . 1B .C .D . 23. (2分)直线y=kx+3与圆相交于M、N两点,若,则k的取值范围为()A .B .C .D .4. (2分)(2017高二上·驻马店期末) 已知数列{an}为等比数列,Sn为其前n项和,且,则t=()A .B .C .D .5. (2分) (2017高二下·钦州港期末) 给出以下四个说法:①绘制频率分布直方图时,各小长方形的面积等于相应各组的组距;②在刻画回归模型的拟合效果时,相关指数R2的值越大,说明拟合的效果越好;③设随机变量ξ服从正态分布N(4,22),则p(ξ>4)=④对分类变量X与Y,若它们的随机变量K2的观测值k越小,则判断“X与Y有关系”的把握程度越大.其中正确的说法是()A . ①④B . ②③C . ①③D . ②④6. (2分)设二元一次不等式组所表示的平面区域为M,使函数y=ax(a>0,a≠1)的图象过区域M的a的取值范围是()A . [1,3]B . [2,]C . [2,9]D . [,9]7. (2分)若不论m取何实数,直线l:mx+y﹣1+2m=0恒过一定点,则该定点的坐标为()A . (﹣2,1)B . (2,﹣1)C . (﹣2,﹣1)D . (2,1)8. (2分)若数列的前n项和,,那么这个数列的前3项依次为()A . -1,1,3B . 2,1,0C . 2,1,3D . 2,1,69. (2分)(2017·桂林模拟) 某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A .B .C . 4D . 710. (2分) (2016高二上·曲周期中) 等差数列f(x)中,已知a1=﹣12,S13=0,使得an>0的最小正整数n为()A . 7B . 8C . 9D . 1011. (2分)圆锥的底面半径为1,母线长为2,顶点为S,轴截面为△SAB,C为SB的中点.若由A点绕侧面至点C,则最短路线长为()A .B . 3C .D .12. (2分) (2016高一下·惠阳期中) 在△ABC中,三内角A、B、C的对边分别是a、b、c.若4a2=b2+c2+2bc,sin2A=sinB•sinC,则△ABC的形状的形状为()A . 等边三角形B . 等腰三角形C . 直角三角形D . 等腰直角三角形二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分)已知直线l1:x+y-1=0,l2:x+y+a=0,且两直线间的距离为,则a=________.14. (1分)已知x,y,z∈R,且x+y+z=1,x2+y2+z2=3,则xyz的最大值是________15. (1分) (2018高二上·湖南月考) 在△ABC中,三个角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若角A、B、C成等差数列,且边a、b、c成等比数列,则△ABC的形状为________.16. (1分)(2018·海南模拟) 若一个长、宽、高分别为4,3,2的长方体的每个顶点都在球的表面上,则此球的表面积为________.三、解答题 (共6题;共55分)17. (5分)求经过直线l1:2x+3y﹣5=0,l2:3x﹣2y﹣3=0的交点且平行于直线2x+y﹣3=0的直线方程.18. (10分) (2016高一下·内江期末) 已知向量 =(sinA,cosA), =(cosB,sinB), =sin2C 且A、B、C分别为△ABC的三边a,b,c所对的角.(1)求角C的大小;(2)若sinA,sinC,sinB成等比数列,且 =18,求c的值..19. (10分) (2016高二上·河北期中) 如图,四棱锥P﹣ABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AB=AD=AC=3,PA=BC=4,M为线段AD上一点,AM=2MD,N为PC的中点.(1)证明:MN∥平面PAB;(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值.20. (10分)(2018·保定模拟) 已知数列满足:,且 .(1)求数列的通项公式;(2)若数列满足,且 .求数列的通项公式,并求其前项和 .21. (10分) (2017高二下·湖北期中) 某商场根据调查,估计家电商品从年初(1月)开始的x个月内累计的需求量p(x)(百件)为(1)求第x个月的需求量f(x)的表达式.(2)若第x个月的消售量满足(单位:百件),每件利润元,求该商场销售该商品,求第几个月的月利润达到最大值?最大是多少?(e6取值为403)22. (10分) (2015高三上·东莞期末) 已知各项为正的等比数列{an}的前n项和为Sn , S4=30,过点P(n,log2an)和Q(n+2,log2an+1)(n∈N*)的直线的一个方向向量为(﹣1,﹣1)(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn= ,数列{bn}的前n项和为Tn,证明:对于任意n∈N*,都有Tn .参考答案一、选择题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题;共55分) 17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、21-2、22-1、22-2、。
安徽高一高中数学期末考试带答案解析
安徽高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名:___________ 分数:___________一、选择题1.已知集合,则的子集共有()A.2个B.3个C.4个D.5个2.函数的定义域为()A.B.C.D.3.函数的零点所在区间是()A.B.C.D.4.等于()A.B.C.D.45.函数的图象的一条对称轴是()A.B.C.D.6.函数的部分图象如图所示,则的解析式为()A.B.C.D.7.已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一的表示成(为实数),则的取值范围是()A.B.C.D.8.设函数,将的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则的最小值等于()A.B.3C.6D.99.为平面上的定点,、、是平面上不共线的三点,若,则是()A.以为底边的等腰三角形B.以为斜边的直角三角形C.以为底边的等腰三角形D.以为斜边的直角三角形10.函数是偶函数,在区间上单调递减,则()A.B.C.D.11.已知函数,若是周期为的偶函数,则的一个可能值是()A.B.C.D.12.如图,分别是函数的图象与两条直线的两个交点,记,则的图象大致是()A.B.C.D.二、填空题1.已知,且与夹角为120°,则________.2.已知,则_______.3.计算:________.4.如图,矩形内放置5个边长均为的小正方形,其中在矩形的边上,且为的中点,则_______.三、解答题1.设、、分别是的边、、上的点,且,,若记,试用表示、.2.已知角的终边经过点,且,求的值.3.已知函数.(1)求函数的单调递增区间;(2)函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,再向右平移个单位长度,得的图象,求函数在上的最大值及最小值.4.已知点、、的坐标分别为、.(1)若,求角的值;(2)若,求的值.5.已知.(1)当时,求;(2)若,求当为何值时,的最小值为.6.已知集合是满足下列性质的函数的全体:存在非零常数,对任意,有成立.(1)函数是否属于集合?说明理由;(2)设函数(,且)的图像与的图像有公共点,证明:;(3)若函数,求实数的值.安徽高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知集合,则的子集共有()A.2个B.3个C.4个D.5个【答案】C【解析】,,所以的子集共有,故选C.【考点】1、集合的基本运算;2、集合的子集.2.函数的定义域为()A.B.C.D.【答案】D【解析】由题意令,解得,所以函数的定义域是,故选D.【考点】函数的定义域.3.函数的零点所在区间是()A.B.C.D.【答案】B【解析】,,,且函数在定义域内递增,所以在区间必有零点,故选B.【考点】零点定理的应用.4.等于()A.B.C.D.4【答案】D【解析】,故选D.【考点】1、对数的运算;2、换底公式.5.函数的图象的一条对称轴是()A.B.C.D.【答案】B【解析】由于正弦函数的对称轴经过图象的顶点,即对称轴对应的值使正弦函数取得最值,故有,即,时,,故选B.【考点】三角函数的图象和性质.6.函数的部分图象如图所示,则的解析式为()A.B.C.D.【答案】A【解析】由函数的图象可知,,因为函数的图象经过,,,,所以函数的解析式为,故选A.【考点】三角函数的图象和性质.【方法点睛】本题主要通过已知三角函数的图像求解析式考查三角函数的性质,属于中档题.求解析时求参数是确定函数解析式的关键,由特殊点求时,一定要分清特殊点是“五点法”的第几个点,用五点法求值时,往往以寻找“五点法”中的第一个点为突破口,“第一点”(即图象上升时与轴的交点)时;“第二点”(即图象的“峰点”)时;“第三点”(即图象下降时与轴的交点)时;“第四点”(即图象的“谷点”)时;“第五点”时.7.已知平面直角坐标系内的两个向量,且平面内的任一向量都可以唯一的表示成(为实数),则的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】根据题意,向量、是不共线的向量,,由向量、不共线解之得,所以实数的取值范围是,故选D.【考点】1、平面向量基本定理;2、向量共线的条件.8.设函数,将的图像向右平移个单位长度后,所得的图像与原图像重合,则的最小值等于()A.B.3C.6D.9【答案】C【解析】的周期,函数图象平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数平移整数个周期,.令,可得,故选C.【考点】三角函数周期性及图象的变换.9.为平面上的定点,、、是平面上不共线的三点,若,则是()A.以为底边的等腰三角形B.以为斜边的直角三角形C.以为底边的等腰三角形D.以为斜边的直角三角形【答案】C【解析】设的中点为,,,,,故的边上的中线是高线,故是以为底边的等腰三角形,故选C.【考点】1、向量的线性运算;2、平面向量的数量积.10.函数是偶函数,在区间上单调递减,则()A.B.C.D.【答案】A【解析】因为在上单调递减,所以在上单调递减,是偶函数,在上单调递增,又,故选A.【考点】1、函数的单调性;2、函数的奇偶性.11.已知函数,若是周期为的偶函数,则的一个可能值是()A.B.C.D.【答案】B【解析】,,由得,由为偶函数得,,时,,故选B.【考点】1、三角函数的奇偶性;2、三角函数的周期性.【方法点睛】本题主要考查三角函数的奇偶性和周期性,属于中档题.已知的奇偶性求时,往往结合正弦函数及余弦函数的奇偶性和诱导公式来解答:(1)时,是奇函数;(2)时,是偶函数.12.如图,分别是函数的图象与两条直线的两个交点,记,则的图象大致是()A.B.C.D.【答案】C【解析】如图所示,作曲线的对称轴,点与点关于直线对称,点与点关于直线对称,所以,所以,.又点与点点与点都关于点对称,所以,所以,得,所以(常数),故选C.【考点】1、三角函数的对称性;2、三角函数的周期性.【思路点睛】本题主要考察三角函数的图象和性质,属于难题.解答本题主要围绕直线与关于轴对称结合关于点成中心对称,再利用的两条对称轴,得到与,与成轴对称,最后根据以上对称性转化成横坐标的等量关系,通过运算得到为常数,进而得出的图象为直线.二、填空题1.已知,且与夹角为120°,则________.【答案】【解析】,且与夹角为,,,,故答案为.【考点】1、平面向量模与夹角;2、平面向量的数量积.2.已知,则_______.【答案】【解析】,故答案为.【考点】两角差的正切公式.3.计算:________.【答案】【解析】,故答案为.【考点】1、诱导公式;2、两角和的正弦公式.【方法点睛】本题主要考查诱导公式以及两角和的正弦公式,属于中档题.给角求值问题往往给出的角是非特殊角,求值时要注意:(1)观察角,分析角与角之间的差异以及角与角之间的和、差、倍的关系,巧用诱导公式或拆分技巧;(2)观察名,尽可能使三角函数统一名称;(3)观察结构,以便合理利用公式,整体化简求值.4.如图,矩形内放置5个边长均为的小正方形,其中在矩形的边上,且为的中点,则_______.【答案】【解析】设,则,,,,所以=,故答案为.【考点】1、平面向量的几何运算;2、平面向量的数量积.【思路点睛】本题主要考查平面向量的几何运算及平面向量的数量积,属于难题.解决本题的关键是从复杂的图形之中提炼出两个模为,且他们的数量积为零的两个向量,然后再将题设中所需向量用表示出来,,,最后利用向量的运算法则求出的值.三、解答题1.设、、分别是的边、、上的点,且,,若记,试用表示、.【答案】,.【解析】根据向量加法的三角形法则先将表示为的和而,表示为的和,最后用表示、.试题解析:;【考点】平面向量的运算.2.已知角的终边经过点,且,求的值.【答案】【解析】因为,根据三角函数定义可得,两式相等得,进而得点坐标,再由三角函数定义得和的值,最后可得的值.试题解析:∵,∴点到原点的距离.又,∴.∵,∴,∴.当时,点坐标为,由三角函数的定义,有,,∴【考点】三角函数的基本定义.3.已知函数.(1)求函数的单调递增区间;(2)函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,再向右平移个单位长度,得的图象,求函数在上的最大值及最小值.【答案】(1);(2)最小值,最大值.【解析】(1)先化简令得的单调递增区间为;(2)函数的图象上所有点的横坐标扩大到原来的倍,再向右平移个单位,得,因为得:,所以,最小值,最大值.试题解析:(1)由得,所以函数的单调递增区间为(2)函数的图像上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,再向右平移个单位,得,因为得:,所以.所以当时,有最小值,当时,有最大值.【考点】1、三角函数的单调性;2、三角函数的图像变换及最值.【方法点睛】本题主要考查三角函数的单调性、三角函数的图象变换及最值,属于中档题.的函数的单调区间的求法:(1)代换法:①若,把看作是一个整体,由求得函数的减区间,求得增区间;②若,则利用诱导公式先将的符号化为正,再利用①的方法,或根据复合函数的单调性规律进行求解;(2)图象法:画出三角函数图象,利用图象求函数的单调区间.4.已知点、、的坐标分别为、.(1)若,求角的值;(2)若,求的值.【答案】(1);(2).【解析】(1)先把坐标表示,再由得,进而得;(2)由得,即,所以.试题解析:(1)∵,∴,,由得.又∵,∴.(2)由,得.∴.又.由①式两边平方得,∴.∴【考点】1、向量的模及数量积公式;2、同角三角函数之间的关系.5.已知.(1)当时,求;(2)若,求当为何值时,的最小值为.【答案】(1);(2).【解析】(1)先求的坐标,再求;(2),设,则化为,三种情况讨论分别求出最小值只有合题意.试题解析:(1)=.(2)令,则,且,所以.所以可化为,对称轴.①当,即时,,由,得,所以.因为,所以此时无解.②当,即时.由,得.③当,即时,.由,得,所以.因为,所以此时无解.综上所述,当时,的最小值为.【考点】1、向量的模及向量的数量积公式;2、换元法求最值及二次函数在闭区间上的最值.【方法点睛】本题主要考查向量的模及向量的数量积公式、换元法求最值及二次函数在闭区间上的最值,属于难题.求二次函数在区间上的最小值的讨论方法:(1)当时,(2)当时,(3)时,.本题讨论的最小值时就是按这种思路进行的.6.已知集合是满足下列性质的函数的全体:存在非零常数,对任意,有成立.(1)函数是否属于集合?说明理由;(2)设函数(,且)的图像与的图像有公共点,证明:;(3)若函数,求实数的值.【答案】(1);(2)证明解析;(3).【解析】(1)当时,对于非零常数,,又对任意不恒成立,∴函数;(2)由题意得方程组有解,消去得,显然不是方程的解,∴存在非零常数,使.∴,∴;(3)当时,显然;当时,∵,∴存在非零常数,对任意,有成立,可得,当时,恒成立,则;当时,成立,即.综上所得,实数的取值范围是.试题解析:(1)当时,对于非零常数,,又对任意不恒成立,∴函数.(2)由题意得方程组有解,消去得,显然不是方程的解,∴存在非零常数,使.∴,∴.(3)当时,,显然.当时,∵,∴存在非零常数,对任意,有成立,即恒成立.又,∴,∴,∴,当时,恒成立,则.当时,成立,即成立,则,即.即.综上所得,实数的取值范围是.【考点】1、集合与元素的关系;2、三角函数的周期性.【方法点睛】本题通过新定义集合考查集合与元素的关系以及三角函数的周期性及诱导公式,属于难题.遇到新定义问题,应耐心读题,分析新定义的特点,弄清新定义的性质,按新定义的要求,“照章办事”,逐条分析、验证、运算,使问题得以解决.本题三问都是围绕这一重要性质排除、验证、推导的.。
【全国百强校】安徽省2016-2017学年高一下学期期末考试数学试题+答案
2017-2018学年第二学期高一年级期末考试数学试卷一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. ( )A. B. C. D.2. 已知为同一平面内的四个点,若,则向量等于()A. B. C. D.3. 已知向量,则()A. B. C. D.4. 定义行列式运算:,若将函数的图象向右平移个单位后,所得图象对应的函数为偶函数,则的最小值是()A. B. C. D.5. 为平面上的定点,是平面上不共线的三点,若,则是()A. 以为底边的等腰三角形B. 以为斜边的直角三角形C. 以为底边的等腰三角形D. 以为斜边的直角三角形6. 如图,直径,为圆心,为半圆上不同于的任意一点,若为半径上的动点,则的最小值等于()A. B. C. D.7. 已知当时,函数取最大值,则函数图象的一条对称轴为()A. B. C. D.8. 已知为内一点,且,,则为()A. B. C. D.9. 已知是边长为1的等边三角形,点分别是边的中点,连接并延长到点,使得,则的值为()A. B. C. D.10. 设,,且,则()A. B. C. D.11. 已知函数,则的最小正周期为()A. B. C. D.12. 在直角梯形中,,分别为的中点,以为圆心,为半径的圆交于,点在圆弧上运动(如图).若,其中,则的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)13. 已知向量满足,则向量在向量方向上的投影为________.14. 在中,若,则角________.15. 化简的值为__________.16. 已知为的外接圆圆心,,,若,且,则__________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17. 已知,,.(1)求的值;(2)求的值.18. 已知向量.(1)若与垂直,求的值;(2)求的最大值.19. 已知向量,其中.若函数的图象关于原点对称,且相邻两条对称轴间的距离为.(1)求图象所有的对称轴方程;(2)将函数的图象沿轴方向向右平移个单位长度,再把横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),得到函数的图象,当时,求方程所有的解.20. 已知函数.(1)求的单调递增区间;(2)若对任意恒成立,求实数的取值范围.21. 已知函数.(1)求满足的实数的取值集合;(2)当时,若函数在的最大值为2,求实数的值.22. 如图,已知是半径为,圆心角为的扇形,是该扇形弧上的动点,是扇形的内接矩形,其中在线段上,在线段上,记为.(1)若的周长为,求的值;(2)求的最大值,并求此时的值.一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1. ( )A. B. C. D.【答案】D【解析】,故选D.2. 已知为同一平面内的四个点,若,则向量等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】∵,∴点共线,且为中点,则点的位置有5种情况,如图:(1)∵,∴;(2);(3);(4);(5);故选A.3. 已知向量,则()A. B. C. D.【答案】B因为,故,故选B.4. 定义行列式运算:,若将函数的图象向右平移个单位后,所得图象对应的函数为偶函数,则的最小值是()A. B. C. D.【答案】B【解析】将函数的图象向右平移()个单位后,可得的图象,根据所得图象对应的函数为偶函数,可得,即,所以的最小值是,故选B.5. 为平面上的定点,是平面上不共线的三点,若,则是()A. 以为底边的等腰三角形B. 以为斜边的直角三角形C. 以为底边的等腰三角形D. 以为斜边的直角三角形【答案】C【解析】∵,∴,即.两边同时加,得,即,∴.∴是以为底边的等腰三角形,故选C.6. 如图,直径,为圆心,为半圆上不同于的任意一点,若为半径上的动点,则的最小值等于()A. B. C. D.【答案】A【解析】试题分析:因为为中点,所以必有,则,当且仅当时,可取得最小值为,故本题正确选项为A.考点:向量的运算.7. 已知当时,函数取最大值,则函数图象的一条对称轴为()A. B. C. D.【答案】A【解析】略8. 已知为内一点,且,,则为()A. B. C. D.【答案】D【解析】如图:设、分别为、的中点,∵,∴,,同理由,即,∴.∴到的距离等于到的距离的,设的面积为S,则,故为,故选D.点睛:本题考查向量在几何中的应用、共线向量的意义,两个同底的三角形的面积之比等于底上的高之比,体现了数形结合的数学思想;根据已知的等式变形可得,,从而得出到的距离等于到的距离的即可解决问题.9. 已知是边长为1的等边三角形,点分别是边的中点,连接并延长到点,使得,则的值为()A. B. C. D.【答案】B【解析】试题分析:设,,∴,,,∴.【考点】向量数量积【名师点睛】研究向量的数量积问题,一般有两个思路,一是建立直角坐标系,利用坐标研究向量数量积;二是利用一组基底表示所有向量,两种实质相同,坐标法更易理解和化简. 平面向量的坐标运算的引入为向量提供了新的语言——“坐标语言”,实质是将“形”化为“数”.向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可用坐标来进行,实现了向量运算完全代数化,将数与形紧密结合起来.10. 设,,且,则()A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得,根据三角函数的基本关系式可得,又,即,因为,所以,即,故选B。
安徽合肥市数学高一下期末经典测试题(含答案解析)
一、选择题1.(0分)[ID :12707]某程序框图如图所示,若输出的S=57,则判断框内为 A .k >4? B .k >5? C .k >6?D .k >7?2.(0分)[ID :12703]已知ABC ∆是边长为4的等边三角形,P 为平面ABC 内一点,则•()PA PB PC +的最小值是()A .6-B .3-C .4-D .2-3.(0分)[ID :12692]已知数列{}n a 的前n 项和22n S n n =+,那么它的通项公式是( ) A .21n a n =- B .21n a n =+ C .41n a n =-D .41n a n =+4.(0分)[ID :12689]函数()23sin 23f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭的一个单调递增区间是 A .713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .7,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C .,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .5,66ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ 5.(0分)[ID :12680]已知曲线C 1:y =cos x ,C 2:y =sin (2x +2π3),则下面结论正确的是( ) A .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2B .把C 1上各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 2C .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向右平移π6个单位长度,得到曲线C 2D .把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到曲线C 26.(0分)[ID :12679]《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有女子善织,日益功,疾,初日织五尺,今一月织九匹三丈(1匹=40尺,一丈=10尺),问日益几何?”其意思为:“有一女子擅长织布,每天比前一天更加用功,织布的速度也越来越快,从第二天起,每天比前一天多织相同量的布,第一天织5尺,一月织了九匹三丈,问每天增加多少尺布?”若一个月按30天算,则每天增加量为A .12尺 B .815尺 C .1629尺 D .1631尺 7.(0分)[ID :12678]当x ∈R 时,不等式210kx kx -+>恒成立,则k 的取值范围是( ) A .(0,)+∞B .[)0,+∞C .[)0,4D .(0,4)8.(0分)[ID :12674]已知ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ,且2cos 2b C a c ⋅=+,若3b =,则ABC ∆的外接圆面积为( )A .48π B .12πC .12πD .3π9.(0分)[ID :12635]已知01a b <<<,则下列不等式不成立...的是 A .11()()22ab>B .ln ln a b >C .11a b> D .11ln ln a b> 10.(0分)[ID :12670]已知()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩,若存在三个不同实数a ,b ,c 使得()()()f a f b f c ==,则abc 的取值范围是( ) A .(0,1)B .[-2,0)C .(]2,0-D .(0,1)11.(0分)[ID :12665]设函数,则()sin 2cos 244f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则( ) A .()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,其图象关于直线4x π=对称 B .()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增,其图象关于直线2x π=对称 C .()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,其图象关于直线4x π=对称 D .()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递减,其图象关于直线2x π=对称12.(0分)[ID :12649]若tan()24πα+=,则sin cos sin cos αααα-=+( )A .12B .2C .2-D .12-13.(0分)[ID :12646]已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -,()(),00B m m >,若圆C 上存在点P ,使得90APB ∠=︒,则m 的最大值为( )A .7B .6C .5D .414.(0分)[ID :12677]已知{}n a 的前n 项和241n S n n =-+,则1210a a a +++=( ) A .68 B .67 C .61 D .60 15.(0分)[ID :12657]函数()(1)lg(1)35f x x x x =-+--的零点个数为( )A .3B .2C .1D .0二、填空题16.(0分)[ID :12824]在区间[﹣2,4]上随机地取一个数x ,若x 满足|x|≤m 的概率为,则m= _________ .17.(0分)[ID :12812]奇函数()f x 对任意实数x 都有(2)()f x f x +=-成立,且01x 时,()21xf x =-,则()2log 11f =______.18.(0分)[ID :12790]已知0,0,2a b a b >>+=,则14y a b=+的最小值是__________. 19.(0分)[ID :12779]如图是抛物线形拱桥,当水面在l 时,拱顶离水面2米,水面宽4米,水位下降1米后,水面宽 米.20.(0分)[ID :12757]在200m 高的山顶上,测得山下一塔顶与塔底的俯角分别是30°,60°,则塔高 为21.(0分)[ID :12738]已知函数42,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,若1[()]2f f a =-,则a 的值是________.22.(0分)[ID :12730]若1tan 46πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,则tan α=____________. 23.(0分)[ID :12763]已知函数()2,01,0x x f x x x >⎧=⎨+≤⎩若()()10f a f +=,则实数a 的值等于________.24.(0分)[ID :12751]如图,在正方体1111ABCD A B C D -中,点E 是棱1CC 上的一个动点,平面1BED 交棱1AA 于点F .下列命题正确的为_______________.①存在点E ,使得11A C //平面1BED F ; ②对于任意的点E ,平面11AC D ⊥平面1BED F ; ③存在点E ,使得1B D ⊥平面1BED F ;④对于任意的点E ,四棱锥11B BED F -的体积均不变. 25.(0分)[ID :12810]若三点1(2,3),(3,2),(,)2A B C m --共线,则m 的值为 .三、解答题26.(0分)[ID :12917]解关于x 的不等式2(1)10()ax a x a R -++>∈.27.(0分)[ID :12887]已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωφωφ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的部分图象如图所示.(1)求()f x 的解析式;(2)求()f x 的单调增区间并求出()f x 取得最小值时所对应的x 取值集合. 28.(0分)[ID :12878]已知矩形ABCD 的两条对角线相交于点20M (,),AB 边所在直线的方程为360x y --=,点11T -(,)在AD 边所在直线上. (1)求AD 边所在直线的方程; (2)求矩形ABCD 外接圆的方程.29.(0分)[ID :12852]已知函数2()4f x x ax =-++,()|1||1|g x x x =++-. (1)当1a =时,求不等式()()f x g x ≥的解集;(2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[–1,1],求a 的取值范围.30.(0分)[ID :12835]以原点为圆心,半径为r 的圆O 222:()0O x y r r +=>与直线380x y --=相切.(1)直线l 过点(2,6)-且l 截圆O 所得弦长为43求直线l l 的方程;(2)设圆O 与x 轴的正半轴的交点为M ,过点M 作两条斜率分别为12,k k 12,k k 的直线交圆O 于,A B 两点,且123k k ⋅=-,证明:直线AB 恒过一个定点,并求出该定点坐标.【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1.A2.A3.C4.A5.D6.C7.C8.D9.B10.C11.D12.D13.B14.B15.B二、填空题16.3【解析】【分析】【详解】如图区间长度是6区间﹣24上随机地取一个数x若x满足|x|≤m的概率为若m对于3概率大于若m小于3概率小于所以m=3故答案为317.【解析】【分析】易得函数周期为4则结合函数为奇函数可得再由时即可求解【详解】则又则故答案为:【点睛】本题考查函数奇偶性与周期性的综合应用具体函数值的求法属于中档题18.【解析】分析:利用题设中的等式把的表达式转化成展开后利用基本不等式求得y的最小值详解:因为所以所以(当且仅当时等号成立)则的最小值是总上所述答案为点睛:该题考查的是有关两个正数的整式形式和为定值的情19.2米【解析】【分析】【详解】如图建立直角坐标系设抛物线方程为将A(2-2)代入得m=-2∴代入B得故水面宽为米故答案为米考点:抛物线的应用20.【解析】【分析】【详解】试题分析:根据题意设塔高为x则可知a表示的为塔与山之间的距离可以解得塔高为考点:解三角形的运用点评:主要是考查了解三角形中的余弦定理和正弦定理的运用属于中档题21.-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题 22.【解析】故答案为 23.-3【解析】【分析】先求再根据自变量范围分类讨论根据对应解析式列方程解得结果【详解】当a>0时2a=-2解得a=-1不成立当a≤0时a+1=-2解得a=-3【点睛】求某条件下自变量的值先假设所求的值24.①②④【解析】【分析】根据线面平行和线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理和性质分别进行判断即可【详解】①当为棱上的一中点时此时也为棱上的一个中点此时//满足//平面故①正确;②连结则平面因为平面 25.【解析】试题分析:依题意有即解得考点:三点共线三、解答题 26. 27. 28. 29. 30.2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1.A 解析:A 【解析】试题分析:由程序框图知第一次运行112,224k S =+==+=,第二次运行213,8311k S =+==+=,第三次运行314,22426k S =+==+=,第四次运行4154,52557k S =+=>=+=,输出57S =,所以判断框内为4?k >,故选C.考点:程序框图.2.A解析:A 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系,表示出点的坐标,利用向量坐标运算和平面向量的数量积的运算,求得最小值,即可求解. 【详解】由题意,以BC 中点为坐标原点,建立如图所示的坐标系, 则(0,23),(2,0),(2,0)A B C -,设(,)P x y ,则(,23),(2,),(2,)PA x y PB x y PC x y =--=---=--, 所以22()(2)(23)(2)2432PA PB PC x x y y x y y •+=-⋅-+-⋅-=-+222[(3)3]x y =+--,所以当0,3x y ==时,()PA PB PC •+取得最小值为2(3)6⨯-=-, 故选A.【点睛】本题主要考查了平面向量数量积的应用问题,根据条件建立坐标系,利用坐标法是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.3.C解析:C 【解析】分类讨论:当1n =时,11213a S ==+=,当2n ≥时,221(2)2(1)141n n n a S S n n n n n -⎡⎤=-=+--+-=-⎣⎦, 且当1n =时:1414113n a -=⨯-== 据此可得,数列的通项公式为:41n a n =-. 本题选择C 选项.4.A解析:A【解析】 【分析】首先由诱导公式对函数的解析式进行恒等变形,然后求解其单调区间即可. 【详解】 函数的解析式即:()223sin 23sin 233f x x x ππ⎛⎫⎛⎫=-=-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,其单调增区间满足:()23222232k x k k Z πππππ+≤-≤+∈, 解得:()7131212k x k k Z ππππ+≤≤+∈, 令0k =可得函数的一个单调递增区间为713,1212ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 故选A . 【点睛】本题主要考查诱导公式的应用,三角函数单调区间的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.5.D解析:D 【解析】把C 1上各点的横坐标缩短到原来的12倍,纵坐标不变,得到函数y=cos2x 图象,再把得到的曲线向左平移π12个单位长度,得到函数y=cos2(x +π12)=cos (2x +π6)=sin (2x +2π3)的图象,即曲线C 2, 故选D .点睛:三角函数的图象变换,提倡“先平移,后伸缩”,但“先伸缩,后平移”也常出现在题目中,所以也必须熟练掌握.无论是哪种变形,切记每一个变换总是对字母x 而言. 函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数π()k k Z ϕ⇔=∈;函数sin()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈;函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是奇函数ππ+()2k k Z ϕ⇔=∈;函数cos()()y A x x R ωϕ=+∈是偶函数π()k k Z ϕ⇔=∈.6.C解析:C 【解析】试题分析:将此问题转化为等差数列的问题,首项为,,求公差,,解得:尺,故选C.考点:等差数列7.C解析:C 【解析】当0k =时,不等式210kx kx -+>可化为10>,显然恒成立;当0k ≠时,若不等式210kx kx -+>恒成立,则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点,则240k k k >⎧⎨=-<⎩解得:04k <<,综上k 的取值范围是[)0,4,故选C. 8.D解析:D 【解析】 【分析】 先化简得23B π=,再利用正弦定理求出外接圆的半径,即得ABC ∆的外接圆面积. 【详解】由题得222222a b c b a c ab+-⋅=+,所以22222a b c a ac +-=+, 所以222a b c ac -+=-, 所以12cos ,cosB 2ac B ac =-∴=-, 所以23B π=.,R R ∴= 所以ABC ∆的外接圆面积为=3ππ. 故选D 【点睛】本题主要考查正弦定理余弦定理解三角形,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9.B解析:B 【解析】 【分析】根据指数函数、对数函数的单调性,以及不等式的性质,对选项逐一分析,由此得出不等式不成立的选项.【详解】依题意01a b <<<,由于12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭为定义域上的减函数,故11()()22a b >,故A 选项不等式成立.由于ln y x =为定义域上的增函数,故ln ln 0a b <<,则11ln ln a b>,所以B 选项不等式不成立,D 选项不等式成立.由于01a b <<<,故11a b>,所以C 选项不等式成立.综上所述,本小题选B. 【点睛】本小题主要考查指数函数和对数函数的单调性,考查不等式的性质,属于基础题.10.C解析:C 【解析】 【分析】画出函数图像,根据图像得到20a -<≤,1bc =,得到答案. 【详解】()201911,02log ,0x x f x x x ⎧+≤⎪=⎨⎪>⎩,画出函数图像,如图所示:根据图像知:20a -<≤,20192019log log b c -=,故1bc =,故20abc -<≤. 故选:C .【点睛】本题考查了分段函数的零点问题,画出函数图像是解题的关键.11.D解析:D 【解析】()sin(2)cos(2)2)22442f x x x x x πππ=+++=+=,由02,x π<<得02x π<<,再由2,x k k Z ππ=+∈,所以,22k x k Z ππ=+∈. 所以y=f(x)在()y f x =在(0,)2π单调递减,其图象关于直线2x π=对称,故选D.12.D解析:D 【解析】 由tan()24πα+=有tan 112,tan 1tan 3ααα+==-,所以11sin cos tan 1131sin cos tan 1213αααααα---===-+++,选D.点睛:本题主要考查两角和的正切公式以及同角三角函数的基本关系式,属于中档题。
安徽高一高中数学期末考试带答案解析
安徽高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名:___________ 分数:___________一、选择题1.已知中,,,,那么角等于()A.B.C.D.2.在△ABC中,若,则等于()A.1B.C.D.3.如图所示为一平面图形的直观图,则此平面图形可能是图中的()4.等腰三角形一腰上的高是,这条高与底边的夹角为,则底边长=()A.2B.C.3D.5.在△ABC中,若,则A等于()A.B.C.D.6.在△ABC中,若,则其面积等于()A.12B.C.28D.7.在△ABC 中,sinA:sinB:sinC=3:2:4,则cosC的值为()A.B.-C.D.-8.已知:,,,则与的位置关系是()A.B.C.,相交但不垂直D.,异面9.下列命题中正确的个数是()①若直线a不在α内,则a∥α;②若直线l上有无数个点不在平面α内,则l∥α;③若直线l与平面α平行,则l与α内的任意一条直线都平行;④若l 与平面α平行,则l 与α内任何一条直线都没有公共点; ⑤平行于同一平面的两直线可以相交. A .1 B .2 C .3D .410.A 为△ABC 的内角,且A 为锐角,则的取值范围是( )A .B .C .D .二、填空题1.在△ABC 中,若_________。
2.在△ABC 中,若_________。
3.如图所示,ABCD -A 1B 1C 1D 1是棱长为a 的正方体,M ,N 分别是下底面的棱A 1B 1,B 1C 1的中点,P 是上底面的棱AD 上的一点,AP =,过P ,M ,N 的平面交上底面于PQ ,Q 在CD 上,则PQ =________.4.在△ABC 中,若AB =,AC =5,且cosC =,则BC =________.5.一船以每小时15km 的速度向东航行,船在A 处看到一个灯塔B 在北偏东,行驶4h 后,船到达C 处,看到这个灯塔在北偏东,这时船与灯塔的距离为 km .三、解答题1.已知a =3,c =2,B =150°,求边b 的长及S △.2.△ABC 中,,求。
合肥市第一中学数学高一下期末经典习题(培优提高)
一、选择题1.(0分)[ID :12722]ABC 中,已知sin cos cos a b cA B C==,则ABC 为( ) A .等边三角形 B .等腰直角三角形 C .有一个内角为30°的直角三角形 D .有一个内角为30°的等腰三角形2.(0分)[ID :12720]如图,在ABC ∆中,已知5AB =,6AC =,12BD DC =,4AD AC ⋅=,则AB BC ⋅=A .-45B .13C .-13D .-373.(0分)[ID :12715]设集合{1,2,3,4}A =,{}1,0,2,3B =-,{|12}C x R x =∈-≤<,则()A B C =A .{1,1}-B .{0,1}C .{1,0,1}-D .{2,3,4}4.(0分)[ID :12706]已知ABC 为等边三角形,2AB =,设P ,Q 满足AP AB λ=,()()1AQ AC λλ=-∈R ,若32BQ CP ⋅=-,则λ=( )A .12B 12± C 110± D 322± 5.(0分)[ID :12705]已知()()()sin cos ,02f x x x πωϕωϕωϕ=+++>,<,()f x 是奇函数,直线2y =与函数()f x 的图象的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π,则( )A .()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减B .()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减C .()f x 在0,4π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 D .()f x 在3,88ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增 6.(0分)[ID :12696]已知函数y=f (x )定义域是[-2,3],则y=f (2x-1)的定义域是( )A .50,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦B .[]1,4-C .1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D .[]5,5-7.(0分)[ID :12694]设l ,m 是两条不同的直线,α是一个平面,则下列命题正确的是( )A .若l m ⊥,m α⊂,则l α⊥B .若l α⊥,//l m ,则m α⊥C .若//l α,m α⊂,则//l mD .若//l α,//m α,则//l m8.(0分)[ID :12693](2015新课标全国I 理科)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著,书中有如下问题:“今有委米依垣内角,下周八尺,高五尺.问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图,米堆为一个圆锥的四分之一),米堆底部的弧长为8尺,米堆的高为5尺,问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知1斛米的体积约为1.62立方尺,圆周率约为3,估算出堆放的米约有A .14斛B .22斛C .36斛D .66斛9.(0分)[ID :12691]已知不等式220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<,则不等式220x bx a ++<的解集为( )A .112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭B .112x x x ⎧⎫<->⎨⎬⎩⎭或 C .{}21x x -<<D .{}21x x x <->或10.(0分)[ID :12678]当x ∈R 时,不等式210kx kx -+>恒成立,则k 的取值范围是( ) A .(0,)+∞B .[)0,+∞C .[)0,4D .(0,4)11.(0分)[ID :12633]阅读如图所示的程序框图,运行相应的程序,若输入N 的值为20,则输出T 的值为A .1B .2C .3D .412.(0分)[ID :12630]已知两个正数a ,b 满足321a b +=,则32a b+的最小值是( ) A .23B .24C .25D .2613.(0分)[ID :12650]下列四个正方体图形中,A ,B 为正方体的两个顶点,M ,N ,P 分别为其所在棱的中点,能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是( )A .①③B .②③C .①④D .②④14.(0分)[ID :12639]在ABC ∆中,内角,,A B C 所对的边分别是,,a b c .已知5a =,7b =,8c =,则A C +=A .90︒B .120︒C .135︒D .150︒15.(0分)[ID :12711]设集合{}1,2,4A =,{}240B x x x m =-+=.若{}1A B ⋂=,则B = ( ) A .{}1,3-B .{}1,0C .{}1,3D .{}1,5二、填空题16.(0分)[ID :12821]已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1,除面ABCD 外,该正方体其余各面的中心分别为点E ,F ,G ,H ,M (如图),则四棱锥M EFGH -的体积为__________.17.(0分)[ID :12808]一个空间几何体的三视图及部分数据如图所示,则这个几何体的体积是___________18.(0分)[ID :12806]设a ,b ,c 分别为ABC ∆内角A ,B ,C 的对边.已知233a b c-=,则222a c b ac +-的取值范围为______. 19.(0分)[ID :12798]若,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,则sin α=_________20.(0分)[ID :12771]已知l ,m 是平面α外的两条不同直线.给出下列三个论断:①l ⊥m ;②m ∥α;③l ⊥α.以其中的两个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出一个正确的命题:__________.21.(0分)[ID :12738]已知函数42,0()log ,0x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩,若1[()]2f f a =-,则a 的值是________.22.(0分)[ID :12765]设α为锐角,若4cos()65πα+=,则sin(2)12πα+的值为______.23.(0分)[ID :12754]某三棱锥的三视图如下图所示,正视图、侧视图均为直角三角形,则该三棱锥的四个面中,面积最大的面的面积是 .24.(0分)[ID :12785]等边ABC ∆的边长为2,则AB 在BC 方向上的投影为________. 25.(0分)[ID :12749]若两个向量a 与b 的夹角为θ,则称向量“a b ⨯”为向量的“外积”,其长度为sin a b a b θ⨯=.若已知1a =,5b =,4a b ⋅=-,则a b ⨯= . 三、解答题26.(0分)[ID :12888]设ABC ∆的内角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ,且4cos ,25B b ==.(1)当π6A =时,求a 的值; (2)当ABC ∆的面积为3时,求a+c 的值.27.(0分)[ID :12880]已知二次函数()f x 满足()(1)2f x f x x -+=-且(0)1f =. (1)求()f x 的解析式;(2)当[1,1]x ∈-时,不等式()2x m f x >+恒成立,求实数m 的取值范围. 28.(0分)[ID :12868]ABC ∆是边长为3的等边三角形,2BE BA λ=,1(1)2BF BC λλ=<<,过点F 作DF BC ⊥交AC 边于点D ,交BA 的延长线于点E .(1)当23λ=时,设,BA a BC b ==,用向量,a b 表示EF ; (2)当λ为何值时,AE FC ⋅取得最大值,并求出最大值.29.(0分)[ID :12866]已知平面向量a ,b 满足1a b ==. (1)1a b -=,求a 与b 的夹角;(2)若对一切实数x ,不等式a xb a b +≥+恒成立,求a 与b 的夹角θ.30.(0分)[ID :12861]已知数列{}n a 的前n 和为n S ,若0n a >,1n a =. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式; (Ⅱ)若3nn n a b =,求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】2016-2017年度第*次考试试卷 参考答案**科目模拟测试一、选择题 1.B 2.D 3.C 4.A 5.A 6.C 7.B 8.B 9.A 10.C 11.B 12.C 13.C14.B15.C二、填空题16.【解析】【分析】由题意首先求解底面积然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积【详解】由题意可得底面四边形为边长为的正方形其面积顶点到底面四边形的距离为由四棱锥的体积公式可得:【点睛】本题主要考查四棱锥17.【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题18.【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为:【点睛】本题考查正弦与余弦19.【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为:【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属20.如果l⊥αm∥α则l⊥m或如果l⊥αl⊥m则m∥α【解析】【分析】将所给论断分别作为条件结论加以分析【详解】将所给论断分别作为条件结论得到如下三个命题:(1)如果l⊥αm∥α则l⊥m正确;(2)如果21.-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题22.【解析】试题分析:所以考点:三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦23.【解析】试题分析:该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点:三视图24.【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知:则:且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投25.3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键三、解答题 26. 27. 28. 29. 30.2016-2017年度第*次考试试卷 参考解析【参考解析】**科目模拟测试一、选择题 1.B 解析:B 【解析】 【分析】 【详解】 因为sin cos cos a b c A B C==,所以sin sin sin sin cos cos 4A B C B C A B C π==∴== , 即ABC 为等腰直角三角形. 故选:B .2.D解析:D 【解析】 【分析】先用AB 和AC 表示出2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-, 再根据,12BD DC =用用AB 和AC 表示出AD ,再根据4AD AC ⋅=求出A AB C ⋅的值,最后将A AB C ⋅的值代入2A AB BC AB C AB ⋅=⋅-,,从而得出答案. 【详解】()2A =A AB BC AB C AB AB C AB ⋅=⋅-⋅-,∵12BD DC =, ∴111B C ?C B 222AD A A AD AD A AD A -=-=-+(), 整理可得:12AB 33AD AC +=, 221A A 433AD AC AB C C ∴⋅⋅+==∴ A =-12AB C ⋅,∴2=A =122537AB BC AB C AB ⋅⋅---=-., 故选:D . 【点睛】本题考查了平面向量数量积的运算,注意运用平面向量的基本定理,以及向量的数量积的性质,考查了运算能力,属于中档题.3.C解析:C 【解析】分析:由题意首先进行并集运算,然后进行交集运算即可求得最终结果. 详解:由并集的定义可得:{}1,0,1,2,3,4A B ⋃=-, 结合交集的定义可知:(){}1,0,1A B C ⋃⋂=-. 本题选择C 选项.点睛:本题主要考查并集运算、交集运算等知识,意在考查学生的计算求解能力.4.A解析:A 【解析】 【分析】运用向量的加法和减法运算表示向量BQ BA AQ =+,CP CA AP =+,再根据向量的数量积运算,建立关于λ的方程,可得选项. 【详解】∵BQ BA AQ =+,CP CA AP =+,∴()()BQ CP BA AQ CA AP AB AC AB AP AC AQ AQ AP ⋅=+⋅+=⋅-⋅-⋅+⋅()()2211AB AC AB AC AB AC λλλλ=⋅---+-⋅()()232441212222λλλλλλ=---+-=-+-=-,∴12λ=.故选:A. 5.A解析:A 【解析】 【分析】首先整理函数的解析式为()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,由函数为奇函数可得4πϕ=-,由最小正周期公式可得4ω=,结合三角函数的性质考查函数在给定区间的单调性即可. 【详解】由函数的解析式可得:()4f x x πωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭,函数为奇函数,则当0x =时:()4k k Z πϕπ+=∈.令0k =可得4πϕ=-.因为直线y =与函数()f x 的图像的两个相邻交点的横坐标之差的绝对值为2π结合最小正周期公式可得:22ππω=,解得:4ω=.故函数的解析式为:()4f x x =. 当3,88x ππ⎛⎫∈⎪⎝⎭时,34,22x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,函数在所给区间内单调递减; 当0,4x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()40,x π∈,函数在所给区间内不具有单调性; 据此可知,只有选项A 的说法正确. 故选A . 【点睛】本题主要考查辅助角公式的应用,考查了三角函数的周期性、单调性,三角函数解析式的求解等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.6.C解析:C 【解析】∵函数y =f (x )定义域是[−2,3], ∴由−2⩽2x −1⩽3, 解得−12⩽x ⩽2, 即函数的定义域为1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦,本题选择C 选项.7.B解析:B【解析】【分析】利用,l α可能平行判断A ,利用线面平行的性质判断B ,利用//l m 或l 与m 异面判断C ,l 与m 可能平行、相交、异面,判断D .【详解】l m ⊥,m α⊂,则,l α可能平行,A 错;l α⊥,//l m ,由线面平行的性质可得m α⊥,B 正确;//l α,m α⊂,则//l m , l 与m 异面;C 错,//l α,//m α,l 与m 可能平行、相交、异面,D 错,.故选B.【点睛】本题主要考查线面平行的判定与性质、线面面垂直的性质,属于中档题.空间直线、平面平行或垂直等位置关系命题的真假判断,除了利用定理、公理、推理判断外,还常采用画图(尤其是画长方体)、现实实物判断法(如墙角、桌面等)、排除筛选法等;另外,若原命题不太容易判断真假,可以考虑它的逆否命题,判断它的逆否命题真假,原命题与逆否命题等价.8.B解析:B【解析】试题分析:设圆锥底面半径为r ,则12384r ⨯⨯=,所以163r =,所以米堆的体积为211163()5433⨯⨯⨯⨯=3209,故堆放的米约为3209÷1.62≈22,故选B. 考点:圆锥的性质与圆锥的体积公式9.A解析:A【解析】【分析】根据一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系,结合韦达定理可构造方程求得,a b ;利用一元二次不等式的解法可求得结果.【详解】220ax bx ++>的解集为{}12x x -<<1∴-和2是方程220ax bx ++=的两根,且0a <1212122b a a⎧-=-+=⎪⎪∴⎨⎪=-⨯=-⎪⎩,解得:11a b =-⎧⎨=⎩ 222210x bx a x x ∴++=+-< 解得:112x -<<,即不等式220x bx a ++<的解集为112x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭ 故选:A【点睛】本题考查一元二次不等式的解法、一元二次不等式的解集与一元二次方程根的关系等知识的应用;关键是能够通过一元二次不等式的解集确定一元二次方程的根,进而利用韦达定理构造方程求得变量. 10.C解析:C【解析】当0k =时,不等式210kx kx -+>可化为10>,显然恒成立;当0k ≠时,若不等式210kx kx -+>恒成立,则对应函数的图象开口朝上且与x 轴无交点,则20 40k k k >⎧⎨=-<⎩解得:04k <<,综上k 的取值范围是[)0,4,故选C. 11.B解析:B【解析】分析:由题意结合流程图运行程序即可求得输出的数值.详解:结合流程图运行程序如下:首先初始化数据:20,2,0N i T ===,20102N i ==,结果为整数,执行11T T =+=,13i i =+=,此时不满足5i ≥; 203N i =,结果不为整数,执行14i i =+=,此时不满足5i ≥; 2054N i ==,结果为整数,执行12T T =+=,15i i =+=,此时满足5i ≥; 跳出循环,输出2T =.本题选择B 选项.点睛:识别、运行程序框图和完善程序框图的思路:(1)要明确程序框图的顺序结构、条件结构和循环结构.(2)要识别、运行程序框图,理解框图所解决的实际问题.(3)按照题目的要求完成解答并验证.12.C解析:C【解析】【分析】 根据题意,分析可得()323232a b a b a b ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,对其变形可得326613a b a b ba ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭,由基本不等式分析可得答案. 【详解】根据题意,正数a ,b 满足321a b +=,则()323266663213132?25a b a b a b a b a b ba b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 当且仅当15a b ==时等号成立. 即32a b+的最小值是25. 本题选择C 选项.【点睛】在应用基本不等式求最值时,要把握不等式成立的三个条件,就是“一正——各项均为正;二定——积或和为定值;三相等——等号能否取得”,若忽略了某个条件,就会出现错误.13.C解析:C【解析】【分析】用面面平行的性质判断①的正确性.利用线面相交来判断②③的正确性,利用线线平行来判断④的正确性.【详解】对于①,连接AC 如图所示,由于//,//MN AC NP BC ,根据面面平行的性质定理可知平面//MNP 平面ACB ,所以//AB 平面MNP .对于②,连接BC 交MP 于D ,由于N 是AC 的中点,D 不是BC 的中点,所以在平面ABC 内AB 与DN 相交,所以直线AB 与平面MNP 相交.对于③,连接CD ,则//AB CD ,而CD 与PN 相交,即CD 与平面PMN 相交,所以AB 与平面MNP 相交.对于④,连接CD ,则////AB CD NP ,由线面平行的判定定理可知//AB 平面MNP .综上所述,能得出//AB 平面MNP 的图形的序号是①④.故选:C【点睛】本小题主要考查线面平行的判定,考查空间想象能力和逻辑推理能力,属于基础题. 14.B解析:B【解析】【分析】 由已知三边,利用余弦定理可得1cos 2B =,结合b c <,B 为锐角,可得B ,利用三角形内角和定理即可求A C +的值.【详解】在ABC ∆中,5a =,7b =,8c =,∴由余弦定理可得:2222564491cos 22582a cb B ac +-+-===⨯⨯, b c <,故B 为锐角,可得60B =︒,18060120A C ∴+=︒-︒=︒,故选B .【点睛】本题主要考查利用余弦定理解三角形以及三角形内角和定理的应用.15.C解析:C【解析】∵ 集合{}124A ,,=,{}2|40B x x x m =-+=,{}1A B ⋂= ∴1x =是方程240x x m -+=的解,即140m -+=∴3m =∴{}{}{}22|40|43013B x x x m x x x =-+==-+==,,故选C二、填空题16.【解析】【分析】由题意首先求解底面积然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积【详解】由题意可得底面四边形为边长为的正方形其面积顶点到底面四边形的距离为由四棱锥的体积公式可得:【点睛】本题主要考查四棱锥 解析:112【解析】【分析】由题意首先求解底面积,然后结合四棱锥的高即可求得四棱锥的体积.【详解】由题意可得,底面四边形EFGH 为边长为2的正方形,其面积2122EFGH S ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭, 顶点M 到底面四边形EFGH 的距离为12d =, 由四棱锥的体积公式可得:111132212M EFGH V -=⨯⨯=. 【点睛】 本题主要考查四棱锥的体积计算,空间想象能力等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.17.【解析】【分析】先还原几何体再根据柱体体积公式求解【详解】空间几何体为一个棱柱如图底面为边长为的直角三角形高为的棱柱所以体积为【点睛】本题考查三视图以及柱体体积公式考查基本分析求解能力属基础题 解析:32【解析】【分析】先还原几何体,再根据柱体体积公式求解【详解】 空间几何体为一个棱柱,如图,底面为边长为1,3的直角三角形,高为3的棱柱,所以体积为1313322⨯⨯⨯=【点睛】 本题考查三视图以及柱体体积公式,考查基本分析求解能力,属基础题18.【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角由两角和的正弦公式和诱导公式化简可求得即角从而得角的范围注意由余弦定理可得结论【详解】因为所以所以即又所以则因为所以而故故答案为:【点睛】本题考查正弦与余弦 解析:()()3,00,2- 【解析】【分析】把已知式用正弦定理化边为角,由两角和的正弦公式和诱导公式化简,可求得cos C ,即C 角,从而得B 角的范围,注意2B π≠,由余弦定理可得结论. 【详解】 因为233cos cos a b c B C =,所以()()23cos 3cos cos cos 0a b C c B B C =⋅≠, 所以()2sin 3cos 3cos A B C C B =, 即()2sin cos 3sin 3sin A C C B A +=,又sin 0A >,所以3cos 2C =, 则6C π=,因为cos 0B ≠,所以50,,226B πππ⎛⎫⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 而2222cos a c b B ac +-=,故()()2223,00,2a c b ac +-∈.故答案为:()()3,00,2-.【点睛】 本题考查正弦与余弦定理的应用,考查运算求解能力.本题是一个易错题,学生容易忽略cos B 不能等于0.19.【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可【详解】因为故故答案为:【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负同时也要利用两角和的正弦公式属【解析】【分析】利用凑角的方法与两角和的正弦公式求解即可.【详解】因为1sin 43πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭,,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,故cos 43πα⎛⎫+==- ⎪⎝⎭ sin sin cos cos s s in 44i 44n 44ππππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭=14sin cos 2442336ππαα⎡⎤⎛⎡⎤⎛⎫⎛⎫=+-+=--=⎢⎥ ⎪ ⎪⎢⎥ ⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎢⎥⎝⎭⎣⎦.故答案为:46+【点睛】本题主要考查了凑角的方法求三角函数值的方法,同时也需要根据角度的象限分析余弦的正负,同时也要利用两角和的正弦公式,属于中等题型. 20.如果l ⊥αm ∥α则l ⊥m 或如果l ⊥αl ⊥m 则m ∥α【解析】【分析】将所给论断分别作为条件结论加以分析【详解】将所给论断分别作为条件结论得到如下三个命题:(1)如果l ⊥αm ∥α则l ⊥m 正确;(2)如果解析:如果l ⊥α,m ∥α,则l ⊥m 或如果l ⊥α,l ⊥m ,则m ∥α.【解析】【分析】将所给论断,分别作为条件、结论加以分析.【详解】将所给论断,分别作为条件、结论,得到如下三个命题:(1)如果l ⊥α,m ∥α,则l ⊥m . 正确;(2)如果l ⊥α,l ⊥m ,则m ∥α.正确;(3)如果l ⊥m ,m ∥α,则l ⊥α.不正确,有可能l 与α斜交、l ∥α.【点睛】本题主要考查空间线面的位置关系、命题、逻辑推理能力及空间想象能力.21.-1或2【解析】【分析】根据函数值的正负由可得求出再对分类讨论代入解析式即可求解【详解】当时当当所以或故答案为:或【点睛】本题考查求复合函数值认真审题理解分段函数的解析式考查分类讨论思想属于中档题解析:-1或2【解析】【分析】 根据函数值的正负,由1[()]02f f a =-<,可得()0f a >,求出()f a ,再对a 分类讨论,代入解析式,即可求解.【详解】当0x ≤时,()0,f x >1[()]02f f a =-<, 411[()]log (()),()22f f a f a f a ∴==-∴=, 当410,()log ,22a f a a a >==∴=, 当10,()2,12a a f a a ≤==∴=-, 所以1a =-或2a =.故答案为:1-或2.【点睛】本题考查求复合函数值,认真审题理解分段函数的解析式,考查分类讨论思想,属于中档题. 22.【解析】试题分析:所以考点:三角恒等变形诱导公式二倍角公式同角三角函数关系【思路点晴】本题主要考查二倍角公式两角和与差的正弦公式题目的已知条件是单倍角并且加了我们考虑它的二倍角的情况即同时求出其正弦解析:50【解析】 试题分析:247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭,24sin(2)325πα+=,所以sin(2)sin(2)1234πππαα+=+-2472525⎫=-=⎪⎝⎭ 考点:三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系.【思路点晴】本题主要考查二倍角公式,两角和与差的正弦公式.题目的已知条件是单倍角,并且加了6π,我们考虑它的二倍角的情况,即247cos(2)213525πα⎛⎫+=⋅-= ⎪⎝⎭,同时求出其正弦值24sin(2)325πα+=,而要求的角sin(2)sin(2)1234πππαα+=+-,再利用两角差的正弦公式,就能求出结果.在求解过程中要注意正负号. 23.【解析】试题分析:该三棱锥底面是边长为2的正三角形面积为有两个侧面是底边为2高为2的直角三角形面积为2另一个侧面是底边为2腰为的等腰三角形面积为所以面积最大的面的面积是考点:三视图【解析】试题分析:该三棱锥底面是边长为2,有两个侧面是底边为2,高为2的直角三角形,面积为2,另一个侧面是底边为2,腰为.考点:三视图.24.【解析】【分析】建立直角坐标系结合向量的坐标运算求解在方向上的投影即可【详解】建立如图所示的平面直角坐标系由题意可知:则:且据此可知在方向上的投影为【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算向量投 解析:1-【解析】【分析】建立直角坐标系,结合向量的坐标运算求解AB 在BC 方向上的投影即可.【详解】建立如图所示的平面直角坐标系,由题意可知:()0,0A ,()2,0B ,(C ,则:()2,0AB =,(BC =-,2AB BC ⋅=- 且2AB =,10BC =据此可知AB 在BC 方向上的投影为212AB BC AB ⋅-==-.【点睛】本题主要考查平面向量数量积的坐标运算,向量投影的定义与计算等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.25.3【解析】【分析】【详解】故答案为3【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义利用向量的数量积转化是解决本题的关键解析:3【解析】【分析】【详解】 44 155a b a b a b cos cos a b θθ⋅-⋅∴-⨯====33[0sin 15355sin a b a b θπθθ∈∴⨯=⨯⨯,),=,==故答案为3.【点评】本题主要考查以向量的数量积为载体考查新定义,利用向量的数量积转化是解决本题的关键,三、解答题26.(1)53a =(2)210a c +=【解析】试题分析:(1)利用同角三角函数的基本关系式,求出sin B ,利用正弦定理求出a 即可.(2)通过三角形的面积求出ac 的值,然后利用余弦定理即可求出a +c 的值.试题解析:解:(1)43cos ,sin 55B B =∴=. 由正弦定理得10,sin sin 3sin 6a b a A B π==可得. 53a ∴=. (2)ABC ∆的面积13sin ,sin 25S ac B B ==, 33,1010ac ac ∴==. 由余弦定理2222cos b a c ac B =+-, 得4=22228165a c ac a c +-=+- ,即2220a c +=. ∴()()22220,40a c ac a c +-=+=,∴a c +=点睛:解三角形问题,多为边和角的求值问题,这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系,从而达到解决问题的目的.其基本步骤是:第一步:定条件,即确定三角形中的已知和所求,在图形中标出来,然后确定转化的方向. 第二步:定工具,即根据条件和所求合理选择转化的工具,实施边角之间的互化. 第三步:求结果.27.(1)2()1f x x x =-+(2)1m <-【解析】【分析】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠,带入()(1)2f x f x x -+=-和(0)1f =,即可求出a ,b ,c 的值.(2)首先将题意转化为[1,1]x ∈-时,231x x m -+>恒成立,再求出2min (31)x x -+,2min (31)m x x <-+即可.【详解】(1)设2()(0)f x ax bx c a =++≠,则22()(1)(1)(1)2f x f x ax bx a x b x ax a b -+=+-+-+=---,所以22ax a b x ---=-,解得:1a =,1b =-.又(0)1f c ==,所以2()1f x x x =-+.(2)当[1,1]x ∈-时,()2x m f x >+恒成立,即当[1,1]x ∈-时,231x x m -+>恒成立.设2()31g x x x =-+,[1,1]x ∈-.则min ()(1)1g x g ==-,1m ∴<-.【点睛】本题第一问考查待定系数法求函数的解析式,第二问考查二次函数的恒成立问题,属于中档题. 28.(1)4233a b -+;(2)916 【解析】【分析】【详解】 (Ⅰ)由题意可知:23BF b =,且2323BF =⨯=, 4BE =,故4433BE BA a ==, 4233EF BF BE a b =-=-+ (Ⅱ)由题意,3,33BF FC λλ==-,6,63BE AE λλ==-,2279(63)(33)cos60922AE FC λλλλ⋅=--︒=-+- 当2732924λ=-=-⨯1(,1)2∈时, AE FC ⋅有最大值916.、 29.(1)3π(2)θπ= 【解析】【分析】(1)根据向量数量积的定义及性质即可求解(2)利用平方化简不等式可得22cos 12cos 0x x θθ+⋅--≥恒成立,利用判别式求解即可.【详解】(1)∵1a b ==,21211a b a b ∴-=-⋅+=, 即12a b ⋅=, ∴1cos 2a b θ=, ∴3πθ=.(2)不等式a xb a b +≥+两边平方可得:22cos 12cos 0x x θθ+⋅--≥恒成立, ∴0∆≤,即()24cos412cos 0θθ++≤, 故()2cos 10θ+≤,只能cos 1θ=-,而0θπ≤≤,所以θπ=.【点睛】本题主要考查了向量的数量积定义,性质,不等式恒成立,属于中档题. 30.(Ⅰ)21n a n =-;(Ⅱ)113n n n T +=-. 【解析】试题分析:(Ⅰ)由条件得()241n n S a =+,由1n =得1a ,当2n ≥时,()21141n n S a --=+,两式作差得2211422n n n n n a a a a a --=+--,整理得12n n a a --=,由等差数列公式求通项即可;(Ⅱ)由()1213n n b n =-⋅,利用错位相减即可得解. 试题解析:(Ⅰ) 21n a S =, ()241n n S a ∴=+.当1n =时,()21141S a =+,得11a =.当2n ≥时,()21141n n S a --=+, ()()()2211411n n n n S S a a --∴-=+-+,2211422n n n n n a a a a a --∴=+--,即()()()1112n n n n n n a a a a a a ---+-=+, 0,n a > 12n n a a -∴-=.∴数列{}n a 是等差数列,且首项为11a =,公差为2, ()12121n a n n ∴=+-=-.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,()1213n nb n =-⋅, ()231111135213333n n T n ∴=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅,——① ()()2311111113232133333n n n T n n +=⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⋅+-⋅,——② ①–②得()231211111221333333n n n T n +⎛⎫=+++⋅⋅⋅+--⋅ ⎪⎝⎭ ()21111113322113313n n n ++-=+⨯--⋅-, 化简得113n n n T +=-. 解法二:(Ⅰ)同解法一.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,()1213n n b n =-⋅, 设()()()()111112112323333n n n n n b n An B A n B An A B -⎡⎤=-⋅=+⋅--+⋅=-+-⋅⎣⎦, 22,321,A A B -=⎧∴⎨-=-⎩解得1,1.A B =-⎧⎨=-⎩()()()()1111111211133333n n n n n n b n n n n n --∴=-⋅=--⋅--⋅=⋅-+⋅, ∴()120112111111111223113333333n n n n n n T b b b n n -+⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++⋅⋅⋅+=⨯-⨯+⨯-⨯++⋅-+⋅=- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦.。
安徽省合肥市高一下学期期末数学试卷
安徽省合肥市高一下学期期末数学试卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题;共24分)1. (2分) (2017高一上·南昌期末) 已知f(a)= ,则f(﹣)的值为()A .B . ﹣C .D . ﹣2. (2分) (2019高二上·南充期中) 袋中装有白球3个,黑球4个,从中任取3个,下列各对事件中互为对立事件的是()A . 恰有1个白球和全是白球B . 至少有1个白球和全是黑球C . 至少有1个白球和至少有2个白球D . 至少有1个白球和至少有1个黑球3. (2分)已知一组观测值具有线性相关关系,若对于,求得,则线性回归方程是()A .B .C .D .4. (2分)若x1 , x2 , x3 ,…,x2013的方差为3,则3(x1﹣2),3(x2﹣2),3(x3﹣2),…,3(x2013﹣2)的方差为()A . 3B . 9C . 18D . 275. (2分) (2017高一上·南涧期末) 函数是()A . 周期为π的奇函数B . 周期为π的偶函数C . 周期为2π的奇函数D . 周期为2π的偶函数6. (2分)对于任意角α和β,若满足α+β=,则称α和β“广义互余”.已知sin(π+θ)=﹣,①sinγ=;②cos(π+γ)=;③tanγ=﹣2;④tanγ=上述角γ中,可能与角θ“广义互余”的是()A . ①②B . ②③C . ①③D . ②④7. (2分)程序框图如右图所示,该程序运行后输出的值是()A . 3B . 4C . 5D . 68. (2分) (2017高二下·中原期末) 若将函数y=sinx+ cosx的图象向右平移φ(φ>0)个单位长度得到函数y=sinx﹣ cosx的图象,则φ的最小值为()A .B .C .D .9. (2分)将函数f(x)=的图象向左平移m个单位(m>0),若所得的图象关于直线x=对称,则m的最小值为()A .B .C .D .10. (2分) (2019高三上·德州期中) 已知,为单位向量,设与的夹角为,则与- 的夹角为()A .B .C .D .11. (2分)sin20°cos10°+cos20°sin10°=()A .B .C . -D . -12. (2分)(2018·河北模拟) 已知,点为斜边的中点,,,,则等于()A . -14B . -9C . 9D . 14二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分) (2017高二下·温州期中) 记min ,已知向量满足| 2,与的夹角为120°,,则当min 取得最大值时, =________.14. (1分) (2015高三上·如东期末) 若α,β∈(0,),cos(α﹣)= ,sin(﹣β)=﹣,则cos(α+β)的值等于________ .15. (1分) (2016高三上·扬州期中) 已知tan(α+ )=3,tanβ=2,则tan(α﹣β)=________.16. (1分)给出下列说法:⑴若,则或;⑵向量的模一定是正数;⑶起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量;⑷向量与是共线向量,则四点必在同一直线上.其中正确说法的序号是________.三、解答题 (共6题;共55分)17. (5分)已知=(1,2),=(1,1),且与+λ的夹角为锐角,求实数λ的取值范围.18. (10分)某军区新兵50m步枪射击个人平均成绩X(单位:环)服从正态分布N(μ,σ2),从这些个人平均成绩中随机抽取,得到如下频率分布表:X456789频数122640292(1)求μ和σ2的值(用样本书序期望、方差代替总数数学期望、方差);(2)如果这个军区有新兵10000名,试估计这个军区新兵步枪射击个人平均成绩在区间(7.9,8.8]上的人数.19. (10分) (2017高三上·山西开学考) 已知f(x)= • ,其中 =(2cosx,﹣ sin2x), =(cosx,1)(x∈R).(1)求f(x)的周期和单调递减区间;(2)在△ABC 中,角A、B、C的对边分别为a,b,c,f(A)=﹣1,a= ,• =3,求边长b和c 的值(b>c).20. (10分) (2017高一上·山西期末) 2016年某招聘会上,有5个条件很类似的求职者,把他们记为A,B,C,D,E,他们应聘秘书工作,但只有2个秘书职位,因此5人中仅有2人被录用,如果5个人被录用的机会相等,分别计算下列事件的概率:(1) C得到一个职位(2) B或E得到一个职位.21. (5分)已知圆F:x2+(y﹣1)2=1,动圆P与定圆F在x轴的同侧且与x轴相切,与定圆F相外切.(Ⅰ)求动点P的轨迹C的方程;(Ⅱ)过点M(0,2)的直线交曲线C于A,B,若 = ,求直线AB的方程.22. (15分) (2019高一下·湖州月考) 设锐角的内角 , ,的对边分别为 , , ,且有.(1)求的大小.(2)若 , ,求 .(3)求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、5-1、6-1、7-1、8-1、9-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题;共55分)17-1、18-1、18-2、19-1、19-2、20-1、20-2、21-1、22-1、22-2、22-3、。
安徽高一高中数学期末考试带答案解析
安徽高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名:___________ 分数:___________一、选择题1.已知U为全集,集合P Q,则下列各式中不成立的是()A.P∩Q=P B.P∪Q=QC.P∩(C U Q) =D.Q∩(C U P)=2.函数的定义域为()A.R B.C.D.3.直线mx-y+2m+1=0经过一定点,则该点的坐标是A.(-2,1)B.(2,1)C.(1,-2)D.(1,2)4.已知定义在R上的函数f (x)的图象是连续不断的,且有如下对应值表:那么函数f (x)一定存在零点的区间是()A. (-∞,1)B. (1,2)C. (2,3)D. (3,+∞)5.如果函数在区间(-∞,4]上是减函数,那么实数a的取值范围是()A.B.C.D.6.下列说法的正确的是()A.经过定点的直线都可以用方程表示B.经过定点的直线都可以用方程表示C.不经过原点的直线都可以用方程表示D.经过任意两个不同的点的直线都可以用方程表示7.下列四类函数中,具有性质“对任意的x>0,y>0,函数f(x)满足f(x+y)=f(x)f(y)”的是()A.幂函数B.对数函数C.指数函数D.二次函数8.设正方体的全面积为,一个球内切于该正方体,那么这个球的体积是()A.B.C.D.9.已知点,若直线过点与线段相交,则直线的斜率的取值范围是()A.B.C.D.10.在空间四边形各边上分别取四点,如果与能相交于点,那么A.点必在直线上B.点必在直线BD上C.点必在平面内D.点必在平面外11.已知二面角的平面角是锐角,内一点到的距离为3,点C到棱的距离为4,那么的值等于A.B.C.D.12.若函数f(x)=,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是()A.(-1,0)∪(0,1)B.(-∞,-1)∪(1,+∞)C.(-1,0)∪(1,+∞)D.(-∞,-1)∪(0,1)二、填空题1.已知全集,集合,,那么集合等于2.已知是两个不同的平面,m、n是平面之外的两条不同的直线,给出四个论断:①m⊥n,②,③,④。
安徽高一高中数学期末考试带答案解析
安徽高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名:___________ 分数:___________一、选择题1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N ,则P 的子集共有( ) A .2 个 B .3个 C .4个D .5个2.函数的定义域为( )A .(1,+∞)B .(﹣∞,2)C .(1,2)D .[1,2)3.函数f (x )=3x ﹣log 2(﹣x )的零点所在区间是( ) A .B .(﹣2,﹣1)C .(1,2)D .4.(log 29)•(log 34)等于( ) A .B .C .2D .45.函数的图象的一条对称轴是( )A .B .C .D .6.函数y=f (x )的部分图象如图所示,则y=f (x )的解析式为( )A .B .C .D .7.已知平面直角坐标系内的两个向量=(1,2),=(m ,3m ﹣2),且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=λ+μ(λ,μ为实数),则m 的取值范围是( ) A .(﹣∞,2) B .(2,+∞) C .(﹣∞,+∞)D .(﹣∞,2)∪(2,+∞)8.设函数f (x )=cosωx (ω>0),将y=f (x )的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于( ) A .B .3C .6D .99.O 为平面上的定点,A 、B 、C 是平面上不共线的三点,若(﹣)•(+﹣2)=0,则△ABC 是( )A .以AB 为底边的等腰三角形 B .以AB 为斜边的直角三角形C .以AC 为底边的等腰三角形D .以AC 为斜边的直角三角形10.已知函数y=f (x )是偶函数,y=f (x ﹣2)在[0,2]上是单调减函数,则( ) A .f (0)<f (﹣1)<f (2) B .f (﹣1)<f (0)<f (2) C .f (﹣1)<f (2)<f (0) D .f (2)<f (﹣1)<f (0)11.已知函数,若f (x+θ)是周期为2π的偶函数,则θ的一个可能值是( ) A .B .C .πD .12.如图:M (x M ,y M ),N (x N ,y N )分别是函数f (x )=Asin (ωx+φ)(A >0,ω>0)的图象与两条直线l 1:y=m ,l 2:y=﹣m (A≥m≥0)的两个交点,记S=|x N ﹣x M |,则S (m )图象大致是( )A .B .C .D .二、填空题1.已知||=4,||=2,且与夹角为120°,则(﹣2)•(+)= .2.已知,则tanα= .3.计算:= .4.如图,矩形ORTM 内放置5个边长均为的小正方形,其中A ,B ,C ,D 在矩形的边上,且E 为AD 的中点,则(﹣)•= .三、解答题1.设D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB上的点,且,,.若记,,试用m,n表示,,.2.已知角α终边经过点P(x,﹣)(x≠0),且cosα=x,求sinα+的值.3.已知函数.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,再向右平移个单位长度,得g(x)的图象,求函数y=g(x)在x∈[0,π]上的最大值及最小值.4.已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),.(1)若,求角α的值;(2)若,求的值.5.已知=(sinx,cosx),=(sinx,k),=(﹣2cosx,sinx﹣k).(1)当x=时,求|+|;(2)若g(x)=(+)•,求当k为何值时,g(x)的最小值为﹣.6.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=T•f(x)成立.(1)函数f(x)=x是否属于集合M?说明理由;(2)设函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:f(x)=a x∈M;(3)若函数f(x)=sinkx∈M,求实数k的取值范围.安徽高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},P=M∩N,则P的子集共有()A.2 个B.3个C.4个D.5个【答案】C【解析】找出集合M和集合N的公共元素,确定出两集合的交集,即为集合P,根据子集的定义写出所有集合P的子集,即可得到集合P子集的个数.解:集合M={0,1,2,3,4},N={1,3,5},则P=M∩N={0,1,2,3,4}∩{1,3,5}={1,3},∴P的子集共有:{1},{3},{1,3},{∅}共4个.故选:C.【考点】集合的包含关系判断及应用. 2.函数的定义域为( )A .(1,+∞)B .(﹣∞,2)C .(1,2)D .[1,2)【答案】D【解析】由题设条件,本题是一个求函数定义域的题,由函数解析式的形式知自变量所满足的条件是解出此不等式的解集即可得到函数的定义域解:由题意令解得1≤x <2所以函数的定义域是[1,2) 故选D【考点】对数函数的定义域.3.函数f (x )=3x ﹣log 2(﹣x )的零点所在区间是( ) A .B .(﹣2,﹣1)C .(1,2)D .【答案】B【解析】要判断函数f (x )=3x ﹣log 2(﹣x )的零点所在区间,我们可以利用零点存在定理,即函数f (x )在区间(a ,b )上若f (a )•(b )<0,则函数f (x )在区间(a ,b )上有零点,易得答案.解:∵f (﹣2)=3﹣2﹣log 22<0 f (﹣1)=3﹣1﹣log 21=>0∴f (﹣2)•f (﹣1)<0∴函数f (x )=3x ﹣log 2(﹣x )在区间(﹣2,﹣1)必有零点 故选B .【考点】二分法求方程的近似解.4.(log 29)•(log 34)等于( ) A .B .C .2D .4【答案】D【解析】利用换底公式、对数运算法则求解. 解:(log 29)•(log 34) = ==4.故选:D .【考点】对数的运算性质. 5.函数的图象的一条对称轴是( )A .B .C .D .【答案】B【解析】由条件利用正弦函数的图象的对称性,得出结论. 解:对于函数的图象,令2x ﹣=kπ+,k ∈Z ,求得x=+,故它的图象的一条对称轴是x=,故选:B.【考点】正弦函数的图象.6.函数y=f(x)的部分图象如图所示,则y=f(x)的解析式为()A.B.C.D.【答案】A【解析】通过函数的图象求出A,周期T,利用周期公式求出ω,图象经过(,0)以及φ的范围,求出φ的值,得到函数的解析式.解:由函数的图象可知A=1,T=4×()=π,所以,ω=2,因为函数的图象经过(,0),所以0=sin(),所以φ=;所以函数的解析式为:;故选A.【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.7.已知平面直角坐标系内的两个向量=(1,2),=(m,3m﹣2),且平面内的任一向量都可以唯一的表示成=λ+μ(λ,μ为实数),则m的取值范围是()A.(﹣∞,2)B.(2,+∞)C.(﹣∞,+∞)D.(﹣∞,2)∪(2,+∞)【答案】D【解析】平面向量基本定理:若平面内两个向量、不共线,则平面内的任一向量都可以用向量、来线性表示,即存在唯一的实数对λ、μ,使=λ+μ成立.根据此理论,结合已知条件,只需向量、不共线即可,因此不难求出实数m的取值范围.解:根据题意,向量、是不共线的向量∵=(1,2),=(m,3m﹣2)由向量、不共线⇔解之得m≠2所以实数m的取值范围是{m|m∈R且m≠2}.故选D【考点】平面向量坐标表示的应用.8.设函数f(x)=cosωx(ω>0),将y=f(x)的图象向右平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,则ω的最小值等于()A.B.3C.6D.9【答案】C【解析】函数图象平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数平移整数个周期,容易得到结果.解:f(x)的周期T=,函数图象平移个单位长度后,所得的图象与原图象重合,说明函数平移整数个周期,所以,k∈Z.令k=1,可得ω=6.故选C.【考点】由y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式.9.O为平面上的定点,A、B、C是平面上不共线的三点,若(﹣)•(+﹣2)=0,则△ABC是()A.以AB为底边的等腰三角形B.以AB为斜边的直角三角形C.以AC为底边的等腰三角形D.以AC为斜边的直角三角形【答案】C【解析】将条件式展开化简,两边同时加上,根据向量的线性运算的几何意义即可得出答案.解:∵(﹣)•(+﹣2)=0,∴+﹣2=+﹣2.即﹣2=﹣2.两边同时加,得()2=()2,即AB2=BC2.∴AB=BC.∴△ABC是以AC为底边的等腰三角形.故选:C.【考点】平面向量数量积的运算.10.已知函数y=f(x)是偶函数,y=f(x﹣2)在[0,2]上是单调减函数,则()A.f(0)<f(﹣1)<f(2)B.f(﹣1)<f(0)<f(2)C.f(﹣1)<f(2)<f(0)D.f(2)<f(﹣1)<f(0)【答案】A【解析】此题是函数的奇偶性和单调性的综合应用.在解答时可以先由y=f(x﹣2)在[0,2]上是单调减函数,转化出函数y=f(x)的一个单调区间,再结合偶函数关于y轴对称获得函数在[﹣2,2]上的单调性,结合函数图象易获得答案.解:由y=f(x﹣2)在[0,2]上单调递减,∴y=f(x)在[﹣2,0]上单调递减.∵y=f(x)是偶函数,∴y=f(x)在[0,2]上单调递增.又f(﹣1)=f(1)故选A.【考点】奇偶性与单调性的综合.11.已知函数,若f(x+θ)是周期为2π的偶函数,则θ的一个可能值是()A.B.C.πD.【答案】B【解析】由条件利用正弦函数的周期性求得ω的值,再根据正弦函数、余弦函数的奇偶性可得3ωθ+=kπ+,k∈Z,从而求得θ的值.解:函数,若f(x+θ)=2sin[3ω(x+θ)+]=2sin(3ωx+3ωθ+)是周期为2π的偶函数,∴=2π,且3ωθ+=kπ+,k∈Z,求得ω=,θ=kπ+,结合所给的选项,则θ的一个可能值是,故选:B.【考点】正弦函数的图象.12.如图:M (x M ,y M ),N (x N ,y N )分别是函数f (x )=Asin (ωx+φ)(A >0,ω>0)的图象与两条直线l 1:y=m ,l 2:y=﹣m (A≥m≥0)的两个交点,记S=|x N ﹣x M |,则S (m )图象大致是( )A .B .C .D .【答案】C【解析】从已知条件及所给函数的图象出发,图象从M 点到N 点的变化正好是半个周期,故x N ﹣x M =,则在一个周期内S=|x N ﹣x M |=常数,只有C 符合.解:由已知条件及所给函数的图象知,图象从M 点到N 点的变化正好是半个周期, 故x N ﹣x M =,则在一个周期内S=|x N ﹣x M |=常数,只有C 符合, 故选:C .【考点】函数的图象.二、填空题1.已知||=4,||=2,且与夹角为120°,则(﹣2)•(+)= . 【答案】12【解析】先求出向量的数量积,将(﹣2)•(+)展开计算即可得出答案. 解:=4×2×cos120°=﹣4, ∴(﹣2)•(+)=2﹣2﹣=16﹣8+4=12. 故答案为12.【考点】平面向量数量积的运算. 2.已知,则tanα= .【答案】.【解析】由条件利用两角差的正切公式,求得tanα的值. 解:∵,∴tanα=tan[(+β)﹣(β﹣)]===,故答案为:.【考点】两角和与差的正切函数. 3.计算:= .【答案】【解析】由条件利用诱导公式、两角和的正弦公式,求得所给式子的值. 解:=+====,故答案为:.【考点】三角函数的化简求值.4.如图,矩形ORTM内放置5个边长均为的小正方形,其中A,B,C,D在矩形的边上,且E为AD的中点,则(﹣)•= .【答案】﹣3【解析】以小正方形边的方向为坐标轴建立平面直角坐标系,求出各向量坐标,代入计算.解:以A为坐标原点建立平面直角坐标系如图:则A(0,0),E(0,),B(2,﹣),C(3,),D(0,2).∴=(0,),=(,2),=(﹣2,3).∴﹣=(﹣,﹣),∴(﹣)•=6﹣9=﹣3.故答案为﹣3.【考点】平面向量数量积的运算.三、解答题1.设D,E,F分别是△ABC的边BC,CA,AB上的点,且,,.若记,,试用m,n表示,,.【答案】=﹣﹣.=.=.【解析】本题考查向量加减混合运算及其几何意义,由向量加减法的三角形法则直接求解即可.解:∵,,∴∴;=﹣+.=﹣﹣.===.【考点】向量加减混合运算及其几何意义.2.已知角α终边经过点P(x,﹣)(x≠0),且cosα=x,求sinα+的值.【答案】.【解析】利用三角函数的定义即可得出.解∵P(x,﹣)(x≠0),∴点P到原点的距离r=.又cosα=x,∴cosα==x.∵x≠0,∴x=±,∴r=2.当x=时,P点坐标为(,﹣),由三角函数的定义,有sinα=﹣,=﹣,∴sinα+=﹣﹣=﹣;当x=﹣时,同样可求得sinα+=.【考点】同角三角函数间的基本关系;任意角的三角函数的定义.3.已知函数.(1)求函数f(x)的单调递增区间;(2)函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,再向右平移个单位长度,得g(x)的图象,求函数y=g(x)在x∈[0,π]上的最大值及最小值.【答案】(1)函数f(x)的单调递增区间为:.(2)当x=0时,有最小值,当时,有最大值1.【解析】(1)利用三角函数恒等变换的应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2x﹣),由,即可解得函数f(x)的单调递增区间.(2)利用函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得g(x)=sin(x﹣),由x∈[0,π]得:,利用正弦函数的图象即可解得函数y=g(x)在x∈[0,π]上的最大值及最小值.解:(1)∵,∴由,得,∴函数f(x)的单调递增区间为:.(2)函数f(x)的图象上所有点的横坐标扩大到原来的2倍,再向右平移个单位,得,∵x∈[0,π]得:,∴.∴当x=0时,有最小值,当时,有最大值1.【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用.4.已知A、B、C三点的坐标分别为A(3,0)、B(0,3)、C(cosα,sinα),.(1)若,求角α的值;(2)若,求的值.【答案】(1).(2)【解析】(1)根据两向量的模相等,利用两点间的距离公式建立等式求得tanα的值,根据α的范围求得α.(2)根据向量的基本运算根据求得sinα和cosα的关系式,然后同角和与差的关系可得到,再由可确定答案.解:(1)∵,∴化简得tanα=1∵.∴.(2)∵,∴(cosα﹣3,sinα)•(cosα,sinα﹣3)=﹣1,∴∴,∴.【考点】三角函数的化简求值;三角函数中的恒等变换应用.5.已知=(sinx,cosx),=(sinx,k),=(﹣2cosx,sinx﹣k).(1)当x=时,求|+|;(2)若g(x)=(+)•,求当k为何值时,g(x)的最小值为﹣.【答案】(1)1;(2)当k=0时,g(x)的最小值为﹣.【解析】(1)求得当x=时,=(,k),=(﹣,﹣k),再由向量的加法运算和模的公式,计算即可得到所求值;(2)利用平面向量的坐标加法运算求得+,代入g(x)=(+)•,整理后令t=sinx﹣cosx换元,化为关于t 的函数,然后分类讨论求解使g(x)的最小值为﹣的k值.解:(1)当x=时,=(,k),=(﹣,﹣k),可得+=(﹣,),即有|+|==1;(2)+=(2sinx,k+cosx),g(x)=(+)•=﹣4sinxcosx+(k+cosx)(sinx﹣k)=﹣3sinxcosx+k(sinx﹣cosx)﹣k2,令t=sinx﹣cosx=sin(x﹣),则t∈[﹣,],且t2=sin2x+cos2x﹣2sinxcosx=1﹣2sinxcosx,∴sinxcosx=,∴g(x)=h(t)=﹣3•+kt﹣k2=t2+kt﹣﹣k2.对称轴为:t=﹣,①当﹣<﹣,即k>3时,[﹣,]为增区间,g(x)的最小值为h(﹣)=﹣3•(﹣)﹣k﹣k2=﹣,解得k=∵k>3,∴此时无解;②当﹣≤﹣≤,即﹣3≤k≤3时,g(x)的最小值为h(﹣)==﹣,得k=0∈[﹣3,3];③当﹣>,即k<﹣3时,区间[﹣,]为减区间,g(x)的最小值为h()=3+k﹣﹣k2=﹣,解得k=,∵k<﹣3,∴此时无解.综上所述得:当k=0时,g(x)的最小值为﹣.【考点】平面向量数量积的运算;三角函数中的恒等变换应用.6.已知集合M是满足下列性质的函数f(x)的全体:存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=T•f(x)成立.(1)函数f(x)=x是否属于集合M?说明理由;(2)设函数f(x)=a x(a>0,且a≠1)的图象与y=x的图象有公共点,证明:f(x)=a x∈M;(3)若函数f(x)=sinkx∈M,求实数k的取值范围.【答案】(1)f(x)=x∉M;(2)见解析(3){k|k=mπ,m∈Z}.【解析】(1)将f(x)=x代入定义(x+T)="T" f(x)验证知函数f(x)=x不属于集合M.(2)由题意存在x∈R使得a x=x,由新定义知存在非零常数T使得a T=T,将函数关系式代入f(x+T)="T" f(x)验证知f(x)=a x∈M.(3)若函数f(x)=sinkx∈M,依据定义应该有sin(kx+kT)=Tsinkx∈[﹣1,1]对任意实数都成立,故T=±1.将T=±1代入sin(kx+kT)=Tsinkx求k的范围即可.解:(1)对于非零常数T,f(x+T)=x+T,Tf(x)=Tx.因为对任意x∈R,x+T=Tx不能恒成立,所以f(x)=x∉M;(2)因为函数f(x)=a x(a>0且a≠1)的图象与函数y=x的图象有公共点,所以方程组:有解,消去y得a x=x,显然x=0不是方程a x=x的解,所以存在非零常数T,使a T=T.于是对于f(x)=a x有f(x+T)=a x+T=a T•a x=T•a x=Tf(x)故f(x)=a x∈M;(3)当k=0时,f(x)=0,显然f(x)=0∈M.当k≠0时,因为f(x)=sinkx∈M,所以存在非零常数T,对任意x∈R,有f(x+T)=Tf(x)成立,即sin(kx+kT)=Tsinkx.因为k≠0,且x∈R,所以kx∈R,kx+kT∈R,于是sinkx∈[﹣1,1],sin(kx+kT)∈[﹣1,1],故要使sin(kx+kT)=Tsinkx.成立,只有T=±1,当T=1时,sin(kx+k)=sinkx成立,则k=2mπ,m∈Z.当T=﹣1时,sin(kx﹣k)=﹣sinkx成立,即sin(kx﹣k+π)=sinkx成立,则﹣k+π=2mπ,m∈Z,即k=﹣(2m﹣1)π,m∈Z.综合得,实数k的取值范围是{k|k=mπ,m∈Z}.【考点】集合的包含关系判断及应用;指数函数综合题;已知三角函数模型的应用问题.。
合肥市高一下学期期末数学考试试卷(理科)(II)卷
合肥市高一下学期期末数学考试试卷(理科)(II)卷姓名:________ 班级:________ 成绩:________一、选择题 (共12题;共24分)1. (2分)问题:①某地区10000名中小学生,其中高中生2000名,初中生4500名,小学生3500名,现从中抽取容量为200的样本;②从1002件同一生产线生产的产品中抽取20件产品进行质量检查.方法:Ⅰ、随机抽样法Ⅱ、分层抽样法Ⅲ、系统抽样法.其中问题与方法配对较适宜的是()A . ①Ⅰ,②ⅡB . ①Ⅲ,②ⅠC . ①Ⅱ,②ⅢD . ①Ⅲ,②Ⅱ2. (2分) (2017高二下·赤峰期末) 从一批羽毛球产品中任取一个,其质量小于4.8g的概率为0.3,质量小于4.85g的概率为0.32,那么质量在[4.8,4.85)( g )范围内的概率是()A . 0.62B . 0.38C . 0.02D . 0.683. (2分)函数f (x )= 的奇偶性及单调性的情况是()A . 增函数、偶函数B . 减函数、奇函数C . 增函数、非奇非偶函数D . 减函数、非奇非偶函数4. (2分)(2017·呼和浩特模拟) 如图,⊙O与x轴的正半轴交点为A,点B,C在⊙O上,且B(,﹣),点C在第一象限,∠AOC=α,BC=1,则cos(﹣α)=()A . ﹣B . ﹣C .D .6. (2分)(2014·广东理) 已知某地区中小学学生的近视情况分布如图1和图2所示,为了解该地区中小学生的近视形成原因,用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查,则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为()A . 200,20B . 100,20C . 200,10D . 100,107. (2分) (2016高三上·红桥期中) 函数f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,﹣<φ<)的部分图象如图所示,则ω,φ的值分别是()A . 2,﹣B . 2,﹣C . 4,﹣D . 4,8. (2分)下列各式中不能化简为的是()A . + +B . + + +C . ﹣ +D . + ﹣10. (2分) (2017高一下·姚安期中) 欧阳修在《卖油翁》中写到:“(翁)乃取一葫芦置于地,以钱覆其口,徐以杓酌油沥之,自钱孔入,而钱不湿”,可见卖油翁的技艺之高超,若铜钱直径2百米,中间有边长为1百米的正方形小孔,随机向铜钱上滴一滴油(油滴大小忽略不计),则油恰好落入孔中的概率是()A .B .C .D .11. (2分) (2017高三下·赣州期中) 如图所示的程序框图,若输入x,k,b,p的值分别为1,﹣2,9,3,则输出x的值为()A . ﹣29B . ﹣5C . 7D . 1912. (2分)一次函数的图象同时经过第一、三、四象限的必要不充分条件是()A . ,且B .C . ,且D . 且二、填空题 (共4题;共4分)13. (1分)把七进制数305(7)化为五进制数,则305(7)=________ (5).14. (1分)(2012·天津理) 某地区有小学150所,中学75所,大学25所.先采用分层抽样的方法从这些学校中抽取30所学校对学生进行视力调查,应从小学中抽取18 所学校,中学中抽取________所学校.15. (1分)(2017·大同模拟) 已知P为△ABC内一点,且,若,则点P到△ABC三边的距离的最大值为________.16. (1分) (2017高二上·乐山期末) 已知命题p:方程 + =1表示焦点在y轴上的椭圆,命题q:双曲线﹣ =1的离心率e∈(,),若命题p、q中有且只有一个为真命题,则实数m的取值范围是________三、解答题 (共6题;共60分)17. (5分)已知向量=(sin(A-B),2cosA)=(1,cos(-B)),且=-sin2C,其中A、B、C分别为△ABC的三边a、b、c所对的角.(Ⅰ)求角C的大小;(Ⅱ)若sinA+sinB=sinC,且,求c.18. (15分) (2019高一下·延边月考) 某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y(单位:千元)的数据如下表:年份2011201220132014201520162017年份代号t1234567人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9附:回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为: .(1)求样本中心点坐标;(2)已知两变量线性相关,求y关于t的线性回归方程;(3)利用(2)中的线性回归方程,分析2011年至2017年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况,并预测该地区2019年农村居民家庭人均纯收入.19. (5分)求使函数y=2sin3x+1,x∈R取得最大值的自变量x的集合,并说出最大值是什么?20. (10分) (2017高一下·济南期末) 已知函数.(1)求函数f(x)的最小正周期和单调增区间;(2)函数f(x)的图象可以由函数y=sin2x(x∈R)的图象经过怎样的变换得到?21. (15分) (2017高一下·福州期中) 某校高一举行了一次数学竞赛,为了了解本次竞赛学生的成绩情况,从中抽取了部分学生的分数(得分取正整数,满分为100分)作为样本(样本容量为n)进行统计,按照[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]的分组作出频率分布直方图,并作出样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在[50,60),[90,100]的数据).(1)求样本容量n和频率分布直方图中的x,y的值;(2)估计本次竞赛学生成绩的中位数和平均分;(3)在选取的样本中,从竞赛成绩在80分以上(含80分)的学生中随机抽取2名学生,求所抽取的2名学生中至少有一人得分在[90,100]内的频率.22. (10分) (2020高三上·贵阳期末) 已知在平面直角坐标系中,直线的参数方程是(t是参数),以原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的极坐标方程为.(1)判断直线与曲线C的位置关系;(2)设点为曲线C上任意一点,求的取值范围.参考答案一、选择题 (共12题;共24分)1-1、2-1、3-1、4-1、6-1、7-1、8-1、10-1、11-1、12-1、二、填空题 (共4题;共4分)13-1、14-1、15-1、16-1、三、解答题 (共6题;共60分)17-1、18-1、18-2、18-3、19-1、20-1、20-2、21-1、21-2、21-3、22-1、22-2、第11 页共11 页。
2017-2018年安徽省合肥一中高一上学期数学期末试卷(解析版)
2017-2018学年安徽省合肥一中高一(上)期末数学试卷一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)1.(5分)已知集合M={x|﹣1≤x<8},N={x|x>4},则M∪N=()A.(4,+∞)B.[﹣1,4)C.(4,8)D.[﹣1,+∞)2.(5分)函数的定义域为()A.(﹣2,+∞)B.(﹣2,﹣1)∪(﹣1,+∞)C.D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)3.(5分)已知函数y=sin(2x+φ)在x=处取得最大值,则函数y=cos(2x+φ)的图象()A.关于点(,0)对称B.关于点(,0)对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称4.(5分)已知a=2﹣1.2,b=log36,c=log510,则a,b,c的大小关系是()A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<b 5.(5分)若将函数f(x)=sin(2x+)图象上的每一个点都向左平移个单位,得到g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间为()A.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)B.[kπ+,kπ+](k∈Z)C.[kπ﹣,kπ﹣](k∈Z)D.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)6.(5分)对于定义在R上的函数y=f(x),若f(a)•f(b)<0(a,b∈R,且a<b),则函数y=f(x)在区间(a,b)内()A.只有一个零点B.至少有一个零点C.无零点D.无法判断7.(5分)已知函数f(x)=x2•sin(x﹣π),则其在区间[﹣π,π]上的大致图象是()A.B.C.D.8.(5分)已知=(2sin13°,2sin77°),|﹣|=1,与﹣的夹角为,则•=()A.2B.3C.4D.59.(5分)(理)设点是角α终边上一点,当最小时,sinα﹣cosα的值是()A.B.C.或D.或10.(5分)已知函数f(x)=,若a、b、c互不相等,且f (a)=f (b)=f (c),则a+b+c 的取值范围是()A.(1,2 017)B.(1,2 018)C.[2,2 018]D.(2,2 018)11.(5分)已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则•的取值范围是()A.B.[﹣1,1)C.D.[﹣1,0)12.(5分)已知α∈[,],β∈[﹣,0],且(α﹣)3﹣sinα﹣2=0,8β3+2cos2β+1=0,则sin(+β)的值为()A.0B.C.D.1二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)13.(5分)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且周期为4,若f(﹣1)=2,且函数的则f(2017)的值为.14.(5分)已知定义域为R的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f()=0,则不等式f(log4x)>0的解集是.15.(5分)已知||=4,||=8,=x,且x+2y=1,∠AOB是钝角,若f(t)=||的最小值为2,则||的最小值是.16.(5分)已知函数f(x)=2sin (2x+),记函数f(x)在区间[t,t+]上的最大值为M t最小值为m t,设函数h(t)=M t﹣m t,若t∈[],则函数h(t)的值域为.三、解答题(本题共6道题,17题10分,18-22题每题12分,共70分)17.(10分)已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3},函数f(x)=lg(﹣x2+2x+8)的定义域为B.(1)当m=2时,求A∪B、(∁R A)∩B;(2)若A∩B=A,求实数m的取值范围.18.(12分)已知sin(π﹣α)﹣cos(π+α)=.求下列各式的值:(1)sinα﹣cosα;(2).19.(12分)函数f(x)=log a(1﹣x)+log a(x+3)(0<a<1).(1)求函数f(x)的零点.(2)若函数f(x)的最小值为﹣2,求a的值.20.(12分)如图,在平面直角坐标系中,点,,锐角α的终边与单位圆O交于点P.(Ⅰ)当时,求α的值;(Ⅱ)在轴上是否存在定点M,使得恒成立?若存在,求出点M 的横坐标;若不存在,说明理由.21.(12分)已知函数f(x)为R上的偶函数,g(x)为R上的奇函数,且f(x)+g(x)=log 4(4x+1).(1)求f(x),g(x)的解析式;(2)若函数h(x)=f(x)﹣在R上只有一个零点,求实数a的取值范围.22.(12分)已知f(x)=ax2﹣2x+2,a∈R(1)已知h(10x)=f(x)+x+1,求h(x)的解析式;(2)若f(x)>0在x∈[1,2]恒成立,求a的取值范围;(3)设函数F(x)=|f(x)|,若对任意x1,x2∈[1,2],且x1≠x2,满足>0,求实数a的取值范围.2017-2018学年安徽省合肥一中高一(上)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(本题共12道小题,每小题5分,共60分)1.(5分)已知集合M={x|﹣1≤x<8},N={x|x>4},则M∪N=()A.(4,+∞)B.[﹣1,4)C.(4,8)D.[﹣1,+∞)【解答】解:∵集合M={x|﹣1≤x<8},N={x|x>4},∴M∪N={x|x≥﹣1}=[﹣1,+∞).故选:D.2.(5分)函数的定义域为()A.(﹣2,+∞)B.(﹣2,﹣1)∪(﹣1,+∞)C.D.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)【解答】解:由,解得x>﹣2且x≠﹣1.∴函数的定义域为(﹣2,﹣1)∪(﹣1,+∞).故选:B.3.(5分)已知函数y=sin(2x+φ)在x=处取得最大值,则函数y=cos(2x+φ)的图象()A.关于点(,0)对称B.关于点(,0)对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=对称【解答】解:∵函数y=sin(2x+φ)在x=处取得最大值,∴sin(+φ)=1,∴cos(+φ)=0,∴函数y=cos(2x+φ)的图象关于点(,0)对称,故选:A.4.(5分)已知a=2﹣1.2,b=log36,c=log510,则a,b,c的大小关系是()A.c<b<a B.c<a<b C.a<b<c D.a<c<b【解答】解:a=2﹣1.2<1,b=log36=1+log32,c=log510=1+log52,而log32>log52>0,∴b>c.∴b>c>a.故选:D.5.(5分)若将函数f(x)=sin(2x+)图象上的每一个点都向左平移个单位,得到g(x)的图象,则函数g(x)的单调递增区间为()A.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)B.[kπ+,kπ+](k∈Z)C.[kπ﹣,kπ﹣](k∈Z)D.[kπ﹣,kπ+](k∈Z)【解答】解:将函数f(x)=sin(2x+)图象上的每一个点都向左平移个单位,得到g(x)=sin[2(x+)+]=﹣sin2x的图象,故本题即求y=sin2x的减区间,令2kπ+≤2x≤2kπ+,求得kπ+≤x≤kπ+,故函数g(x)的单调递增区间为[kπ+,kπ+],k∈Z,故选:B.6.(5分)对于定义在R上的函数y=f(x),若f(a)•f(b)<0(a,b∈R,且a<b),则函数y=f(x)在区间(a,b)内()A.只有一个零点B.至少有一个零点C.无零点D.无法判断【解答】解:函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的一条曲线,“f(a)•f(b)<0”∴函数f(x)在区间[a,b]上至少有一个零点,也可能有2,3或多个零点,但是如果函数不是连续函数,在区间(a,b)上可能没有零点;f(x)=,函数不是列出函数,定义域为R,没有零点.则函数y=f(x)在区间(a,b)内的零点个数,无法判断.故选:D.7.(5分)已知函数f(x)=x2•sin(x﹣π),则其在区间[﹣π,π]上的大致图象是()A.B.C.D.【解答】解:f(x)=x2•sin(x﹣π)=﹣x2•sinx,∴f(﹣x)=﹣(﹣x)2•sin(﹣x)=x2•sinx=﹣f(x),∴f(x)奇函数,∵当x=时,f()=﹣<0,故选:D.8.(5分)已知=(2sin13°,2sin77°),|﹣|=1,与﹣的夹角为,则•=()A.2B.3C.4D.5【解答】解:=(2sin13°,2sin77°)=(2sin13°,2cos13°),||=2,|﹣|=1,与﹣的夹角为,所以==﹣,1=4﹣,∴•=3,故选:B.9.(5分)(理)设点是角α终边上一点,当最小时,sinα﹣cosα的值是()A.B.C.或D.或【解答】解:∵∈(﹣∞,﹣2]∪[2,﹣∞)故当=±2时,最小当=﹣2时,sinα﹣cosα=﹣(﹣)=当=2时,sinα﹣cosα=﹣=﹣故选:D.10.(5分)已知函数f(x)=,若a、b、c互不相等,且f (a)=f (b)=f (c),则a+b+c 的取值范围是()A.(1,2 017)B.(1,2 018)C.[2,2 018]D.(2,2 018)【解答】解:作出函数的图象,直线y=m交函数图象于如图,不妨设a<b<c,由正弦曲线的对称性,可得(a,m)与(b,m)关于直线x=对称,因此a+b=1,当直线y=m=1时,由log2017x=1,解得x=2017,即x=2017,∴若满足f(a)=f(b)=f(c),(a、b、c互不相等),由a<b<c可得1<c<2017,因此可得2<a+b+c<2018,即a+b+c∈(2,2018).故选:D.11.(5分)已知A,B是单位圆O上的两点(O为圆心),∠AOB=120°,点C是线段AB上不与A、B重合的动点.MN是圆O的一条直径,则•的取值范围是()A.B.[﹣1,1)C.D.[﹣1,0)【解答】解:如图,∵OA=OB=1,∠AOB=120°;∴O到直线AB的距离d=;∴;∴==;∴;∴的取值范围为.故选:A.12.(5分)已知α∈[,],β∈[﹣,0],且(α﹣)3﹣sinα﹣2=0,8β3+2cos2β+1=0,则sin(+β)的值为()A.0B.C.D.1【解答】解:∵(α﹣)3﹣sinα﹣2=0,可得:(α﹣)3﹣cos()﹣2=0,即(﹣α)3+cos()+2=0由8β3+2cos2β+1=0,得(2β)3+cos2β+2=0,∴可得f(x)=x3+cosx+2=0,其,x2=2β.∵α∈[,],β∈[﹣,0],∴∈[﹣π,0],2β∈[﹣π,0]可知函数f(x)在x∈[﹣π,0]是单调增函数,方程x3+cosx+2=0只有一个解,可得,即,∴,那么sin(+β)=sin=.故选:B.二、填空题(本题共4道小题,每小题5分,共20分)13.(5分)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,且周期为4,若f(﹣1)=2,且函数的则f(2017)的值为﹣2.【解答】解:∵函数y=f(x)是定义在R上的奇函数且f(﹣1)=2,∴f(1)=﹣2,又∵函数的周期为4,∴f(2017)=f(4×504+1)=f(1)=﹣2,故答案为:﹣214.(5分)已知定义域为R的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f()=0,则不等式f(log4x)>0的解集是(,1)∪(2,+∞).【解答】解:定义域为R的奇函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f()=0,可得f(x)在(﹣∞,0)上是增函数,且f()=﹣f()=0,当log4x>0即x>1,f(log4x)>0即为log4x>,解得x>2;当log4x<0即0<x<1,f(log4x)>0即为log4x>﹣,解得<x<1.综上可得,原不等式的解集为(,1)∪(2,+∞).故答案为:(,1)∪(2,+∞).15.(5分)已知||=4,||=8,=x,且x+2y=1,∠AOB是钝角,若f(t)=||的最小值为2,则||的最小值是4.【解答】解:∵f(t)=||的最小值为2,根据图形可知,当()时,f(t)=||有最小值,即||=2,,∵||=4,∴∠AOM=30°,∴∠AOB=120°,∴==4×=﹣16,∵=x,且x+2y=1,∴=++2xy,∵16x2+64y2﹣32xy=192y2﹣96y+16≥4,即||的最小值4,故答案为:4.16.(5分)已知函数f(x)=2sin (2x+),记函数f(x)在区间[t,t+]上的最大值为M t最小值为m t,设函数h(t)=M t﹣m t,若t∈[],则函数h(t)的值域为[1,2] .【解答】解:f(x)=2sin (2x+),∴f(x)在[﹣+kπ,+kπ]上单调递增,在(+kπ,π+kπ]上单调递减,k∈Z,∵t∈[],∴t+∈[,],当t∈[,],f(x)单调递增,最大值为2,当t+∈[,]上f(x)单调递减,最小值为2sin(2t++)=2cos(2t+),那么h(t)=2﹣2cos(2t+),t∈[,],∴2t+∈[,],可得函数的h(t)的值域为[1,2],当t∈(,],f(x)单调递减,最大值为sin(2t+),当t+∈[,]上f(x)单调递减,最小值为2sin(2t++)=2cos(2t+),那么h(t)=sin(2t+)﹣2cos(2t+)=2sin(2t﹣),t∈(,],∴2t﹣∈(,],可得函数的h(t)的值域为[2,2],综上可得函数h(t)值域为[1,2],故答案为:[1,2]三、解答题(本题共6道题,17题10分,18-22题每题12分,共70分)17.(10分)已知集合A={x|m﹣1≤x≤2m+3},函数f(x)=lg(﹣x2+2x+8)的定义域为B.(1)当m=2时,求A∪B、(∁R A)∩B;(2)若A∩B=A,求实数m的取值范围.【解答】解:(1)根据题意,当m=2时,A={x|1≤x≤7},B={x|﹣2<x<4},则A∪B={x|﹣2<x≤7},又∁R A={x|x<1或x>7},则(∁R A)∩B={x|﹣2<x<1},(2)根据题意,若A∩B=A,则A⊆B,分2种情况讨论:①、当A=∅时,有m﹣1>2m+3,解可得m<﹣4,②、当A≠∅时,若有A⊆B,必有,解可得﹣1<m<,综上可得:m的取值范围是:(﹣∞,﹣4)∪(﹣1,).18.(12分)已知sin(π﹣α)﹣cos(π+α)=.求下列各式的值:(1)sinα﹣cosα;(2).【解答】解:(1)由sin(π﹣α)﹣cos(π+α)=,得sinα+cosα=.①将①式两边平方,得1+2sinαcosα=.∴2sinαcosα=﹣.又,∴sinα>0,cosα<0.∴sinα﹣cosα>0.∴(s inα﹣cosα)2=(sinα+cosα)2﹣4sinαcosα==.∴sinα﹣cosα=;(2)=cos2α﹣sin2α=(cosα﹣sinα)(cosα+sinα)=.19.(12分)函数f(x)=log a(1﹣x)+log a(x+3)(0<a<1).(1)求函数f(x)的零点.(2)若函数f(x)的最小值为﹣2,求a的值.【解答】解:(1)要使函数有意义:则有,解之得:﹣3<x<1,所以函数的定义域为:(﹣3,1),函数可化为f(x)=log a(1﹣x)(x+3)=log a(﹣x2﹣2x+3),由f(x)=0,得﹣x2﹣2x+3=1,即x2+2x﹣2=0,解得x=﹣1±,∵x=﹣1±∈(﹣3,1),∴f(x)的零点是﹣1±;(2)函数可化为:f(x)=log a(1﹣x)(x+3)=log a(﹣x2﹣2x+3)=log a[﹣(x+1)2+4],∵﹣3<x<1,∴0<﹣(x+1)2+4≤4,∵0<a<1,∴log a[﹣(x+1)2+4]≥log a4即f(x)min=log a4,由题知,log a4=﹣2,∴a﹣2=4∴a=.20.(12分)如图,在平面直角坐标系中,点,,锐角α的终边与单位圆O交于点P.(Ⅰ)当时,求α的值;(Ⅱ)在轴上是否存在定点M,使得恒成立?若存在,求出点M 的横坐标;若不存在,说明理由.【解答】解:(I)P(cosα,sinα).…(2分),=cos2α﹣cosα+sin2α=﹣cosα,因为,所以,即,因为α为锐角,所以.…(7分)(Ⅱ)法一:设M(m,0),则,,因为,所以,…(12分)所以对任意成立,所以,所以m=﹣2.M点的横坐标为﹣2.…(16分)法二:设M(m,0),则,,因为,所以,即m2﹣2mcosα﹣4cosα﹣4=0,(m+2)[(m ﹣2)﹣2cosα]=0,因为α可以为任意的锐角,(m﹣2)﹣2cosα=0不能总成立,所以m+2=0,即m=﹣2,M点的横坐标为﹣2.…(16分)21.(12分)已知函数f(x)为R上的偶函数,g(x)为R上的奇函数,且f(x)+g(x)=log4(4x+1).(1)求f(x),g(x)的解析式;(2)若函数h(x)=f(x)﹣在R上只有一个零点,求实数a的取值范围.【解答】解:(1)因为,…①,∴,∴…②由①②得,,.(2)由=.得:,令t=2x,则t>0,即方程…(*)只有一个大于0的根,①当a=1时,,满足条件;②当方程(*)有一正一负两根时,满足条件,则,∴a>1,③当方程(*)有两个相等的且为正的实根时,则△=8a2+4(a﹣1)=0,∴,a=﹣1(舍)时,,综上:或a≥1.22.(12分)已知f(x)=ax2﹣2x+2,a∈R(1)已知h(10x)=f(x)+x+1,求h(x)的解析式;(2)若f(x)>0在x∈[1,2]恒成立,求a的取值范围;(3)设函数F(x)=|f(x)|,若对任意x1,x2∈[1,2],且x1≠x2,满足>0,求实数a的取值范围.【解答】解:(1)令10x=t即x=lgt,由h(10x)=ax2﹣x+3得h(t)=alg2t﹣lgt+3即h(x)=alg2x﹣lgx+3(2)由题意得:ax2﹣2x+2>0即恒成立,,当x=2时,所以a得取值范围为(3)由题意得F(x)=|f(x)|在x∈[1,2]单调递增,①当a<0时,f(x)=ax2﹣2x+2,对称轴为又因为f (0)>0且f (x )在x ∈[1,2]单调递减,且f (1)=a <0, 所以F (x )=|f (x )|在x ∈[1,2]单调递增.②当a=0时,f (x )=﹣2x +2,f (x )在x ∈[1,2]单调递减,且f (1)=0, 所以F (x )=|f (x )|在x ∈[1,2]单调递增; ③当时,f (x )=ax 2﹣2x +2,对称轴为,所以f (x )在x ∈[1,2]单调递减,要使F (x )=|f (x )|在x ∈[1,2]单调递增.f (1)=a <0不符合,舍去; ④当时,f (x )=ax 2﹣2x +2,对称轴为,可知F (x )=|f (x )|在x ∈[1,2]不单调. ⑤当a ≥1时,f (x )=ax 2﹣2x +2,对称轴为所以f (x )在x ∈[1,2]单调递增,f (1)=a >0 要使F (x )=|f (x )|在x ∈[1,2]单调递增.故a ≥1; 综上所述,a 的取值范围为(﹣∞,0]∪[1,+∞)赠送—高中数学知识点二次函数(1)一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠根的分布一元二次方程根的分布是二次函数中的重要内容,这部分知识在初中代数中虽有所涉及,但尚不够系统和完整,且解决的方法偏重于二次方程根的判别式和根与系数关系定理(韦达定理)的运用,下面结合二次函数图象的性质,系统地来分析一元二次方程实根的分布.设一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两实根为12,x x ,且12x x ≤.令2()f x ax bx c =++,从以下四个方面来分析此类问题:①开口方向:a ②对称轴位置:2bx a=-③判别式:∆ ④端点函数值符号. ①k <x 1≤x 2 ⇔②x 1≤x 2<k ⇔③x1<k <x 2 ⇔ af (k )<0④k 1<x 1≤x 2<k 2 ⇔xy1x 2x 0>a O ∙∙1k2k 0)(1>k f 0)(2>k f ab x 2-=xy1x 2x O∙<a 1k ∙2k 0)(1<k f 0)(2<k f ab x 2-=⑤有且仅有一个根x 1(或x 2)满足k 1<x 1(或x 2)<k 2 ⇔f (k 1)f (k 2)<0,并同时考虑f (k 1)=0或f (k 2)=0这两种情况是否也符合⑥k 1<x 1<k 2≤p 1<x 2<p 2 ⇔ 此结论可直接由⑤推出.(5)二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠在闭区间[,]p q 上的最值设()f x 在区间[,]p q 上的最大值为M ,最小值为m ,令01()2x p q =+. (Ⅰ)当0a >时(开口向上) ①若2b p a -<,则()m f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b m f a =- ③若2b q a->,则()m f q =①若02b x a -≤,则()M f q = ②02b x a->,则()M f p =(Ⅱ)当0a <时(开口向下) ①若2b p a -<,则()M f p = ②若2b p q a ≤-≤,则()2b M f a =- ③若2b q a->,则()M f q =①若02b x a -≤,则()m f q = ②02b x a->,则()m f p =. xxxx>O-=f (p) f (q)()2b f a-0x x>O -=f(p) f(q) ()2b f a-0x xf xfxx<O-=f (p)f(q)()2b f a-0xx<O-=f (p)f (q)()2b f a-0x。
2016-2017学年安徽省合肥一中高一(下)期末数学试卷与解析word
2016-2017学年安徽省合肥一中高一(下)期末数学试卷一、选择题(每小题5分,共计10个小题.在给出的四个选项中只有一个是正确选项)1.(5分)下列事件是随机事件的是()①当x≥10时,lgx≥1②当x∈R,x2﹣1=0有解③当a∈R,关于x的方程x2+a=0在实数集内有解④当sinα>sinβ时,α>βA.①②B.②③C.③④D.①④2.(5分)设集合,集合B={y|y=x2,x∈R},则A∩B=()A.ϕB.[0,+∞)C.[1,+∞)D.[﹣1,+∞)3.(5分)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是()A.a n=n2﹣(n﹣1)B.a n=n2﹣1 C.a n=D.4.(5分)已知集合A={1,3,5,7},B={4,8}现从集合A中任取一个数为a,从B中任取一个数为b,则b>a的概率为()A.B.C.D.5.(5分)设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=﹣,且当x∈[﹣3,﹣2]时,f(x)=4x,则f(107.5)=()A.10 B.C.﹣10 D.﹣6.(5分)已知等差数列{a n}满足a5+a6=28,则其前10项之和为()A.140 B.280 C.168 D.567.(5分)设方程2x+x=0,log2x+x=0,log2x﹣=0的实数根分别为a,b,c则()A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c8.(5分)△ABC三边a,b,c对应的角分别是A,B,C.若c2<a2+b2+2abcos2C,则角C的取值范围是()A.(0,)B.(0,)C.() D.(,)10.(5分)若定义在[﹣2012,2012]上的函数满足:对任意x1,x2∈[﹣2012,2012],有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣2011,且x>0时,有f(x)>2011成立.令f(x)的最大值和最小值分别为M,N,则M+N的值为()A.2011 B.2012 C.4022 D.4024二、填空题(每小题5分,共计5个小题.将正确的答案写在答题卡相应的横线上)11.(5分)已知tan(α+β)=3,tan(α﹣β)=5,则tan2α=.12.(5分)已知x,y满足|x|+|y|≤4,则z=(x+3)2+(y﹣3)2的最小值是.13.(5分)已知||=5,||=3,||=7则向量与的夹角为.14.(5分)设数列{a n}的所有项和为S(1),第二项及以后所有项和为S(2),第三项及以后所有项和为S(3),…,第n项及以后所有项和为S(n).若数列{S(n)}是首项为,公比为2的等比数列,则a n=.15.(5分)对任意x∈R,函数f(x)满足,设a n=[f (n)]2﹣f(n),数列{a n}的前15项的和为,则f(15)=.三、解答题(本大题共计6小题,共75分)16.(12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(Ⅱ)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB=,f()=﹣,且C为锐角,求sinA.17.(12分)在文理分科前,为了了解高一学生成绩情况,某校抽取部分学生进行一次分科前数学测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3,第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?(2)若成绩在110分以上(含110分)为优秀,试估计该学校全体高一学生的优秀率是多少?(3)在这次测试中,学生数学测试成绩的中位数落在那个小组内?请说明理由.18.(12分)某种商品原来定价每件p元,每月将卖出n件.假若定价上涨x成(注:x成即定价为原来的(1+)倍,0<x≤10,每月卖出数量将减少y成,而售货金额变成原来的z倍.(1)若y=ax,其中a是满足的常数,用a来表示当售货金额最大时x 的值.(2)若y=x,求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围.19.(12分)已知数列1,1,2…它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到.求该数列的前n项和S n.20.(13分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R,a≠0).(1)若a=1,b=﹣4,c=3,求f(x)<0的解集.(2)若a<0,c=﹣2,方程f(x)=x的两实根x1,x2满足x1∈(0,1),x2∈(1,2).求证:﹣4<<﹣1.(3)若函数f(x)的最小值为0,且a<b,求的最小值.21.(14分)设函数f(x)=x2+ax+b(a、b为实常数),已知不等式|f(x)|≤|2x2+4x ﹣6|对任意的实数x均成立.定义数列{a n}和{b n}:a1=3,2a n=f(a n﹣1)+3(n=2,3,…),b n=,数列{b n}的前n项和S n.(I)求a、b的值;(II)求证:;(III )求证:2016-2017学年安徽省合肥一中高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共计10个小题.在给出的四个选项中只有一个是正确选项)1.(5分)下列事件是随机事件的是()①当x≥10时,lgx≥1②当x∈R,x2﹣1=0有解③当a∈R,关于x的方程x2+a=0在实数集内有解④当sinα>sinβ时,α>βA.①②B.②③C.③④D.①④【解答】解:①当x≥10时,lgx≥1,属于确定事件,②当x∈R,x2﹣1=0有解,解得x=±1,属于确定事件③当a∈R,关于x的方程x2+a=0在实数集内有解,需要根据a的值确定解得个数,属于随机事件,④当sinα>sinβ时,α>β,属于随机事件,故选:C.2.(5分)设集合,集合B={y|y=x2,x∈R},则A∩B=()A.ϕB.[0,+∞)C.[1,+∞)D.[﹣1,+∞)【解答】解:集合={x|x≥﹣1};集合B={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0},所以A∩B=(﹣1,+∞)∩[0,+∞)=[0,+∞).故选:B.3.(5分)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是()A.a n=n2﹣(n﹣1)B.a n=n2﹣1 C.a n=D.【解答】解:设此数列为{ a n},则由题意可得a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…仔细观察数列1,3,6,10,15,…可以发现:1=1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,…∴第n项为1+2+3+4+…+n=,∴数列1,3,6,10,15…的通项公式为a n=,故选:C.4.(5分)已知集合A={1,3,5,7},B={4,8}现从集合A中任取一个数为a,从B中任取一个数为b,则b>a的概率为()A.B.C.D.【解答】解:b=4时,a=1,3,b=8时,a=1,3,5,7,故满足条件的概率P===,故选:B.5.(5分)设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=﹣,且当x∈[﹣3,﹣2]时,f(x)=4x,则f(107.5)=()A.10 B.C.﹣10 D.﹣【解答】解:因为f(x+3)=﹣,故有f(x+6)=﹣=﹣=f(x).函数f(x)是以6为周期的函数.f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=﹣=﹣=﹣=.故选:B.6.(5分)已知等差数列{a n}满足a5+a6=28,则其前10项之和为()A.140 B.280 C.168 D.56【解答】解:由等差数列的性质得a5+a6=28=a1+a10,∴其前10项之和为:==140.7.(5分)设方程2x+x=0,log2x+x=0,log2x﹣=0的实数根分别为a,b,c则()A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c【解答】解:∵当x<0时,0<2x<1,则2x+x=0的实数根﹣1<a<0,当x>0时,log 2x∈R,当0<x<1时,log2x<0,∴log2x+x=0的实数根0<b<1,当x>1时,log2x>0,∴log 2x﹣=0的实数根分别为c>1,∴a<b<c,故选:A.8.(5分)△ABC三边a,b,c对应的角分别是A,B,C.若c2<a2+b2+2abcos2C,则角C的取值范围是()A.(0,)B.(0,)C.() D.(,)【解答】解:∵c2=a2+b2﹣2abcosC,c2<a2+b2+2abcos2C,∴﹣cosC<cos2C,化为:(2cosC﹣1)(cosC+1)>0,∴cosC,C∈(0,π),∴C∈.故选:B.10.(5分)若定义在[﹣2012,2012]上的函数满足:对任意x1,x2∈[﹣2012,2012],有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣2011,且x>0时,有f(x)>2011成立.令f(x)的最大值和最小值分别为M,N,则M+N的值为()A.2011 B.2012 C.4022 D.4024【解答】解:∵对于任意x1,x2∈[﹣2012,2012]有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣2011,∴f(0)=2f(0)﹣2011,∴f(0)=2011,令x1=2012,x2=﹣2012,∴f(0)=f(2012﹣2012)=f(2012)+f(﹣2012)﹣2011,∴f(2012)+f(﹣2012)=4022.设x1<x2∈[﹣2012,2012],则x 2﹣x1>0,∵x>0时,f(x)>2011,∴f(x2﹣x1)>2011,∴f(x2)=f[(x2﹣x1)+x1]=f(x2﹣x1)+f(x1)﹣2011>f(x1),∴函数f(x)在[﹣2012,2012]上单调递增,∴f(x)的最大值与最小值分别为M=f(2012)、N=f(﹣2012),则M+N=f(2012)+f(﹣2012)=4022.故选:C.二、填空题(每小题5分,共计5个小题.将正确的答案写在答题卡相应的横线上)11.(5分)已知tan(α+β)=3,tan(α﹣β)=5,则tan2α=﹣.【解答】解:tan2α=tan(α+β+α﹣β)===﹣,故答案为:﹣12.(5分)已知x,y满足|x|+|y|≤4,则z=(x+3)2+(y﹣3)2的最小值是2.【解答】解:由题意,|x|+|y|≤4,表示以(0,0)为中心,边长为4的正方形内部就是所求区域,z=(x+3)2+(y﹣3)2的表示为(﹣3,3)为圆心,为半径,当正方形与圆只有一个点时(外接),圆心到原点的距离为:3.可得:=3﹣2∴z=2,即z=(x+3)2+(y﹣3)2的最小值为2.故答案为:213.(5分)已知||=5,||=3,||=7则向量与的夹角为120°.【解答】解:∵|﹣|=7,∴∴=,∴cos<>==∵∴与的夹角为120°.故答案为:120°14.(5分)设数列{a n}的所有项和为S(1),第二项及以后所有项和为S(2),第三项及以后所有项和为S(3),…,第n项及以后所有项和为S(n).若数列{S(n)}是首项为,公比为2的等比数列,则a n=﹣.【解答】解:根据题意,知:当n<m时,有m≥n+1;∵S(n)是首项为2,公比为的等比数列的前n项和,∴S(n)==4﹣,S(n+1)=4﹣;∴a n=S(n)﹣S(n+1)=4﹣﹣4+=﹣.故答案为:﹣.15.(5分)对任意x∈R,函数f(x)满足,设a n=[f(n)]2﹣f(n),数列{a n}的前15项的和为,则f(15)=.【解答】解:∵,∴,两边平方得,即,即数列{a n}任意相邻两项相加为常数,则,即,又由,可得.故答案为:.三、解答题(本大题共计6小题,共75分)16.(12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(Ⅱ)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB=,f()=﹣,且C为锐角,求sinA.【解答】解:(1)f(x)=cos(2x+)+sin2x=,所以当sin2x=﹣1时,函数f(x)的最大值为,它的最小正周期为:=π;(2)因为==﹣,所以,因为C为锐角,所以;因为在△ABC 中,cosB=,所以,所以=.17.(12分)在文理分科前,为了了解高一学生成绩情况,某校抽取部分学生进行一次分科前数学测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3,第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?(2)若成绩在110分以上(含110分)为优秀,试估计该学校全体高一学生的优秀率是多少?(3)在这次测试中,学生数学测试成绩的中位数落在那个小组内?请说明理由.【解答】解:(1)∵频率分布直方图从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3,∴第二小组的频率是:=0.08,∵第二小组频数为12,∴样本容量是n==150.(2)∵成绩在110分以上(含110分)为优秀,∴估计该学校全体高一学生的优秀率为:(1﹣)×100%=88%.(3)∵[90,120)的频率为:=0.46,[120,130)的频率为:=0.3,∴在这次测试中,学生数学测试成绩的中位数落在第四小组内.18.(12分)某种商品原来定价每件p元,每月将卖出n件.假若定价上涨x成(注:x成即定价为原来的(1+)倍,0<x≤10,每月卖出数量将减少y成,而售货金额变成原来的z倍.(1)若y=ax,其中a是满足的常数,用a来表示当售货金额最大时x 的值.(2)若y=x,求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围.【解答】解:(1)该商品定价上涨x成时,上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p(1+),n(1﹣),npz因而有:npz=p(1+)•n(1﹣),∴z=,在y=ax的条件下…(4分)z=,∵,∴10﹣ax>0∴(10a+ax)(10﹣ax)≤,当且仅当10a+ax=10﹣ax,即x=时成立.即要使的销售金额最大,只要z值最大,这时应有x=.…(8分)(2)由z=得0<x<5即使售货金额比原来有所增加的x的取值范围事(0,5)…(12分)19.(12分)已知数列1,1,2…它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到.求该数列的前n项和S n.【解答】解:设数列{a n}的首项为a1,公比为q,数列{b n}的公差为d,依题意得0+a1=1,①,d+a1q=1,②,2d+a1q2=2,③.由①②③解得:d=﹣1,q=2,a1=1∴a n=2n﹣1,b n=1﹣n∴S n=(a1+a2+…+a n)+(b1+b2+…+b n)=(1+2+…+2n﹣1)﹣[0+1+…+(n﹣1)]=﹣=2n﹣1﹣(n2﹣n).20.(13分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R,a≠0).(1)若a=1,b=﹣4,c=3,求f(x)<0的解集.(2)若a<0,c=﹣2,方程f(x)=x的两实根x1,x2满足x1∈(0,1),x2∈(1,2).求证:﹣4<<﹣1.(3)若函数f(x)的最小值为0,且a<b,求的最小值.【解答】(1)解:a=1,b=﹣4,c=3,f(x)=x2﹣4x+3,由f(x)<0,化为(x﹣1)(x﹣3)<0.解得1<x<3,∴f(x)<0的解集是{x|1<x<3}.(2)证明:方程f(x)=x化为g(x)=ax2+(b﹣1)x﹣2=0,(a<0),∵方程f(x)=x的两实根x1,x2满足x1∈(0,1),x2∈(1,2).∴,即,化为,如图所示阴影部分,P(﹣1,4).k OP=﹣4,∴.(3)解:f(x)=,∵函数f(x)的最小值为0,且a<b,∴0<a<b,b2=4ac.令,===+4≥2+4=8,当且仅当t=3即b=3a>0时取等号.∴的最小值为8.21.(14分)设函数f(x)=x2+ax+b(a、b为实常数),已知不等式|f(x)|≤|2x2+4x ﹣6|对任意的实数x均成立.定义数列{a n}和{b n}:a1=3,2a n=f(a n﹣1)+3(n=2,3,…),b n=,数列{b n}的前n项和S n.(I)求a、b的值;(II)求证:;(III )求证:【解答】解:( I )由|f (x )|≤|2x 2+4x ﹣6|=2|(x +3)(x ﹣1)|得f (﹣3)=0,f (1)=0,故a=2,b=﹣3,∴f (x )=x 2+2x ﹣3(II )由2a n =f (a n ﹣1)+3=a n ﹣12+2a n ﹣1=a n ﹣1(a n ﹣1+2)(n ≥2)得,∴∴=∵2a n =a n ﹣12+2a n ﹣1(n ≥2),∴2a n ﹣2a n ﹣1=a n ﹣12≥0(n ≥2), ∴a n ≥a n ﹣1(n ≥2),从而a n ≥a n ﹣1≥≥a 2≥a 1=3>0,即a n +1>0,∴(III )由2a n =a n ﹣12+2a n ﹣1(n ≥2)得(a n ﹣1+1)2=2a n +1<2(a n +1)(n ≥2), 设a n +1=c n ,则c 1=4,且2c n >c n ﹣12(n ≥2), 于是1+log 2c n >2log 2c n ﹣1(n ≥2),设d n =log 2c n ,则d 1=2,且1+d n >2d n ﹣1(n ≥2),∴d n ﹣1>2(d n ﹣1﹣1)(n ≥2), ∴d n ﹣1>22(d n ﹣2﹣1)>>2n ﹣1(d 1﹣1)=2n ﹣1(n ≥2), 从而n ≥2时, 当n=1时,,∴赠送初中数学几何模型【模型五】垂直弦模型:图形特征:运用举例:1.已知A、B、C、D是⊙O上的四个点.(1)如图1,若∠ADC=∠BCD=90°,AD=CD,求证AC⊥BD;(2)如图2,若AC⊥BD,垂足为E,AB=2,DC=4,求⊙O的半径.2.如图,已知四边形ABCD内接于⊙O,对角线AC⊥BD于P,设⊙O的半径是2。
2016-2017学年安徽省合肥市庐江县高一下学期期末数学试卷(答案+解析)
安徽省合肥市庐江县2016-2017学年高一(下)期末数学试卷一、选择题(共11小题,每小题5分,满分55分)1.(5分)下列四个数中数值最大的是()A.1111(2)B.16 C.23(7)D.30(6)2.(5分)为估测某校初中生的身高情况,现从初二(四)班的全体同学中随机抽取10人进行测量,其身高数据如茎叶图所示,则这组数据的众数和中位数分别为()A.172,172 B.172,169 C.172,168.5 D.169,1723.(5分)某校为了解学生学习的情况,采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中,抽取81人进行问卷调查.已知高二被抽取的人数为30,那么n=()A.860 B.720 C.1020 D.10404.(5分)实验测得四组数对(x,y)的值为(1,2),(2,5),(4,7),(5,10),则y与x之间的回归直线方程可能是()A.B.C.D.5.(5分)按下列程序框图运算,则输出的结果是()A.42 B.128 C.170 D.6826.(5分)在△ABC中,若sin2A+sin2B<sin2C,则△ABC的形状是()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不能确定7.(5分)在等比数列{a n}中,a3=7,前3项之和S3=21,则公比q的值等于()A.1 B.﹣C.1或D.﹣1或8.(5分)若x、y满足约束条件,则z=3x﹣2y的最小值为()A.B.﹣C.﹣5 D.59.(5分)《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白,与著名的海伦公式完全等价,由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平,其求法是:“以小斜幂并大斜幂减中斜幂,余半之,自乘于上.以小斜幂乘大斜幂减上,余四约之,为实.一为从隔,开平方得积.”若把以上这段文字写成公式,即S=.现有周长为2+的△ABC满足sin A:sin B:sin C=(﹣1)::(+1),试用以上给出的公式求得△ABC的面积为()A.B.C.D.10.(5分)在区间(0,3]上随机取一个数x,则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为()A.B.C.D.11.(5分)如果a<b<0,那么下列不等式成立的是()A.B.ab<b2C.﹣ab<﹣a2D.请在下面A题和B题中选做一题A题12.(5分)已知定义在R上的函数f(x)对任意的实数x1、x2满足f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+2,且f(1)=0,则f(2017)=()A.4032 B.2016 C.2017 D.4034B题13.(5分)设f(x)是定义在R上恒不为零的函数,且对任意的x、y∈R都有f(x)•f(y)=f(x+y),若a1=,a n=f(n)(n∈N*),则数列{a n}的前n项和S n的取值范围是()A.[,1)B.[,1] C.(,1)D.(,1]二、填空题(共3小题,每小题5分,满分15分)14.(5分)已知数列{a n}中,a1=2,a n=a n﹣1﹣(n≥2),则数列{a n}的前12项和为.15.(5分)在△ABC中,内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c,若b sin A﹣a cos B=0,则A+C=.16.(5分)已知正实数x,y满足x+2y﹣xy=0,则x+2y的最小值为y的取值范围是.请在下面A题和B题中任选一题A题17.(5分)设函数f(x)=mx2﹣mx﹣1.若对一切实数x,f(x)<0恒成立,则m的取值范围是.B题18.(5分)已知函数f(x)=mx2﹣mx﹣1,对于任意的x∈[1,3],f(x)<﹣m+5恒成立,则m的取值范围是.三、解答题(共5小题,满分58分)19.(10分)已知不等式ax2+bx﹣1<0的解集为{x|﹣1<x<2}.(1)计算a、b的值;(2)求解不等式x2﹣ax+b>0的解集.20.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知△ABC的面积为.(1)求sin B sin C;(2)若6cos B cos C=1,a=3,求△ABC的周长.21.(12分)根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定:居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米,PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米.我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度(单位:微克/立方米)的监测数据,数据统计如表(1)从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中,随机抽取2天,求恰好有一天P M2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率;(2)将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图.①求图中a的值;②求样本平均数,并根据样本估计总体的思想,从PM2.5的年平均浓度考虑,判断该居民区的环境质量是否需要改善?并说明理由.22.(12分)某厂生产甲、乙两种产品每吨所需的煤、电和产值如下表所示.但国家每天分配给该厂的煤、电有限,每天供煤至多47吨,供电至多300千瓦,问该厂如何安排生产,使得该厂日产值最大?最大日产值为多少?23.(12分)某基建公司年初以100万元购进一辆挖掘机,以每年22万元的价格出租给工程队.基建公司负责挖掘机的维护,第一年维护费为2万元,随着机器磨损,以后每年的维护费比上一年多2万元,同时该机器第x(x∈N*,x≤16)年末可以以(80﹣5x)万元的价格出售.(1)写出基建公司到第x年末所得总利润y(万元)关于x(年)的函数解析式,并求其最大值;(2)为使经济效益最大化,即年平均利润最大,基建公司应在第几年末出售挖掘机?说明理由.请在下面A题和B题中选做一题A题24.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且a1=1,S n+1﹣2S n=1(n∈N*).(1)求数列{a n}的通项公式;(2)若数列{b n}满足b n=n+,求数列{b n}的前n项和T n.B题25.(12分)设f k(n)为关于n的k(k∈N)次多项式.数列{a n}的首项a1=1,前n项和为S n.对于任意的正整数n,a n+S n=f k(n)都成立.(I)若k=0,求证:数列{a n}是等比数列;(Ⅱ)试确定所有的自然数k,使得数列{a n}能成等差数列.【参考答案】一、选择题1.D【解析】对于A,1111(2)=1×1+1×2+1×4+1×8=15,对于C,23(7)=2×7+3×1=17;对于D,30(6)=3×6+0×1=18,∴四个数中数值最大的是18,即30(6).故选D.2.B【解析】由茎叶图可知:这组数据为158,160,161,165,166,172,172,174,177,183,所以其中位数为=169,由茎叶图知出现次数最多的数是172,可得众数为172.故选B.3.D【解析】由已知条件抽样比为,从而,解得n=1040,故选D.4.A【解析】由题意可知=3,=6,回归直线方程经过(3,6).代入选项,A符合.故选A.5.C【解析】模拟程序的运行,可得i=1,S=0执行循环体,S=2,i=3不满足条件i≥9,执行循环体,S=2+23,i=5不满足条件i≥9,执行循环体,S=2+23+25,i=7不满足条件i≥9,执行循环体,S=2+23+25+27,i=9满足条件i≥9,退出循环,输出S的值为:2+23+25+27=170.6.C【解析】∵sin2A+sin2B<sin2C,由正弦定理可得,a2+b2<c2由余弦定理可得cos C=∴∴△ABC是钝角三角形故选C.7.C【解析】∵在等比数列{a n}中,a3=7,S3=21,∴,化简得2q2﹣q﹣1=0,解得q=1或,故选C.8.C【解析】由约束条件作出可行域如图:联立,解得A(﹣1,1).化目标函数z=3x﹣2y为y=,由图可知,当直线y=过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最小值为﹣5.9.A【解析】因为sin A:sin B:sin C=(﹣1)::(+1),所以由正弦定理得,a:b:c=(﹣1)::(+1),又△ABC的周长为2+,则a=(﹣1)、b=、c=(+1),所以△ABC的面积S====,故选A.10.C【解析】在区间(0,3]上随机取一个数x,则事件“0≤log2x≤1”发生的x范围为[1,2],所以由几何概型的公式得到概率为;故选C.11.D【解析】由于a<b<0,不妨令a=﹣2,b=﹣1,可得=﹣1,∴,故A不正确.可得ab=2,b2=1,∴ab>b2,故B不正确.可得﹣ab=﹣2,﹣a2=﹣4,∴﹣ab>﹣a2,故C不正确.故选D.12.A【解析】f(1)=0,f(2)=f(1)+f(1)+2=0+0+2=2,f(3)=f(2)+f(1)+2=2+2=4,f(4)=f(3)+f(1)+2=4+2=6,…∴f(n)=2n﹣2.用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,f(1)=2×1﹣2=0,结论成立.(2)假设n=k时,结论成立,即f(k)=2k﹣2,则当n=k+1时,f(k+1)=f(k)+f(1)+2=2k﹣2+2=2k,结论也成立,由(1)、(2)知,f(n)=2n﹣2.∴f(2017)=2×2017﹣2=4032.故选A.13.A【解析】∵对任意x,y∈R,都有f(x)•f(y)=f(x+y),∴令x=n,y=1,得f(n)•f(1)=f(n+1),即==f(1)=,∴数列{a n}是以为首项,以为公比的等比数列,∴a n=f(n)=()n,∴S n==1﹣()n,由1﹣()n在n∈N*上递增,可得最小值为1﹣=,则S n∈[,1).故选A.二、填空题14.﹣9【解析】a1=2,a n=a n﹣1﹣(n≥2),即有a n﹣a n﹣1=﹣(n≥2),可得数列{a n}为首项2,公差d为﹣的等差数列,则数列{a n}的前12项和为12×2+×12×11×(﹣)=﹣9.故答案为﹣9.15.120°【解析】在△ABC中,b sin A﹣a cos B=0,由正弦定理可得:sin B sin A=sin A cos B,∵sin A≠0.∴sin B=cos B,可得:tanB=,∴B=60°,则A+C=180°﹣B=120°.故答案为120°.16.8;(1,+∞)【解析】∵正实数x,y满足x+2y﹣xy=0,∴x+2y=2xy≤,化为(x+2y)(x+2y﹣8)≥0,解得x+2y≥8,当且仅当y=2,x=4时取等号.则x+2y的最小值为8.由正实数x,y满足x+2y﹣xy=0,∴x=>0,∴y(y﹣1)>0,解得y>1.∴y的取值范围是(1,+∞).故答案分别为8;(1,+∞).17.(﹣4,0]【解析】m=0时f(x)=﹣1<0成立,或m≠0时,结合题意得:,解得:﹣4<m≤0,因此实数m的取值范围(﹣4,0].18.(﹣∞,)【解析】依题意,x∈[1,3],mx2﹣mx﹣1<﹣m+5恒成立⇔m(x2﹣x+1)<6恒成立,∵x2﹣x+1=(x﹣)2+>0,∴m<恒成立,x∈[1,3],又当x=3时,x2﹣x+1取得最大值7,∴m<()min=,即m的取值范围是:m<.故答案为(﹣∞,).三、解答题19.解:(1)∵不等式ax2+bx﹣1<0的解集为{x|﹣1<x<2},∴方程ax2+bx﹣1=0的两个根为﹣1和2,将两个根代入方程中得,解得:a=,b=﹣;(2)由(1)得不等式为x2﹣x﹣>0,即2x2﹣x﹣1>0,∵△=(﹣1)2﹣4×2×(﹣1)=9>0,∴方程2x2﹣x﹣1=0的两个实数根为:x1=﹣,x2=1;因而不等式x2﹣x﹣>0的解集是{x|x<﹣或x>1}.20.解:(1)由三角形的面积公式可得S△ABC=ac sin B=,∴3c sin B sin A=2a,由正弦定理可得3sin C sin B sin A=2sin A,∵sin A≠0,∴sin B sin C=;(2)∵6cos B cos C=1,∴cos B cos C=,∴cos B cos C﹣sin B sin C=﹣=﹣,∴cos(B+C)=﹣,∴cos A=,∵0<A<π,∴A=,∵===2R==2,∴sin B sin C=•===,∴bc=8,∵a2=b2+c2﹣2bc cos A,∴b2+c2﹣bc=9,∴(b+c)2=9+3cb=9+24=33,∴b+c=∴周长a+b+c=3+.21.解:(1)设PM2.5的24小时平均浓度在(50,75]内的三天记为A1,A2,A3,PM2.5的24小时平均浓度在(75,100)内的两天记为B1,B2.所以5天任取2天的情况有:A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2共10种.其中符合条件的有:A1B1,A1B2,A2B1,A2B2,A3B1,A3B2共6种.所以所求的概率P==.(2)①由第四组的频率为:0.1得:25a=0.1,解得:a=0.004②去年该居民区PM2.5年平均浓度为:12.5×0.15+37.5×0.6+62.5×0.15+87.5×0.1=42.5(微克/立方米).因为42.5>35,所以去年该居民区PM2.5年平均浓度不符合环境空气质量标准,故该居民区的环境需要改进.22.解:设生产甲、乙两种产品各x吨、y吨,日产值为z万元由题意得x,y的约束条件为:,目标函数z=12x+8y,作出可行域(如图阴影)在图中作直线y=﹣x,当平移至过点A时,Z取最大值,联立两直线方程可得A(4,5),代入计算可得Z的最大值为88,故每天生产甲4吨,乙5吨,时日产值最大为88万元.23.解:(1)y=22x+(80﹣5x)﹣100﹣(2+4+…+2x)=﹣20+17x﹣x(2+2x)=﹣x2+16x﹣20=﹣(x﹣8)2+44(x≤16,x∈N),由二次函数的性质可得,当x=8时,y max=44,即有总利润的最大值为44万元;(2)年平均利润为=16﹣(x+),设f(x)=16﹣(x+),x>0,由x+≥2=4,当x=2时,取得等号.由于x为整数,且4<2<5,f(4)=16﹣(4+5)=7,f(5)=7,即有x=4或5时,f(x)取得最大值,且为7万元.故使得年平均利润最大,基建公司应在第4或5年末出售挖掘机.24.解:(1)a1=1,S n+1﹣2S n=1,即为S n+1+1=2(S n+1),即有数列{S n+1}是以S1+1=2,2为公比的等比数列,则S n+1=2•2n﹣1=2n,即S n=2n﹣1,n∈N*,当n≥2时,a n=S n﹣S n﹣1=2n﹣1﹣(2n﹣1﹣1)=2n﹣1,上式对n=1也成立,则数列{a n}的通项公式为a n=2n﹣1,n∈N*;(2)b n=n+=n+n•()n﹣1,前n项和T n=(1+2+3+…+n)+[1•1+2•()+3•()2+…+n•()n﹣1],设M n=1•1+2•()+3•()2+…+n•()n﹣1,M n=1•+2•()2+3•()3+…+n•()n,相减可得,M n=1++()2+()3+…+()n﹣1﹣n•()n=﹣n•()n,化简可得M n=4﹣(n+2)•()n﹣1,则T n=n(n+1)+4﹣(n+2)•()n﹣1.25.(Ⅰ)证明:若k=0,则f k(n)即f0(n)为常数,不妨设f0(n)=c(c为常数).因为a n+S n=f k(n)恒成立,所以a1+S1=c,c=2a1=2.而且当n≥2时,a n+S n=2,①a n﹣1+S n﹣1=2,②①﹣②得2a n﹣a n﹣1=0(n∈N,n≥2).若a n=0,则a n﹣1=0,…,a1=0,与已知矛盾,所以a n≠0(n∈N*).故数列{a n}是首项为1,公比为的等比数列.(Ⅱ)解:(1)若k=0,由(Ⅰ)知,不符题意,舍去.(2)若k=1,设f1(n)=bn+c(b,c为常数),当n≥2时,a n+S n=bn+c,③a n﹣1+S n﹣1=b(n﹣1)+c,④③﹣④得2a n﹣a n﹣1=b(n∈N,n≥2).要使数列{a n}是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有a n=b﹣d(常数),而a1=1,故{a n}只能是常数数列,通项公式为a n=1(n∈N*),故当k=1时,数列{a n}能成等差数列,其通项公式为a n=1(n∈N*),此时f1(n)=n+1.(3)若k=2,设f2(n)=pn2+qn+t(a≠0,a,b,c是常数),当n≥2时,a n+S n=pn2+qn+t,⑤a n﹣1+S n﹣1=p(n﹣1)2+q(n﹣1)+t,⑥⑤﹣⑥得2a n﹣a n﹣1=2pn+q﹣p(n∈N,n≥2),要使数列{a n}是公差为d(d为常数)的等差数列,必须有a n=2pn+q﹣p﹣d,且d=2p,考虑到a1=1,所以a n=1+(n﹣1)•2p=2pn﹣2p+1(n∈N*).故当k=2时,数列{a n}能成等差数列,其通项公式为a n=2pn﹣2p+1(n∈N*),此时f2(n)=an2+(a+1)n+1﹣2a(a为非零常数).(4)当k≥3时,若数列{a n}能成等差数列,根据等差数列通项公式可知Sn是关于n的二次型函数,则a n+S n的表达式中n的最高次数为2,故数列{a n}不能成等差数列.综上得,当且仅当k=1或2时,数列{a n}能成等差数列.。
2015-2016年安徽省合肥一中高一(下)期末数学试卷(解析版)
2015-2016学年安徽省合肥一中高一(下)期末数学试卷一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.(5分)已知sinα=,并且α是第二象限的角,那么tanα的值等于()A.﹣B.﹣C.D.2.(5分)某交高三年级有男生500人,女生400人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是()A.简单随机抽样法B.抽签法C.随机数表法D.分层抽样法3.(5分)已知变量x,y满足约束条件,则z=x+2y的最小值为()A.3B.1C.﹣5D.﹣64.(5分)为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动,某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛,9位评委给高三.1班打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清,若记分员计算无误,则数字x应该是()A.2B.3C.4D.55.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为6,则输出s的值为()A.105B.16C.15D.16.(5分)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.B.C.D.7.(5分)为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,可以将函数y=cos2x的图象()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度8.(5分)在等比数列{a n}中,a1<0,若对正整数n都有a n<a n+1,那么公比q的取值范围是()A.q>1B.0<q<1C.q<0D.q<19.(5分)函数y=的图象大致为()A.B.C.D.10.(5分)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点P为矩形ABCD内一点,则使得•≥1的概率为()A.B.C.D.11.(5分)已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,若﹣3,S5,S10成等差数列,则S15﹣S10的最小值为()A.8B.9C.10D.1212.(5分)设2cos x﹣2x+π+4=0,y+sin y•cos y﹣1=0,则sin(x﹣2y)的值为()A.1B.C.D.二、填空题13.(5分)已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=.14.(5分)若x,y>0,且,则x+3y的最小值为.15.(5分)已知非零向量,满足||=1,与﹣的夹角为120°,则||的取值范围是.16.(5分)已知f(x)=,x∈R,若对任意θ∈(0,],都有f(m sinθ)+f(1﹣m)>0成立,则实数m的取值范围是.三、解答题(共70分)17.(10分)设函数f(x)=•,其中向量=(m,cos2x),=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点(Ⅰ)求实数m的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最小值及此时x的取值集合.18.(12分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.19.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(a cos B+b cos A)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若△ABC的周长为5+,面积为,求c.20.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n=2a n﹣2.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设函数f(x)=()x,数列{b n}满足条件b1=2,f(b n+1)=,(n∈N*),若c n=,求数列{c n}的前n项和T n.21.(12分)如图,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.(1)设AD=x(x≥0),ED=y,求用x表示y的函数关系式;(2)如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?请予证明.22.(12分)已知f(x)=|x2﹣1|+x2+kx.(Ⅰ)若k=2,求方程f(x)=0的解;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个解x1,x2,求k的取值范围,并证明.2015-2016学年安徽省合肥一中高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(共12小题,每小题5分,共60分)1.(5分)已知sinα=,并且α是第二象限的角,那么tanα的值等于()A.﹣B.﹣C.D.【考点】GG:同角三角函数间的基本关系.【解答】解:∵sinα=且α是第二象限的角,∴,∴,故选:A.2.(5分)某交高三年级有男生500人,女生400人,为了解该年级学生的健康情况,从男生中任意抽取25人,从女生中任意抽取20人进行调查.这种抽样方法是()A.简单随机抽样法B.抽签法C.随机数表法D.分层抽样法【考点】B3:分层抽样方法.【解答】解:总体由男生和女生组成,比例为500:400=5:4,所抽取的比例也是5:4.故选:D.3.(5分)已知变量x,y满足约束条件,则z=x+2y的最小值为()A.3B.1C.﹣5D.﹣6【考点】7C:简单线性规划.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,化目标函数z=x+2y为,由图可知当直线过A(﹣1,﹣2)时z有最小值为﹣1+2×(﹣2)=﹣5.故选:C.4.(5分)为积极倡导“学生每天锻炼一小时”的活动,某学校举办了一次以班级为单位的广播操比赛,9位评委给高三.1班打出的分数如茎叶图所示,统计员在去掉一个最高分和一个最低分后,算得平均分为91,复核员在复核时,发现有一个数字(茎叶图中的x)无法看清,若记分员计算无误,则数字x应该是()A.2B.3C.4D.5【考点】BA:茎叶图.【解答】解:∵由题意知记分员在去掉一个最高分94和一个最低分87后,余下的7个数字的平均数是91,=91,∴635+x=91×7=637,∴x=2,故选:A.5.(5分)执行如图所示的程序框图,若输入n的值为6,则输出s的值为()A.105B.16C.15D.1【考点】EF:程序框图.【解答】解:如图所示的循环结构是当型循环结构,它所表示的算式为s=1×3×5×…×(2i﹣1)∴输入n的值为6时,输出s的值s=1×3×5=15.故选:C.6.(5分)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为()A.B.C.D.【考点】CB:古典概型及其概率计算公式.【解答】解:4张卡片上分别写有数字1,2,3,4,从这4张卡片中随机抽取2张,基本事件总数n==6,取出的2张卡片上的数字之和为奇数包含的基本事件个数m==4,∴取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率为=.故选:C.7.(5分)为了得到函数y=sin(2x﹣)的图象,可以将函数y=cos2x的图象()A.向右平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向左平移个单位长度【考点】HJ:函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.【解答】解:∵y=sin(2x﹣)=cos[﹣(2x﹣)]=cos(﹣2x)=cos(2x﹣)=cos[2(x﹣)],∴将函数y=cos2x的图象向右平移个单位长度.故选:B.8.(5分)在等比数列{a n}中,a1<0,若对正整数n都有a n<a n+1,那么公比q的取值范围是()A.q>1B.0<q<1C.q<0D.q<1【考点】87:等比数列的性质.【解答】解:在等比数列{a n}中,a1<0,若对正整数n都有a n<a n+1,则a n<a n q即a n(1﹣q)<0若q<0,则数列{a n}为正负交错数列,上式显然不成立;若q>0,则a n<0,故1﹣q>0,因此0<q<19.(5分)函数y=的图象大致为()A.B.C.D.【考点】3M:奇偶函数图象的对称性;H7:余弦函数的图象.【解答】解:令y=f(x)=,∵f(﹣x)==﹣=﹣f(x),∴函数y=为奇函数,∴其图象关于原点对称,可排除A;又当x→0+,y→+∞,故可排除B;当x→+∞,y→0,故可排除C;而D均满足以上分析.故选:D.10.(5分)在矩形ABCD中,AB=2,AD=1,点P为矩形ABCD内一点,则使得•≥1的概率为()A.B.C.D.【考点】9O:平面向量数量积的性质及其运算;CF:几何概型.【解答】解:将矩形放在坐标系中,设P(x,y),则A(0,0),C(2,1),则•≥1等价为2x+y≥1,作出不等式对应的区域,为五边形DCBE,当y=0时,x=,即E(,0),则△ADE的面积S==,则五边形DCBE的面积S=2﹣=则•≥1的概率P==,故选:D.11.(5分)已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n,若﹣3,S5,S10成等差数列,则S15﹣S10的最小值为()A.8B.9C.10D.12【考点】8M:等差数列与等比数列的综合.【解答】解:由题意得2S5=﹣3+S10,∴S10﹣2S5=3.由数列{a n}为等比数列可知,S5,S10﹣S5,S15﹣S10成等比数列,∴(S10﹣S5)2=S5(S15﹣S10),即S15﹣S10==+S5+6≥2+6=12,当且仅当S5=3时上式“=”成立.即有S15﹣S10的最小值为12.故选:D.12.(5分)设2cos x﹣2x+π+4=0,y+sin y•cos y﹣1=0,则sin(x﹣2y)的值为()A.1B.C.D.【考点】GF:三角函数的恒等变换及化简求值.【解答】解:由y+sin y cos y﹣1=0,得y+sin2y﹣1=0,令2y=x﹣,代入方程上述方程可得:﹣+sin﹣1=0,整理得:2cos y﹣2y+π+4=0,满足已知条件.∴x﹣2y=,则sin(2x﹣y)=sin=1.故选:A.二、填空题13.(5分)已知等差数列{a n}的公差为2,若a1,a3,a4成等比数列,则a2=﹣6.【考点】87:等比数列的性质.【解答】解:由等差数列{a n}的公差为2,得到a3=a1+4,a4=a1+6,又a1,a3,a4成等比数列,∴(a1+4)2=a1•(a1+6),解得:a1=﹣8,则a2=a1+d=﹣8+2=﹣6.故答案为:﹣614.(5分)若x,y>0,且,则x+3y的最小值为16.【考点】7F:基本不等式及其应用.【解答】解:∵x,y>0,且,∴x+3y==10+≥10+6=16,当且仅当x+3y=1,即=y取等号.因此x+3y的最小值为16.故答案为16.15.(5分)已知非零向量,满足||=1,与﹣的夹角为120°,则||的取值范围是(0,].【考点】9S:数量积表示两个向量的夹角.【解答】解:设,,如图所示:则由又∵与﹣的夹角为120°,∴∠ABC=60°又由||=||=1由正弦定理=得||=sin C≤∴||∈(0,]故答案为:.16.(5分)已知f(x)=,x∈R,若对任意θ∈(0,],都有f(m sinθ)+f(1﹣m)>0成立,则实数m的取值范围是(﹣∞,1].【考点】2H:全称量词和全称命题.【解答】解:∵f(x)=,x∈R,∴f(﹣x)==﹣==﹣f(x),则函数f(x)为奇函数,且函数f(x)在(﹣∞,+∞)是为增函数,由f(m sinθ)+f(1﹣m)>0,得f(m sinθ)>﹣f(1﹣m)=f(m﹣1),则m sinθ>m﹣1,即(1﹣sinθ)m<1,当θ=时,sinθ=1,此时不等式等价为0<1成立,当θ∈(0,),0<sinθ<1,∴m<,∵0<sinθ<1,∴﹣1<﹣sinθ<0,0<1﹣sinθ<1,则>1,则m≤1,故答案为:(﹣∞,1].三、解答题(共70分)17.(10分)设函数f(x)=•,其中向量=(m,cos2x),=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点(Ⅰ)求实数m的值;(Ⅱ)求函数f(x)的最小值及此时x的取值集合.【考点】9Y:平面向量的综合题.【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)==m(1+sin2x)+cos2x=m+m sin2x+cos2x由已知,∴2m=2即m=1(Ⅱ)由(Ⅰ)得∴当=﹣1时,f(x)的最小值为此时2x+=即{x|,k∈Z}18.(12分)某校100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示,其中成绩分组区间是:[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100].(1)求图中a的值;(2)根据频率分布直方图,估计这100名学生语文成绩的平均分;(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如表所示,求数学成绩在[50,90)之外的人数.【考点】B8:频率分布直方图;BB:众数、中位数、平均数;BE:用样本的数字特征估计总体的数字特征.【解答】解:(1)依题意得,10(2a+0.02+0.03+0.04)=1,解得a=0.005;(2)这100名学生语文成绩的平均分为:55×0.05+65×0.4+75×0.3+85×0.2+95×0.05=73(分);(3)数学成绩在[50,60)的人数为:100×0.05=5,数学成绩在[60,70)的人数为:,数学成绩在[70,80)的人数为:,数学成绩在[80,90)的人数为:,所以数学成绩在[50,90)之外的人数为:100﹣5﹣20﹣40﹣25=10.19.(12分)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知2cos C(a cos B+b cos A)=c.(Ⅰ)求C;(Ⅱ)若△ABC的周长为5+,面积为,求c.【考点】HP:正弦定理;HR:余弦定理.【解答】解:(Ⅰ)∵2cos C(a cos B+b cos A)=c,∴2cos C(sin A cos B+sin B cos A)=sin C,∴2cos C sin(A+B)=sin C,可得:2cos C sin C=sin C,∵0<C<π,sin C≠0,∴cos C=,可得:C=.(Ⅱ)由题意可得:S=ab sin C=,∴解得:ab=6,又∵a2+b2﹣2ab cos=c2,可得:(a+b)2﹣3ab=c2,可得:(a+b)2﹣18=c2,又a+b+c=5+,∴(5+﹣c)2﹣18=c2,∴解得:c=.20.(12分)已知数列{a n}的前n项和为S n,且满足S n=2a n﹣2.(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式;(Ⅱ)设函数f(x)=()x,数列{b n}满足条件b1=2,f(b n+1)=,(n∈N*),若c n=,求数列{c n}的前n项和T n.【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.【解答】解:(Ⅰ)当n=1,a1=2a1﹣2,即a1=2,当n≥2时,S n﹣1=2a n﹣1﹣2,a n=S n﹣S n﹣1=2a n﹣2﹣(2a n﹣1﹣2)=2a n﹣2a n﹣1,∴a n=2a n﹣1,∴数列{a n}是以2为首项,2为公比的等比数列,∴a n=2×2n﹣1=2n,数列{a n}的通项公式a n=2n;(Ⅱ∵)f(x)=()x,f(b n+1)=,(n∈N*),∴=,∴=,即b n+1=b n+3,∴b n+1﹣b n=3,b1=f(﹣1)=2,∴数列{b n}是以2为首项,3为公差的等差数列,∴b n=3n﹣1,c n==,∴T n=+++…++,T n=+++…++,两式相减得:T n=1++++…+﹣,=1+×﹣,=1+(1﹣)﹣,∴T n=2+3(1﹣)﹣,=2+3•﹣,∴T n=5•.21.(12分)如图,公园有一块边长为2的等边△ABC的边角地,现修成草坪,图中DE把草坪分成面积相等的两部分,D在AB上,E在AC上.(1)设AD=x(x≥0),ED=y,求用x表示y的函数关系式;(2)如果DE是灌溉水管,为节约成本,希望它最短,DE的位置应在哪里?如果DE是参观线路,则希望它最长,DE的位置又应在哪里?请予证明.【考点】7F:基本不等式及其应用;HU:解三角形.【解答】解(1)在△ADE中,y2=x2+AE2﹣2x•AE•cos60°⇒y2=x2+AE2﹣x•AE,①又S△ADE=S△ABC==x•AE•sin60°⇒x•AE=2.②②代入①得y2=x2+﹣2(y>0),∴y=(1≤x≤2);(2)如果DE是水管y=≥,当且仅当x2=,即x=时“=”成立,故DE∥BC,且DE=.如果DE是参观线路,记f(x)=x2+,可知函数在[1,]上递减,在[,2]上递增,故f(x)max=f(1)=f(2)=5.∴y max=.即DE为AB中线或AC中线时,DE最长.22.(12分)已知f(x)=|x2﹣1|+x2+kx.(Ⅰ)若k=2,求方程f(x)=0的解;(Ⅱ)若关于x的方程f(x)=0在(0,2)上有两个解x1,x2,求k的取值范围,并证明.【考点】53:函数的零点与方程根的关系;57:函数与方程的综合运用.【解答】解:(Ⅰ)解:(1)当k=2时,f(x)=|x2﹣1|+x2+kx①当x2﹣1≥0时,即x≥1或x≤﹣1时,方程化为2x2+2x﹣1=0解得,因为,故舍去,所以.②当x2﹣1<0时,﹣1<x<1时,方程化为2x+1=0解得由①②得当k=2时,方程f(x)=0的解所以或.(II)解:不妨设0<x1<x2<2,因为所以f(x)在(0,1]是单调函数,故f(x)=0在(0,1]上至多一个解,若1<x1<x2<2,则x1x2=<0,故不符题意,因此0<x1≤1<x2<2.由f(x1)=0得,所以k≤﹣1;由f(x2)=0得,所以;故当时,方程f(x)=0在(0,2)上有两个解.当0<x1≤1<x2<2时,,2x22+kx2﹣1=0消去k得2x1x22﹣x1﹣x2=0即,因为x2<2,所以.。
2016-2017安徽省合肥一中、六中联考高一数学下册期末数学考试卷(含答案和解析)
B.2011 年农民工人均月收入是 2205 元
C.2009 年到 2013 年这五年中 2013 年农民工人均月收入最高
D.小明看了统计图后说:“农民工 2012 年的人均月收入比 2011 年的少了”
8.(5 分)在下列函数中,最小值为 2 的是( )
A.y=ex+e﹣x
B.y=cosx+ ���������1���������������(0<x< ���2���) C.y=x+x﹣1
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19.(12 分)在某化学反应的中间阶段,压力保持不变,温度从 1℃变化到 5℃,反应结果如表所示(t 表示温度,y
表示结果):
(1)判断变量 t 与 y 之间的正相关还是负相关,请用相关系数加以说明(精确到 0.01);
子落在其内切圆外的概率是( )
A.31���0���
B.32���0���
C.1
−
3������ 10
D.1
−
3������ 20
10.(5
分)在等比数列{an}中,若
a2a5=
− 34,a2+a3+a4+a5=
54,则���1���2
+
1 ������3
+
1 ������4
+
1 ������5
=(
A.2
B.32
C.53
D.lg(b﹣a)<0 D.85
第 2 题图
第 3 题图
第 6 题图
3.(5 分)对某商店一个月内每天的顾客人数进行统计,得到样本的茎叶图(如图所示),则该样本的中位数、众数、
极差分别为( )
A.46 45 53
B.46 45 56
安徽高一高中数学期末考试带答案解析
安徽高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名:___________ 分数:___________一、选择题1.已知全集R,集合M={x|x>1},N={x||x|≤2},则(∁M)∩N等于()RA.(﹣2,1]B.[﹣2,1)C.[﹣2,1]D.[1,2]2.函数f(x)=x+lnx﹣2的零点所在区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)3.若函数,则f(f(1))的值为()A.﹣1B.0C.1D.24.已知,那么cosα=()A.B.C.D.5.要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需将函数y=sin4x的图象()A.向左平移单位B.向右平移单位C.向左平移单位D.向右平移单位6.已知,,,则=()A.﹣8B.﹣10C.10D.87.已知=(1,2),=(﹣3,2),k+与﹣3平行,则k的值为()A.3B.C.D.﹣8.函数的定义域是()A.B.[1,+∞)C.D.(﹣∞,1]9.给出下列函数:(1)y=2x;(2)y=x2;(3);(4)y=x2+1;(5),其中是幂函数的序号为()A.(2)(3)B.(1)(2)C.(2)(3)(5)D.(1)(2)(3)10.若将函数f(x)=2sinxcosx﹣2sin2x+1的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是()A.B.C.D.11.设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,,则a,b,c大小关系()A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b12.函数f(x)=的图象大致为()A.B.C.D.二、填空题1.sin215°﹣cos215°= .2.已知函数(x∈[2,6]),则f(x)的值域是.3.已知=2016,则+tan2α=.4.在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③,④中,最小正周期为π的所有函数为.(请填序号)三、解答题1.(1)计算:;(2)已知f(x)在R上是奇函数,且f(x+2)=﹣f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,求f(2015).2.定义在(﹣1,1)上的奇函数f(x)是减函数,且f(1﹣a)+f(1﹣a2)<0,求实数a的取值范围.3.已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx),x∈R.(1)求的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间;(3)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.4.如图,三个同样大小的正方形并排一行.(1)求与夹角的余弦值.(2)求∠BOD+∠COD.5.某同学在用120分钟做150分的数学试卷(分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分)时,卷Ⅰ和卷Ⅱ所得分数分别为P和Q (单位:分),在每部分至少做了20分钟的条件下,发现它们与投入时间m(单位:分钟)的关系有经验公式,.(1)求数学总成绩y(单位:分)与对卷Ⅱ投入时间x(单位:分钟)的函数关系式及其定义域;(2)如何计算使用时间,才能使所得分数最高?6.若y=cos2x+2psinx+q有最大值9和最小值6,求实数p,q的值.安徽高一高中数学期末考试答案及解析一、选择题1.已知全集R,集合M={x|x>1},N={x||x|≤2},则(∁M)∩N等于()RA.(﹣2,1]B.[﹣2,1)C.[﹣2,1]D.[1,2]【答案】C【解析】根据集合的基本运算进行求解即可.解:∵全集R,集合M={x|x>1},N={x||x|≤2}={x|﹣2≤x≤2}=[﹣2,2],∴∁M={x|x≤1}=(﹣∞,1]U则(∁M)∩N=[﹣2,1].U故选:C【考点】交、并、补集的混合运算.2.函数f(x)=x+lnx﹣2的零点所在区间是()A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)【答案】B【解析】由题意,函数f(x)=x+lnx﹣2在定义域上单调递增,再求端点函数值即可.解:函数f(x)=x+lnx﹣2在定义域上单调递增,f(1)=1﹣2<0,f(2)=2+ln2﹣2>0,故函数f(x)=x+lnx﹣2的零点所在区间是(1,2);故选B.【考点】函数零点的判定定理.3.若函数,则f(f(1))的值为()A.﹣1B.0C.1D.2【答案】B【解析】求出f(1)的值,从而求出f(f(1))=f(0)的值即可.解:f(1)==0,∴f(f(1))=f(0)=﹣30+1=0,故选:B.【考点】函数的值.4.已知,那么cosα=()A.B.C.D.【答案】C【解析】已知等式中的角变形后,利用诱导公式化简,即可求出cosα的值.解:sin(+α)=sin(2π++α)=sin(+α)=cosα=.故选C.【考点】诱导公式的作用.5.要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需将函数y=sin4x的图象()A.向左平移单位B.向右平移单位C.向左平移单位D.向右平移单位【答案】B【解析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可.解:因为函数y=sin(4x﹣)=sin[4(x﹣)],要得到函数y=sin(4x﹣)的图象,只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位.故选:B.【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.6.已知,,,则=()A.﹣8B.﹣10C.10D.8【答案】B【解析】向量的数量积的运算和向量的模即可求出.解:,,,∴=+|+2=16+25+2=21,∴=﹣10,故选:B.【考点】平面向量数量积的运算.7.已知=(1,2),=(﹣3,2),k+与﹣3平行,则k的值为()A.3B.C.D.﹣【答案】D【解析】根据向量的平行的条件和向量的坐标运算即可求出.解:=(1,2),=(﹣3,2),∴k+=(k﹣3,2k+2),﹣3=(10,﹣4),∵k+与﹣3平行,∴﹣4(k﹣3)=10(2k+2),∴k=﹣,故选:D.【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示.8.函数的定义域是()A.B.[1,+∞)C.D.(﹣∞,1]【答案】C【解析】欲使函数有意义,须,解之得函数的定义域即可.解:欲使函数的有意义,须,∴解之得:故选C.【考点】函数的定义域及其求法;对数函数的定义域.9.给出下列函数:(1)y=2x;(2)y=x2;(3);(4)y=x2+1;(5),其中是幂函数的序号为()A.(2)(3)B.(1)(2)C.(2)(3)(5)D.(1)(2)(3)【答案】A【解析】形如y=xα的函数的幂函数,根据幂函数的定义判断即可.解:(1)y=2x是指数函数;(2)y=x2是幂函数;(3)是幂函数;(4)y=x2+1是二次函数;(5)不是幂函数,故是幂函数的为:(2)、(3),故选:A.【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.10.若将函数f(x)=2sinxcosx﹣2sin2x+1的图象向右平移φ个单位,所得图象关于y轴对称,则φ的最小正值是()A.B.C.D.【答案】C【解析】由条件利用二倍角公式化简函数的解析式,根据y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,以及正弦函数的图象的对称性求得﹣2φ=kπ+,k∈Z,从而得到φ的最小正值.解:将函数f(x)=2sinxcosx﹣2sin2x+1=sin2x+cos2x=sin(2x+)的图象向右平移φ个单位,可得y=sin[2(x﹣φ)+]=sin(2x+﹣2φ)的图象的图象.再根据所得图象关于y轴对称,可得﹣2φ=kπ+,k∈Z,故φ的最小正值是,故选:C.【考点】函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数中的恒等变换应用.11.设a=sin14°+cos14°,b=sin16°+cos16°,,则a,b,c大小关系()A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.a<c<b【答案】D【解析】利用两角和的正弦公式对a和b进行化简,转化为正弦值的形式,再由正弦函数的单调性进行比较大小.解:由题意知,a=sin14°+cos14°==,同理可得,b=sin16°+cos16°=,=,∵y=sinx在(0,90°)是增函数,∴sin59°<sin60°<sin61°,∴a<c<b,故选D.【考点】不等式比较大小;两角和与差的正弦函数.12.函数f(x)=的图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【解析】先研究函数的性质,可以发现它是一个奇函数,再研究函数在原点附近的函数值的符号,从而即可得出正确选项.解:此函数是一个奇函数,故可排除C,D两个选项;又当自变量从原点左侧趋近于原点时,函数值为负,图象在X轴下方,当自变量从原点右侧趋近于原点时,函数值为正,图象在x轴上方,故可排除B,A选项符合,故选A.【考点】函数的图象.二、填空题1.sin215°﹣cos215°= .【答案】﹣.【解析】由条件利用二倍角的余弦公式化简所给的式子可得结果.解:,故答案为:﹣.【考点】二倍角的余弦.2.已知函数(x∈[2,6]),则f(x)的值域是.【答案】.【解析】由y=x,y=在[2,6]上的单调性,可得函数(x∈[2,6])为增函数,从而求出函数的最值得答案.解:∵函数y=x在[2,6]上为增函数,y=在[2,6]上为减函数,∴函数(x∈[2,6])为增函数,则.故答案为:.【考点】函数的值域.3.已知=2016,则+tan2α=.【答案】2016【解析】根据同角的三角函数关系式进行化简,利用弦化切进行计算即可.解:+tan2α=+====,∵=2016,∴+tan2α=2016,故答案为:2016【考点】三角函数的化简求值.4.在函数①y=cos|2x|,②y=|cosx|,③,④中,最小正周期为π的所有函数为.(请填序号)【答案】①②③【解析】由条件利用三角函数的周期性,得出结论.解:函数①y=cos|2x|=cos2x的最小正周期为=π,②y=|cosx|的最小正周期为•2π=π,③的最小正周期为=π,④的最小正周期为,故答案为:①②③.【考点】三角函数的周期性及其求法.三、解答题1.(1)计算:;(2)已知f(x)在R上是奇函数,且f(x+2)=﹣f(x),当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,求f(2015).【答案】(1)0;(2)﹣2.【解析】(1)根据对数的运算法则进行化简求解.(2)根据函数奇偶性进行转化求出函数的周期性,即可得到结论.解:(1)计算:=lg4+lg25+4﹣4=lg100+2﹣4=2=2﹣4=0;(2)∵f(x+2)=﹣f(x),∴f(x+4)=﹣f(x+2)=f(x),即函数f(x)是周期为4的周期函数,则f(2015)=f(2016﹣1)=f(﹣1),∵函数f(x)是奇函数,且当x∈(0,2)时,f(x)=2x2,∴f(2015)=f(﹣1)=﹣f(1)=﹣2.【考点】函数奇偶性的性质;函数的值;对数的运算性质.2.定义在(﹣1,1)上的奇函数f(x)是减函数,且f(1﹣a)+f(1﹣a2)<0,求实数a的取值范围.【答案】0<a<1【解析】先根据奇函数将f(1﹣a)+f(1﹣a2)<0化简一下,再根据f(x)是定义在(﹣1,1)上的减函数,建立不等式组进行求解即可.解:∵f(x)是奇函数∴f(1﹣a)<﹣f(1﹣a2)=f(a2﹣1)∵f(x)是定义在(﹣1,1)上的减函数∴解得:0<a<1∴0<a<1.【考点】抽象函数及其应用;函数单调性的性质;奇函数.3.已知函数f(x)=2cosx(sinx+cosx),x∈R.(1)求的值;(2)求函数f(x)的单调递增区间;(3)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值.【答案】(1)2.(2)函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(3)时,函数f (x)取得最大值,时,函数f(x)取得最小值0.【解析】(1)由函数f(x)=2cosx(sinx+cosx),x∈R,=﹣=﹣,=﹣=﹣.代入计算即可得出.(2)利用倍角公式、和差公式即可化为:f(x)=.(3)当时,可得,利用正弦函数的单调性最值即可得出.解:(1)∵函数f(x)=2cosx(sinx+cosx),x∈R,=﹣=﹣,=﹣=﹣.∴===2.(2)f(x)=2cosx(sinx+cosx)=2sinxcosx+2cos2x=sin2x+cos2x+1=,由≤≤2kπ+,(k∈Z),解得≤x≤kπ+,∴函数f(x)的单调递增区间为(k∈Z).(3)当时,,∴当,即时,函数f(x)取得最大值,当,即时,函数f(x)取得最小值0.【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象;三角函数的最值.4.如图,三个同样大小的正方形并排一行.(1)求与夹角的余弦值.(2)求∠BOD+∠COD.【答案】(1),(2)【解析】设正方形的边长为1,可得,,,的坐标,(1)cos<,>=代入数据计算可得;(2)同理可得cos∠BOD,cos∠COD的值,由平方关系可得sin∠BOD和sin∠COD的值,可得cos(∠BOD+∠COD)的值,结合角的范围可得答案.解:设正方形的边长为1,则A(1,1),B(2,1),C(3,1),D(3,0),故=(1,1),=(2,1),=(3,1),=(3,0)(1)可得cos<,>===,(2)同理可得cos∠BOD===,故可得sin∠BOD==,cos∠COD===,sin∠COD=,故cos(∠BOD+∠COD)==,由角的范围可知∠BOD+∠COD=【考点】数量积表示两个向量的夹角.5.某同学在用120分钟做150分的数学试卷(分为卷Ⅰ和卷Ⅱ两部分)时,卷Ⅰ和卷Ⅱ所得分数分别为P和Q (单位:分),在每部分至少做了20分钟的条件下,发现它们与投入时间m(单位:分钟)的关系有经验公式,.(1)求数学总成绩y(单位:分)与对卷Ⅱ投入时间x(单位:分钟)的函数关系式及其定义域;(2)如何计算使用时间,才能使所得分数最高?【答案】(1)y=﹣x+2+125,其定义域为[20,100];(2)当卷Ⅰ用45分钟,卷Ⅱ用75分钟时,所得分数最高【解析】(1)先求出函数的表达式,从而求出函数的定义域即可;(2)令t=,得到关于t 的二次函数,从而求出函数的最值问题.解:(1)对卷Ⅱ用x 分钟,则对卷Ⅰ用(120﹣x )分钟, 所以y=P+Q=65+2+(120﹣x )+36=﹣x+2+125,其定义域为[20,100] (2)令t=,则函数为关于t 的二次函数y=﹣=﹣(t ﹣)2+140.所以当t=,即x=75时,y max =140答:当卷Ⅰ用45分钟,卷Ⅱ用75分钟时,所得分数最高 【考点】函数解析式的求解及常用方法.6.若y=cos 2x+2psinx+q 有最大值9和最小值6,求实数p ,q 的值. 【答案】.【解析】先令sinx=t 将y=cos 2x+2psinx+q 转化为关于t 且t ∈[﹣1,1]的一元二次函数,然后求出其对称轴,再对p 的值进行讨论从而可确定函数在[﹣1,1]上的单调性,进而根据其最值可求出p ,q 的值. 解:令sinx=t ,t ∈[﹣1,1], y=1﹣sin 2x+2psinx+qy=﹣(sinx ﹣p )2+p 2+q+1=﹣(t ﹣p )2+p 2+q+1 ∴y=﹣(t ﹣p )2+p 2+q+1,对称轴为t=p当p <﹣1时,[﹣1,1]是函数y 的递减区间,y max =y|t=﹣1=(﹣1﹣p )2+p 2+q+1=9,y min =y|t=1=(1﹣p )2+p 2+q+1=6, 得,与p <﹣1矛盾;当p >1时,[﹣1,1]是函数y 的递增区间, y max =y|t=1=2p+q=9,y min =y|t=﹣1=﹣2p+q=6, 得,与p >1矛盾;当﹣1≤p≤1时,y max =y|t=p =p 2+q+1=9, 再当p≥0,y min =y|t=﹣1=﹣2p+q=6,得; 当p <0,y min =y|t=1=2p+q=6,得∴. 【考点】三角函数的最值.。
安徽高一高中数学期末考试带答案解析
安徽高一高中数学期末考试班级:___________ 姓名:___________ 分数:___________一、选择题1.若是任意实数,且,则()A.B.C.D.2.已知成等差数列,成等比数列,则()A.2B.C.D.3.三鹿婴幼儿奶粉事件发生后,质检总局紧急开展了关于液态奶三聚氰胺的专项检查。
假设蒙牛,伊利,光明三家公司生产的某批次液态奶分别是箱,箱和箱,现分层随机抽取箱进行检验,则蒙牛、光明这两家公司生产的液态奶被抽取箱数之和为()A.300B.380C.320D.5004.一枚硬币连掷次,恰有两次正面朝上的概率是()A.B.C.D.5.在中,面积则的长为()A.75B.51C.49D.6.右图中,程序框图的循环体执行的次数是()A.100B.99C.98D.977.读算法,完成该题:第一步,李同学拿出一正方体;第二步,把正方体表面全涂上红色;第三步,将该正方体切割成27个全等的小正方体;第四步,将这些小正方体放到一箱子里,搅拌均匀;第五步,从箱子里随机取一个小正方体。
问:取到的小正方体恰有三个面为红色的概率是()A.B.C.D.8.在中,角所对的边分别为,已知,求使得ab取得最大值时的该三角形面积为()A.B.C.D.9.已知,若向区域内随机投一点,则点落在区域内的概率为()A.B.C.D.10.设,则的最大值.为()A.B.C.D.二、填空题1.一个容量为的样本分成若干组,已知某组的频数和频率分别为和,则_____.2.若,则目标函数的取值范围是_______________.3.设是甲随机抛掷一枚骰子得到的点数,则使方程有两个不相等的实数根的概率为_______.4.若,则不等式的解集为________________.5.已知数列的前项和,把数列的各项排成三角形形状如下:记第行第列上排的数为,则_____________.三、解答题1.(满分9分)如图,已知梯形中,,。
求梯形的高.2.(满分10分)用自然语言设计一种计算的值的算法,并画出相应的程序框图。
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2016-2017学年安徽省合肥一中高一(下)期末数学试卷一、选择题(每小题5分,共计10个小题.在给出的四个选项中只有一个是正确选项)1.(5分)下列事件是随机事件的是()①当x≥10时,lgx≥1②当x∈R,x2﹣1=0有解③当a∈R,关于x的方程x2+a=0在实数集内有解④当sinα>sinβ时,α>βA.①②B.②③C.③④D.①④2.(5分)设集合,集合B={y|y=x2,x∈R},则A∩B=()A.ϕB.[0,+∞)C.[1,+∞)D.[﹣1,+∞)3.(5分)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是()A.a n=n2﹣(n﹣1)B.a n=n2﹣1 C.a n=D.4.(5分)已知集合A={1,3,5,7},B={4,8}现从集合A中任取一个数为a,从B中任取一个数为b,则b>a的概率为()A.B.C.D.5.(5分)设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=﹣,且当x∈[﹣3,﹣2]时,f(x)=4x,则f(107.5)=()A.10 B.C.﹣10 D.﹣6.(5分)已知等差数列{a n}满足a5+a6=28,则其前10项之和为()A.140 B.280 C.168 D.567.(5分)设方程2x+x=0,log2x+x=0,log2x﹣=0的实数根分别为a,b,c则()A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c8.(5分)△ABC三边a,b,c对应的角分别是A,B,C.若c2<a2+b2+2abcos2C,则角C的取值范围是()A.(0,)B.(0,)C.() D.(,)10.(5分)若定义在[﹣2012,2012]上的函数满足:对任意x1,x2∈[﹣2012,2012],有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣2011,且x>0时,有f(x)>2011成立.令f(x)的最大值和最小值分别为M,N,则M+N的值为()A.2011 B.2012 C.4022 D.4024二、填空题(每小题5分,共计5个小题.将正确的答案写在答题卡相应的横线上)11.(5分)已知tan(α+β)=3,tan(α﹣β)=5,则tan2α=.12.(5分)已知x,y满足|x|+|y|≤4,则z=(x+3)2+(y﹣3)2的最小值是.13.(5分)已知||=5,||=3,||=7则向量与的夹角为.14.(5分)设数列{a n}的所有项和为S(1),第二项及以后所有项和为S(2),第三项及以后所有项和为S(3),…,第n项及以后所有项和为S(n).若数列{S(n)}是首项为,公比为2的等比数列,则a n=.15.(5分)对任意x∈R,函数f(x)满足,设a n=[f (n)]2﹣f(n),数列{a n}的前15项的和为,则f(15)=.三、解答题(本大题共计6小题,共75分)16.(12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(Ⅱ)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB=,f()=﹣,且C为锐角,求sinA.17.(12分)在文理分科前,为了了解高一学生成绩情况,某校抽取部分学生进行一次分科前数学测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3,第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?(2)若成绩在110分以上(含110分)为优秀,试估计该学校全体高一学生的优秀率是多少?(3)在这次测试中,学生数学测试成绩的中位数落在那个小组内?请说明理由.18.(12分)某种商品原来定价每件p元,每月将卖出n件.假若定价上涨x成(注:x成即定价为原来的(1+)倍,0<x≤10,每月卖出数量将减少y成,而售货金额变成原来的z倍.(1)若y=ax,其中a是满足的常数,用a来表示当售货金额最大时x 的值.(2)若y=x,求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围.19.(12分)已知数列1,1,2…它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到.求该数列的前n项和S n.20.(13分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R,a≠0).(1)若a=1,b=﹣4,c=3,求f(x)<0的解集.(2)若a<0,c=﹣2,方程f(x)=x的两实根x1,x2满足x1∈(0,1),x2∈(1,2).求证:﹣4<<﹣1.(3)若函数f(x)的最小值为0,且a<b,求的最小值.21.(14分)设函数f(x)=x2+ax+b(a、b为实常数),已知不等式|f(x)|≤|2x2+4x ﹣6|对任意的实数x均成立.定义数列{a n}和{b n}:a1=3,2a n=f(a n﹣1)+3(n=2,3,…),b n=,数列{b n}的前n项和S n.(I)求a、b的值;(II)求证:;(III )求证:2016-2017学年安徽省合肥一中高一(下)期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题(每小题5分,共计10个小题.在给出的四个选项中只有一个是正确选项)1.(5分)下列事件是随机事件的是()①当x≥10时,lgx≥1②当x∈R,x2﹣1=0有解③当a∈R,关于x的方程x2+a=0在实数集内有解④当sinα>sinβ时,α>βA.①②B.②③C.③④D.①④【解答】解:①当x≥10时,lgx≥1,属于确定事件,②当x∈R,x2﹣1=0有解,解得x=±1,属于确定事件③当a∈R,关于x的方程x2+a=0在实数集内有解,需要根据a的值确定解得个数,属于随机事件,④当sinα>sinβ时,α>β,属于随机事件,故选:C.2.(5分)设集合,集合B={y|y=x2,x∈R},则A∩B=()A.ϕB.[0,+∞)C.[1,+∞)D.[﹣1,+∞)【解答】解:集合={x|x≥﹣1};集合B={y|y=x2,x∈R}={y|y≥0},所以A∩B=(﹣1,+∞)∩[0,+∞)=[0,+∞).故选:B.3.(5分)数列1,3,6,10,…的一个通项公式是()A.a n=n2﹣(n﹣1)B.a n=n2﹣1 C.a n=D.【解答】解:设此数列为{ a n},则由题意可得a1=1,a2=3,a3=6,a4=10,…仔细观察数列1,3,6,10,15,…可以发现:1=1,3=1+2,6=1+2+3,10=1+2+3+4,…∴第n项为1+2+3+4+…+n=,∴数列1,3,6,10,15…的通项公式为a n=,故选:C.4.(5分)已知集合A={1,3,5,7},B={4,8}现从集合A中任取一个数为a,从B中任取一个数为b,则b>a的概率为()A.B.C.D.【解答】解:b=4时,a=1,3,b=8时,a=1,3,5,7,故满足条件的概率P===,故选:B.5.(5分)设偶函数f(x)对任意x∈R,都有f(x+3)=﹣,且当x∈[﹣3,﹣2]时,f(x)=4x,则f(107.5)=()A.10 B.C.﹣10 D.﹣【解答】解:因为f(x+3)=﹣,故有f(x+6)=﹣=﹣=f(x).函数f(x)是以6为周期的函数.f(107.5)=f(6×17+5.5)=f(5.5)=﹣=﹣=﹣=.故选:B.6.(5分)已知等差数列{a n}满足a5+a6=28,则其前10项之和为()A.140 B.280 C.168 D.56【解答】解:由等差数列的性质得a5+a6=28=a1+a10,∴其前10项之和为:==140.7.(5分)设方程2x+x=0,log2x+x=0,log2x﹣=0的实数根分别为a,b,c则()A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c【解答】解:∵当x<0时,0<2x<1,则2x+x=0的实数根﹣1<a<0,当x>0时,log2x∈R,当0<x<1时,log2x<0,∴log2x+x=0的实数根0<b<1,当x>1时,log2x>0,∴log 2x﹣=0的实数根分别为c>1,∴a<b<c,故选:A.8.(5分)△ABC三边a,b,c对应的角分别是A,B,C.若c2<a2+b2+2abcos2C,则角C的取值范围是()A.(0,)B.(0,)C.() D.(,)【解答】解:∵c2=a2+b2﹣2abcosC,c2<a2+b2+2abcos2C,∴﹣cosC<cos2C,化为:(2cosC﹣1)(cosC+1)>0,∴cosC,C∈(0,π),∴C∈.故选:B.10.(5分)若定义在[﹣2012,2012]上的函数满足:对任意x1,x2∈[﹣2012,2012],有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣2011,且x>0时,有f(x)>2011成立.令f(x)的最大值和最小值分别为M,N,则M+N的值为()A.2011 B.2012 C.4022 D.4024【解答】解:∵对于任意x1,x2∈[﹣2012,2012]有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)﹣2011,∴f(0)=2f(0)﹣2011,∴f(0)=2011,令x1=2012,x2=﹣2012,∴f(0)=f(2012﹣2012)=f(2012)+f(﹣2012)﹣2011,∴f(2012)+f(﹣2012)=4022.设x1<x2∈[﹣2012,2012],则x2﹣x1>0,∵x>0时,f(x)>2011,∴f(x2﹣x1)>2011,∴f(x2)=f[(x2﹣x1)+x1]=f(x2﹣x1)+f(x1)﹣2011>f(x1),∴函数f(x)在[﹣2012,2012]上单调递增,∴f(x)的最大值与最小值分别为M=f(2012)、N=f(﹣2012),则M+N=f(2012)+f(﹣2012)=4022.故选:C.二、填空题(每小题5分,共计5个小题.将正确的答案写在答题卡相应的横线上)11.(5分)已知tan(α+β)=3,tan(α﹣β)=5,则tan2α=﹣.【解答】解:tan2α=tan(α+β+α﹣β)===﹣,故答案为:﹣12.(5分)已知x,y满足|x|+|y|≤4,则z=(x+3)2+(y﹣3)2的最小值是2.【解答】解:由题意,|x|+|y|≤4,表示以(0,0)为中心,边长为4的正方形内部就是所求区域,z=(x+3)2+(y﹣3)2的表示为(﹣3,3)为圆心,为半径,当正方形与圆只有一个点时(外接),圆心到原点的距离为:3.可得:=3﹣2∴z=2,即z=(x+3)2+(y﹣3)2的最小值为2.故答案为:213.(5分)已知||=5,||=3,||=7则向量与的夹角为120°.【解答】解:∵|﹣|=7,∴∴=,∴cos<>==∵∴与的夹角为120°.故答案为:120°14.(5分)设数列{a n}的所有项和为S(1),第二项及以后所有项和为S(2),第三项及以后所有项和为S(3),…,第n项及以后所有项和为S(n).若数列{S(n)}是首项为,公比为2的等比数列,则a n=﹣.【解答】解:根据题意,知:当n<m时,有m≥n+1;∵S(n)是首项为2,公比为的等比数列的前n项和,∴S(n)==4﹣,S(n+1)=4﹣;∴a n=S(n)﹣S(n+1)=4﹣﹣4+=﹣.故答案为:﹣.15.(5分)对任意x∈R,函数f(x)满足,设a n=[f(n)]2﹣f(n),数列{a n}的前15项的和为,则f(15)=.【解答】解:∵,∴,两边平方得,即,即数列{a n}任意相邻两项相加为常数,则,即,又由,可得.故答案为:.三、解答题(本大题共计6小题,共75分)16.(12分)设函数f(x)=cos(2x+)+sin2x.(Ⅰ)求函数f(x)的最大值和最小正周期;(Ⅱ)设A,B,C为△ABC的三个内角,若cosB=,f()=﹣,且C为锐角,求sinA.【解答】解:(1)f(x)=cos(2x+)+sin2x=,所以当sin2x=﹣1时,函数f(x)的最大值为,它的最小正周期为:=π;(2)因为==﹣,所以,因为C为锐角,所以;因为在△ABC 中,cosB=,所以,所以=.17.(12分)在文理分科前,为了了解高一学生成绩情况,某校抽取部分学生进行一次分科前数学测试,将所得数据整理后,画出频率分布直方图(如图所示),图中从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3,第二小组频数为12.(1)第二小组的频率是多少?样本容量是多少?(2)若成绩在110分以上(含110分)为优秀,试估计该学校全体高一学生的优秀率是多少?(3)在这次测试中,学生数学测试成绩的中位数落在那个小组内?请说明理由.【解答】解:(1)∵频率分布直方图从左到右各小长方形面积之比为2:4:17:15:9:3,∴第二小组的频率是:=0.08,∵第二小组频数为12,∴样本容量是n==150.(2)∵成绩在110分以上(含110分)为优秀,∴估计该学校全体高一学生的优秀率为:(1﹣)×100%=88%.(3)∵[90,120)的频率为:=0.46,[120,130)的频率为:=0.3,∴在这次测试中,学生数学测试成绩的中位数落在第四小组内.18.(12分)某种商品原来定价每件p元,每月将卖出n件.假若定价上涨x成(注:x成即定价为原来的(1+)倍,0<x≤10,每月卖出数量将减少y成,而售货金额变成原来的z倍.(1)若y=ax,其中a是满足的常数,用a来表示当售货金额最大时x 的值.(2)若y=x,求使售货金额比原来有所增加的x的取值范围.【解答】解:(1)该商品定价上涨x成时,上涨后的定价、每月卖出数量、每月售货金额分别是p(1+),n(1﹣),npz因而有:npz=p(1+)•n(1﹣),∴z=,在y=ax的条件下…(4分)z=,∵,∴10﹣ax>0∴(10a+ax)(10﹣ax)≤,当且仅当10a+ax=10﹣ax,即x=时成立.即要使的销售金额最大,只要z值最大,这时应有x=.…(8分)(2)由z=得0<x<5即使售货金额比原来有所增加的x的取值范围事(0,5)…(12分)19.(12分)已知数列1,1,2…它的各项由一个等比数列与一个首项为0的等差数列的对应项相加而得到.求该数列的前n项和S n.【解答】解:设数列{a n}的首项为a1,公比为q,数列{b n}的公差为d,依题意得0+a1=1,①,d+a1q=1,②,2d+a1q2=2,③.由①②③解得:d=﹣1,q=2,a1=1∴a n=2n﹣1,b n=1﹣n∴S n=(a1+a2+…+a n)+(b1+b2+…+b n)=(1+2+…+2n﹣1)﹣[0+1+…+(n﹣1)]=﹣=2n﹣1﹣(n2﹣n).20.(13分)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(x∈R,a≠0).(1)若a=1,b=﹣4,c=3,求f(x)<0的解集.(2)若a<0,c=﹣2,方程f(x)=x的两实根x1,x2满足x1∈(0,1),x2∈(1,2).求证:﹣4<<﹣1.(3)若函数f(x)的最小值为0,且a<b,求的最小值.【解答】(1)解:a=1,b=﹣4,c=3,f(x)=x2﹣4x+3,由f(x)<0,化为(x ﹣1)(x﹣3)<0.解得1<x<3,∴f(x)<0的解集是{x|1<x<3}.(2)证明:方程f(x)=x化为g(x)=ax2+(b﹣1)x﹣2=0,(a<0),∵方程f(x)=x的两实根x1,x2满足x1∈(0,1),x2∈(1,2).∴,即,化为,如图所示阴影部分,P(﹣1,4).k OP=﹣4,∴.(3)解:f(x)=,∵函数f(x)的最小值为0,且a<b,∴0<a<b,b2=4ac.令,===+4≥2+4=8,当且仅当t=3即b=3a>0时取等号.∴的最小值为8.21.(14分)设函数f(x)=x2+ax+b(a、b为实常数),已知不等式|f(x)|≤|2x2+4x ﹣6|对任意的实数x均成立.定义数列{a n}和{b n}:a1=3,2a n=f(a n﹣1)+3(n=2,3,…),b n=,数列{b n}的前n项和S n.(I )求a 、b 的值; (II )求证:;(III )求证:【解答】解:( I )由|f (x )|≤|2x 2+4x ﹣6|=2|(x +3)(x ﹣1)|得f (﹣3)=0,f (1)=0,故a=2,b=﹣3,∴f (x )=x 2+2x ﹣3(II )由2a n =f (a n ﹣1)+3=a n ﹣12+2a n ﹣1=a n ﹣1(a n ﹣1+2)(n ≥2)得,∴∴=∵2a n =a n ﹣12+2a n ﹣1(n ≥2),∴2a n ﹣2a n ﹣1=a n ﹣12≥0(n ≥2), ∴a n ≥a n ﹣1(n ≥2),从而a n ≥a n ﹣1≥≥a 2≥a 1=3>0,即a n +1>0,∴(III )由2a n =a n ﹣12+2a n ﹣1(n ≥2)得(a n ﹣1+1)2=2a n +1<2(a n +1)(n ≥2), 设a n +1=c n ,则c 1=4,且2c n >c n ﹣12(n ≥2), 于是1+log 2c n >2log 2c n ﹣1(n ≥2),设d n =log 2c n ,则d 1=2,且1+d n >2d n ﹣1(n ≥2),∴d n ﹣1>2(d n ﹣1﹣1)(n ≥2), ∴d n ﹣1>22(d n ﹣2﹣1)>>2n ﹣1(d 1﹣1)=2n ﹣1(n ≥2), 从而n ≥2时, 当n=1时,,∴赠送初中数学几何模型【模型一】“一线三等角”模型: 图形特征:运用举例:1.如图,若点B 在x 轴正半轴上,点A (4,4)、C (1,-1),且AB =BC ,AB ⊥BC ,求点B 的坐标;2.如图,在直线l 上依次摆放着七个正方形(如图所示),已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3,正放置的四个正方形的面积依次是1S 、2S 、3S 、4S ,则14S S += .ls 4s 3s 2s 13213. 如图,Rt △ABC 中,∠BAC =90°,AB =AC =2,点D 在BC 上运动(不与点B ,C 重合),过D 作∠ADE =45°,DE 交AC 于E . (1)求证:△ABD ∽△DCE ;(2)设BD =x ,AE =y ,求y 关于x 的函数关系式,并写出自变量x 的取值范围; (3)当△ADE 是等腰三角形时,求AE 的长.B4.如图,已知直线112y x =+与y 轴交于点A ,与x 轴交于点D ,抛物线212y x bx c =++与直线交于A 、E 两点,与x 轴交于B 、C 两点,且B 点坐标为 (1,0)。