第四章 稳定性分析——劳斯判据(4-1)PPT课件

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例：系统的特征方程：s 4 7s3 17s 2 17s 6 0
试用劳斯判据判别其稳定性。
解：列出劳斯表
s 4 1 17 6 s3 7 17 0 s 2 14.57 6 0 s1 14.12 0 0 s0 6 0 0
Байду номын сангаас
劳斯表中第一列元素无符号变化，说明该 系统特征方程没有正实部根，所以系统稳定。
或不全为零，此时，用一个任意小的正数 代 替 这个零，然后按通常的规则继续完成劳斯表中其余 各项元素的计算。如果零（ ）上面这项系数符号 与零（ ）下面这项系数符号相反，表明这里有一 个符号变化。 例：特征方程如下：
s5 s4 5s3 5s2 2s 1 0
试用劳斯判据判别其稳定性。 解：列出劳斯表
3。若特征根中具有一个或一个以上实部的根为零（虚 根），即根的位置正好分布在S平面的虚轴上，而其余的根 均位于S平面的左半部，此时系统处于临界稳定状态，输出 呈等幅振荡，系统在扰动信号消失后也不能恢复到原来的平 衡位置，按照稳定性定义，也属于不稳定系统。
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结论：
线性系统稳定的充要条件是：
闭环系统特征方程的所有根均具 有负实部；或者说，闭环传递函数的 极点均分布在平面的左半部。
此时，可用全零行上面一行的元素构造 一个辅助方程，利用辅助方程对s的求导后得 到的方程系数代替全零行的元素，然后再按 通常的规则完成劳斯表中其余各项元素的计 算。辅助方程的次数总是偶数，所有那些数 值相同符号相异的根都可由辅助方程求得。
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例 系统特征方程为：
s3 s 2 16s 16 0
即输出增量收敛于原平衡工作点，线性系统稳定 。
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二、线性系统稳定的充要条件
设闭环系统的传递函数
(s)
C(s) R(s)
bmsm bm1sm1 b1s b0 ansn an1sn1 a1s a0
B(s) D(s)
(m n)
令 pi i 1,2,,n 为系统特征方程 D(s) 0 的根，而
a0
0
s1
C1
B1 A2 A1B2 B1
0
0
s0
D1
C1B2 0 C1
B2
0
0
第三步：根据劳斯判据判别系统的稳定性。
劳斯判据：线性系统稳定的充要条件是：
劳斯表中第一列各值为正，则系统稳定；若劳斯表
中第一列出现负值，则系统不稳定，且实部为正（即 分布在平面右半部）的根的数目，等于劳斯表中第一 列系数符号改变的次数。
第四章 控制系统的稳定性分析
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第四章 控制系统的稳定性分析
第一节 稳定性的基本概念 一、系统的稳定性
如果一个线性定常系统在扰动作用消失后，能 够恢复到原始的平衡状态，即系统的零输入响应 是收敛的，则称系统是稳定的。
反之，若系统不能恢复到原始的平衡状态， 即系统的零输入响应具有等幅震荡或发散性质， 则称系统是不稳定的。
i 1
j 1
(t 0)
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上式表明： 1。当且仅当系统的特征根全部具有负实部（和均小于
零），即特征根的位置分布在S平面的左半部时，才能成 立，此时系统在扰动消失后能恢复到原来的平衡状态，则系 统是稳定的。
2。若特征根中有一个或一个以上正实部根，即根的位 置分布在S平面的右半部，则，表明系统不稳定；
试用劳斯判据判别其稳定性。
第二步：建立劳斯表（又叫劳斯阵列）。 例：五阶系统，其特征方程：
a5 s5 a4 s 4 a3s3 a2 s 2 a1s a0 0
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s5
a5
a3
a1
s4
a4
a2
a0
s3
A1
a4a3 a5a2 a4
A2
a4a1 a5a0 a4
0
s2
B1
A1a2 a4 A2 A1
B2
A1a0 0 A1
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s5
1
52
s4
1
51
s3
0( )
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s2
5 1 1 0
s1 5 1 2 0 0 5 1
s0
1
00
5 1 0
5 1 2 0 5 1
劳斯表中第一列元素符号的变化两次， 说明特征方程有两个正实部的根，所以系统不 稳定。
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（2）某一行元素全为零 在劳斯表中，如果出现某一行元素全为零，
说明特征方程存在大小相等符号相反的实根 和（或）共轭虚根，或者共轭复根。
彼此不等。干扰为理想脉冲函数：R(s) 1
C(s) B(s) R(s) B(s)
D(s)
D(s)
则
k
ci
r
js j
i1 s pi j1 s ( j j j ) s ( j j j )
k 2r n
k
r
c(t) cie pit e jt ( Aj cos jt B j sin jt)
2
例：
稳定系统
不稳定系统
定义表明：线性系统的稳定性仅取决于系统自
身的固有特性，而与外界条件无关。
设系统在初始条件为零，输入为单位脉冲函
数，即R（S）=1。当t>0时， (t) =0，这相当于系
统在扰动信号作用下，输出信号偏离原平衡工作点
的问题。若时，这时系统的输出为脉冲响应
limc(t) 0 t
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第二节 劳斯稳定判据
系统是否稳定 方程的系数 。
特征方程根的分布
劳斯稳定判据就是根据特征方程的系数
来分析系统的稳定性的一种判据，它避免 了直接求特征方程根的繁琐过程。劳斯稳 定判据一般简称为劳斯判据。
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设 线性系统的特征方程为：
an s n an1S n1 a1s a0 0
由代数知识可知：方程的所有根均分布 在左半平面的必要条件是： 特征方程所有系数均为正数。(若均为负数， 方程两边同乘以-1，使之也变为正数)，即
若特a征i 方0,程(i 中 0任,1一系n)数为负或缺项（系 数为零），则可断定此系统为不稳定系统。
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1．劳斯判据 应用劳斯判据分析系统的稳定性步骤：
第一步：将特征方程式 an s n an1S n1 a1s a0 0 的系数按下列规则排成两行，即
an , an2 , an4 an1 , an3 , an5
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例：系统的特征方程为： s3 4s2 10s 50 0 试用劳斯判据判别其稳定性。
解: 列出劳斯表
s3 1 10 s 2 4 50 s1 2.5 0 s 0 50 0
因为劳斯表中第一列元素的符号变化两次，说明 该系统有两个特征方程的根在右半s平面，所以系统 不稳定。
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2．劳斯判据的两种特殊情况 （1）劳斯表中某一行第一项元素为零，其余项不为零