近世代数知识点

近世代数知识点
第一章基本概念
1.1集合
●A的全体子集所组成的集合称为A的幂集，记作2A.
1.2映射
●证明映射：
●单射：元不同，像不同；或者像相同，元相同。

●满射：像集合中每个元素都有原像。

Remark：映射满足结合律！
1.3卡氏积与代数运算
●{（a,b）∣a∈A,b∈B }此集合称为卡氏积，其中（a,b）为有序元素对，所以一般A*B
不等于B*A.
●集合到自身的代数运算称为此集合上的代数运算。

1.4等价关系与集合的分类
★等价关系：1 自反性：∀a∈A,a~a;
2 对称性：∀a,b∈R, a~b=>b~a∈R;
3 传递性：∀a,b,c∈R,a~b,b~c =>a~c∈R.
Remark：对称+传递≠自反
★一个等价关系决定一个分类，反之，一个分类决定一个等价关系
★不同的等价类互不相交，一般等价类用[a]表示。

第二章群
2.1 半群
1.半群=代数运算+结合律，记作（S,∘）
Remark: i.证明代数运算：任意选取集合中的两个元素，让两元素间做此运算，观察运算后的结果是否还在定义的集合中。

ii.若半群中的元素可交换，即a∘b=b∘a,则称为交换半群。

2.单位元
i.半群中左右单位元不一定都存在，即使存在也可能不唯一，甚至可能
都不存在；若都存在，则左单位元=右单位元=单位元。

ii.单位元具有唯一性，且在交换半群中：左单位元=右单位元=单位元。

iii.在有单位元的半群中，规定a0=e.
3.逆元
i.在有单位元e的半群中，存在b,使得ab=ba=e,则a为可逆元。

ii.逆元具有唯一性，记作a-1且在交换半群中，左逆元=右逆元=可逆元。

iii.若一个元素a既有左逆元a1，又有右逆元a2，则a1=a2,且为a的逆
元。

4.子半群
i.设S是半群，∅≠T⊆S,若T对S的运算做成半群，则T为S的一个
子半群
ii.T是S的子半群⇔∀a,b∈T,有ab∈T
2.2 群
1．群=半群+单位元+逆元=代数运算+结合律+单位元+逆元
Remark：i. 若代数运算满足交换律，则称为交换群或Abel群.
ii. 加群=代数运算为加法+交换群
iii.单位根群Um={ε∈C|εm=1},数域P上全体n阶可逆（满秩）矩阵集合GL(n,P),数域P上全体n阶的行列式为1的矩阵集合SL(n,p).
2. 群=代数运算+结合律+左（右）单位元+左（右）逆元
=代数运算+结合律+单位元+逆元
=代数运算+结合律+∀a,b∈G,ax=b,ya=b有解
3. 群的性质
i. 群满足左右消去律
ii.设G是群，则∀a,b∈G,ax=b,ya=b在G中有唯一解
iii.e是G单位元⇔ e2=e
iv.若G是有限半群，满足左右消去律，则G是一个群
4. 群的阶
群G的阶，即群G中的元素个数，用|G|表示。

若为无限群，则|G|=∞。

Remark：i.克莱因四元群是一个Abel群
ii.四阶群只有克莱因四元群和模4的剩余类群
2.3元素的阶
1. 定义：设G是一个群，a∈G,使得am=e成立的最小正整数m称为元素a的阶，记作|a|=m;若m不存在，则|a|=∞
2. 阶的性质
①G是一个群，a∈G, |a|=m,
i.a n=e⇔m|n;
ii.a h=a k⇔m|ℎ−k;
iii.e=a0,a1,a2,……a m-1两两不同；
iv.★∀r∈Z, |a r|=m
(r,m)
Remark:i. ∀r∈Z, |a r|=m⇔(m,r)=1;
ii.若m=st,s,t∈N,则|a s|=t.
②|a|=∞，
i.a n=e⇔n=0;
ii.a h=a k⇔ℎ=k;
iii.……a-2,a-1,a0,a1,a2……两两不等
iv.∀r∈Z\{0}, |a r|=∞.
Remark:若|a|<∞, |b|<∞,则|ab|<∞？……（×）
●定理：有限群中的元素的阶均有限。

Remark：定理的逆不成立，即群中所有的元素的阶都有限，但群不一定是有限群，例如n次单位根群。

单位根群是一个无限交换群。

3. ★★循环群
定义：设G是群，若在G中存在一个元素a，使得G中的任意元素都是a的幂，则称该群为循环群，a为该循环群的生成元。

记G=(a).
Remark:生成元不一定唯一，例如（Z,+）,1，-1都是生成元。

●定理：设G=（a）是一个循环群，
（1）若|a|=m,则G是含m个元素的有限群，且G={a0,a1,a2……a m-1}；
（2）若|a|=∞，则G是无限群，且G={……a-2,a-1,a0,a1,a2……}.
●定理：设G=（a）是一个循环群，
（1）若|a|=m,则G有φ(m)个生成元：a r ,(r,m)=1
（2）若|a|=∞，则G有两个生成元：a,a-1
（3）若|a|=m,ar是G的生成元⇔|a r|=m;
（4）设p是素数，则P阶循环群G=(a)有p-1个生成元：a,a2……a p-1
Remark：φ(m)表示小于m，且与m互素的非负整数的个数
素数阶群一定是循环群。

●★定理：设G是m阶群,则 G是循环群⇔G有m阶元
2.4 子群
定义：设G是半群，∅≠H⊆G,若H对G的运算构成群，则称H是G的子群，记为H≤G.
1.子群的性质
（1）传递性：H≤K，K≤G，则H≤G;
（2）保单位元：设H≤G，a∈H,则e
H =e
G;
（3）保逆元：设H≤G，a∈H,则a-1
H =a-1
G
.
★定理：设G是半群，∅≠H⊆G, H≤G⇔∀a,b∈H,有ab,a-1∈H⇔∀a,b∈H,ab-1∈H。