七年级下册数学第四章
(完整版)北师大版七年级数学下册第四章知识点汇总(全)
(完整版)北师大版七年级数学下册第四章知识点汇总(全)北师大版七年级数学下册第四章知识点汇总(全)1. 相似与全等在数学中，相似与全等是两个重要的概念。
相似指的是两个对象在形状上相似，但可能在大小上不同。
全等则表示两个对象在形状和大小上完全相同。
在判断两个图形相似或全等时，我们需要注意三个方面：对应边相等、对应角相等、对应边与对应角的对应关系。
2. 直角三角形直角三角形是一种特殊的三角形，其中一个角是直角（90度角）。
直角三角形有一些重要的性质：直角三角形的斜边是其他两个边的最长边；直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方，即勾股定理。
3. 锐角三角形与钝角三角形除了直角三角形，三角形还可以根据角的大小分为锐角三角形和钝角三角形。
锐角三角形中的三个角都是锐角（小于90度），钝角三角形中的三个角都是钝角（大于90度）。
4. 勾股数勾股数是指满足勾股定理的三个正整数。
例如，3、4、5就是一个勾股数，因为3²+4²=5²。
在求解勾股数时，我们可以用穷举法、勾股数公式等方法。
5. 颞角与补角在数学中，互为补角的两个角的度数之和等于90度，互为颉角的两个角的度数之和等于180度。
当我们知道一个角的度数时，可以求解它的补角或颉角。
6. 直角三角形的应用直角三角形在几何学中有广泛的应用。
例如，我们可以利用直角三角形的性质计算三角形的面积、边长、角度等问题。
直角三角形还可以用于解决实际问题，如测量高度、距离等。
7. 图形的扩大与缩小图形的扩大与缩小是数学中的一个重要概念。
当我们将一个图形按照比例进行放大或缩小时，图形的形状保持不变，只是大小发生改变。
在进行图形的扩大与缩小时，我们需要注意比例尺和变化的方向。
8. 相似三角形的性质相似三角形有一些重要的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比例相等。
利用相似三角形的性质，我们可以进行一些复杂的几何证明和计算。
9. 图形的旋转图形的旋转是指将一个图形按照某个点为中心进行旋转。
七年级数学下册第四章三角形知识归纳
第四章三角形三角形三边关系三角形三角形内角和定理角平分线三条重要线段中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形SAS全等三角形全等三角形的判定ASAAASHL（适用于RtΔ）全等三角形的应用利用全等三角形测距离作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形,称为三角形,可以用符号“Δ”表示.2、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边,即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；4、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角。
二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.用字母可表示为a+b〉c，a+c〉b，b+c〉a;a—b<c,a-c<b,b-c 〈a.2、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：（1）当a+b>c,a+c>b,b+c〉a同时成立时，能组成三角形；（2）当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即a b c a b-<<+.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类:(1)锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；(2）直角三角形,即有一个内角是直角的三角形,我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”，其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边.注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。
3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数.4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半.5、任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角.都具有三边关系和三内角之和为1800的性质。
(完整版)七年级下册数学第四章二元一次方程组知识点
(C)方程 3x-4y=1 只有两组解,两组解是:
{ ) x = - 1
、 y = - 1 。(D)方程 3x-4y=1 可能无解.
5、解下列方程组：
3x 2 y 9
（1）
x
y7
3x 2 y 11 （2） 2x 3y 16
6、已知
x0 y1
2
是方程组
xb y 5x 2a 2
_______________________。
（2）有两种酒精，一种浓度是 60%，另一种浓度为 90%，现在要配制成浓度为 70%的洒精 300 克，
问：每种需各取多少克？
（3）甲、乙两人都从 A 地到 B 地，甲步行，乙骑自行车，如果甲先走 6 千米乙再动身，则乙走
3
1
4小时后恰好与甲同时到达 B 地；如果甲先走 1 小时，那么乙用2小时可追上甲，求两人的速度及 AB 两地的距离。
(1)
(2)
(其中 x，y 为未知数)
2、已知方程 ax+by＝11，它的解是
求 a，b 的值
3、某眼镜厂有工人 25 个,每人每天平均生产镜架 72 个或镜片 96 片;为了使每天生产的镜架和镜片 刚好配套,问如何分配工人?
The shortest way to do many things is
七年级数学下册《二元一次方程组》复习
一、知识梳理： 1、二元一次方程，二元一次方程组的概念； 2、用一个未知数的代数式表示另一个未知数；
3、二元一次方程组及其解的概念；
4、代入消元法，加减消元法的概念及应用； 5、方程组的同解问题的应用。 二、例题讲解：
3、课堂练习 1、判断下列方程(或方程组)是否为二元一次方程(或二元一次方程组)并说明理由
北师大版数学七年级下册第四章：1、认识三角形 课件(共65张PPT)
1.三角形内角和定理:三角形三个内角的和等于180°.
2.三角形内角和定理的应用:①在三角形中,已知任意两个内角的度数可以 求出第三个内角的度数;②已知三角形三个内角的关系,可以求出各个内角 的度数;③求一个三角形中各角之间的关系.
3.三角形按角分类:
直角三角形:有一个角是直角的三角形 锐角三角形:三个角都是锐角的三角形 钝角三角形:有一个角是钝角的三角形
∠A、∠C的公共边是
.
,∠A的对边是
栏目索引
,
图4-1-3 答案 ∠B;BC;AC 解析 △ABC中,AB与BC的夹角是∠B,∠A的对边是BC,∠A、∠C的公共 边是AC.
1 认识三角形
知识点二 三角形三个内角之间的关系
栏目索引
4.(2017广西南宁中考)如图4-1-4,△ABC中,∠A=60°,∠B=40°,则∠C等于
其所在直 直角三角形
线)的交
点位置 钝角三角形
交点在三角形内 交点在直角顶点处 交点在三角形外
三条中线交于三 角形内一点(这一 点称为三角形的 重心)
交点在三角形内
共同点
每个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线,它们(或它们所在的直线) 都分别交于一个点,它们都是线段
1 认识三角形
栏目索引
知识拓展
(1)得到线段垂直;(2)得到角相等 (1)得到线段相等; (2)得到面积相等
得到角相等
1 认识三角形
栏目索引
线段 的位置
锐角三角形 直角三角形
钝角三角形
三条高全在三角形内
三条中线全在三
角形内 一条高在三角形内,另外两条
与两直角边重合
三条角平分线全 在三角形内
三角形内一条,三角形外两条
七年级数学下册 第4章 三角形 4.3 探索三角形全等的条件课件 (新版)北师大版
例2 (2017四川宜宾中考)如图4-3-2,已知点B、E、C、F在同一条直线 上,AB=DE,∠A=∠D,AC∥DF.试说明:BE=CF.
图4-3-2 分析 由AC∥DF可得∠ACB=∠F,又∠A=∠D,AB=DE,可以利用AAS 得到△ABC≌△DEF,根据全等三角形的对应边相等可得BC=EF,都减 去EC即可得BE=CF.
AD BC,
因为DAB CBA,所以△ABD≌△BAC(SAS).
AB AB,
知识点一 判定三角形全等的条件——边边边 1.如图4-3-1,在△ABC和△FED中,AC=FD,BC=ED,要利用“SSS”来判 定△ABC和△FED全等,下面的4个条件中:①AE=FB;②AB=FE;③AE= BE;④BF=BE,可利用的是 ( )
AB=DE,BC=EF (2)已知两角
思路一(找第三边)
思路二(找角)
首先找出AC=DF,然后应用“SSS”判定全等
①找夹角:首先找出∠B=∠E,然后应用 “SAS”判定全等;②找直角用“HL”判定 全等(后面会学到)
思路一(找夹边)
思路二(找角的对边)
首先找出AB=DE,然后应用“ASA”判定全 等
A.①或②
B.②或③
图4-3-1 C.①或③ D.①或④
答案 A 由题意可得,要用“SSS”进行△ABC和△FED全等的判定, 只需AB=FE,若添加①AE=FB,则可得AE+BE=FB+BE,即AB=FE,故①可 以;显然②可以;若添加③AE=BE或④BF=BE,均不能得出AB=FE,故③④ 不可以,故选A.
架不变形,他至少要再钉上
根木条.
()
图4-3-5
A.0 解析 答案
B.1 C.2 D.3 连接AC或BD,构成三角形,三角形具有稳定性. B
七年级下册数学第四章三角形
七年级下册数学第四章三角形一、三角形的基本概念。
1. 三角形的定义。
- 由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。
- 例如，在平面内有三条线段AB、BC、AC，它们首尾相接，就构成了三角形ABC，记作△ABC。
2. 三角形的边、顶点和内角。
- 边：组成三角形的线段叫做三角形的边。
在△ABC中，AB、BC、AC就是三角形的三条边。
- 顶点：三角形相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点。
△ABC有三个顶点A、B、C。
- 内角：三角形相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角。
△ABC 的三个内角分别是∠A、∠B、∠C。
3. 三角形的分类。
- 按角分类：- 锐角三角形：三个角都是锐角的三角形。
- 直角三角形：有一个角是直角的三角形。
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，如Rt△ABC，其中∠C = 90°。
- 钝角三角形：有一个角是钝角的三角形。
- 按边分类：- 不等边三角形：三条边都不相等的三角形。
- 等腰三角形：有两条边相等的三角形。
相等的两条边叫做腰，另一条边叫做底边。
两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角。
- 等边三角形：三条边都相等的三角形。
等边三角形是特殊的等腰三角形，它的三个角都相等，并且每个角都等于60°。
二、三角形的性质。
1. 三角形三边关系。
- 三角形两边之和大于第三边。
例如，在△ABC中，AB + BC>AC，AB+AC > BC，BC + AC>AB。
- 三角形两边之差小于第三边。
即AB - BC<AC，AB - AC<BC，BC - AC<AB。
- 可以用来判断三条线段能否组成三角形。
例如，三条线段的长分别为3cm、4cm、5cm，因为3 + 4>5，3+5>4，4 + 5>3，同时3 - 4<5，3 - 5<4，4 - 5<3，所以这三条线段能组成三角形。
七年级数学下册第四章4.3.1-4.3.3教案
第四章 三角形4.6探索三角形全等的条件（第1课时）教学目标1．探索三角形全等的“边边边”的条件，会利用“边边边”的条件判断两个三角形全等2．知道三角形的稳定性 教学重、难点重点：利用“边边边”的条件判断两个三角形全等 难点：利用“边边边”的条件判断两个三角形全等 教学过程一、情境导入【温习旧知】已知△ABC ≌△A ′B ′C ′，找出其中相等的边与角．图中相等的边是： 相等的角是： 【自学指导】活动一：只给一个条件画三角形 1．画一个边长为3厘米的三角形。
2．画一个内角为45°的三角形。
与你的小组成员交流，只给一个条件，大家画出的三角形全等吗？活动二：只给两个条件画三角形1.画一个边长为3厘米，内角为45°的三角形。
2.画两个内角分别为30°和50°的三角形。
3.画一个两边长分别为2厘米和3厘米的三角形。
与你的小组成员交流，，只给两个条件，大家画出的三角形全等吗？C 'B 'A 'C B A活动三：给出三个条件画三角形给出三个条件画三角形，你能说出有几种可能的情况吗？归纳：有四种可能．即：三内角、三条___、两边一内角、两_____一边． 1．画三个内角分别为30°，60°和90°的三角形。
把你画的三角形与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？2.画三条边长分别为3cm 、4cm 、5cm 的三角形。
把你画的三角形与同伴画的三角形进行比较，它们全等吗？结论：(1)_______________的两个三角形全等，简写为_________或_________．(2)用三根木条钉成三角形框架，它的大小和形状是固定不变的，•而用四根木条钉成的框架，它的形状是可以改变的．三角形的这个性质叫做三角形的__________．二、思考探究，获取新知 问题一：如图, △ABC 是一个钢架,AB=AC,AD 是连接点A 与BC 中点D 的支架,求证: △ABD ≌ △ACD问题二： 已知：如图AB=CD,AD=BC.则∠A 与∠C 相等吗？为什么？三、精讲延伸DB1.已知：如图，AD=BC ，AE=FC ，DF=BE 。
(完整版)七年级下册数学第四章二元一次方程组知识点
七年级数学下册《二元一次方程组》复习一、知识梳理：1、二元一次方程，二元一次方程组的概念；2、用一个未知数的代数式表示另一个未知数；3、二元一次方程组及其解的概念；4、代入消元法，加减消元法的概念及应用；5、方程组的同解问题的应用。
二、例题讲解：1、已知方程1023=+y x ，（1）若用x 的代数式表示y 应为_________________；（2）当x=-1时方程的解为 ；（3）任意写出方程的两个解： 。
2、二元一次方程组⎩⎪⎨⎪⎧x+y=5a 2x+3y=13的解也是二元一次方程5x-3y=1的解，求a 的值.3、若⎩⎨⎧x=-1y=2是方程组⎩⎨⎧ax -y=1x+6y=7的解，则a=________，b=_________。
4、下列说法中正确的是……………………………………………………( )(A)x=3,y=2是方程3x-4y=1的一组解.(B)方程3x-4y=1有无数组解,即x,y 可以取任何数值.(C)方程3x-4y=1只有两组解,两组解是:⎩⎪⎨⎪⎧x=1y= 12 、 ⎩⎨⎧x=-1y=-1。
(D)方程3x-4y=1可能无解. 5、解下列方程组：（1）⎩⎨⎧=-=-7923y x y x （2） ⎩⎨⎧=+=-16321123y x y x6、已知⎪⎩⎪⎨⎧-==210y x 是方程组⎩⎨⎧=+=-y a x y b x 225的解，求a 、b 的值。
练习：1、方程组⎩⎨⎧5x+4y=77x+3y=15的解是______________。
2、两数和是16,两数差是2,则这两数的积是_____________。
3、若2x -3y=5，则6-4x+6y=_____________；4、解关于x 、y 的方程组。
⎩⎪⎨⎪⎧ax -by=b bx -a y=a（ab ≠0，a 2≠b 2）5、解下列方程组：（1） ⎩⎪⎨⎪⎧x -12 y=16x+3y-6=0 （2）⎩⎪⎨⎪⎧3(x+1)=4(y+2)5y-23 =2x-15三、方程组实际应用相关知1、行程问题：路程=速度×时间；2、工作量问题：工作量=工作效率×时间 （总工作量看作1）3、利率问题：利润=售价-进价（成本） 利润=进价×利润率4、银行存款问题：利息=本金×利率 年利率=月利率×125、等积变换问题：形变面积（或体积）不变。
湘教版七年级下册数学第四章相交线与平行线知识点归纳
湘教版七年级下册数学第四章相交线与平⾏线知识点归纳第四章（相交线与平⾏线）知识点集合⼀、相交与平⾏1.平⾏线的定义：在同⼀平⾯内，不相交的两条直线叫做平⾏线.注意：平⾏线的定义包含三层意思：（1）“在同⼀平⾯内”是前提条件；不在同⼀平⾯内的两条直线，叫异⾯直线。
（2）“不相交”就是说两条直线没有交点；（3）平⾏线指的是“两条直线”⽽不是两条射线或两条线段．两条射线平⾏，指的是这两条射线所在的直线平⾏。
两条线段平⾏，指的是这两条线段所在的直线平⾏。
2.在同⼀平⾯内，两条直线的位置关系只有平⾏与相交两种.3.平⾏线的基本事实（也称平⾏公理）：过直线外⼀点有且只有⼀条直线与这条直线平⾏.4.平⾏线的推论（平⾏线的传递性）：平⾏于同⼀条直线的两条直线平⾏⼏何语⾔表达：∵a//c , c//b(已知）a//b(平⾏于同⼀条直线的两条直线平⾏）判断正误：过⼀点有且只有⼀条直线与已经直线平⾏，对吗？（）⼆．相交直线所成的⾓对顶⾓的定义：如果⼀个⾓的两边是另⼀个⾓的两边的反向延长线，那么这两个⾓互为对项⾓。
如图，⼀共有对对项⾓，分别是⼀共有对邻补⾓，分别是已知：直线AB 与CD 相交于O点(如图),试证明:∠1=∠3，∠2=∠4.对顶⾓相等的⼏何应⽤格式：∵直线 AB 与CD 相交于O点∴∠1=∠3，∠2=∠4（对顶⾓相等）或者由图知：∠1=∠3，∠2=∠4（对顶⾓相等）如图，直线a与直线b交于点0，若∠2是∠1的 3倍，则∠1,∠2,∠3,∠4各个⾓的度数分别为三线⼋⾓图：内错⾓，同位⾓，同旁内⾓的识别，截线与被截线的识别顾名思义法理解内错⾓，同位⾓，同旁内⾓内错⾓：就在是两条被截线的内部，并且在截线两边错开的两个⾓同位⾓：就是在相同位置的两个⾓同旁内⾓：在两条被截直线的内部，并且在截线同旁的两个⾓。
三．平移1.平移的定义：把图形上所有的点都按同⼀⽅向移动相同的距离，图形的这种变换叫做平移。
2.平移的两个要素是：平移的⽅向和平移的距离3.要判断⼀个运动是不是平移，要紧扣平移的特点：⼀变三不变，图形的位置发⽣改变，但是图形的⼤⼩，形状和⽅向不变。
2022-2023学年初中数学北师大版七年级下册第四章三角形单元复习课课件
本章知识梳理
/
目 录
1.
目录
2.
课标要求
3.
知识梳理
课标要求
1. 理解三角形相关概念(内角、外角、中线、高、角平分线)，会 画出任意三角形的中线、高线和角平分线，了解三角形的稳定性 . 2. 掌握三角形的内角和定理(三角形的内角和等于180度)，掌握 “三角形任意两边之和大于第三边”. 3. 了解全等图形的概念，理解全等三角形的概念，能识别全等三 角形的对应边、对应角.
3． 如图M4-3，已知△ABC≌△CDE，其中AB=CD，那么下列 结论中，不正确的是（C ）
A． AC=CE
B． ∠BAC=∠ECD
C． ∠ACB=∠ECD
D． ∠B=∠D
4． 如图M4-4，全等的三角形是（ D ）
A． Ⅰ和Ⅱ
B． Ⅱ和Ⅳ C． Ⅱ和Ⅲ D． Ⅰ和Ⅲ
三、SSA是指两个三角形的两边对应相等及一边的对角对应相
等，但是这种判断方法是不能判定这两个三角形全等的，SAS
是指两个三角形的两条对应边相等且两边的夹角对应相等.
【例3】如图M4-5，已知∠ABC=∠DCB，下列所给条件不能
证明△ABC≌△DCB的是（ ）
A． ∠A=∠D
B． AB=DC
C． ∠ACB=∠DBC D． AC=BD
易错条件都是两条边及一个角对应相等，但是选项B是以 SAS来判定两个三角形全等，而选项D是SSA. 正解：A. 添加∠A=∠D可利用AAS判定△ABC≌△DCB，故此选 项不合题意；B. 添加AB=DC可利用SAS定理判定 △ABC≌△DCB，故此选项不合题意；C. 添加∠ACB=∠DBC可利 用ASA定理判定△ABC≌△DCB，故此选项不合题意；D. 添加 AC=BD不能判定△ABC≌△DCB，故此选项符合题意. 答案:D
完整word版,北师大版七年级数学下册 第四章知识点汇总(全)
第四章 三角形三角形三边关系三角形 三角形内角和定理角平分线三条重要线段 中线高线全等图形的概念全等三角形的性质SSS三角形 SAS全等三角形 全等三角形的判定 ASAAASHL （适用于Rt Δ）全等三角形的应用作三角形一、三角形概念1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。
2、顶点是A 、B 、C 的三角形，记作“ΔABC ”，读作“三角形ABC ”。
3、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB 、BC 、AC ，有时也用a ，b ，c 来表示，顶点A 所对的边BC 用a 表示，边AC 、AB 分别用b ，c 来表示；4、∠A 、∠B 、∠C 为ΔABC 的三个内角。
二、三角形中三边的关系1、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a ；a-b<c,a-c<b,b-c<a 。
2、判断三条线段a,b,c 能否组成三角形：当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形。
3、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即.三、三角形中三角的关系1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于1800。
2、三角形按内角的大小可分为三类：（1）锐角三角形：即三角形的三个内角都是锐角的三角形；（2）直角三角形：即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“Rt Δ”表示“直角三角形”,其中直角∠C 所对的边AB 称为直角三角表的斜边，其余两边称为直角三角形的直角边。
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
（3）钝角三角形：即有一个内角是钝角的三角形。
a b c a b -<<+3、判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。
4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。
四、三角形的三条重要线段1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。
七年级下数学第四章知识点
七年级下数学第四章知识点：本章主要是关于一次函数的知识，包括一次函数的定义、图像、性质以及一次函数在实际问题中的应用等方面。
下面将针对这些知识点进行详细讲解。
一、一次函数的定义一次函数指的是定义域为实数集合的形如y=kx+b（k,b为常数）的函数。
在一次函数中，k又被称为斜率，b被称为截距。
一次函数还可以表述为y=ax+b的形式，其中a是k的值。
二、一次函数的图像一次函数的图像一般呈直线状，斜率k决定了这条直线的倾斜程度，斜率为正数时向右上方倾斜，斜率为负数时向右下方倾斜，斜率为0时则为水平线。
截距b决定了一次函数图像与y轴的交点。
三、一次函数的性质1. 一次函数的定义域为实数集合。
2. 一次函数的值域也是实数集合。
3. 当斜率k>0时，函数是单调递增的；当斜率k<0时，函数是单调递减的。
4. 当斜率k=0时，函数是水平的；当截距b=0时，函数是经过原点的。
5. 一次函数的最大值和最小值不存在。
四、一次函数在实际问题中的应用1. 一次函数在直线运动的问题中有着广泛应用。
例如汽车以每小时50千米的速度行驶，则汽车行驶x个小时后行驶的距离y就可以用一次函数y=50x来表示。
2. 一次函数在成本、收入和利润等问题中也有着重要的应用。
例如，设某公司的定期成本为100万元，每生产1个单位产品的边际成本为50万元，每售出1个单位产品的售价为100万元，则公司销售x个单位产品的利润可以用一次函数y=50x-100表示。
3. 一次函数还可以用于解决分数的加、减、乘、除等问题。
例如，若x、y为正整数，且x/y=2/3，则x-y/y可以用一次函数y=3x-2y来表示。
综合来看，一次函数是我们数学学科中非常重要的基础内容。
希望学生们能够通过本章学习，掌握一次函数的定义、图像和性质，以及在实际问题中的应用，为更深入的数学学习打下坚实的基础。
七年级数学下册第四章变量之间的关系重点知识汇总
第四章变量之间的关系一、变量、自变量、因变量1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。
2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。
3、自变量与因变量的确定：（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。
（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。
（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。
二、表格1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。
（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；（3）结合实际情境理解它们之间的关系。
2、绘制表格表示两个变量之间关系（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。
（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。
三、关系式1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。
2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。
3、求两个变量之间关系式的途径：（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。
（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。
4、关系式的应用：（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。
七年级数学下册第四章三角形4用尺规作三角形直角三角形全等的判定、尺规作图、测距离试题北师大版
直角三角形全等的判定、尺规作图、测距离知识点一：直角三角形的判定1.直角三角形全等的判定条件——HL如果两个直角三角形的斜边及一条直角边分别对应相等，那么这两个直角三角形全等.2.直角三角形全等的判定方法的综合运用.判定两个直角三角形全等的方法有五种，即SSS、SAS，ASA.AAS，HL.3.判定条件的选择技巧（1）上述五种方法是判定两直角三角形全等的方法，但有些方法不可能运用.如SSS，因为有两边对应相等就能够判定两个直角三角形全等.（2）判定两个直角三角形全等，必须有一组对应边相等.（3）证明两个直角三角形全等，可以从两个方面思考：①是有两边相等的，可以先考虑用HL，再考虑用SAS；②是有一锐角和一边的，可考虑用ASA或AAS.例1.如图所示，有两个长度相等的滑梯（即BC=EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯的水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE=________.分析：本题解决问题的关键是证明Rt△ABC≌Rt△DEF，由此，我们也知道三角形全等是解决问题的有力工具.解：由现实意义及图形提示可知CA⊥BF，ED⊥BF，即∠BAC=∠EDF=90°.又因为BC=EF，AC=DF，可知Rt△ABC≌Rt△DEF.得∠DFE=∠ACB.因为∠ACB＋∠ABC=90°，故∠ABC＋∠DFE=90°.例2.如图所示，△ABC中，AD是它的角平分线，BD=CD，DE.DF分别垂直于AB.AC，垂足为E.F.求证BE=CF.解：在△AED和△AFD中，∠ ∠ （垂直的定义）∠ ∠ （角平分线的定义）（公共边）所以△AED≌△AFD（AAS）.所以DE=DF（全等三角形的对应边相等）.在Rt△BDE和Rt△CDF中， （已知） （已证）所以Rt△BDE≌△Rt△CDF（HL）.所以BE= CF（全等三角形的对应边相等）.例3.如图所示，已知AB=AE，BC=ED，∠B=∠E，AF⊥CD，F为垂足，求证：CF=DF.分析：要证CF=DF，可连接AC.AD后，证△ACF≌△ADF即可.证明：连结AC.AD.在△ABC和△AED中，所以AC＝AD（全等三角形的对应边相等）.因为AF⊥CD（已知），所以∠AFC=∠AFD=90°（垂直定义）.在Rt△ACF和Rt△ADF中，（已证） （公共边）所以Rt△ACF≌Rt△ADF（HL）.所以CF=DF（全等三角形的对应边相等）.例4.已知在△ABC与△A′B′C′中，CD.C′D′分别是高，且AC=A′C′，AB=A′B′，CD=C′D′，试判断△ABC 与△A′B′C′是否全等，说说你的理由.分析：分析已知条件，涉及到三角形的高线，而三角形的高线有在三角形内、外或形上三种情形，故需分类讨论. 解：情形一，如果△ABC与△A′B′C′都为锐角三角形，如图所示.因为CD.C′D′分别是△ABC.△A′B′C′的高.所以∠ADC=∠A′D′C′=90°.在△ADC和△A′D′C′中∴Rt△ADC≌Rt△A′D′C′，则∠A=∠A′.在△ABC与△A′B′C′中，∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.情形二，当△ABC为锐角三角形，△A′B′C′为钝角三角形，如图.显然△ABC与△A′B′C′不全等.情形三，当△ABC与△A′B′C′都为钝角三角形时，如图.由CD.C′D′分别为△ABC和△A′B′C′的高，所以∠ADC=∠A′D′C′=90°，在Rt△ADC和Rt△A′D′C′中，CD=C′D′，AC=A′C′∴Rt△ACD≌Rt△A′C′D′，∴∠CAD=∠C′A′D′.∴∠CAB=∠C′A′B′，在△ABC与△A′B′C′中∴△ABC≌△A′B′C′.例5.阅读下题及证明过程：如图，已知D是△ABC中BC边上的一点，E是AD上一点，EB=EC，∠BAE=∠CAE，求证：∠ABE=∠ACE.证明：在△ABE和△ACE中∴△ABE≌△ACE 第一步∴∠ABE=∠ACE 第二步上面的证明过程是否正确？若正确，请写出每一步推理的根据，若不正确，请指出错在哪一步，并写出你认为正确的证明过程.分析：用三角形全等的判定条件去判断，易发现错在第一步，它不符合全等三角形的条件，因此需另辟途径.由题设知，当结论成立时，必有△ABE≌△ACE，而由已知条件不能求证这两个三角形全等，故需将这两个三角形中重新构造出全等三角形.解：上面的证明过程不正确，错在第一步，正确的证明过程如下：过E作EG⊥AB于G，EH⊥AC于H.如图所示则∠BGE=∠CHE=90°在△AGE与△AHE中∴△AGE≌△AHE∴EG=EH在Rt△BGE与Rt△CHE中，EG=EH，BE=CE.∴Rt△BGE≌Rt△CHE，∴∠ABE=∠ACE.例6.已知：如图所示，AD为△ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD.（1）求证：BE⊥AC；（2）若把条件BF=AC和结论BE⊥AC互换，那么这个命题成立吗？（1）证明：因为AD⊥BC（已知），所以∠BDA=∠ADC=90°（垂直定义），∠1＋∠2=90°（直角三角形两锐角互余）.在Rt△BDF和Rt△ADC中， （已知） （已知）所以Rt△BDF≌Rt△ADC（HL）.所以∠2=∠C（全等三角形的对应角相等）.因为∠1＋∠2=90°（已证），所以∠1＋∠C=90°.因为∠1＋∠C＋∠BEC=180°（三角形内角和等于180°），所以∠BEC=90°.所以BE⊥AC（垂直定义）；（2）证明：命题成立，因为BE⊥AC，AD⊥BC，所以∠BDF=∠ADC=90°（垂直定义）.所以∠1＋∠C=90°，∠DAC＋∠C=90°.所以∠1=∠DAC（同角的余角相等）.在△BFD与△ACD中，∠ ∠ （已证）∠ ∠ °（已证）（已知）所以△BFD≌△ACD（AAS）.所以BF=AC（全等三角形的对应边相等）.知识二：利用三角形全等测距离通过探索三角形全等，得到了“边边边”，“边角边”，“角边角”，“角角边”定理，用这些定理能够判断两个三角形是否全等，掌握了这些知识，就具备了“利用三角形全等测距离”的理论基础．体会数学与生活的密切联系，能够利用三角形全等解决生活中的实际问题．在解决实际问题时确定方案使不能直接测量的物体间的距离转化为可以测量的距离（即把距离的测量转化为三角形全等的问题）．例1.如图，有一湖的湖岸在A.B之间呈一段圆弧状，A.B间的距离不能直接测得．•你能用已学过的知识或方法设计测量方案，求出A.B间的距离吗？答案：要测量A.B间的距离，可用如下方法：（1）过点B作AB的垂线BF，在BF上取两点C.D，使CD＝BC，再定出BF的垂线DE，使A.C.E在一条直线上，根据“角边角公理”可知△EDC≌△ABC．因此：DE＝BA．•即测出DE的长就是A.B之间的距离．（如图甲）（2）从点B出发沿湖岸画一条射线BF，在BF上截取BC＝CD，过点D作DE∥AB，使A.•C.E在同一直线上，这时△EDC≌△ABC，则DE＝BA．即DE的长就是A.B间的距离．（•如图乙）例2.如图、小红和小亮两家分别位于A.B两处隔河相望，要测得两家之间的距离，请你设计出测量方案．分析：本题的测量方案实际上是利用三角形全等的知识构造两个全等三角形，使一个三角形在河岸的同一边，通过测量这个三角形中与AB相等的线段的长，就可求出两家的距离．方案：如图，在点B所在的河岸上取点C，连接BC并延长到D，使CD＝CB，利用测角仪器使得∠B＝∠D，A.C.E三点在同一直线上．测量出DE的长，就是AB的长．因为∠B＝∠D，CD＝CB，∠ACB＝∠ECD，所以△ACB≌△ECD，所以AB＝DE．知识点三：尺规作图1.用尺规作三角形的根据是三角形全等的条件.2.尺规作图的几何语言①过点×、点×作直线××；或作直线××；或作射线××；②连接两点××；或连接××；③延长××到点×；或延长（反向延长）××到点×，使××＝××；或延长××交××于点×；④在××上截取××＝××；⑤以点×为圆心，××的长为半径作圆（或弧）；⑥以点×为圆心，××的长为半径作弧，交××于点×；⑦分别以点×、点×为圆心，以××、××的长为半径作弧，两弧相交于点×、×．3.用尺规作图具有以下三个步骤①已知：当题目是文字语言叙述时，要学会根据文字语言用数学语言写出题目中的条件；②求作：能根据题目写出要求作出的图形及此图形应满足的条件；③作法：能根据作图的过程写出每一步的操作过程.当不要求写作法时，一般要保留作图痕迹. 对于较复杂的作图，可先画出草图，使它同所要作的图大致相同，然后借助草图寻找作法.例1.已知三角形的两角及其夹边，求作这个三角形．已知：∠α，∠β，线段c(如图)．求作：△ABC，使∠A＝∠α，∠B＝∠β，AB＝c．请按照给出的作法作出相应的图形．例2.如图，已知线段a，b，c，满足a＋b>c，用尺规作图法作△ABC，使BC＝a，AC＝b，AB＝c.错误作法：(1)作线段AB＝c；（2）作线段BC＝a；（3）连接AC，则△ABC就是所求作的三角形(如图).分析：本题第2步作线段BC＝a，在哪个方向作，∠CBA的度数是多少是不确定，所以这步的作法不正确，不能保证AC的长一定等于b．错误的原因在于没有真正理解用尺规作三角形的方法．正确作法：（1）作射线CE；（2）在射线CE上截取CB＝a；（3）分别以C，B为圆心，b，c长为半径画弧，两弧交于点A．连接AC.AB，则△ABC为所求作的三角形(如图)．例3.已知两边和其中一边上的中线，求作三角形．已知线段A.b 和 m．求作△ABC，使BC＝a，AC＝b，BC边上的中线等于m.分析：如果BC已作出，则只要确定顶点A．由于AD是中线，则D为BC的中点，A在以D为圆心，m为半径的圆上，又AC＝b，点A也在以C为圆心b为半径的圆上，因此点A是这两个轨迹的交点．作法：1.作线段BC＝a．2.分别以B.C为圆心，大于 长为半径画弧，在BC两侧各交于一点M、N，连接M、N交BC于点D．3.分别以D为圆心，m长为半径作弧，以C为圆心，b长为半径作弧，两弧交于点A．4.分别连接AB.AC．则△ABC就是所求作的三角形．思考：假定△ABC已经作出，其中 BC＝a，AC＝b，中线 AD＝m．显然，在△ADC中，AD＝m，DC＝ ，AC＝b，所以△ADC若先作出．然后由BD＝ 的关系，可求得顶点B的位置，同样可以作出△ABC．作法请同学们自己写出．1.如图，DB⊥AB，DC⊥AC，垂足分别为B.C，且BD=CD，求证：AD平分∠BAC.证明：∵DB⊥AB，DC⊥AC∴∠B=∠C=90°在Rt△ABD和Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD（HL）∴∠1=∠2∴AD平分∠BAC.2.如图，已知AB=AC，AB⊥BD，AC⊥CD，AD和BC相交于点E，求证：（1）CE=BE；（2）CB⊥AD.证明：（1）∵AB⊥BD，AC⊥CD∴∠ABD=∠ACD=90°在Rt△ABD和Rt△ACD中∴Rt△ABD≌Rt△ACD (HL)∴∠1=∠2在△ABE和△ACE中∴△ABE≌△ACE（SAS）∴BE=CE（2）∵△ABE≌△ACE∴∠3=∠4又∵∠3＋∠4=180°∴∠3=90°∴CB⊥AD3.如图，已知一个角∠AOB，你能否只用一块三角板作出它的平分线吗？说明方法与理由.解：能.作法：（1）在OA，OB上分别截取OM=ON（2）过M作MC⊥OA，过N作ND⊥OB，MC交ND于P（3）作射线OP则OP为∠AOB的平分线证明：∵MC⊥OA.ND⊥OB∴∠1=∠2=90°在Rt△OMP和Rt△ONP中∴Rt△OMP≌Rt△ONP（HL）∴∠3=∠4∴OP平分∠AOB.4.如图，AB=AD，BC=DE，且BA⊥AC，DA⊥AE，你能证明AM=AN吗？解：能.理由如下：∵BA⊥AC，DA⊥AE，∴∠BAC=∠DAE=90° 在 Rt△ABC 和 Rt△ADE 中∴Rt△ABC≌Rt△ADE（HL） ∴∠C=∠E，AC=AE 在△AMC 和△ANE 中∴△AMC≌△ANE（ASA），∴AM=AN. 5.如图，CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分别为 E.F，且 AE=BF，AD=BC，则（1）△ADF 和△BEC 全等吗？为什么？ （2）CM 与 DN 相等吗？为什么？解： （1）△ADF≌△BCE，理由如下：∵CE⊥AB，DF⊥AB ∴∠1=∠2=∠3=∠4=90° 又∵AE=BF，∴AF=BE 在 Rt△ADF 和 Rt△BCE 中∴Rt△ADF≌Rt△BCE（HL） （2）CM=DN，理由如下： ∵△ADF≌△BCE ∴DF=CE，∠A=∠B 在△AME 和△BNF 中∴△AME≌△BNF（ASA） ∴ME=NF，又∵CE=DF ∴MC=ND. 6.如图所示，已知线段 a，b，∠α ，求作△ABC，使 BC＝a，AC＝b，∠ACB＝∠α ，•根据作图在下面空格中填上适 当的文字或字母． （1）如图甲所示，作∠MCN＝________； （2）如图乙所示，在射线 CM 上截取 BC＝________，在射线 CN 上截取 AC＝________． （3）如图丙所示，连接 AB，△ABC 就是_________．答案：∠α ，a，b，所求作的三角形. 7.已知线段 a 及锐角α ，求作：三角形 ABC，使∠C＝90°，∠B＝∠α ，BC＝A．作法：（1）作∠MCN＝90°； （2）以 C 为圆心，a 为半径，在 CM 上截取 CB＝a； （3）以 B 为顶点，BC 为一边作∠ABC＝∠α ，交 CN 于点 A．连接 AB，则△ABC 即为所求作的三角形． 8.你一定玩过跷跷板吧！如图是贝贝和晶晶玩跷跷板的示意图，支柱 OC 与地面垂直，点 O 是横板 AB 的中点，AB 可以绕着点 O 上下转动，当 A 端落地时，∠OAC＝20°．（1）横板上下可转动的最大角度（即∠A′OA）是多少？ （2）在上下转动横板的过程中，两人上升的最大高度 AA′，BB′有何数量关系？为什么？解：（1）∵OC⊥AB′，∠OAC＝20°， ∴∠AOC＝90°－20°＝70°， 同理可求∠B′OC＝70°， ∴∠AOA′＝180°－2×70°＝40°；（2）AA′＝BB′， 如图所示，连接 AA′、BB′， ∵AB＝A′B′，∠BAB′＝∠A′B′A，AB′＝B′A， ∴△A′AB′≌△BB′A，∴AA′＝BB′． 9.有一池塘，要测池塘两端 A.B 间的距离，可先在平地上取一个可以直接到达 A 和 B 的点 C，连接 AC 并延长到 D， 使 CD＝CA，连接 BC 并延长到 E，使 CE＝CB，连接 DE，量出 DE 的长，这个长就是 A.B 之间的距离。
北师大版七年级数学下册教案(含解析)：第四章三角形章末复习
北师大版七年级数学下册教案（含解析）：第四章三角形章末复习一. 教材分析北师大版七年级数学下册第四章《三角形》章末复习部分，主要对三角形的相关知识进行总结和复习。
内容包括：三角形的性质、三角形的分类、三角形的判定、三角形的角的性质、三角形的边的关系等。
这部分内容是学生进一步学习几何的基础，对于培养学生的空间想象能力和逻辑思维能力具有重要意义。
二. 学情分析学生在学习本章内容前，已经掌握了平面几何的基本知识，如线的性质、角的性质等。
但部分学生对于三角形的性质和判定仍存在理解上的困难，对于三角形的角的性质和边的关系掌握不够扎实。
因此，在复习过程中，需要注重巩固基础知识，提高学生的应用能力。
三. 教学目标1.知识与技能：使学生掌握三角形的性质、分类、判定等基本知识，提高学生的空间想象能力和逻辑思维能力。
2.过程与方法：通过复习，培养学生独立思考、合作交流的能力，提高学生分析问题和解决问题的能力。
3.情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣，培养学生的自信心，使学生感受到数学的价值。
四. 教学重难点1.重点：三角形的性质、分类、判定等基本知识。
2.难点：三角形的角的性质和边的关系的运用。
五. 教学方法采用问题驱动法、案例分析法、小组合作法等，引导学生主动参与课堂，提高学生的学习兴趣和积极性。
六. 教学准备1.教师准备：整理和准备相关的教学案例、习题等资源。
2.学生准备：完成本章的学习任务，准备好相关的学习资料。
七. 教学过程1.导入（5分钟）教师通过提问方式引导学生回顾三角形的基本概念，激发学生的学习兴趣。
2.呈现（10分钟）教师利用多媒体展示三角形的相关性质、分类和判定等知识，引导学生总结和归纳。
3.操练（10分钟）教师提出问题，学生分组讨论，通过实际操作和举例来巩固三角形的相关知识。
4.巩固（10分钟）教师给出一些练习题，学生独立完成，检验自己对三角形知识的掌握程度。
5.拓展（10分钟）教师提出一些综合性的问题，引导学生运用所学的三角形知识解决问题，提高学生的应用能力。
浙教版七年级下册数学第四章 三角函数含答案
浙教版七年级下册数学第四章三角函数
含答案
本文档为浙教版七年级下册数学教材中第四章的内容，涉及三
角函数的知识点和相关答案。
知识点介绍
本章主要介绍以下几个三角函数的概念和性质：
1. 正弦函数（sin）：定义为直角三角形中斜边与对边的比值；
2. 余弦函数（cos）：定义为直角三角形中斜边与邻边的比值；
3. 正切函数（tan）：定义为直角三角形中对边与邻边的比值；
4. 值域和定义域：三角函数在定义域内的取值范围；
5. 周期性：三角函数的图像在一定范围内具有循环重复的特点。
答案示例
以下是一些题的答案示例，供参考：
1. 问题：已知一个角的正弦值为0.5，求该角的余弦值。
解答：正弦函数和余弦函数是互补的，所以该角的余弦值为0.5的互补数，即0.5。
2. 问题：求角A的正切值，已知角A的对边长为6，邻边长为8。
解答：正切函数定义为对边与邻边的比值，所以角A的正切值为6/8=0.75。
请根据实际题目进行相应的计算和解答。
以上为浙教版七年级下册数学第四章三角函数的内容概述和一些答案示例，希望能对你的学习有所帮助。
北师大版七年级数学下册第四章 三角形3 第1课时 利用“边边边”判定三角形全等
解题思路：
A
先找隐含条件 公共边 AD
再找现有条件 AB = AC
最后找准备条件
B
D
C
BD = CD
D 是 BC 的中点
准备条件
解：因为 D 是 BC 中点，
A
指明 所以 BD = DC．
范围 在△ABD 与△ACD 中，
摆齐 根据
因为 AB = AC ，
BD = CD，
B
AD = AD ，
所以△ABD≌△ACD (SSS).
D
C
写出 结论
针对训练 1. (邻水县期末)如图，AB = DC ，若要用“SSS”证 明△ABC≌△DCB，需要补充一个条件， 这个条件是 AC = BD (填一个条
2. 如图，AB = AC，DB = DC，请说明∠B =∠C 成立的理由.
解：连接 AD.
A
在△ABD 和△ACD 中，
因为 AB = AC，DB = DC，
AD = AD，
所以△ABD≌△ACD .
D
所以∠B =∠C .
B
C
2 三角形的稳定性
由上面的结论可知，只要三角形三边的长度确定了，这 个三角形的形状和大小就完全确定了.
探究活动：请同学们动手用三根木条钉成一个三角形框 架，再用四根木条钉成框架，看看它们的形状能否改变？
大小和形状 固定不变
形状可以改变
三角形的稳定性 四边形具有不稳定性
在生活中，我们经常会看到应用三角形稳定性的例子. 你还能举出一些其他的例子吗?
针对训练
3. 如图，桥梁的斜拉钢索是三角形的结构，主要是为了
A. 节省材料，节约成本 B. 保持对称
(C )
C. 利用三角形的稳定性
北师大版初中七年级数学下册第四章集体备课教学课件PPT
（1）
（2）
（3）
我们可以按三角形内角的大小把三角形 分为三类：
锐角三角形
直角三角形
钝角三角形
三个内角都是锐角 有一个内角是直角 有一个内角是钝角
直角三角形
➢ 通常，我们用符号“Rt△ABC”
C
表示“直角三角形 ABC”.
➢ 把直角所对的边称为直角三角
形的斜边，夹直角的两条边称
B
A
为直角边.
你知道直角三角形的两个锐角之间有什么关系吗？
第四章 三角形
1 认识三角形
第1课时 三角形与三角形的内角和
北师大版七年级数学下册
新课导入
在我们日常生活中经常能看到三角形的影子.
减速慢行
注意儿童
前方村庄
新课探究
观察下面的屋顶框架图：
（1）你能从图中找出四个不同的三角形吗？ （2）这些三角形有什么共同的特点？
想一想
1.什么叫做三角形？
A
F
由不在同一直线上的三
课后作业
1.从教材习题中选取； 2.完成练习册本课时的习题.
第2课时 三角形的三边关系
北师大版七年级数学下册
新课导入
将三角形按角的大小可以分为几类？ 锐角三角形 ：三个内角都是锐角. 直角三角形 ：有一个内角为直角. 钝角三角形 ：有一个内角为钝角.
如果按边来分又可以分为几类
按 不等边三角形 边 分 类 等腰三角形
3.在△ABC 中，∠A = 80°，∠B = ∠C， 则∠C=___5_0_°__.
4.如果△ABC 中∠A∶∠B∶∠C = 2∶3∶5， 此三角形按角分类应为Hale Waihona Puke 直__角__三__角__形___.
5. 已知：如图，AB//CD，直线 EF 分别交 AB、 CD 于点 E、F，∠BEF 的平分线与∠DFE 的平 分线相交于点 P，则∠P =90°，请说明理由.
七年级数学下册 第四章 三角形 1 认识三角形第2课时 三角形的三边关系教学课件 北师大版
You made my day!
我们，还在路上……
பைடு நூலகம்
课程讲授
2 三角形的三边关系
问题1：任意画出一个△ABC，从其中一个顶点B出发，
沿三角形的边到点C，有几条线路可以选择，各条线路
的长有什么关系？
A
两点之间线段最短.
由此可以得到： AC BC AB
B
C
AB BC AC AC AB BC
提示：两点之间，线段最短.
课程讲授
2 三角形的三边关系
问题1：观察下图中的三角形，试着比较它们之间的不 同之处.
提示：可根据三角形三边的长度关系进行比较.
顶角
腰 底角
不等边三角形 (三条边长度均不相等)
等腰三角形 底边
（两条边长度相等）
等边三角形 （三条边长相等）
课程讲授
1 等腰三角形和等边三角形
以“是否有边相等”，可以将三角形分为两类： _三__边__都__不__相__等__的__三__角__形_和__等__腰__三__角__形_. 三条边各不相等的三角形叫做__不__等__边__三__角__形____. 有两条边相等的三角形叫做__等__腰__三__角__形_. 三条边都相等的三角形叫做_等__边__三__角__形_.
等腰三角形与等边三角形的关系： 等边三角形是特__殊__的等边三角形，即_底__边__和__腰__相__等__ 的等腰三角形.
课程讲授
1 等腰三角形和等边三角形
三边都不 相等的三 角形
等腰三角形
等边三 角形
三角形
课程讲授
1 等腰三角形和等边三角形
练一练：根据三角形的分类，判断下列说法是否正确。
（1）一个钝角三角形可能是等腰三角形.（ √ ） （2）等边三角形是特殊的等腰三角形.（ √ ） （3）等腰三角形的腰和底一定不相等.（ × ） （4）等边三角形是锐角三角形.（ √ ） （5）直角三角形一定不是等腰三角形.（ × ）
七年级下册数学第四章知识点归纳
七年级下册数学第四章知识点归纳七年级下册数学第四章主要内容涉及到直线与角的方面，是初中数学的重要基础知识点。
反复练习和巩固这些知识点，有助于提高数学学习的能力和水平。
本文将对第四章的知识点做一个简单的归纳和总结，希望对初学者有所帮助。
一、直线相关知识1. 直线的定义：两个不同点之间的连线称为直线，直线的特性是无限延伸。
2. 直线的分类：垂直直线、平行直线、相交直线。
3. 平行线的性质：两条直线平行，它们之间的距离相等，不会相交。
4. 交错线的性质：两对相交的交错线，两内角和为180度。
5. 竖直角和水平角的性质：水平角相等，竖直角相等，它们的度数均为90度。
二、角相关知识1. 角度的概念：由两条射线围成的区域称为角度，它以度数、弧度或梯度为单位来表示。
2. 角的分类：钝角、直角、锐角等。
3. 角的度数：一个完整的角度为360度，一个直角为90度，一个钝角为180度。
4. 角的度数计算方法：度数 = 角的弧长 ÷圆的周长 × 360度，或者度数 = 弧度 × 180度÷ π。
5. 角度的基本性质：角度可用于度量时间、位置、距离、速度等。
三、知识点综合运用1. 直角三角形：一个内角为90度的三角形称为直角三角形，直角三角形有特殊的勾股定理：c² = a²+b²。
2. 角平分线定理：如果一条直线把一个角平分成两个等角，那么这条直线称为该角的角平分线。
3. 三角形内角和定理：三角形的三个内角和为180度。
4. 三角形外角和定理：三角形的一个外角等于它不相邻的两个内角和。
总结：七年级下册数学第四章知识点主要是关于直线和角度的概念、性质和运用。
这些知识点是初中数学的基础知识点，在后续的学习中也会经常使用到。
因此，我们必须认真复习，加强理解和记忆，为后续的学习打好坚实的基础。
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七年级下册数学第四章
如何正确书写证明三角形全等的过程
1确定证明哪两个三角形全等。
2使用哪一个判定方法。
3找条件1已知条件2推断条件。
4正确书写证明过程。
知识点一：全等三角形判定1
例1：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，有下面四个论断：（1）AD＝CB；（2）AE＝CF；（3）DF＝BE；（4）AD∥BC。
请将其中三个论断作为条件，余下的一个作为结论，编一道证明题，并写出证明过程。
解答过程：
已知：如图，在△AFD和△EBC中，点A，E，F，C在同一直线上，AD＝CB，AE＝CF，DF＝BE。
求证：AD∥BC。
证明：∵AE＝CF
∴AE＋EF＝CF＋EF
∴AF＝CE
在△AFD和△CEB中，
∵
AD CB AF CE DF BE
=
⎧
⎪
=
⎨
⎪=
⎩
∴△AFD≌△EBC（SSS）
∴∠A ＝∠C
∴AD ∥BC
知识点二：全等三角形判定2
例2：已知：如图，OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，OA OC OB OD ==，。
求证：（1）△OAB ≌△OCD ；（2）AB CD =。
解答过程：证明：（1）∵OP 是AOC ∠和BOD ∠的平分线，
∴∠AOP ＝∠COP ，∠BOP ＝∠DOP
∴∠AOP －∠BOP ＝∠COP －∠DOP
∴∠AOB ＝∠COD
在△OAB 和△OCD 中，
∵OA OC AOB COD OB OD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△OAB ≌△OCD （SAS ）
（2）由（1）知△OAB ≌△OCD
∴AB ＝CD
例3：已知：如图，AB ∥CD ，AB ＝CD ，求证：AD ∥BC ，AD ＝
BC
解答过程：
连接BD
∵ AB ∥CD
∴∠1＝∠2
在△ADB 和△CBD 中，
∵AB CD ABD CDB BD DB =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ADB ≌△CBD （SAS ）
∴AD ＝BC ，∠ADB ＝∠CBD
∴AD ∥BC
综上：AD ∥BC ，AD ＝BC。