2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷(附答案)

2020年九年级中考数学压轴题专项训练：圆的综合卷（含答案）

1．如图，点O为Rt△ABC斜边AB上的一点，∠C＝90°，以OA为半径的⊙O与BC交于点D，与AC交于点E，连接AD且AD平分∠BAC．

（1）求证：BC是⊙O的切线；

（2）若∠BAC＝60°，OA＝2，求阴影部分的面积（结果保留π）

（1）证明：连接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD＝∠DAC，

∵AO＝DO，

∴∠BAD＝∠ADO，

∴∠CAD＝∠ADO，

∴AC∥OD，

∵∠ACD＝90°，

∴OD⊥BC，

∴BC与⊙O相切；

（2）解：连接OE，ED，

∵∠BAC＝60°，OE＝OA，

∴△OAE为等边三角形，

∴∠AOE＝60°，

∴∠ADE＝30°，

又∵∠OAD＝∠BAC＝30°，

∴∠ADE＝∠OAD，

∴ED∥AO，

∴四边形OAED是菱形，

∴OE⊥AD，且AM＝DM，EM＝OM，

∴S

△AED ＝S

△AOD

，

∴阴影部分的面积＝S扇形ODE＝＝π．

2．如图，已知AB是⊙O的直径，AC是⊙O的弦，点E在⊙O外，连接CE，∠ACB的平分线交⊙O于点D．

（1）若∠BCE＝∠BAC，求证：CE是⊙O的切线；

（2）若AD＝4，BC＝3，求弦AC的长．

（1）证明：连接OC，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACO+∠BCO＝90°，

∵OA＝OC，

∴∠OAC＝∠OCA，

∵∠BAC＝∠BCE，

∴∠ACO＝∠BCE，

∴∠BCE+∠BCO＝90°，

∴∠OCE＝90°，

∴CE是⊙O的切线；

（2）解：连接BD，

∵∠ACB的平分线交⊙O于点D，

∴∠ACD＝∠BCD，

∴＝，

∴AD＝BD，

∵AB是⊙O的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴△ADB是等腰直角三角形，

∴AB＝AD＝4，

∵BC＝3，

∴AC＝＝＝．

3．如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）∠C＝45°，⊙O的半径为2，求阴影部分面积．

（1）证明：连接OE ．

∵OA ＝OE ，

∴∠OAE ＝∠OEA ，

又∵∠DAE ＝∠OAE ，

∴∠OEA ＝∠DAE ，

∴OE ∥AD ，

∴∠ADC ＝∠OEC ，

∵AD ⊥CD ，

∴∠ADC ＝90°，

故∠OEC ＝90°．

∴OE ⊥CD ，

∴CD 是⊙O 的切线；

（2）解：∵∠C ＝45°，

∴△OCE 是等腰直角三角形，

∴CE ＝OE ＝2，∠COE ＝45°，

∴阴影部分面积＝S △OCE ﹣S 扇形OBE ＝2×2﹣＝2﹣．

4．如图①，BC 是⊙O 的直径，点A 在⊙O 上，AD ⊥BC 垂足为D ，弧AE ＝弧AB ，BE 分别交AD 、AC 于点F 、G ．

（1）判断△FAG的形状，并说明理由；

（2）如图②若点E与点A在直径BC的两侧，BE、AC的延长线交于点G，AD的延长线交BE于点F，其余条件不变（1）中的结论还成立吗？请说明理由．

（3）在（2）的条件下，若BG＝26，DF＝5，求⊙O的直径BC．

解：（1）△FAG等腰三角形；

理由：∵BC为直径，

∴∠BAC＝90°，

∴∠ABE+∠AGB＝90°，

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD+∠DAC＝90°，

∵弧AE＝弧AB，

∴∠ABE＝∠ACD，

∴∠DAC＝∠AGB，

∴FA＝FG，

∴△FAG是等腰三角形；

（2）成立；

∵BC为直径，

∴∠BAC＝90°

∴∠ABE+∠AGB＝90°

∵AD⊥BC，

∴∠ADC＝90°，

∴∠ACD+∠DAC＝90°，

∵弧AE＝弧AB，

∴∠ABE＝∠ACD，

∴∠DAC＝∠AGB，

∴FA＝FG，

∴△FAG是等腰三角形；

（3）由（2）知∠DAC＝∠AGB，

且∠BAD+∠DAC＝90°，∠ABG+∠AGB＝90°，

∴∠BAD＝∠ABG，

∴AF＝BF，

又∵AF＝FG，

∴F为BG的中点

∵△BAG为直角三角形，

∴AF＝BF＝BG＝13，

∵DF＝5，

∴AD＝AF﹣DF＝13﹣5＝8，

∴在Rt△BDF中，BD＝＝12，

∴在Rt△BDA中，AB＝＝4，

∵∠ABC＝∠DBA，∠BAC＝∠ADB＝90°

∴△ABC∽△DBA，

∴＝，

∴＝，

∴BC＝，

∴⊙O的直径BC＝．

5．如图，已知矩形ABCD的边AB＝6，BC＝4，点P、Q分别是AB、BC边上的动点．

（1）连接AQ、PQ，以PQ为直径的⊙O交AQ于点E．

①若点E恰好是AQ的中点，则∠QPB与∠AQP的数量关系是∠QPB＝2∠AQP；

②若BE＝BQ＝3，求BP的长；

（2）已知AP＝3，BQ＝1，⊙O是以PQ为弦的圆．

①若圆心O恰好在CB边的延长线上，求⊙O的半径；

②若⊙O与矩形ABCD的一边相切，求⊙O的半径．

解：（1）①∵点E恰好是AQ的中点，∠ABQ＝90°，

∴BE＝AE＝EQ，

∴∠EAB＝∠EBA，

∴∠QEB＝2∠EBP，

∵以PQ为直径的⊙O交AQ于点E，

∴∠QPB＝∠QEB，∠PBE＝∠PQA，

∴∠QPB＝2∠AQP，

故答案为：∠QPB＝2∠AQP；

②∵BE＝BQ，

∴∠BEQ＝∠BQE，且∠BPQ＝∠BEQ，

∴∠BPQ＝∠BQE，

∴tan∠BPQ＝tan∠BPQ，

∴，

∴，

∴BP＝

（2）①如图1，过点O作OE⊥PQ，