2017参数方程学案

第2讲　参数方程

【考情分析】

考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．

基础梳理

1．参数方程的意义

在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某个变量的函数并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．

2．常见曲线的参数方程的一般形式

(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．

设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量．

(2)圆的参数方程(θ为参数)．

(3)圆锥曲线的参数方程

椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．

双曲线－＝1的参数方程为(φ为参数)．

抛物线y2＝2px的参数方程为(t为参数)．

双基自测

1． 极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )．

A．直线、直线 B．直线、圆

C．圆、圆 D．圆、直线

解析　∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝代入到ρ＝cos θ，得ρ＝，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．

又∵相加得x＋y＝1，表示直线．

答案　D

2．若直线(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.

解析　参数方程所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直线4x

＋ky＝1垂直可得－×＝－1，解得k＝－6.

答案　－6

3．二次曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是________．

解析　题中二次曲线的普通方程为＋＝1左焦点为(－4,0)．

答案　(－4,0)

4．(2011·广州调研)已知直线l的参数方程为：(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则直线l与圆C的位置关系为________．

解析　将直线l的参数方程：化为普通方程得，y＝1＋2x，圆ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x2＋(y－)2＝2，圆心(0，)到直线y＝1＋2x的距离为，因为该距离小于圆的半径，所以直线l与圆C相交．

答案　相交

5．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ＜π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．

解析　由(0≤θ＜π)得，＋y2＝1(y≥0)由(t∈R)得，x＝y2，∴5y4＋16y2－16＝0.

解得：y2＝或y2＝－4(舍去)．

则x＝y2＝1又θ≥0，得交点坐标为.

答案　

考向一　参数方程与普通方程的互化

【例1】►把下列参数方程化为普通方程：

(1)　(2)

[审题视点] (1)利用平方关系消参数θ；

(2)代入消元法消去t.

解　(1)由已知由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1,

可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，这就是它的普通方程．

(2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋t中，

得y＝5＋(2x－2)，即x－y＋5－＝0就是它的普通方程．

参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．

【训练1】 (2010·陕西)参数方程(α为参数)化成普通方程为________．

解析　由得

①2＋②2得：x2＋(y－1)2＝1.

答案　x2＋(y－1)2＝1

考向二　直线与圆的参数方程的应用

【例2】►已知圆C：(θ为参数)和直线l：(其中t为参数，α为直线l的倾斜角)．

(1)当α＝时，求圆上的点到直线l距离的最小值；

(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．

[审题视点] (1)求圆心到直线l的距离，这个距离减去圆的半径即为所求；(2)把圆的参数方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入得关于参数t的一元二次方程，这个方程的Δ≥0.

解　(1)当α＝时，直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，圆C的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d＝＝，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为－1.

(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cos α＋sin α)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋sin α)2－12≥0，则sin2≥，即sin≥或sin ≤－.又

0≤α＜π，故只能sin≥，即≤α＋≤，即≤α≤.

如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．

【训练2】已知直线l的参数方程为(参数t∈R)，圆C的参数方程为(参数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．

解　由消参数后得普通方程为2x＋y－6＝0，

由消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝0的距离为d＝＝，

所以所求弦长为2 ＝.

考向三　圆锥曲线的参数方程的应用

【例3】►求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆＋y2＝1所得的弦长．

[审题视点] 把直线方程用参数表示，直接与椭圆联立，利用根与系数的关系及弦长公式可解决．

解　由条件可知直线的参数方程是(t为参数)，代入椭圆方程可得＋2＝1，

即t2＋3t＋1＝0.设方程的两实根分别为t1、t2，则由二次方程的根与系数的关系可得则直线截椭圆的弦长是|t1－t2|＝＝＝ .

普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．一般地，常选择的