2017参数方程学案
2017_18学年高中数学第二章参数方程三直线的参数方程教学案
三 直线的参数方程[对应学生用书P27]1．直线的参数方程(1)过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋t cos αy ＝y 0＋t sin α(t 为参数)(2)由α为直线的倾斜角知α∈[0，π)时，sin α≥0. 2．直线参数方程中参数t 的几何意义参数t 的绝对值表示参数t 所对应的点M 到定点M 0的距离． (1)当M 0M ―→与e (直线的单位方向向量)同向时，t 取正数． (2)当M 0M ―→与e 反向时，t 取负数，当M 与M 0重合时，t ＝0.[对应学生用书P27][例1] 已知直线l 的方程为3x －4y ＋1＝0，点P (1,1)在直线l 上，写出直线l 的参数方程，并求点P 到点M (5,4)的距离．[思路点拨] 由直线参数方程的概念，先求其斜率，进而由斜率求出倾斜角的正、余弦值，从而得到直线参数方程．[解] 由直线方程3x －4y ＋1＝0可知，直线的斜率为34，设直线的倾斜角为α，则tan α＝34，sin α＝35，cos α＝45.又点P (1,1)在直线l 上，所以直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋45t ，y ＝1＋35t (t 为参数)．因为3×5－4×4＋1＝0，所以点M 在直线l 上．由1＋45t ＝5，得t ＝5，即点P 到点M 的距离为5.理解并掌握直线参数方程的转化，弄清参数t 的几何意义，即直线上动点M 到定点M 0的距离等于参数t 的绝对值是解决此类问题的关键．1．设直线l 过点A (2，－4)，倾斜角为5π6，则直线l 的参数方程为________________．解析：直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋t cos5π6，y ＝－4＋t sin 5π6(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－32t ，y ＝－4＋12t (t 为参数)2．一直线过P 0(3,4)，倾斜角α＝π4，求此直线与直线3x ＋2y ＝6的交点M 与P 0之间的距离．解：设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝4＋22t ，将它代入已知直线3x ＋2y －6＝0， 得3(3＋22t )＋2(4＋22t )＝6. 解得t ＝－1125，∴|MP 0|＝|t |＝1125.[例2] 已知直线l 经过点P (1,1)，倾斜角α＝π6，(1)写出直线l 的参数方程．(2)设l 与圆x 2＋y 2＝4相交于两点A 、B ，求点P 到A 、B 两点的距离之积．[思路点拨] (1)由直线参数方程的概念可直接写出方程；(2)充分利用参数几何意义求解．[解] (1)∵直线l 过点P (1,1)，倾斜角为π6，∴直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋32t ，y ＝1＋12t 为所求．(2)因为点A ，B 都在直线l 上，所以可设它们对应的参数为t 1和t 2，则点A ，B 的坐标分别为A (1＋32t 1,1＋12t 1)，B (1＋32t 2,1＋12t 2)， 以直线l 的参数方程代入圆的方程x 2＋y 2＝4整理得到t 2＋(3＋1)t －2＝0，① 因为t 1和t 2是方程①的解，从而t 1t 2＝－2. 所以|PA |·|PB |＝|t 1t 2|＝|－2|＝2.求解直线与圆或圆锥曲线有关的弦长时，不必求出交点坐标，根据直线参数方程中参数t 的几何意义即可求得结果，与常规方法相比较，较为简捷．3．直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，l 与圆x 2＋y 2＝7相交于A 、B 两点．(1)求弦长|AB |； (2)求A 、B 两点坐标．解：∵直线l 通过P 0(－4,0)，倾斜角α＝π6，∴可设直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝t 2.代入圆方程，得(－4＋32t )2＋(12t )2＝7. 整理得t 2－43t ＋9＝设A 、B 对应的参数分别t 1和t 2， 由根与系数的关系得t 1＋t 2＝43，t 1t 2＝9 ∴|AB |＝|t 2－t 1|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝2 3.解得t 1＝33，t 2＝3，代入直线参数方程 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋32t ，y ＝12t ，得A 点坐标(12，332)，B 点坐标(－52，32)．4.如图所示，已知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，直线l 和抛物线y2＝2x 相交于A ，B 两点，设线段AB 的中点为M ，求：(1)P ，M 间的距离|PM |； (2)点M 的坐标．解：(1)由题意，知直线l 过点P (2,0)，斜率为43，设直线l 的倾斜角为α，则tan α＝43，cos α＝35，sin α＝45，∴直线l 的参数方程的标准形式为 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35t ，y ＝45t(t 为参数)． *∵直线l 和抛物线相交，∴将直线l 的参数方程代入抛物线方程y 2＝2x 中， 整理得8t 2－15t －50＝0，Δ＝152＋4×8×50＞0. 设这个二次方程的两个根为t 1，t 2，由根与系数的关系得t 1＋t 2＝158，t 1t 2＝－254.由M 为线段AB 的中点， 根据t 的几何意义，得|PM | ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪t 1＋t 22＝1516.(2)因为中点M 所对应的参数为t M ＝1516，将此值代入直线l 的参数方程的标准形式(*)，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋35×1516＝4116，y ＝45×1516＝34，即M ⎝⎛⎭⎪⎫4116，34.[对应学生用书P28]一、选择题1．直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋t 2，y ＝2－32t ，M 0(－1,2)和M (x ，y )是该直线上的定点和动点，则t 的几何意义是( )A ．有向线段M 0M 的数量B ．有向线段MM 0的数量C ．|M 0M |D ．以上都不是解析：参数方程可化为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋－12－t ，y ＝2＋32－t答案：B2．曲线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3t 2＋2，y ＝t 2－1(t 是参数)，则曲线是( )A ．线段B ．双曲线的一支C ．圆D ．射线解析：由y ＝t 2－1得y ＋1＝t 2，代入x ＝3t 2＋2， 得x －3y －5＝0(x ≥2)．故选D. 答案：D3．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋3t ，y ＝－1＋t(t 为参数)上对应t ＝0，t ＝1两点间的距离是( )A ．1 B.10 C ．10D ．2 2解析：因为题目所给方程不是参数方程的标准形式，参数t 不具有几何意义，故不能直接由1－0＝1来得距离，应将t ＝0，t ＝1分别代入方程得到两点坐标(2，－1)和(5,0)，由两点间距离公式来求出距离，即－2＋－1－2＝10.答案：B4．若直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)与圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4＋2cos φ，y ＝2sin φ(φ为参数)相切，那么直线倾斜角α为( )A.π6 B.π4 C.π3D.π6或5π6解析：直线化为y x＝tan α，即y ＝tan α·x ， 圆方程化为(x －4)2＋y 2＝4， ∴由|4tan α|tan 2α＋1＝2⇒tan 2α＝13， ∴tan α＝±33，又α∈[0，π)，∴α＝π6或5π6. 答案：D 二、填空题5．直线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝－3－22t (t 为参数)上到点M (2，－3)的距离为2且在点M 下方的点的坐标是________．解析：把参数方程化成标准形式为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－22－t ，y ＝－3＋22－t ，把－t 看作参数，所求的点在M (2，－3)的下方，所以取－t ＝－2，即t ＝2，所以所求点的坐标为(3，－4)．答案：(3，－4)6．若直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－35t ，y ＝45t(t 为参数)，则直线l 的斜率为______．解析：由参数方程可知，cos θ＝－35，sin θ＝45.(θ为倾斜角)．∴tan θ＝－43，即为直线斜率．答案：－437．已知直线l 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1－2t ，y ＝2＋kt (t 为参数)，l 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝s ，y ＝1－2s (s 为参数)，若l 1∥l 2，则k ＝____________；若l 1⊥l 2，则k ＝________.解析：将l 1，l 2的方程化为普通方程，得l 1：kx ＋2y －4－k ＝0，l 2：2x ＋y －1＝0， l 1∥l 2⇒k 2＝21≠4＋k1⇒k ＝4.l 1⊥l 2⇒(－2)·(－k2)＝－1⇒k ＝－1.答案：4 －1 三、解答题8．设直线的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋3t ，y ＝10－4t(t 为参数)．(1)求直线的普通方程；(2)将参数方程的一般形式化为参数方程的标准形式． 解：(1)把t ＝x －53代入y 的表达式 得y ＝10－x －3，化简得4x ＋3y －50＝0，所以直线的普通方程为4x ＋3y －50＝0. (2)把参数方程变形为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35－5t ，y ＝10＋45－5t ，令t ′＝－5t ，即有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5－35t ′，y ＝10＋45t ′(t ′为参数)为参数方程的标准形式．9．已知斜率为1的直线l 过椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点，交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长度．解：因为直线l 的斜率为1，所以直线l 的倾斜角为π4.椭圆x 24＋y 2＝1的右焦点为(3，0)，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋22t ，y ＝22t (t 为参数)，代入椭圆方程x 24＋y 2＝1，得⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋22t 24＋⎝ ⎛⎭⎪⎫22t 2＝1，整理，得5t 2＋26t －2＝0. 设方程的两实根分别为t 1，t 2， 则t 1＋t 2＝－265，t 1·t 2＝－25，|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－2652＋85＝85， 所以弦AB 的长为85.10．已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋4cos θ，y ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3,5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． 解：(1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝5＋32t (t 为参数)．(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0，设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3，所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.。
参数方程学案(张东玲)
选修系列4-4参数方程导学案设计人：张东玲1.了解直线的参数方程以及参数t 的几何的意义．2. 熟练掌握参数方程和普通方程的互化．3.会利用直线参数方程中参数的几何意义解决有关距离问题．4.会利用圆、椭圆的参数方程，解决有关的最值问题.一、课前学案基础盘点： 1、参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x ，y 都是某个变数t 的函数⎩⎪⎨⎪⎧x ＝f (t )y ＝g (t )①，并且对于t 的每一个允许值，由方程组①所确定的点M(x ，y)都在这条曲线上，那么方程①就叫做这条曲线的 ，联系变数x ，y 的 叫做参变数，简称 ，相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做 ． 2、圆的参数方程圆心在坐标原点半径为r 的圆x 2+y 2=r 2的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θy ＝r sin θ(θ为参数)．圆心为(a ，b)，半径为r 的圆 (x －a)2＋(y －b)2＝r 2 的参数方程为： ． 3、椭圆的参数方程以坐标原点O 为中心，焦点在x 轴上的椭圆的标准方程的标准方程 (a ＞b ＞0)．其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝acos φy ＝bsin φ(φ为参数)，其中参数φ称为离心角；焦点在y 轴上的椭圆的标准方程是 (a ＞b ＞0)，其参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝bcos φy ＝asin φ(φ为参数)，其中参数φ为离心角，通常规定参数φ的范围为φ∈[0,2π)． 4、直线的参数方程经过点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α⎝ ⎛⎭⎪⎫α≠π2的直线l 的普通方程是y－y 0＝tan α(x －x 0)，它的参数方程为 ．直线的参数方程中参数t 的几何意义： 二．课堂探究考点突破考点一. 参数方程化普通方程。
【例1】把下列参数方程化为普通方程，并说明它们各表示什么曲线：⑴⎩⎨⎧==ϕϕsin 4cos 5y x （ϕ为参数）； ⑵⎩⎨⎧=-=t y t x 431（t 为参数）考点二.直线参数方程的有关应用【例2】已知直线l 经过点P(1，1)，倾斜角6πα=。
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4第二讲参数方程一曲线的参数方程课堂导学案
一 曲线的参数方程课堂导学三点剖析一、求曲线的参数方程【例1】 设质点沿以原点为圆心,半径为2的圆作匀速(角速度)运动,角速度为60π rad/s,试以时间t 为参数,建立质点运动轨迹的参数方程.解：如图,运动开始时质点位于A 处,此时t=0,设动点M(x,y)对应时刻t,由图可知 ⎩⎨⎧==.sin 2,cos 2θθy x 又θ=60πt, 得参数方程为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==t y t x 60sin 2,60cos 2ππt(t≥0).各个击破类题演练 1求3x+4y+7=0的参数方程.解:令x=t,则y=41-(3t+7). ∴参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧+-==).73(41,t y t x 变式提升 1已知⎩⎨⎧==ϕϕsin 3,cos 6y x (φ为参数),判断曲线类型.解:由平方关系得222236y x +=1, 即上述参数方程表示的是椭圆.二、化参数方程为普通方程【例2】 化⎩⎨⎧+-=+=ty t x sin 42,cos 41为普通方程.解：整理，得⎩⎨⎧=+=-.sin 42,cos 41t y t x由sin 2t+cos 2t=1得(x-1)2+(y+2)2=16.温馨提示掌握好参数的取值范围,注意所用的消元法的选择.正确的选择是解题的关键.对于正弦、余弦来说,重要的一个关系即是平方关系:sin 2θ+cos 2θ=1.类题演练 2化⎩⎨⎧==t y t x sin 3,cos 5为普通方程. 解:由sin 2t+cos 2t=1得92522y x +=1. 变式提升 2设直线的参数方程为⎩⎨⎧+-=+=,21,2t y t x 求P(-1,1)到直线的距离d. 解:整理,得⇒⎪⎩⎪⎨⎧+=-=21,2y t x t x-2=21+y ∴y -2x+5=0. ∴d=5585|512|=++. 三、参数方程与轨迹【例3】 已知圆x 2+y 2=1,点A(1,0),△ABC 内接于该圆,且∠BAC=60°,当B 、C 在圆上运动时,求BC 的中点的轨迹方程.解：如图(1)所示,M 为BC 的中点,由∠BAC=60°,得∠BOC=2×60°=120°(弦所对的圆心角等于它所对的圆周角的2倍),在△BOC 中,OB=OC=1⇒OM=21.所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2=41. 又因为x≥41时,如图(2),虽然∠BOC=120°,但∠BAC=21 (360°-120°)=120°≠60°,所以点M 的轨迹方程为x 2+y 2=41(x<41),如图(1).温馨提示利用消元法,实现参数方程与普通方程互化,解决距离问题、最值问题、交点问题及类型的判断问题,一般把参数方程化为普通方程来解.类题演练 3一直线过点(2,1),且与向量(-1,1)平行,(1)求参数方程;(2)求P(-1,-2)到直线的距离d.解:(1)直线斜率k=-1,倾斜角135°, 则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+=-=t y t x 221,222(t 为参数). (2)化为x+y-3=0, d=232|321|=---. 变式提升 3已知某条曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧=+=2,21at y t x (其中t 是参数,a∈R ),点M(5,4)在该曲线上. (1)求常数a;(2)求曲线C 的普通方程.解:本题主要应根据曲线与方程之间的关系,可知点M(5,4)在该曲线上,则点M 的坐标应适合曲线C 的方程,从而可求得其中的待定系数,进而消去参数得到其普通方程.(1)由题意可知,有⎩⎨⎧==+,4,5212at t 故⎩⎨⎧==.1,2a t ∴a=1. (2)由已知及(1)可得,曲线C 的方程为⎩⎨⎧=+=.,212t y t x 由第一个方程得t=21-x ,代入第二个方程,得y=(21-x )2,即(x-1)2=4y 为所求.。
16.3参数方程(第2课时)学案
和桥中专高二《数学》目标教学导学学案班级________________ 姓名_________________课题：§16.3参数方程(第2课时)一、学习要求：掌握将简单的参数方程化为普通方程。
二、预复习要求：1、参数方程化为普通方程的基本思想是“消去参数”,常用的方法是____________和_____________有时经常利用三角、代数的恒等式进行消元。
2、将曲线的参数方程化成普通方程时，要注意变量的取值范围。
三、预复习练习：1、曲线的参数方程为⎩⎨⎧==t y tx 62（t 为参数），则该曲线的普通方程为______________； 2、曲线的参数方程为⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 31（t 为参数），则该曲线的普通方程为______________. 四、典型例题：例1：设直线的参数方程是⎩⎨⎧+-=--=241t y t x ，求直线的普通方程。
例2：设圆的参数方程是⎩⎨⎧+=-=2sin 23cos 2θθy x ，求圆的普通方程。
例3：将曲线⎩⎨⎧==θθsin 4cos 5y x （θ为参数）的参数方程化为普通方程。
五、当堂训练： 1、设直线的参数方程是⎩⎨⎧-=+=t y tx 2132，求直线的普通方程。
2、设圆的参数方程是⎩⎨⎧-=-=1sin 32cos 3θθy x ，求圆的普通方程。
3、将曲线⎩⎨⎧-=-=1sin 42cos 3θθy x （θ为参数）的参数方程化为普通方程。
4、将下列曲线的参数方程化为普通方程。
⎩⎨⎧+=-=752)1(t y t x ⎩⎨⎧==26)2(t y t x ⎪⎩⎪⎨⎧==θθsin 5cos 5)3(y x。
参数方程》教案(新人教选修
“参数方程》教案(新人教选修)”一、教学目标1. 理解参数方程的定义和特点。
2. 学会将直角坐标方程转换为参数方程。
3. 能够解参数方程并将其转换回直角坐标方程。
4. 掌握参数方程在实际问题中的应用。
二、教学内容1. 参数方程的定义和特点引入参数方程的概念，解释参数方程中的参数意义。
分析参数方程与直角坐标方程的关系。
2. 参数方程的转换教授如何将直角坐标方程转换为参数方程。
练习将给定的直角坐标方程转换为参数方程。
3. 解参数方程讲解参数方程的解法步骤。
练习解给定的参数方程并将其转换回直角坐标方程。
4. 参数方程的应用通过实际问题引入参数方程的应用。
练习解决实际问题，运用参数方程。
三、教学方法1. 讲授法：讲解参数方程的定义、特点和转换方法。
2. 练习法：通过练习题让学生巩固参数方程的转换和解法。
3. 问题解决法：通过实际问题引导学生运用参数方程解决实际问题。
四、教学准备1. 教学PPT：制作参数方程的相关PPT课件。
2. 练习题：准备一些参数方程的练习题供学生练习。
3. 实际问题：准备一些实际问题供学生解决。
五、教学过程1. 引入参数方程的概念，解释参数方程中的参数意义。
2. 讲解如何将直角坐标方程转换为参数方程，并进行练习。
3. 讲解参数方程的解法步骤，并进行练习。
4. 通过实际问题引入参数方程的应用，并进行练习。
教学反思：在课后对教学效果进行反思，观察学生对参数方程的理解程度和应用能力。
根据学生的反馈情况进行调整教学方法和教学内容，以便更好地达到教学目标。
六、教学评估1. 课堂问答：通过提问学生，了解他们对参数方程的理解程度。
2. 练习题：布置一些参数方程的练习题，评估学生的掌握情况。
3. 实际问题解决：让学生解决一些实际问题，观察他们运用参数方程的能力。
七、拓展与延伸1. 讲解参数方程在实际应用中的更深入例子，如工程、物理等领域。
2. 介绍参数方程与其他数学概念的联系，如极坐标方程。
3. 引导学生进行参数方程的相关研究项目，加深对参数方程的理解。
《参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的概念与基本形式1.1 参数方程的定义解释参数方程的概念，强调参数在方程中的作用。
举例说明参数方程的常见形式，如直线参数方程和圆参数方程。
1.2 参数方程的表示方法介绍参数方程的表示方法，包括参数图和参数曲线。
讲解如何从参数方程中得出曲线或图形的几何性质。
第二章：参数方程的求解与变换2.1 参数方程的求解讲解如何求解参数方程中的参数值，重点讲解代数方法和解的存在性。
举例说明求解参数方程的步骤和技巧。
2.2 参数方程的变换介绍参数方程之间的变换方法，如参数替换和变量替换。
讲解如何将一个参数方程转换为另一个参数方程，并解释其几何意义。
第三章：参数方程的应用3.1 物体的运动方程讲解参数方程在物体运动中的应用，如匀速直线运动和圆周运动。
举例说明如何根据物体的运动特点建立参数方程。
3.2 优化问题的参数方程解决方法介绍参数方程在优化问题中的应用，如最短路径问题和最大值问题。
讲解如何利用参数方程来解决优化问题，并给出实例。
第四章：参数方程与普通方程的互化4.1 参数方程与直角坐标方程的互化讲解如何将参数方程转换为直角坐标方程，反之亦然。
举例说明互化过程中的注意事项和转换方法。
4.2 参数方程与极坐标方程的互化讲解如何将参数方程转换为极坐标方程，反之亦然。
举例说明互化过程中的关键点和转换方法。
第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在几何问题中的应用讲解参数方程在几何问题中的应用，如求解曲线的长度、面积和角度等。
举例说明如何利用参数方程解决几何问题。
5.2 参数方程在实际问题中的应用介绍参数方程在实际问题中的应用，如电子束聚焦和运动规划。
讲解如何将实际问题转化为参数方程问题，并给出解决方法。
第六章：参数方程在物理问题中的应用6.1 经典力学中的参数方程讲解参数方程在经典力学中的应用，如在描述抛体运动、圆周运动等问题。
举例说明如何根据物理定律建立参数方程，并分析其物理意义。
2017-2018学年高中数学人教A版选修4-4第二讲参数方程三直线的参数方程课堂导学案
三 直线的参数方程讲堂导学三点分析一、直线的参数方程和一般方程的互化【例 1】 写出直线 2x-y+1=0 的参数方程 , 并求直线上的点 M(1,3) 到点 A(3,7) 、B(8,6) 的距 离.解：依据直线的一般方程可知斜率是α ,则 tan α =2,sin α =25,cos α =5(t 为参数 ).55经考证易知点 A(3,7) 恰幸亏直线上 , 因此有 1+5即 t= 25 , 即点 M 到点 A 的距离t=3,5是2 5.而点B(8,6)不在直线上 , 因此不可以使用参数t 的几何意义, 能够依据两点之间的距离公式求出距离为(1 8)2(36) 258 .温馨提示此题主要考察直线参数方程的转变和参数的几何意义. 常有错误 : ①转变参数方程时不5注意后边的题目内容 , 随意取一个定点 ; ②把点B(8,6) 当作直线上的点很简单由 1+t=8,5得 t= 7 5 . 各个击破 类题操练 1x42t ,设直线的参数方程为2 (t 为参数 ), 点 P 在直线上 , 且与点 M 0(-4,0)的距离为2 ty2x 4 t ,P 对应的 t2 , 假如该直线的参数方程改写成(t 为参数 ), 则在这个方程中点y t值为 ( )A.±1B.0C.±1D.±322分析 : 由 |PM 0|= 2 ,知 PM 0= 2 或 PM 0= 2 , 即 t= ± 2 , 代入第一个参数方程 , 得点 P 的坐标分别为 (-3,1) 或 (-5,-1);再把点 P 的坐标代入第二个参数方程可得t=1 或 t=-1., 因此直线的参数方程是2, 设直线的倾斜角为答案:A 变式提高 1x 5 3t,设直线的参数方程为10 求直线的直角坐标方程 .y 4t解: 把 t=x 5代入 y 的表达式 , 得 y=10-4( x 5) . 化简得 4x+3y-50=0.33这即是直线的直角坐标方程 . 温馨提示注意变量代换的方法 .二、直线的参数方程与倾斜角【例 2】 设直线 l 1 过点 A(2,-4),倾斜角为 5.6(1) 求 l 1 的参数方程 ; (2) 设直线 l 2:x-y+1=0,l2与 l 1 的交点为B, 求 |AB|.5x 2 t cos,解： (1) 由题意得6y4 t sin56x2 3t ,即2(t为参数 ).y4 1 t2(2)B 在 l 1 上 , 只需求出 B 点对应的参数值 t, 则 |t| 就是 B 到 A 的距离 . 把 l 1 的参数方程代入 l 2 中, 得 (2-3t)-(-4+1t)+1=0,2 231t=7,214 7(3 1) ,t=31t 为正当 , 知 |AB|=7( 3 -1).类题操练 2x4 6t,求直线 l :1314 ty313(t 为参数 ) 与直线 l 2:x+y-2=0 的交点到定点 (4,3) 的距离 .解 : ∵l 1 的 参 数 方 程 不 是 标 准 方 程 , 则 利 用 换 参 数 的 方 法 把 l 1 的 参 数 方 程 改 写 成x4 3 2t 43 t ,1313(t ′为参数 ).22y3 2t 3t13 13把 l 1 的参数方程的标准形式代入 x+y-2=0 中 ,得 4+ 3 t ′+3+2 t ′ -2=0.1313解得 t ′=13 , ∴|t ′|= 13 .由|t ′| 的几何意义为交点到点 (4,3) 的距离 ,∴所求的距离为 |t ′|= 13 .变式提高 2x 22求经过点 (1,1), 倾斜角为 135°的直线截椭圆所得的弦长 .+y =14x12 t ,2 解: 由条件可知直线的参数方程是(t 为参数 ),2 ty12(1 2 t) 22代入椭圆方程可得2 +(1+ 2=1,4 t)2即 5t 2+ 6 2 t+2=0.t 1 t 2 6 25 ,设方程的两实根分别为t 1、t 2, 则由二次方程的根与系数的关系可得则直t 1t 2 2 ,5线截椭圆的弦长是 |t 1-t 2|=(t 1 t 2 ) 2 4t 1t 2=(62)24243.555三、直线的参数方程与两点间距离【例 3】 直线过点 A(1,3) 且与向量 (2,-4) 共线 .(1) 写出该直线的参数方程 ;(2) 求点 P(-2,-1) 到此直线的距离 .解： (1) 由题意得参数方程为x 1 2t,y 3 4t(2) 在直线上任取一点 M(x,y), 则 | PM | 2=(x+2) 2+(y+1) 2=20t 2-20t+25=20［ (t- 1) 2+1］ ,2当 t= 1时 ,| PM |2取最小值 , 此时 | PM | 等于点 P 与直线的距离 , 则 | PM |=20 25.21代入 , 得 P 0(2,1),由 P 向直线作垂线 , 垂足记为 P 0 , 将参数 t=明显有 |PP 0|= 25 .2温馨提示直线的参数方程和一般方程能够进行互化 ,特别是要求直线上某必定点到直线与曲线交点距离时往常要使用参数的几何意义 , 宜用参数方程的标准形式. 而关于某些比较简单的直线问题 , 比方求直线和坐标轴或许与某条直线交点时, 宜用直线的一般方程 .类题操练 3已知直线 l 过点 P(3,2), 且与 x 轴和 y 轴的正半轴分别交于 A 、B 两点 , 求|PA| ·|PB| 的值为最小时的直线 l 的方程 .解: 设直线的倾斜角为 α , 则它的方程为x 3 t cos , 为参数 ), 由 A 、 B 是坐标轴上的y 2(tt sin点, 知 y a =0,x b =0,∴0=2+tsin α , 即 |PA|=|t|=2 ,0=3+tcos α , 即 |PB|=|t|=3.sincos23)= 12.故|PA| ·|PB|=(sin 2sin cos∵90°<α <180°, ∴当 2α =270°, 即 α=135°时 ,|PA| ·|PB| 有最小值 .x3 2t,∴直线方程为2(t 为参数 ), 化为一般方程即 x+y-5=0.2 ty22变式提高 3设直线 l 过点 P(-3,3),且倾斜角为 5.6(1) 写出直线 l 的参数方程 ;x 2 cos , (2) 设此直线与曲线 C:( θ 为参数 ) 交于 A 、B 两点 , 求|PA| ·|PB|;y 4 sin(3) 设 A 、 B 中点为 M,求 |PM|.x35 3t cos3t,解:(1) 直线 l 的参数方程是62y 3t sin5 3 1t.62(2) 把曲线 C 的参数方程中参数 θ 消去 , 得 4x 2+y 2-16=0. 把直线 l 的参数方程代入曲线 C 的一般方程中 , 得 4(-3-3t) 2+(3+1t) 2-16=0,22即 13t 2+4(3+ 12 3 )t+116=0.由 t 的几何意义 , 知|PA| ·|PB|=|t 1·t 2|,∴|PA| ·|PB|=|t1·t 2|=116.13(3) 由 t 的几何意义知中点 M 的参数为 t 1 t 2,2∴|PM|= 1|t 1+t 2 |= 2(312 3) . 213。
《参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的基本概念1.1 参数方程的定义与形式引导学生了解参数方程的定义，理解参数方程与普通方程的区别。
举例说明参数方程的形式，如圆的参数方程、直线的参数方程等。
1.2 参数方程的应用场景通过实际问题引入参数方程的应用，如物体的运动轨迹、几何图形的构造等。
引导学生理解参数方程在实际问题中的优势。
第二章：参数方程的求解方法2.1 参数方程的求解步骤介绍参数方程求解的一般步骤，如确定参数的范围、求解参数的值等。
通过具体例子演示参数方程的求解过程。
2.2 参数方程的图像分析引导学生了解参数方程的图像特征，如曲线的变化趋势、交点等。
通过绘制参数方程的图像，帮助学生直观理解参数方程的性质。
第三章：常见参数方程的类型及解法3.1 三角函数型参数方程介绍三角函数型参数方程的特点和解法，如正弦曲线、余弦曲线等。
通过例题讲解三角函数型参数方程的求解方法。
3.2 反比例函数型参数方程介绍反比例函数型参数方程的特点和解法，如双曲线等。
通过例题讲解反比例函数型参数方程的求解方法。
第四章：参数方程与普通方程的互化4.1 参数方程与直角坐标方程的互化引导学生了解参数方程与直角坐标方程的关系，掌握互化的方法。
通过例题演示参数方程与直角坐标方程的互化过程。
4.2 参数方程与极坐标方程的互化引导学生了解参数方程与极坐标方程的关系，掌握互化的方法。
通过例题演示参数方程与极坐标方程的互化过程。
第五章：参数方程在实际问题中的应用5.1 参数方程在物理学中的应用通过实际问题引入参数方程在物理学中的应用，如抛物线运动、电磁波等。
引导学生理解参数方程在物理学中的重要作用。
5.2 参数方程在工程中的应用通过实际问题引入参数方程在工程中的应用，如优化问题、设计问题等。
引导学生理解参数方程在工程中的实际意义。
第六章：参数方程的优化问题6.1 参数方程优化问题的定义与特点引导学生了解参数方程优化问题的定义，理解优化问题的实际意义。
《参数方程》教案(新人教选修
《参数方程》教案（新人教选修）第一章：参数方程简介1.1 参数方程的概念引导学生了解参数方程的定义和特点举例说明参数方程在实际问题中的应用1.2 参数方程的表示方法介绍参数方程的表示方法，包括参数和变量的关系练习将直角坐标方程转换为参数方程第二章：参数方程的图像2.1 参数方程的图像特点分析参数方程图像的性质和特点举例说明参数方程图像的形状和变化趋势2.2 参数方程的图像绘制学习如何绘制参数方程的图像练习绘制不同类型的参数方程图像第三章：参数方程的应用3.1 参数方程在几何中的应用利用参数方程解决几何问题，如计算线段长度、角度等举例说明参数方程在圆锥曲线中的应用3.2 参数方程在物理中的应用介绍参数方程在物理学中的应用，如描述物体的运动轨迹练习解决物理问题，如求解物体在参数方程下的速度和加速度第四章：参数方程的转换4.1 参数方程与直角坐标方程的转换学习如何将参数方程转换为直角坐标方程练习将参数方程转换为直角坐标方程，并解决相关问题4.2 参数方程与其他形式的方程的转换介绍参数方程与其他形式的方程（如极坐标方程）的转换方法练习将参数方程转换为其他形式的方程，并进行问题求解第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在实际问题中的应用分析实际问题，建立合适的参数方程模型练习解决实际问题，如计算曲线的长度、面积等5.2 参数方程在数学竞赛中的应用介绍参数方程在数学竞赛中的应用，如解决综合题练习解决数学竞赛中的参数方程问题第六章：参数方程与曲线积分6.1 参数方程下的曲线积分概念引入曲线积分的概念，解释其在参数方程中的应用举例说明曲线积分的计算方法6.2 参数方程下的曲线积分计算学习如何利用参数方程计算曲线积分练习计算不同类型曲线积分问题第七章：参数方程与曲面面积7.1 参数方程下的曲面面积概念引入曲面面积的概念，解释其在参数方程中的应用举例说明曲面面积的计算方法7.2 参数方程下的曲面面积计算学习如何利用参数方程计算曲面面积练习计算不同类型曲面面积问题第八章：参数方程与优化问题8.1 参数方程在优化问题中的应用引入优化问题的概念，解释参数方程在优化问题中的应用举例说明参数方程在优化问题中的解法8.2 参数方程优化问题的解决方法学习如何利用参数方程解决优化问题练习解决实际优化问题，如最短路径问题等第九章：参数方程与微分方程9.1 参数方程与微分方程的关系解释参数方程与微分方程之间的联系举例说明微分方程在参数方程中的应用9.2 参数方程微分方程的求解方法学习如何利用微分方程求解参数方程练习求解不同类型的参数方程微分方程问题第十章：参数方程的综合应用案例分析10.1 参数方程在工程中的应用案例分析分析实际工程问题，利用参数方程进行问题建模练习解决工程问题，并进行案例分析10.2 参数方程在科学研究中的应用案例分析分析实际科学研究问题，利用参数方程进行问题建模练习解决科学研究问题，并进行案例分析重点和难点解析重点一：参数方程的概念与特点学生需要理解参数方程的定义，即变量与参数之间的关系强调参数方程在解决实际问题中的应用价值重点二：参数方程的图像特点与绘制方法学生应掌握参数方程图像的性质和变化趋势练习将参数方程转换为图像，并分析图像的特点重点三：参数方程在几何和物理中的应用学生需要学会利用参数方程解决几何问题，如计算线段长度、角度等强调参数方程在物理学中的应用，如描述物体的运动轨迹重点四：参数方程的转换方法学生应掌握参数方程与直角坐标方程、极坐标方程等的转换方法练习将参数方程转换为其他形式的方程，并解决相关问题重点五：参数方程在曲线积分、曲面面积和优化问题中的应用学生需要理解参数方程在曲线积分和曲面面积计算中的作用强调参数方程在解决优化问题中的应用，如最短路径问题重点六：参数方程与微分方程的关系和求解方法学生应理解参数方程与微分方程之间的联系练习利用微分方程求解参数方程，并解决实际问题重点七：参数方程的综合应用案例分析学生需要学会将参数方程应用于工程和科学研究问题强调案例分析的重要性，通过实际问题加深对参数方程的理解本教案围绕参数方程的概念、图像、应用和转换等方面进行了详细的讲解和练习。
2017高考一轮复习教案-选修4-4极坐标与参数方程
选修4－4坐标系与参数方程1．坐标系与极坐标(1)理解坐标系的作用．(2)能在极坐标系中用极坐标表示点的位置，理解在极坐标系和平面直角坐标系中表示点的位置的区别，能进行极坐标与直角坐标的互化．(3)能在极坐标系中给出简单图形(如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆)的方程．通过比较这些图形在极坐标系和平面直角坐标系中的方程，理解用方程表示图形时选择坐标系的意义．2．参数方程(1)了解参数方程，了解参数的意义．(2)能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．(3)掌握直线的参数方程及参数的几何意义，能用直线的参数方程解决简单的相关问题．知识点一极坐标系1．极坐标系的概念(1)极坐标系如图所示，在平面内取一个定点O，点O叫作极点，自极点O引一条射线Ox，Ox叫作极轴；再选定一个长度单位、一个角度单位及其正方向，这样就建立了一个极坐标系．(2)极坐标①极径：设M是平面内一点，极点O与点M的距离|OM|叫作点M的极径，记为ρ.②极角：以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角xOM叫作点M的极角，记为θ.③极坐标：有序数对(ρ，θ)叫作点M的极坐标，记作M(ρ，θ)．2．极坐标与直角坐标的互化设M 是平面内任意一点，它的直角坐标是(x ，y )，极坐标是(ρ，θ)，则它们之间的关系为：⎩⎨⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ；⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝yx x ≠0.易误提醒1．极坐标方程与直角坐标方程的互化易错用互化公式．在解决此类问题时考生要注意两个方面：一是准确应用公式，二是注意方程中的限制条件．2．在极坐标系下，点的极坐标不唯一性易忽视．注意极坐标(ρ，θ)(ρ，θ＋2k π)，(－ρ，π＋θ＋2k π)(k ∈Z )表示同一点的坐标．[自测练习]1．设平面上的伸缩变换的坐标表达式为⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y ，则在这一坐标变换下正弦曲线y ＝sin x 的方程变为________．解析：由⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝12x ，y ′＝3y .知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2x ′，y ＝13y ′.代入y ＝sin x 中得y ′＝3sin 2x ′. 答案：y ′＝3sin 2x ′2．点P 的直角坐标为(1，－3)，则点P 的极坐标为________．解析：因为点P (1，－3)在第四象限，与原点的距离为2，且OP 与x 轴所成的角为－π3，所以点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫2，－π3.答案：⎝⎛⎭⎪⎫2，－π33．(2015·高考北京卷)在极坐标系中，点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3到直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的距离为________．解析：点⎝⎛⎭⎪⎫2，π3的直角坐标为(1，3)，直线ρ(cos θ＋3sin θ)＝6的直角坐标方程为x ＋3y －6＝0，所以点(1，3)到直线的距离d ＝|1＋3×3－6|1＋3＝1.答案：1知识点二 参数方程 参数方程的概念一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线C 上任意一点P 的坐标x ，y 是某个变数t的函数⎩⎨⎧ x ＝f t ，y ＝g t ，并且对于t 的每一个允许值，由函数式⎩⎨⎧x ＝f t ，y ＝g t 所确定的点P (x ，y )都在曲线C 上，那么方程⎩⎨⎧x ＝f t ，y ＝g t叫作这条曲线的参数方程，变数t 叫作参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫作普通方程．易误提醒1．在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致，否则不等价． 2．直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义，且其几何意义为：|t |是直线上任一点M (x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝|t |.[自测练习] 4．在平面直角坐标系中，曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋22t ，y ＝1＋22t ，(t 为参数)的普通方程为________．解析：依题意，消去参数可得x －2＝y －1，即x －y －1＝0. 答案：x －y －1＝05．在平面直角坐标系xOy 中，过椭圆⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)的右焦点，且与直线⎩⎨⎧x ＝4－2t ，y ＝3－t(t 为参数)平行的直线截椭圆所得的弦长为________．解析：椭圆的普通方程为x 24＋y 23＝1，则右焦点的坐标为(1,0)．直线的普通方程为x －2y ＋2＝0，过点(1,0)与直线x －2y ＋2＝0平行的直线方程为x －2y －1＝0，由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 23＝1，x －2y －1＝0，得4x 2－2x －11＝0，所以所求的弦长为1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫122× ⎝ ⎛⎭⎪⎫122－4×⎝ ⎛⎭⎪⎫－114＝154. 答案：154考点一 曲线的极坐标方程|1．在极坐标系下，已知圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ和直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22.(1)求圆O 和直线l 的直角坐标方程；(2)当θ∈(0，π)时，求直线l 与圆O 公共点的一个极坐标． 解：(1)圆O ：ρ＝cos θ＋sin θ，即ρ2＝ρcos θ＋ρsin θ， 圆O 的直角坐标方程为：x 2＋y 2＝x ＋y ， 即x 2＋y 2－x －y ＝0，直线l ：ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝22，即ρsin θ－ρcos θ＝1，则直线l 的直角坐标方程为：y －x ＝1，即x －y ＋1＝0.(2)由⎩⎨⎧ x 2＋y 2－x －y ＝0，x －y ＋1＝0，得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝1，故直线l 与圆O 公共点的一个极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2. 2．(2016·长春模拟)已知圆O 1和圆O 2的极坐标方程分别为ρ＝2，ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2.(1)将圆O 1和圆O 2的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)求经过两圆交点的直线的极坐标方程． 解：(1)由ρ＝2知ρ2＝4，所以x 2＋y 2＝4.因为ρ2－22ρcos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，所以ρ2－22ρ⎝⎛⎭⎪⎫cos θcos π4＋sin θsin π4＝2.所以x 2＋y 2－2x －2y －2＝0.(2)将两圆的直角坐标方程相减，得经过两圆交点的直线方程为x ＋y ＝1. 化为极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22.直角坐标化为极坐标的关注点(1)根据终边相同的角的意义，角θ的表示方法具有周期性，故点M 的极坐标(ρ，θ)的形式不唯一，即一个点的极坐标有无穷多个．当限定ρ≥0，θ∈[0,2π)时，除极点外，点M 的极坐标是唯一的．(2)当把点的直角坐标化为极坐标时，求极角θ应注意判断点M 所在的象限(即角θ的终边的位置)，以便正确地求出角θ∈[0,2π)的值．考点二 曲线的参数方程|1．已知曲线C 1：⎩⎨⎧ x ＝－4＋cos t ，y ＝3＋sin t ，(t 为参数)曲线C 2：⎩⎨⎧x ＝8cos θ，y ＝3sin θ.(θ为参数) (1)化C 1，C 2的方程为普通方程，并说明它们分别表示什么曲线；(2)若C 1上的点P 对应的参数为t ＝π2，Q 为C 2上的动点，求PQ 中点M 到直线C 3：⎩⎨⎧x ＝3＋2t ，y ＝－2＋t(t 为参数)的距离的最小值． 解：(1)曲线C 1：(x ＋4)2＋(y －3)2＝1，曲线C 2：x 264＋y 29＝1，曲线C 1是以(－4,3)为圆心，1为半径的圆；曲线C 2是以坐标原点为中心，焦点在x 轴上，长半轴长是8，短半轴长是3的椭圆．(2)当t ＝π2时，P (－4,4)，Q (8cos θ，3sin θ)，故M ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2＋4cos θ，2＋32sin θ.曲线C 3为直线x －2y －7＝0，M 到C 3的距离d ＝55|4cos θ－3sin θ－13|，从而当cos θ＝45，sin θ＝－35时，d 取最小值855.2．已知曲线C ：x 24＋y 29＝1，直线l ：⎩⎨⎧x ＝2＋t ，y ＝2－2t ，(t 为参数)．(1)写出曲线C 的参数方程，直线l 的普通方程；(2)过曲线C 上任意一点P 作与l 夹角为30°的直线，交l 于点A ，求|PA |的最大值与最小值．解：(1)曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝2cos θ，y ＝3sin θ.(θ为参数)直线l 的普通方程为2x ＋y －6＝0.(2)曲线C 上任意一点P (2cos θ，3sin θ)到l 的距离为d ＝55|4cos θ＋3sin θ－6|. 则|PA |＝d sin 30°＝255|5sin(θ＋α)－6|，其中α为锐角，且tan α＝43.当sin(θ＋α)＝－1时，|PA |取得最大值，最大值为2255. 当sin(θ＋α)＝1时，|PA |取得最小值，最小值为255.参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等．在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形．考点三 极坐标方程、参数方程的综合应用|(2015·高考全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy 中，曲线C 1：⎩⎨⎧x ＝t cos αy ＝t sin α(t 为参数，t ≠0)，其中0≤α<π.在以O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 2：ρ＝2sinθ，C 3：ρ＝23cos θ.(1)求C 2与C 3交点的直角坐标；(2)若C 1与C 2相交于点A ，C 1与C 3相交于点B ，求|AB |的最大值．[解] (1)曲线C 2的直角坐标方程为x 2＋y 2－2y ＝0，曲线C 3的直角坐标方程为x 2＋y 2－23x ＝0.联立⎩⎨⎧x 2＋y 2－2y ＝0，x 2＋y 2－23x ＝0，解得⎩⎨⎧x ＝0，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝32.所以C 2与C 3交点的直角坐标为(0,0)和⎝⎛⎭⎪⎫32，32. (2)曲线C 1的极坐标方程为θ＝α(ρ∈R ，ρ≠0)，其中0≤α<π. 因此A 的极坐标为(2sin α，α)，B 的极坐标为(23cos α，α)． 所以|AB |＝|2sin α－23cos α|＝4⎪⎪⎪⎪⎪⎪sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3.当α＝5π6时，|AB |取得最大值，最大值为4.涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解．当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程．(2016·昆明模拟)在直角坐标系xOy 中，l 是过定点P (4,2)且倾斜角为α的直线，在极坐标系(以坐标原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C 的极坐标方程为ρ＝4cos θ.(1)写出直线l 的参数方程，并将曲线C 的方程化为直角坐标方程；(2)若曲线C 与直线l 相交于不同的两点M 、N ，求|PM |＋|PN |的取值范围．解：(1)直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)．∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，∴C ：x 2＋y 2＝4x .(2)直线l 的参数方程：⎩⎨⎧x ＝4＋t cos αy ＝2＋t sin α(t 为参数)，代入x 2＋y 2＝4x ，得t 2＋4(sin α＋cos α)t ＋4＝0，⎩⎨⎧Δ＝16sin α＋cos α2－16>0，t 1＋t 2＝－4sin α＋cos α，t 1t 2＝4，∴sin α·cos α>0，又0≤α<π，∴α∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，且t 1<0，t 2<0.∴|PM |＋|PN |＝|t 1|＋|t 2|＝|t 1＋t 2| ＝4(sin α＋cos α)＝42sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π4，由α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，得α＋π4∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，∴22<sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4≤1，故|PM |＋|PN |的取值范围是(4,4 2 ].33.直线参数方程中参数t 几何意义的应用【典例】 已知在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝1＋4cos θy ＝2＋4sin θ(θ为参数)，直线l 经过定点P (3，5)，倾斜角为π3.(1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的标准方程；(2)设直线l 与曲线C 相交于A ，B 两点，求|PA |·|PB |的值． [思维点拨] (1)根据条件写出l 的参数方程及化曲线C 为标准方程． (2)利用t 的几何意义求解|PA |·|PB |的值． [解] (1)曲线C ：(x －1)2＋(y －2)2＝16，(2)将直线l 的参数方程代入圆C 的方程可得t 2＋(2＋33)t －3＝0， 设t 1，t 2是方程的两个根，则t 1t 2＝－3， 所以|PA ||PB |＝|t 1||t 2|＝|t 1t 2|＝3.[方法点评] 过定点M 0(x 0，y 0)，倾斜角为α的直线的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋t cos α，y ＝y 0＋t sin α.(t 为参数) 该参数t 经常用在直线截圆锥曲线的距离问题中，解题时通常过某定点作一直线与圆锥曲线相交于A ，B 两点，所求问题与定点到A ，B 两点的距离有关．解题时主要应用定点在直线AB 上，利用参数t 的几何意义，结合根与系数的关系进行处理，巧妙求出问题的解．[跟踪练习] (2016·大庆模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 经过点P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，倾斜角α＝π6.在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，圆C 的极坐标方程为ρ＝22cos ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4.(1)写出直线l 的参数方程，并把圆C 的极坐标方程化为直角坐标方程； (2)设l 与圆C 相交于A ，B 两点，求|PA |＋|PB |的值． 解：(1)直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋t cos π6，y ＝1＋t sin π6，(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12＋32t ，y ＝1＋12t ，(t 为参数)．由ρ＝22cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4得：ρ＝2cos θ＋2sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ＋2ρsin θ，∴x 2＋y 2＝2x ＋2y ， 故圆C 的直角坐标方程为(x －1)2＋(y －1)2＝2.A ，B 对应的参数分别为t 1，t 2，则t 1＋t 2＝32，t 1t 2＝－74， ∴|PA |＋|PB |＝|t 1－t 2|＝t 1＋t 22－4t 1t 2＝312.A 组 考点能力演练1．(1)化圆的直角坐标方程x 2＋y 2＝r 2(r >0)为极坐标方程； (2)化曲线的极坐标方程ρ＝8sin θ为直角坐标方程．解：(1)将x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ代入x 2＋y 2＝r 2，得ρ2cos 2 θ＋ρ2sin 2 θ＝r 2，ρ2(cos 2 θ＋sin 2 θ)＝r 2，ρ＝r .所以，以极点为圆心、半径为r 的圆的极坐标方程为ρ＝r (0≤θ<2π)．(2)法一：把ρ＝x 2＋y 2，sin θ＝yρ代入ρ＝8sin θ，得x 2＋y 2＝8·y x 2＋y2，即x 2＋y 2－8y ＝0.法二：方程两边同时乘以ρ，得ρ2＝8ρsin θ，即x 2＋y 2－8y ＝0.2．(2016·济宁模拟)已知直线l ：ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝4和圆C ：ρ＝2k cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4(k ≠0)，若直线l 上的点到圆C 上的点的最小距离等于2.求实数k 的值并求圆心C 的直角坐标．解：∵ρ＝2k cos θ－2k sin θ， ∴ρ2＝2k ρcos θ－2k ρsin θ，∴圆C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2kx ＋2ky ＝0，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －22k 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋22k 2＝k 2，∴圆心的直角坐标为⎝⎛⎭⎪⎫22k ，－22k .∵ρsin θ·22－ρcos θ·22＝4，∴直线l 的直角坐标方程为x －y ＋42＝0，∴⎪⎪⎪⎪⎪⎪22k ＋22k ＋422－|k |＝2.即|k ＋4|＝2＋|k |，两边平方，得|k |＝2k ＋3，∴⎩⎨⎧ k >0，k ＝2k ＋3或⎩⎨⎧k <0，－k ＝2k ＋3，解得k ＝－1，故圆心C 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，22. 3．在极坐标系中，曲线C 的方程为ρ2＝31＋2sin 2 θ，点R ⎝⎛⎭⎪⎫22，π4.(1)以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，把曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，R 点的极坐标化为直角坐标；(2)设P 为曲线C 上一动点，以PR 为对角线的矩形PQRS 的一边垂直于极轴，求矩形PQRS 周长的最小值及此时P 点的直角坐标．解：(1)∵x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， ∴曲线C 的直角坐标方程为x 23＋y 2＝1，点R 的直角坐标为R (2,2)． (2)设P (3cos θ，sin θ)，根据题意可得|PQ |＝2－3cos θ，|QR |＝2－sin θ， ∴|PQ |＋|QR |＝4－2sin (θ＋60°)， 当θ＝30°时，|PQ |＋|QR |取最小值2， ∴矩形PQRS 周长的最小值为4，此时点P 的直角坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12.4．(2016·长春模拟)以直角坐标系的原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，已知点P 的直角坐标为(1，－5)，点C 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，若直线l 过点P ，且倾斜角为π3，圆C的半径为4.(1)求直线l 的参数方程和圆C 的极坐标方程． (2)试判断直线l 与圆C 的位置关系．解：(1)直线l的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos π3，y ＝－5＋t sin π3，(t 为参数)，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12t ，y ＝－5＋32t ，(t 为参数)．由题知C 点的直角坐标为(0,4)，圆C 的半径为4，∴圆C 方程为x 2＋(y －4)2＝16，将⎩⎨⎧x ＝ρcos θy ＝ρsin θ代入得，圆C 的极坐标方程为ρ＝8sin θ.(2)由题意得，直线l 的普通方程为3x －y －5－3＝0，圆心C 到l 的距离为d ＝|－4－5－3|2＝9＋32>4，∴直线l 与圆C 相离．5．倾斜角为α的直线l 过点P (8,2)，直线l 和曲线C ：⎩⎨⎧x ＝42cos θ，y ＝2sin θ，(θ为参数)交于不同的两点M 1，M 2.(1)将曲线C 的参数方程化为普通方程，并写出直线l 的参数方程； (2)求|PM 1|·|PM 2|的取值范围．解：(1)曲线C 的普通方程为x 232＋y 24＝1，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝8＋t cos α，y ＝2＋t sin α，(t为参数)．(2)将l 的参数方程代入曲线C 的方程得：(8＋t cos α)2＋8(2＋t sin α)2＝32， 整理得(8sin 2 α＋cos 2 α)t 2＋(16cos α＋32sin α)t ＋64＝0，由Δ＝(16cos α＋32sin α)2－4×64(8sin 2 α＋cos 2 α)>0，得cos α>sin α，故α∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，π4，∴|PM 1||PM 2|＝|t 1t 2|＝641＋7sin 2 α∈⎝ ⎛⎦⎥⎤1289，64.B 组 高考题型专练1．(2015·高考广东卷改编)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离． 解：由2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2得2ρ⎝ ⎛⎭⎪⎫22sin θ－22cos θ＝2，所以y －x ＝1，故直线l 的直角坐标方程为x －y ＋1＝0，而点A ⎝⎛⎭⎪⎫22，7π4对应的直角坐标为A (2，－2)，所以点A (2，－2)到直线l ：x －y ＋1＝0的距离为|2＋2＋1|2＝522.2．(2015·高考全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN的面积．解：(1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0， 解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 的面积为12.3．(2015·高考湖南卷)已知直线l ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t ，(t 为参数)．以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ.(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)设点M 的直角坐标为(5，3)，直线l 与曲线C 的交点为A ，B ，求|MA |·|MB |的值．解：(1)ρ＝2cos θ等价于ρ2＝2ρcos θ.①将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x 代入①即得曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0.②(2)将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5＋32t ，y ＝3＋12t ，代入②，得t 2＋53t ＋18＝0，设这个方程的两个实根分别为t 1，t 2，则由参数t 的几何意义知，|MA |·|MB |＝|t 1t 2|＝18.4．(2015·高考陕西卷)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋12t ，y ＝32t ，(t 为参数)．以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，⊙C 的极坐标方程为ρ＝23sin θ.(1)写出⊙C 的直角坐标方程；(2)P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，求P 的直角坐标． 解：(1)由ρ＝23sin θ，得ρ2＝23ρsin θ， 从而有x 2＋y 2＝23y ，所以x 2＋(y －3)2＝3.(2)设P ⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t ，32t ，又C (0，3)，则|PC |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3＋12t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32t －32＝t 2＋12，故当t＝0时，|PC|取得最小值，此时，P点的直角坐标为(3,0)．。
2017_2018学年高中数学第二讲参数方程二圆锥曲线的参数方程1椭圆的参数方程学案(含解析)新人教A版选修4_4
1．椭圆的参数方程椭圆的参数方程(1)中心在原点，焦点在x 轴上的椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ是参数)，规定参数φ的取值范围是 已知实数x ，y 满足x 225＋y 216＝1，求目标函数z ＝x －2y的最大值与最小值．将椭圆上的点的坐标设成参数方程的形式，将问题转化成三角函数求最值问题． 椭圆x 225＋y 216＝1的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos φ，y ＝4sin φ(φ为参数)．代入目标函数得z ＝5cos φ－8sin φ ＝52＋82cos(φ＋φ0)＝89cos(φ＋φ0)⎝ ⎛⎭⎪⎫tan φ0＝85.所以目标函数z min ＝－89，z max ＝89.利用椭圆的参数方程，求目标函数的最大(小)值，通常是利用辅助角公式转化为三角函数求解．1．已知椭圆x 225＋y 216＝1，点A 的坐标为(3,0)．在椭圆上找一点P ，使点P 与点A 的距离最大．解：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5cos θ，y ＝4sin θ(θ为参数)．设P (5cos θ，4sin θ)，则 |PA |＝θ－2＋θ2＝9cos 2θ－30cos θ＋25＝θ－2＝|3cos θ－5|≤8，当cos θ＝－1时，|PA |最大．此时，sin θ＝0，点P 的坐标为(－5,0)．2．椭圆x 29＋y 24＝1上一动点P (x ，y )与定点A (a,0)(0＜a ＜3)之间的距离的最小值为1，求a 的值．解：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．设动点P (3cos θ，2sin θ)，则 |PA |2＝(3cos θ－a )2＋4sin 2θ ＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－35a 2－45a 2＋4. ∵0＜a ＜3，∴0＜35a ＜95.于是若0＜35a ≤1，则当cos θ＝35a 时，|PA |min ＝－45a 2＋4＝1，得a ＝152(舍去)； 若1＜35a ＜95，则当cos θ＝1时，由|PA |min ＝a 2－6a ＋9＝1，得|a －3|＝1，∴a ＝2，故满足要求的a 值为2.已知A ，B 分别是椭圆36＋9＝1的右顶点和上顶点，动点C 在该椭圆上运动，求△ABC的重心G 的轨迹方程．由条件可知，A ，B 两点坐标已知，点C 在椭圆上，故可设出点C 坐标的椭圆参数方程形式，由三角形重心坐标公式求解．由题意知A (6,0)，B (0,3)．由于动点C 在椭圆上运动，故可设动点C 的坐标为(6cos θ，3sin θ)，点G 的坐标设为(x ，y )，由三角形重心的坐标公式可得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋0＋6cos θ3，y ＝0＋3＋3sin θ3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝1＋sin θ.消去参数θ得到x －24＋(y －1)2＝1.本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．3．已知椭圆方程是x 216＋y 29＝1，点A (6,6)，P 是椭圆上一动点，求线段PA 中点Q 的轨迹方程．解：椭圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ，y ＝3sin θ(θ为参数)．设P (4cos θ，3sin θ)，Q (x ，y )，则有 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4cos θ＋62，y ＝3sin θ＋62，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ＋3，y ＝32sin θ＋3(θ为参数)．∴9(x －3)2＋16(y －3)2＝36， 即为所求轨迹方程．4．设F 1，F 2分别为椭圆C ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a ＞b ＞0)的左、右两个焦点．(1)若椭圆C 上的点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32到F 1，F 2的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标； (2)设点P 是(1)中所得椭圆上的动点，求线段F 1P 的中点的轨迹方程． 解：(1)由椭圆上点A 到F 1，F 2的距离之和是4， 得2a ＝4，即a ＝2.又点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫1，32在椭圆上， 因此14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322b 2＝1，得b 2＝3，于是c 2＝a 2－b 2＝1，所以椭圆C 的方程为x 24＋y 23＝1，焦点坐标为F 1(－1,0)，F 2(1,0)．(2)设椭圆C 上的动点P 的坐标为(2cos θ，3sin θ)，线段F 1P 的中点坐标为(x ，y )，则x ＝2cos θ－12，y ＝3sin θ＋02， 所以x ＋12＝cos θ，2y3＝sin θ.消去θ，得⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋122＋4y23＝1.即为线段F 1P 中点的轨迹方程.已知椭圆4＋y 2＝1上任一点M (除短轴端点外)与短轴两端点B 1，B 2的连线分别交x轴于P ，Q 两点，求证：|OP |·|OQ |为定值．利用参数方程，设出点M 的坐标，并由此得到直线MB 1，MB 2的方程，从而得到P ，Q 两点坐标，求出|OP |，|OQ |，再求|OP |·|OQ |的值．设M (2cos φ，sin φ)，φ为参数，B 1(0，－1)，B 2(0,1)．则MB 1的方程：y ＋1＝sin φ＋12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φsin φ＋1，即|OP |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ.MB 2的方程：y －1＝sin φ－12cos φx ，令y ＝0，则x ＝2cos φ1－sin φ.∴|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ.∴|OP |·|OQ |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1＋sin φ×⎪⎪⎪⎪⎪⎪2cos φ1－sin φ＝4.即|OP |·|OQ |＝4为定值．利用参数方程证明定值(或恒成立)问题，首先是用参数把要证明的定值(或恒成立的式子)表示出来，然后利用条件消去参数，得到一个与参数无关的定值即可．5．对任意实数，直线y ＝x ＋b 与椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝4sin θ(0≤θ≤2π)恒有公共点，则b 的取值范围是________．解析：将(2cos θ，4sin θ)代入y ＝x ＋b ，得4sin θ＝2cos θ＋b . ∵恒有公共点，∴以上方程有解． 令f (θ)＝4sin θ－2cos θ ＝25sin(θ－φ)． ∴－25≤f (θ)≤2 5. ∴－25≤b ≤2 5. 答案：6．曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(a ＞b ＞0)上一点M 与两焦点F 1，F 2所成角为∠F 1MF 2＝α.求证：△F 1MF 2的面积为b 2tan α2.证明：∵M 在椭圆上，∴由椭圆的定义，得|MF 1|＋|MF 2|＝2a ， 两边平方，得|MF 1|2＋|MF 2|2＋2|MF 1||MF 2|＝4a 2. 在△F 1MF 2中，由余弦定理，得|MF 1|2＋|MF 2|2－2|MF 1|·|MF 2|cos α＝|F 1F 2|2＝4c 2. 由两式，得|MF 1|·|MF 2|＝b 2cos2α2.故S △F 1MF 2＝12|MF 1|·|MF 2|sin α＝b 2tan α2.课时跟踪检测(十) 一、选择题1．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，若θ∈，则椭圆上的点(－a,0)对应的θ等于( )A ．π B.π2 C ．2π D.3π2解析：选A ∵点(－a,0)中x ＝－a ， ∴－a ＝a cos θ， ∴cos θ＝－1，∴θ＝π. 2．已知椭圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos t ，y ＝4sin t(t 为参数)，点M 在椭圆上，对应参数t ＝π3，点O 为原点，则直线OM 的斜率为( )A. 3 B ．－33C ．2 3D ．－2 3 解析：选C 点M 的坐标为(1,23)， ∴k OM ＝2 3.3．直线x 4＋y 3＝1与椭圆x 216＋y 29＝1相交于A ，B 两点，该椭圆上点P 使得△PAB 的面积等于4，这样的点P 共有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 解析：选B 设椭圆上一点P 1的坐标为(4cos θ，3sin θ)，θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，如图所示，则S四边形P 1AOB ＝S △OAP 1＋S △OBP 1＝12×4×3sin θ＋12×3×4cos θ ＝6(sin θ＋cos θ)＝62sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4.当θ＝π4时，S 四边形P 1AOB 有最大值为6 2.所以S △ABP 1≤62－S △AOB ＝62－6＜4.故在直线AB 的右上方不存在点P 使得△PAB 的面积等于4，又S △AOB ＝6＞4，所以在直线AB 的左下方，存在两个点满足到直线AB 的距离为85，使得S △PAB ＝4.故椭圆上有两个点使得△PAB 的面积等于4.4．两条曲线的参数方程分别是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝1＋sin 2θ(θ为参数)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t (t为参数)，则其交点个数为( )A ．0B ．1C ．0或1D ．2 解析：选B由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos 2θ－1，y ＝1＋sin 2θ，得x ＋y －1＝0(－1≤x ≤0,1≤y ≤2)，由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos t ，y ＝2sin t 得x 29＋y 24＝1.如图所示，可知两曲线交点有1个． 二、填空题5．椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－4＋2cos θ，y ＝1＋5sin θ(θ为参数)的焦距为________．解析：椭圆的普通方程为x ＋24＋y －225＝1.∴c 2＝21，∴2c ＝221. 答案：2216．实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12，则2x ＋3y 的最大值是________． 解析：因为实数x ，y 满足3x 2＋4y 2＝12， 所以设x ＝2cos α，y ＝3sin α，则 2x ＋3y ＝4cos α＋3sin α＝5sin(α＋φ)， 其中sin φ＝45，cos φ＝35.当sin(α＋φ)＝1时，2x ＋3y 有最大值为5. 答案：57．在直角坐标系xOy 中，椭圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos φ，y ＝b sin φ(φ为参数，a ＞b ＞0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴)中，直线l 与圆 O 的极坐标方程分别为ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＝22m (m 为非零常数)与ρ＝b .若直线l 经过椭圆C 的焦点，且与圆 O 相切，则椭圆C 的离心率为____________．解析：l 的直角坐标方程为x ＋y ＝m ，圆O 的直角坐标方程为x 2＋y 2＝b 2，由直线l 与圆O 相切，得m ＝±2b .从而椭圆的一个焦点为(2b,0)，即c ＝2b ， 所以a ＝3b ，则离心率e ＝c a ＝63. 答案：63三、解答题8．已知两曲线参数方程分别为⎩⎨⎧x ＝5cos θ，y ＝sin θ(0≤θ<π)和⎩⎪⎨⎪⎧x ＝54t 2，y ＝t(t ∈R)，求它们的交点坐标．解：将⎩⎨⎧x ＝5cos θy ＝sin θ(0≤θ＜π)化为普通方程，得x 25＋y 2＝1(0≤y ≤1，x ≠－5)，将x ＝54t 2，y ＝t 代入，得516t 4＋t 2－1＝0， 解得t 2＝45，∴t ＝255(∵y ＝t ≥0)，x ＝54t 2＝54·45＝1，∴交点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，255.9．对于椭圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a cos θ，y ＝b sin θ(θ为参数)，如果把横坐标缩短为原来的1a，再把纵坐标缩短为原来的1b 即得到圆心在原点，半径为1的圆的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．那么，若把圆看成椭圆的特殊情况，试讨论圆的离心率，并进一步探讨椭圆的离心率与椭圆形状的关系．解：设圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)，如果将该圆看成椭圆，那么在椭圆中对应的数值分别为a ＝b ＝r ， 所以c ＝a 2－b 2＝0， 则离心率e ＝ca＝0.即把圆看成椭圆，其离心率为0，而椭圆的离心率的范围是(0,1)，可见椭圆的离心率越小即越接近于0，形状就越接近于圆，离心率越大，椭圆越扁．10．在直角坐标系xOy 中，直线l 的方程为x －y ＋4＝0，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧x ＝3cos α，y ＝sin α(α为参数)．(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P 的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫4，π2，判断点P 与直线l 的位置关系；(2)设点Q 是曲线C 上的一个动点，求它到直线l 的距离的最小值．解：(1)把极坐标系下的点P ⎝⎛⎭⎪⎫4，π2化为直角坐标， 得P (0,4)．因为点P 的直角坐标(0,4)满足直线l 的方程x －y ＋4＝0，所以点P 在直线l 上．(2)因为点Q 在曲线C 上，故可设点Q 的坐标为(3cos α，sin α)，从而点Q 到直线l 的距离为d ＝|3cos α－sin α＋4|2＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋42＝2cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π6＋2 2.由此得，当cos ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π6＝－1时，d 取得最小值，且最小值为 2.。
《参数方程》教案(新人教选修
《参数方程》教案（新人教选修）第一章：参数方程的概念与基本形式1.1 参数方程的定义介绍参数方程的概念，理解参数方程与普通方程的区别。
举例说明参数方程在实际问题中的应用。
1.2 基本形式的参数方程介绍直线、圆、椭圆、双曲线等基本图形的参数方程形式。
通过图形直观地理解参数方程的含义和作用。
第二章：参数方程的求解与变换2.1 参数方程的求解讲解如何从参数方程中求解出坐标值。
练习求解直线、圆等基本图形的参数方程。
2.2 参数方程的变换介绍参数方程之间的变换方法。
讲解如何将一个参数方程转换为另一个参数方程。
第三章：参数方程的应用3.1 动点轨迹的参数方程讲解如何利用参数方程描述动点的轨迹。
举例说明参数方程在描述物体运动轨迹中的应用。
3.2 优化问题的参数方程求解介绍如何利用参数方程求解优化问题。
举例说明参数方程在实际问题中的应用。
第四章：参数方程与普通方程的互化4.1 直线、圆的参数方程与普通方程互化讲解如何将直线的参数方程转化为普通方程，以及反之。
讲解如何将圆的参数方程转化为普通方程，以及反之。
4.2 椭圆、双曲线的参数方程与普通方程互化讲解如何将椭圆、双曲线的参数方程转化为普通方程，以及反之。
第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在几何中的应用讲解参数方程在几何问题中的应用，如计算图形的面积、体积等。
5.2 参数方程在物理中的应用举例说明参数方程在物理问题中的应用，如描述波动、运动轨迹等。
第六章：参数方程与极坐标方程的转换6.1 极坐标方程的基本概念介绍极坐标系的定义和极坐标方程的概念。
理解极坐标方程与直角坐标方程之间的关系。
6.2 参数方程与极坐标方程的转换方法讲解如何将参数方程转换为极坐标方程。
举例说明并练习参数方程与极坐标方程之间的转换。
第七章：参数方程在实际问题中的应用7.1 参数方程在工程中的应用讲解参数方程在工程问题中的应用，如优化设计、路径规划等。
举例说明参数方程在工程问题中的具体应用。
2017年高中数学第2讲参数方程第2节直线和圆锥曲线的参数方程第3课时椭圆的参数方程课件北师大版选修4-4
1．椭圆的参数方程
普通方程 ax22＋by22＝1 (a>b>0) ay22＋bx22＝1 (a>b>0)
参数方程
x＝ acos φ y＝ bsin φ
(φ为参数)
x＝bcos φ y＝asin φ
(φ为参数)
2.椭圆中参数φ的意义与圆中参数θ的意义的区别是点M所 对应的圆的半径OA(或OB)的____旋__转__角_，称为____离__心__角_，不 是OM的_____旋__转__角_．
(2)利用asin θ＋bcos θ＝ a2＋b2sin(θ＋φ)化简，运用三角 函数的有界性求最值．
[变式训练]
1.求椭圆
x2 9
＋
y2 4
＝1的内接矩形中，面积最大
的矩形的长和宽及其最大面积．(如图)
解析：
已知椭圆
x2 9
＋y42
＝1的参数方程为
x＝3cosφ， y＝2sinφ
(φ
消去参数θ得到x－422＋(y－1)2＝1.
[规律方法] 本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决 相关问题的优越性，运用参数方程显得很简单，运算更简便．
[变式训练] 2.已知线段AB＝4，直线l垂直平分AB，垂足 为点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P，Q，使 OP·OQ＝9，求直线AP与直线BQ的交点M的轨迹方程．
第三课时 椭圆的参数方程
[学习目标]
1．掌握椭圆的参数方程，并解决一些长度、面积问题． 2．掌握利用椭圆的性质来解决实际问题． 3．通过对具体问题的解决，体会运用数形结合的思想方 法去分析问题和解决问题.
[学法指要]
1．理解椭圆参数方程的意义．(重点) 2．常与方程、三角函数和圆锥曲线结合命题．(难点)
2017年高中数学第2讲参数方程第4节摆线和渐开线课件北师大选修
预习学案
国际自盟场地自行车世界杯赛，于2010 年1月22日在北京开赛，有来自50多个国家 (地区)自行车协会和商业队的400余人参 加．如果在自行车的轮子上喷上白色印记， 让它在笔直的道路上行驶． 这个白色印记会留下怎样的轨迹曲线？
1．渐开线及其参数方程
(1)把线绕在圆周上，假设线的粗细可以忽略，拉着线头离 线头 的轨迹就叫做圆的渐 圆周 开_________ ，保持线与圆相切，_______ 定圆 叫做渐开线的________ 基圆 ． 开线，相应的_______ (2)设基圆的半径为r，圆的渐开线的参数方程
2 2 2π 2π 2 2π ＝ 2 － 8 ，由此可得对应的坐标为 ＋ ， － . 2 8 2 8
答案：
2
2 2π 2 2π ＋ ， － 2 8 2 8
4 ．已知一个圆的摆线过一定点 (1,0) ，请写出摆线的参数方程的表达式 (φ为参数)可知，只需求出其中的r，也
又由实际可知a＞0， 1 所以a＝kπ(k∈N＋)， 1 易知当k＝1时，a取最大值π代入， 1 x＝πφ－sinφ， 得圆的摆线的参数方程 y＝11－cosφ π
(φ为参数)
[规律方法]
根据圆的摆线的参数方程 (Φ为参数)，可知只需求出其中的半径R.
， X＝RΦ－SINΦ 1 －COSΦ Y＝R
解析：
也有渐开线
A．不仅圆有渐开线，其他图形如椭圆，正方形
B 两者定义上虽有相似之处，但它们的实质是完全不同 的，因此得到的图形也不相同 C．同A项解析
D．对于同一个圆不论在什么地方建立平面直角坐标系，
画出的图形大小和形状都是一样的，只有方程的形式及图形在 坐标系中的位置可能不同
2017_2018学年高中数学第二讲参数方程一曲线的参数方程2圆的参数方程学案含解析新人教A版选修
2．圆的参数方程圆的参数方程(1)在t 时刻，圆周上某点M 转过的角度是θ，点M 的坐标是(x ，y )，那么θ＝ωt (ω为角速度)．设|OM |＝r ，那么由三角函数定义，有cos ωt ＝xr ，sin ωt ＝y r，即圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos ωt ，y ＝r sin ωt(t 为参数)．其中参数t 的物理意义是：质点做匀速圆周运动的时刻．(2)若取θ为参数，因为θ＝ωt ，于是圆心在原点O ，半径为r 的圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r cos θ，y ＝r sin θ(θ为参数)．其中参数θ的几何意义是：OM 0(M 0为t ＝0时的位置)绕点O 逆时针旋转到OM 的位置时，OM 0转过的角度．(3)若圆心在点M 0(x 0，y 0)，半径为R ，则圆的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 0＋R cos θ，y ＝y 0＋R sin θ(0≤θ＜2π)．圆(数方程．根据圆的特点，结合参数方程概念求解． 如图所示，设圆心为O ′，连接O ′M ， ∵O ′为圆心， ∴∠MO ′x ＝2φ.∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos 2φ，y ＝r sin 2φ.(φ为参数)(1)确定圆的参数方程，必须根据题目所给条件，否则，就会出现错误，如本题容易把参数方程写成⎩⎪⎨⎪⎧x ＝r ＋r cos φ，y ＝r sin φ.(φ为参数)(2)由于选取的参数不同，圆有不同的参数方程．1．已知圆的方程为x 2＋y 2＝2x ，写出它的参数方程． 解：x 2＋y 2＝2x 的标准方程为(x －1)2＋y 2＝1， 设x －1＝cos θ，y ＝sin θ，则参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数，0≤θ＜2π)．2．已知点P (2,0)，点Q 是圆⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ上一动点，求PQ 中点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：设中点M (x ，y )．则 ⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos θ2，y ＝0＋sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋12cos θ，y ＝12sin θ(θ为参数)．这就是所求的轨迹方程．它是以(1,0)为圆心，以12为半径的圆.若 (x －1)2＋(y ＋2)2＝4表示圆，可考虑利用圆的参数方程将求2x ＋y 的最值转化为求三角函数最值问题．令x －1＝2cos θ，y ＋2＝2sin θ，则有x ＝2cos θ＋1，y ＝2sin θ－2，故2x ＋y ＝4cos θ＋2＋2sin θ－2. ＝4cos θ＋2sin θ＝25sin(θ＋φ)． ∴－25≤2x ＋y ≤2 5.即2x ＋y 的最大值为25，最小值为－2 5.圆的参数方程突出了工具性作用，应用时，把圆上的点的坐标设为参数方程形式，将问题转化为三角函数问题，利用三角函数知识解决问题．3．求原点到曲线C ：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋2sin θ，y ＝－2＋2cos θ(θ为参数)的最短距离．解：原点到曲线C 的距离为：x －0 2＋ y －0 2＝ 3＋2sin θ 2＋ －2＋2cos θ 2＝17＋4 3s in θ－2cos θ ＝17＋413⎝⎛⎭⎪⎫313sin θ－213cos θ＝ 17＋413sin θ＋φ≥17－413＝ 13－2 2＝13－2. ∴原点到曲线C 的最短距离为13－2.4．已知圆C ：⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ(θ为参数)与直线x ＋y ＋a ＝0有公共点，求实数a的取值范围．解：法一：∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝－1＋sin θ消去θ，得x 2＋(y ＋1)2＝1，∴圆C 的圆心为(0，－1)，半径为1. ∴圆心到直线的距离d ＝|0－1＋a |2≤1.解得1－2≤a ≤1＋2，即a 的取值范围是． 法二：将圆C 的方程代入直线方程，得 cos θ－1＋sin θ＋a ＝0，即a ＝1－(sin θ＋cos θ)＝1－2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4. ∵－1≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1，∴1－2≤a ≤1＋2，即a 的取值范围是．课时跟踪检测(八)一、选择题1．圆的参数方程为：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．则圆的圆心坐标为( )A ．(0,2)B ．(0，－2)C ．(－2,0)D ．(2,0) 解析：选D 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋2cos θ，y ＝2sin θ化为(x －2)2＋y 2＝4，其圆心坐标为(2,0)．2．直线：x ＋y ＝1与曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的公共点有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个解析：选C 将⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ化为x 2＋y 2＝4，它表示以(0,0)为圆心，2为半径的圆，由于12＝22<2＝r ， 故直线与圆相交，有两个公共点．3．直线：3x －4y －9＝0与圆：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)的位置关系是( )A ．相切B ．相离C ．直线过圆心D ．相交但直线不过圆心 解析：选D 圆心坐标为(0,0)，半径为2，显然直线不过圆心， 又圆心到直线距离d ＝95<2，故选D.4．P (x ，y )是曲线⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2＋cos α，y ＝sin α(α为参数)上任意一点，则(x －5)2＋(y ＋4)2的最大值为( )A ．36B ．6C ．26D ．25解析：选A 设P (2＋cos α，sin α)，代入，得 (2＋cos α－5)2＋(sin α＋4)2＝25＋sin 2α＋cos 2α－6cos α＋8sin α ＝26＋10sin(α－φ)． ∴最大值为36. 二、填空题5．参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3cos φ＋4sin φ，y ＝4cos φ－3sin φ(φ为参数)表示的图形是________．解析：x 2＋y 2＝(3cos φ＋4sin φ)2＋(4cos φ－3sin φ)2＝25.∴表示圆． 答案：圆6．已知圆C的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos α，y ＝1＋sin α(α为参数)，以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρcos θ＝1，则直线l 与圆C 的交点的直角坐标为________．解析：由极坐标系与直角坐标系互化关系可知，直线l 的直角坐标方程为x ＝1. 由圆C 的参数方程可得x 2＋(y －1)2＝1， 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，x 2＋ y －1 2＝1得直线l 与圆C 的交点坐标为(1,1)． 答案：(1,1)7．(广东高考)已知曲线C 的极坐标方程为 ρ＝2cos θ.以极点为原点，极轴为x 轴的正半轴建立直角坐标系，则曲线C 的参数方程为________．解析：由极坐标方程与直角坐标方程互化公式可得，曲线C 的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1，故曲线C 对应的参数方程可写为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．答案：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)三、解答题8．P 是以原点为圆心，半径r ＝2的圆上的任意一点，Q (6,0)，M 是PQ 中点． (1)画图并写出⊙O 的参数方程；(2)当点P 在圆上运动时，求点M 的轨迹的参数方程．解：(1)如图所示，⊙O 的参数方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2cos θ，y ＝2sin θ(θ为参数)．(2)设M (x ，y )，P (2cos θ，2sin θ)， ∵Q (6,0)，∴M 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝6＋2cos θ2，y ＝2sin θ2，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3＋cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．9．设点M (x ，y )在圆x 2＋y 2＝1上移动，求点Q (x (x ＋y )，y (x ＋y ))的轨迹． 解：设M (cos θ，sin θ)(0≤θ＜2π)，点Q (x 1，y 1)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝cos θ cos θ＋sin θ ＝cos 2θ＋cos θsin θ，y 1＝sin θ cos θ＋sin θ ＝sin θcos θ＋sin 2θ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋y 1＝1＋sin 2θ，x 1y 1＝12sin 2θ＋12sin 22θ.将sin 2θ＝x 1＋y 1－1代入另一个方程， 整理，得⎝⎛⎭⎪⎫x 1－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y 1－122＝12.∴所求轨迹是以⎝ ⎛⎭⎪⎫12，12为圆心，以22为半径的圆．10．已知直线C 1：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋t cos α，y ＝t sin α(t 为参数)，圆C 2：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ(θ为参数)．(1)当α＝π3时，求C 1与C 2的交点坐标；(2)过坐标原点O 作C 1的垂线，垂足为A ，P 为OA 的中点．当α变化时，求P 点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．解：(1)当α＝π3时，C 1的普通方程为y ＝3(x －1)，C 2的普通方程为x 2＋y 2＝1.联立方程组⎩⎨⎧y ＝3 x －1 ，x 2＋y 2＝1，解得C 1与C 2的交点坐标为(1,0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－32.(2)C 1的普通方程为x sin α－y cos α－sin α＝0.A 点坐标为(sin 2α，－cos αsin α)，故当α变化时，P 点轨迹的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12sin 2α，y ＝－12sin αcos α(α为参数)．P 点轨迹的普通方程为⎝⎛⎭⎪⎫x －142＋y 2＝116.故P 点轨迹是圆心为⎝⎛⎭⎪⎫14，0，半径为14的圆．。
参数方程》教案(新人教选修
参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程简介1.1 参数方程的概念解释参数方程的定义举例说明参数方程的应用场景1.2 参数方程的表示方法介绍参数方程的表示方法展示不同类型的参数方程示例1.3 参数方程的解法介绍参数方程的解法方法演示解题过程，并提供练习题第二章：简单参数方程的求解2.1 线性参数方程的求解解释线性参数方程的定义展示线性参数方程的求解方法2.2 非线性参数方程的求解解释非线性参数方程的定义展示非线性参数方程的求解方法2.3 参数方程的图像解释参数方程的图像表示绘制不同参数方程的图像，并进行分析第三章：参数方程的应用3.1 参数方程在几何中的应用介绍参数方程在几何中的应用展示参数方程在几何问题求解中的例子3.2 参数方程在物理中的应用介绍参数方程在物理中的应用展示参数方程在物理问题求解中的例子3.3 参数方程在工程中的应用介绍参数方程在工程中的应用展示参数方程在工程问题求解中的例子第四章：参数方程的变换4.1 参数方程的线性变换解释参数方程的线性变换展示参数方程的线性变换方法4.2 参数方程的非线性变换解释参数方程的非线性变换展示参数方程的非线性变换方法4.3 参数方程的合成解释参数方程的合成概念展示参数方程的合成方法第五章：参数方程的综合应用5.1 参数方程在曲线设计中的应用介绍参数方程在曲线设计中的应用展示参数方程在曲线设计中的例子5.2 参数方程在优化问题中的应用介绍参数方程在优化问题中的应用展示参数方程在优化问题求解中的例子5.3 参数方程在其他领域的应用介绍参数方程在其他领域的应用展示参数方程在其他领域问题求解中的例子第六章：参数方程与极坐标方程的转换6.1 极坐标方程的基本概念解释极坐标方程的定义展示极坐标方程的表示方法6.2 参数方程与极坐标方程的转换方法介绍参数方程与极坐标方程的转换方法展示参数方程转换为极坐标方程的示例6.3 极坐标方程的应用介绍极坐标方程在几何中的应用展示极坐标方程在几何问题求解中的例子第七章：参数方程与直角坐标系的转换7.1 直角坐标系的基本概念解释直角坐标系的定义和表示方法展示直角坐标系的特点和应用7.2 参数方程与直角坐标系的转换方法介绍参数方程与直角坐标系的转换方法展示参数方程转换为直角坐标系的示例7.3 直角坐标系中的应用介绍参数方程在直角坐标系中的应用展示参数方程在直角坐标系问题求解中的例子第八章：参数方程与函数的关系8.1 函数的基本概念解释函数的定义和表示方法展示函数的特点和应用8.2 参数方程与函数的关系介绍参数方程与函数的关系展示参数方程表示的函数示例8.3 函数图像是参数方程的应用介绍函数图像是参数方程的应用展示函数图像是参数方程的示例第九章：参数方程在实际问题中的应用9.1 参数方程在物理学中的应用介绍参数方程在物理学中的应用展示参数方程在物理学问题求解中的例子9.2 参数方程在工程学中的应用介绍参数方程在工程学中的应用展示参数方程在工程学问题求解中的例子9.3 参数方程在其他领域的应用介绍参数方程在其他领域的应用展示参数方程在其他领域问题求解中的例子第十章：参数方程的综合案例分析10.1 参数方程的综合案例介绍一个综合性的参数方程案例分析并解决该案例中的问题10.2 参数方程的解题策略介绍解决参数方程问题的策略和方法提供一些建议和技巧以提高解题效率10.3 参数方程的练习题和解答提供一些关于参数方程的综合练习题给出详细的解答和解释重点和难点解析重点一：参数方程的概念与表示方法重点关注参数方程的定义，理解参数方程与普通方程的区别。
2017年高考数学(理)一轮复习精品资料 专题59 参数方程(教学案) 含解析
1．了解参数方程，了解参数的意义．2．能选择适当的参数写出直线、圆和圆锥曲线的参数方程．3．了解圆的平摆线、渐开线的形成过程，并能推导出它们的参数方程．一、参数方程和普通方程的互化 1．参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式．将参数方程化为普通方程需消去参数．（2)如果知道变数x ,y 中的一个与参数t 的关系，例如x ＝f （t ),把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y ＝g (t ）,那么错误!就是曲线的参数方程．【特别提醒】在参数方程与普通方程的互化中，必须使x ，y 的取值范围保持一致．2．几种常见的参数方程 (1）圆的参数方程若圆心在点M 0（x 0，y 0),半径为r ,则圆的参数方程为⎩⎨⎧x ＝x 0＋r cos θ，y ＝y 0＋r sin θ（θ为参数)．(2)椭圆错误!＋错误!＝1(a ＞b ＞0)的参数方程为错误!（θ为参数）．（3)双曲线错误!－错误!＝1（a ＞0，b ＞0)的参数方程为错误!（θ为参数)． （4)抛物线y 2＝2px (p ＞0)的参数方程为错误!（t 为参数)． 二、直线的参数方程利用直线参数方程中参数的几何意义求解问题的方法经过点P (x 0，y 0)，倾斜角为α的直线l 的参数方程为错误!(t 为参数）．若A ，B 为直线l 上两点，其对应的参数分别为t 1,t 2,线段AB 的中点为M ，点M 所对应的参数为t 0,则以下结论在解题中经常用到:(1）t 0＝错误!;（2)｜PM |＝|t 0|＝t 1＋t 22；(3）｜AB ｜＝｜t 2－t 1｜;（4）｜PA ｜·|PB |＝|t 1·t 2|。
【特别提醒】直线的参数方程中，参数t 的系数的平方和为1时，t 才有几何意义且其几何意义为：｜t |是直线上任一点M （x ，y )到M 0(x 0，y 0)的距离，即|M 0M |＝｜t ｜。
《参数方程》教案(新人教选修)
《参数方程》教案(新人教选修)第一章：参数方程的概念1.1 参数方程的定义与形式引入参数的概念，解释参数方程与普通方程的区别。
举例说明参数方程的形式，如圆的参数方程。
1.2 参数方程的图像利用图形展示参数方程所表示的曲线。
引导学生观察参数变化时，曲线的变化情况。
1.3 参数方程的应用结合实际问题，介绍参数方程的应用，如物体的运动轨迹。
引导学生理解参数方程在实际问题中的作用。
第二章：参数方程的变换2.1 参数变换的概念引入参数变换的概念，解释参数变换的作用。
举例说明参数变换的形式，如从直角坐标系到极坐标系的变换。
2.2 参数变换的方法引导学生掌握参数变换的方法，如代数变换、三角变换等。
利用实例演示参数变换的过程。
2.3 参数变换的应用结合实际问题，介绍参数变换的应用，如解三角方程。
引导学生理解参数变换在实际问题中的作用。
第三章：参数方程的求解3.1 参数方程的求解概念引入参数方程的求解概念，解释求解的目的。
举例说明参数方程的求解方法，如代数方法、图形方法等。
3.2 参数方程的求解方法引导学生掌握参数方程的求解方法，如代数求解、图形求解等。
利用实例演示参数方程的求解过程。
3.3 参数方程的求解应用结合实际问题，介绍参数方程的求解应用，如求解物理问题。
引导学生理解参数方程的求解在实际问题中的作用。
第四章：参数方程的综合应用4.1 参数方程与普通方程的转换引导学生理解参数方程与普通方程之间的转换关系。
利用实例演示参数方程与普通方程的转换过程。
4.2 参数方程在实际问题中的应用结合实际问题，介绍参数方程在实际问题中的应用，如工程问题、物理问题等。
引导学生理解参数方程在实际问题中的重要性。
4.3 参数方程的综合实例分析提供综合实例，让学生运用所学知识解决实际问题。
引导学生进行讨论和思考，提高学生解决问题的能力。
第五章：参数方程的进一步研究5.1 参数方程的性质研究引导学生研究参数方程的性质，如对称性、周期性等。
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第2讲 参数方程
【考情分析】
考查直线、圆和圆锥曲线的参数方程以及简单的应用问题．
基础梳理
1．参数方程的意义
在平面直角坐标系中，如果曲线上的任意一点的坐标x，y都是某个变量的函数并且对于t的每个允许值，由方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，则该方程叫曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t是参变数，简称参数．相对于参数方程而言，直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程．
2．常见曲线的参数方程的一般形式
(1)经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为(t为参数)．
设P是直线上的任一点，则t表示有向线段的数量．
(2)圆的参数方程(θ为参数)．
(3)圆锥曲线的参数方程
椭圆＋＝1的参数方程为(θ为参数)．
双曲线－＝1的参数方程为(φ为参数)．
抛物线y2＝2px的参数方程为(t为参数)．
双基自测
1． 极坐标方程ρ＝cos θ和参数方程(t为参数)所表示的图形分别是( )．
A．直线、直线 B．直线、圆
C．圆、圆 D．圆、直线
解析 ∵ρcos θ＝x，∴cos θ＝代入到ρ＝cos θ，得ρ＝，∴ρ2＝x，∴x2＋y2＝x表示圆．
又∵相加得x＋y＝1，表示直线．
答案 D
2．若直线(t为实数)与直线4x＋ky＝1垂直，则常数k＝________.
解析 参数方程所表示的直线方程为3x＋2y＝7，由此直线与直线4x
＋ky＝1垂直可得－×＝－1，解得k＝－6.
答案 －6
3．二次曲线(θ是参数)的左焦点的坐标是________．
解析 题中二次曲线的普通方程为＋＝1左焦点为(－4,0)．
答案 (－4,0)
4．(2011·广州调研)已知直线l的参数方程为：(t为参数)，圆C的极坐标方程为ρ＝2sin θ，则直线l与圆C的位置关系为________．
解析 将直线l的参数方程：化为普通方程得，y＝1＋2x，圆ρ＝2sin θ的直角坐标方程为x2＋(y－)2＝2，圆心(0，)到直线y＝1＋2x的距离为，因为该距离小于圆的半径，所以直线l与圆C相交．
答案 相交
5．(2011·广东)已知两曲线参数方程分别为(0≤θ＜π)和(t∈R)，它们的交点坐标为________．
解析 由(0≤θ＜π)得，＋y2＝1(y≥0)由(t∈R)得，x＝y2，∴5y4＋16y2－16＝0.
解得：y2＝或y2＝－4(舍去)．
则x＝y2＝1又θ≥0，得交点坐标为.
答案
考向一 参数方程与普通方程的互化
【例1】►把下列参数方程化为普通方程：
(1) (2)
[审题视点] (1)利用平方关系消参数θ；
(2)代入消元法消去t.
解 (1)由已知由三角恒等式cos2θ＋sin2θ＝1,
可知(x－3)2＋(y－2)2＝1，这就是它的普通方程．
(2)由已知t＝2x－2，代入y＝5＋t中，
得y＝5＋(2x－2)，即x－y＋5－＝0就是它的普通方程．
参数方程化为普通方程：化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数，常用的消参方法有代入消去法、加减消去法、恒等式(三角的或代数的)消去法，参数方程通过代入消元或加减消元消去参数化为普通方程，不要忘了参数的范围．
【训练1】 (2010·陕西)参数方程(α为参数)化成普通方程为________．
解析 由得
①2＋②2得：x2＋(y－1)2＝1.
答案 x2＋(y－1)2＝1
考向二 直线与圆的参数方程的应用
【例2】►已知圆C：(θ为参数)和直线l：(其中t为参数，α为直线l的倾斜角)．
(1)当α＝时，求圆上的点到直线l距离的最小值；
(2)当直线l与圆C有公共点时，求α的取值范围．
[审题视点] (1)求圆心到直线l的距离，这个距离减去圆的半径即为所求；(2)把圆的参数方程化为直角坐标方程，将直线的参数方程代入得关于参数t的一元二次方程，这个方程的Δ≥0.
解 (1)当α＝时，直线l的直角坐标方程为x＋y－3＝0，圆C的圆心坐标为(1,0)，圆心到直线的距离d＝＝，圆的半径为1，故圆上的点到直线l距离的最小值为－1.
(2)圆C的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，将直线l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得t2＋2(cos α＋sin α)t＋3＝0，这个关于t的一元二次方程有解，故Δ＝4(cos α＋sin α)2－12≥0，则sin2≥，即sin≥或sin ≤－.又
0≤α＜π，故只能sin≥，即≤α＋≤，即≤α≤.
如果问题中的方程都是参数方程，那就要至少把其中的一个化为直角坐标方程．
【训练2】已知直线l的参数方程为(参数t∈R)，圆C的参数方程为(参数θ∈[0,2π])，求直线l被圆C所截得的弦长．
解 由消参数后得普通方程为2x＋y－6＝0，
由消参数后得普通方程为(x－2)2＋y2＝4，显然圆心坐标为(2,0)，半径为2.由于圆心到直线2x＋y－6＝0的距离为d＝＝，
所以所求弦长为2 ＝.
考向三 圆锥曲线的参数方程的应用
【例3】►求经过点(1,1)，倾斜角为135°的直线截椭圆＋y2＝1所得的弦长．
[审题视点] 把直线方程用参数表示，直接与椭圆联立，利用根与系数的关系及弦长公式可解决．
解 由条件可知直线的参数方程是(t为参数)，代入椭圆方程可得＋2＝1，
即t2＋3t＋1＝0.设方程的两实根分别为t1、t2，则由二次方程的根与系数的关系可得则直线截椭圆的弦长是|t1－t2|＝＝＝ .
普通方程化为参数方程：化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数，即选定合适的参数t，先确定一个关系x＝f(t)(或y＝φ(t))，再代入普通方程F(x，y)＝0，求得另一关系y＝φ(t)(或x＝f(t))．一般地，常选择的
参数有角、有向线段的数量、斜率，某一点的横坐标(或纵坐标)．普通方程化为参数方程需要引入参数，选择的参数不同，所得的参数方程也不一样．
【训练3】(2011·南京模拟)过点P(－3,0)且倾斜角为30°的直线和曲线(t 为参数)相交于A、B两点，求线段AB的长．
解 直线的参数方程为(s为参数)，
又曲线(t为参数)可以化为x2－y2＝4，将直线的参数方程代入上式，得s2－6s＋10＝0，
设A、B对应的参数分别为s1，s2.∴s1＋s2＝6，s1s2＝10.∴|AB|＝|s1－s2|＝＝2.
如何解决极坐标方程与参数方程的综合问题
从近两年的新课标高考试题可以看出，对参数方程的考查重点是直线的参数方程、圆的参数方程和圆锥曲线的参数方程的简单应用，特别是利用参数方程解决弦长和最值等问题，题型为填空题和解答题．
【示例】►(本题满分10分)(2011·新课标全国)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)．
M是C1上的动点，P点满足＝2，P点的轨迹为曲线C2.
(1)求C2的方程；
(2)在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线θ＝与C1的异于极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求|AB|.
第(1)问：利用代入法；第(2)问把曲线C1、曲线C2均用极坐标表示，再求射线θ＝与曲线C1、C2的交点A、B的极径即可．
[解答示范] (1)设P(x，y)，则由条件知M.
由于M点在C1上，所以即
从而C2的参数方程为(α为参数)．(5分)
(2)曲线C1的极坐标方程为ρ＝4sin θ，曲线C2的极坐标方程为ρ＝8sin θ.射线θ＝与C1的交点A的极径为ρ1＝4sin ，
射线θ＝与C2的交点B的极径为ρ2＝8sin .
所以|AB|＝|ρ2－ρ1|＝2.(10分)
很多自主命题的省份在选考坐标系与参数方程中的命题多以综合题的形式命题，而且通常将极坐标方程、参数方程相结合，以考查考生的转化与化归的能力．
【试一试】 (2011·江苏)在平面直角坐标系xOy中，求过椭圆(φ为参数)的右焦点，且与直线(t为参数)平行的直线的普通方程．
[尝试解答] 由题设知，椭圆的长半轴长a＝5，短半轴长b＝3，从 而c ＝＝4，所以右焦点为(4,0)．将已知直线的参数方程化为普通方程：x －2y＋2＝0.故所求直线的斜率为，因此其方程为y＝(x－4)，即x－2y －4＝0.。