格林公式习题解析

如果大家不会受符号干扰，也可就采用原记号
“ u(x, y) (x,y) 2x ydx x2 d y ”. ( x0 , y0 )
图1
又由于积分 u(x, y) (x,y) 2X Y d X X 2 dY 与路径无关， ( x0 , y0 )
也就意味着，我们可以选取使计算简便的路径，通常我们选择 折线路径，如图 1 和图 2 所示.
y
x
y x
符合定理 9.3.2 中的充要条件，因此，积分与路径无关.
再来计算积分值——
本题中并没有指定积分弧段，只取定了起点 (1,1) 和终点 (2,3) . 由于积分与路径无关，
因此，无论沿哪条积分弧段计算曲线积分，积分值都是相同的， 我们可以选择较简便的折线路径（如图 3 所示）进行计算，记
因此，无论沿哪条积分弧段计算曲线积分，积分值都是相同的， 我们可以选择较简便的折线路径（如图 4 所示）进行计算，记
x x
LAB
:
y
2
(x
:1
3)
，
LBC
:
x y
3 y
( y : 2 4) ，则有
图4
(3,4) (6 x y2 y3)dx (6 x2 y 3 x y2 )d y (1,2)
的正向边界；
答案： 1 (e 1) 5
解析： 本题考查课本第 137~138 页知识点——
可简单地理解为曲线上无“尖点”（导数或偏导数不存在的点）， 即曲线上处处有切线，且切线随切点的移动而连续转动.
简单地讲，格林公式就是把闭区域内的二重积分和该闭区域边界上的曲线积分联系了起 来，这两种积分可以根据我们的需要相互转化，从而简化计算.
u(x, y) y0 (x2 x02 ) x2 ( y y0) 的全微分，随着 (x0, y0 ) 的不同， u(x, y) 也不同.
我们可以取其中较简单的一个 u(x,y)，比如把 (x0, y0 ) 取作(0,0)，此时，
u(x, y) 0(x2 02) x2 ( y 0) x2 y .
常数的微分等于 0
2
3
1 (x 1)dx 1 (2 y)d y
x2 (
2
2 1
x
2 1
)
(2
y
3 1
y2 2
3 1
)
5 2
.
（2） (3,4) (6 x y2 y3)dx (6 x2 y 3 x y2 )d y ； (1,2)
答案： 236
解析： 首先证明本题中的曲线积分在整个 xOy 平面上与路径无关——
1
2
(12x2
3 1
8x
3 1
)
(27
y2
4 2
3y3
4 2
)
(128 8 2) (2712 356) 236 .
（3） (2,1) (2x y y4 3)dx (x2 4x y3)d y ； (1,0)
答案： 5
解析： 首先证明本题中的曲线积分在整个 xOy 平面上与路径无关——
LAB
LBC
(3
2
dx 0) [0
1(4 8y3)d y]
1
0
常数的微分等于 0
(3x
2 1
)
(4
y
1 0
2y4
1 0
)
3 42 5.
3、利用格林公式计算下列曲线积分：
（1） ex[(1 cos y)dx ( y sin y)d y]，其中 L 是 D {(x, y) | 0 x , 0 y sin x } L
下面我们来求出 u(x,y)，根据课本第 145 页的讨论，有以下计算公式——
u(x, y)
( x, y) ( x0 , y0
)
2x
yd
x
x2
d
y
，这里并没有指定积分弧段，只任取了一个定点
( x0
,
y0
)
作
为起点，取了动点 (x, y) 作为终点. 为了区分积分变量和积分弧段
的终点坐标，我们可以记“ u(x, y) (x,y) 2X Y d X X 2 dY ”， ( x0 , y0 )
2xY dx x 2 dY
LR M
(
x
x0 2X y0 d X 0) (0
y x2 dY )
y0
y0
x 2X dX x2
x0
y
dY
y0
这里 x 和 y0 都看作常数， 常数的微分等于 0.
y0 ( X 2
x x0
)
x2
(Y
)y
y0
y0 (x2 x02 ) x2 ( y y0 ) ，
二重积分（曲顶柱体体积、平面薄片质量等）不计方向，而对坐标的曲线积分（变力沿 曲线做功等）要计方向，要使无须讨论方向和需要讨论方向的两个量能相等，就要求边界的 方向对区域来说是上述知识点中规定的正向.
本 题中 P(x, y) ex (1 cos y) ， Q(x, y) ex ( y sin y) ex (sin y y) ， 可求 得
解析： 本题考查以下知识点——
若 表 达 式 2x ydx x2d y 为 某 一 函 数 u(x,y) 的 全 微 分 ， 根 据 全 微 分 的 定 义
du uxdx uyd y ，这就意味着 ux 2x y ， uy x2 ，但是，我们现在并不知道到底存
不存在这样一个函数 u(x,y)，要根据定理 9.3.3 中的充要条件来判断：
路径运动，所做的功都是相同的.
本题中 P(x, y) x yk ，Q(x, y) xk y ，可求得 P k x yk1 ， Q k xk1 y ，根据已
y
x
知条件“曲线积分 (x,y) x ykdx xk yd y 与路径无关”，又根据定理 9.3.2 中的充要条件，可 ( x0 , y0 )
（以下各题解析仅供参考，大家还可想想其他方法.）
1、填空题
（1）若曲线积分 (x,y) x ykdx xk yd y 与路径无关，则 k ( x0 , y0 )
.
答案： 0 或 2
这个符号的意思是给出积分弧段的起点和终点，
但并不指明从起点经过哪条弧段到终点.
解析： 本题考查以下知识点——
所谓“积分与路径无关”，是指在满足充要条件“ P Q ”的情况下，从指定的起 y x
因此，无论沿哪条积分弧段计算曲线积分，积分值都是相同的， 我们可以选择较简便的折线路径（如图 5 所示）进行计算，记
x x
LAB
:
y
0
(x
:1
2)
，
LBC
:
x y
2 y
( y : 0 1) ，则有
(2,1) (2x y y4 3)dx (x2 4x y3)d y (1,0)
图5
(2x0 04 3)dx (x2 4x03)d (0) (2 2 y y4 3)d(2) (22 4 2 y3)d y
这里 P(x, y) 6 x y2 y3 ， Q(x, y) 6 x2 y 3x y2 ，可求得 P 12 x y 3y2， y
Q 12x y 3 y2 ，即 P Q ，符合定理 9.3.2 中的充要条件，因此，积分与路径无关.
x
y x
再来计算积分值——
本题中并没有指定积分弧段，只取定了起点 (1, 2) 和终点 (3, 4) . 由于积分与路径无关，
常数的微分等于 0
(6 x 22 23)dx (6 x2 2 3 x 22 )d(2) (63y2 y3)d(3) (632 y 33 y2)d y
LAB
LBC
[
3
(24x 8)dx 0] [0
4 (54 y 9 y2)d y]
1
2
3
(24x 8)dx
4 (54 y 9 y2 )d y
I ex cos 2x dx cos 2x d(ex )
0
0பைடு நூலகம்
ex cos 2x
0
ex d(cos 2x)
0
(e 1) 2 ex sin 2x dx 0
(e 1) 2 sin 2x d(ex ) 0
(e
1)
2[ex
sin
2x
0
ex d(sin 2x)]
0
(e 1) 2(0 2 ex cos 2xdx) 0
P ex sin y ， Q ex (sin y y) ，这里 P Q .
y
x
y x
本题中的 D {(x, y) | 0 x , 0 y sin x }，L 是 D 的正向边界，如图 6 所示，
容易验证本题满足格林公式的条件，根据格林公式来计算积分值（本题中是把曲线积分化为 二重积分计算）——
ex[(1 cos y)dx ( y sin y)d y] L
D
(
Q x
P y
)
d
[ex (sin y y) exsin y]d
D
(ex y) dxd y
D
exdx
sin x
ydy
0
0
图6
对 y 求积分时，x 看作常量，因此，“ ex ”
可以从以 y 作为积分变量的定积分中提出来.
可见， u(x, y) y0 (x2 x02 ) x2 ( y y0 )，其中 (x0, y0 ) 是我们任取的一个定点，
随着我们取的定点不同，所求得的 u(x, y) 也不同，也就是说，表达式 2x ydx x2 d y 不止
是 唯 一 一 个 函 数 u(x,y) 的 全 微 分 ， 而 是 同 时 为 无 穷 多 个 函 数
知 P Q ，即 k x yk1 k xk1 y . 当 k 0 时，等式显然成立；当 k 0 时，化简得 y x