2019-2020年高三9月联考(数学理)
2019-2020学年百师联盟高三(上)开学数学试卷(理科)(9月份)
2019-2020学年百师联盟高三（上）开学数学试卷（理科）（9月份）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知集合A＝{x|−3<x≤1}，集合B＝{x|y=√2−x2}，则A∪B＝（）A.[−√2,1]B.(−√2,1]C.[−3, √2)D.(−3, √2]【答案】D【考点】并集及其运算【解析】求出集合的等价条件，结合并集的定义进行求解即可．【解答】B＝{x|y=√2−x2}＝{x|2−x2≥0}＝{x|x2≤2}＝{x|−√2≤x≤√2}，A∪B＝{x|−3<x≤√2}，2. 已知命题P:∀x，y∈(0, 1)，x+y<2，则命题P的否定为()A.∀x，y∈(0, 1)，x+y≥2B.∀x，y∉(0, 1)，x+y≥2C.∃x0，y0∉(0, 1)，x0+y0≥2D.∃x0，y0∈(0, 1)，x0+y0≥2【答案】D【考点】命题的否定【解析】由全称量词命题∀x∈M，p(x)的否定为∃x∈M，￢p(x)，写出即可．【解答】解：∵全称命题的否定是特称命题，∴命题P的否定为：∃x0，y0∈(0, 1)，x0+y0≥2．故选D.3. 已知实数x，y满足{y≤2x+y≥2x−y+1≤0则3x+2y的最大值为（）A.7B.5C.4D.92【答案】A【考点】简单线性规划【解析】画出已知约束条件对应的可行域，求出直接，代入目标函数，得到结果．【解答】实数x，y满足{y≤2x+y≥2x−y+1≤0对应的可行域如下图所示：由{y=2x−y+1=0解得A(1, 2)，z＝3x+2y经过可行域的A时，目标函数取得最大值．当x＝1，y＝2时，z＝3x+2y＝7，故z＝3x+2y的最大值为7，4. 某商场开展转转盘抽奖活动，每抽奖一次转动一次转盘（转盘如图），经测量可知一等奖，二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为：20∘，50∘和60∘，则抽奖一次中奖的概率为（）A.13 36B.1736C.1936D.59【答案】C【考点】几何概型计算（与长度、角度、面积、体积有关的几何概型）【解析】由测度比是圆心角的弧度数比求解．【解答】∵一等奖，二等奖和三等奖所在扇形的圆心角分别为：20∘，50∘和60∘，且三等奖对应等圆心角的两个区域，转动一次转盘指针指向位置是等可能的，∴抽奖一次中奖的概率P=20+50+2×60360=190360=1936．5. 已知P为圆(x+1)2+y2＝1上任一点，A，B为直线3x+4y−7＝0上的两个动点，且|AB|＝3，则△PAB面积的最大值为（）A.9B.92C.3 D.32【答案】B【考点】直线与圆的位置关系【解析】直接利用直线和园的位置关系式，利用点到直线的距离公式和三角形的面积公式的应用求出结果．【解答】根据圆的方程，圆心(−1, 0)到直线3x+4y−7＝0的距离d=√32+42=2，所以圆上的点P到直线的最大距离d max＝2+1＝3，所以S △ABC =12⋅3⋅3=92．6. 元代数学家朱世杰编著的《算法启蒙》中记载了有关数列的计算问题：“今有竹七节，下两节容米四升，上两节容米二升，各节欲均容，问逐节各容几升？”其大意为：现有一根七节的竹子，最下面两节可装米四升，最上面两节可装米二升，如果竹子装米量逐节等量减少，问竹子各节各装米多少升？以此计算，第四节竹子的装米量为（ ） A.1升B.32升C.23升D.43升【答案】 B【考点】等差数列的前n 项和 【解析】设竹子自下而上的各节容米量分别为a 1，a 2，…，a 7，由题意得a 1+a 2+a 6+a 7＝6，由等差数列的性质能求出第四节竹子的装米量． 【解答】设竹子自下而上的各节容米量分别为a 1，a 2，…，a 7， 由题意得a 1+a 2+a 6+a 7＝6， 由等差数列的性质得： a 1+a 7＝2a 4＝6，解得第四节竹子的装米量为a 4=32（升）．7. 如图在梯形ABCD 中，BC ＝2AD ，DE ＝EC ，设BA →=a →，BC →=b →，则BE →=( )A.12a →+14b →B.13a →+56b →C.23a →+23b →D.12a →+34b →【答案】 D【考点】向量的线性运算性质及几何意义 向量数乘的运算及其几何意义 【解析】取BC 中点F ，由BC ＝2AD 可知AD ＝FC ，从而可得四边形AFCD 为平行四边形，结合向量的基本运算即可求解 【解答】取BC 中点F ，由BC ＝2AD 可知AD ＝FC ， ∴ 四边形AFCD 为平行四边形，则BE →=BC →+CE →=BC →+12FA →=BC →+12(BA →−12BC →)=34BC →+12BA →=12a →+34b →．8. 执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为（ ）A.3B.2020C.3030D.1010【答案】C【考点】程序框图【解析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量S的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案．【解答】模拟程序的运行，可得a1＝0，a2＝3，a3＝−2，a4＝5，a5＝−4，a6＝7…可知a1+a2＝a3+a4＝ (3)当i＝2020时，S＝1010×3＝3030．9. (x2+x)5(x2−2x+1)10的展开式中，含x7项的系数为（）A.100B.300C.500D.110【答案】A【考点】二项式定理及相关概念【解析】由题意利用二项展开式的通项公式，求得含x7项的系数．【解答】∵(x2+x)5(x2−2x+1)10＝(x2+x)5((x−1)20的展开式中，通项公式为C5r⋅x10−r⋅C20k⋅x20−k⋅(−1)k=C5r⋅C20k⋅(−1)k⋅x30−r−k，r、k∈N，0≤r≤5，0≤k≤20．令30−r−k＝7，求得r＝3、k＝20，或r＝4、k＝19，或r＝5、k＝18，分别代入x7的系数C5r⋅C20k⋅(−1)k，求得含x7项的系数为100，10. 已知函数f(x)＝sinωx+√3cosωx−√3(ω>0)在[0, π2]上有且仅有三个零点，则ω的取值范围是（）A.(103, 143) B.[103, 143] C.[4, 143] D.[4, 143)【答案】D【考点】三角函数中的恒等变换应用函数零点的判定定理【解析】利用两角和与差的三角函数化简函数的解析式，利用函数的零点个数，转化为方程的根的个数，利用三角函数的有界性，转化求解即可．【解答】函数f(x)＝sinωx+√3cosωx−√3=2sin(ωx+π3)−√3，函数f(x)＝sinωx+√3cosωx−√3(ω>0)在[0, π2]上有且仅有三个零点，就是sin(ωx+π3)=√32在[0, π2]上有且仅有三个解，则ωx+π3=2kπ+π3或2kπ+2π3；∴π3+2π≤ωπ2+π3<2π3+2π，解得ω∈[4,143)．11. 如图，四棱锥P−ABCD中，底面为直角梯形，∠BAD＝∠ADC＝90∘，AB=23CD，E为PC上靠近点C的三等分点，则三棱锥B−CDE与四棱锥P−ABCD的体积比为（）A.19B.15C.16D.13【答案】B【考点】柱体、锥体、台体的体积计算【解析】设四棱锥P−ABCD的高为ℎ，则三棱锥B−CDE的高为13ℎ，AB＝2a，则CD＝3a，由此能求出三棱锥B−CDE与四棱锥P−ABCD的体积比．【解答】设四棱锥P−ABCD的高为ℎ，则三棱锥B−CDE的高为13ℎ，AB＝2a，则CD＝3a，∴V P−ABCD=13×12×5a×AD×ℎ，V B−CDE=13×12×3a×AD×13ℎ，∴三棱锥B−CDE与四棱锥P−ABCD的体积比为：V B−CDE V P−ABCD =15．12. 双曲线x2a2−y2b2=1(a>0, b>0)，F1，F2为其左、右焦点，线段F2A垂直直线y=bax ，垂足为点A ，与双曲线交于点B ，若F 2B →=BA →，则该双曲线的离心率为（ ） A.√2 B.2C.3D.√3【答案】 A【考点】双曲线的离心率 【解析】可设直线F 2A 的方程为y =−a b(x −c)，与直线y =bax 联立，可得A 的坐标，若F 2B →=BA →，则B 为线段F 2A 的中点，由中点坐标公式可得B 的坐标，代入双曲线的方程，化为c 2＝2a 2，再由离心率公式可得所求值． 【解答】线段F 2A 垂直直线y =ba x ，且F 2(c, 0)， 可设直线F 2A 的方程为y =−ab (x −c)， 与直线y =bax 的交点为A(a 2c, ab c)，若F 2B →=BA →，则B 为线段F 2A 的中点，则B(c 2+a 22c, ab2c )，代入双曲线的方程可得(c 2+a 2)24c 2a 2−a 24c 2=1，化为c 2＝2a 2，即e =c a=√2．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．若复数________． 【答案】 z =2−2i 1+i+2，则|z|＝2√2【考点】 复数的运算 复数的模 【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解． 【解答】 ∵ z =2−2i 1+i+2=2(1−i)2(1+i)(1−i)+2=−2i +2，∴ |z|=√22+(−2)2=2√2．在一次考试后，为了分析成绩，从1、2、3班中抽取了3名同学（每班一人），记这三名同学为A 、B 、C ，已知来自2班的同学比B 成绩低，A 与来自2班的同学成绩不同，C 的成绩比来自3班的同学高．由此判断，来自1班的同学为________． 【答案】 B【考点】进行简单的合情推理【解析】根据题意明确题中的逻辑关系即可．【解答】根据题意可知，B不是来自2班，A不是来自2班，所以C来自2班；又B的成绩比来自2班的同学高，C的成绩比来自3班的同学高，所以B不能来自3班，只能来自1班．数列{a n}中，其前n项和为S n且S n＝2a n−2n+1，则S10＝________．【答案】9217【考点】数列递推式数列的求和【解析】首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用乘公比错位相减法求出数列的和．【解答】数列{a n}中，其前n项和为S n且S n＝2a n−2n+1，①当n＝1时，解得a1＝1．当n≥2时，且S n+1＝2a n+1−2n+1+1，②，②-①得a n+1−2n+1=2a n−2n，整理得a n+12n+1−a n2n=12（常数），故数列{a n2n}是以12为首项12为公差的等差数列，所以a n2n =12+12(n−1)=12n，整理得a n=n⋅2n−1所以S n=1⋅20+2⋅21+⋯+n⋅2n−1①，2S n=1⋅21+2⋅22+⋯+n⋅2n②，①-②得−S n=(1+2+⋯+2n−1)−n⋅2n，整理得S n=(n−1)⋅2n+1，所以S10=9⋅210+1=9216+1=9217．若函数f(x)＝e x−1ax−b在其定义域上的最小值为0，则a2b的最小值为________．【答案】−1 e2【考点】利用导数研究函数的最值【解析】由题意可得：e x−1a x−b≥0恒成立，转化为：直线y=1ax+b与曲线y＝e x相切．设切点为(x0, e x0)，则e x0=1a x0+b，e x0=1a，可得：a2b=1−x0e x0．令ℎ(t)=1−te t，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】由题意可得：e x−1a x−b≥0恒成立，转化为：直线y=1ax+b与曲线y＝e x相切．设切点为(x0, e x0)，则e x0=1a x0+b，e x0=1a，可得：a2b=1−x0e x0．令ℎ(t)=1−te t ，ℎ′(t)=t−2e t，∴当t＝2时，ℎ(t)取得极小值：−1e2．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作（一）必考题：共60分．在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且(a−c)sin A+c sin(A+ B)＝b sin B（1）求B；（2）若a+c＝8，三角形的面积S△ABC＝4√3，求b．【答案】由已知得，(a−c)sin A+c sin C＝b sin B，根据正弦定理得(a−c)a+c2−b2＝0，化简得b2＝a2+c2−ac，由余弦定理得b2＝a2+c2−2ac cos B，所以cos B=12，由0<B<π，得B=π3．由（1）可知B=π3，S△ABC=12ac sin B＝4√3，可得ac＝16，又a+c＝8，解得a＝4，c＝4，所以b2＝a2+c2−2ac cos B＝16，解得b＝4．【考点】正弦定理【解析】（1）根据正弦定理化简已知的式子，再由余弦定理求出cos B，由内角的范围求出B；（2）由三角形的面积公式可求ac的值，结合a+c＝8，解得a，c的值，利用余弦定理可求b．【解答】由已知得，(a−c)sin A+c sin C＝b sin B，根据正弦定理得(a−c)a+c2−b2＝0，化简得b2＝a2+c2−ac，由余弦定理得b2＝a2+c2−2ac cos B，所以cos B=12，由0<B<π，得B=π3．由（1）可知B=π3，S△ABC=12ac sin B＝4√3，可得ac＝16，又a+c＝8，解得a＝4，c＝4，所以b2＝a2+c2−2ac cos B＝16，解得b＝4．如图所示的多面体的底面ABCD 为直角梯形，四边形DCFE 为矩形，且DE ⊥BC ，AD ⊥DC ，AB =AD =DE =12CD =2，M ，N ，P ．分别为EF ，BF ，BC 的中点，AD ⊥AB（1）求证：．BC ⊥平面MNP ；（2）求直线MN 与平面BCF 所成角的余弦值． 【答案】证明：∵ P ，N 分别是BC ，BF 的中点，∴ PN // CF ，∵ 四边形EDCF 是矩形，∴ DE ⊥CD ， ∵ DE ⊥BC ，∴ DE ⊥平面ABCD ，∴ PN ⊥BC ， 取CD 中点H ，连结PH ，BH ，MH ， 则MH // CF // PN ，∴ M ，N ，P ，H 同在平面MNP 内，在△BHC 中，BH ＝CD −AB ＝2，∠BHC ＝90∘，P 为BC 中点， ∴ HP ⊥BC ，∵ PN ∩HP ＝P ，∴ BC ⊥平面MNP ．由（1）知AD ，DE ，CD 三条直线两两垂直且交于点D ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则B(2, 2, 0)，C(0, 4, 0)，F(0, 4, 2)，∵ M ，N 分别为EF ，BF 的中点，∴ M(0, 2, 2)，N(1, 3, 1)， ∴ 平面BCF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅BF →=−2x +2y =0n →⋅BC →=−2x +2y +2z =0，令x ＝1，得n →=(1, 1, 0)， ∴ cos <n →,MN →>=n →⋅MN →|n →|⋅|MN →|=√63． ∴ MN 与平面BCF 所成角的余弦值为√1−(√63)2=√33．【考点】直线与平面所成的角 直线与平面垂直 【解析】（1）推导出PN // CF ，DE ⊥CD ，从而DE ⊥平面ABCD ，PN ⊥BC ，取CD 中点H ，连结PH ，BH ，MH ，则MH // CF // PN ，从而HP ⊥BC ，由此能求出BC ⊥平面MNP ． （2）以D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系，由此利用向量法能求出MN 与平面BCF 所成角的余弦值． 【解答】证明：∵ P ，N 分别是BC ，BF 的中点，∴ PN // CF ，∵ 四边形EDCF 是矩形，∴ DE ⊥CD ， ∵ DE ⊥BC ，∴ DE ⊥平面ABCD ，∴ PN ⊥BC ， 取CD 中点H ，连结PH ，BH ，MH ， 则MH // CF // PN ，∴ M ，N ，P ，H 同在平面MNP 内，在△BHC 中，BH ＝CD −AB ＝2，∠BHC ＝90∘，P 为BC 中点， ∴ HP ⊥BC ，∵ PN ∩HP ＝P ，∴ BC ⊥平面MNP ．由（1）知AD ，DE ，CD 三条直线两两垂直且交于点D ，以D 为原点，DA ，DC ，DE 分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系， 则B(2, 2, 0)，C(0, 4, 0)，F(0, 4, 2)，∵ M ，N 分别为EF ，BF 的中点，∴ M(0, 2, 2)，N(1, 3, 1)， ∴ 平面BCF 的法向量为n →=(x, y, z)，则{n →⋅BF →=−2x +2y =0n →⋅BC →=−2x +2y +2z =0 ，令x ＝1，得n →=(1, 1, 0)， ∴ cos <n →,MN →>=n →⋅MN →|n →|⋅|MN →|=√63． ∴ MN 与平面BCF 所成角的余弦值为(√63)=√33．移动支付（支付宝支付，微信支付等）开创了新的支付方式，使电子货币开始普及，为了了解习惯使用移动支付方式是否与年龄有关，对某地200人进行了问卷调查，得到数据如下：60岁以上的人群中，习惯使用移动支付的人数为30人；60岁及以下的人群中，不习惯使用移动支付的人数为40人．已知在全部200人中，随机抽取一人，抽到习惯使用移动支付的人的概率为0.6．（1）完成如下的列联表，并判断是否有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关，并说明理由．（2）在习惯使用移动支付的60岁及以下的人群中，每月移动支付的金额如表：现采用分层抽样的方法从中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人，记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为Y 求Y 的分布列及数学期望． 附：k 2=n(ad−bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，其中n ＝a +b +c +d【答案】根据题意填写列联表如下；计算K 2=200×(30×40−40×90)2120×80×70×130=120091≈13.187>10.828，所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关； 由题意得，在习惯使用移动支付的60岁及以下的人群中， 每月移动支付的金额在2000，3000]内的人数为30人；用分层抽样的方法从中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人， 记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为Y ， 则Y 的可能取值为：0，1，2，3； 计算P(Y ＝0)=C 64C 94=542，P(Y ＝1)=C 63⋅C31C 94=1021， P(Y ＝2)=C 62×C32C 94=514， P(Y ＝3)=C 61×C33C 94=121；则Y 的分布列为：数学期望为E(Y)＝0×542+1×1021+2×514+3×121=43．【考点】离散型随机变量的期望与方差 独立性检验（2）由题意知Y 的可能取值，计算对应的概率值，写出分布列，求得数学期望值． 【解答】根据题意填写列联表如下；计算K 2=200×(30×40−40×90)2120×80×70×130=120091≈13.187>10.828，所以有99.9%的把握认为习惯使用移动支付与年龄有关； 由题意得，在习惯使用移动支付的60岁及以下的人群中， 每月移动支付的金额在2000，3000]内的人数为30人；用分层抽样的方法从中抽取9人，再从这9人中随机抽取4人， 记4人中每月移动支付金额超过3000元的人数为Y ， 则Y 的可能取值为：0，1，2，3； 计算P(Y ＝0)=C 64C 94=542，P(Y ＝1)=C 63⋅C31C 94=1021， P(Y ＝2)=C 62×C32C 94=514， P(Y ＝3)=C 61×C33C 94=121；则Y 的分布列为：数学期望为E(Y)＝0×542+1×1021+2×514+3×121=43．函数f(x)＝a ln x −a 2x−6x(a ∈R)．（1）讨论函数f(x)的单调性；（2）若a >0，证明：当x ∈(0, 2]时，f(x)<0恒成立． 【答案】 由f(x)＝a ln x −a 2x−6x(x >0)，得f ′(x)=−6x 2+ax+a 2x 2．令f ′(x)＝0，则x =a2或x =−a3．当a ＝0时，f ′(x)＝−6<0，∴ f(x)在(0, +∞)上单调递减；当a >0时，a2>0，−a3<0，∴ f(x)在(0,a2)上单调递增，在(a2,+∞)上单调递减；证明：当a>0时，由（1）得f(x)在(0,a2)上单调递增，在(a2,+∞)上单调递减．∴当a2<2，即0<a<4时，f(x)在(0, 2]存在最大值，此时f(x)max=a2=a ln a2−5a=a(ln a2−5)．∵0<a<4，∴ln a2<ln2<ln e=1，∴a(ln a2−5)<0；当a2≥2，即a≥4时，f(x)在(0, 2]上单调递增，∴f(x)max=f(2)=a(ln2−a2)−12，∵a≥4，ln2<ln e＝1<a2，∴a(ln2−a2)<0，∴a(ln2−a2)<0，综上，当x∈(0, 2]时，f(x)<0恒成立．【考点】利用导数研究函数的单调性【解析】（1）对f(x)求导，令f′(x)＝0，可得x=a2或x=−a3，然后分a＝0，a>0和a<0三种情况求f(x)的单调区间；（2）由（1）可知a>0时，f(x)的单调性，然后分0<a<4和a≥4两种情况分别求出f(x)的最大值，证明f(x)的最大值小于0即可．【解答】由f(x)＝a ln x−a 2x −6x(x>0)，得f′(x)=−6x2+ax+a2x2．令f′(x)＝0，则x=a2或x=−a3．当a＝0时，f′(x)＝−6<0，∴f(x)在(0, +∞)上单调递减；当a>0时，a2>0，−a3<0，∴f(x)在(0,a2)上单调递增，在(a2,+∞)上单调递减；当a<0时，a2<0，−a3，∴f(x)在(0,−a3)上单调递增，在(−a3,+∞)上单调递减．证明：当a>0时，由（1）得f(x)在(0,a2)上单调递增，在(a2,+∞)上单调递减．∴当a2<2，即0<a<4时，f(x)在(0, 2]存在最大值，此时f(x)max=a2=a ln a2−5a=a(ln a2−5)．∵0<a<4，∴ln a2<ln2<ln e=1，∴a(ln a2−5)<0；当a2≥2，即a≥4时，f(x)在(0, 2]上单调递增，a∵ a ≥4，ln 2<ln e ＝1<a2，∴ a(ln 2−a2)<0，∴ a(ln 2−a2)<0， 综上，当x ∈(0, 2]时，f(x)<0恒成立．已知椭圆C:x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率e =√32，椭圆的左焦点为F 1，短轴的两个端点分别为B 1，B 2，且F 1B 1→⋅F 1B 2→=2． （1）求C 的标准方程；（2）若过左顶点A 作椭圆的两条弦AM ，AN ，月AM →⋅AN →=0，求证：直线MN 与x 轴的交点为定点． 【答案】设F 1(−c, 0)，B 1(0, b)，B 2(0, −b)，由题意e =ca =√32，① 由F 1B →⋅F 1B 2→=(c, b)⋅(c, −b)＝c 2−b 2＝2，② 又c 2＝a 2−b 2，③ 解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆的标准方程x 24+y 2=1；证明：由题可知，A(0, −2)，则直线AM ，AN 斜率存在且不为0，设直线AM 斜率为k ，则直线AN 斜率为−1k ，设直线AM 方程为y ＝k(x +2)，设M(x M , y M )与椭圆方程联立得{y =k(x +2)x 2+4y 2−4=0 ，得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4＝0，Z 则−2x M =16k 2−41+4k 2，则x M =2−8k 21+4k 2， 所以y M ＝k(x M +2)，得y M =4k1+4k 2得M(2−8k 21+4k 2, 4k 1+4k 2)，同理可得（将k 换成−1k ）得N(2k 2−8k 2+4, −4kk 2+4)， 则 k MN =4k 1+4k 2+4kk 2+42−8k 21+4k 2−2k 2−8k 2+4=20k 3+20k −(16k 4−16)=20k(k 2+1)−16(k 2+1)(k 2−1)=−5k4k 2−4，所以直线MN 的方程为y +4kk 2+4=−5k4k 2−4(x −2k 2−8k 2+4)，令y ＝0，则x =16(1−k 2)5(k 2+4)+2k 2−8k 2+4=−6k 2−245(k 2+4)=−65，所以，直线MN 与x 轴的交点为定点(−65, 0)． 【考点】直线与椭圆的位置关系 【解析】（1）根据椭圆的离心率公式根据向量的坐标运算，即可求得a 和b 的值，求得椭圆方程； （2）设直线AM 的方程，与椭圆方程联立，求得M 点坐标，同理求得N 点坐标，求得直线MN 的方程，即可判断直线MN 与x 轴的交点为定点． 【解答】设F 1(−c, 0)，B 1(0, b)，B 2(0, −b)，由题意e =ca =√32，① 由F 1B →⋅F 1B 2→=(c, b)⋅(c, −b)＝c 2−b 2＝2，② 又c 2＝a 2−b 2，③ 解得a 2＝4，b 2＝1，所以椭圆的标准方程x 24+y 2=1；证明：由题可知，A(0, −2)，则直线AM ，AN 斜率存在且不为0，设直线AM 斜率为k ，则直线AN 斜率为−1k ，设直线AM 方程为y ＝k(x +2)，设M(x M , y M )与椭圆方程联立得{y =k(x +2)x 2+4y 2−4=0 ，得(1+4k 2)x 2+16k 2x +16k 2−4＝0，Z 则−2x M =16k 2−41+4k2，则x M =2−8k 21+4k 2，所以y M ＝k(x M +2)，得y M =4k1+4k 2 得M(2−8k 21+4k, 4k 1+4k)，同理可得（将k 换成−1k）得N(2k 2−8k +4, −4kk +4)，则 k MN =4k 1+4k 2+4kk 2+42−8k 21+4k 2−2k 2−8k 2+4=20k 3+20k −(16k 4−16)=20k(k 2+1)−16(k 2+1)(k 2−1)=−5k4k 2−4，所以直线MN 的方程为y +4k k 2+4=−5k 4k 2−4(x −2k 2−8k 2+4)，令y ＝0，则x =16(1−k 2)5(k 2+4)+2k 2−8k 2+4=−6k 2−245(k 2+4)=−65，所以，直线MN 与x 轴的交点为定点(−65, 0)．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做第一题计分．作答时请用2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的倾斜角为π4，且过点M(5, a)，曲线C 的参数方程为{x =4cos θy =3sin θ（θ为参数）． （1）求曲线C 的直角坐标方程；（2）当曲线C 上的点到直线l 的最大距离为5√2时，求直线l 的直角坐标方程．曲线C 的参数方程为{x =4cos θy =3sin θ （θ为参数）．转换为直角坐标方程为x 216+y 29=1．直线l 的倾斜角为π4，且过点M(5, a)，整理得直线的方程为x −y +a −5＝0． 设曲线上点M(4cos θ, 3sin θ)则点M 到直线l 的距离d =2（其中tan φ=34），①当a −5>0时，d max =√2=5√2，解得a ＝10． ②当a −5<0时，d max =√2=√2=5√2解得a ＝0，故直线的方程为x −y +5＝0或x −y −5＝0．【考点】参数方程与普通方程的互化 【解析】（1）直接利用参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换求出结果．（2）利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果． 【解答】曲线C 的参数方程为{x =4cos θy =3sin θ （θ为参数）．转换为直角坐标方程为x 216+y 29=1．直线l 的倾斜角为π4，且过点M(5, a)，整理得直线的方程为x −y +a −5＝0．设曲线上点M(4cos θ, 3sin θ)则点M 到直线l 的距离d =√2（其中tan φ=34），①当a −5>0时，d max =√2=5√2，解得a ＝10． ②当a −5<0时，d max =√2=√2=5√2解得a ＝0，故直线的方程为x −y +5＝0或x −y −5＝0．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数f(x)＝|x +1|−|x −2| （1）求不等式f(x)<−1的解集；（2）若f(x)≤|a −1|的解集为实数集R ，求实数a 的取值范围． 【答案】f(x)＝|x +1|−|x −2|={−3,x <−12x −1,−1≤x ≤23,x >2 ．∵ f(x)<−1，∴ x <−1或{−1≤x ≤22x −1<−1 ，∴ x <−1或−1≤x <0，∴ x <0， ∴ 不等式的解集为{x|x <0}； 由（1）知，f(x)max ＝3．∵ f(x)≤|a −1|的解集为实数集R ， ∴ f(x)max ≤|a −1|，即|a −1|≥3，∴a的取值范围为(−∞, −2]∪[4, +∞)．【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】（1）将f(x)写为分段函数的形式，然后根据f(x)<−1，分别解不等式即可；（2）由（1）知f(x)max＝3，然后根据f(x)≤|a−1|的解集为实数集R，可得f(x)max≤|a−1|，再解关于a的不等式即可．【解答】f(x)＝|x+1|−|x−2|={−3,x<−12x−1,−1≤x≤23,x>2．∵f(x)<−1，∴x<−1或{−1≤x≤22x−1<−1，∴x<−1或−1≤x<0，∴x<0，∴不等式的解集为{x|x<0}；由（1）知，f(x)max＝3．∵f(x)≤|a−1|的解集为实数集R，∴f(x)max≤|a−1|，即|a−1|≥3，∴a≥4或a≤−2，∴a的取值范围为(−∞, −2]∪[4, +∞)．。
2019-2020年高三第三次联考数学(理)试题
绝密★启用前江西省重点中学协作体xx 届高三第三次联考2019-2020年高三第三次联考数学（理）试题南昌二中 赖敬华 鹰潭一中 黄鹤飞本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分，满分150分，时间120分钟第Ⅰ卷一.选择题(本大题10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1.巳知全集， 是虚数单位，集合（整数集） 和则集合 的元素个数是（ ）A ． ３个 Ｂ．２个 Ｃ．１个 2.下列说法正确的是( ) A ．函数在其定义域上是减函数B ．两个三角形全等是这两个三角形面积相等的必要条件C ．命题“R ，”的否定是 “R ，”D ．给定命题、，若是真命题，则是假命题3. 如图给出了一个程序框图，其作用是输入的值，输出相应的值,若要使输入的值与输出的值相等，则这样 的值有( )个.A ．1B ．2C ．3D ．44.如图，长方形的四个顶点为，曲线的概率是( )A ．B ．C ．D ． 5.函数的图象如图所示，其中,，是（ ）A ．对称轴方程是B ．C ．最小正周期是D ．在区间上单调递减6.现有8名青年，其中有5名能任英语翻译工作，4软件设计工作，现从中选5名，承担一项任务，其中3翻译工作，2人从事软件设计工作，则不同的选派方法有（ A ．60种 B ．54种 C ．30种 D ．42种7.若函数()'()()y f x R xf x f x =>-在上可导,且满足不等恒成立,满足则下列不等式一定成立的是（ ） A ． B ．C ．D ．8.若变量满足约束条件，，则取最小值时， 二项展开式中的常数项为（ ） A ． B ． C ． D ．9.一个几何体的俯视图是一个圆，用斜二侧画法画出正视图和俯视图都是边长为6和4,锐角为450的平行四边形，则该几何体的体积为 ( )A ．B ．C ．D ．以上答案均不正确10.已知椭圆的两个焦点F 1(－3，0)，F 2(3，0)，过F 1且与坐标轴不平行的直线l 1与椭圆相交于M ，N 两点，△MNF 2的周长等于8. 若过点(1,0)的直线l 与椭圆交于不同两点P 、Q ，x 轴上存在定点E (m,0)，使PE →·QE →恒为定值，则E 的坐标为 ( )A ．B ．C ．D ．第Ⅱ卷二.填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在答题卡的相应位置) 11．数列共有11项，.10,.3.2.1,1,4,01111 ==-==+k a a a a k k 且满足这样条件的不同数列的个数为 ；12.某大学对1000名学生的自主招生水平测试成绩进行统计，得到样本频率分布直方图如图所示，现规定不低于70分为合格，则合格人数13.设函数在处取得极值，则= ；14.如图放置的正方形ABCD,AB=1.A,D 分别在X 轴、y 轴的正半轴(含原点)上滑动，则的最大值是 ；15．（考生注意：请在下列两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A ．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，若等边三角形顶点按顺时针 方向排列的顶点的极坐标分别为，则顶点的极坐标为 ；B ．（不等式选讲选做题） 关于[](3)3 ,,-x k x m nn m ≥+的不等式的解集为若=3，则实数的值等于 .三.解答题（本大题共6小题，共75分。
红河州第一中学2020届高三年级第一次联考理科数学(第1次)
1. 已知集合 A N ， B x | x 2 1 ，则 A B
A. 0
B． 1
C． 0，1
D． 1，0，1
2. 设 Z 1 2i ，则 Z 的共轭复数是 1i
1 3i A.
2
1 3i B.
2
1 3i C．
2
D. 1 3i 2
3. (1 x)3 (1 x)2 展开式中的常数项为
A. 1
B． 2
C． 1
D． 2
4. 某算法程序框图如右所示，其输出的 S 为
A． 4 5
B． 1 5
C． 1 6
D． 5 6
பைடு நூலகம்
5. 如图，过 D1B 作平面 ，平面 与长方体 ABCD A1B1C1D1 的棱
AA1 ， CC1 分别交于点 E、F ，则四边形 D1EBF 的形状一定是
已知 f (x) 2x 1 2x 3 (a 0 ，b 0)
a
b
(1) 当 a 1 ，b 3 时，解关于 x 的不等式 f (x) 6 ；
(2) 若 a b 4 ，求 f (x) 的最小值.
理科数学试卷·第 4 页 （共 4 页）
B. 2 ，+
C. 1， 3
D. 3 ，+
9. 定义在 R 上的函数 f (x) 满足 f (x 2) f (x) ，且在 2 ，1 上是增函数，若 ， 是锐角三角形
的两个内角，则 A . f (sin ) f (cos ) B . f (sin ) f (sin )
4．选考题的作答：先把所选题目的题号在答题卡上的指定的位置用 2B 铅笔涂黑。答案写在答题卡上 对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
安徽省2019届高三皖南八校第一次联考数学理试卷附答案
绝密★启用前安徽省2019届高三皖南八校第一次联考数学（理）试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明一、单选题1．设集合，则A B＝A．B．C．D．2．设是虚数单位，且，则实数k＝A．2B．1C．0D．3．函数且是增函数的一个充分不必要条件是A．B．C．D．4．偶函数在上是增函数，且，则满足的实数的取值范围是A．(1,2)B．(-1,0)C．(0,1)D．(-1,1)5．如图在直角梯形ABCD中，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，，F为AE的中点，则A．B．C．D．6．若函数在区间（－a，a）上是单调函数，则实数a的取值范围是A．B．C．D．7．设不等式组，所表示的平面区城为M，若直线的图象经过区域M，则实数k的取值范围是A．B．C．D．8．设是等差数列，，且，则＝A．59B．64C．78D．869．函数的图象恒过定点A，若点A在直线上，且m＞0，n＞0，则3m＋n的最小值为A．13B．16C．D．2810．函数的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移2个单位长度，得到的图象则）图象的一条对称轴为直线A．B．C．D．11．已知函数是定义在上的单调函数，若对任意恒成立，则的值是A．5B．6C．7D．812．设函数在R上存在导数，对任意的，有，且时，．若，则实数a的取值范围为A．B．C．D．第II卷（非选择题）请点击修改第II卷的文字说明二、填空题13．已知是第二象限角，且，则14．用表示a、b两个数中的最小，设，则由函数的图象，x轴与直线x＝和直线x＝2所围成的封闭图形的面积为__________。
15．设函数的最大值为M，最小值为N，则M＋N=___。
16．已知高数的周期为4，且时，,，若方程恰有5个实数解（其中m＞0），则m的取值范围为_____________。
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三(上)9月月考数学试卷(理科)(含解析)
2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|y＝，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[0，1）D．（0，1）2．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件3．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M（x0，2）在抛物线C上，则|MF|＝（）A．2B．3C．4D．54．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．B．﹣1C．D．06．（5分）已知是函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（）A．φ＝B．f（x）在[0，]上单调递增C．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象D．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象7．（5分）若tan＝3，则＝（）A．B．C．﹣D．8．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当0＜x≤1时，f（x）＝﹣log2018x，则f（2018﹣）＝（）A．1B．﹣1C．0D．29．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．5C．D．610．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分別为F1，F2，点M，N为异于F1，F2的两点，且M，N的中点在双曲线C的左支上，点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，则|NA|﹣|NB|的值为（）A．26B．﹣26C．52D．﹣5211．（5分）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有（）A．360种B．210种C．60种D．30种12．（5分）已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+3）f（x）+xf′（x）＞0，则（）A．f（x）＞0B．f（x）＜0C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如果复数（a∈R）为实数，则a＝．14．（5分）若a＝，则）展开式的常数项为．15．（5分）已知m，n为正实数，则当＝时取得最小值．16．（5分）函数＝x3+2017x﹣2017﹣x+1．若f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R 恒成立，则t的取值范围是．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示、（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+2sin（x﹣）sin（x+），求函数g（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最小值．18．（12分）我市准备实施天然气价格阶梯制，现提前调査市民对天然气价格阶梯制的态度，随机抽查了50名市民，现将调査情况整理成了被调査者的频率分布直方图（图5）和赞成者的频数表如下：（Ⅰ）若从年龄在[15，25），[45，55）的被调查者中各随机选取2人进行调查，求所选取的4人中至少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调査者中各随机选取2人进行调査，记选取的4人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．19．（12分）如图6，梯形ABCD中，AB∥CD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且AD＝DC＝CB＝BF＝AB＝2．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BFED；（Ⅱ）若P为线段EF上一点，直线AD与平面P AB所成的角为θ，求θ的最大值．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，过点E（，0）的椭圆C1的两条切线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）在椭圆C1上是否存在这样的点P，过点P引抛物线C2：x2＝4y的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，且直线BC过点A（1，1）？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣aln（x+4）（a∈R）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若﹣1＜x2＜0，求证：f（x1）+9x2＞0．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C1的极坐标方程为＝0，曲线C2的参数方程为，（θ为参数）（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（Ⅱ）若动点P，Q分别在曲线C1与曲线C2上运动，求|PQ|的最大值．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝2|x+1|+|x+3|的最小值为m，且f（a）＝m．（Ⅰ）求m及a的值；（Ⅱ）若实数p，q，r满足p2+2q2+r2＝m，证明：q（p+r）≤2．2019-2020学年重庆市巴蜀中学高三（上）9月月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）已知集合A＝{x|≤0}，B＝{x|y＝，则A∩B＝（）A．[﹣1，1]B．[0，1]C．[0，1）D．（0，1）【分析】可以求出集合A，B，然后进行交集的运算即可．【解答】解：∵A＝{x|0≤x＜1}，B＝{x|1﹣x2≥0}＝{x|﹣1≤x≤1}，∴A∩B＝[0，1）．故选：C．【点评】考查描述法、区间的定义，分式不等式的解法，以及交集的运算．2．（5分）已知命题p，q，“￢p为假”是“p∨q为真”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】根据复合命题真假关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【解答】解：若￢p为假，则p为真，则p∨q为真，即充分性成立，当p假q真时，满足p∨q为真，但￢p为真，则必要性不成立，则“￢p为假”是“p∨q为真”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合复合命题真假关系是解决本题的关键．3．（5分）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点M（x0，2）在抛物线C上，则|MF|＝（）A．2B．3C．4D．5【分析】求得抛物线的焦点F和准线方程，代入M的坐标，解得x0，再由抛物线的定义可得所求值．【解答】解：抛物线C：y2＝4x的焦点为F（1，0），准线方程为x＝﹣1，M（x0，2）在抛物线C上，可得8＝4x0，即x0＝2，由抛物线的定义可得|MF|＝2+1＝3．故选：B．【点评】本题考查抛物线的定义和方程、性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．4．（5分）已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（）A．若m∥α，n∥α．则m∥n B．若m⊥α，n⊥α，则m∥nC．若m∥α，m∥β，则α∥βD．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β【分析】A根据线面平行的性质判断．B利用线面垂直的性质判断．C利用线面平行和面面平行的判定定理判断．D利用面面垂直的性质定理判断．【解答】解：A．平行于同一平面的两条直线不一定平行，可能相交，可能异面，∴A错误．B．垂直于同一平面的两条直线平行，∴B正确．C．平行于同一条直线的两个平面的不一定平行，可能相交，∴C错误．D．垂直于同一平面的两个平面不一定平行，可能相交，∴D错误．故选：B．【点评】本题主要考查空间直线和平面平行或垂直的位置关系的判断，要求熟练掌握相应的判定定理和性质定理．5．（5分）阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果是（）A．B．﹣1C．D．0【分析】题目给出了当型循环结构框图，首先引入累加变量s和循环变量n，由判断框得知，算法执行的是求的余弦值的和，n从1取到1009．【解答】解：通过分析知该算法是求和cos+cos+cos+cos+…+cos，在该和式中，从第一项起，每6项和为0，由于1009＝168×6+1，故cos+cos+cos+cos+…+cos＝168（cos+cos+cos+cos+…+cos）+cos＝．故选：C．【点评】本题考查了程序框图中的当型循环结构，当型循环结构是先判断再执行，若满足条件进入循环，否则结束循环，循环结构主要用在一些规律的重复计算，如累加、累积等，在循环结构中框图中，特别要注意条件应用，如计数变量和累加变量等．6．（5分）已知是函数f（x）＝2sin（2x+φ）（|φ|＜）图象的一条对称轴，则下列说法正确的是（）A．φ＝B．f（x）在[0，]上单调递增C．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象D．由f（x）的图象向左平移个单位可得到y＝2sin2x的图象【分析】求出f（x）的对称轴，将代入，根据φ的取值范围求得φ，进而得到函数解析式，根据正弦函数的性质作答；【解答】解：由题意得，2×+φ＝+kπ，φ＝﹣+kπ，∵∴φ＝﹣，A选项不正确；∴f（x）＝2sin（2x﹣），由﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ得函数的单调增区间为﹣+kπ≤x≤+kπ，B选项不正确；f（x）＝2sin2（x﹣），D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了三角函数图象性质及图象变换，属于基础题．7．（5分）若tan＝3，则＝（）A．B．C．﹣D．【分析】由已知利用两角和的正切函数公式可求tanα的值，利用三角函数恒等变换的应用化简所求即可计算得解．【解答】解：∵tan＝＝3，∴解得tanα＝，∴＝＝＝＝＝﹣．故选：A．【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用在三角函数化简求值中的综合应用，考查了转化思想，属于基础题．8．（5分）函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，且当0＜x≤1时，f（x）＝﹣log2018x，则f（2018﹣）＝（）A．1B．﹣1C．0D．2【分析】由已知可知，f（x）的图象关于原点对称，且关于x＝1对称，从而可知函数的周期T＝4，然后代入可求．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，f（x+1）是偶函数，∴f（x）的图象关于原点对称，且关于x＝1对称，∴函数的周期T＝4，∵当0＜x≤1时，f（x）＝﹣log2018x，则f（2018﹣）＝f（2﹣）＝f（）＝1，故选：A．【点评】本题主要考查了利用函数的性质求解函数值，解题的关键是灵活利用性质．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．B．5C．D．6【分析】由三视图可知几何体是由直三棱柱和四棱锥组合而成，由三视图求出几何元素的长度，由分割法、换底法，以及柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积，【解答】解：由三视图可知几何体是由直三棱柱ABD﹣AFG和四棱锥C﹣BDGF组合而成，直观图如图所示：直三棱柱的底面是一个直角三角形，两条直角边分别是1、2，高是2，∴几何体的体积V＝V三棱柱ABD﹣EFG+V四棱锥C﹣BDGF＝V三棱柱ABD﹣EFG+V三棱锥C﹣DFG+V三棱锥C﹣BDF＝V三棱柱ABD﹣EFG+V三棱锥F﹣CDG+V三棱锥F﹣BDC＝＝2+＝，故选：A．【点评】本题考查三视图求几何体的体积以及表面积，由三视图正确复原几何体是解题的关键，考查空间想象能力．10．（5分）已知双曲线C：的左、右焦点分別为F1，F2，点M，N为异于F1，F2的两点，且M，N的中点在双曲线C的左支上，点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，则|NA|﹣|NB|的值为（）A．26B．﹣26C．52D．﹣52【分析】根据中点的性质以及对称性，转化为三角形的中位线关系，结合双曲线的定义进行求解即可．【解答】解：设M，N的中点是P，∵点M关于F1和F2的对称点分别为A，B，∴F1是AM的中点，F2是BM的中点，则PF1是△MAN的中位线，PF2是△MBN的中位线，则|NA|＝2|PF1|，|NB|＝2|PF2|，则|NA|﹣|NB|＝2（|PF1|﹣|PF2|）＝﹣2×2a＝﹣4a，由双曲线的方程得a2＝169，得a＝13，即|NA|﹣|NB|＝﹣4a＝﹣4×13＝﹣52，故选：D．【点评】本题主要考查双曲线的定义的应用，结合三角形中位线的性质是解决本题的关键．注意数形结合．11．（5分）将某商场某区域的行走路线图抽象为一个2×2×3的长方体框架（如图），小红欲从A处行走至B处，则小红行走路程最近且任何两次向上行走都不连续的路线共有（）A．360种B．210种C．60种D．30种【分析】首先分析题意，将原题转化为“走3次向上，2次向右，2次向前且3次向上不连续的”排列组合问题，再由组合数得其数目．【解答】解：根据题意最近路线，那就是不走回头路，不走重复路线；所以一共要走3次向上，2次向右，2次向前，一共七次；因为不能连续向上，所以先把不向上的次数排列起来，也就是2次向右和2次向前全排列共；因为2次向右没有顺序，所以再除以；同理还需在除以接下来就是把3次向上插到4次不向上之间的空当中5个位置排3个元素共；则共有；故选：C．【点评】本题考查排列、组合的实际应用，解题的难点在于将原题转化为排列、组合问题，特别注意题干中“不连续向上攀登”的限制．12．（5分）已知f（x）是定义在R上的可导函数，且满足（x+3）f（x）+xf′（x）＞0，则（）A．f（x）＞0B．f（x）＜0C．f（x）为减函数D．f（x）为增函数【分析】根据题意，设g（x）＝x3e x f（x），对其求导分析可得函数g（x）在R上单调递增，而g（0）＝0，进而分情况讨论可得f（x）＞0，综合即可得答案．【解答】解：根据题意，设g（x）＝x3e x f（x），g′（x）＝x2e x[（x+3）f（x）+xf′（x）]，∵（x+1）f（x）+xf'（x）＞0，∴g′（x）＝x2e x[（x+1）f（x）+x′（x）]＞0，故函数g（x）在R上单调递增，而g（0）＝0，∴x＞0时，g（x）＝x3e x f（x）＞0⇒f（x）＞0；x＜0时，g（x）＝x3e x f（x）＜0⇒f（x）＞0；在（x+3）f（x）+xf'（x）＞0中取x＝0，得f（0）＞0．综上，f（x）＞0．故选：A．【点评】本题考查函数的导数与函数单调性的关系，关键是构造函数，并分析函数的单调性．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）如果复数（a∈R）为实数，则a＝﹣2．【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由虚部为0求得a值．【解答】解：∵＝为实数，∴2+a＝0，即a＝﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．14．（5分）若a＝，则）展开式的常数项为240．【分析】求定积分得到a的值，在二项展开式的通项公式中，令x的幂指数等于0，求出r的值，即可求得常数项．【解答】解：若a＝＝e x＝e ln3﹣e0＝2，则＝，它的展开式通项公式为T r+1＝•（﹣2）r•x12﹣3r，令12﹣3r＝0，求得r＝4，可得它的展开式的常数项为•16＝240，故答案为：240．【点评】本题主要考查求定积分，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，二项式系数的性质，属于中档题．15．（5分）已知m，n为正实数，则当＝1时取得最小值．【分析】根据条件可得＝，然后利用基本不等式求出的最小值，即可得到的值．【解答】解：∵m，n为正实数，∴＝≥＝5，当且仅当，即时取等号，∴当＝1时，取得最小值．故答案为：1．【点评】本题考查了基本不等式在求最值中的应用，考查了转化思想，属中档题．16．（5分）函数＝x3+2017x﹣2017﹣x+1．若f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R 恒成立，则t的取值范围是（，+∞）．【分析】由题意可得f（+x）+f（﹣x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R 恒成立可转化为，可令x＝cos2θ，则f（sin2θ）+f（sinθ+t）＞f（1+cos2θ）+f（1﹣cos2θ），可得f（sinθ+t）＞f（1+cos2θ）恒成立，可令x＝sinθ+cosθ﹣，则可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，再由f（x）的单调性和参数分离，转化为求最值，即可得到所求范围．【解答】解：f（x+）＝x3+2017x﹣2017﹣x+1，可得f（﹣x）＝﹣x+2017﹣x﹣2017x+1，则f（+x）+f（﹣x）＝2，f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2，即为f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2＝f（+x）+f（﹣x），f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜2对∀θ∈R恒成立，可令x＝sinθ+cosθ﹣，则f（sinθ+cosθ）+f（sin2θ﹣t）＜f（sinθ+cosθ）+f（1﹣sinθ﹣cosθ），可得f（sin2θ﹣t）＜f（1﹣sinθ﹣cosθ）恒成立，由于f（x+）在R上递增，f（x+）的图象向右平移个单位可得f（x）的图象，则f（x）在R上递增，可得sin2θ﹣t＜1﹣sinθ﹣cosθ恒成立，即有t＞sin2θ+sinθ+cosθ﹣1，设g（θ）＝sin2θ+sinθ+cosθ﹣1＝（sinθ+cosθ）2﹣（sinθ+cosθ）﹣2再令sinθ+cosθ＝m，则m＝sin（θ+），则﹣≤m≤，则g（m）＝m2﹣m﹣2，其对称轴m＝，故当m＝﹣时，g（m）取的最大值，最大值为2+﹣2＝．则t＞，故答案为：（，+∞）【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，以及函数的单调性和对称性，考查化简整理的运算能力，属于难题．三、解答题（共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（12分）函数f（x）＝A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，）的部分图象如图所示、（Ⅰ）求f（x）的解析式；（Ⅱ）设g（x）＝f（x）+2sin（x﹣）sin（x+），求函数g（x）的最小正周期及在区间[0，]上的最小值．【分析】（Ⅰ）先确定周期，再确定ω，代入最值点求得φ值．（Ⅱ）观察角度之间的关系，根据二倍角公式、辅助角公式化简g（x），求得周期，并用整体法求函数在区间的最值．【解答】解：（Ⅰ）由图象知：A＝1，T＝，∴ω＝＝2．又∵2×+φ＝+2kπ，∴φ＝+2kπ，又，∴φ＝，即函数解析式为f（x）＝sin（2x+）．（Ⅱ）g（x）＝sin（2x+）+2sin（x﹣）sin[（x﹣）+]＝sin（2x+）+2sin （x﹣）cos（x﹣）＝sin（2x+）+sin（2x﹣）＝sin2x+cos2x﹣sin2x﹣cos2x＝（sin2x﹣cos2x）＝sin（2x﹣）．∴g（x）的最小正周期为π，∵x∈[0，]，∴2x﹣∈[﹣，]，∴当2x﹣＝﹣，即x＝0时，g（x）的最小值为．【点评】本题考查根据函数图象求解析式，掌握二倍角公式，辅助角公式，属于基础题．18．（12分）我市准备实施天然气价格阶梯制，现提前调査市民对天然气价格阶梯制的态度，随机抽查了50名市民，现将调査情况整理成了被调査者的频率分布直方图（图5）和赞成者的频数表如下：（Ⅰ）若从年龄在[15，25），[45，55）的被调查者中各随机选取2人进行调查，求所选取的4人中至少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率；（Ⅱ）若从年龄在[15，25），[25，35）的被调査者中各随机选取2人进行调査，记选取的4人中对天然气价格实施阶梯制持不赞成态度的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．【分析】（Ⅰ）结合频率分布直方图与频数表可得各组的情况列表，利用对立事件概率计算公式有求出所选取的4人中到少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列和E （X）．【解答】解：（Ⅰ）结合频率分布直方图与频数表可得各组的情况如下表：∴所选取的4人中到少有2人对天然气价格阶梯制持赞成态度的概率为：P1＝1﹣＝．（Ⅱ）X的可能取值为0，1，2，3，P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝．P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，∴X的分布列为：E（X）＝＝．【点评】本题考查概率、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查对立事件概率计算公式、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．19．（12分）如图6，梯形ABCD中，AB∥CD，矩形BFED所在的平面与平面ABCD垂直，且AD＝DC＝CB＝BF＝AB＝2．（Ⅰ）求证：平面ADE⊥平面BFED；（Ⅱ）若P为线段EF上一点，直线AD与平面P AB所成的角为θ，求θ的最大值．【分析】（Ⅰ）取AB的中点G，连结DG，推导出四边形BCDG是平行四边形，AD⊥BD，AD⊥平面BFED，由此能证明平面ADE⊥平面BFED．（Ⅱ）由于BFED是矩形，BD⊥DE，由AD⊥平面BFED，以D为坐标原点，DA，DB，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出θ的最大值．【解答】解：（Ⅰ）如图，取AB的中点G，连结DG，则CD AB，∴CD DG，∴四边形BCDG是平行四边形，∴DG＝BC＝AB＝AG＝BG，∴AD⊥BD，又平面ABCD⊥平面BFED，且平面ABCD∩平面BFED＝BD，∴AD⊥平面BFED，又AD⊂平面ADE，∴平面ADE⊥平面BFED．（Ⅱ）解：由于BFED是矩形，∴BD⊥DE，由（Ⅰ）知AD⊥平面BFED，以D为坐标原点，DA，DB，DE为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，D（0，0，0），A（2，0，0），B（0，2，0），＝（2，0，0），设点P（0，t，2），＝（﹣2，2，0），＝（﹣2，t，2），平面P AB的法向量＝（x，y，z），∴，取y＝2，得平面P AB的一个法向量为＝（2，2，2﹣t），∴sinθ＝＝，当t＝2时，（sinθ）max＝，∴θmax＝．∴θ的最大值为．【点评】本题考查面面垂直的证明，考查线面角的最大值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．20．（12分）已知椭圆C1：（a＞b＞0）的离心率为，过点E（，0）的椭圆C1的两条切线相互垂直．（Ⅰ）求椭圆C1的方程；（Ⅱ）在椭圆C1上是否存在这样的点P，过点P引抛物线C2：x2＝4y的两条切线l1，l2，切点分别为B，C，且直线BC过点A（1，1）？若存在，指出这样的点P有几个（不必求出点的坐标）；若不存在，请说明理由．【分析】（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，求得NE的方程为y＝x﹣，由椭圆离心率把椭圆方程化为，联立直线方程与椭圆方程，利用判别式等于0求得c，则椭圆方程可求；（Ⅱ）设B（x1，y1），C（x2，y2），P（x0，y0），由抛物线方程利用导数求得抛物线C2：x2＝4y在点B处的切线l1，由点P（x0，y0）在切线l1上，得，同理，则点B，C的坐标都满足方程，可得直线BC的方程为，再由点A（1，1）在直线BC上，得，可得点P的轨迹方程为y＝，进一步得到直线y＝经过椭圆C1内一点（0，﹣1），可得直线y＝与椭圆C1有两个交点，则满足条件的P有两个．【解答】解：（Ⅰ）由椭圆的对称性，不妨设在x轴上方的切点为M，x轴下方的切点为N，则k NE＝1，NE的方程为y＝x﹣．∵椭圆C1的（a＞b＞0）的离心率为，即，则a＝2c，b＝，∴椭圆C1的方程：，联立，得．由△＝，得c＝1．∴椭圆C1的方程为；（Ⅱ）设B（x1，y1），C（x2，y2），P（x0，y0），由x2＝4y，得，y，∴抛物线C2：x2＝4y在点B处的切线l1为，即，∵，∴y＝．∵点P（x0，y0）在切线l1上，∴，①同理，②综合①②得，点B，C的坐标都满足方程．∵经过B，C两点的直线是唯一的，∴直线BC的方程为．∵点A（1，1）在直线BC上，∴，∴点P的轨迹方程为y＝．又∵点P在椭圆C1上，又在直线y＝上，∴直线y＝经过椭圆C1内一点（0，﹣1），∴直线y＝与椭圆C1有两个交点，∴满足条件的P有两个．【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线的综合，考查计算能力，属难题．21．（12分）已知函数f（x）＝x2﹣aln（x+4）（a∈R）存在两个极值点x1，x2，且x1＜x2．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）若﹣1＜x2＜0，求证：f（x1）+9x2＞0．【分析】（Ⅰ）f（x）存在两个极值点x1，x2，关于x的方程2x﹣＝0，即x2+8x﹣a ＝0在（﹣4，+∞）内有两个不等实根，进而解出答案．（Ⅱ）由（Ⅰ）知⇒，＝＝，只需确定它的最大值就可证明．【解答】解：由题意：f′（x）＝2x﹣（x＞﹣4），∵f（x）存在两个极值点x1，x2，∴关于x的方程2x﹣＝0，即x2+8x﹣a＝0在（﹣4，+∞）内有两个不等实根，令s（x）＝2x2+8x（x＞﹣4），t（x）＝a，则s（x）与t（x）的图象有两个不同的交点，结合图象可得a∈（﹣8，0），（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）知⇒，＝，＝，令g（x）＝x++8﹣2（x+2）ln（﹣x）（﹣1＜x＜0），g′（x）＝1﹣﹣2ln（﹣x）﹣2（x+4）＝﹣﹣﹣1﹣2ln（﹣x），令F（x）＝g′（x）＝﹣﹣﹣1﹣2ln（﹣x），（﹣1＜x＜0），则F′（x）＝+﹣＝＜0，∴F（x）在（﹣1，0）单调递减，从而F（x）＜F（﹣1）＝﹣9＜0，即g′（x）＜0，∴g（x）在（﹣1，0）单调递减，从而g（x）＜g（﹣1）＝﹣9，即，又x2∈（﹣1，0），∴f（x1）＞﹣9x2，故f（x1）+9x2＞0．【点评】本题考查导数的综合应用，属于中档题．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．若曲线C1的极坐标方程为＝0，曲线C2的参数方程为，（θ为参数）（Ⅰ）求曲线C1的直角坐标方程和曲线C2的普通方程；（Ⅱ）若动点P，Q分别在曲线C1与曲线C2上运动，求|PQ|的最大值．【分析】（Ⅰ）首先利用转换关系式，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．（Ⅱ）利用参数方程点的坐标公式，利用两点间的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换及函数的性质的应用求出函数的最大值．【解答】解：（Ⅰ）曲线C1的极坐标方程为＝0，转换为直角坐标方程为．圆心坐标为（0，2），r＝．曲线C2的参数方程为，（θ为参数）转换为直角坐标方程为．（Ⅱ）根据曲线C2的参数方程为，（θ为参数）设点Q（2cosθ，sinθ），则点Q与圆心的距离d＝＝＝，当时，，所以|PQ|的最大值为．【点评】本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，两点间的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．[选修4-5：不等式选讲]23．设函数f（x）＝2|x+1|+|x+3|的最小值为m，且f（a）＝m．（Ⅰ）求m及a的值；（Ⅱ）若实数p，q，r满足p2+2q2+r2＝m，证明：q（p+r）≤2．【分析】（1）利用绝对值不等式的性质可得m＝4，然后解方程可得a＝﹣1．（2）结合（1）的结论，原不等式即p2+2q2+r2＝4，利用不等式的性质和均值不等式的结论即可证得题中的结论．【解答】解：（1）∵f（x）＝2|x+1|+|x+3|≥|x+1|+|x﹣3|≥|（x+1）﹣（x﹣3）|＝4，当且仅当，即x＝﹣1时，f（x）min＝4，∴m＝4，a＝﹣1．（2）证明：由（1）知：p2+2q2+r2＝4，∵p2+q2≥2pq，q2+r2≥2qr，∴p2+2q2+r2≥2pq+2qr＝2q（p+r），即2q（p+r）≤4，∴q（p+r）≤2．【点评】本题考查了绝对值不等式的应用以及均值不等式的应用，属于中档题．。
2019-2020年高三数学总复习 集合的概念和表示方法教案 理
2019-2020年高三数学总复习集合的概念和表示方法教案理教材分析集合概念的基本理论，称为集合论．它是近、现代数学的一个重要基础．一方面，许多重要的数学分支，如数理逻辑、近世代数、实变函数、泛函分析、概率统计、拓扑等，都建立在集合理论的基础上．另一方面，集合论及其反映的数学思想，在越来越广泛的领域中得到应用．在小学和初中数学中，学生已经接触过集合，对于诸如数集（整数的集合、有理数的集合）、点集（直线、圆）等，有了一定的感性认识．这节内容是初中有关内容的深化和延伸．首先通过实例引出集合与集合元素的概念，然后通过实例加深对集合与集合元素的理解，最后介绍了集合的常用表示方法，包括列举法，描述法，还给出了画图表示集合的例子．本节的重点是集合的基本概念与表示方法，难点是运用集合的两种常用表示方法———列举法与描述法正确表示一些简单的集合．教学目标1. 初步理解集合的概念，了解有限集、无限集、空集的意义，知道常用数集及其记法．2. 初步了解“属于”关系的意义，理解集合中元素的性质．3. 掌握集合的表示法，通过把文字语言转化为符号语言（集合语言），培养学生的理解、化归、表达和处理问题的能力．任务分析这节内容学生已在小学、初中有了一定的了解，这里主要根据实例引出概念．介绍集合的概念采用由具体到抽象，再由抽象到具体的思维方法，学生容易接受．在引出概念时，从实例入手，由具体到抽象，由浅入深，便于学生理解，紧接着再通过实例理解概念．集合的表示方法也是通过实例加以说明，化难为易，便于学生掌握．教学设计一、问题情境1. 在初中，我们学过哪些集合？2. 在初中，我们用集合描述过什么？学生讨论得出：在初中代数里学习数的分类时，学过“正数的集合”，“负数的集合”；在学习一元一次不等式时，说它的所有解为不等式的解集．在初中几何里学习圆时，说圆是到定点的距离等于定长的点的集合．几何图形都可以看成点的集合．3. “集合”一词与我们日常生活中的哪些词语的意义相近？学生讨论得出：“全体”、“一类”、“一群”、“所有”、“整体”，……4. 请写出“小于10”的所有自然数．0，1，2，3，4，5，6，7，8，9．这些可以构成一个集合．5. 什么是集合？二、建立模型1. 集合的概念（先具体举例，然后进行描述性定义）（1）某种指定的对象集在一起就成为一个集合，简称集．（2）集合中的每个对象叫作这个集合的元素．（3）集合中的元素与集合的关系：a是集合A中的元素，称a属于集合A，记作a∈A；a不是集合A中的元素，称a不属于集合A，记作aA．例：设B＝｛1，2，3｝，则1∈B，4B．2. 集合中的元素具备的性质（1）确定性：集合中的元素是确定的，即给定一个集合，任何一个对象是否属于这个集合的元素也就确定了．如上例，给出集合B，4不是集合的元素是可以确定的．（2）互异性：集合中的元素是互异的，即集合中的元素是没有重复的．例：若集合A＝｛a，b｝，则a与b是不同的两个元素．（3）无序性：集合中的元素无顺序．例：集合｛1，2｝与集合｛2，1｝表示同一集合．3. 常用的数集及其记法全体非负整数的集合简称非负整数集（或自然数集），记作N．非负整数集内排除0的集合简称正整数集，记作N*或N+；全体整数的集合简称整数集，记作Z；全体有理数的集合简称有理数集，记作Q；全体实数的集合简称实数集，记作R．4. 集合的表示方法［问题］如何表示方程x2－3x＋2＝0的所有解？（1）列举法列举法是把集合中的元素一一列举出来的方法．例：x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛1，2｝．（2）描述法描述法是用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法．例：①x2－3x＋2＝0的解集可表示为｛x｜x2－3x＋2＝0｝．②不等式x－3＞2的解集可表示为｛x｜x－3＞2｝．③Venn图法例：x2－3x＋2＝0的解集可以表示为（1，2）．5. 集合的分类（1）有限集：含有有限个元素的集合．例如，A＝｛1，2｝．（2）无限集：含有无限个元素的集合．例如，N．（3）空集：不含任何元素的集合，记作．例如，｛x｜x2＋1＝0，x∈R｝＝．注：对于无限集，不宜采用列举法．三、解释应用［例题］1. 用适当的方法表示下列集合．（1）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数．（2）平面内到一个定点O的距离等于定长l（l＞0）的所有点P．（3）在平面a内，线段AB的垂直平分线．（4）不等式2x－8＜2的解集．2. 用不同的方法表示下列集合．（1）｛2，4，6，8｝．（2）｛x｜x2＋x－1＝0｝．（3）｛x∈N｜3＜x＜7｝．3. 已知A＝｛x∈N｜66－x∈N｝．试用列举法表示集合A．（A＝｛0，3，5｝）4. 用描述法表示在平面直角坐标中第一象限内的点的坐标的集合．［练习］1. 用适当的方法表示下列集合．（1）构成英语单词mathematics（数字）的全体字母．（2）在自然集内，小于1000的奇数构成的集合．（3）矩形构成的集合．2. 用描述法表示下列集合．（1）｛3，9，27，81，…｝．（2）四、拓展延伸把下列集合“翻译”成数学文字语言来叙述．（1）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（2）｛y｜y＝x2＋1，x∈R｝．（3）｛（x，y）｜y＝x2＋1，x∈R｝．（4）｛x｜y＝x2＋1，y∈N*｝．点评这篇案例注重新、旧知识的联系与过渡，以旧引新，从学生的原有知识、经验出发，创设问题情境；从实例引出集合的概念，再结合实例让学生进一步理解集合的概念，掌握集合的表示方法．非常注重实例的使用是这篇案例的突出特点．这样做，通俗易懂，使学生便于学习和掌握．例题、练习由浅入深，对培养学生的理解能力、表达能力、思维能力大有裨益．拓展延伸注重数学语言的转化和训练，注重区分形似而质异的数学问题，加强了学生对数学概念的理解和认识．2019-2020年高三数学总复习频率与概率教案理教材分析频率与概率是两个不同的概念，但是二者又有密切的联系．如何从二者的异同点中抽象出概率的定义是本案例的主要内容．本节课蕴涵了具体与抽象之间的辩证关系．讲授过程中对教材处理稍有不当，可能直接影响学生对本节重点（即概念的理解）的掌握程度．因此，如何设计合适的实例，怎样引导学生理解和总结是处理好本节的关键，也是处理好本节教材的难点．教学目标通过本节课教学，使学生能理清频率和概率的关系，并能正确理解概率的意义，增强学生的对立与统一的辩证思想意识．任务分析由于频率在大量重复试验的前提下可以近似地叫作这个事件的概率，因此本节课应从具有大量重复试验的实例入手．为加深学生的理解程度，可采用学生亲自参与到试验中去，从操作中去体会，去总结．概率可看作频率理论上的期望值，从数量上反映了随机事件发生的可能性大小．因此，为巩固学生总结出的知识，最后还要回归到实例中去，让学生去运用，以符合认知过程．教学设计一、问题情境在日常生活中，我们经常遇到某某事件发生的概率是多少，如xx年2月5日《文汇报》登载的两则消息．本报讯记者梁红英报道：2月3日晚6点19分，一彩民购买的“江浙沪大乐透”彩票，同时投中10注一等奖，独揽48571620元巨额奖金，创下中国彩票史上个人一次性奖额之最．……据有关人士介绍，该彩民当时花了200元买下100注“江浙沪大乐透”彩票，分成10组，每组10注，每组的自选号码相同．结果，其中1组所选号码与前晚“江浙沪大乐透”xx015期开奖号码完全一致．本报讯记者江世亮报道：……对这种似乎不可能发生事件的发生，从数学概率论上将作何解释？为此，记者于昨日午夜电话连线采访了本市一位数学建模专家，他说，以他现在不完全掌握的情况来分析，像这名幸运者同时获得10个大奖的概率，可称得上一次万亿分之一的事件，通俗地讲就是接近于零．对文中的“万亿分之一”我们怎样理解呢？再如：天气预报说“明天降雨的概率是80%，我们明天出门要不要带伞？收音机里广播报道xx年冬某地“流行性感冒的发病率为10%”，我们这里要不要采取预防措施？……对这些在传播媒体上出现的数字80%，10%等，我们该作何理解呢？二、建立模型为了解决诸如以上的实际问题，我们不妨先从熟悉的频率的概念入手．首先，将全班同学平均分成三组，第一组做掷硬币试验，次数越多越好，观察掷出正面向上的次数，然后把试验结果和计算结果分别填入下表．表28-1第二组做抓阄试验．写五个阄，即分别标号为1，2，3，4，5，有放回地抓，每次记录下号数，次数越多越好．不妨统计一下各号数所占频率．第三组做摸围棋子试验．预先准备黑、白围棋子若干，然后给该组学生黑子30粒，白子10粒，让该组学生有放回地摸，次数为100次，每次摸出1粒，并记录下每次摸到的棋子的颜色，求出白子出现的频率．试验结束，让各组学生回答试验结果．第一组正面向上的频率必然接近，第二组结果肯定是每个号出现的频率接近，而第三组结果肯定位于附近．各组学生所得结果可能大于预定数，也可能小于预定数，但都比较接近．让学生讨论：出现与上述结果比较接近的数字受何因素影响？（学生思考，讨论，教师投影以下表格）历史上有些学者还做了成千上万次掷硬币的试验，结果如下表所示：表28-2观察上表后，引导学生总结：在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一个数值附近摆动，而且随着试验次数的增加，一般摆动幅度的越小，而且观察到的大偏差也越少，频率呈现一定的稳定性．通过三组试验，我们可以发现：虽然，，三个数值不等，但是三个试验存在共性，即随机事件的频率随试验次数的增加稳定在某一数值附近．同时还可看出，不同的随机事件对应的数值可能不同．我们就用这一数值表示事件发生的可能性大小，即概率．（引出概率定义）定义可采用学生口述、教师补充的方式，然后可以投影此定义：一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，总是在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆度幅度越来越小，这时就把这个常数叫作事件A的概率，记为P（A）．学生可考虑如下问题：（1）概率P（A）的取值范围是什么？（2）必然事件、不可能性事件的概率各是多少？（3）频率和概率有何关系？其中重点是问题（3），应启发、引导学生总结出：在大量重复试验的前提下，频率可以近似地称为这个事件的概率，而概率可看作频率在理论上的期望值，它从数量上反映了随机事件发生的可能性大小．为加深对二者关系的理解，可以进行如下类比：给定一根木棒，谁都不怀疑它有“客观”的长度，长度是多少？我们可以用尺或仪器去测量，不论尺或仪器多么精确，测得的数值总是稳定在木棒真实的“长度”值的附近．事实上，人们也是把测量所得的值当作真实的“长度”值．这里测量值就像本节中的频率，“客观”长度就像概率．概率的这种定义叫作概率的统计定义．在实践中，经常采用这种方法求事件的概率．三、解释应用［例题］1. 把第三组试验中的黑棋子减少10粒，即20粒黑子，10粒白子，那么摸到黑子的概率约为多少？学生通过多次试验，可以发现此概率约为.2. 为确定某类种子的发芽率，从一批种子中抽出若干批做发芽试验，其结果如下：表28-3从以上的数据可以看出，这类种子的发芽率约为0.9．［练习］某射击手在同一条件下进行射击，结果如下：表28-4（1）计算表中击中靶心的各个频率．（表中各频率分别为0.8，0.95，0.88，0.92，0.89，0.91）（2）这个射手射击一次，击中靶心的概率约是多少？（由此（1）可知，这个射手射击一次，击中靶心的概率约是0.9）四、拓展延伸“某彩票的中奖概率为”是否意味着买1000张彩票就一定能中奖？从概率的统计定义出发，我们先来考虑此题的简化情形：在投掷一枚均匀硬币的随机试验中，正面出现的概率是，这是否意味着投掷2次硬币就会出现1次正面呢？根据经验，我们投掷2次硬币有可能1次正面也不出现，即出现2次反面的情形，但是在大量重复掷硬币的试验中，如掷10000次硬币，则出现正面的次数约为5000次．买1000张彩票相当于做1000次试验，结果可能是一次奖也没中，或者中一次奖，或者多次中奖．所以“彩票中奖概率为”并不意味着买1000张彩票就一定能中奖．只有当所买彩票的数量n非常大时，才可以将大量重复买彩票这个试验看成中奖的次数约为（比如说买1000000张彩票，则中奖的次数约为1000），并且n越大，中奖次数越接近于.由此我们可以说，对于小概率事件，从理论上来讲，发生的可能性很小，甚至在一定条件下可能不会发生．但是，实际上小概率事件仍有发生的可能，如本节开头提到的万亿分之一的概率事件就发生了．点评针对这节课以概念为主，而又抽象的特点，案例设计了以学生动手试验为主，引导学生体会概念的教学方法，同时对这节中较抽象的内容：频率和概率的关系做了形象的类比，以便学生理解．这篇案例增加了试验内容，其目的是更有力地帮助学生理解定义．另外，例题与练习的配备有利于学生加深对这节内容的理解．因此，这节课的整体设计符合学生对新知识认识的规律，符合新课程标准的精神．。
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高三(上)9月月考数学试卷(理科)
2019-2020学年黑龙江省哈师大附中高三（上）9月月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1. 设全集U ＝R ，集合A ＝{x|1og 2x ≤2}，B ＝{x|(x −3)(x +1)≥0}，则(∁U B)∩A ＝（ ）A.(−∞, −1]B.(−∞, −1]∪(0, 3)C.[0, 3)D.(0, 3) 【答案】 D【考点】交、并、补集的混合运算 【解析】根据题意，先求出集合A ，B ，进而求出B 的补集，进而根据交集的定义，可得答案． 【解答】∵ 集合A ＝{x|1og 2x ≤2}＝(0, 4]，B ＝{x|(x −3)(x +1)≥0}＝(−∞, −1]∪[3, +∞)， ∴ ∁U B ＝(−1, 3)， ∴ (∁U B)∩A ＝(0, 3)，2. 设a →,b →是非零向量，则a →=2b →是a→|a →|=b→|b →|成立的（ ）A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件【答案】 B【考点】充分条件、必要条件、充要条件 【解析】由已知a →=2b →，得a →,b →共线同向，则a→|a →|=b→|b →|；反之，由a→|a →|=b→|b →|，可得a →,b →共线同向，不一定有a →=2b →，结合充分必要条件的判定得答案． 【解答】对于非零向量a →,b →，由a →=2b →，得a →,b →共线同向，则a→|a →|=b →|b →|；反之，由a →|a →|=b→|b →|，可得a →,b →共线同向，但不一定是a →=2b →．∴ a →=2b →是a →|a →|=b→|b →|成立的充分不必要条件．3. 已知a >0，b >0，a +b =2，则y =1a +4b 的最小值是( )A.a >b >cB.a >c >bC.c >a >bD.c >b >a【答案】 D【考点】对数值大小的比较 【解析】容易得出(13)23<(12)23<1,log 3π>1，从而得出a ，b ，c 的大小关系． 【解答】解：(13)23<(12)23<(12)0=1,log 3π>log 33＝1；∴ c >b >a ． 故选D .4. 已知AB →=(2, 3)，AC →=(3, t)，|BC →|＝1，则AB →⋅BC →=( ) A.−3 B.−2 C.2 D.3【答案】 C【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由BC →=AC →−AB →先求出BC →的坐标，然后根据|BC →|＝1，可求t ，结合向量数量积定义的坐标表示即可求解． 【解答】∵ AB →=(2, 3)，AC →=(3, t)， ∴ BC →=AC →−AB →=(1, t −3)， ∵ |BC →|＝1，∴ t −3＝0即BC →=(1, 0)， 则AB →⋅BC →=25. 已知函数y ＝lg (x +√x 2+a 2)是定义在R 上的奇函数，且函数g(x)=x 2+a x在(0, +∞)上单调递增，则实数a 的值为（ ） A.−1 B.−2 C.1 D.2【答案】 A【考点】奇偶性与单调性的综合 【解析】根据题意，由偶函数的定义可得lg (x +√x 2+a 2)+lg (−x +√x 2+a 2)＝lg [(x 2+a 2)−x 2]＝lg a 2＝0，解可得a 的值，验证g(x)的单调性即可得答案． 【解答】根据题意，函数y ＝lg (x +√x 2+a 2)是定义在R 上的奇函数，则有lg (x +√x 2+a 2)+lg (−x +√x 2+a 2)＝lg [(x 2+a 2)−x 2]＝lg a 2＝0， 解可得：a ＝±1， 当a ＝1时，g(x)=x 2+1x，在(0, +∞)上不是增函数，不符合题意； 当a ＝−1时，g(x)=x 2+1x=x −1x ，在(0, +∞)上单调递增，符合题意；6. 在△ABC 中，D 为BC 中点，O 为AD 中点，过O 作一直线分别交AB 、AC 于M 、N 两点，若AM →=xAB →,AN →=yAC →(xy ≠0)，则1x +1y =( ) A.3B.2C.4D.14【答案】 C【考点】平面向量的基本定理 【解析】由平面向量基本定理可得：AD →=2λxAB →+2(1−λ)yAC →，又AD →=12AB →+12AC →，即1x =4λ，1y=4(1−λ)，所以1x+1y=4，得解．【解答】因为M ，O ，N 三点共线， 所以AO →=λAM →+(1−λ)AN →， 又AM →=xAB →,AN →=yAC →(xy ≠0)， 所以AO →=λxAB →+(1−λ)yAC →， 又AO →=12AD →，所以AD →=2λxAB →+2(1−λ)yAC →， 又AD →=12AB →+12AC →， 由平面向量基本定理可得： 1x=4λ，1y =4(1−λ)，所以1x +1y =4，7. 函数f(x)＝sin (ωx +φ)(|φ|<π2)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 3x 的图象，只需将f(x)的图象（ ）A.向右平移π4个单位长度 B.向左平移π4个单位长度 C.向右平移π12个单位长度D.向左平移π12个单位长度【答案】 C【考点】函数y=Asin （ωx+φ）的图象变换 【解析】根据图象求出ω 和φ的值，结合三角函数的图象变换关系，进行判断即可． 【解答】由图象知函数的周期T ＝4(5π12−π4)＝4×2π12=2π3，即2πω=2π3，得ω＝3，则f(x)＝sin (3x +φ)， 由f(5π12)＝sin (3×5π12+φ)＝−1，得sin (5π4+φ)＝−1， 即5π4+φ＝2kπ+3π2，得φ＝2kπ+π4，k ∈Z ， ∵ |φ|<π2，∴ 当k ＝0时，φ=π4， 即f(x)＝sin (3x +π4)＝sin 3(x +π12)，为了得到g(x)＝sin 3x 的图象，只需将f(x)的图象向右平移π12个单位长度，得到y ＝sin 3(x −π12+π12)＝sin 3x ，8. 若非零向量a →，b →满足|a →|＝|b →|，向量2a →+b →与b →垂直，则a →与b →的夹角为（ ）A.150∘B.120∘C.60∘D.30∘【答案】 B【考点】数量积表示两个向量的夹角 【解析】利用(2a →+b →)⊥b →⇔(2a →+b →)⋅b →=0，及其数量积运算即可得出． 【解答】设a →与b →的夹角为θ．∵ (2a →+b →)⊥b →，|a →|=|b →|≠0，∴ (2a →+b →)⋅b →=2a →⋅b →+b →2=2|a →||b →|cos θ+|b →|2=|b →|2(2cos θ+1)＝0，∴ cos θ=−12，又θ∈[0∘, 180∘]，∴ θ＝120∘．9. 设A ，B ，C 是半径为1的圆上三点，若AB =√3，则AB →⋅AC →的最大值为（ ） A.3+√3 B.32+√3C.3D.√3【答案】 B【考点】平面向量数量积的性质及其运算 数量积表示两个向量的夹角 【解析】先根据余弦定义可求出AB 边所对的圆心角，从而得到角C ，然后根据数量积公式将AB →⋅AC →转化成角B 的三角函数，从而可求出最值． 【解答】∵ A ，B ，C 是半径为1的圆上三点，AB =√3，∴ 根据余弦定理可知AB 边所对的圆心角为120∘则∠C ＝60∘ 根据正弦定理可知AC ＝2sin B∴ AB →⋅AC →=√3×2sin B cos (120∘−B)＝2√3sin B(−12cos B +√32sin B) =−√3sin B cos B +3sin 2B =−√32sin 2B +32(1−cos 2B) =32−√3sin (2B +60∘) 当B ＝60∘时AB →⋅AC →取最大值为32+√310. 已知函数f(x)=ln x4−x ，则（ ）A.y＝f(x)的图象关于点(2, 0)对称B.y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称C.f(x)在(0, 4)上单调递减D.f(x)在(0, 2)上单调递减，在(2, 4)上单调递增【答案】A【考点】奇偶函数图象的对称性【解析】观察函数的特点，求出定义域，在定义域内根据选项代入特殊值判断函数的对称性和单调区间，再进一步证明．【解答】x 4−x >0，则函数定义域为(0, 4)，f(1)＝ln13，f(3)＝ln3，即f(3)＝−f(1)，有关于点(2, 0)对称的可能，进而推测f(x+2)为奇函数，关于原点对称，f(x+2)＝ln x+22−x，定义域为(−2, 2)，奇函数且单调递增，∴f(x)为f(x+2)向右平移两个单位得到，则函数在(0, 4)单调递增，关于点(2, 0)对称，故选：A．11. 已知函数f(x)=a sin x−√3cos x图象的一条对称轴为直线x=5π6，且f(x1)f(x2)=−4，则|x1+x2|的最小值为()A.−π3B.0 C.π3D.2π3【答案】D【考点】三角函数的恒等变换及化简求值【解析】首先通过三角函数的恒等变换把函数关系式变性成正弦型函数，进一步利用对称轴确定函数的解析式，再利用正弦型函数的最值确定结果．【解答】解：函数f(x)=a sin x−√3cos x=√a2+3sin(x+θ)的图象的一条对称轴为直线x=5π6，∴f(5π6)=a2+32=±√a2+3，解得a=1．则f(x)=sin x−√3cos x=2sin(x−π3)，∵f(x1)f(x2)=−4，则f(x1)和f(x2)一个为−2，另一个为2，可设x1=2kπ−π6，x2=2kπ+5π6，则|x1+x2|=|4kπ+2π3|，k∈Z．故当k=0时，|x1+x2|取得最小值为2π3．故选D .12. 设f(x)是定义在R 上的偶函数，∀x ∈R ，都有f(2−x)＝f(2+x)，且当x ∈[0, 2]时，f(x)＝2x −2，若函数g(x)＝f(x)−log a (x +1)(a >0, a ≠1)在区间(−1, 9]内恰有三个不同零点，则实数a 的取值范围是（ ） A.(0, 19)∪(√7, +∞)B.(19,1)∪(1, √3)C.(19, 15)∪(√3, √7) D.(17, 13)∪(√5, 3)【答案】 C【考点】函数奇偶性的性质与判断 【解析】由f(x)是定义在R 上的偶函数，且f(2+x)＝f(2−x)，推出函数f(x)是以4为最小正周期的函数，结合题意画出在区间(−1, 9)内函数f(x)和y ＝log a (x +1)的图象，注意对a 讨论，分a >1，0<a <1，结合图象即可得到a 的取值范围． 【解答】∵ f(x)是定义在R 上的偶函数， ∴ f(2+x)＝f(2−x)＝f(x −2)， 即f(x +4)＝f(x) ∴ f(x +4)＝f(x)，则函数f(x)是以4为最小正周期的函数， ∵ 当x ∈[0, 2]时，f(x)＝2x −2， f(x)是定义在R 上的偶函数，∴ 当x ∈[−2, 0]时，f(x)＝f(−x)＝2−x −1， 结合题意画出函数f(x)在x ∈(−1, 9]上的图象 与函数y ＝log a (x +1)的图象，①若0<a <1，要使f(x)与y ＝log a (x +1)的图象，恰有3个交点， 则{f(4)<g(4)f(8)>g(8) ， 即{−1<log a 5−1>log a 9 ， 解得{a <15a >19即a ∈(19, 15)，②若a >1，要使f(x)与y ＝log a (x +1)的图象，恰有3个交点， 则{f(2)>g(2)f(6)<g(6) ， 即{2>log a 32<log a 7 解得{a >√3a <√7，即a ∈(√3, √7)，综上a 的取值范围是(19, 15)∪(√3, √7)二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．将答案填在答题卡相应的位置上）已知a →=(3,4)，b →=(t,−6)，且a →，b →共线，则向量a →在b →方向上的投影为________． 【答案】 −5【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】由向量共线及向量数量积的运算得：a →=(3,4)，b →=(t,−6)，且a →，b →共线，所以3×(−6)＝4t ，解得t =−92，则向量a →在b →方向上的投影为|a →|cos θ=a →⋅b →|b →|=3×(−92)+4×(−6)√(−2)+(−6)=−5，得解．【解答】因为a →=(3,4)，b →=(t,−6)，且a →，b →共线， 所以3×(−6)＝4t ， 解得t =−92，则向量a →在b →方向上的投影为|a →|cos θ=a →⋅b →|b →|=3×(−92)+4×(−6)√(−92)+(−6)=−5，已知α∈(0, π)且cos (α−π6)=35．则cos α＝________．【答案】【考点】两角和与差的三角函数 【解析】由题意利用同角三角函数的基本关系求得sin (α−π6) 的值，再利用两角和的余弦公式求得cos α＝cos [(α−π6)+π6]的值． 【解答】已知α∈(0, π)且cos (α−π6)=35，∴ α−π6为锐角，故sin (α−π6)=√1−cos 2(α−π6)=45，则cos α＝cos [(α−π6)+π6]＝cos (α−π6)cos π6−sin (α−π6)sin π6=35⋅√32−45⋅12=3√3−410，如图，已知正方形ABCD 的边长为3，且AE →=2EC →，连接BE 交CD 于F ，则(CA →+2BF →)⋅(13CA →−4BF →)=________【答案】 −69【考点】平面向量数量积的性质及其运算 【解析】建立坐标系，利用向量的坐标运算以及数量积转化求解即可． 【解答】以B 为坐标原点，建立坐标系如图，正方形ABCD 的边长为3，且AE →=2EC →，连接BE 交CD 于F ，则A(0, 3)，C(3, 0)，D(3, 3)，则E(2, 1)，F(3, 32)，则(CA →+2BF →)=(−3, 3)+2(3, 32) ＝(3, 6)．13CA →−4BF →=13(−3,3)−4(3,32)=(−13, −5)．则(CA →+2BF →)⋅(13CA →−4BF →)=(3, 6)⋅(−13, −5)＝−69．已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边为a ，b ，c ，且a cos C +c cos A ＝b sin B ，A =π6，若点D 是△ABC 外一点，DC ＝2，DA ＝3，则当四边形ABCD 面积最大时，sin D ＝________2√77．【答案】2√77．【考点】 正弦定理 【解析】由已知以及正弦定理可知sin A cos C +sin C cos A ＝sin 2B ，化简可得sin B ＝sin 2B ，结合B 的范围可求B =π2，设BC ＝x ，x >0，可求AC =BC sin A=2x ，AB =BC tan A=√3x ，S △ABC =√32x 2，在△ADC 中，由余弦定理可得x 2=134−3cos D ，利用三角形面积公式，三角函数恒等变换的应用可求S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD =3√72sin (D −θ)+13√38，其中tan θ=√32，θ∈(0,π2)，由sin (D −θ)＝1，D ∈(0, π)，θ∈(0,π2)，tan θ=√32，可求cos θ，进而根据同角三角函数基本关系式可求sin D 的值． 【解答】由a cos C +c cos A ＝b sin B 以及正弦定理可知，sin A cos C +sin C cos A ＝sin 2B ， 即sin (A +C)＝sin B ＝sin 2B ． 由于：0<B <π，sin B ≠0， 可得：sin B ＝1，B =π2．△ABC 中，由于∠CAB =π6，设BC ＝x ，x >0，则AC =BCsin A =2x ，AB =BCtan A =√3x ，则S △ABC =12AB ⋅BC =√32x 2， 在△ADC 中，由余弦定理可得：AC 2＝AD 2+CD 2−2AD ⋅CD ⋅cos D ， 由于AD ＝3，DC ＝2，则：AC 2＝4x 2＝13−12cos D ，可得：x 2=134−3cos D ，则S △ABC =12AB ⋅BC =√32x 2=13√38−3√32cos D ， 而S △ACD =12AD ⋅CD ⋅sin D ＝3sin D ， 则S 四边形ABCD ＝S △ABC +S △ACD ＝3sin D −3√32cos D +13√38=3√72(2√77sin D −√217cos D)+13√38=3√72sin (D −θ)+13√38，其中tan θ=√32，θ∈(0,π2)，则当sin (D −θ)＝1时，四边形ABCD 的面积有最大值(3√72+13√38)， 由于D ∈(0, π)，θ∈(0,π2)， 则此时D −θ=π2，故D =π2+θ， 则sin D ＝sin (π2+θ)＝cos θ，由于tan θ=√32，θ∈(0,π2)， 则cos θ=√22+(√3)2=2√77． 故四边形ABCD 面积最大时，sin D =2√77． 三、解答题（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）已知函数y ＝f(x)与函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)图象关于y ＝x 对称 (Ⅰ)若当x ∈[0, 2]时，函数f(3−ax)恒有意义，求实数a 的取值范围； (Ⅱ)当a ＝2时，求函数g(x)=f(√x)⋅f(2x)最小值． 【答案】（本大题满分1（1）函数y ＝f(x)与函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)图象关于y ＝x 对称， 可得f(x)＝log a x ，当x ∈[0, 2]时，函数f(3−ax)恒有意义，可得{3−ax >00≤x ≤2，a >0，且a ≠1，可得a <3x ，3x ≥32，所以0<a <1,1<a <32∴ 实数a 的取值范围{a|0<a <1,1<a <32}．(II)f(x)＝log a x ，g(x)＝f(√x)⋅f(2x)=12(1+log 2x)log 2x ， 令log 2x ＝t ，t ∈R ，则y =12t(t +1)=12(t +12)2−18≥−18， 当t =−12时，即x =√22时函数取得最小值． 所以，函数g(x)=f(√x)⋅f(2x)最小值：−18．【考点】函数与方程的综合运用 【解析】(Ⅰ)求出函数f(x)的表达式，通过当x ∈[0, 2]时，函数f(3−ax)恒有意义，列出不等式即可求实数a 的取值范围；(Ⅱ)当a ＝2时，求化简函数g(x)=f(√x)⋅f(2x)的表达式，利用换元法，结合二次函数的性质求解函数的最小值． 【解答】（本大题满分1（1）函数y ＝f(x)与函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)图象关于y ＝x 对称， 可得f(x)＝log a x ，当x ∈[0, 2]时，函数f(3−ax)恒有意义，可得{3−ax >00≤x ≤2，a >0，且a ≠1，可得a <3x ，3x ≥32，所以0<a <1,1<a <32∴ 实数a 的取值范围{a|0<a <1,1<a <32}．(II)f(x)＝log a x ，g(x)＝f(√x)⋅f(2x)=12(1+log 2x)log 2x ，令log 2x ＝t ，t ∈R ，则y =12t(t +1)=12(t +12)2−18≥−18，当t =−12时，即x =√22时函数取得最小值． 所以，函数g(x)=f(√x)⋅f(2x)最小值：−18．已知△ABC 内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，面积为S ，且c 2−a 2−b 2=4√33S ． (Ⅰ)若c 2＝5a 2+ab ，求sin Bsin A ；(Ⅱ)若c=√21，S=√3，求a+b的值．【答案】（1）∵c2−a2−b2=4√33S，∴2ab cos C+4√33×12ab sin C＝0，可得cos C+√33sin C＝0，∴tan C=−√3，∵C∈(0, π)，∴C=2π3，∴由余弦定理可得：c2＝a2+b2+ab，又∵c2＝5a2+ab，可得：b2＝4a2，即b＝2a，∴由正弦定理可得：sin Bsin A =ba=2．(II)∵C=2π3，c=√21，∴由余弦定理可得21＝a2+b2+ab，又∵S=√3=12ab sin C=√34ab，∴解得ab＝4，∴21＝a2+b2+ab＝(a+b)2−ab＝(a+b)2−4，∴a+b＝5．【考点】余弦定理【解析】(Ⅰ)由三角形的面积公式，余弦定理，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得tan C=−√3，结合范围C∈(0, π)，可求C=2π3，由余弦定理，正弦定理即可解得sin Bsin A的值．(II)由已知利用余弦定理，三角形的面积公式即可解得a+b的值．【解答】（1）∵c2−a2−b2=4√33S，∴2ab cos C+4√33×12ab sin C＝0，可得cos C+√33sin C＝0，∴tan C=−√3，∵C∈(0, π)，∴C=2π3，∴由余弦定理可得：c2＝a2+b2+ab，又∵c2＝5a2+ab，可得：b2＝4a2，即b＝2a，∴由正弦定理可得：sin Bsin A =ba=2．(II)∵C=2π3，c=√21，∴由余弦定理可得21＝a2+b2+ab，又∵S=√3=12ab sin C=√34ab，∴解得ab＝4，∴21＝a2+b2+ab＝(a+b)2−ab＝(a+b)2−4，∴a+b＝5．已知函数f(x)=2cos x(√3sin x+cos x)．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期和对称中心坐标；(Ⅱ)讨论f(x)在区间[0,π2]上的单调性．【答案】（1）f(x)=2cos x(√3sin x+cos x)=√3sin2x+2cos2x=√3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1．∴T=2π2=π，由2x+π6=kπ，得x=−π12+kπ2，k∈Z．∴f(x)的对称中心为(−π12+kπ2, 1)，k∈Z；（2）由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z．解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z．由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z．解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z．取k＝0，可得f(x)在区间[0,π2]上的增区间为[0, π6]，减区间为(π6, π2]．【考点】三角函数的周期性及其求法正弦函数的单调性【解析】(Ⅰ)利用倍角公式降幂，再由辅助角公式化积，由周期公式直接求得周期，由2x+π6= kπ求得x值，可得对称中心坐标；(Ⅱ)直接利用复合函数的单调性求f(x)在区间[0,π2]上的单调区间．【解答】（1）f(x)=2cos x(√3sin x+cos x)=√3sin2x+2cos2x=√3sin2x+cos2x+1=2sin(2x+π6)+1．∴T=2π2=π，由2x+π6=kπ，得x=−π12+kπ2，k∈Z．∴f(x)的对称中心为(−π12+kπ2, 1)，k∈Z；（2）由−π2+2kπ≤2x+π6≤π2+2kπ，k∈Z．解得−π3+kπ≤x≤π6+kπ，k∈Z．由π2+2kπ≤2x+π6≤3π2+2kπ，k∈Z．解得π6+kπ≤x≤2π3+kπ，k∈Z．取k＝0，可得f(x)在区间[0,π2]上的增区间为[0, π6]，减区间为(π6, π2]．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知a sin A+C2=b sin A．(1)求B；(2)若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．【答案】解：(1)由题设及正弦定理得，sin A sin A+C2=sin B sin A,因为sin A≠0，所以sin A+C2=sin B,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘；(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=c sin Asin C =sin(120∘−C)sin C=√32tan C+12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘，0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32，因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √32).【考点】二倍角的正弦公式诱导公式三角形的面积公式解三角形正弦定理【解析】（1）运用三角函数的诱导公式和二倍角公式，以及正弦定理，计算可得所求角；（2）运用余弦定理可得b，由三角形ABC为锐角三角形，可得a2+a2−a+1>1且1+a2−a+1>a2，求得a的范围，由三角形的面积公式，可得所求范围．【解答】解：(1)由题设及正弦定理得，sin A sin A+C2=sin B sin A,因为sin A≠0，所以sin A+C2=sin B,由A+B+C=180∘，可得sin A+C2=cos B2,故cos B2=2sin B2cos B2，因为cos B2≠0，故sin B2=12，因此B=60∘；(2)由题设及(1)知△ABC的面积S△ABC=√34a，由正弦定理得，a=c sin Asin C =sin(120∘−C)sin C=√32tan C+12，由于△ABC为锐角三角形，故0∘<A<90∘，0∘<C<90∘，由(1)知A+C=120∘,所以30∘<C<90∘，故12<a<2，从而√38<S△ABC<√32，因此，△ABC的面积的取值范围是(√38, √32).已知函数f(x)＝x−2sin x．(1)求函数f(x)在[−π3,π3]上的最值；(2)若存在x∈(0,π2)，使得不等式f(x)<ax成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)解：∵f(x)＝x−2sin x⇒f′(x)＝1−2cos x≤0，∴f(x)在[−π3,π3]上单调递减.当x=−π3时，最大值为f(−π3)=√3−π3；当x=π3时，最小值为f(π3)=−√3+π3.(2)解：令g(x)＝2sin x−(1−a)x，∴g′(x)＝2cos x−(1−a).①a≤−1时，g′(x)<0，g(x)在(0,π2)递减，g(x)<g(0)＝0，不成立；②a≥1时，g′(x)>0，g(x)在(0, π2)递增，g(x)>g(0)＝0，恒成立；③−1<a<1时，存在x0∈(0,π2),g(x0)=0，在(0, x0)递增，(x0,π2)递减，g(x)>g(0)＝0，恒成立.综上可得，实数a的取值范围为(−1, +∞)．【考点】利用导数研究函数的最值【解析】(Ⅰ)求出导函数，得出极值点，根据极值点求出闭区间的函数的最值；(Ⅱ)不等式整理得出2sin x−(1−a)x>0，构造新函数，根据导函数进行分类讨论，即最大值大于0即可．【解答】（1）∵f(x)＝x−2sin x⇒f′(x)＝1−2cos x≤0，∴f(x)在[−π3,π3]上单调递减，当x=−π3时，最大值为f(−π3)=√3−π3；当x=π3时，最小值为f(π3)=−√3+π3；（2）解：令g(x)＝2sin x−(1−a)x，∴g′(x)＝2cos x−(1−a).①a≤−1时，g′(x)<0，g(x)在(0,π2)递减，g(x)<g(0)＝0，不成立；②a≥1时，g′(x)>0，g(x)在(0, π2)递增，g(x)>g(0)＝0，恒成立；③−1<a<1时，存在x0∈(0,π2),g(x0)=0，在(0, x0)递增，(x0,π2)递减，g(x)>g(0)＝0，恒成立.综上可得，实数a的取值范围为(−1, +∞)．已知函数f(x)＝x ln x，g(x)＝a(x−1)．(Ⅰ)若f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的值；(Ⅱ)存在x1，x2∈(0, +∞)，且x1≠x2，f(x1)＝f(x2)，求证：f′(√x1⋅x2)<0．【答案】（1）f(x)≥g(x)即x ln x≥a(x−1)⇔ln x+ax−a≥0；令ℎ(x)=ln x +ax −a ，则ℎ(x)=x−a x，①当a ≤0时，ℎ′(x)>0且ℎ(1)＝0，则x ∈(0, 1)时，ℎ(x)<0，不符合题意，舍去． ②当a >0时，ℎ′(x)＝0，x ＝a ，且ℎ(x)在(0, a)上单调递减，在(a, +∞)上单调递增， 所以，ℎ(x)在x ＝a 处取极小值也是最小值，即ℎ(x)min ＝ℎ(a)＝ln a +a −1， 令F(x)=ln x +x −1,F ′(x)=1−x x，可得F(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减；所以F(x)max ＝F(1)＝0，故F(x)≤0，当x ＝1时取等号，所以a ＝1． (II)因为f′(x)＝1+ln x ，所以f(x)(0,1e),(1e ,+∞)，且f(1)＝0，因为f(x 1)＝f(x 2)，所以0<x 1<1e <x 2<1 令f(x 1)＝f(x 2)＝k ，即x 1ln x 1＝k ，x 2ln x 2＝k ， 所以x 2x 1=ln x 1ln x 2 (∗)要证f ′(√x 1⋅x 2)<0成立，只需证：x 1⋅x 2<1e 2⇔ln x 1+ln x 2<−2 由(∗)可知：即证lnx 2x 1>2x 2x 1−1x 2x 1+1令x2x 1=t ，即证：ln t >2t−1t+1(t >1)令ℎ(t)=ln t −2t−1t+1(t >1)，则ℎ(t)=(t−1)2t(t+1)>0所以，ℎ(t)>ℎ(1)＝0，即有ln t >2t−1t+1(t >1)所以，ln x 1+ln x 2<−2 所以，f ′(√x 1⋅x 2)<0． 【考点】利用导数研究函数的最值 【解析】（1）构造新函数ℎ(x)＝f(x)−g(x)，则条件等价于求ℎ(x)取最小值时a 的值；（2）先求出f(x)的导数，然后将结论变形为ln x 1+ln x 2<−2，再利用转化思想，解决问题 【解答】（1）f(x)≥g(x)即x ln x ≥a(x −1)⇔ln x +ax −a ≥0； 令ℎ(x)=ln x +ax −a ，则ℎ(x)=x−a x，①当a ≤0时，ℎ′(x)>0且ℎ(1)＝0，则x ∈(0, 1)时，ℎ(x)<0，不符合题意，舍去． ②当a >0时，ℎ′(x)＝0，x ＝a ，且ℎ(x)在(0, a)上单调递减，在(a, +∞)上单调递增， 所以，ℎ(x)在x ＝a 处取极小值也是最小值，即ℎ(x)min ＝ℎ(a)＝ln a +a −1， 令F(x)=ln x +x −1,F ′(x)=1−x x，可得F(x)在(0, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递减；所以F(x)max ＝F(1)＝0，故F(x)≤0，当x ＝1时取等号，所以a ＝1．(II)因为f′(x)＝1+ln x ，所以f(x)(0,1e),(1e ,+∞)，且f(1)＝0，因为f(x 1)＝f(x 2)，所以0<x 1<1e <x 2<1 令f(x 1)＝f(x 2)＝k ，即x 1ln x 1＝k ，x 2ln x 2＝k ， 所以 x 2x 1=ln x1ln x 2 (∗)要证f ′(√x 1⋅x 2)<0成立，只需证：x 1⋅x 2<1e 2⇔ln x 1+ln x 2<−2 由(∗)可知：即证ln x 2x 1>2x 2x 1−1x 2x 1+1令x 2x 1=t ，即证：ln t >2t−1t+1(t >1)令ℎ(t)=ln t −2t−1t+1(t >1)，则ℎ(t)=(t−1)2t(t+1)>0所以，ℎ(t)>ℎ(1)＝0，即有ln t >2t−1t+1(t >1)所以，ln x 1+ln x 2<−2 所以，f ′(√x 1⋅x 2)<0．。
江西省临川一中2019-2020年上学期第一次联合考试高三数学理科试题(无答案)
2019－2020届临川一中上学期第一次联合考试高三数学试题（理）命题人：曾冬平 唐梦静 审题人：张文军一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．若21i z i-=+，则=⋅z z （ ） A.－2 B. 2 C. 52 D. －522．设集合{}{}2|2|3A x x a B x x a =>=<-，，若B A ⋂为空集，则实数a 的取值范围为（ ） A. (12)， B.(2)(1∞⋃+-∞，，） C. [12]， D. (1][2∞⋃+-∞，，） 3． 设a ，b ∈R ，则“(a －b )a 2＞0”是“a ＞b ”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 4．若函数x ax x f ln )(-=的图象上存在与直线042=-+y x 垂直的切线，则实数a 的取值范围是（ ）A.(),2-+∞B.),21(+∞ C.(),21-+∞ D.),2(+∞5．若00x y ><，，则下列不等式一定成立的是（ ）A. 222x y x ->B. 1222(1)x y log x ->+C. x y x +>-122D. x y x ->-122 6． 17世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割.如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿.” 黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为36°的等腰三角形（另一种是顶角为108°的等腰三角形). 例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金△ABC中，BC AC 根据这些信息，可得= 216cos （ ）A. 48+-B. 14-C. 38+-D.14- 7．若函数⎩⎨⎧>-≤+=1),1(log 1,22)(2x x x x f x ，在(]a -∞，上的最大值为4，则a 的取值范围为（ ）A. (]17,1B. (]9,1C.[]17,1D. []9,18．将编号为1，2，3，4，5，6的六个小球放入编号为1，2，3，4，5，6的六个盒子中，每个盒子放一个小球，若有且只有三个盒子的编号与放入的小球编号相同，则不同的放法总数是( )A.40B.60C.80D.1009．执行如图所示的程序框图，若输出的结果是7，则判断框内m 的取值范围是( )A ．(30，42]B ．(30，42)C ．(42，56]D ．(42，56)10．已知F 1，F 2为椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a ＞b ＞0)的两个焦点，B 为椭圆短轴的一个端点， BF 1―→·BF 2―→≥14F 1F 2―→2，则椭圆的离心率的取值范围为( ) A.⎝⎛⎦⎤0，12 B.⎝⎛⎭⎫0，22 C.⎝⎛⎦⎤0，33 D.⎝⎛⎭⎫12，111．设曲线y ＝cos x 与x 轴、y 轴、直线x ＝π6围成的封闭图形的面积为b ，若g (x )＝2ln x －2bx 2－kx 在[1，＋∞]上的单调递减，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[0，＋∞)B ．(0，＋∞)C ．[1，＋∞)D ． (1，＋∞)12．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足221=+a a ，321+=+n n S a ，用][x 表示不超过x 的最大整数，设][n n a b =，数列{}n b 的前n 2项和为n T 2，则使20192>n T 成立的最小正整数n 是（ ）A.5B.6C.7D.8二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 13．921⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x 展开式中的常数项为 14．设n S 是公差不为0的等差数列{}n a 的前n 项和，且172a a -=，则=+7911a S S . 15．如图所示是一几何体的三视图，正视图是一等腰直角三角形，且斜边BD 长为2，侧视图是一直角三角形，俯视图为一直角梯形，且1AB BC ==，则异面直线PB 与CD 所成角的正切值是16．已知双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左、右焦点分别为21F F ，，点A 是双曲线左支上的一点，若直线1AF 与直线x ab y =平行且21F AF △的周长为a 9，则双曲线的离心率为 .三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17－21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分.17．△ABC 的内角A 、B 、C 所对的边长分别为a 、b 、c ，已知a cos B ＝(4c －b )cos A ．（1）求cos A 的值；（2）若b ＝4，点M 在线段BC 上，AB →＋AC →＝2AM →，|AM →|＝10，求△ABC 的面积．18．如图，在三棱锥P -ABC 中，平面PAB ⊥平面ABC ，AB ＝6，BC ＝23，AC ＝26，D ，E 分别为线段AB ，BC 上的点，且AD ＝2DB ，CE ＝2EB ，PD ⊥AC ．(1)求证：PD ⊥平面ABC ；(2)若直线PA 与平面ABC 所成的角为45°，求平面PAC 与平面PDE 所成的锐二面角大小．19．已知椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的离心率23，一个长轴顶点在直线2+=x y 上，若直线l 与椭圆交于Q P ，两点，O为坐标原点，直线OP的斜率为1k，直线OQ的斜率为2k．（1）求该椭圆的方程.（2）若k1·k2＝－14，试问OPQ△的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请理说明由．20．抚州不仅有着深厚的历史积淀与丰富的民俗文化，更有着许多旅游景点．每年来抚州参观旅游的人数不胜数．其中，名人园与梦岛被称为抚州的两张名片，为合理配置旅游资源，现对已游览名人园景点的游客进行随机问卷调查．若不去梦岛记1分，若继续去梦岛记2分．每位游客去梦岛的概率均为23，且游客之间的选择意愿相互独立．（1）从游客中随机抽取3人,记总得分为随机变量X，求X的分布列与数学期望；（2）若从游客中随机抽取m人，记总分恰为m分的概率为A m，求数列{A m}的前6项和；（3）在对所有游客进行随机问卷调查的过程中，记已调查过的累计得分恰为n分的概率为B n，探讨B n与B n-1之间的关系，并求数列{B n}的通项公式．21. 已知函数2211()21)((2)42f x x lnx ax lnx x =----. （1）讨论f (x )的单调性.（2）试问是否存在(]a e ∈-∞，，使得1()3sin 44a f x π>+，对1)[x ∈+∞，恒成立？若存在，求a 的取值范围；若不存在，请说明理由.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.22．[选修4—4：坐标系与参数方程] (10分) 在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为⎩⎨⎧==ααsin cos y x （[0,2),απα∈为参数），在同一平面直角坐标系中，经过伸缩变换'2'x x y y=⎧⎨=⎩，得到曲线1C ，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系（ρ为极径，θ为极角）．（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程和曲线C 1的极坐标方程；（Ⅱ）若射线():0OA θβρ=>与曲线C 1交于点A ，射线():02OB πθβρ=+>与曲线C 1交于点B ，求2211OAOB +的值．23．[选修4—5：不等式选讲] (10分) 已知函数21()|||1|(0)a f x x x a a+=-+->，g()4|1|x x =-+．（Ⅰ）当1a =时，求不等式5)(≥x f 的解集； （Ⅱ）若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集包含[]1,2，求a 的取值集合．。
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析
2019-2020年高考数学总复习专题9.1直线方程和圆的方程试题含解析 【三年高考】 1．【xx 江苏高考，10】在平面直角坐标系中，以点为圆心且与直线)(012R m m y mx ∈=---相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为【答案】【考点定位】直线与圆位置关系2．【xx 江苏，理9】在平面直角坐标系中，直线被圆截得的弦长为 .【答案】【解析】圆的圆心为，半径为，点到直线的距离为2222(1)33512d +⨯--==+，所求弦长为22925522455l r d =-=-=． 【考点】直线与圆相交的弦长问题．3．【xx 江苏，理12】在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的方程为x 2＋y 2－8x ＋15＝0，若直线y ＝kx －2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是__________．【答案】4. 【xx 高考新课标2理数改编】圆的圆心到直线的距离为1，则a ＝ ．【答案】【解析】试题分析：圆的方程可化为，所以圆心坐标为，由点到直线的距离公式得：考点：圆的方程、点到直线的距离公式.【名师点睛】直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d与半径长r的大小关系来判断．若d>r，则直线与圆相离；若d＝r，则直线与圆相切；若d<r，则直线与圆相交．(2)代数法：联立直线与圆的方程，消元后得到关于x(或y)的一元二次方程，根据一元二次方程的解的个数(也就是方程组解的个数)来判断．如果Δ<0，方程无实数解，从而方程组也无实数解，那么直线与圆相离；如果Δ＝0，方程有唯一实数解，从而方程组也有唯一一组实数解，那么直线与圆相切；如果Δ>0，方程有两个不同的实数解，从而方程组也有两组不同的实数解，那么直线与圆相交．提醒：直线与圆的位置关系的判断多用几何法．5. 【xx高考新课标3理数】已知直线：与圆交于两点，过分别做的垂线与轴交于两点，若，则__________________.【答案】4考点：直线与圆的位置关系．【技巧点拨】解决直线与圆的综合问题时，一方面，要注意运用解析几何的基本思想方法(即几何问题代数化)，把它转化为代数问题；另一方面，由于直线与圆和平面几何联系得非常紧密，因此，准确地作出图形，并充分挖掘几何图形中所隐含的条件，利用几何知识使问题较为简捷地得到解决．6．【xx高考山东文数改编】已知圆M：截直线所得线段的长度是，则圆M与圆N：的位置关系是．【答案】相交【解析】由（）得（），所以圆的圆心为，半径为，因为圆截直线所得线段的长度是，所以=MN ==，，因为，所以圆与圆相交． 考点：1.直线与圆的位置关系；2.圆与圆的位置关系.【名师点睛】本题主要考查直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系问题，是高考常考知识内容.本题综合性较强，具有“无图考图”的显著特点，解答此类问题，注重“圆的特征直角三角形”是关键，本题能较好的考查考生分析问题解决问题的能力、基本计算能力等.7.【xx 高考北京文数改编】圆的圆心到直线的距离为 ．【答案】【解析】试题分析：圆心坐标为，由点到直线的距离公式可知．考点：直线与圆的位置关系【名师点睛】点到直线(即)的距离公式记忆容易，对于知求，很方便.8．【xx 高考上海文科】已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则的距离________.【答案】 【解析】试题分析：利用两平行线间距离公式得d 5=== 考点：两平行线间距离公式.【名师点睛】确定两平行线间距离，关键是注意应用公式的条件，即的系数应该分别相同，本题较为容易，主要考查考生的基本运算能力.9．【xx 高考浙江文数】已知，方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆，则圆心坐标是_____，半径是______.【答案】；5．【解析】试题分析：由题意，，时方程为，即，圆心为，半径为5，时方程为224448100x y x y ++++=，不表示圆．考点：圆的标准方程.【易错点睛】由方程222(2)4850a x a y x y a +++++=表示圆可得的方程，解得的值，一定要注意检验的值是否符合题意，否则很容易出现错误．10.【xx 高考天津文数】已知圆C 的圆心在x 轴的正半轴上，点在圆C 上，且圆心到直线 的距离为，则圆C 的方程为__________.【答案】【解析】 试题分析：设，则2|2|452,25355a a r =⇒==+=，故圆C 的方程为 考点：直线与圆位置关系【名师点睛】求圆的方程有两种方法：(1)代数法：即用“待定系数法”求圆的方程．①若已知条件与圆的圆心和半径有关，则设圆的标准方程，列出关于a ，b ，r 的方程组求解．②若已知条件没有明确给出圆的圆心或半径，则选择圆的一般方程，列出关于D ，E ，F 的方程组求解．(2)几何法：通过研究圆的性质，直线和圆的关系等求出圆心、半径，进而写出圆的标准方程．11．【xx 高考新课标2，理7】过三点，，的圆交y 轴于M ，N 两点，则________.【答案】412.【xx 高考陕西，理15】设曲线在点（0,1）处的切线与曲线上点处的切线垂直，则的坐标为 ．【答案】【解析】因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，设的坐标为（），则，因为，所以，所以曲线在点处的切线的斜率，因为，所以，即，解得，因为，所以，所以，即的坐标是，所以答案应填：．13.【xx 高考湖北，理14】如图，圆与轴相切于点，与轴正半轴交于两点（在的上方）， 且．（Ⅰ）圆的标准．．方程为 ； （Ⅱ）过点任作一条直线与圆相交于两点，下列三个结论：①； ②； ③．其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）①②③【解析】（Ⅰ）依题意，设（为圆的半径），因为，所以，所以圆心，故圆的标准方程为.（Ⅱ）联立方程组，解得或，因为在的上方，所以，，令直线的方程为，此时，，所以，，，，因为，，所以. 所以2221(21)22222NBMANA MB -==-=-+，222121222222NBMANA MB +=+=+=-+14．【xx 陕西高考理第12题】若圆的半径为1，其圆心与点关于直线对称，则圆的标准方程为_______.【答案】【解析】因为圆心与点关于直线对称，所以圆心坐标为.所以圆的标准方程为：,故答案为.【xx 年高考命题预测】纵观近几年各地高考试题，对直线方程和圆的方程这部分的考查，主要考查直线的方程、圆的方程，从题型来看，高考中一般以选择题和填空的形式考查，难度较低，部分省份会在解答题中，这部分内容作为一问，和作为进一步研究其他问题的基础出现，难度较高，虽然全国各地对这部分内容的教材不同，故对这部分内容的侧重点不同，但从直线方程和圆的方程的基础知识，解析几何的基本思想的考查角度来说，有共同之处，恰当地关注图形的几何特征，提高解题效率．对直线方程的考查．一般会和倾斜角、斜率、直线方向向量或者其他知识结合．平面内两条直线的位置关系的考查，属于简单题，主要以两条直线平行、垂直为主，以小题的形式出现．对圆的方程的考查，在高考中应一般在选择题、填空题中出现，关注确定圆的条件．预测xx年对这一部分考查不会有太大变化．【xx年高考考点定位】高考对直线的方程和圆的方程的考查有二种主要形式：一是考查直线的方程；二是考查平面内两条直线的位置关系；三是考查圆的方程．【考点1】直线的方程【备考知识梳理】1、直线的倾斜角和斜率(1)直线的的斜率为k，倾斜角为α，它们的关系为：k＝tanα；(2)若Ａ（x1,y1），Ｂ（x２,y２），则．2.直线的方程a.点斜式：；b.斜截式：；c.两点式：；d.截距式：；e.一般式：，其中A、B不同时为0.【规律方法技巧】1. 斜率的定义是，其中是切斜角，故可结合正切函数的图象研究切斜角的范围与斜率的取值范围以及斜率的变化趋势．2. 直线的方向向量也是体现直线倾斜程度的量，若是直线的方向向量，则（）．3.平行或者垂直的两条直线之间的斜率关系要倍加注意.3.直线的五种直线方程，应注意每个方程的适用范围，解答完后应检验不适合直线方程的情形是否也满足已知条件．【考点针对训练】1.已知直线过直线和的交点，且与直线垂直，则直线的方程为________【答案】【解析】由题意得：直线可设为，又过直线和的交点，所以直线的方程为2.过点引直线，使点，到它的距离相等，则这条直线的方程为．【答案】【解析】显然直符合题意，此直线过线段的中点，又，时方程为，化简为，因此所求直线方程为或．【考点2】两条直线的位置关系【备考知识梳理】（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2 k 1=k 2；②l 1l 2 k 1k 2=－1；③（2）若0:,0:22221111=++=++C y B x A l C y B x A l 当时，平行或重合，代入检验；当时，相交；当时，．【规律方法技巧】1．与已知直线垂直及平行的直线系的设法与直线22(00)Ax By C A B ≠＋＋＝＋垂直和平行的直线方程可设为：(1)垂直：；(2)平行：.2．转化思想在对称问题中的应用对称问题一般是将线与线的对称转化为点与点的对称，利用坐标转移法．【考点针对训练】1.若直线l 1：x ＋2y －4＝0与l 2：mx ＋(2－m )y －3＝0平行，则实数m 的值为 ．【答案】【解析】由题意得：2.已知直线，直线()()2:2220l m x m y -+++=，且，则的值为____.【答案】-1或-2【解析】根据两直线平形当斜率存在时，需满足斜率相等，纵截距不等，所以当时，显然两直线平行，符合题意；当时，，，若平行需满足且，解得：，综上，答案为-1或-2.【考点3】几种距离【备考知识梳理】(1)两点间的距离：平面上的两点间的距离公式：(2)点到直线的距离：点到直线的距离.(3)两条平行线间的距离：两条平行线与间的距离.【规律方法技巧】1．点到直线的距离问题可直接代入点到直线的距离公式去求．注意直线方程为一般式．2．动点到两定点距离相等，一般不直接利用两点间距离公式处理，而是转化为动点在两定点所在线段的垂直平分线上，从而计算简便，如本例中|PA |＝|PB |这一条件的转化处理．1.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是 ．【答案】2【解析】由题意，，所以直线方程为，即，.2.已知直线l 1：ax+2y+6=0，l 2：x+（a 1）y+a 21=0，若l 1⊥l 2，则a= ，若 l 1∥l 2，则a= ，此时l 1和l 2之间的距离为 ．【答案】， 1，；【考点4】圆的方程【备考知识梳理】标准式：，其中点（a ，b ）为圆心，r>0，r 为半径，圆的标准方程中有三个待定系数，使用该方程的最大优点是可以方便地看出圆的圆心坐标与半径的大小． 一般式：022=++++F Ey Dx y x ，其中为圆心为半径，，圆的一般方程中也有三个待定系数，即D 、E 、F ．若已知条件中没有直接给出圆心的坐标（如题目为：已知一个圆经过三个点，求圆的方程），则往往使用圆的一般方程求圆方程．【规律方法技巧】1．二元二次方程是圆方程的充要条件“A=C ≠0且B=0”是一个一般的二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的必要条件．二元二次方程022=+++++F Ey Dx Cy Bxy Ax 表示圆的充要条件为“A=C ≠0、B=0且”，它可根据圆的一般方程推导而得．2．确定一个圆的方程，需要三个独立条件．“选形式、定参数”是求圆的方程的基本方法：是指根据题设条件恰当选择圆的方程的形式，进而确定其中的三个参数．3．求圆的方程时，要注意应用圆的几何性质简化运算．(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上．(2)圆心在任一弦的中垂线上．(3)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线．1．已知圆的圆心为抛物线的焦点,且与直线相切,则该圆的方程为_________________.【答案】【解析】抛物线的焦点为（1,0），所以圆的圆心为（1,0），圆心到直线的距离，所以所求圆的方程为．2．已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为______________________.【答案】【解析】直线与直线两条平行线的距离，圆的半径，由，得，由，得，直径的两个端点，，因此圆心坐标，圆的方程．【两年模拟详解析】1．【xx届江苏省如东高级中学高三2月摸底】在平面直角坐标系中,已知过点的直线与圆相切,且与直线垂直,则实数__________．【答案】2．【xx届湖南省长沙市长郡中学高三下第六次月考理科】若直线和直线将圆分成长度相等的四段弧，则．【答案】18【解析】试题分析：由题意得：圆心到两直线距离相等，且等于，因此或，即18考点：直线与圆位置关系3．【xx届江苏省扬州中学高三12月月考】已知动圆与直线相切于点，圆被轴所截得的弦长为，则满足条件的所有圆的半径之积是．【答案】【解析】试题分析：设圆心，半径为，根据圆被轴所截得的弦长为得：，又切点是，所以，且，所以解得或，从而或，，所以答案应填：．考点：1、直线与圆相切；2、直线与圆相交；3、圆的标准方程．4．【xx 届南京市、盐城市高三年级第二次模拟】在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则当实数变化时，点到直线的距离的最大值为______.【答案】【解析】 由题意得，直线的斜率为，且经过点,直线的斜率为，且经过点，且直线所以点落在以为直径的圆上，其中圆心坐标，半径为，则圆心到直线的距离为，所以点到直线的最大距离为。
2019-2020学年陕西省安康市高三下学期第三次联考数学试卷(理科) (解析版)
2019-2020学年陕西省安康市高三第二学期第三次联考数学试卷（理科）一、选择题（共12小题）.1．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1≤0}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（）A．[0，]B．[0，1]C．[1，2]D．[，+∞）2．若复数z与其共轭复数满足z﹣2＝1+3i，则|z|＝（）A．B．C．2D．3．已知a＞0且a≠1，函数，若f（a）＝3，则f（﹣a）＝（）A．2B．C．D．4．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是（）A．B．C．D．5．将函数f（x）＝sin x﹣cos x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（）A．x＝﹣B．x＝C．x＝﹣D．x＝6．已知α，β是两个不重合的平面，直线m∥α，直线n⊥β，则“α⊥β“是“m∥n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件7．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线y2＝6x的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若|AF|+|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．28．若sin（α+）＝，则cos（+2α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣9．梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若•＝2•，则•＝（）A．12B．16C．20D．2410．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生．薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）A．480种B．360种C．240种D．120种11．已知函数f（x）＝，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），给出下列结论：①x1+x2＝﹣1，②x3x4＝1，③0＜x1+x2+x3+x4＜，④0＜x1x2x3x4＜1，其中所有正确命题的编号是（）A．①②B．②③C．②④D．②③④12．设P、A、B、C、D是表面积为36π的球的球面上五点，四边形ABCD为正方形，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为（）A．B．18C．20D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值为．14．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a＝，sin A＝，b＝，则△ABC的面积为．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝sin x﹣cos x+a（a为常数），则曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为．16．已知F1、F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l交C于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥BF1，|AF2|＝|BF2|，则C的离心率为．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}，{b n}满足a n+b n＝2n+1，且{b n}为等比数列，a1＝1，a4＝﹣7．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求当S n+2n+1≥50时，正整数n的最小值．18．安康市某中学在1月1日举行元旦歌咏比赛，参赛的16名选手得分的茎叶图如图所示．（1）写出这16名选手得分的众数和中位数；（2）若得分前六名按一等奖一名、二等奖两名、三等奖三名分别发放100元、70元、40元的奖品，从该6名选手中随机选取2人，设这2人奖品的钱数之和为X，求X的分布列与数学期望．19．如图，几何体ABCDEF中，正方形CDEF所在平面与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD＝DC＝CB，AB∥CD，∠DAB＝60°，H为AB的中点．（1）证明：平面BDF⊥平面CFH；（2）求二面角B﹣HF﹣D的余弦值．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），过F的直线交E于A、C两点，AC的中点坐标为（﹣，）．（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O的直线BD和AC相交且交E于B、D两点，求四边形ABCD面积的最大值．21．已知函数f（x）＝e x﹣a﹣ln（x+a）（a＞0）．（1）证明：函数f′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点．（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为1，求a的值．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线C与曲线交于A，B两点，求|AB|．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a2|+|x+2a﹣5|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜6的解集；（2）若不等式f（x）＜5的解集非空，求实数a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|2x2+x﹣1≤0}，B＝{x|x≥0}，则A∩B＝（）A．[0，]B．[0，1]C．[1，2]D．[，+∞）【分析】求出集合A，B，由此能求出A∩B．解：∵集合A＝{x|2x2+x﹣1≤0}＝{x|﹣1≤x≤}，B＝{x|x≥0}，故选：A．2．若复数z与其共轭复数满足z﹣2＝1+3i，则|z|＝（）A．B．C．2D．【分析】设z＝a+bi（a，b∈R），代入z﹣2＝1+3i，整理后利用复数相等的条件求得a，b的值，再由复数模的计算公式求解．解：设z＝a+bi（a，b∈R），由z﹣2＝1+3i，得（a+bi）﹣2（a﹣bi）＝3+3i，∴z＝﹣1+i，则|z|＝．故选：A．3．已知a＞0且a≠1，函数，若f（a）＝3，则f（﹣a）＝（）A．2B．C．D．【分析】先根据f（a）＝3求得a，进而求得结论．解：∵f（a）＝log a a+a＝3，∴a＝2，故选：C．4．部分与整体以某种相似的方式呈现称为分形．谢尔宾斯基三角形是一种分形，由波兰数学家谢尔宾斯基1915年提出．具体操作是取一个实心三角形，沿三角形的三边中点连线，将它分成4个小三角形，去掉中间的那一个小三角形后，对其余3个小三角形重复上述过程得到如图所示的图案，若向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分的概率是（）A．B．C．D．【分析】先观察图象，再结合几何概型中的面积型可得：P（A）＝＝，得解．解：由图可知：黑色部分由9个小三角形组成，该图案由16个小三角形组成，设“向该图案随机投一点，则该点落在黑色部分”为事件A，由几何概型中的面积型可得：故选：B．5．将函数f（x）＝sin x﹣cos x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的一条对称轴方程可以是（）A．x＝﹣B．x＝C．x＝﹣D．x＝【分析】由题意函数y＝A sin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，得出结论．解：将函数f（x）＝sin x﹣cos x＝sin（x﹣）的图象上各点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，可得y＝sin（x﹣）的图象．故g（x）的对称轴方程为x＝2kπ+，k∈Z．故选：A．6．已知α，β是两个不重合的平面，直线m∥α，直线n⊥β，则“α⊥β“是“m∥n”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【分析】利用线面的位置关系即可判断出结论．解：m∥n时，m∥α，n⊥β，则α⊥β；反之不成立．∴α⊥β是m∥n的必要不充分条件．故选：B．7．在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线y2＝6x的焦点，A、B是抛物线上两个不同的点．若|AF|+|BF|＝5，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A．B．1C．D．2【分析】先由抛物线的定义知|AF|+|BF|＝x A+x B+p＝5，于是可得x A+x B的值，再利用中点坐标公式即可得解．解：由抛物线的定义可知，p＝3，|AF|+|BF|＝x A+x B+p＝5，∴x A+x B＝5﹣3＝6，故选：B．8．若sin（α+）＝，则cos（+2α）＝（）A．B．﹣C．D．﹣【分析】由题意利用二倍角公式求得sin2α＝﹣，再利用诱导公式进行化简三角函数式，得到结果．解：∵sin（α+）＝（sinα+cosα）＝，平方求得sin3α＝﹣，则cos（+2α）＝sin2α＝﹣，故选：D．9．梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2，∠BAD＝，若•＝2•，则•＝（）A．12B．16C．20D．24【分析】利用向量的数量积，结合向量的基本定理转化求解即可．解：因为•＝2•，所以•﹣•＝•＝•，所以2||＝，可得＝4，故选：C．10．某大学计算机学院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生．薛教授欲从人工智能领域的语音识别、人脸识别，数据分析、机器学习、服务器开发五个方向展开研究，且每个方向均有研究生学习，其中刘泽同学学习人脸识别，则这6名研究生不同的分配方向共有（）A．480种B．360种C．240种D．120种【分析】根据题意，按当人脸识别方向的人数分2种情况讨论，求出每种情况的安排方法数目，由加法原理计算可得答案．解：根据题意，分2种情况讨论：①当人脸识别方向有2人时，有种安排方法，②当人脸识别方向有1人时，将其他5人分成6组，安排进行其他4个个方向展开研究，有种安排方法，则一共有120+240＝360种分配方法；故选：B．11．已知函数f（x）＝，若x1＜x2＜x3＜x4，且f（x1）＝f（x2）＝f（x3）＝f（x4），给出下列结论：①x1+x2＝﹣1，②x3x4＝1，③0＜x1+x2+x3+x4＜，④0＜x1x2x3x4＜1，其中所有正确命题的编号是（）A．①②B．②③C．②④D．②③④【分析】利用函数f（x）的图象和性质，逐个结论验证，选出正确选项．解：函数f（x）＝的图象如右图所示，则x1+x4＝﹣2，故①错误；则log2（x3x4）＝0，∴x3x6＝1，故②正确；则＜x3＜1，∴x1+x4+x3+x4＝x3+﹣2∈（3，），故③正确；∴x1x2x3x4＝﹣x12﹣2x3∈（0，1），故④正确．故选：D．12．设P、A、B、C、D是表面积为36π的球的球面上五点，四边形ABCD为正方形，则四棱锥P﹣ABCD体积的最大值为（）A．B．18C．20D．【分析】由球的表面积求得球的半径，设球心到四棱锥的底面距离为x，棱锥的高为h ＝3+x，再把棱锥底面边长用x表示，写出棱锥体积，利用导数求最值．解：设球的半径为r，则4πr2＝36π，即r＝3.设球心到四棱锥的底面距离为x，棱锥的高为h＝3+x，则四棱锥P﹣ABCD的体积V＝，由V′＝0，得x＝1或x＝﹣3．故选：D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知x，y满足约束条件，则z＝x﹣y的最大值为．【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z＝3x﹣y表示直线在y 轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值即可．解：不等式组表示的平面区域如图所示，当直线z＝x﹣y过点C（1，0）时，故答案为：．14．已知a，b，c分别为△ABC内角A，B，C的对边，a＝，sin A＝，b＝，则△ABC的面积为．【分析】先根据条件求得cos A，结合余弦定理求得c，进而得到结论．解：∵a＜b，∴A＜B，，由余弦定理得，代入a＝，b＝，∴△ABC的面积．故答案为：．15．已知f（x）是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f（x）＝sin x﹣cos x+a（a为常数），则曲线y＝f（x）在点（π，f（π））处的切线方程为x+y+2﹣π＝0．【分析】由奇函数的性质可得f（0）＝0，求得a＝1，再求x＞0时，f（x）的解析式，注意运用f（﹣x）＝﹣f（x），求得x＞0时，f（x）的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得所求切线的方程．解：由f（x）是定义在R上的奇函数，可得f（0）＝0，当x≤0时，f（x）＝sin x﹣cos x+a，当x＞3，即有﹣x＜0，f（﹣x）＝sin（﹣x）﹣cos（﹣x）+1＝﹣sin x﹣cos x+1，则导数为f′（x）＝cos x﹣sin x，又切点为（π，﹣2），即x+y+6﹣π＝0．故答案为：x+y+2﹣π＝0．16．已知F1、F2分别为双曲线C：﹣＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F1的直线l交C于A、B两点，O为坐标原点，若OA⊥BF1，|AF2|＝|BF2|，则C的离心率为．【分析】作出图象，取AB中点E，连接EF2，设F1A＝x，根据双曲线定义可得x＝2a，再由勾股定理可得到c2＝7a2，进而得到e的值．解：取AB中点E，连接EF2，则由已知可得BF1⊥EF2，F1A＝AE＝EB设F8A＝x，则由双曲线定义可得AF2＝2a+x，BF1﹣BF2＝3x﹣2a﹣x＝6a，由勾股定理可得（4a）2+（5a）2＝（2c）2，则e＝＝．故答案为：．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{a n}，{b n}满足a n+b n＝2n+1，且{b n}为等比数列，a1＝1，a4＝﹣7．（1）求数列{a n}，{b n}的通项公式；（2）设数列{a n}的前n项和为S n，求当S n+2n+1≥50时，正整数n的最小值．【分析】（1）由a1＝1，a1+b1＝3，可得b1＝2．由a4＝﹣7，可得b4．根据等比数列可得通项公式可得公比q，及其b n，进而得出a n．（2）由（1）利用求和公式可得S n，利用S n+2n+1≥50可得结论．解：（1）∵a1＝1，a1+b1＝3，∴b6＝2．∵a4＝﹣7，∴b4＝9﹣a4＝9﹣（﹣7）＝16．∴q3＝＝8，解得q＝2，∴a n＝2n+5﹣2n．∴S n+2n+1≥50可化为n2+2n﹣48≥0，解得n≥6，∴正整数n的最小值为6．18．安康市某中学在1月1日举行元旦歌咏比赛，参赛的16名选手得分的茎叶图如图所示．（1）写出这16名选手得分的众数和中位数；（2）若得分前六名按一等奖一名、二等奖两名、三等奖三名分别发放100元、70元、40元的奖品，从该6名选手中随机选取2人，设这2人奖品的钱数之和为X，求X的分布列与数学期望．【分析】（1）根据茎叶图数据得出众数和中位数；（2）根据超几何分布的概率公式计算X的取值对应的概率，得出分布列和数学期望．解：（1）众数为86，中位数为＝87.5．（2）X的可能取值有80，110，140，170，故X的分布列为：X80110140170PE（X）＝80×+110×+140×+170×＝120．19．如图，几何体ABCDEF中，正方形CDEF所在平面与梯形ABCD所在平面互相垂直，AD＝DC＝CB，AB∥CD，∠DAB＝60°，H为AB的中点．（1）证明：平面BDF⊥平面CFH；（2）求二面角B﹣HF﹣D的余弦值．【分析】（1）先证BD⊥CH，再根据面面垂直的性质定理可得CF⊥BD，进而得到BD ⊥平面CFH，再证明平面BDF⊥平面CFH；（2）建立空间直角坐标系，求出平面DHF及平面BHF的法向量，再利用向量的夹角公式即可得解．解：（1）证明：由已知得∠ADC＝∠BCD＝120°，∴∠CBD＝∠CDB＝30°，∠ADB＝90°，∠ABD＝30°，∴CH∥AD，∴BD⊥CH，∴CF⊥平面ABCD，则CF⊥BD，∵CH∩CF＝C，∴平面BDF⊥平面CFH；设AD＝2，则，设平面DHF的法向量为，则，同理可求得平面BFH的法向量为，由图可知二面角B﹣HF﹣D为钝角，∴所求二面角的余弦值为．20．已知椭圆E：+＝1（a＞b＞0）的左焦点为F（﹣，0），过F的直线交E于A、C两点，AC的中点坐标为（﹣，）．（1）求椭圆E的方程；（2）过原点O的直线BD和AC相交且交E于B、D两点，求四边形ABCD面积的最大值．【分析】（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），分别代入椭圆方程作差，结合平方差公式和直线的斜率公式、中点坐标公式，可得a，b的关系，再由a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到所求椭圆方程；（2）求得直线AC的方程，联立椭圆方程，可得A，C的坐标．设B（x3，y3），D（x4，y4），且直线BD的斜率存在，设方程为y＝kx（k＜k OC＝），联立椭圆方程，可得B，D的横坐标，则S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝|AC|•（d1+d2），（d1，d2分别表示B，D 到直线AC的距离），运用点到直线的距离公式和换元法、基本不等式可得所求最大值．解：（1）设A（x1，y1），C（x2，y2），可得+＝1，+＝2，将x1+x2＝﹣，y1+y2＝代入上式，即k AC•（﹣）＝﹣，又c＝，即有a7﹣b2＝c2＝3，则椭圆E的方程为+＝1；联立解得或，设B（x3，y3），D（x4，y4），且直线BD的斜率存在，设为k，方程为y＝kx（k＜k OC ＝），所以S四边形ABCD＝S△ABC+S△ACD＝|AC|•（d1+d2），（d6，d2分别表示B，D到直线AC 的距离），＝|1﹣k|•|x3﹣x7|＝|1﹣k|•|x3|＝4•＝4＝8，故S四边形ABCD＝4≤4×＝4，当且仅当t＝，即t＝3，k＝﹣时，四边形ABCD的面积取得最大值4．21．已知函数f（x）＝e x﹣a﹣ln（x+a）（a＞0）．（1）证明：函数f′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点．（2）若函数f（x）在区间（0，+∞）上的最小值为1，求a的值．【分析】（1）求出原函数的导函数f′（x）＝，可得f′（x）在（0，+∞）上单调递增，再利用导数证明f′（0）＜0，f′（a+1）＝e﹣＞0，可得函数f′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点；（2）由（1）可知，存在唯一的零点x0∈（0，+∞），使得，即，结合（1）求出f（x）的最小值，得＝1，显然x0+a ＝1是方程的解，结合y＝是单调递减函数，可知方程＝1有且仅有唯一解x0+a＝1，把x0＝1﹣a代入即可求得a的值．【解答】（1）证明：∵f（x）＝e x﹣a﹣ln（x+a）（a＞0），∴f′（x）＝，∵e x﹣a在区间（0，+∞）上单调递增，在区间（0，+∞）上单调递减，又f′（0）＝＝，则g（a）在（0，+∞）上单调递减，g（a）＜g（0）＝﹣1，故f′（0）＜8．∴函数f′（x）在（0，+∞）上存在唯一的零点；即．∴当x∈（0，x0）时，f′（x）＜2，f（x）单调递减，当x∈（x0，+∞）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增．∴＝1，显然x0+a＝1是方程的解．把x0＝2﹣a代入，得e1﹣2a＝8，即a＝．∴所求a的值为．（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为（1）求曲线C与极轴所在直线围成图形的面积；（2）设曲线C与曲线交于A，B两点，求|AB|．【分析】（1）根据条件可知曲线C与极轴所在直线围成图形是一个半径为1的圆和一个直角边分别为1与的直角三角形，然后求出其面积即可；（2）根据条件求出曲线C与曲线的两交点A，B的坐标，然后求出|AB|的长．解：（1）由曲线C的极坐标方程，可知曲线C与极轴所在直线围成图形是一个半径为1的圆和一个直角边分别为1与的直角三角形，（2）由得，其直角坐标为，化直角坐标方程为，∴，∴|AB|＝．[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|x+a2|+|x+2a﹣5|．（1）当a＝1时，求不等式f（x）＜6的解集；（2）若不等式f（x）＜5的解集非空，求实数a的取值范围．【分析】（1）求得f（x）＝|x+1|+|x﹣3|，由绝对值的意义，结合零点分区间法，去绝对值，解不等式即可；（2）原不等式等价为[f（x）]min＜5，运用绝对值不等式的性质，可得其最小值，解二次不等式可得a的取值范围．解：（1）当a＝1时，f（x）＝|x+1|+|x﹣3|，f（x）＜7等价为或或，综上，解集为（﹣2，4）；由|x+a2|+|x+2a﹣5|≥|x+a5﹣x+5﹣2a|＝a2﹣2a+5，则a2﹣2a+8＜5，解得0＜a＜2．则a的取值范围是（0，2）．。
2020届辽宁省沈阳市高三上学期五校协作体期中联考试题 数学理 PDF版
三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。第 17～21 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共 60 分。 17.（本小题满分 12 分）
已知数列 an 满足 a1 1，且 an 2an1 2n n 2, n N ．
3 sin
轴为极轴建立极坐标系，曲线
C2
的极坐标方程为
sin(
4
)
1．
（1）求曲线 C1 的极坐标方程和曲线 C2 的直角坐标方程；
（2）射线 OM
：
(
2
)
与曲线 C1 交于点
M，射线 ON
：
4
与曲线 C2
交于点
N，求
1 OM
2
1 ON
2
的取值范围．
23．[选修 4—5：不等式选讲] （本小题满分 10 分） 设函数 f (x) x 2a 2x 3 (a 0) ． a （1）若 g(a) f (0) ，解不等式 g(a)≥5 ； （2）求证： f (x)≥ 2 3 ．
2019—2020 学年度（上）沈阳市五校协作体期中联考
高三年级理科数学试卷
试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷选择题（1—12 题，共 60 分）和第Ⅱ卷（非选择
题，13—23 题，共 90 分）。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答
题卡上。作答时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
命题人：关锋
得到的回归方程为y^＝bx＋a，则( )
A．a>0，b>0
B．a>0，b<0
C．a<0，b>0
D． a c b
8 －3.0
2019-2020学年江西省上饶市六校高三(下)第一次联考数学试卷(理科)(有答案解析)
2019-2020学年江西省上饶市六校高三（下）第一次联考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合，集合，则A. ，B.C. D.2.已知为虚数单位，为z的共轭复数，则复数z在复平面内对应的点在A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.某中学2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考情况，得到如图柱状图：则下列结论正确的是A. 与2016年相比，2019 年不上线的人数有所增加B. 与2016年相比，2019年一本达线人数减少C. 与2016年相比，2019 年二本达线人数增加了倍D. 2016 年与2019年艺体达线人数相同4.在中，D在边AC上满足，E为BD的中点，则A. B. C. D.5.已知等差数列的公差为，前n项和为，，，为某三角形的三边长，且该三角形有一个内角为，若对任意的恒成立，则实数A. 7B. 6C. 5D. 46.设F为抛物线的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若，则A. 9B. 6C.D.7.执行如图所示的程序框图后，输出的值为5，则P的取值范围是A. B. C. D.8.已知七人排成一排拍照，其中甲、乙、丙三人两两不相邻，甲、丁两人必须相邻，则满足要求的排队方法数为A. 432B. 576C. 696D. 9609.已知正项等比数列满足，若存在两项，，使得，则的最小值为A. 16B.C. 5D. 410.函数的部分图象大致是A. B.C. D.11.如图所示，已知双曲线的右焦点为F，双曲线C的右支上一点A，它关于原点O的对称点为B，满足，且，则双曲线C的离心率是A. B. C. D.12.设函数的定义域为R，满足，且当时，若对任意，都有，则m的取值范围是A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知实数x，y满足约束条件，则的最大值是______．14.已知函数的图象在点处的切线方程是，则的值等______．15.定义在封闭的平面区域D内任意两点的距离的最大值称为平面区域D的“直径”已知锐角三角形的三个顶点A，B，C，在半径为1的圆上，且，分别以各边为直径向外作三个半圆，这三个半圆和构成平面区域D，则平面区域D的“直径”的最大值是______．16.已知三棱锥中，，，，且二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且求角C的大小；若，的面积为，求sin A及c的值．18.如图，空间几何体ABCDE中，是边长为2的等边三角形，，，，平面平面ABC，且平面平面ABC，H为AB中点．证明：平面BCE；求二面角平面角的余弦值．19.已知某种细菌的适宜生长温度为，为了研究该种细菌的繁殖数量单位：个随温度单位：变化的规律，收集数据如下：温度14161820222426繁殖数量个253038556612021820781121590其中，请绘出y关于x的散点图，并根据散点图判断与哪一个更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于温度x的回归方程类型给出判断即可，不必说明理由；根据的判断结果及表格数据，建立y关于x的回归方程结果精确到；当温度为时，该种细菌的繁殖数量的预报值为多少？参考公式：对于一组数据2，3，，，其回归直线的斜率和截距的最小二成估计分别为，，参考数据：20.已知椭圆的左焦点坐标为，A，B分别是椭圆的左，右顶点，P是椭圆上异于A，B的一点，且PA，PB所在直线斜率之积为．求椭圆C的方程；过点作两条直线，分别交椭圆C于M，N两点异于Q点当直线QM，QN的斜率之和为定值时，直线MN是否恒过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由．21.已知函数．讨论的单调性；若函数在上存在两个极值点，，且，证明：．22.已知直线l的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；设点，直线l与曲线C交于A，B两点，求的值．23.已知函数，．若时，解不等式；若关于x的不等式在上有解，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：A解析：解：，，，，，故选：A．先解不等式，求出A，B，再求交并补．本题考查解不等式，以及集合交并补，属于基础题．2.答案：D解析：解：设，由，得，，即舍或，．复数z在复平面内对应的点在第四象限．故选：D．设，代入，整理后利用复数相等的条件列式求得a，b的值，则答案可求．本题考查复数相等的条件，考查复数的代数表示法及其几何意义，考查复数模的求法，是基础题．3.答案：A解析：解：设2016年的高考考生人数为a，则2019年的高考考生人数为，对于选项A：2016年不上线的人数为，2019年不上线的人数为，因为，所以选项A正确；对于选项B：2016年一本达线人数为，2019年一本达线人数为，因为，所以选项B错误；对于选项C：2016年二本达线人数为，2019年二本达线人数为，增加了，增加了倍，所以选项C错误；对于选项D：2016年艺体达线人数为，2019年艺体达线人数为，所以选项D错误；故选：A．设2016年的高考考生人数为a，则2019年的高考考生人数为，依据表格计算两年的不上线的人数、一本达线人数、二本达线人数、艺体达线人数，然后比较得出结论．本题主要考查了简单的合情推理，以及依据表格提取有效信息，是中档题．4.答案：B解析：解：如图，，E为BD的中点，．故选：B．根据条件可画出图形，然后根据条件及向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，以及向量的数乘运算即可用表示出向量．本题考查了向量加法的平行四边形法则，向量减法和数乘的几何意义，向量的数乘运算，考查了计算能力，属于基础题．5.答案：C解析：【分析】本题考查等差数列的通项公式和求和公式的运用，考查余弦定理二次函数，考查运算能力，属于中档题和易错题．运用等比数列的性质和余弦定理即可求出首列的首项，根据求和公式，结合二次函数的性质，寻找整数解，即可得到所求最大值．【解答】解：设首项为，，，为某三角形的三边长，即为，，为某三角形的三边长，三角形有一个内角为，由余弦定理可得，解得，，当时取等号，对任意的恒成立，，故选C．6.答案：B解析：解：抛物线焦点坐标，准线方程：，设，，，，点F是重心，则，．由抛物线的定义可知：，，故选：B．由题意可得是三角形ABC的重心，故，再由抛物线的定义可得．本题考查三角形的重心坐标公式，抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于基础题．7.答案：C解析：解：，；，，，继续循环；，，，继续循环；，，，继续循环；，，，退出循环；故选：C．执行程序框图，一步一步走，直到跳出循环．本题考查程序框图，属于基础题．8.答案：B解析：解：可以分步完成，甲丁捆绑后排序有种方法，捆绑后的甲丁与另外的3人不包含乙丙排序，有种方法，将乙丙插空，四个空位中与甲相邻的空位不能选择，故有种方法，根据分布乘法原理，共有种方法．故选：B．捆绑后的甲丁与另外的3人不包含乙丙排序，再将乙丙插空即可．本题考查了分步乘法原理，捆绑法，插空法等计数原理中常用的方法，属于中档题．9.答案：D解析：解：正项等比数列满足，可得，可得，解得舍去，存在两项，，使得，所以，则，当且仅当时，取等号，所以的最小值为4．故选：D．利用等比数列的性质求出首项与公比，结合，推出mn的方程，然后利用基本不等式求解即可．本题考查数列的应用，等比数列的性质以及基本不等式的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．10.答案：C解析：解：，为奇函数，故排除D；当时，，故排除B；当时，，令，设当时，，则，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，为上的最大值．因为，解得或舍，又，所以，，而A选项在的最大值大于1，排除A；故选：C．根据函数的奇偶性可以排除D，排除B，再根据间的极大值是否大于1本题考查了函数的图象与图象变换，考查了三角恒等变换，导数与函数的极值，属于中档题．11.答案：C解析：解：连接，，由条件可得，则，，，所以，可得，即，所以双曲线的离心率为：．故选：C．利用双曲线的性质，推出AF，BF，通过求解三角形转化求解离心率即可．本题考查双曲线的简单性质的应用，三角形的解法，考查转化思想以及计算能力．12.答案：B解析：解：当时，函数在上递增，在上递减，所以，由，可得当图象向右平移2个单位时，最大值变为原来的2倍，最大值不断增大，由，可得当图象向左平移2个单位时，最大值变为原来的倍，最大值不断变小，当时，，当时，，当时，，设时，，，即，，由，解得或，根据题意，当时，恒成立，故选：B．由，判断函数值的变化情况，作出函数的的图象，再确定m所在的区间，求出临界点即可求出结果．本题考查函数类周期性的应用，分段函数求解析式，恒成立问题等，考查数形结合思想和方程思想，属于难题．13.答案：解析：解：画出实数x，y满足约束条件表示的平面区域如图：令，转化为求，则t表示直线在y轴上截距，截距越大，z越大作出目标函数对应的直线L：，由可得．目标函数线过时，直线的纵截距最大，t得最大值为；的最大值是：；故答案为：．作出不等式组表示的平面区域；令，转化为求；结合图象知当直线过C时，t取得最大值进而求得结论．本题考查画不等式组表示的平面区域、考查数形结合求函数的最值．是中档题．14.答案：解析：解：函数的图象在点M处的切线方程是，切线的斜率，切点M在切线方程上，，．故答案为：．根据条件可知切线的斜率，切点M在切线方程上，从而求出的值．本题考查了切线方程的基本性质，属基础题．15.答案：解析：解：在中，由正弦定理可得，，由余弦定理设，，，即，即，即，，当且仅当的等号成立，如图．各别中点设为D，E，F为三个半圆的圆心，假设圆D和圆E上两点G，F之间连线最长，则必过D，E，任意任取两点I，J，连接DI，DJ，EJ，则，连线最大，则必过任意两圆的圆心，当且仅当等号成立，故答案为：先根据正弦和余弦定理可得，再根据基本不等式可得，当且仅当的等号成立，如图．各别中点设为D，E，F为三个半圆的圆心，假设圆D和圆E上两点G，F之间连线最长，则必过D，E，即可求出本题考查了正弦余弦定理的应用，三角形函数的化简，重心的性质，基本不等式，考查了运算能力和转化能力，属于难题．16.答案：解析：解：如图所示，设三棱锥的外接球的球心为O，半径为的中点为D，等边三角形的外心为E，AC的中点为F，连接EF，FD，OF，OD．则为二面角的平面角，大小为，可得：，．分别延长OE，DF，相交于点N．则，．．．三棱锥外接球的表面积为．故答案为：．如图所示，设三棱锥的外接球的球心为O，半径为的中点为D，等边三角形的外心为E，AC的中点为F，连接EF，FD，OF，可得为二面角的平面角，大小为，再利用直角三角形的边角关系即可得出．本题考查了三棱锥的性质、空间角、直角三角形的边角关系、球的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17.答案：解：，，解可得，或舍，所以，因为，由余弦定理可得，，整理可得，，由正弦定理可得，，即，所以，，故的面积为，，所以，．解析：由已知结合二倍角公式可求cos C，进而可求C；由已知结合余弦定理可得a，c的关系，然后结合正弦定理可求sin A，sin B，结合已知及三角形的面积公式即可求解．本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在求解三角形中的综合应用．18.答案：证明：如图所示，建立空间直角坐标系．可得0，，0，，0，，，，0，，，取平面BCE的法向量为0，．，平面BCE，平面BCE；解：，．设平面ABE的法向量为y，，则．．取1，．取平面ABC的法向量0，．则，．二面角平面角的余弦值为．解析：如图所示，建立空间直角坐标系．取平面BCE的法向量为0，只要证明，即可证明结论．设平面ABE的法向量为y，，利用可得取平面ABC的法向量0，利用向量夹角公式即可得出．本题考查了线面垂直与平行的判定定理、法向量的应用、向量夹角公式、数量积运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19.答案：解：散点图如图：由散点图可知，更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型；把两边取自然对数，得，即，由，，，则y关于x的回归方程为；取当时，可得．当温度为时，该种细菌的繁殖数量的预报值为245．解析：直接由表格中数据画出散点图，由散点图可知，更适合作为该种细菌的繁殖数量y关于x的回归方程类型；把两边取自然对数，得，即，再由回归系数公式求解可得所求；将，代入回归方程，计算可得所求值．本题考查回归方程的求法，考查数学转化思想方法，考查计算能力，是基础题．20.答案：解：设，有题意可得，，由PA，PB所在直线斜率之积为，可得，即，而P在椭圆上可得：，所以，即，，解得：，，所以椭圆的方程为：；因为，所以直线MN的斜率存在，设直线MN的方程为：，设，，，整理可得：，，，所以，有题意可得：，解得：，所以直线MN的方程为：，当，，所以直线恒过定点．解析：设P的坐标，由PA，PB所在直线斜率之积为，可得x，y的关系，再由在椭圆上可得x，y的关系，进而可得a，b的关系，由题意即a，b，c之间的关系求出椭圆的方程；设直线MN的方程与椭圆联立求出两根之和及两根之积，求出直线MQ，QN的斜率之和的表达式，再由斜率之和为定值t，可得直线恒过定点本题考查求椭圆的标准方程，求直线恒过定点的方法及直线与椭圆的综合，属于中难题．21.答案：解：的定义域为，，若，则，在区间上单调递增；若，则，当时，；当时，；在区间上单调递增，在区间上单调递减；证明：，，由在上存在两个极值点，不妨设，知，则，即，设，则，要证明：，只要证，只要证，即证，构造函数，，在上单调递增，，即，．解析：由于，分，两类讨论即可得到的单调情况；依题意，，，整理得，设，则，构造函数，利用分析法即可证得结论成立．本题考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的证明问题，突出考查分离变量法、构造法以及分析法的运用，考查推理运算能力，属于难题．22.答案：解：直线l的参数方程为为参数，转换为直角坐标方程为．曲线C的极坐标方程为，转换为直角坐标方程为．把线l的参数方程为代入，得到．所以，．所以解析：直接利用转换关系的应用，把参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换．利用直线和曲线的位置关系的应用，利用一元二次方程根和系数关系式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，一元二次方程根和系数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．23.答案：解：当时，．，或或，或或，，不等式的解集为当时，由，得，，，不等式在上有解，，，不等式的解集为．解析：将代入中，然后根据，利用零点分段法解不等式即可；先根据不等式解出m，然后根据不等式在上有解，得到关于m的不等式，再求出m的范围．本题考查了绝对值不等式的解法和不等式有解问题，考查了分类讨论思想和转化思想，属中档题．。
2020届四省名校高三第二次大联考数学(理)试题(PDF版,含答案解析)
2020届四省名校高三第二次大联考理科数学注意事项：1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚。
2.每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
在试题卷上作答无效。
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
满分150分，考试用时120分钟。
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若集合{})2ln(+==x y x A ，{}13<=x x B ，则=B A A.{}02<<-x x B.{}02<≤-x x C.{}12<<-x x D.{}12<≤-x x 2.对于平面内两个非零向量a 和b ，0:>⋅b a p ，a q :和b 的夹角为锐角，则p 是q 的A.充要条件B.充分不必要条件C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件3.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶算法求多项式值的一个实例，若输入x n ,的值分别为2,4，则输出v 的值为A.24B.25C.49D.504.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1032=+a a ，305=S ，则数列{}n a 的公差为A.1B.2C.3D.45.42)2(xx -展开式中含5x 的项的系数为A.8B.8-C.4D.4-6.正三棱柱（底面为正三角形的直棱柱）111C B A ABC -中，AB AA =1，M 为棱1CC 的中点，则异面直线C A 1与BM 所成的角为A.6π B.4πC.3π D.2π7.2019年成都世界警察与消防员运动会期间，需安排甲、乙、丙、丁四名志愿者去CB A ,,三个场馆参与服务工作，要求每个场馆至少一人，则甲乙被安排到同一个场馆的概率为A.121 B.81C.61D.418.已知函数)sin(31)cos(33)(θθ+-+=x x x f )2|(|πθ<是偶函数，则θ的值为A.3π B.3π-C.6π D.6π-9.在ABC ∆中，点D 在BC 边上，且DB CD 3=，点M 在AD 边上，AM AD 3=，若AC AB CM μλ+=，则=+μλA.32- B.32C.67 D.67-10.抛物线)0(:2>=a ax y C 的焦点F 是双曲线12222=-x y 的一个焦点，过F 且倾斜角为︒60的直线l 交C 于B A ,，则=||AB A.2334+ B.234+C.316D.1611.下列选项中，函数1sin 2)(2+-=x x x x f 的部分图象可能是A. B.C. D.12.设点)0,1(A ，)0,4(B ，动点P 满足||||2PB PA =，设点P 的轨迹为1C ，圆2C ：4)3(3(22=-++y x ，1C 与2C 交于点N M ,，Q 为直线2OC 上一点（O 为坐标原点），则=⋅MQ MN A.4 B.32C.2 D.3二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.设复数|43|1i ii z +-+=，则=z _______.14.在正项等比数列{}n a 中，1011010=a ，则=++++2019321lg lg lg lg a a a a _______.15.如图，三棱锥ABC P -中，平面⊥PAC 平面ABC ，BC SB ⊥，2==BC AB ，3==PC PA ，则三棱锥ABC P -的外接球的表面积为_______.16.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+≤+--=1,21ln 1,272)(2x x x x x x f 若关于x 的方程kx x f =)(恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是_______.三、解答题（共70分。
2020届二轮(理科数学) 等比数列及其前n项和专题卷(全国通用)
2019届二轮（理科数学） 等比数列及其前n 项和 专题卷（全国通用）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的.） 1.【安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会2018届高三上学期第一次联考】已知等比数列{}n a 满足213562,4a a a a ==，则3a 的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 14 D. 12【答案】A【解析】∵等比数列{}n a 满足213562,4a a a a ==，∴22464a a =，又偶数项同号，∴462a a =∴212q =，∴2311a a q =⨯= 故选：A2.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S 。
若321510,9S a a a =+=，则1a =（ ） A ．13-B ．13C ．19-D ．19【答案】D3.【广东省佛山市南海区南海中学2018届高三考前七校联合体高考冲刺交流】已知等比数列的前项和为，且满足，则的值为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】根据题意，当时，故当时，数列是等比数列则，故解得故选4. 【原创题】设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，满足0,1n a q >>，且3520a a +=，2664a a ⋅=，则5S =（ ）A ．31B ．36C ．42D ．48 【答案】A5. 【改编题】函数y =图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能．．．成为公比的数是（ ）A ．21B C ．1 D ．33【答案】A【解析】函数y =2，最大值为4，故2122q ≤≤，即q ≤≤，而12< A. 6.【广西钦州市2018届高三上学期第一次质量检测】我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有蒲（水生植物名）生一日，长三尺；莞（植物名，俗称水葱、席子草）生一日，长一尺．蒲生日自半，莞生日自倍．问几何日而长等？”意思是：今有蒲生长1日，长为3尺；莞生长1日，长为1尺．蒲的生长逐日减半，莞的生长逐日增加1倍．若蒲、莞长度相等，则所需的时间约为（ ）（结果保留一位小数．参考数据：，）（ ）A. 1.3日B. 1.5日C. 2.6日D. 2.8日 【答案】C由题意可得：，化为：2n+=7，解得2n=6，2n=1（舍去）．∴n==1+=≈2.6．∴估计2.6日蒲、莞长度相等，故答案为：2.6．7.【宁夏回族自治区银川一中2018届高三考前适应性训练】我国古代数学名著《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织布的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上述已知条件，该女子第3天所织布的尺数为A．B．C．D．【答案】B【解析】设这女子每天分别织布形成数列{a n}．则该数列{a n}为等比数列，公比q=2，其前5项和S5=5．∴，解得a1=．∴a3=．故答案为：B8. 【河北省衡水中学2018届高三上学期二调】设正项等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11n na a +<，若3520a a +=， 3564a a =，则4S =（ ）A. 63或120B. 256C. 120D. 63 【答案】C9.设等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若15m S -=,-11m S =,121m S +=，则=m （ ） A.3 B.4C.5D. 6【答案】C【解析】由已知得，116m m m S S a --==-，1132m m m S S a ++-==，故公比2q =-，又11m m a a qS q-=-11=-，故11a =-，又1116m m a a q-=⋅=-，代入可求得5m =．10.【广西钦州市2018届高三第三次质量检测】已知数列是等比数列，若，，则（）的最小值为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】分析：利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．详解：由已知得数列{a n }的公比满足q 3==，解得q=，∴a 1=2，a 3=，故数列{a n a n+1}是以2为首项，公比为=的等比数列，∴a 1a 2+a 2a 3+…+a n a n+1==∈，故选：C ．11．【河南省洛阳市2018届高三上学期尖子生第一次联考】在等比数列{}n a 中， 2a ， 16a 是方程2620x x ++=的根，则2169a a a 的值为（ ）A.B.C.D.【答案】B12．【2018年衡水金卷调研卷】已知数列满足，且对任意的都有，则的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】数列满足，当时，当时，，则数列为首项为，公比为的等比数列则则的取值范围为故选二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.）13. 【改编题】设n S 是等比数列}{n a 的前n 项和，若,13221=+a a 433a a =，则=+n n a S 2 ． 【答案】114. 【改编题】已知数列1,,9a 是等比数列，数列121,,,9b b 是等差数列，则12a b b +的值为 .【答案】310． 【解析】1,,9a 成等比数列，219,3a a ∴=⨯∴=．又121,,,9b b 是等差数列，121231910,10a b b b b +=+=∴=+． 15.【广东省化州市2019届高三上学期第一次模拟考试】已知函数，数列为等比数列，，，则．【答案】【解析】∵，∴∵数列{a n }是等比数列，∴∴设S 2019=f （lna 1）+f （lna 2）+…+f （lna 2019）①， ∵S 2019=f （lna 2019）+f （lna 2018）+…+f （lna 1）②， ①+②得2S 2019=2019， ∴S 2019故答案为：.16．【湖南省长沙市长郡中学2018届高考模拟卷（二）】已知数列的首项为3，等比数列满足，且，则的值为．【答案】3.三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【湖北省华中师范大学第一附属中学2018届高三5月押题考试】已知，设是单调递减的等比数列的前项和，且，，成等差数列．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足，数列的前项和满足，求的值．【答案】(1)；(2).【解析】分析: (1)根据，，成等差数列求数列的公比,再求数列的通项公式.（2）先化简，再利用裂项相消求的值详解：（1）设数列的公比为，由，得，即，∴，∵是单调递减数列，∴，又∵，∴，∴．（2）由（1）得，∴，∴，∴或，∵，∴．18.【改编题】已知等比数列{n a }的公比为q ，且满足1n n a a +<，1a +2a +3a =913，1a 2a 3a =271.（1）求数列{n a }的通项公式；（2）记数列{n a n ⋅-)12(}的前n 项和为n T ，求.n T由1n n a a +<知，{n a }是递减数列，故q =3舍去，q =31，又由2a =31，得1a =1， 故数列{n a }的通项公式为n a =131-n （n *N ∈） ………………6分（2）由（1）知n a n ⋅-)12(=1312--n n ，所以n T =1+33+235+⋯+1312--n n ① 31n T =31+233+335+…+1332--n n +n n 312- ② ①－② 得：32n T =1+32+232+332+⋯+132-n －nn 312- =12+（31+231+331+⋯+131-n ）－nn 312- =12+311)311(311--⋅-n －n n 312-=2－131-n －n n 312-,所以n T =3－131-+n n .19．【2017全国卷2】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的前n 项和为n T ，11a =-，11b =，222a b +=.（1）若335a b +=，求{}n b 的通项公式； （2）若321T =，求3S .20．【贵州省凯里市第一中学2018届高三下学期《黄金卷》第四套模拟考试】已知正项数列满足且.（1）求证：数列为等比数列，并求数列的通项公式；（2）证明：数列的前项和.【答案】(1)见解析;(2)见解析. 【解析】分析：(1)由条件易得 =，从而说明数列为等比数列，进而得到数列的通项公式；(2)，放缩后利用等比数列求和公式即可证明结果. 详解：证明：（1）由，知，，所以是以为首项，为公比的等比数列，故而，所以．（2），．21.【山东省济南省2018届高三第二次模拟考试数学（理）】已知数列的前项和为,其中为常数.(1)证明: ；(2)是否存在实数,使得数列为等比数列,若存在,求出;若不存在,说明理由.【答案】(1)见解析;(2)见解析.【解析】分析：（1），，∴，整理后即得结果；（2）由（1）可得，检验n=1也适合即可.（2），，相减得：，从第二项起成等比数列，即，得，若使是等比数列则，，（舍）或经检验得符合题意．22.设数列{}n x 的前n 项和为n S ，若存在非零常数p ，使对任意n *∈N 都有2n nS p S =成立，则称数列{}n x 为“和比数列”． （1）若数列{}n a 是首项为2，公比为4的等比数列，判断数列{}2log n a 是否为“和比数列”；（2）设数列{}n b 是首项为2，且各项互不相等的等差数列，若数列{}n b 是“和比数列”，求数列{}n b 的 通项公式．【答案】（1）是，证明见解析；（2）()24142n b n n =+-=-试题解析：（1）由已知，121242n n n a --=⋅=，则2log 21n a n =-．设数列{}2log n a 的前n 项和为n S ，则()21212n n S n n +-=⋅=，()22224n S n n ==． 所以24n nS S =，故数列{}2log n a 是“和比数列”．即()()822141n d p n d +-=+-⎡⎤⎣⎦，即()()()4240p dn p d -+--=恒成立．所以()()()40240p d p d -=⎧⎪⎨--=⎪⎩因为0d ≠，则4p =，4d = 所以数列{}n b 的通项公式是()24142n b n n =+-=-。
2019-2020学年人教A版安徽省江淮十校高三上学期第二次联考数学试卷(理科)(解析版)
2019-2020学年高三第一学期（上）第二次联考数学试卷（理科）一、选择题1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4} B．{x|1＜x＜4} C．{1，2，3} D．{2，3}2．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B．命题“∀x∈（0，+∞），2x＜3x”是假命题C．若命题p、￢q均为假命题，则命题￢p∧q为真命题D．若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要不充分条件3．已知函数f（x）＝e﹣x﹣e x（e为自然数对数的底数），若a＝0.7﹣0.5，b＝log0.50.7，c ＝log0.75，则（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（a）＜f（b）＜f（c）4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝22，S n＝330，S n﹣4＝176，则n＝（）A．14 B．15 C．16 D．175．函数y＝﹣2sin x的图象大致是（）A．B．C．D．6．已知向量，向量为单位向量，且，则与的夹角余弦值为（）A．B．C．D．7．平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边为单位圆O交于点，且，则＝（）A．B．C．D．8．关于函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x）有下述四个结论：①f（x）在（﹣1，3）单调递增②y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称③f（x）的图象关于点（1，0）对称④f（x）的值域为R．其中结论正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．39．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离为定值λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝2sin B，a cos B+b cos A＝2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．10．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD交BC于D，且有，若，则＝（）A．B．C．D．11．已知函数在区间（1，2）上单调，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．12．已知f（x）＝（ax+lnx+1）（x+lnx+1）与g（x）＝x2的图象至少有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线f（x）＝x2﹣cos x在点（0，f（0））处的切线方程为．14．S n是等比数列{a n}的前n项和，，则S6＝．15．函数f（x）＝4sin x﹣3cos x，且对任意实数x都有f（x）＝f（2α﹣x）（α∈R），则cos2α＝16．已知实数α，β满足αeα＝e3，β（lnβ﹣1）＝e4，其中e为自然对数的底数，则αβ＝三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数．（1）若f（x）的最小值是2，求a；（2）把函数y＝f（x）图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x），若时，求使g（x）≥0成立的x的取值集合．18．已知定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）＝2x+1．（1）求f（x），g（x），并证明：f（2x）＝[g（x）]2+2；（2）当x∈[1，2]时，不等式f（2x）+ag（x）+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．19．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）．（1）求f（x）的极值；（2）若f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点，求f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值．20．已知数列{a n}中，a1＝9，a2＝3，且．（1）判断数列{a2n}是否为等比数列，并说明理由；（2）若，求{b n}的前n项和S n．21．已知钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A为钝角，若b＝a tan B，且2sin C＝2sin B cos A+．（1）求角C；（2）若点D满足，且AD＝，求△ABC的周长．22．已知函数f（x）＝xe x+a（x+1）2（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．1．若全集U＝R，集合A＝{x∈Z|x2＜16}，B＝{x|x﹣1≤0}，则A∩（∁U B）＝（）A．{x|1≤x＜4} B．{x|1＜x＜4} C．{1，2，3} D．{2，3}解：A＝{x∈Z|﹣4＜x＜4}＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，B＝{x|x≤1}，∴∁U B＝{x|x＞1}，A∩（∁U B）＝{2，3}．故选：D．2．下列说法错误的是（）A．命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”B．命题“∀x∈（0，+∞），2x＜3x”是假命题C．若命题p、￢q均为假命题，则命题￢p∧q为真命题D．若f（x）是定义在R上的函数，则“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要不充分条件解：A．命题“若x2﹣4x+3＝0，则x＝3”的逆否命题为“若x≠3，则x2﹣4x+3≠0”，正确；B．“∀x∈（0，+∞），2x＞0，3x＞0；∴＝（）x，当x＞0时0＜（）x＜1，∴2x＜3x成立，B错误；C．若“命题p、￢q均为假命题，则￢p，q均为真命题，则命题￢p∧q为真命题，C正确；D．由若f（x）是定义在R上的函数，f（x）是奇函数，则f（0）＝0；反之，比如f（x）＝2x﹣1，f（0）＝0，但f（x）不是奇函数，∴“f（0）＝0”是“f（x）是奇函数”的必要不充分条件，D正确．故选：B．3．已知函数f（x）＝e﹣x﹣e x（e为自然数对数的底数），若a＝0.7﹣0.5，b＝log0.50.7，c ＝log0.75，则（）A．f（b）＜f（a）＜f（c）B．f（c）＜f（b）＜f（a）C．f（c）＜f（a）＜f（b）D．f（a）＜f（b）＜f（c）解：c＝log0.75＜log0.55＜log0.50.7＝b＜1a＝0.7﹣0.5＞1，故a＞b＞c，而f（x）显然为减函数，所以f（a）＜f（b）＜f（c），故选：D．4．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，S4＝22，S n＝330，S n﹣4＝176，则n＝（）A．14 B．15 C．16 D．17解：依题意，S4+（S n﹣S n﹣4）＝22+（330﹣176）＝4（a1+a n），∴a1+a n＝44，S n＝330＝，解得n＝15，故选：B．5．函数y＝﹣2sin x的图象大致是（）A．B．C．D．解：当x＝0时，y＝0﹣2sin0＝0故函数图象过原点，可排除A又∵y'＝故函数的单调区间呈周期性变化分析四个答案，只有C满足要求故选：C．6．已知向量，向量为单位向量，且，则与的夹角余弦值为（）A．B．C．D．解：由题意，，，设与的夹角为θ，则，而，，∴．故选：A．7．平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边为单位圆O交于点，且，则＝（）A．B．C．D．解：平面直角坐标系xOy中，若角α的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边为单位圆O交于点，∴cosα＝，sinα＝y0，∵，∴y0＝﹣，即 sinα＝﹣．则＝cosαcos﹣sinαsin＝，故选：C．8．关于函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x）有下述四个结论：①f（x）在（﹣1，3）单调递增②y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称③f（x）的图象关于点（1，0）对称④f（x）的值域为R．其中结论正确的个数是（）A．0 B．1 C．2 D．3解：函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x）的定义域为（﹣1，3）函数f（x）＝ln（1+x）﹣ln（3﹣x）＝ln，（﹣1＜x＜3）．令h（x）＝＝﹣1+．当﹣1＜x＜3时，h（x）单调递增，则f（x）在（﹣1，3）单调递增，故①正确；2﹣x∈（﹣1，3），h（2﹣x）＝．则f（2﹣x）＝ln＝﹣ln＝﹣f（x），则y＝f（x）的图象关于（1，0）对称，故②错，③对h（x）的值域为（0，+∞），故f（x）的值域为R．故④对．故选：D．9．阿波罗尼斯是古希腊数学家，他与阿基米德、欧几里得被称为亚历山大时期的“数学三巨匠”，以他名字命名的阿波罗尼斯圆是指平面内到两定点距离为定值λ（λ＞0，λ≠1）的动点轨迹．已知在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin A＝2sin B，a cos B+b cos A＝2，则△ABC面积的最大值为（）A．B．C．D．解：∵sin A＝2sin B，∴a＝2b，∵a cos B+b cos A＝2，∴a•+b•＝2，即+＝2，∴c＝2，∵sin A＝2sin B，由正弦定理可得a＝2b，∵，∴，由余弦定理可得，cos C＝＝，∴△ABC面积S2＝＝b4[1﹣（）2]＝结合二次函数的性质可知，当b2＝即b＝时，面积取得最大值．故选：C．10．在△ABC中，∠BAC＝60°，∠BAC的平分线AD交BC于D，且有，若，则＝（）A．B．C．D．解：如图，设，则，∴，又，∴，∴，∴，∵AD是∠BAC的平分线，且，∴，∴，且∠BAC＝60°，∴＝＝＝＝．故选：B．11．已知函数在区间（1，2）上单调，则ω的取值范围是（）A．B．C．D．解：函数＝sinωx﹣cosωx＝sin（ωx﹣），在区间（1，2）上单调，则①，或②．解①求得求得0＜ω≤，解②求得≤ω≤，即ω的范围为（0，]∪[，]，故选：C．12．已知f（x）＝（ax+lnx+1）（x+lnx+1）与g（x）＝x2的图象至少有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（）A．B．C．D．解：方程f（x）＝g（x）即为（ax+lnx+1）（x+lnx+1）＝x2，则方程至少有三个不相等的实根，令得t2+（a+1）t+a﹣1＝0①，且，∴函数t（x）在（0，1）上单增，在（1，+∞）上单减，故t（x）max＝t（1）＝1，且t →+∞时，t（x）→0，∴方程①的两个根t1，t2的情况是：（i）若t1，t2∈（0，1），t1≠t2，则f（x）与g（x）的图象有四个不同的公共点，则，此时无解；（ii）若t1∈（0，1）且t2＝1或t2＝0，则f（x）与g（x）的图象有三个不同的公共点，则a无解；（iii）若t1∈（0，1）且t2＜0，则f（x）与g（x）的图象有三个不同的公共点，令h （t）＝t2+（a+1）t+a﹣1，则，解得．故选：B．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．曲线f（x）＝x2﹣cos x在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣1 ．解：由f（x）＝x2﹣cos x，得f′（x）＝2x+sin x，∴f′（0）＝2×0+sin0＝0，又f（x）＝﹣cos0＝﹣1．∴曲线f（x）＝x2﹣cos x在点（0，f（0））处的切线方程为y＝﹣1．故答案为：y＝﹣1．14．S n是等比数列{a n}的前n项和，，则S6＝．解：∵S n是等比数列{a n}的前n项和，，∴，解得，∴S6＝＝．故答案为：．15．函数f（x）＝4sin x﹣3cos x，且对任意实数x都有f（x）＝f（2α﹣x）（α∈R），则cos2α＝﹣解：∵对任意实数x都有f（x）＝f（2α﹣x），∴函数关于x＝α对称，即当x＝α时函数取得极值，即f′（α）＝0，∵f（x）＝4sin x﹣3cos x，∴f′（x）＝4cos x+3sin x，由f′（α）＝4cosα+3sinα＝0，得3sinα＝﹣4cosα，平方得9sin2α＝16cos2α，等式两边同时加9cos2α，得9sin2α+9cos2α＝25cos2α＝9，则cos2α＝，则cos2α＝2cos2α﹣1＝2×﹣1＝﹣，故答案为：﹣16．已知实数α，β满足αeα＝e3，β（lnβ﹣1）＝e4，其中e为自然对数的底数，则αβ＝e4．解：实数α，β满足αeα＝e3，β（lnβ﹣1）＝e4，所以α+lnα＝3，lnβ+ln（lnβ﹣1）＝4，即α+lnα﹣3＝0，lnβ﹣1+ln（lnβ﹣1）﹣3＝0，所以α和lnβ﹣1是方程x+lnx﹣3＝0的根，由于方程x+lnx﹣3＝0的根唯一．所以α＝lnβ﹣1，3﹣lnα＝lnβ﹣1，整理得lnα+lnβ＝4，所以αβ＝e4．故答案为：e4．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数．（1）若f（x）的最小值是2，求a；（2）把函数y＝f（x）图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x），若时，求使g（x）≥0成立的x的取值集合．解：（1）∵函数＝2sin2x cos+a+cos2x＝2sin（2x+）+a的最小值是2，∴﹣2+a＝2，∴a＝4，故f（x）＝2sin（2x+）+4．（2）把函数y＝f（x）图象向右平移个单位长度，得到函数y＝g（x）＝2sin（2x ﹣）+a的图象，若时，则g（x）＝2sin（2x+）﹣≥0，即 sin（2x+）≥，∴2kπ+≤2x+≤2kπ+，求得kπ+x≤kπ+，k∈Z，故使g（x）≥0成立的x的取值集合为{x|kπ+x≤kπ+，k∈Z}．18．已知定义在R上的偶函数f（x）和奇函数g（x）满足f（x）+g（x）＝2x+1．（1）求f（x），g（x），并证明：f（2x）＝[g（x）]2+2；（2）当x∈[1，2]时，不等式f（2x）+ag（x）+1≥0恒成立，求实数a的取值范围．解：（1）证明：依题意，f（x）+g（x）＝2x+1①，又f（x）为偶函数，g（x）为奇函数，∴f（﹣x）+g（﹣x）＝2﹣x+1，即f（x）﹣g（x）＝2﹣x+1②，由①②解得，f（x）＝2x+2﹣x，g（x）＝2x﹣2﹣x，∴f（2x）＝22x+2﹣2x＝（2x﹣2﹣x）2+2＝[g（x）]2+2，得证；（2）原不等式可化为[g（x）]2+ag（x）+3≥0，∴当x∈[1，2]时，成立，其中，∴当x∈[1，2]时，，当且仅当时取等号，∴，即．19．已知函数f（x）＝2x3﹣ax2+1（a∈R）．（1）求f（x）的极值；（2）若f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点，求f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值、最小值．解：（1）f'（x）＝6x2﹣2ax＝6x（x﹣），①当a＝0时，f'（x）＝6x2≥0，∴f（x）在R上单调递增，故f（x）无极值，②当a＞0时，此时＞0，∴当x＜0或x＞时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当0＜x＜时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）的极大值为f（0）＝1，极小值为f（）＝1﹣，③当a＜0时，此时＜0，∴当x＜或x＞0时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；当＜x＜0时，f'（x）＜0，f（x）单调递减，∴f（x）的极大值为f（）＝1﹣，极小值为f（0）＝1，综上所求：当a＝0时，f（x）无极值，当a＞0时，f（x）的极大值为1，极小值为1﹣，当a＜0时，f（x）的极大值为1﹣，极小值为1；（2）若f（x）在（0，+∞）内有且仅有一个零点，由（1）可知，a＞0，且f（x）的极小值1﹣＝0，∴a＝3，∴f（x）＝2x3﹣3x2+1，又∵当x∈[﹣2，2]时，f（x）的极大值为f（0）＝1，极小值为f（1）＝0，∴f（2）＝5＞f（0）＝1，f（﹣2）＝﹣27＜f（1）＝0，∴f（x）在区间[﹣2，2]上的最大值为f（2）＝5，最小值为f（﹣2）＝﹣27．20．已知数列{a n}中，a1＝9，a2＝3，且．（1）判断数列{a2n}是否为等比数列，并说明理由；（2）若，求{b n}的前n项和S n．解：（1）数列{a n}中，a1＝9，a2＝3，且，可得a3＝（1+2×0）a1﹣2＝9﹣2＝7，a4＝（1+2×1）a2﹣2×0＝9，a5＝（＝（1+2×0）a3﹣2＝5，a6＝（＝（1+2×1）a4﹣2×0＝27，…，a2n＝（＝（1+2×|cos（n﹣1）π|）a2n﹣2﹣2|sin（n﹣1）π|＝3a2n﹣2，可得数列{a2n}是首项为3，公比为3的为等比数列；（2）由（1）可得数列{a2n﹣1}是首项为9，公差为﹣2的为等差数列，可得a2n﹣1＝9﹣2（n﹣1）＝11﹣2n，则＝＝＝（﹣），可得{b n}的前n项和S n＝（﹣+﹣+…+﹣）＝（﹣﹣）＝．21．已知钝角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，其中A为钝角，若b＝a tan B，且2sin C＝2sin B cos A+．（1）求角C；（2）若点D满足，且AD＝，求△ABC的周长．解：（1）∵b＝a tan B，∴＝tan B＝，∵sin B≠0，∴sin A＝cos B，∵2sin C＝2sin B cos A+，∴2sin（A+B）＝2sin B cos A+，∴2sin A cos B+2sin B cos A＝2sin B cos A+，∴2sin A cos B＝，∴sin A＝cos B＝，∵A为钝角，∴A＝，B＝，C＝，（2）由（1）可知a＝，∵，∴BD＝，∵AD＝，△ABD中，由余弦定理可得，cos B＝＝，解可得，c＝b＝，a＝3，故周长为2．22．已知函数f（x）＝xe x+a（x+1）2（a∈R）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围．解：（1）由f（x）＝xe x+a（x+1）2，可得f′（x）＝（x+1）e x+2a（x+1）＝（x+1）（e x+2a），①当a≥0时，由f′（x）＞0，可得x＞﹣1；由f′（x）＜0，可得x＜﹣1，即有f（x）在（﹣∞，﹣1）递减；在（﹣1，+∞）递增；②当a＜0时，由f'（x）＝0得x＝﹣1或x＝ln（﹣2a）；若a＝﹣，则f'（x）＝（x+1）（e x﹣e﹣1），当x≤﹣1时，f′（x）≥0，当x＞﹣1时，f'（x）＞0；∴∀x∈R，f'（x）≥0恒成立，即有f（x）在R上递增；若a＜﹣时，则ln（﹣2a）＞﹣1；由f′（x）＞0，可得x＜﹣1或x＞ln（﹣2a）；由f′（x）＜0，可得1＜x＜ln（﹣2a）．即有f（x）在（﹣∞，﹣1），（ln（﹣2a），+∞）递增；在（﹣1，ln（﹣2a））递减；若0＞a＞﹣，则ln（﹣2a）＜﹣1，由f′（x）＞0，可得x＜ln（﹣2a）或x＞﹣1；由f′（x）＜0，可得ln（﹣2a）＜x＜﹣1．即有f（x）在（﹣∞，ln（﹣2a）），（﹣1，+∞）递增；在（ln（﹣2a），﹣1）递减．（2）①由（1）可得当a＞0时，f（x）在（﹣∞，﹣1）递减；在（﹣1，+∞）递增，且f（﹣1）＝﹣，f（0）＝a，取b满足b＜﹣1且b﹣2＜ln．则f（b﹣2）＞（b ﹣2）+a（b﹣1）2＝a（b2﹣b）＞0，∴f（x）有两个零点；②当a＝0时，f（x）＝xe x，所以f（x）只有一个零点x＝0；③当a＜0时，若a＜﹣时，由（1）知f（x）在（﹣1，ln（﹣2a））递减，在（﹣∞，﹣1），（ln（﹣2a），+∞）递增，又当x≤﹣1时，f（x）＜0，所以f（x）不存在两个零点；当a≥﹣时，由（1）知，f（x）在（﹣1，+∞）单调增，又当x≤﹣1时，f（x）＜0，故f（x）不存在两个零点；综上可得，f（x）有两个零点时，a的取值范围为（0，+∞）．。
2020届高考数学(理)一轮必刷题 专题47 两直线的位置关系、距离公式(解析版)
考点47 两直线的位置关系、距离公式1．（湖南省师范大学附属中学2019届高三下学期模拟三理）长方体1111ABCD A B C D -中，1AB BC ==，1BB ，设点A 关于直线1BD 的对称点为P ，则P 与1C 两点之间的距离为（ ）A ．2BC ．1D ．12【答案】C 【解析】将长方体中含有1ABD 的平面取出，过点A 作1AM BD ⊥，垂足为M ，延长AM 到AP ，使M P AM =，则P 是A 关于1BD 的对称点，如图所示，过P 作1PE BC ⊥，垂足为E ，连接PB ，1PC ，依题意1AB =，1AD ，12BD =，160ABD ∠=︒，30BAM ∠=︒，30PBE ∠=︒，12PE =，2BE =，所以11PC =. 故选C .2．（四川省宜宾市2019届高三第三次诊断性考试数学理）已知双曲线的左右焦点分别为，以它的一个焦点为圆心，半径为的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于两点，则四边形的面积为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】D 【解析】 因为双曲线的左右焦点分别为双曲线的渐近线方程为，即其中一条渐近线方程为以它的一个焦点为圆心，半径为的圆恰好与双曲线的两条渐近线分别切于A ，B 两点 根据焦点到渐近线的距离及双曲线中的关系可得所以解得， 进而可求得切点则四边形的面积为故选：D3．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）设点P 为直线l ：40x y +-=上的动点，点(2,0)A -，()2,0B ，则||||PA PB +的最小值为（ ）A． BC．D【答案】A 【解析】依据题意作出图像如下：设点()2,0B 关于直线l 的对称点为()1,B a b ，则它们的中点坐标为：2,22a b +⎛⎫⎪⎝⎭，且1PB PB = 由对称性可得：()011224022b a a b -⎧⨯-=-⎪⎪-⎨+⎪+-=⎪⎩，解得：4a =，2b =所以()14,2B因为1||||||||PA PB PA PB +=+，所以当1,,A P B 三点共线时，||||PA PB +最大 此时最大值为1AB ==故选：A4．（贵州省贵阳市2019年高三5月适应性考试二理）双曲线的两条渐近线分别为，，为其一个焦点，若关于的对称点在上，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】 不妨取，设其对称点在，由对称性可得：，解得：，点在，则： ，整理可得：，双曲线的渐近线方程为：.故选：D .5．（广东省广州市普通高中毕业班2019届高三综合测试二理）已知点A 与点(1,2)B 关于直线30x y ++=对称，则点A 的坐标为（ ） A ．(3,4) B ．(4,5)C ．(4,3)--D ．(5,4)--【答案】D 【解析】设(),A x y ,则123052224(1)11x y x y y x ++⎧++=⎪=-⎧⎪∴⎨⎨-=-⎩⎪⋅-=-⎪-⎩，选D.6．（甘肃省2019届高三第一次高考诊断考试理）抛物线28y x =的焦点到双曲线2214y x -=的渐近线的距离是（ ） ABC．5D【答案】C 【解析】依题意，抛物线的焦点为()2,0，双曲线的渐近线为2y x =±，其中一条为20x y -=，由点到直线的距离公式得5d ==.故选C. 7．（黑龙江省齐齐哈尔市2019届高三第二次模拟考试数学理）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左，右焦点分别为1F ，2F ，过1F 作垂直x 轴的直线交椭圆E 于,A B 两点，点A 在x 轴上方.若3AB =，2ABF ∆的内切圆的面积为916π，则直线2AF 的方程是（ ） A ．ln()x a <- B ．2320x y +-=C ．4340x y +-=D ．3430x y +-=【答案】D 【解析】设内切圆半径为r ，则2916r ππ=，∴34r =，()1,0F c -，∴内切圆圆心为3,04c ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，由3AB =知3,2A c ⎛⎫- ⎪⎝⎭， 又()2,0F c ，所以2AF 方程为3430x cy +-=， 由内切圆圆心到直线2AF 距离为r ，34=得1c =，所以2AF 方程为3430x y +-=. 故选D 项8．（辽宁省丹东市2019届高三总复习质量测试一理）已知F是椭圆22:196x yC+=的右焦点，直线0x-=与C相交于,M N两点，则MNF∆的面积为（）AB．CD．【答案】C【解析】22196x yx⎧+=⎪⎨⎪+=⎩解得223xxy y⎧=⎪⎧=⎪⎪⎨⎨=⎪⎩⎪=-⎪⎩，即)22,,33M N⎛⎫--⎪⎪⎝⎭163MN∴==右焦点)F到直线0x+=11623ABCS∴=⨯=故选C项.9．（广西壮族自治区柳州市2019届高三毕业班3月模拟考试数学理）圆22430x y x+-+=关于直线3y x=对称的圆的方程是（）A．(()2211x y+-=B．()2221x y+-=C．()2211x y+-=D．()(2211x y-+-=【答案】D【解析】由题意得，圆22430x y x+-+=方程即为()2221x y-+=，∴圆心坐标为()2,0，半径为1．设圆心()2,0关于直线y x =的对称点的坐标为(),a b ，则1232232b a b a ⎧⋅=-⎪⎪-⎨+⎪=⋅⎪⎩，解得1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩∴所求圆的圆心坐标为(， ∴所求圆的方程为()(2211x y -+=．故选D ．10．（湖南省三湘名校（五市十校)2019届高三下学期第一次联考数学理）如图，O 是坐标原点，过(,0)E p 的直线分别交抛物线22(0)y px p =>于A 、B 两点，直线BO 与过点A 平行于x 轴的直线相交于点M ，过点M 与此抛物线相切的直线与直线x p =相交于点N .则22||ME NE -=（ ）A ．2pB ．2pC ．22pD ．24p【答案】C 【解析】过E （p ，0）的直线分别交抛物线y 2＝2px （p ＞0）于A 、B ，两点为任意的，不妨设直线AB 为x ＝p ，由2y 2pxx p⎧=⎨=⎩，解得y ＝，则A （p），B （p），∵直线BM 的方程为y，直线AM 的方程为y ＝x ，解得M （﹣p），∴|ME |2＝（2p ）2+2p 2＝6p 2，设过点M 与此抛物线相切的直线为y＝k （x +p ），由()2y 2=k px x p ⎧=⎪⎨+⎪⎩，消x 整理可得ky 2﹣2py ﹣+2p 2k ＝0， ∴△＝4p 2﹣4k （﹣+2p 2k ）＝0，解得k＝2， ∴过点M 与此抛物线相切的直线为yp＝2（x +p ），由()=2x p x p =⎧⎪⎨+⎪⎩，解得N （p ，2p ）， ∴|NE |2＝4p 2，∴|ME |2﹣|NE |2＝6p 2﹣4p 2＝2p 2，故选：C ．11．（江西省南昌市2019届高三第一次模拟考试数学理）已知(A，B ，P 为圆221x y +=上的动点，AP PQ =，过点P 作与AP 垂直的直线l 交直线QB 于点M ，则M 的横坐标范围是( ) A ．||1x ≥ B ．||1x >C ．||2x ≥D．||2x ≥【答案】A 【解析】设P （00x ,y ），则Q （20x ，20y ）， 当0y ≠0时， kAP =kPM 00x y =-，直线PM ：y﹣000x y y +=-x ﹣0x ），①直线QB ：y ﹣002y 2x =（x ，② 联立①②消去y 得x =，∴x =，由|0x |＜1得x 2＞1，得|x|＞1，当0y ＝0时，易求得|x|＝1， 故选：A ．12．（辽宁省沈阳市东北育才学校2019届高三第五次模拟数学理）若双曲线222:14x y C m-=的焦距为则C 的一个焦点到一条渐近线的距离为 ( ) A ．2 B ．4CD．【答案】B 【解析】因为双曲线222:14x y C m-=的焦距为所以2420m +=，即216m =；所以其中一个焦点坐标为()，渐近线方程为2y x =，所以焦点到渐近线的距离为d 4==.故选B13．（安徽省黄山市2019届高三第一次质量检测一模数学理）直线与轴的交点为,点把圆的直径分为两段，则较长一段比上较短一段的值等于 ( )A ．2B ．3C ．4D ．5 【答案】A 【解析】令代入可得，圆心坐标为，则与圆心的距离为，半径为6，可知较长一段为8，较短一段4，则较长一段比上较短一段的值等于2。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
说明：1、 本试卷满分150分，时间120分钟 ；2、考试范围：集合与简易逻辑，函数，导数及其应用；3、请将选择题答案按顺序在答题卷上用2B 铅笔涂黑，将填空题和解答题用0.5mm 黑色水笔写在指定区域，否则答题无效。
2019-2020年高三9月联考（数学理）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1、全集2,{2,1,1,2},{320},U Z A B x x x ==--=-+=则B C A U ⋂=（ ）A. {}1,2--B. {}1,2C. {}2,1-D. {}1,2- 2、已知命题p ：∃n ∈N,2n ＞100，则p 的否定为( )A ．∀n ∈N,2n ≤100B ．∀n ∈N,2n ＞100C ．∃n ∈N,2n ≤100D ．∃n ∈N,2n ＜1003．ax 2＋2x ＋1＝0至少有一个负的实根的充要条件是( )A ．0＜a ≤1B ．a ＜1C ．a ≤1D ．0＜a ≤1或a ＜04．已知函数f (x )的导函数为'()f x ，且满足f (x )＝2x '(1)f ＋ln x ，则'(1)f ＝ ( )A ．－eB ．－1C ．1D ．e5. 设()f x 为定义在R 上的奇函数，当0x ≥时，()()32x f x x a a =-+∈R ，则()2f -=（ ）A.-1B.-4C.1D.46. 若直线y =2a 与函数y =|a x －1|(a >0且a ≠1)的图象有两个公共点，则实数a 的取值范围是（ ）A.)1,0(B.),1(+∞C.)21,0(D.),21(+∞7. 已知命题p :函数()sin 2f x x =的最小正周期为π；命题q ：若函数)1(+x f 为偶函数，则)(x f 关于1=x 对称.则下列命题是真命题的是（ ）A.q p ∧B.)q (p ⌝∨C.()()p q ⌝∧⌝D.q p ∨8. 设f(x)、g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当x ＜0时,g(-2)=0且)()()()(''x g x f x g x f ⋅+⋅ ＞0,则 不等式g (x)⋅f(x) ＜0的解集是（ ）A.(-2, 0)∪(2,+ ∞)B.(-2, 0)∪(0,2)C.(-∞, -2)∪(2,+ ∞)D.(-∞, -2)∪（0,2)y=f (x )9.()()()f x x a x b =--（其中a b >）的图象如图1所示，则函数()x g x a b =+的图象是图2中的（ ）图1 图210.已知()y f x =为R 上的可导函数，当0x ≠时，()()'0f x f x x+>，则关于x 的函数()()1g x f x x=+的零点个数为（ ） A.1 B.2 C.0 D.0或 2 11. 关于x 的方程()2224440x x k ---+=，给出下列四个命题：①存在实数k ，使得方程恰有2个不同的实根；②存在实数k ，使得方程恰有4个不同的实根；③存在实数k ，使得方程恰有5个不同的实根；④存在实数k ，使得方程恰有8个不同的实根.其中假命题的个数是（ ）A. 0B. 1C. 2D. 312.定义在()1,1-上的函数()f x 满足()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-xy y x f y f x f 1；当()1,0x ∈-时，()0f x >，若11511P f f ⎛⎫⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()1,02Q f R f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，则P ，Q ，R 的大小关系为（ ）A.R ＞Q ＞PB.R ＞P ＞QC. P ＞R ＞QD. Q ＞P ＞R第II 卷二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.将答案填在答题卷相应位置上.）13. 已知,4),1(4,2)(⎩⎨⎧<+≥=x x f x x f x 则)3(log 2f =14. 若函数321(02)3x y x x =-+<<的图象上任意点处切线的倾斜角为α，则α的最小值是 。
（2）()()()()(f x x a x b x c a b c =---设函数、、是两两不等的常数），则=++)()()('''c f c b f b a f a 16.设()f x 是定义在R 上的偶函数，对任意的x ∈R ，都有)2()2(+=-x f x f ，且当[2,0]x ∈-时，1()12x f x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，若关于x 的方程()log (2)0a f x x -+=()1a >在区间(2,6]-内恰有三个不同实根，则实数a 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，满分70分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤，并写在指定区域）17.（本小题满分10分）已知函数x a k x f -⋅=)(（a k ,为常数,0>a 且1≠a ）的图象过点)8,3(),1,0(B A .（1）求实数a k ,的值;（2）若函数1)(1)()(+-=x f x f x g ,试判断函数)(x g 的奇偶性,并说明理由. 18.（本小题满分12分）已知三次函数)(x f 的导函数ax x x f 33)(2-='，b f =)0(，a ．b为实数.（1）若曲线=y )(x f 在点（1+a ，)1(+a f ）处切线的斜率为12，求a 的值；（2）若)(x f 在区间［-1，1］上的最小值．最大值分别为-2．1，且21<<a ，求函数)(x f 的解析式.19.（本小题满分12分）已知函数1,(2)1()3,(2)2151,()2x x f x x x x x ⎧⎪--<-⎪⎪=+-≤≤⎨⎪⎪+>⎪⎩ （Ⅰ）求函数()f x 的最小值；（Ⅱ）已知m ∈R ，命题p ：关于x 的不等式2()22f x m m ≥+-对任意x ∈R 恒成立；命题q ：函数2(1)x y m =-是增函数．若“p 或q ”为真，“p 且q ”为假，求实数m 的取值范围．20. （本小题满分12分）已知函数1)(2++=x b ax x f 在点))1(,1(--f 的切线方程为03=++y x . （Ⅰ）求函数()f x 的解析式；（Ⅱ）设x x g ln )(=，求证：)()(x f x g ≥在),1[+∞∈x 上恒成立.21.（本小题满分12分）设22()1x f x x =+，()52(0)g x ax a a =+->． （1）求()f x 在[0,1]x ∈上的值域；（2）若对于任意1[0,1]x ∈，总存在0[0,1]x ∈，使得01()()g x f x =成立，求a 的取值范围．22.（本小题满分12分） 已知函数()ln ()1a f x x a x =+∈+R ． （1）当29=a 时，求)(x f 的极值； （2）当2=a 时，试比较)(x f 与1的大小；（3）求证：121715131)1ln(+++++>+n n （n *N ∈）．高三年级九月月考数学（理）试题参考答案一， 择题选18，解析：（Ⅰ）由导数的几何意义)1(+'a f =12∴ 12)1(3)1(32=+-+a a a∴ 93=a ∴ 3=a ………………………4分（Ⅱ）∵ ax x x f 33)(2-='，b f =)0( ∴ b ax x x f +-=2323)( 由 0)(3)(=-='a x x x f 得01=x ，a x =2∵ ∈x ［-1，1］，21<<a∴ 当∈x ［-1，0）时，0)(>'x f ，)(x f 递增；当∈x （0，1］时，0)(<'x f ，)(x f 递减。
……………8分∴ )(x f 在区间［-1，1］上的最大值为)0(f∵ b f =)0(，∴ b =1 ……………………10分 ∵ a a f 2321231)1(-=+-=，a a f 231231)1(-=+--=- ∴ )1()1(f f <- ∴ )1(-f 是函数)(x f 的最小值，∴ 223-=-a ∴ 34=a ∴ )(x f =1223+-x x .................12分 19，解：（Ⅰ）20， 解：（Ⅰ）将1-=x 代入切线方程得2-=y ，211)1(-=+-=-a b f ，化简得4-=-a b …………………………………………2分222)1(2)()1()(x x b ax x a x f +⋅+-+='，12424)(22)1(-===-+=-'b b a b a f 解得：2,2-==b a .122)(2+-=x x x f . …………………………6分22，解：（1）当29=a 时，)1(29ln )(++=x x x f ，定义域是),0(+∞， 22)1(2)2)(12()1(291)(+--=+-='x x x x x x x f ， 令0)(='x f ，得21=x 或2=x ． 当210<<x 或2>x 时，0)(>'x f ，当221<<x 时，0)(<'x f ， ∴函数)(x f 在)21,0(．),2(+∞上单调递增，在)2,21(上单调递减． )(x f ∴的极大值是2ln 3)21(-=f ，极小值是2ln 23)2(+=f ．·············4分 （2）当2=a 时，12ln )(++=x x x f ，定义域为),0(+∞． 令112ln 1)()(-++=-=x x x f x h ，0)1(1)1(21)(222>++=+-='x x x x x x h ， )(x h ∴在),0(+∞上是增函数．①当1>x 时，0)1()(=>h x h ，即1)(>x f ；②当10<<x 时，0)1()(=<h x h ，即1)(<x f ；③当1=x 时，0)1()(==h x h ，即1)(=x f ．·········8分（3）根据（2）的结论，当1>x 时，112ln >++x x ，即11ln +->x x x ．。