人教版高中数学必修一2.3《幂函数》教案

2.3幂函数

（一）实例观察，引入新课

(1)如果张红购买了每千克1元的蔬菜w千克,那么她需要支付P = W元 P是W的函数

（y=x）

(2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积S=a2 S是a的函数

（y=x2）

(3)如果立方体的边长为a,那么立方体的体积V =a3 S是a的函数

（y=x3）

(4)如果一个正方形场地的面积为S,那么正方形的边长a=

1

2

S a是S的函数

（y=

1

2 x）

(5)如果某人 t s内骑车行进 1 km,那么他骑车的平均速度v=t-1 V是t的函数（y=x-1）

问题一：以上问题中的函数具有什么共同特征?

学生反应：底数都是自变量，指数都是常数.

【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征.（二）类比联想，探究新知

1.幂函数的定义

一般地，函数y=xɑ叫做幂函数(power function) ，

其中x为自变量，ɑ为常数。

注意:幂函数的解析式必须是y = ｘa 的形式，其特征可归纳为“系数为１，只有１项”．（让学生判断y=2x2 y=（x+1）2 y=x2+1 是否为幂函数）

【设计意图】加深学生对幂函数定义和呈现形式的理解.

2.幂函数的图像与简单性质

同前面的指数函数和对数函数一样，先画出函数的图像，再由图像来研究幂函数的相关性质（定义域，值域，单调性，奇偶性，定点）

不妨也找出典型的函数作为代表：

y=x y=x2 y=x3 y=

1

2

x y=x-1

让学生自主动手，在同一坐标系中画出这5个函数的图像

问题四:第一象限内函数图像的变化趋势与指数有什么关系,为什么？

学生反应:当指数为正时是增函数,指数为负时是减函数.为什么却讲不清楚.

教师讲解：指数为正分为正分数和正整数，正无理数我们高中不做研究，当是正整数时很显然递增，当是正分数时，可以化成根式，很显然当被开方数为正时，被开方数越大，整个根式值越大。而负指数可以化为正指数的倒数，分母递增，整个函数递减.

问题五：所有图像都过哪些点，为什么？

学生反应：都过点（1,1），因为1的任何指数幂都为1.

问题六:对于原点，什么样的幂函数过，什么样的幂函数不过，为什么？

学生反应：指数为正过，为负则不过，因为负指数幂可以化成分数形式，分母不能为零，所以在原点没有意义.

问题七：图像在第一象限的位置关系是什么样子的，为什么？

学生反应：当01时，指数大的图像在上方，对于原因大部分学生不能很快反应过来.

教师活动：在01时，指数大的函数值就大.

【总结】

幂函数不同于指数函数和对数函数拥有共同的定义域，所以幂函数的性质不可能全部总结清楚，但我们在探索性质的过程中知道了研究方法：指数是分数则化为根式，指数为负数则化为分式，这样对于定义域、值域、单调性、奇偶性都可以很容易看出来，不过要严格判

断单调性和奇偶性还要用定义进行证明,接下来不看图像很快得出5个幂函数的相关性质：

【设计意图】通过创设问题情境，激发学生的思维，并在新知探究的过程中自然形成一般方法的呈现，使学生易于领悟和接受.

（三）新知应用

【性质证明】证明幂函数[0，+∞)上是增函数

证明：1212

,[0,),,

x x x x

∈+∞<

任取且则

12

()()

f x f x

-==

x x

-

=

1212

0,0,

x x x x

≤<-<>

因为所以

12

()()

f x f x

<

所以

()[0,).

f x=+∞

即幂函数上的增函数

教师活动：强调教材中此例题的地位和作用：（1）复习定义证明单调性的过程.(2) 幂函数的单调性很容易观察，强调严格判断的时候要用单调性进行证明。（3）幂函数的单调性很容易观察，以至于在证明中直接用到了单调性，如直接判断

<

【例】比较下列各组数种两个值的大小

（1）

0.2

5.20.1

5.2

（2）

0.9

3.70.9

3.2

（3）

2.5

1.7 3.5

1.8

解：:(1) y= 5.2x是增函数,

∵0.1<0.2 ∴ 5.20.1 < 5.20.2

(2) y=x0.9在(0,+∞)内是增函数

∵ 3.2<3.7∴ 3.20.9 <3.70.9

（3） 1.72.5<1.82.5<1.83.5

【练习】已知一个函数

2

223 ()(1)m m f x m m x--

=--

是幂函数，且在区间（0，+∞）内是减函数，求满足条件的实数m的集合。

解：依题意,得

211

m m

--=解方程,得 m=2或m=-1

检验:当 m=2时,函数为

3

()

f x x-

=符合题意.

当m=-1时，不合题意,舍去.所以m=2

【设计意图】增强学生对新知的应用能力，从而达到能力的转型和对知识理解的深化.（四）课堂小结，归纳提升

（1）知识总结：回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质.

（2）思想方法：主要涉及到了归纳总结的思想，回顾研究一般具体幂函数的可行方法.（五）课后作业，巩固训练

P79习题2.3： 1，2，3.