2019上海复旦附中高一期中
2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期中数学试卷
2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1. 已知集合A＝{2, 0, 1, 9}，则集合A的非空真子集的个数为________．【答案】14【考点】子集与真子集【解析】若集合A中有n个元素，则集合A中有2n−2个非空真子集．【解答】∵集合A＝{2, 0, 1, 9}，∴集合A的非空真子集的个数为：24−2＝14．2. U＝{−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3}，A＝{x|x2−1≤0, x∈Z}，B＝{x|−1≤x≤3, x∈Z}，则(∁U A)∩B＝________．【答案】{2, 3}【考点】交、并、补集的混合运算【解析】用列举法求出集合A和B，再根据集合的补集的定义、两个集合的交集的定义求出(∁U A)∩B．【解答】∵A＝{x|x2−1≤0, x∈Z}＝{−1, 0, 1}，B＝{x|−1≤x≤3, x∈Z}＝{−1, 0, 1, 2, 3}，∴∁U A＝{x|x≤−2, 或 x≥2, x∈Z}，∴(∁U A)∩B＝{2, 3}，3. 不等式-2<1x <3的解集是________|________<13} ．【答案】{x,x<−12或0<x【考点】其他不等式的解法【解析】结合x的范围，去分母转化为一次不等式即可求解．【解答】∵ -2<1x<3，当x>0时，−2x<1<3x，解可得，$${\{}$ - \${dfrac\{1\}\{2\}}$∴ {0}$当x<0时，−2x>1>3x，解可得，x<−12，综上可得，不等式的解集为{x|x<−12或0<x<13}．4. 设集合T＝{⌀, {⌀}}，则下列命题：①⌀∈T，②⌀⊆T，②{⌀}∈T，④{⌀}⊆T中正确的是________．【答案】①②③④【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】根据元素与集合的关系即可判断出①③都正确，根据子集的定义即可判断出②④都正确，从而找出正确的命题序号．【解答】∵T＝{⌀, {⌀}}，∴⌀∈T，⌀⊆T，{⌀}∈T，{⌀}⊆T．5. 若集合{x|y=√x2+2(a+1)x+a2−5}=R，则实数a的取值范围是________．【答案】(−∞, 3]【考点】函数的定义域及其求法【解析】由题意可得，x2+2(a+1)x+a2−5≥0恒成立，结合二次不等式的恒成立问题即可求解．【解答】由题意可得，x2+2(a+1)x+a2−5≥0恒成立，∴△＝4(a+1)2−4(a2−5)≤0，解可得，a≤−3，6. 如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q 含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，则P含有________个元素．【答案】5【考点】交、并、补集的混合运算【解析】作出维恩图，由维恩图能求出集合P中含有的元素个数．【解答】由全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，作出维恩图，图中数字代表集合中包含的元素的个数，由维恩图结合题意得：4+x+2+3＝12，解得x＝3．∴集合P中含有的元素个数为：2+x＝2+3＝5．7. 已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为________．【答案】3−2√2【考点】正弦定理【解析】设直角边长为a，b，则斜边长为√a2+b2，利用直角三角形ABC的三边之和为2，可得a+b+√a2+b2=2，利用基本不等式，即可求△ABC的面积的最大值．【解答】设直角边长为a，b，则斜边长为√a2+b2，∵直角三角形ABC的三边之和为2，∴a+b+√a2+b2=2，∴2≥2√ab+√2ab，∴√ab≤=2−√2，2+√2∴ab≤6−4√2，∴S=1ba≤3−2√2，2∴△ABC的面积的最大值为3−2√2．8. 若f(x)在区间[t, t2−2t−2]上为奇函数，则实数t的值为________．【答案】−1【考点】函数奇偶性的性质与判断【解析】由奇函数的定义域关于原点对称可知，t+t2−2t−2＝0，且t2−2t−2>0，即可求解．【解答】由奇函数的定义域关于原点对称可知，t+t2−2t−2＝0，且t2−2t−2>0，∴t2−t−2＝0，解可得t＝2（舍）或t＝−1，9. 已知不等式|x−3|−|x+4|<a解集非空，则实数a的取值范围为________．【答案】(−7, +∞)【考点】绝对值不等式的解法与证明【解析】由题意，不等式|x−3|−|x+4|<a解集非空可转化为|x−3|−|x+4|的最小值小于a，依据绝对值的几何意义求出|x−3|−|x+4|的最小值，即可得出参数a的取值范围．【解答】不等式|x −3|−|x +4|<a 解集非空，所以|x −3|−|x +4|的最小值小于a ， 又|x −3|−|x +4|≥−7，此时x ≥3 ∴ a >−710. 对于集合M ，定义函数f M (x)={−1,x ∈M1,x ∉M ，对于两个集合A ，B ，定义集合A ∗B＝{x|f A (x)⋅f B (x)−1}．已知集合A ={x|√2−x >x}，B ＝{x|x(x −3)(x +3)>0}，则A ∗B ＝________． 【答案】(−∞, 1)∪(3, +∞) 【考点】子集与交集、并集运算的转换 【解析】求出集合A ，B ，利用新定义求出A ∗B 即可． 【解答】A ＝(−∞, 1)，B ＝(−∞, −3)∪(3, +∞)， f A (x)⋅f B (x)＝−1，当f A (x)＝1，f B (x)＝−1，A ∗B ＝B ，当f A (x)＝−1，f B (x)＝1，A ∗B ＝[−3, 1)， 故A ∗B ＝(−∞, 1)∪(3, +∞)，11. 若实数x ，y ≥0满足x +3y −xy ＝1，求3x +4y 的最小值为________． 【答案】43【考点】基本不等式及其应用 【解析】将等式x +3y −xy ＝1，转化得x =3y−1y−1，代入3x +4y 中，将限制条件下的二元函数最值化为一元函数最值问题，此一元函数为对勾函数模型，接下来按照对勾函数单调性的方法解题 【解答】由x +3y −xy ＝1，得；x +3y −xy ＝1x =3y−1y−1≥0，y ∈[0,13]∪(1,+∞)，3x +4y =33y−1y−1+4y =13+6y−1+4(y −1)，当y >1时，3x +4y ≥13+2√24=13+4√6；当y ∈[0,13]时，设y −1=u ∈[−1,−23]，6y−1+4(y −1)=6u +4u 在[−1,−23]上单调递减，在u =−23处取得最小值−9−83，3x +4y 取得最小值43， 综上可得3x +4y 取得最小值43，12. 已知a >0，且对任意x >0，有(x −a)(x 2+bx −a)≥0恒成立，则ab 的取值范围为________．【答案】(−∞, −1)∪(0, +∞)【考点】函数恒成立问题【解析】首先分析出x＝a是方程x2+bx−a＝0的根，得到a+b−1＝0，再运用a的几何意义b求解．【解答】∵对任意x>0，有(x−a)(x2+bx−a)≥0恒成立，∴x＝a是方程x2+bx−a＝0的根，即a2+ab−a＝0，又a>0，则a+b−1＝0，∴(b, a)可理解为直线a+b−1＝0上纵坐标大于0的点，则a的几何意义即为直线a+bb−1＝0上纵坐标大于0的点与原点连线的斜率，如图，∈(−∞,−1)∪(0,+∞)．直线a+b−1＝0的斜率为−1，由图象可知，ab二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A.若q不正确，则p不正确B.若q不正确，则p正确C.若p正确，则q不正确D.若p正确，则q正确【答案】D【考点】四种命题间的逆否关系【解析】由命题“若p不正确，则q不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果．【解答】命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是：“若q不正确，则p不正确”其等价命题是它的逆否命题，即“若p正确，则q正确”已知a，b∈R，则“|a|<1，|b|<1”是“不等式ab+1>a+b”成立的（）条件．A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分又不必要【答案】A【考点】充分条件、必要条件、充要条件【解析】根据“不等式ab+1>a+b”成立等价于“ab+1−a−b＝(b−1)(a−1)>0”，所以“|a|<1，|b|<1”必有(b−1)(a−1)>0；反之，不一定成立，即可得出结果．【解答】∵ “不等式ab+1>a+b”成立等价于“ab+1−a−b＝(b−1)(a−1)>0”，∴当“|a|<1，|b|<1时，则(b−1)(a−1)>0成立；当(b−1)(a−1)>0时，有a>1且b>1；或者a<1且b<1；故“|a|<1，|b|<1”是“不等式ab+1>a+b”成立的充分非必要条件；>0，定义在R上的偶函数f(x)满足对任意x1，x2∈(−∞, 0](x1≠x2)，有f(x2)−f(x1)x2−x1则当n∈N∗时，有（）A.f(−n)<f(n−1)<f(n+1)B.f(n−1)<f(−n)<f(n+1)C.f(n+1)<f(−n)<f(n−1)D.f(n+1)<f(n−1)<f(−n)【答案】C【考点】奇偶性与单调性的综合【解析】利用函数的奇偶性，单调性判断即可．【解答】根据题意，函数f(x)是偶函数，且在(−∞, 0]递增，(0, +∞)递减，因为0<n−1<n<n+1，所以f(n−1)>f(n)>f(n+1)，设集合P1={x|x2+ax+1>0}，P2={x|x2+ax+2>0}，Q1={x|x2+x+b>0}，Q2={x|x2+2x+b>0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A.对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B.对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C.存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D.存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集【答案】B【考点】集合的包含关系判断及应用【解析】运用集合的子集的概念，令m ∈P 1，推得m ∈P 2，可得对任意a ，P 1是P 2的子集；再由b ＝1，b ＝5，求得Q 1，Q 2，即可判断B 正确，A ，C ，D 错误． 【解答】解：对于集合P 1={x|x 2+ax +1>0}，P 2={x|x 2+ax +2>0}， 可得当m ∈P 1，即m 2+am +1>0，可得m 2+am +2>0， 即有m ∈P 2，可得对任意a ，P 1是P 2的子集；当b =5时，Q 1={x|x 2+x +5>0}=R ，Q 2={x|x 2+2x +5>0}=R ， 可得Q 1是Q 2的子集；当b =1时，Q 1={x|x 2+x +1>0}=R ，Q 2={x|x 2+2x +1>0}={x|x ≠−1且x ∈R}，可得Q 1不是Q 2的子集．综上可得，对任意a ，P 1是P 2的子集，存在b ，使得Q 1是Q 2的子集． 故选B .三、解答题（本大题共有5题，满分38分）已知集合A ＝{x|x 2−(m +3)x +2(m +1)0}，B ＝{x|2x 2+(3n +1)x +20}，其中m ，n ∈R ．（1）若A ∩B ＝A ，求m ，n 的值；（2）若A ∪B ＝A ，求m ，n 的取值范围． 【答案】集合A ＝{x|x 2−(m +3)x +2(m +1)0}，B ＝{x|2x 2+(3n +1)x +20}，其中m ，n ∈R ．解x 2−(m +3)x +2(m +1)＝0得：x ＝2，或x ＝m +1， 若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，将x ＝2代入2x 2+(3n +1)x +2＝0得：n ＝−2，则B ＝{x|2x 2+(3n +1)x +20, n ∈R}＝{x|2x 2−5x +20}＝{2, 12}． 则m +1=12，则m =−12，当A ＝{2}时，m +1＝2，解得m ＝1， 综上m =−12，n ＝−2，或m ＝1，n ＝−2． 若A ∪B ＝A ，则非空集合B ⊆A ，当△＝(3n +1)2−16＝0时，n =−53，B ＝{1}，m +1＝1，m ＝0， 或n ＝1时，B ＝{−1}，m +1＝−1，m ＝−2；当△＝(3n +1)2−16≥0，即n ≤−53，或n ≥1时，则2∈B ，由（1）得：m =−12，n ＝−2；当△＝(3n +1)2−16<0时，即$${\{}$ - \${dfrac\{5\}\{3\}}$综上，{m ∈Rn ∈(−53,1) 或{m =−2n =1 或{m =0n =−53或{m =−12n =−2 ． 【考点】交、并、补集的混合运算【解析】（1）解x 2−(m +3)x +2(m +1)＝0得：x ＝2，或x ＝m +1，若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，将x ＝2代入2x 2+(3n +1)x +2＝0可得答案；（2）若A ∪B ＝A ，则非空集合B ⊆A ，分当△＝0和当△>0两种情况讨论满足条件的m ，n 的值，综合讨论结果，可得答案． 【解答】集合A ＝{x|x 2−(m +3)x +2(m +1)0}，B ＝{x|2x 2+(3n +1)x +20}，其中m ，n ∈R ．解x 2−(m +3)x +2(m +1)＝0得：x ＝2，或x ＝m +1， 若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，将x ＝2代入2x 2+(3n +1)x +2＝0得：n ＝−2，则B ＝{x|2x 2+(3n +1)x +20, n ∈R}＝{x|2x 2−5x +20}＝{2, 12}． 则m +1=12，则m =−12，当A ＝{2}时，m +1＝2，解得m ＝1， 综上m =−12，n ＝−2，或m ＝1，n ＝−2． 若A ∪B ＝A ，则非空集合B ⊆A ，当△＝(3n +1)2−16＝0时，n =−53，B ＝{1}，m +1＝1，m ＝0， 或n ＝1时，B ＝{−1}，m +1＝−1，m ＝−2；当△＝(3n +1)2−16≥0，即n ≤−53，或n ≥1时，则2∈B ，由（1）得：m =−12，n ＝−2；当△＝(3n +1)2−16<0时，即$${\{}$ - \${dfrac\{5\}\{3\}}$综上，{m ∈Rn ∈(−53,1) 或{m =−2n =1 或{m =0n =−53或{m =−12n =−2 ．设a >0，b >0，且a +b =1a +1b ．求证： （1）a +b ≥2；（2）a 2+a <2与b 2+b <2不可能同时成立． 【答案】由a +b =1a +1b ,a >0,b >0，得ab =1，由基本不等式及ab =1，有a +b ≥2√ab =2，即a +b ≥2． 假设a 2+a <2与b 2+b <2同时成立，则a 2+a <2且b 2+b <2，则a 2+a +b 2+b <4，即：(a +b)2+a +b −2ab <4，由（1）知ab =1因此(a +b)2+a +b <6① 而a +b ≥2，因此(a +b)2+a +b ≥6②，因此①②矛盾， 因此假设不成立，原结论成立． 【考点】 不等式的证明 【解析】（1）由已知等式可得ab=1，再由基本不等式即可得证；（2）运用反证法证明，结合不等式的性质，即可得到矛盾，进而得到证明．【解答】由a+b=1a +1b,a>0,b>0，得ab=1，由基本不等式及ab=1，有a+b≥2√ab=2，即a+b≥2．假设a2+a<2与b2+b<2同时成立，则a2+a<2且b2+b<2，则a2+a+b2+b<4，即：(a+b)2+a+b−2ab<4，由（1）知ab=1因此(a+b)2+a+b<6①而a+b≥2，因此(a+b)2+a+b≥6②，因此①②矛盾，因此假设不成立，原结论成立．如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【答案】设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y＝x(l−3x)；由x>0，且l−3x>0，可得函数的定义域为(0, l3)；y＝x(l−3x)=13×3x(l−3x)≤13×(3x+l−3x2)2=l212，当x=l6时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l−3x=12l，最大面积为l212．【考点】基本不等式及其应用【解析】（1）由题意设长方形场地的宽为x，则长为l−3x，表示出面积y；由x>0，且l−3x>0，可得函数的定义域；（2）对其运用基本不等式求出函数的最值即场地的面积最大值，从而求解．【解答】设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y＝x(l−3x)；由x>0，且l−3x>0，可得函数的定义域为(0, l3)；y＝x(l−3x)=13×3x(l−3x)≤13×(3x+l−3x2)2=l212，当x=l6时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l−3x=12l，最大面积为l212．已知函数f(x)=x2+ax，（1）判断f(x)的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f(x)在x∈(0, 1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈(0, +∞)，不等式f(x)>m−√m−1恒成立，求实数m的取值范围．【答案】当a＝0时，f(x)＝x2，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f(−x)＝f(x)∴f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+ax，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f(1)＝1+a，f(−1)＝1−a，故f(−1)≠f(1)，f(−1)≠−f(1)，∴f(x)无奇偶性．f(x)=x2+2x，任取0<x1<x2≤1，则f(x1)−f(x2)=x12+2x1−x22−2x2=x1−x2x1x2[x1x2(x1+x2)−2]，∵0<x1<x2≤1，∴x1−x2<0，x1x2>0，x1x2(x1+x2)<2，∴f(x1)−f(x2)>0，所以f(x)在区间(0, 1]上是递减．（1）由题意得f(x)min>m−√m−1，由（2）知f(x)在区间(0, 1]上是递减，同理可得f(x)在区间[1, +∞)上递增，所以f(x)min＝f(1)＝3，所以3>m−√m−1，即m−1−√m−1−2<0，令√m−1=t,(t≥0)，则t2−t−2<0，解得−1<t<2，故0≤t<2即0≤√m−1<2，即1≤m<5．【考点】函数恒成立问题【解析】（1）当a＝0时，f(x)＝x2，判断f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+ax，用定义法判断f(x)无奇偶性．（2）f(x)=x2+2x，利用函数的单调性的定义判断函数的单调性．（3）由题意得f(x)min>m−√m−1，求出f(x)min＝f(1)＝3，利用换元法转化求解m的范围即可．【解答】当a＝0时，f(x)＝x2，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f(−x)＝f(x)∴f(x)为偶函数；当a≠0时，f(x)=x2+ax，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f(1)＝1+a，f(−1)＝1−a，故f(−1)≠f(1)，f(−1)≠−f(1)，试卷第11页，总13页∴ f(x)无奇偶性． f(x)=x 2+2x，任取0<x 1<x 2≤1，则f(x 1)−f(x 2)=x 12+2x 1−x 22−2x2=x 1−x 2x 1x 2[x 1x 2(x 1+x 2)−2]，∵ 0<x 1<x 2≤1，∴ x 1−x 2<0，x 1x 2>0，x 1x 2(x 1+x 2)<2，∴ f(x 1)−f(x 2)>0，所以f(x)在区间(0, 1]上是递减．（1）由题意得f(x)min >m −√m −1，由（2）知f(x)在区间(0, 1]上是递减，同理可得f(x)在区间[1, +∞)上递增， 所以f(x)min ＝f(1)＝3，所以3>m −√m −1，即m −1−√m −1−2<0，令√m −1=t,(t ≥0)，则t 2−t −2<0，解得−1<t <2，故0≤t <2 即0≤√m −1<2，即1≤m <5．设函数f(x)为定义在R 上的奇函数，且当x ∈[0, +∞)时，f(x)＝−x 2+2x ． （1）求函数f(x)的解析式；（2）求实数a ，b ，使得函数f(x)在区间[a, b]⊆[1, +∞)上的值域为[1b ,1a ]；（3）若函数f(x)在区间[a, b]上的值域为[1b ,1a ]，则记所有满足条件的区间[a, b]的并集为D ，设g(x)＝f(x)(x ∈D)，问是否存在实数m ，使得集合{(x, y)|yg(x)}∩{(x, y)|yx 2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】因为f(x)是奇函数，令x <0，则−x >0，所以f(−x)＝−(−x)2+2(−x)＝−x 2−2x ＝−f(x)， 所以x <0时，f(x)＝x 2+2x ， 所以f(x)={−x 2+2x,x ≥0,x 2+2x,x <0； 由（1）可知，当[a, b]⊆[1, +∞)时，f(x)＝−(x −1)2+1，函数f(x)单调递减， 则有{f(a)=−a 2+2a =1af(b)=−b 2+2b =1b，解得a ＝1，b =√5+12， 由（2）知，函数f(x)在[1, +∞)上满足条件的区间为[1, √5+12]当区间[a, b]⊆[0, 1]时，[1b ,1a ]⊆[1, +∞)，而函数f(x)＝−x 2+2x 在[0, 1]上的值域为[0, 1]，所以函数f(x)在[0, 1]上不存在这样的区间，故函数f(x)在[0, +∞)上满足条件的区间为[1, √5+12]．当x ∈(−∞, 0)时，同理可知f(x)的倒值区间为[−√5+12, −1]．故g(x)={−x 2+2x,x ∈[1,√5+12]x 2+2x,x ∈[−√5+12,−1]．试卷第12页，总13页若集合{(x, y)|yg(x)}∩{(x, y)|yx 2+m}恰含有2个元素，即函数g(x)的图象与y ＝x 2+m 的图象有两个不同的交点，则这两个交点分别在第一、三象限，故当交点在第一象限时，方程−x 2+2x ＝x 2+m 即m ＝−2x 2+2x 在区间[1, √5+12]内恰有一个解，此时有−2≤m ≤0；当交点在第三象限时，方程x 2+2x ＝x 2+m 即m ＝2x 在区间[−√5+12, −1]内恰有一个解，有−√5−1≤m ≤−2； 综上可得，m ＝−2． 【考点】函数与方程的综合运用 【解析】（1）利用函数奇偶性直接求解；（2）根据条件判断出f(x)在[1, +∞)上单调递减，则有{f(a)=−a 2+2a =1af(b)=−b 2+2b =1b ，再结合1≤a <b ，即可解出a ，b ；（3）根据条件得到g(x)的解析式，然后由函数g(x)的图象与y ＝x 2+m 的图象有两个不同的交点知，这两个交点分别在第一、三象限，再分别计算即可． 【解答】因为f(x)是奇函数，令x <0，则−x >0，所以f(−x)＝−(−x)2+2(−x)＝−x 2−2x ＝−f(x)， 所以x <0时，f(x)＝x 2+2x ， 所以f(x)={−x 2+2x,x ≥0,x 2+2x,x <0； 由（1）可知，当[a, b]⊆[1, +∞)时，f(x)＝−(x −1)2+1，函数f(x)单调递减， 则有{f(a)=−a 2+2a =1af(b)=−b 2+2b =1b，解得a ＝1，b =√5+12， 由（2）知，函数f(x)在[1, +∞)上满足条件的区间为[1, √5+12]当区间[a, b]⊆[0, 1]时，[1b ,1a ]⊆[1, +∞)，而函数f(x)＝−x 2+2x 在[0, 1]上的值域为[0, 1]，所以函数f(x)在[0, 1]上不存在这样的区间，故函数f(x)在[0, +∞)上满足条件的区间为[1, √5+12]．当x ∈(−∞, 0)时，同理可知f(x)的倒值区间为[−√5+12, −1]．故g(x)={−x 2+2x,x ∈[1,√5+12]x 2+2x,x ∈[−√5+12,−1]． 若集合{(x, y)|yg(x)}∩{(x, y)|yx 2+m}恰含有2个元素，即函数g(x)的图象与y ＝x 2+m 的图象有两个不同的交点，则这两个交点分别在第一、三象限，故当交点在第一象限时，方程−x 2+2x ＝x 2+m 即m ＝−2x 2+2x 在区间[1, √5+12]内恰有一个解，此时有−2≤m≤0；, −1]内恰有一个当交点在第三象限时，方程x2+2x＝x2+m即m＝2x在区间[−√5+12解，有−√5−1≤m≤−2；综上可得，m＝−2．试卷第13页，总13页。
上海市复旦大学附属中学2019-2020学年高一上学期期中考试化学试题(教师版)
复旦大学附属中学2019学年第一学期高一年级化学期中考试试卷可能用到的相对原子质量：H-1 C-12 O-16 N-14 Na-23 Mg-24 Al-27S-32 Cl-35.5 Fe-56 Mn-55 Cu-64一、选择题1. 随着科学技术的不断进步，研究物质的手段和途径越来越多，H3、O4、C60、N+等均已被发现，下列有5关说法中正确的是（）A. H2与H3属于同素异形体B. 16O2与18O4属于同位素C. 12C60的质量数为720g/molD. N+离子中含有36个电子5【答案】A【解析】【详解】A．同素异形体是指同一元素形成的性质不同的几种单质，故H2与H3属于同素异形体，A正确；B．同位素是质子数相同而中子数不同的原子之间的互称，故16O2与18O4不属于同位素，而是同素异形体，B错误；C．12C60的摩尔质量为720g/mol，C错误；D．N+离子中含有7×5-1=34个电子，D错误；5故答案为：A。
2. 化学需要借助专用语言来描述，下列有关化学用语正确的是（）A.硫离子电子式：S2-B. 硼原子的结构示意图：C. 用于考古测定年代的碳同位素：146CD. 次氯酸钙的化学式：CaClO 【答案】C 【解析】【详解】A．硫离子电子式为，故A错误；B．硼原子的结构示意图为，故B错误；C．用于考古测定年代的碳同位素为146C，故C正确；D．次氯酸钙的化学式为Ca(ClO)2，故D错误。
综上所述，答案为C。
3. 13153I是常规核裂变产物之一，可以通过测定大气或水中13153I的含量变化来检测核电站是否发生放射性物质泄漏，下列有关13153I的叙述中错误的是（）A. 13353I的化学性质与13153I相同B. 13153I的原子核外电子数为78C. 13153I的原子序数为53D. 13153I的原子核内中子数多于质子数【答案】B【解析】【详解】A. 13353I与13153I的核外电子排布相同，化学性质相同，A正确；B. 13153I的原子核外电子数为53，78是中子数，B错误；C. 13153I的原子序数为53，C正确；D. 13153I的原子核内中子数是78，质子数是53，中子数大于质子数，D正确；答案选B。
上海市杨浦区复旦大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题含答案解析
上海市杨浦区复旦大学附属中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题一．填空题（共12小题，满分54分）1.若实数a满足：a2∈{1，4，a}，则实数a的取值集合为_____．【答案】{﹣1，﹣2，2，0}【解析】∵实数满足：∈{1，4，}，∴=1或=4，或=a，解得=﹣2或=2或=﹣1或=1或=0，当=1时，集合为{1，4，1}，不合题意；当=﹣1，或=±2，或=0时，满足题意．∴实数的取值集合为{﹣1，﹣2，2，0}．故答案为：{﹣1，﹣2，2，0}．2.函数的定义域为_____．【答案】[﹣2，3）【解析】由题意得，解得．∴函数的定义域为：[﹣2，3）．故答案为：[﹣2，3）．3.命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b≠0，则ab≠0”【解析】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab＝0，则b＝0”的逆否命题是“若b≠0，则ab≠0”.故答案为：“若b≠0，则ab≠0”.4.函数y=+2的单调区间是_____．【答案】（﹣∞，0）和（0，+∞）【解析】由题意得函数的定义域为，又函数在和上单调递减，所以函数的单调减区间是和．故答案为：（∞，0）和（0，+∞）．5.已知为定义在上的奇函数，当时，，则当时，__________．【答案】【解析】设，则，由已知当时，，当时，可得，．6.已知符号函数sgn（x），则函数f（x）=sgn（x）﹣2x的所有零点构成的集合为_____．【答案】【解析】①当x＞0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x =1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=，即当x＞0时，函数f（x）的零点是；②当x=0时，函数f（x）=0，故函数f（x）的零点是0；③当x＜0时，函数f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=，即当x＜0时，函数f（x）的零点是．综上可得函数f（x）=sgn（x）﹣x的零点的集合为：．7.函数的值域为_______.【答案】【解析】由指数函数的性质可知：，据此可知：，函数的值域为.8.已知a＞0，b＞0，则的最小值为_____．【答案】4【解析】由题意得，∵，∴，∴，当且仅当，即时等号成立．∴的最小值为4．故答案为：4．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=_____【答案】{1，2，4}【解析】∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x|﹣1≤x≤5，x∈R}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故答案为：{1，2，4}．10.若y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f（x）＜f（2x﹣2），则x的取值范围_____．【答案】（﹣∞，2）【解析】∵f（x）＜f（2x﹣2），且y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，∴x＞2x﹣2，解得x＜2．∴x的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为：（﹣∞，2）．11.若函数，则_____．【答案】1【解析】由题意得．故答案为：1．12.定义：若平面点集A中的任一个点（x0，y0），总存在正实数r，使得集合，则称A为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x2+y2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④．其中不是开集的是_____．（请写出所有符合条件的序号）【答案】①③【解析】对于①，集合A={（x，y）|x2+y2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足，故①不是开集．对于②，集合A={（x，y）|x+y+2＞0}，对于A中的任一点（x0，y0），设该点到直线x+y+2=0的距离为d，取r=d，则满足，故②是开集．对于③，集合A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲线|x+y|=6任意取点（x0，y0），以任意正实数r为半径的圆面，均不满足，故该集合不是开集．对于④，集合A=表示以点为圆心，以1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A中的任一点（x0，y0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足，故该集合是开集．综上可得①③中的集合不是开集．故答案为：①③．二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3，由x2﹣x﹣6＜0，得﹣2＜x＜3．因为，，所以“1＜x＜3”是“﹣2＜x＜3”的充分不必要条件，即“|x﹣2|＜1”是“x2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件．故选A．14.已知函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sin x+x的零点依次为x1，x2，x3，则以下排列正确的是（）A. x1＜x2＜x3B. x1＜x3＜x2C. x3＜x1＜x2D. x2＜x3＜x1【答案】B【解析】函数f（x）=3x+x，g（x）=log3x+x，h（x）=sin x+x的零点依次为x1，x2，x3，在坐标系中画出y=3x，y=log3x，y=sin x与y=﹣x的图象，如下图所示：由图形可知x1＜0，x2＞0，x3=0，所以x1＜x3＜x2．故选B．15.已知非空集合M满足：若x∈M，则∈M，则当4∈M时，集合M的所有元素之积等于（）A. 0B. 1C. －1D. 不确定【答案】C【解析】依题意，得当4∈M时，有，从而，，于是集合M的元素只有4，，所有元素之积等于4×（）×=-1．16.已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，则下列结论正确的是（）A. f（x）的图象关于x=1对称B. f（x）的最大值与最小值之和为2C. 方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根D. 当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1【答案】C【解析】由函数f（x）是定义在R上的奇函数，可得．又当x∈[0，1）时，f（x）=2x﹣1，所以，当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈[0，1），则f（﹣x）=2﹣x﹣1=﹣f（x），∴．又f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数．画出函数y=f（x）与y=lg|x|的图象，如图所示，对于A，结合图象可得函数f（x）的图象无对称轴，所以A不正确．对于B，由图象可得，函数f（x）没有最大值和最小值，所以B不正确．对于C，结合图象可得当x＞0时，函数y=f（x）与y=lg|x|的图象有4个交点，当x＜0时，函数y=f（x）与y=lg|x|的图象有6个交点，故方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根．所以C 正确．对于D，当x∈[2，3)时，x﹣2∈[0，1)，所以．故D不正确．故选C．三．解答题（共5小题，满分76分）17.设p：实数x满足x2－4ax＋3a2＜0，其中a＞0；q：实数x满足x2－x－6≤0.(1)若a＝1，p且q为真，求实数x的取值范围；(2)若¬q是¬p的充分不必要条件，求实数a的取值范围．解：(1)由x2－4ax＋3a2＜0得(x－3a)(x－a)＜0，又a＞0，所以a＜x＜3a，当a＝1时，1＜x＜3，即p为真时，实数x的范围是1＜x＜3；由q为真时，实数x的范围是－2≤x≤3，若p且q为真，则p真且q真，所以实数x的取值范围是(1,3)．(2)¬p：x≤a或x≥3a，¬q：x＜－2或x＞3，由¬q是¬p的充分不必要条件，有得0＜a≤1，显然此时¬p¬q，即a的取值范围为(0,1]．18.已知函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，（1）试求f（﹣2）的值；（2）指出f（x）的单调递增区间（直接写出结论即可）；（3）求出f（x）的零点．解：（1）∵函数为奇函数，∴．（2）当x＞0时，函数在（3，+∞）上单调递增，又函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴函数y=f（x）在（﹣∞，﹣3）上也单调递增，∴函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）.（3）当时，由，得，解得，∴是函数的零点．又函数为奇函数，∴也为函数的零点．综上可得函数的零点为和．19.已知函数.（1）求不等式的解集；（2）若对恒成立，求的取值范围.解：（1）因为，，所以当时，由得；当时，由得；当时，由得.综上，的解集为.（2）法一：由得，因为，当且仅当取等号，所以当时，取得最小值.所以当时，取得最小值，故，即的取值范围为.法二：设，则，当时，取得最小值，所以当时，取得最小值，故时，即的取值范围为.20.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x的取值范围．解：(1)∵对于任意x1，x2∈D，有f(x1·x2)＝f(x1)＋f(x2)，∴令x1＝x2＝1，得f(1)＝2f(1)，∴f(1)＝0.(2)令x1＝x2＝－1，有f(1)＝f(－1)＋f(－1)，∴f(－1)＝f(1)＝0.令x1＝－1，x2＝x有f(－x)＝f(－1)＋f(x)，∴f(－x)＝f(x)，∴f(x)为偶函数．(3)依题设有f(4×4)＝f(4)＋f(4)＝2，由(2)知，f(x)是偶函数，∴f(x－1)<2⇔f(|x－1|)<f(16)．又f(x)在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x－1|<16，解之得－15<x<17且x≠1.∴x的取值范围是{x|－15<x<17且x≠1}．21.已知函数，．(1)若函数是奇函数，求实数的值；(2)在(1)的条件下，判断函数与函数的图象公共点个数，并说明理由；(3)当时，函数的图象始终在函数的图象上方，求实数的取值范围．解：（1）因为为奇函数，所以对于定义域内任意，都有，即，，显然，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有.上面等式左右两边同时乘以得，化简得，.上式对定义域内任意恒成立，所以必有，解得.（2）由（1）知，所以，即，由得或，所以函数定义域.由题意，要求方程解的个数，即求方程在定义域上的解的个数. 令，显然在区间和均单调递增，又，且，.所以函数在区间和上各有一个零点，即方程在定义域上有2个解，所以函数与函数的图象有2个公共点.（附注：函数与在定义域上的大致图象如图所示）（3）要使时，函数的图象始终在函数的图象的上方，必须使在上恒成立，令，则，上式整理得在恒成立.方法一：令，.①当，即时，在上单调递增，所以，恒成立；②当，即时，在上单调递减，只需，解得与矛盾.③当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以由，解得，又，所以综合①②③得的取值范围是.方法二：因为在恒成立. 即，又，所以得在恒成立令，则，且，所以，由基本不等式可知（当且仅当时，等号成立.）即，所以,所以的取值范围是.。
2019复旦附中高一期中
复旦附中高一期中数学试卷2018.11一.填空题1.集合{}∅的元素个数是2.已知()f x =(2)f x -的定义域是3.命题“若3x >或2y >，则224x y +>”的逆否命题是4.函数4y x x=+（0x >）的递增区间是5.已知()f x 是定义在R 上的奇函数，若0x <时，()(2)f x x x =-，则0x >时，()f x =6.若关于x 的方程22(1)4(1)10a x a x -+++=无实根，则实数a 的取值范围是7.函数221()()1x f x x ++=的值域为8.已知正实数,x y 满足xy y x =+2，则y x +2的最小值等于9.设集合A 、B 是实数集R 的子集，[1,0]A B =-R ð，[1,2]B A =R ð，[3,4]A B =R R 痧，则A =10.已知定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞上递增，则下列函数：①|()|f x ；②(||)f x ；③1()f x ；④()()f x f x -；其中在(,0)-∞上递减的是11.设函数1(|)2|x f x x +=，区间[,]M a b =（a b <），集合{(),}N y y f x x M ==∈，则使得M N =的实数对(,)a b 有对12.对任何有限集S ，记()p S 为S 的子集个数.设{1,2,3,4}M =，则对所有满足A B M ⊆⊆的有序集合对(,)A B ，()()p A p B 的和为二.选择题13.已知x ∈R ，则12x >是12x <的（）条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要14.若a b c <<，则函数()()()()()()()f x x a x b x b x c x c x a =--+--+--的两个零点分别位于区间（）A.(,)a b 和(,)b c 内 B.(,)a -∞和(,)a b 内 C.(,)b c 和(),c +∞内 D.(,)a -∞和(),c +∞15.若整数集Z 的子集S 满足条件：对任何,a b S ∈，都有a S b -∈，就称S 是封闭集.下列命题中错误的是（）A.若S 是封闭集且{0}S ≠，则S 一定是无限集B.对任意整数a 、b ，{|,,}S n n ax by x y ==+∈Z 是封闭集C.若S 是封闭集，则存在整数k S ∈，使得S 中任何元素都是k 的整数倍D.存在非零整数,a b 和封闭集S ，使得,a b S ∈，但,a b 的最大公约数d S∉16.设()f x 是定义在R 上的函数，下列关于()f x 的单调性的说法：（1）若存在实数a b <，使得()()f a f b <，则存在实数c d <，满足[,][,]c d a b ⊆，且()f x 在[,]c d 上递增；（2）若()f x 在R 上单调，则存在x ∈R ，使得(())f f x x ≠-；（3）若对任意0a >，存在d ∈R ，使得0d a <<，且()()f x d f x +>对一切x ∈R 成立，则()f x 在R 上递增；其中正确的个数是（）A.0B.1C.2D.3三.解答题17.已知命题:p 0x ≤或2x ≥，q ：x a ≤.（1）若p 是q 的必要条件，求实数a 的取值范围；（2）若对任意x ∈R ，p 、q 中至少有一个是真命题，求实数a 的取值范围.18.已知α、β是关于x 的方程2220x kx k -++=的两实根，且αβ<.（1）若1αβ<<，求实数k 的取值范围；（2）若α、[0,3]β∈，求实数k 的取值范围.19.对关于x 的不等式|2|3x a x -<+.（1）当1a =时，求解不等式；（2）若该不等式对一切[1,1]x ∈-恒成立，求实数a 的取值范围.20.已知()f x 是定义在R 上不恒为0的函数，满足对任意x 、y ∈R ，()()()f x y f x f y +=+，()()()f xy f x f y =.（1）求()f x 的零点；（2）判断()f x 的奇偶性和单调性，并说明理由；（3）①当x ∈Z 时，求()f x 的解析式；②当x ∈R 时，求()f x 的解析式.21.（1）设实数0t ≠、1，若关于x 的方程2201t tx tx +=-+有实根，求t 的取值范围；（2）设r ∈R ，若存在实数0t ≠、1，使得r 是（1）中方程的实根，求r 的取值范围；（3）设()f x 是定义在R 上的函数，若实数x 满足((()))f f f x x =，但()f x x ≠，则称x 是()f x 的三阶不动点，对存在三阶不动点的一切函数2()f x x ax b =++（,a b ∈R ），及()f x 的一切三阶不动点x ，求|()||()(())||(())|m x f x f x f f x f f x x =-+-+-的最小值.参考答案一.填空题1.12.(,2]-∞3.若224x y +≤，则3x ≤或2y ≤4.[2,)+∞5.(2)x x -+6.5(,1]3--7.[0,2]8.99.,1)(2,3)(4,)(-∞+∞ 10.①②③11.312.2401二.选择题13.A14.A 15.D 16.B三.解答题17.（1）,](,0]([2,)0a q p a ∞⊆-∞+∞⇒⇔⇔-≤ ；（2）x ∈R ，p 或q 为真,]((,0][2,))2(a a ∞-∞+⇔-∞=⇔≥R .18.记2()22f x x kx k =-++（1）1(1)303f k k αβ<<⇔=-<⇔>；（2）24(2)003(0)20(34,[0,)11503]1125k k f k k k f k αβαβ⎧∆=⎪∈⎧⎪⇔⇔<≤⎨⎨≠⎩⎪⎪⎩-+>≤≤=+≥=-≥.19.（1）1a =时，|21|3(3)214323x x x x x x -<+⇔-+<+⇔-<<<-（2）对一切[1,1]x ∈-，|2|3x a x -<+，即(3)23x a x x -+<-<+，即333x a x -<<+记()3,[1,1]f x x x ∈-=-，()33,[1,1]g x x x ∈-=+则,f g 在[1,1]-递增，所以max (1)2f f ==-，min (1)0g g =-=对一切[1,1]x ∈-，max min ()()f x a g x f a g <<⇔<<，即20a -<<.20.记()()()f x y f x f y +=+①()()()f xy f x f y =②（1）在①中取0y =得(0)0f =.若存在0x ≠，使得()0f x =，则对任意y ∈R ，()(()()0y y f x f x f xy f x =⋅==，与()f x 不恒为0矛盾.所以0x ≠时，()0f x ≠，f 的零点是0（2）在①中取y x =-得()()(0)0f x f x f +-==，即()(),f x f x x -=-∈R ，所以f 是奇函数.所以f 在R 上递增.（3）②中取,1x y =得2(1)((1))f f =.因为(1)0f ≠，所以(1)1f =对任意正整数n ，由①，(1)()(1)1n f n f n n f +=+=⨯= 个，()()f n f n n -=-=-又因为(0)0f =，所以x ∈Z 时，()f x x=对任意有理数m n （,m n ∈∈*Z N ），由①，)(()((()n m m m m f f nf n n n f m f n n =⋅=++= 个，所以())(f m f m m n n n==，即对一切x ∈Q ，()f x x =若存在x ∈R ，使得()f x x ≠，不妨设()f x x >（否则以()f x --代替()f x ，x -代替x 即可），则存在有理数α，使得()x f x α<<（例如可取1)[1(f x n x+-=，[]1m nx =+，m nα=）.x α<但(())f x f αα=>，与f 的递增性矛盾.所以x ∈R 时，()f x x =.21.（1）22403110t t t t t t ⎧∆=≥⎪⇔≤->-⎨⎪≠⎩-或（2）2222001100t r t t r r r t r t rt ⎧⎧==⎪⎪⇔--⎨⎨⎪⎪≠+≠+⎩+⎩+，所以存在0,1t ≠，使得r 是关于x 的方程2201t t x tx +=-+的解⇔0,1r ≠，且关于x 的方程2201r r x rx +=-+有实数解31r r ⇔≤->或（3）设x 是函数2()f x x ax b =++的三阶不动点，记()y f x =①()z f y =②则((()))()x f f f x f z ==③记,,r x y s y z t z x =-=-=-，则0r s t ++=.①-②，②-③，③-①得()()()r x y a s s y z a t t z x a r ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，因为()f x x ≠，即0r ≠，所以0,s t ≠，即x y a y z a z s r t s r a t x ⎧++=⎪⎪⎪++=⎨⎪⎪++=⎪⎩④⑤⑥⑤-⑥得r r t t s =-，即21rs t t=-，又因为r s t +=-，所以,r s 是关于关于x 的方程2201t t x tx +=-+两根.由（1）（2），(,3](1),,,r s t ∈-∞-⋃+∞.因为0r s t ++=，所以,,r s t 中至少有一个为负，不妨设3t ≤-，则0r s t +=->，201t trs =>-，所以,0r s >，||||||26m r s t r s t t =++=+-=-≥当2294216a a b --=时，f 有三阶不动点542x a =-，满足6m =，所以m 的最小值为6.。
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
上海市复旦附中2018-2019学年高一（上）期中数学模拟试卷一．填空题（共12小题，满分54分）1.若实数a 满足：a 2∈{1，4，a}，则实数a 的取值集合为_____．2.函数lg(3)y x =-的定义域为_____．3.命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是______．4.函数y=1x +2的单调区间是_____．5.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，则0x <时，()f x =________.6.已知符号函数sgn（x）1,00,01,0x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数f（x）=sgn（x）﹣2x 的所有零点构成的集合为_____．7.函数3()log (81)xf x =+的值域为_______.8.已知a＞0，b＞0，则224442a ab b a b ++++的最小值为_____．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=_____10.若y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f（x）＜f（2x﹣2），则x 的取值范围_____．11.若函数()[]()()2,1,12,1,x x f x f x x ⎧∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()5f =_____．12.定义：若平面点集A 中的任一个点（x 0，y 0），总存在正实数r，使得集合(){x,y }Ar <⊆，则称A 为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x 2+y 2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④()(22{,|01}x y x y <+-<．其中不是开集的是_____．（请写出所有符合条件的序号）二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x 2﹣x﹣6＜0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件14.已知函数f（x）=3x +x，g（x）=log 3x+x，h（x）=sinx+x 的零点依次为x 1，x 2，x 3，则以下排列正确的是（）A.x 1＜x 2＜x 3B.x 1＜x 3＜x 2C.x 3＜x 1＜x 2D.x 2＜x 3＜x 115.已知非空集合M 满足：若x ∈M ，则11x-∈M ，则当4∈M 时，集合M 的所有元素之积等于A.0B.1C.－1D.不确定16.已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x ﹣1，则下列结论正确的是（）A.f（x）的图象关于x=1对称B.f（x）的最大值与最小值之和为2C.方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根D.当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1三．解答题（共5小题，满分76分）17.设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；:q 实数x 满足260x x --≤.（1）若1a =，p 且q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18.已知函数y=f （x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，()212,0333,3x x f x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（Ⅰ）试求f（﹣2）的值；（Ⅱ）指出f（x）的单调递增区间（直接写出结论即可）；（Ⅲ）求出f（x）的零点．19.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||3|=-++f x x x .（1）求不等式()15f x ≤的解集；（2）若2()x a f x -+≤对x R ∈恒成立，求a 的取值范围.20.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．21.已知函数2()lg()1f x a x =+-，a R ∈．(1)若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，判断函数()y f x =与函数lg 2x y =的图象公共点个数，并说明理由；(3)当[)1,2x ∈时，函数(2)x y f =的图象始终在函数lg(42)x y =-的图象上方，求实数a 的取值范围．上海市复旦附中2018-2019学年高一（上）期中数学模拟试卷一．填空题（共12小题，满分54分）1.若实数a 满足：a 2∈{1，4，a}，则实数a 的取值集合为_____．【答案】{﹣1，﹣2，2，0}【分析】由2a ∈{1，4，a}，得到2a =1或2a =4，或2a =a ，由此求出实数a 的取值，根据互异性验证后可得所求集合．【详解】∵实数a 满足：2a ∈{1，4，a }，∴2a =1或2a =4，或2a =a，解得a =﹣2或a =2或a =﹣1或a =1或a =0，当a =1时，集合为{1，4，1}，不合题意；当a =﹣1，或a =±2，或a =0时，满足题意．∴实数a 的取值集合为{﹣1，﹣2，2，0}．故答案为{﹣1，﹣2，2，0}．【点睛】本题考查集合的求法，是基础题，解题时要认真审题，对得到的结果要进行验证，注意集合中元素性质的合理运用．2.函数lg(3)y x =-的定义域为_____．【答案】[﹣2，3）【分析】由根式内部的代数式大于等于0和对数的真数大于0得到关于变量x 的不等式组，解不等式组后可得定义域．【详解】由题意得2030x x +≥⎧⎨->⎩，解得23x -≤<．∴函数的定义域为：[﹣2，3）．故答案为[﹣2，3）．【点睛】本题考查函数的定义域及其求法，解题的关键是构造关于自变量的的不等式（组），是基础题．3.命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是______．【答案】“若b ≠0，则ab ≠0”【详解】因为一个命题的逆否命题，是将原命题逆命题的条件与结论同时否定得到，所以命题“若ab ＝0，则b ＝0”的逆否命题是“若b ≠0，则ab ≠0”.故答案为“若b ≠0，则ab ≠0”.4.函数y=1x+2的单调区间是_____．【答案】（﹣∞，0）和（0，+∞）【分析】求出函数的定义域，利用反比例函数的单调性可求得答案．【详解】由题意得函数1y 2x=+的定义域为()(),00,∞∞-⋃+，又函数1y x =在(),0∞-和()0,∞+上单调递减，所以函数1y 2x=+的单调减区间是(),0∞-和()0,∞+．故答案为（-∞，0）和（0，+∞）．【点睛】本题考查函数单调区间的求法，属于基础题，熟练掌握常见基本函数的单调性是解题的基础，同时还应注意函数的单调区间不能并在一起．5.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，当0x ≥时，()()1f x x x =+，则0x <时，()f x =________.【答案】()1x x -【分析】设0x <，则0x ->，代入0x ≥的解析式，由函数的奇偶性即可求解.【详解】设0x <，则0x ->，由0x ≥时，()()1f x x x =+，所以()()()1f x x x -=--，又函数为偶函数，即()()f x f x -=，所以()()()()11f x x x x x =--=-.故答案为：()1x x -【点睛】本题考查了利用函数的奇偶性求解析式，考查了基本知识的掌握情况，属于基础题.6.已知符号函数sgn（x）1,00,01,0x x x >⎧⎪==⎨⎪-<⎩，则函数f（x）=sgn（x）﹣2x 的所有零点构成的集合为_____．【答案】11,0,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭【分析】根据x 的取值进行分类讨论，得到等价函数后分别求出其零点，然后可得所求集合．【详解】①当x＞0时，函数f（x）=sgn（x）﹣2x =1﹣2x，令1﹣2x=0，得x=12，即当x＞0时，函数f（x）的零点是12；②当x=0时，函数f（x）=0，故函数f（x）的零点是0；③当x＜0时，函数f（x）=﹣1﹣2x，令﹣1﹣2x=0，得x=12-，即当x＜0时，函数f（x）的零点是12-．综上可得函数f（x）=sgn（x）﹣x 的零点的集合为：11,0,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．故答案为11,0,22⎧⎫-⎨⎬⎩⎭．【点睛】本题主要考查函数零点的求法，解题的关键是根据题意得到函数的解析式，考查转化思想、分类讨论思想，是基础题．7.函数3()log (81)xf x =+的值域为_______.【答案】(0,)+∞【详解】由指数函数的性质可知：80,811x x >∴+>，据此可知：()()3log 810xf x =+>，函数的值域为()0,∞+.8.已知a＞0，b＞0，则224442a ab b a b++++的最小值为_____．【答案】4【分析】由题意构造出基本不等式的形式，然后根据基本不等式求解即可．【详解】由题意得222444(2)44(2)222a ab b a b a b a b a b a b+++++==+++++，∵0,0a b >>，∴20a b +>，∴4(2)42a b a b ++≥=+，当且仅当422a b a b +=+，即22a b +=时等号成立．∴224442a ab b a b++++的最小值为4．故答案为4．【点睛】应用基本不等式求最值时，需要注意使用的条件，即“一正、二定、三相等”，若不满足此条件，则要通过“拼、凑”等方法进行变形，使得满足所需条件．本题考查“构造思想”与基本不等式的运用，属于基础题．9.设集合A={1，2，6}，B={2，4}，C={x∈R|﹣1≤x≤5}，则（A∪B）∩C=_____【答案】{1，2，4}【分析】根据并集与交集的定义计算即可．【详解】∵A={1，2，6}，B={2，4}，∴A∪B={1，2，4，6}，又C={x|﹣1≤x≤5，x∈R}，∴（A∪B）∩C={1，2，4}．故答案为{1，2，4}．【点睛】本题考查交集与并集的运算，解题时根据集合运算的定义求解即可，是基础题．10.若y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，且f（x）＜f（2x﹣2），则x 的取值范围_____．【答案】（﹣∞，2）【分析】根据y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数可由f（x）＜f（2x﹣2）得到x＞2x﹣2，解不等式可得x 的取值范围．【详解】∵f（x）＜f（2x﹣2），且y=f（x）是定义在（﹣∞，+∞）上的单调减函数，∴x＞2x﹣2，解得x＜2．∴x 的取值范围为（﹣∞，2）．故答案为（﹣∞，2）．【点睛】本题考查函数单调性的应用及一元一次不等式的解法，解题时注意转化思想方法的运用，属于简单题．11.若函数()[]()()2,1,12,1,x x f x f x x ⎧∈-⎪=⎨-∈+∞⎪⎩，则()5f =_____．【答案】1【分析】根据函数的解析式可推导出f（5）=f（3）=f（1），由此可得所求结果．【详解】由题意得()()()()()2552332111f f f f f =-==-===．故答案为1．【点睛】本题考查求分段函数的函数值和运算求解能力，解题的关键是分清自变量所在的范围，然后代入求值，属于基础题．12.定义：若平面点集A 中的任一个点（x 0，y 0），总存在正实数r，使得集合(){x,y }A r <⊆，则称A 为一个开集．给出下列集合：①{（x，y）|x 2+y 2=1}；②{（x，y）|x+y+2＞0}；③{（x，y）||x+y|≤6}；④()(22{,|01}x y x y <+-<．其中不是开集的是_____．（请写出所有符合条件的序号）【答案】①③【分析】弄清开集的定义是解决本题的关键，解答本题时根据新定义进行计算后判断，即所选的集合需要满足：存在以该集合内任意点为圆心、以正实数为半径的圆，且圆的内部均在该集合内．【详解】对于①，集合A={（x，y）|x 2+y 2=1}表示以原点为圆心，1为半径的圆，则在该圆上任意取点（x 0，y 0），以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足()B {x,y }A r =<⊆，故①不是开集．对于②，集合A={（x，y）|x+y+2＞0}，对于A 中的任一点（x 0，y 0），设该点到直线x+y+2=0的距离为d，取r=d，则满足()B {x,y |}A r =<⊆，故②是开集．对于③，集合A={（x，y）||x+y|≤6}，在曲线|x+y|=6任意取点（x 0，y 0），以任意正实数r 为半径的圆面，均不满足()B {x,y }A r =<⊆，故该集合不是开集．对于④，集合A=()(22{,|01}x y x y <+-<表示以点(为圆心，以1为半径除去圆心和圆周的圆面，在该平面点集A 中的任一点（x 0，y 0），则该点到圆周上的点的最短距离为d，取r=d，则满足()B {x,y |}A r =<⊆，故该集合是开集．综上可得①③中的集合不是开集．故答案为①③．【点睛】本题属于集合的新定义型问题，考查学生即时掌握信息、解决问题的能力，正确理解开集的定义是解决本题的关键．二．选择题（共4小题，满分20分，每小题5分）13.设x∈R，则“|x﹣2|＜1”是“x 2﹣x﹣6＜0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据绝对值不等式和一元二次不等式的解法求出不等式的等价条件，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可．【详解】由|x﹣2|＜1得﹣1＜x﹣2＜1，解得1＜x＜3由x 2﹣x﹣6＜0，得﹣2＜x＜3．因为{|13}x x ＜＜{|23}x x ＜＜-，所以“1＜x＜3”是“﹣2＜x＜3”的充分不必要条件，即“|x﹣2|＜1”是“x 2﹣x﹣6＜0”的充分不必要条件．故选A．【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，解题时可转化为两集合间的包含关系求解，根据不等式的解法求出不等式的等价条件是解决本题的关键．14.已知函数f（x）=3x +x，g（x）=log 3x+x，h（x）=sinx+x 的零点依次为x 1，x 2，x 3，则以下排列正确的是（）A.x 1＜x 2＜x 3B.x 1＜x 3＜x 2C.x 3＜x 1＜x 2D.x 2＜x 3＜x 1【答案】B【分析】将函数的零点看作两函数图象交点的横坐标，画出函数的图象，利用数形结合，判断出函数的零点的大小即可．【详解】函数f（x）=3x +x，g（x）=log 3x+x，h（x）=sinx+x 的零点依次为x 1，x 2，x 3，在坐标系中画出y=3x ，y=log 3x，y=sinx 与y=﹣x的图象，如下图所示：由图形可知x 1＜0，x 2＞0，x 3=0，所以x 1＜x 3＜x 2．故选B．【点睛】求函数零点的常用方法有：（1）解函数对应的方程()0f x =，得到函数的零点；（2）将函数的零点转化为两函数图象的交点的横坐标，画出函数的图象，根据数形结合求解．15.已知非空集合M 满足：若x ∈M ，则11x-∈M ，则当4∈M 时，集合M 的所有元素之积等于A.0 B.1C.－1D.不确定【答案】C【详解】试卷分析：依题意，得当4∈M 时，有11143M =-∈-，从而131413M =∈+，14314M =∈-，于是集合M 的元素只有4，13-，34所有元素之积等于4×（13-）×34=-1考点：元素与集合关系的判断16.已知函数f（x）是定义在R 上的奇函数，对任意的x∈R，均有f（x+2）=f（x），当x∈[0，1）时，f（x）=2x ﹣1，则下列结论正确的是（）A.f（x）的图象关于x=1对称B.f（x）的最大值与最小值之和为2C.方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根D.当x∈[2，3]时，f（x）=2x+2﹣1【答案】C【分析】根据函数为奇函数和x∈[0，1）时的解析式，可求出当x∈（﹣1，0]时函数的解析式，再根据函数的周期性画出函数y=f（x）的图象，再画出y=lg|x|的图象，结合图象对四个选项作出判断即可．【详解】由函数f（x）是定义在R 上的奇函数，可得(0)0f =．又当x∈[0，1）时，f（x）=2x ﹣1，所以，当x∈[﹣1，0）时，﹣x∈[0，1），则f（﹣x）=2﹣x ﹣1=﹣f（x），∴()12x f x =-﹣．又f（x+2）=f（x），∴函数f（x）是周期为2的周期函数．画出函数y=f（x）与y=lg|x|的图象，如图所示，对于A，结合图象可得函数f（x）的图象无对称轴，所以A 不正确．对于B，由图象可得，函数f（x）没有最大值和最小值，所以B 不正确．对于C，结合图象可得当x＞0时，函数y=f （x）与y=lg|x|的图象有4个交点，当x＜0时，函数y=f （x）与y=lg|x|的图象有6个交点，故方程f（x）﹣lg|x|=0有10个实数根．所以C 正确．对于D，当x∈[2，3)时，x﹣2∈[0，1)，所以2()(2) 21x f x f x -=-=-．故D 不正确．故选C．【点睛】本题考查函数的奇偶性、周期性、对称性，以及函数零点个数的判断，考查转化能力和运算能力，解题时借助函数的图象求解是关键，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分76分）17.设:p 实数x 满足22430x ax a -+<，其中0a >；:q 实数x 满足260x x --≤.（1）若1a =，p 且q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若q ⌝是p ⌝的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．【答案】（1）()1,3（2）(]0,1【分析】（1）解一元二次不等式得,p q ，根据p 且q 为真求解，（2）由推出关系列式求解，【小问1详解】由22430x ax a -+<得()(3)0x a x a --<，而0a >，故3a x a <<，当1a =时，:13p x <<，由260x x --≤得23x -≤≤，故:23q x -≤≤，当p 且q 为真时，x 的取值范围为()1,3，【小问2详解】由题意得p 是q 的充分不必要条件，而:3p a x a <<，:23q x -≤≤，(,3)a a 是[2,3]-的真子集，故0233a a a >⎧⎪≥-⎨⎪≤⎩，解得01a <≤，故a 的取值范围为(]0,118.已知函数y=f （x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，且当x＞0时，()212,0333,3x x f x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩（Ⅰ）试求f（﹣2）的值；（Ⅱ）指出f（x）的单调递增区间（直接写出结论即可）；（Ⅲ）求出f（x）的零点．【答案】（1）2(2)3f -=-；（2）（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）；和【分析】（Ⅰ）利用函数的奇偶性以及函数的解析式可求得f（﹣2）的值；（Ⅱ）利用函数的奇偶性以及分段函数的解析式可写出f（x）的单调递增区间；（Ⅲ）把函数f（x）的零点转化为方程的根，解方程可得函数的零点．【详解】（Ⅰ）∵函数()f x 为奇函数，∴()()212222233f f ⎛⎫-=-=--⨯+=-⎪⎝⎭．（Ⅱ）当x＞0时，函数()212,0333,3x x f x x x ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩在（3，+∞）上单调递增，又函数y=f（x）为定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的奇函数，∴函数y=f（x）在（﹣∞，﹣3）上也单调递增，∴函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣3）和（3，+∞）.（Ⅲ）当0x >时，由()0f x =，得21203x -+=，解得x =，是函数()f x 的零点．又函数()f x 为奇函数，∴也为函数()f x 的零点．综上可得函数()f x和．【点睛】本题考查分段函数的奇偶性的应用、分段函数函数值的求法以及函数的零点的求法，解题时注意函数图象对称性的应用，考查计算能力和转化应用的能力，属于基础题．19.选修4-5：不等式选讲已知函数()|2||3|=-++f x x x .（1）求不等式()15f x ≤的解集；（2）若2()x a f x -+≤对x R ∈恒成立，求a 的取值范围.【答案】（1）[8,7]-（2）(,5]-∞【详解】试卷分析：（1）由已知，根据解析式中绝对值的零点（即绝对值等于零时x 的值），将函数的定义域分成若干段，从而去掉绝对值号，再分别计算各段函数的相应不等式的解集，从而求出原不等式的解集；（2）由题意，将不等式转化为()2a x f x ≤+，可构造新函数()()2g x x f x =+，则问题再转化为()min a g x ≤，由（1）可得()()min 05g x g ==，即5a ≤，从而问题可得解.试卷解析：（1）因为()21,35,3221,2x x f x x x x --<-⎧⎪=-≤≤⎨⎪+>⎩，所以当3x <-时，由()15f x ≤得83x -≤<-；当32x -≤≤时，由()15f x ≤得32x -≤<；当2x >时，由()15f x ≤得27x -<≤.综上，()15f x ≤的解集为[]8,7-.（2）（方法一）由()2x a f x -+≤得()2a x f x ≤+，因为()()()235f x x x ≥--+=，当且仅当32x -≤≤取等号，所以当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.（方法二）设()2g x x a =-+，则()()max 0g x g a ==，当32x -≤≤时，()f x 取得最小值5，所以当0x =时，()2x f x +取得最小值5，故5a ≤，即a 的取值范围为(],5-∞.20.函数f(x)的定义域为D＝{x|x≠0}，且满足对任意x 1，x 2∈D，有f(x 1·x 2)＝f(x 1)＋f(x 2)．(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性并证明你的结论；(3)如果f(4)＝1，f(x－1)<2，且f(x)在(0，＋∞)上是增函数，求x 的取值范围．【答案】（1）0；（2）见解析；（3）()(15,1)1,17⋃－【详解】试卷分析：（1）抽象函数求具体指，用赋值法；（2）根据定义求证函数的奇偶性找f (－x )和f (x )的关系；（3）先利用f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2得到f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16).再根据单调性列出不等式求解即可.(1)∵对于任意x 1，x 2∈D ，有f (x 1·x 2)＝f (x 1)＋f (x 2)，∴令x 1＝x 2＝1，得f (1)＝2f (1)，∴f (1)＝0.(2)令x 1＝x 2＝－1，有f (1)＝f (－1)＋f (－1)，∴f (－1)＝f (1)＝0.令x 1＝－1，x 2＝x 有f (－x )＝f (－1)＋f (x )，∴f (－x )＝f (x )，∴f (x )为偶函数．(3)依题设有f (4×4)＝f (4)＋f (4)＝2，由(2)知，f (x )是偶函数，∴f (x －1)<2⇔f (|x －1|)<f (16)．又f (x )在(0，＋∞)上是增函数．∴0<|x －1|<16，解之得－15<x <17且x ≠1.∴x 的取值范围是{x |－15<x <17且x ≠1}．21.已知函数2()lg()1f x a x =+-，a R ∈．(1)若函数()f x 是奇函数，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，判断函数()y f x =与函数lg 2x y =的图象公共点个数，并说明理由；(3)当[)1,2x ∈时，函数(2)x y f =的图象始终在函数lg(42)x y =-的图象上方，求实数a 的取值范围．【答案】(1)1a =.(2)函数()y f x =与函数lg 2x y =的图象有2个公共点；说明见解析.(3)(3)-+∞.【详解】分析：（1）由题意可得()()0f x f x +-=，解出1a =；（2）要求方程1lglg21x x x +=-解的个数，即求方程22101x x --=-在定义域D 上的解的个数，令()2211x F x x =---，利用零点存在定理判断即可；（3）要使[)1,2x ∈时，函数()2x y f =的图象始终在函数()lg 42x y =-的图象的上方，必须使24221x x a +>--在[)1,2x ∈上恒成立，令2x t =，则[)2,4t ∈，上式整理得()2560t a t a +-+->在[)2,4t ∈恒成立，分类讨论即可.详解：（1）因为()f x 为奇函数，所以对于定义域内任意x ，都有()()0f x f x +-=，即22lg lg 011a a x x ⎛⎫⎛⎫+++= ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭，22111a a x x ⎛⎫⎛⎫∴+⋅-= ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭，显然1x ≠，由于奇函数定义域关于原点对称，所以必有1x ≠-.上面等式左右两边同时乘以()()11x x -+得()()212121a x a x x ⎡⎤⎡⎤-+⋅+-=-⎣⎦⎣⎦，化简得()()2221430a x a a ---+=，.上式对定义域内任意x 恒成立，所以必有2210430a a a ⎧-=⎨-+=⎩，解得1a =.（2）由（1）知1a =，所以()2lg 11f x x ⎛⎫=+⎪-⎝⎭，即()1lg 1x f x x +=-，由101x x +>-得1x <-或1x >，所以函数()f x 定义域()(),11,D =-∞-⋃+∞.由题意，要求方程1lglg21x x x +=-解的个数，即求方程22101x x --=-在定义域D 上的解的个数.令()2211x F x x =---，显然()F x 在区间(),1-∞-和()1,+∞均单调递增，又()22112210343F --=--=-<-，323212105252F -⎛⎫-=--=> ⎪⎝⎭-且32322150122F ⎛⎫=--=< ⎪⎝⎭，()22221101F =--=>.所以函数()F x 在区间32,2⎛⎫--⎪⎝⎭和3,22⎛⎫ ⎪⎝⎭上各有一个零点，即方程22101x x --=-在定义域D 上有2个解，所以函数()y f x =与函数lg2x y =的图象有2个公共点.（附注：函数11x y x +=-与2x y =在定义域()(),11,D =-∞-⋃+∞上的大致图象如图所示）（3）要使[)1,2x ∈时，函数()2x y f =的图象始终在函数()lg 42x y =-的图象的上方，必须使24221x x a +>--在[)1,2x ∈上恒成立，令2x t =，则[)2,4t ∈，上式整理得()2560t a t a +-+->在[)2,4t ∈恒成立.方法一：令()()256g t t a t a =+-+-，[)2,4t ∈.①当522a -≤，即1a ≥时，()g t 在[)2,4上单调递增，所以()()()min 2425610g t g a a a ⎡⎤==+-+-=≥>⎣⎦，恒成立；②当542a -≥，即3a ≤-时，()g t 在[)2,4上单调递减，只需()4320g a =+≥，解得23a ≥-与3a ≤-矛盾.③当5242a -<<，即31a -<<时，()g t 在52,2a -⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，在5,42a -⎡⎫⎪⎢⎣⎭上单调递增，所以由()2min561024a a a g t g --+-⎛⎫⎡⎤==> ⎪⎣⎦⎝⎭，解得33a -<<+又31a -<<，所以31a -<<综合①②③得a 的取值范围是()3-+∞.方法二：因为()2560t a t a +-+->在[)2,4t ∈恒成立.即()2156t a t t ->-+-，又113t ≤-<，所以得2561t t a t -+->-在[)2,4t ∈恒成立令1u t =-，则[)1,3u ∈，且1t u =+，所以()()22151656231u u t t u t u u -+++--+-⎛⎫==-+ ⎪-⎝⎭，由基本不等式可知2u u +≥=（当且仅当[)1,3u =时，等号成立.）即min2u u ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以2max max 562331t t u t u ⎡⎤⎡⎤-+-⎛⎫=-+=-⎢⎥ ⎪⎢⎥-⎝⎭⎣⎦⎣⎦,所以a的取值范围是()3-+∞.点睛：函数零点存在性定理是零点存在的一个充分条件，而不是必要条件；判断零点个数还要根据函数的单调性、对称性或结合函数图象.。
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期中考试数学试题(解析版)
2018-2019学年上海市复旦大学附属中学高一下学期期中考试数学试题一、单选题1．在ABC ∆中，“1sin 2A =”是“6A π=”的（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件 D ．既非充分又非必要条件 【答案】B【解析】试题分析：ABC ∆中，若1sin 2A =，则6A π=或56π，反之，若6A π=，则一定有1sin 2A =，所以在ABC ∆中，“1sin 2A =”是“6A π=”的必要非充分条件，故选B ．【考点】1、已知三角函数求角；2、充分条件与必要条件. 2．设函数的图象为，下面结论中正确的是A ．函数的最小正周期是B ．图象关于点对称C ．图象可由函数的图象向右平移个单位得到D ．函数在区间上是增函数【答案】B 【解析】根据的周期计算公式，对称中心，单调区间及图形变换规律依次判断即可。
【详解】 函数的最小正周期为，故A 错误； ∵，∴图象关于点对称，故B 正确；易知图象可由函数的图象向右平移个单位得到，故C 错误；易得函数的单调递增区间是，当时，，∴函数在区间上是先增后减，故D 错误.故选B.【点睛】本题考查的相关性质，关键要对此部分知识加强记忆，深刻理解其处理思想和方法，此类问题是各类考试的热点，应给予足够的重视。
二、填空题3．已知,，若角与的终边相同，则____________【答案】【解析】利用终边相同的角的特点可知，再将其化为弧度制的角得到结果. 【详解】与的终边相同本题正确结果：【点睛】本题考查终边相同的角的问题，弧度制与角度制的互化，属于基础题.4．已知函数的最小正周期为，则____________【答案】【解析】根据正切型函数最小正周期为构造方程求得结果.【详解】的最小正周期本题正确结果：【点睛】本题考查的最小正周期问题，属于基础题.5．一个半径为r的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么该扇形的圆心角是____________弧度【答案】【解析】根据扇形弧长公式表示出扇形的周长，从而建立起方程，求解得到圆心角. 【详解】设扇形的圆心角为：则扇形的周长本题正确结果：【点睛】本题考查扇形弧长公式的应用问题，属于基础题.6．已知是第三象限的角，则的符号是____________号（填正或负）【答案】负【解析】根据角的范围可得和的范围，进而可确定和的符号，从而得到结果.【详解】为第三象限角，；本题正确结果：负【点睛】本题考查三角函数在各个象限内的符号问题，属于基础题.7．角终边上有点，且，则____________【答案】【解析】根据构造方程，求出，根据的定义求得结果.【详解】由题意得：本题正确结果：【点睛】本题考查三角函数的定义问题，属于基础题.8．若，则____________【答案】【解析】根据二倍角公式可得，进而得到，代入得到结果.【详解】本题正确结果： 【点睛】本题考查函数解析式的求解以及利用解析式求解函数值的问题，关键是能够通过二倍角公式构造出关于的形式，根据整体法得到函数解析式.9．已知函数，且是其单调区间，则的取值范围是____________ 【答案】【解析】根据的范围得到的范围；根据函数单调可知，解不等式得到结果. 【详解】 当时，，即本题正确结果：【点睛】 本题考查利用的单调性求解参数范围的问题，关键是能够通过的范围得到整体所处的范围，放入的单调区间中构造不等式.10．已知，，____________【答案】【解析】根据诱导公式和二倍角公式可求得，再根据角的范围求得，利用两角和差公式求解得到结果.【详解】即：本题正确结果：【点睛】本题考查三角函数中诱导公式、二倍角公式、两角和差公式的应用以及同角三角函数的求解问题，关键是能够通过配凑角的方式通过已知角将所求角表示出来，从而利用公式求解得到结果.11．张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在中，分别是角是的对边，已知，，求边，显然缺少条件，若他打算补充的大小，并使得有两解，那么的取值范围是____________【答案】【解析】问题为三角形有两个解，根据画圆法可确定，从而得到所求范围. 【详解】由题意可知三角形有两个解由上图可知：若有两解，可知以为圆心，为半径的圆弧与有两个交点则，即【点睛】本题考查三角形解的个数的问题，关键是能够将问题转化为与之间的大小关系的比较.12．函数的值域____________【答案】【解析】首先确定定义域，根据二倍角公式将整理为，从而根据定义域可知，进而得到函数值域.【详解】定义域为：当时，值域为本题正确结果：【点睛】本题考查正切函数值域的求解问题，忽略原函数的定义域是本题的易错点.13．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求，的长度大于1米，且比长0.5米，为了稳固广告牌，要求越短越好，则最短为____________米【答案】【解析】根据余弦定理构造出，利用换元法可将右侧式子凑成符合基本不等式的形式，根据基本不等式求得最小值.【详解】设，则由余弦定理得令，则当且仅当，即时，即时，取得最小值本题正确结果：【点睛】本题考查利用基本不等式解决实际问题，关键是能够通过余弦定理将所求长度化为关于变量的和的形式，根据基本不等式求解出和的最小值.14．设是定义在上的周期为4的函数，且，记，若函数在区间上零点的个数是8个，则的取值范围是____________【答案】【解析】将问题转化为与的图象在区间之间有个交点的问题，根据解析式和周期画出函数图象，通过数形结合得到结果.【详解】由题意可转化为与的图象在区间之间有个交点由解析式及周期，可得函数的图象如下图：若与在有个交点，则位置如图所示数形结合可知：本题正确结果：【点睛】本题考查利用函数区间内的零点个数求解参数范围问题，关键是能够将问题转化为曲线与直线的交点个数问题，从而通过数形结合的方式求得结果.15．设函数，其中，若、、是的三条边长，则下列结论：①对于一切都有；②存在使、、不能构成一个三角形的三边长；③为钝角三角形，存在，使，其中正确的个数为______个A．3 B．2 C．1 D．0【答案】A【解析】构造函数，根据函数单调性可知，根据三角形三边关系可知，可推导出，从而可得，可知①正确；通过取值可知存在取值使得取值不满足三边关系，可知②正确；根据余弦定理可知，可得，再结合，可知，由零点存在性定理可知③正确；由此可得选项. 【详解】①令在上单调递减在上单调递减当时，根据三角形三边关系可知：又时，都有，可知①正确；②取，，，则，不满足三角形三边关系，可知②正确；③为钝角三角形，从而又，由零点存在性定理，可知③正确本题正确选项：【点睛】本题考查函数与解三角形知识的综合应用问题，其中涉及到零点存在定理的应用、余弦定理及三角形三边关系的应用、函数单调性问题，关键是能够构造出合适的函数来对问题进行求解.16．若函数的最大值和最小值分别为、，则函数图像的对称中心不可能是_______A．B．C．D．【答案】C【解析】设，可得为奇函数，进而得到，从而得到解析式；根据的对称中心，平移可得对称中心的坐标；再分别对应四个选项，当不是整数时，则不可能为对称中心，由此可得选项.【详解】设，则即为奇函数令则，可知的对称中心为将的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得的图象的对称中心为当时，，不合题意，可知不可能为又当时分别对应选项，可知均为的对称中心本题正确选项：【点睛】本题考查函数性质的综合应用问题，涉及到利用奇偶性求解最值、与三角函数有关的对称中心的求解、函数图象平移变换问题，对于学生函数性质的掌握要求较高，属于偏难题.三、解答题17．已知函数.（1）求的单调增区间；（2）当时，求的最大值和最小值.【答案】（1）；（2）的最大值为2，最小值为-1【解析】（1）利用辅助角公式得：，将放入的单调递增区间中，求出的范围即可；（2）根据的范围得的范围，结合的图象可求得最值. 【详解】（1）由得：的单调增区间为（2）当时，当时，当时，的最大值为，最小值为【点睛】本题考查的单调区间的求解、函数值域的求解问题，关键是能够通过整体对应的方式，通过分析的图象求得结果.18．在中，已知，外接圆半径.（1）求角的大小；（2）试求面积的最大值.【答案】（1）（2）【解析】（1）利用二倍角公式得到关于的方程，解出，进而得到；（2）根据正弦定理求得，根据余弦定理，结合基本不等式可得，代入三角形面积公式求得面积的最大值.【详解】（1）由得：即解得：或（舍）（2）由正弦定理得：由余弦定理得当且仅当时，取得最大值，即面积的最大值为【点睛】本题考查正余弦定理解三角形、三角形面积的最值问题，关键是能够利用余弦定理构造出基本不等式的形式，从而得到积的最大值.19．已知函数的图像与轴的交点为，它在轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为和.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图像向左平移个单位后，得到的函数是奇函数，求的值.【答案】（1）（2）【解析】（1）根据最值确定振幅；再根据两对称轴之间距离为求得；代入求得；根据图象否掉的情况，从而得到结果；（2）根据图象平移得到解析式，利用求得；通过验证可知满足题意，从而确定结果.【详解】（1）由题意，，即，即或当时，函数在时先取得最小值，后取得最小值，不符合图象函数的解析式为（2）由题意得：，是奇函数又当时，满足，即为奇函数，可知满足题意【点睛】本题考查利用三角函数图象求解函数解析式、利用图象平移和函数性质求解参数的问题.本题的易错点为利用特殊值求解初相时，忽略图象最值取得的位置，从而无法舍去增根. 20．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设.（1）用表示线段；（2）设，，求关于的函数解析式；（3）求八角形所覆盖面积的最大值，并指出此时的大小.【答案】（1），（2），（3）时，取得最大值【解析】（1）根据构造出与的关系，整理得到结果；（2）由（1）可得，整理化简可得结果；（3）利用将表示成，；利用换元法，可将问题转化为，根据的范围和的单调性求得最值和的取值.【详解】（1）由题意可得：，（2）由（1）得：两边平方并化简得：又，（3），令则又在上单调递增当，即时，取得最大值【点睛】本题考查利用三角函数的实际应用问题，重点考查了面积的最值求解问题，关键是能够将所求面积表示成与三角函数有关的函数关系式，从而通过换元的方式结合函数的单调性求得结果；易错点是忽略了换元后参数的取值范围.21．已知是定义在上的函数，如果存在常数，对区间的任意划分：，和式恒成立，则称为上的“绝对差有界函数”，注：.（1）求证：函数在上是“绝对差有界函数”；（2）记集合存在常数，对任意的，有成立.求证：集合中的任意函数为“绝对差有界函数”；（3）求证：函数不是上的“绝对差有界函数”.【答案】（1）见解析（2）见解析（3）见解析【解析】（1）将整理为，可知在上单调递增；可知，从而可将化简为，从而可知，得到结论；（2）取，根据，可得，从而可取得到结论；（3）取一个划分：，可将整理为；根据放缩可知只要足够大，可使得，从而得到结论.【详解】（1）当时，在区间上为单调递增函数当，时，有，所以从而对区间的任意划分：存在，使得成立综上，函数在上是“绝对差有界函数”（2）证明：任取从而对区间的任意划分：和式成立则可取所以集合中的任意函数为“绝对差有界函数”（3）取区间的一个划分：，则有：所以对任意常数，只要足够大，就有区间的一个划分：满足所以函数不是的“绝对差有界函数”【点睛】本题考查与新定义有关的证明问题，关键是能够理解新定义的具体含义，进而可通过单调性、不等关系、放缩的方式把关系式进行化简，从而可求得临界值的具体取值，再根据取值确认函数是否符合新定义，属于难题.。
2018-2019学年上海市复大附中高一(下)期中数学试卷-学生版+解析版(无水印)
2018-2019学年上海市复大附中高一（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）已知1690α=︒，(2,0)θπ∈-，若角θ与α的终边相同，则θ= ． 2．（3分）已知函数()tan()(0)4f x ax a π=+>的最小正周期为2π，则a = ．3．（3分）已知半径为r 的扇形，它的周长等于弧所在半圆的弧长，则扇形的圆心角的弧度数为 ．4．（3分）已知α是第三象限的角，则sin(cos )cos(sin )αα的符号是 号（填正或负）． 5．（3分）角α终边上有点(P x ，5)(0)x <，且cos 13xα=，则cot α= ． 6．（3分）若(tan )cos2f x x =，则f （2）= ．7．（3分）已知函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>，且[0,]4π是其单调区间，则ω的取值范围是8．（3分）已知1cos()cos()638ππαα+-=-，(,)32ππα∈，sin 2α= ．9．（3分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC ∆中，a ，b，c 分别是角是A ，B ，C 的对边，已知b =45A ∠=︒，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 有两解，那么a 的取值范围是 ． 10．（3分）函数1cos ()sin xf x x-=的值域 ． 11．（3分）如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求60ACB ∠=︒，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，则AC 最短为 米．12．（3分）设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x π⎧=⎨<<⎩剟，记()()g x f x a =-，若函数()g x 在区间[4-，5]上零点的个数是8个，则a 的取值范围是 ． 二、选择题13．（3分）在ABC ∆中，“1sin 2A =”是“6A π=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．（3分）设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是( ) A ．函数()f x 的最小正周期是2π B ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)122ππ-上是增函数 15．（3分）设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>．若a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的个数是( ) ①对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使x xa ，x b ，x c 不能构成一个三角形的三边长； ③若ABC ∆为钝角三角形，则存在(1,2)x ∈，使()0f x =． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个16．（3分）若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()sin[()]3g x M m x M m x π=+++-图象的对称中心不可能是( )A ．4(,)33ππB ．(,)123ππC ．28(,)33ππ D ．416(,)33ππ 三、解答题17．已知函数()2cos 2f x x x =+． （1）求()y f x =的单调增区间；（2）当[,]63x ππ∈-时，求()f x 的最大值和最小值．18．在ABC ∆中，已知22sin cos212A BC ++=，外接圆半径2R =． （1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值．19．已知函数()cos()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(x ，2)和0(2x π+，2)-． （1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向左平移((0,2))a a π∈个单位后，得到的函数()y g x =是奇函数，求a 的值．20．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设11AA H α∠=．（1）用α表示线段1AH ；（2）设1AH x =，sin y α=，求y 关于x 的函数解析式； （3）求八角形所覆盖面积S 的最大值，并指出此时α的大小．21．已知()f x 是定义在[a ，]b 上的函数，如果存在常数0M >，对区间[a ，]b 的任意划分：011n n a x x x x b -=<<⋯<<=，和式11|()()|ni i i f x f x M -=-∑…恒成立，则称()f x 为[a ，]b 上的“绝对差有界函数”，注：121ni n i a a a a ==++⋯+∑；（1）证明函数()sin cos f x x x =+在[,0]2π-上是“绝对差有界函数”；（2）记集合{()|A f x =存在常数0k >，对任意的1x ，2[x a ∈，]b ，有1212|()()|||f x f x k x x --…成立}，证明集合A 中的任意函数()f x 均为“绝对差有届函数”；当[a ，][1b =，2]时，判断()g x =A 中，如果在，请证明并求k 的最小值，如果不在，请说明理由；（3）证明函数cos01()20x x f x xx π⎧<⎪=⎨⎪=⎩…不是[0，1]上的“绝对差有界函数．2018-2019学年上海市复大附中高一（下）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知1690α=︒，(2,0)θπ∈-，若角θ与α的终边相同，则θ= 1118π- 【解答】解：169036042503605110α=︒=︒⨯+︒=︒⨯-︒， 即α与110-︒的终边相同，即1118θπ=-， 故答案为：1118π-． 2．（3分）已知函数()tan()(0)4f x ax a π=+>的最小正周期为2π，则a = 12【解答】解：()tan()(0)4f x ax a π=+>的最小正周期为2π， ∴2aππ=，12a ∴=． 故答案为：12． 3．（3分）已知半径为r 的扇形，它的周长等于弧所在半圆的弧长，则扇形的圆心角的弧度数为 2π- ．【解答】解：设扇形的圆心角是rad θ，因为扇形的弧长是r θ， 所以扇形的周长是2r r θ+． 依题意得2r r r θπ+=， 解得2θπ=-． 故答案为：2π-．4．（3分）已知α是第三象限的角，则sin(cos )cos(sin )αα的符号是 负 号（填正或负） 【解答】解：α是第三象限的角，1cos 0α∴-<<，1sin 0α-<<， 则sin(cos )0α<，cos(sin )0α>， 即则sin(cos )cos(sin )0αα<， 故答案为：负．5．（3分）角α终边上有点(P x ，5)(0)x <，且cos 13x α=，则cot α= 125- 【解答】解：角α终边上有点(P x ，5)(0)x <，且cos 13x α==，∴得12x =-，12cot 5α∴=-． 故答案为：125-． 6．（3分）若(tan )cos2f x x =，则f （2）= 35-【解答】解：设tan 2x =，则：222222221143cos2cos sin 1145cos x sin x tan x x x x cos x sin x tan x ---=-====-+++； ∴3(2)5f =-．故答案为：35-．7．（3分）已知函数()2sin()(0)4f x x πωω=+>，且[0,]4π是其单调区间，则ω的取值范围是 (0，1]【解答】解：当[0,]4x π∈时，[,(1)]444x πππωω+∈+，()f x 在[0,]4π上单调，∴(1)42ππω+…，1ω∴…，又0ω>，ω∴的取值范围为(0，1]．故答案为(0，1]．8．（3分）已知1cos()cos()638ππαα+-=-，(,)32ππα∈，sin 2α=【解答】解：1cos()cos()638ππαα+-=-，且()632πππαα++-=，cos()sin()36ππαα∴-=+，111sin()cos()sin(2)66238ππααπα∴++=+=-，11sin(2)34πα∴+=-，(,)32ππα∈，∴142(,)33ππαπ+∈，1cos()3πα∴+=11111sin 2sin[(2)]sin(2))33233ααππαπαπ∴=+-=++=9．（3分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角是A ，B ，C的对边，已知b =45A ∠=︒，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 有两解，那么a 的取值范围是 (2， 【解答】解：由已知及正弦定理sin sin a bA B == 可得2sin B a=， 要使得c 有两解，那么sin B有两解，则2sin (2B a =∈，1)， 解得：(2a ∈，． 故答案为：(2，． 10．（3分）函数1cos ()sin xf x x -=的值域 (-∞，0)(0⋃，)+∞ 【解答】解：1cos ()sin xy f x x-==， sin 1cos y x x ∴=-，∴)1x φ+=，其中1tan (0)y yφ=≠，∴sin()0)x y φ+=≠，|sin()|1x φ+…，∴1(0)y ≠，0y ∴>或0y <，()f x ∴的值域为：(-∞，0)(0⋃，)+∞．故答案为：(-∞，0)(0⋃，)+∞．11．（3分）如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架 三角形支架形状如图，要求60ACB ∠=︒，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，则AC 最短为 2+【解答】解：设BC 的长度为x 米，AC 的长度为y 米，则AB 的长度为(0.5)y -米，在ABC ∆中，依余弦定理得：2222cos AB AC BC AC BC ACB =+-∠ 即2221(0.5)22y y x yx -=+-⨯，化简，得21(1)4y x x -=-， 1x >， 210∴-> 因此2141x y x -=-，3(1)224(1)y x x =-++-当且仅当314(1)x x -=-时，取“=”号，即1x =+y有最小值2．故答案为：2．12．（3分）设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x π⎧=⎨<<⎩剟，记()()g x f x a =-，若函数()g x 在区间[4-，5]上零点的个数是8个，则a 的取值范围是 (0,1) 【解答】解：由()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x π⎧=⎨<<⎩剟，又()()g x f x a =-，若函数()g x 在区间[4-，5]上零点的个数是8个等价于函数()y f x =的图象与直线y a =在区间[4-，5]有8个交点，又函数()y f x =的图象与直线y a =在区间[4-，5]的位置关系如图所示， 由图可知，当函数()y f x =的图象与直线y a =在区间[4-，5]有8个交点时，01a <<， 故答案为：(0,1)． 二、选择题13．（3分）在ABC ∆中，“1sin 2A =”是“6A π=”的( ) A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件【解答】解：在ABC ∆中，由1sin 26A A π=⇔=，或56π． ∴ “1sin 2A =”是“6A π=”的必要非充分条件， 故选：B ．14．（3分）设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是( )A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)122ππ-上是增函数 【解答】解：对于A ，函数()sin(2)3f x x π=-的最小正周期为2T ππω==，A 错误；对于B ，6x π=时，()sin(2)063f x ππ=⨯-=， 其图象关于点(,0)6π对称，B 正确；对于C ，()sin 2()6f x x π=-，其图象可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移6π个单位得到，C ∴错误； 对于D ，(12x π∈-，)2π时，2(32x ππ-∈-，2)3π，函数()sin(2)3f x x π=-先递增后递减，D 错误；故选：B ．15．（3分）设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>．若a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的个数是( ) ①对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使x xa ，x b ，x c 不能构成一个三角形的三边长； ③若ABC ∆为钝角三角形，则存在(1,2)x ∈，使()0f x =． A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个【解答】解：对于①，a ，b ，c 是ABC ∆的三条边长，a b c ∴+>， 0c a >>，0c b >>，01a c ∴<<，01bc<<， 当(,1)x ∈-∞时，()[()()1]x x x x x x a bf x a b c c c c =+-=+-(1)0x x a b a b cc c c c c+->+-=>，∴①正确；对于②，令1a =，2b =， 2.5c =，a ，b ，c 可以构成三角形， 2x =时，222a =，24b =，2 6.25c =不能构成三角形，∴②正确；对于③，0c a >>，0c b >>，若ABC ∆为钝角三角形，则2220a b c +-<， f （1）0a b c =+->，f （2）2220a b c =+-<，∴由根的存在性定理可知在区间(1,2)上存在零点，即(1,2)x ∃∈，使()0f x =，∴③正确； 综上，正确命题的个数为3个． 故选：A ．16．（3分）若函数222(1)sin ()1x x f x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()sin[()]3g x M m x M m x π=+++-图象的对称中心不可能是( )A ．4(,)33ππB ．(,)123ππC ．28(,)33ππ D ．416(,)33ππ 【解答】解：222222(1)sin 2(1)4sin 4sin ()2111x x x x x x xf x x x x ++++++===++++， 而函数24sin 1x xx ++为奇函数，设其最大值为a ，则其最小值为a -，可得2M a =+，2m a =-．4M m ∴+=．∴()()sin[()]4sin(4)33g x M m x M m x x x ππ=+++-=+-． 令43x k ππ-=，得412k x ππ=+，k Z ∈． 取0k =，得12x π=，此时()123g ππ=； 取1k =，得3x π=，此时4()33g ππ=； 取5k =，得43x π=，此时416()33g ππ=． ∴函数()()sin[()]3g x M m x M m x π=+++-图象的对称中心不可能是28(,)33ππ． 故选：C ． 三、解答题17．已知函数()2cos 2f x x x =+． （1）求()y f x =的单调增区间；（2）当[,]63x ππ∈-时，求()f x 的最大值和最小值【解答】解：（1）()2cos22sin(2)6f x x x x π+=+，令222262k x k πππππ-++剟，k Z ∈，解得：36k x k ππππ-+剟，k Z ∈，可得()y f x =的单调递增区间为：[,]()36k k k Z ππππ-+∈；（2）当[,]63x ππ∈-时，2[66x ππ+∈-，5]6π，∴当266x ππ+=-时，即6x π=-时，()f x 取得最小值1-；当262x ππ+=时，即6x π=时，()f x 取得最小值2．即()f x 的最大值为2，最小值为1-． 18．在ABC ∆中，已知22sin cos212A BC ++=，外接圆半径2R =． （1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值．【解答】解：（1）在ABC ∆中，已知22sin cos212A BC ++= ∴由三角函数公式可得1cos()cos21A B C -++=，A B C π++=，cos()cos A B C ∴+=-，22cos cos 10C C ∴+-=，解得cos 1C =-（舍)，或1cos 2C =， 3C π∴=；（2）由正弦定理可得24sin cR C==，4sin 4c C ∴===由余弦定理可得222122cos 2c a b ab C ab ab ab ==+--=…，当且仅当a b ==时取等号，12ab ∴…，11sin 1222ABC S ab C ∆∴=⨯=…，故ABC ∆面积的最大值为19．已知函数()cos()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(x ，2)和0(2x π+，2)-． （1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向左平移((0,2))a a π∈个单位后，得到的函数()y g x =是奇函数，求a 的值．【解答】解：（1）函数()cos()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(x ，2)和0(2x π+，2)-，2A ∴=，且1222ππω=，12ω∴=． 2cos 1ϕ∴=，1cos 2ϕ∴=，3πϕ∴= （舍去，不满足图象），或3πϕ=-，1()2cos()23f x x π∴=-．（2）将函数()y f x =的图象向左平移((0,2))a a π∈个单位后，得到的函数1()2cos()223a y g x x π==+-的图象，由于()g x 是奇函数，∴232a ππ-=，53a π∴=． 20．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设11AA H α∠=． （1）用α表示线段1AH ；（2）设1AH x =，sin y α=，求y 关于x 的函数解析式； （3）求八角形所覆盖面积S 的最大值，并指出此时α的大小．【解答】解：（1）由题意可得，1114sin tan AH AH AH αα++=， 14sin sin cos 1AH ααα∴=++，1(0,)2απ∈，（2）14sin sin cos 1AH ααα=++，1(0,)2απ∈，x ∴=，4y xy x ∴=--，∴显然0y ≠，∴224,(0,4)48x x y x x x -=∈-+；（3）1122132sin cos 164164162tan (sin cos 1)AA H x S Sααααα=+=+⨯⨯=+++，1(0,)2απ∈，令cos sin )(14t πααα=++∈，则2216(1)321632(1)1t S t t -=+=-++，易证S 在(1t ∈单调递增，当t =4πα=时，S取得最大值64-21．已知()f x 是定义在[a ，]b 上的函数，如果存在常数0M >，对区间[a ，]b 的任意划分：011n n a x x x x b -=<<⋯<<=，和式11|()()|ni i i f x f x M -=-∑…恒成立，则称()f x 为[a ，]b 上的“绝对差有界函数”，注：121ni n i a a a a ==++⋯+∑；（1）证明函数()sin cos f x x x =+在[,0]2π-上是“绝对差有界函数”；（2）记集合{()|A f x =存在常数0k >，对任意的1x ，2[x a ∈，]b ，有1212|()()|||f x f x k x x --…成立}，证明集合A 中的任意函数()f x 均为“绝对差有届函数”；当[a ，][1b =，2]时，判断()g x =A 中，如果在，请证明并求k 的最小值，如果不在，请说明理由；（3）证明函数cos01()20x x f x xx π⎧<⎪=⎨⎪=⎩…不是[0，1]上的“绝对差有界函数．【解答】解：（1）()sin cos )4f x x x x π=++在[2π-，0]上是增函数，∴对任意划分1()()n n f x f x ->，1101|()()|()()()()(0)()22i i n n f x f x f x f x f x f x f f π--∴-=-+⋯+-=--=；取常数2M …，则和式11|()()|ni i i f x f x M -=-∑…恒成立，∴函数()f x 在[2π-，0]上是“绝对差有界函数”；（2）)存在常数k ，使得对于任意的1x ，2[x a ∈，]b ，1212|()()|||f x f x k x x --…，∴1111|()()|||()nni i ii i i f x f x xx k b a --==--=-∑∑…；故存在常数()M k b a =-，使得11|()()|ni i i f x f x M -=-∑…恒成立，所以()f x 为[a ，]b 上的“绝对差有界函数”；若()g x =则12|()()||g x g x -==，[a ，][1b =，2]，112x ∴剟，212x 剟，11则212，则12121|()()|||2g x g x x x -=-， ∴当12k …时，1212|()()|||g x g x k x x --…恒成立，故()g x =A 中，k 的最小值是12． （3）证明：函数cos ,01()20;0x x f x xx π⎧<⎪=⎨⎪=⎩…， 令12(21)i x i =+，1122i x i-=，*i N ∈，则11()()2(21)22i j f x f x i i-=--+； ∴和式(Tex translation failed)不成立，故函数()f x 不是[0，1]上的“绝对差有界函数”；。
2019-2020学年上海市杨浦区复旦附中高一下学期期中数学试题解析
绝密★启用前2019-2020学年上海市杨浦区复旦附中高一下学期期中数学试题注意事项：1、答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、请将答案正确填写在答题卡上一、单选题1．在△ABC 中，“sin 2A >”是“34A π<”的（ ）条件 A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要答案：A根据三角函数的性质，得到当sin 2A >时，34A π<是成立的，再利用反例，得出必要性不一定成立，即求解.解：在ABC ∆中，由sin A >，因为(0,)A π∈，可得344A ππ<<，所以当sin 2A >时，34A π<是成立的，即充分性成立；反之：例如364A ππ=<，此时1sin 22A =<，即必要性不一定成立.所以“sin 2A >”是“34A π<”的充分不必要条件. 故选：A点评： 本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．以下哪个不是25lim 21nn n q q →∞-+可能的取值（ ） A ．2B ．1-C ．52-D ．7-答案：D对q 的取值进行分类讨论，即可得答案；解：（1）若12q =，则0n q →，∴25lim 221n n n q q →∞-=+； （2）若2q =，则n q →+∞，∴25255lim lim 12122n n n n n n q q q q→∞→∞--==-++； （3）若1q =，则1nq =，∴25lim 121nn n q q →∞-=-+； 利用排除法可得D 选项不可能，故选：D.点评：本题考查数列极限的求解，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.3．若等差数列{}n a 首项为2，公差为2，其前n 项和记为n S ，则数列1{}n S 前n 项和为（ ）A ．21n n +B ．1n n +C ．1n(n 1)+D ．2(1)n n + 答案：B根据等差数列前n 项和公式求出n S ，从而得出1{}nS 的通项公式，再用裂项相消法即可求出数列1{}nS 前n 项和. 解： 等差数列前n 项()112n n n S na d -=+，等差数列{}n a 首项为2，公差为2，代入可得()()12212n n n S n n n -=+⨯=+，所以()111111n S n n n n ==-++，所以数列1{}nS 前n 项和为111111111122334111n n T n n n n =-+-+-++-=-=+++L . 故选：B点评：本题主要考查等差数列前n 项和的求法，以及裂项相消法求数列前n 项和.4．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A 、ω、ϕ均为正的常数）的最小正周期为2π，当3x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A ．(1)(1)(0)f f f <-<B ．(0)(1)(1)f f f <<-C ．(1)(0)(1)f f f -<<D ．(1)(0)(1)f f f <<- 答案：A根据周期公式可得4ω=，根据当3x π=时，函数()f x 取得最小值，可得1126k ϕππ=-，k Z ∈，所以()f x sin(4)6A x π=+，再利用诱导公式以及三角函数的性质比较大小可得答案.解： 依题意得22ππω=，解得4ω=，所以()sin(4)f x A x ϕ=+， 因为当3x π=时，函数()f x 取得最小值， 所以4232k ππϕπ⨯+=-，k Z ∈，即1126k ϕππ=-，k Z ∈， 所以11()sin(42)6f x A x k ππ=+-11sin(4)sin(42)66A x A x πππ=-=-+sin(4)6A x π=+， 因为3462πππ<+<且0A >，所以(1)sin(4)6f A π=+0<， 因为(1)sin(4)sin(42)sin[(42)]666f A A A ππππππ-=-+=-++=--++11sin(4)sin(4)66A A πππ=--=-， 又1104662πππ<-<<，所以110sin(4)sin 66ππ<-<， 因为0A >，所以0(1)(0)f f <-<，综上所述：(1)(1)(0)f f f <-<.故选：A点评：本题考查了根据三角函数的性质求解析式，考查了诱导公式，考查了利用正弦函数的单调性比较大小，属于中档题.二、填空题5．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度 答案：12设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解.解：设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，因为扇形的面积为1，弧长也为1， 可得21121r r αα⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，即221r r αα⎧⋅=⎨=⎩，解得12,2r α==. 故答案为：12 点评：本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力.6．计算sin40sin100sin50sin10︒︒-︒︒=________ 答案：12利用诱导公式和两角差的正弦公式，即可得到答案；解： 原式1sin 40cos10cos 40sin10sin 302=︒︒-︒︒=︒=， 故答案为：12. 点评：本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，考查转化与化归思想，考查运算求解能力.7．函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数记为()g x ，则1()2g =________ 答案：56π 点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，根据题意两函数图象关于直线y x =对称知点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，得解.解： 因为当[,]2x ππ∈时，51sin 62π=，所以点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上， 因为()g x 是函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数， 所以点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，则15()26g π=. 故答案为：56π点评： 本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质，属于基础题.8．在△ABC中，若a =1b =，60A =︒，则B =________ 答案：6π 直接利用正弦定理，结合三角形解的个数判定，即可得到答案；解：Q 11sin sin sin sin 22a b B A B B=⇒=⇒=， Q a b >，∴A B >， ∴6B π=， 故答案为：6π. 点评：本题考查正弦定理\三角形解的个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9．已知等比数列{}n a 中，24a =，68a =，则10a =________答案：16将等比数列的通项公式代入24a =，68a =中，可得4q ，再求10a 的值。
2019-2020学年上海市复旦附中高一(上)期中数学试卷(解析版)
2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合A＝{2，0，1，9}，则集合A的非空真子集的个数为．2．U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则（∁U A）∩B＝．3．不等式﹣2＜＜3的解集是．4．设集合T＝{∅，{∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，②{∅}∈T，④{∅}⊆T中正确的是（写出所有正确命题对应的序号）．5．若集合，则实数a的取值范围是．6．如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q 含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，则P含有个元素．7．已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为．8．若f（x）在区间[t，t2﹣2t﹣2]上为奇函数，则实数t的值为．9．已知不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，则实数a的取值范围为．10．对于集合M，定义函数，对于两个集合A，B，定义集合A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．已知集合，B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A*B＝．11．若实数x，y≥0满足x+3y﹣xy＝1，求3x+4y的最小值为．12．已知a＞0，且对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，则的取值范围为．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确14．已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分又不必要15．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）16．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集三、解答题（本大题共有5题，满分38分）17．已知集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B＝A，求m，n的值；（2）若A∪B＝A，求m，n的取值范围．18．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．19．如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？20．已知函数，（1）判断f（x）的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f（x）在x∈（0，1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈（0，+∞），不等式恒成立，求实数m的取值范围．21．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]⊆[1，+∞）上的值域为；（3）若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为，则记所有满足条件的区间[a，b]的并集为D，设g（x）＝f（x）（x∈D），问是否存在实数m，使得集合{（x，y）|y＝g （x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．2019-2020学年上海市复旦附中高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12题，满分48分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．已知集合A＝{2，0，1，9}，则集合A的非空真子集的个数为14．【解答】解：∵集合A＝{2，0，1，9}，∴集合A的非空真子集的个数为：24﹣2＝14．故答案为：14．2．U＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}，则（∁U A）∩B＝{2，3}．【解答】解：∵A＝{x|x2﹣1≤0，x∈Z}＝{﹣1，0，1}，B＝{x|﹣1≤x≤3，x∈Z}＝{﹣1，0，1，2，3}，∴∁U A＝{x|x≤﹣2，或x≥2，x∈Z}，∴（∁U A）∩B＝{2，3}，故答案为{2，3}．3．不等式﹣2＜＜3的解集是{x|x或0＜x}．【解答】解：∵﹣2＜＜3，当x＞0时，﹣2x＜1＜3x，解可得，，∴，当x＜0时，﹣2x＞1＞3x，解可得，x，综上可得，不等式的解集为{x|x或0＜x}．故答案为：{x|x或0＜x}．4．设集合T＝{∅，{∅}}，则下列命题：①∅∈T，②∅⊆T，②{∅}∈T，④{∅}⊆T中正确的是①②③④（写出所有正确命题对应的序号）．【解答】解：∵T＝{∅，{∅}}，∴∅∈T，∅⊆T，{∅}∈T，{∅}⊆T．故答案为：①②③④．5．若集合，则实数a的取值范围是（﹣∞，3]．【解答】解：由题意可得，x2+2（a+1）x+a2﹣5≥0恒成立，∴△＝4（a+1）2﹣4（a2﹣5）≤0，解可得，a≤﹣3，故答案为：（﹣∞，3]6．如果全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q 含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，则P含有5个元素．【解答】解：由全集U含有12个元素，P，Q都是U的子集，P∩Q中含有2个元素，∁U P∩∁U Q含有4个元素，∁U P∩Q含有3个元素，作出维恩图，图中数字代表集合中包含的元素的个数，由维恩图结合题意得：4+x+2+3＝12，解得x＝3．∴集合P中含有的元素个数为：2+x＝2+3＝5．故答案为：5．7．已知Rt△ABC的周长为定值2，则它的面积最大值为3﹣2．【解答】解：设直角边长为a，b，则斜边长为，∵直角三角形ABC的三边之和为2，∴a+b+＝2，∴2≥2+，∴≤＝2﹣，∴ab≤6﹣4，∴S＝ba≤3﹣2，∴△ABC的面积的最大值为3﹣2．故答案为：3﹣2．8．若f（x）在区间[t，t2﹣2t﹣2]上为奇函数，则实数t的值为﹣1．【解答】解：由奇函数的定义域关于原点对称可知，t+t2﹣2t﹣2＝0，且t2﹣2t﹣2＞0，∴t2﹣t﹣2＝0，解可得t＝2（舍）或t＝﹣1，故答案为：﹣1．9．已知不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，则实数a的取值范围为（﹣7，+∞）．【解答】解：不等式|x﹣3|﹣|x+4|＜a解集非空，所以|x﹣3|﹣|x+4|的最小值小于a，又|x﹣3|﹣|x+4|≥﹣7，此时x≥3∴a＞﹣7故答案为：（﹣7，+∞）．10．对于集合M，定义函数，对于两个集合A，B，定义集合A*B＝{x|f A（x）•f B（x）＝﹣1}．已知集合，B＝{x|x（x﹣3）（x+3）＞0}，则A*B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞）．【解答】解：A＝（﹣∞，1），B＝（﹣∞，﹣3）∪（3，+∞），f A（x）•f B（x）＝﹣1，当f A（x）＝1，f B（x）＝﹣1，A*B＝B，当f A（x）＝﹣1，f B（x）＝1，A*B＝[﹣3，1），故A*B＝（﹣∞，1）∪（3，+∞），故答案为：（﹣∞，1）∪（3，+∞）．11．若实数x，y≥0满足x+3y﹣xy＝1，求3x+4y的最小值为．【解答】解：由x+3y﹣xy＝1，得；x+3y﹣xy＝1≥0，，，当y＞1时，；当时，设，＝在[]上单调递减，在处取得最小值，3x+4y取得最小值，综上可得3x+4y取得最小值，故答案为：．12．已知a＞0，且对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，则的取值范围为（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．【解答】解：∵对任意x＞0，有（x﹣a）（x2+bx﹣a）≥0恒成立，∴x＝a是方程x2+bx﹣a＝0的根，即a2+ab﹣a＝0，又a＞0，则a+b﹣1＝0，∴（b，a）可理解为直线a+b﹣1＝0上纵坐标大于0的点，则的几何意义即为直线a+b ﹣1＝0上纵坐标大于0的点与原点连线的斜率，如图，直线a+b﹣1＝0的斜率为﹣1，由图象可知，．故答案为：（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13．命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题的等价命题是（）A．若q不正确，则p不正确B．若q不正确，则p正确C．若p正确，则q不正确D．若p正确，则q正确【解答】解：命题“若p不正确，则q不正确”的逆命题是：“若q不正确，则p不正确”其等价命题是它的逆否命题，即“若p正确，则q正确”故选：D．14．已知a，b∈R，则“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的（）条件．A．充分非必要B．必要非充分C．充要D．既不充分又不必要【解答】解：∵“不等式ab+1＞a+b”成立等价于“ab+1﹣a﹣b＝（b﹣1）（a﹣1）＞0”，∴当“|a|＜1，|b|＜1时，则（b﹣1）（a﹣1）＞0成立；当（b﹣1）（a﹣1）＞0时，有a＞1且b＞1；或者a＜1且b＜1；故“|a|＜1，|b|＜1”是“不等式ab+1＞a+b”成立的充分非必要条件；故选：A．15．定义在R上的偶函数f（x）满足对任意x1，x2∈（﹣∞，0]（x1≠x2），有，则当n∈N*时，有（）A．f（﹣n）＜f（n﹣1）＜f（n+1）B．f（n﹣1）＜f（﹣n）＜f（n+1）C．f（n+1）＜f（﹣n）＜f（n﹣1）D．f（n+1）＜f（n﹣1）＜f（﹣n）【解答】解：根据题意，函数f（x）是偶函数，且在（﹣∞，0]递增，（0，+∞）递减，因为0＜n﹣1＜n＜n+1，所以f（n﹣1）＞f（n）＞f（n+1），故选：C．16．设集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，Q1＝{x|x2+x+b＞0}，Q2＝{x|x2+2x+b ＞0}，其中a，b∈R，下列说法正确的是（）A．对任意a，P1是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集B．对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集C．存在a，P1不是P2的子集，对任意b，Q1不是Q2的子集D．存在a，P1不是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集【解答】解：对于集合P1＝{x|x2+ax+1＞0}，P2＝{x|x2+ax+2＞0}，可得当m∈P1，即m2+am+1＞0，可得m2+am+2＞0，即有m∈P2，可得对任意a，P1是P2的子集；当b＝5时，Q1＝{x|x2+x+5＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+5＞0}＝R，可得Q1是Q2的子集；当b＝1时，Q1＝{x|x2+x+1＞0}＝R，Q2＝{x|x2+2x+1＞0}＝{x|x≠﹣1且x∈R}，可得Q1不是Q2的子集．综上可得，对任意a，P1是P2的子集，存在b，使得Q1是Q2的子集．故选：B．三、解答题（本大题共有5题，满分38分）17．已知集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．（1）若A∩B＝A，求m，n的值；（2）若A∪B＝A，求m，n的取值范围．【解答】解：（1）集合A＝{x|x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0}，B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0}，其中m，n∈R．解x2﹣（m+3）x+2（m+1）＝0得：x＝2，或x＝m+1，若A∩B＝A，则A⊆B，将x＝2代入2x2+（3n+1）x+2＝0得：n＝﹣2，则B＝{x|2x2+（3n+1）x+2＝0，n∈R}＝{x|2x2﹣5x+2＝0}＝{2，}．则m+1＝，则m＝﹣，当A＝{2}时，m+1＝2，解得m＝1，综上m＝﹣，n＝﹣2，或m＝1，n＝﹣2．（2）若A∪B＝A，则非空集合B⊆A，当△＝（3n+1）2﹣16＝0时，n＝﹣，B＝{1}，m+1＝1，m＝0，或n＝1时，B＝{﹣1}，m+1＝﹣1，m＝﹣2；当△＝（3n+1）2﹣16≥0，即n≤﹣，或n≥1时，则2∈B，由（1）得：m＝﹣，n ＝﹣2；当△＝（3n+1）2﹣16＜0时，即﹣时，B＝∅，对m∈R，故成立，综上，或或或．18．设a＞0，b＞0，且．求证：（1）a+b≥2；（2）a2+a＜2与b2+b＜2不可能同时成立．【解答】证明：（1）由，得ab＝1，由基本不等式及ab＝1，有，即a+b≥2．（2）假设a2+a＜2与b2+b＜2同时成立，则a2+a＜2且b2+b＜2，则a2+a+b2+b＜4，即：（a+b）2+a+b﹣2ab＜4，由（1）知ab＝1因此（a+b）2+a+b＜6①而a+b≥2，因此（a+b）2+a+b≥6②，因此①②矛盾，因此假设不成立，原结论成立．19．如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开．（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【解答】解：（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，它的面积y＝x（l﹣3x）；由x＞0，且l﹣3x＞0，可得函数的定义域为（0，）；（2）y＝x（l﹣3x）＝×3x（l﹣3x）≤×（）2＝，当x＝时，这块长方形场地的面积最大，这时的长为l﹣3x＝l，最大面积为．20．已知函数，（1）判断f（x）的奇偶性，并给出理由；（2）当a＝2时，①判断f（x）在x∈（0，1]上的单调性并用定义证明；②若对任意x∈（0，+∞），不等式恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）当a＝0时，f（x）＝x2，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f（﹣x）＝f（x）∴f（x）为偶函数；当a≠0时，，定义域为{x|x≠0}，关于原点对称，此时f（1）＝1+a，f（﹣1）＝1﹣a，故f（﹣1）≠f（1），f（﹣1）≠﹣f（1），∴f（x）无奇偶性．（2），任取0＜x1＜x2≤1，则＝，∵0＜x1＜x2≤1，∴x1﹣x2＜0，x1x2＞0，x1x2（x1+x2）＜2，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，所以f（x）在区间（0，1]上是递减．（3）由题意得，由（2）知f（x）在区间（0，1]上是递减，同理可得f（x）在区间[1，+∞）上递增，所以f（x）min＝f（1）＝3，所以，即，令，则t2﹣t﹣2＜0，解得﹣1＜t＜2，故0≤t＜2即，即1≤m＜5．21．设函数f（x）为定义在R上的奇函数，且当x∈[0，+∞）时，f（x）＝﹣x2+2x．（1）求函数f（x）的解析式；（2）求实数a，b，使得函数f（x）在区间[a，b]⊆[1，+∞）上的值域为；（3）若函数f（x）在区间[a，b]上的值域为，则记所有满足条件的区间[a，b]的并集为D，设g（x）＝f（x）（x∈D），问是否存在实数m，使得集合{（x，y）|y＝g （x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素？若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）因为f（x）是奇函数，令x＜0，则﹣x＞0，所以f（﹣x）＝﹣（﹣x）2+2（﹣x）＝﹣x2﹣2x＝﹣f（x），所以x＜0时，f（x）＝x2+2x，所以f（x）＝；（2）由（1）可知，当[a，b]⊆[1，+∞）时，f（x）＝﹣（x﹣1）2+1，函数f（x）单调递减，则有，解得a＝1，b＝，（3）由（2）知，函数f（x）在[1，+∞）上满足条件的区间为[1，]当区间[a，b]⊆[0，1]时，⊆[1，+∞），而函数f（x）＝﹣x2+2x在[0，1]上的值域为[0，1]，所以函数f（x）在[0，1]上不存在这样的区间，故函数f（x）在[0，+∞）上满足条件的区间为[1，]．当x∈（﹣∞，0）时，同理可知f（x）的倒值区间为[﹣，﹣1]．故g（x）＝．若集合{（x，y）|y＝g（x）}∩{（x，y）|y＝x2+m}恰含有2个元素，即函数g（x）的图象与y＝x2+m的图象有两个不同的交点，则这两个交点分别在第一、三象限，故当交点在第一象限时，方程﹣x2+2x＝x2+m即m＝﹣2x2+2x在区间[1，]内恰有一个解，此时有﹣2≤m≤0；当交点在第三象限时，方程x2+2x＝x2+m即m＝2x在区间[﹣，﹣1]内恰有一个解，有﹣﹣1≤m≤﹣2；综上可得，m＝﹣2．。
2019学年复旦大学附属中学高一期中考卷及答案
复旦大学附属中学2019学年第一学期高一年级物理期中考试试卷考试时间60分钟，满分100 分。
一、单项选择题: （每题只有一个正确答案）（40分）1．如图所示，一个质点沿两个半径为R的半圆弧由A运动到C，规定向右方向为正方向，在此过程中，它的位移大小和路程分别为（）A．4R，2πR B．4R，﹣2πR C．﹣4R，2πR D．﹣4R，﹣2πR 2．一辆汽车停在水平地面上，有下列几种说法：（1）地面受到向下的弹力，是因为地面发生了形变；（2）地面受到了向下的弹力，是因为汽车发生了形变；（3）汽车受到了向上的弹力，是因为汽车发生了形变；（4）汽车受到了向上的弹力，是因为地面发生了形变．其中正确的是（）A．（1）（3）B．（1）（4）C．（2）（3）D．（2）（4）3．如图所示，物体以5m/s的初速度沿光滑的斜面向上做减速运动，经4s滑回原处时速度大小仍为5m/s，则物体的加速度为（）A．10m/s2，方向沿斜面向下B．0C．2.5m/s2，方向沿斜面向下D．5m/s2，方向沿斜面向下4．在力的合成中，下列关于两个分力（大小为定值）与它们的合力的关系的说法中，正确的是（）A．合力一定大于每一个分力B．合力一定小于分力C．合力的方向一定与分力的方向相同D．两个分力的夹角在0°～180°变化时，夹角越大合力越小5．小球以2m/s的初速度从离地高为3m的地方开始做竖直上抛运动，取g＝10m/s2，则小球在空中运动的时间为（）A．0.4s B．0.6s C．0.8s D．1.0s6．用轻绳系住一小球静止在光滑斜面上，如图所示．若要按力的实际作用效果来分解小球的重力，则重力的两个分力的方向分别是图中的（）A．1和5 B．2和5 C．3和5 D．3和27．P、Q、R三点在同一条直线上，一物体从P点静止开始做匀加速直线运动，经过Q点的速度为v，到R点的速度为3v，则PQ：QR等于（）A．1：8 B．1：6 C．1：5 D．1：38．如图所示是一个网球沿竖直方向运动时的频闪照片，由照片可知（）A．网球正在上升B．网球正在下降C．网球的加速度向上D．网球的加速度向下9．如图所示，直线a和曲线b分别是在平直公路上行驶的汽车a和b的位移一时间（x﹣t）图线，由图可知（）A．在时刻t l，a车与b车相遇B．在时刻t1，a．b两车运动方向相反C．在t l到t2这段时间内，a车的位移比b车小D．在t l到t2这段时间内，a车的速率一直比b车的小10．两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0，若前车突然以恒定的加速度刹车，在前车刚停住时，后车以前车刹车的加速度开始刹车，已知前车在刹车过程中所行驶的距离为s，若要保持两车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少应为（）A．s B．2s C．3s D．4s11．据英国《每日邮报》2016年8月16日报道27名跳水运动员参加了科索沃年度高空跳水比赛，自某运动员离开跳台开始计时，在t2时刻运动员以v2的速度入水，选竖直向下为正方向，其速度随时间变化的规律如图所示，下列结论正确的是（）A．该运动员在0～t2的时间内加速度的大小先减小后增大，方向向上B．该运动员在t2～t3时间内加速度大小逐渐减小，方向向下C．在0～t时间内，平均速度为D．在t2～t3时间内，平均速度为12．作用于原点O的三力平衡，已知三力均位于xOy平面内，其中一个力的大小为F1，沿y轴负方向；力F2的大小未知，与x轴正方向的夹角为θ，如图所示。
2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试卷含详解
复旦大学附属中学2019学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合{}2,0,1,9A =，则集合A 的非空真子集的个数为__________.2.若{}U 3,2,1,0,1,2,3=---，{}2A |10x x x Z =-≤∈，，{}B |13x x x Z =-≤≤∈，，则()UC A B ⋂=_______．3.不等式123x-<<的解集为__________.4.设集合{}{},T =∅∅，则下列命题：①T ∅∈，②T ∅⊆，②{}T ∅∈，④{}T ∅⊆中正确的是__________（写出所有正确命题对应的序号）.5.若y =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________.6.如果全集U 含有12个元素，,P Q 都是U 的子集，P Q 中含有2个元素，U UP Q 痧含有4个元素，U P Qð含有3个元素，则P 含有__________个元素.7.已知Rt ABC ∆的周长为定值2，则它的面积最大值为__________.8.若()f x 在区间2,22t t t ⎡⎤--⎣⎦上为奇函数，则t 的取值为________．9.已知不等式34x x a --+<解集非空，则实数a 的取值范围为__________.10.对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M -∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-.已知集合{}A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________.11.若实数,0x y ≥满足31x y xy +-=，求34x y +的最小值为__________.12.已知0a >时，对任意0x >，有2()()0x a x bx a -+-≥恒成立，则ab的取值范围是_________________.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（）A.若q 不正确，则p 不正确B.若q 不正确，则p 正确C.若p 正确，则q 不正确D.若p 正确，则q 正确14.已知,a b ∈R ，则“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的（）条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分又不必要15.已知定义在R 上的偶函数()f x ，对任意不相等的(]120x x ∈-∞，，，有()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，当*n N ∈时，有（）A.()()()11f n f n f n -<-<+ B.()()() 11f n f n f n -<-<+C.()()()11f n f n f n +<-<- D.()()()11f n f n f n +<-<-16.设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x x x b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是（）A.对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B.对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C.存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D.存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知集合()(){}2|3210A x x m x m =-+++=，(){}2|23120B x x n x =+++=，其中,m n R ∈.（1）若A B A = ，求,m n 的值；（2）若A B A ⋃=，求,m n 的取值范围.18.设0a >，0b >，且11a b a b+=+.证明：(1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．19.（2017-2018学年上海市杨浦区高三数学一模）如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？20.已知函数()2a f x x x=+，（1）判断()f x 的奇偶性，并给出理由；（2）当2a =时，①判断()f x 在(]0,1x ∈上的单调性并用定义证明；②若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()f x m >m 的取值范围.21.设函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求实数,a b ，使得函数()f x 在区间[][),1,a b ⊆+∞上的值域为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）若函数()f x 在区间[],a b 上的值域为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则记所有满足条件的区间[],a b 的并集为D ，设()()()g x f x x D =∈，问是否存在实数m ，使得集合()(){},|x y y g x =(){}2,|x y y xm =+恰含有2个元素？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.复旦大学附属中学2019学年第一学期高一年级数学期中考试试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1.已知集合{}2,0,1,9A =，则集合A 的非空真子集的个数为__________.【答案】14.【分析】根据非空真子集个数的计算公式，计算出集合A 的非空真子集的个数.【详解】由于集合A 有4个元素，故集合A 的非空真子集的个数为42214-=.故答案为14.【点睛】本小题主要考查非空真子集个数的计算，属于基础题.2.若{}U 3,2,1,0,1,2,3=---，{}2A |10x x x Z =-≤∈，，{}B |13x x x Z =-≤≤∈，，则()UC A B ⋂=_______．【答案】{}2,3【分析】先求出A 和B ，再由集合的混合运算即可求出结果.【详解】因为{}{}2A |101,0,1x x x Z =-≤∈=-，，{}{}B |131,0,1,2,3x x x Z ，=-≤≤∈=-，又{}U 3,2,1,0,1,2,3=---，所以{}3,2,2,3U C A =--，因此(){}2,3U C A B ⋂=.故答案为{}2,3【点睛】本题主要考查集合的混合运算，熟记概念即可，属于基础题型.3.不等式123x -<<的解集为__________.【答案】11(,(,)23-∞-+∞ .【分析】将原不等式转化为1213xx⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，解方程组求得原不等式的解集.【详解】原不等式等价于1213x x ⎧>-⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即120130x x ⎧+>⎪⎪⎨⎪-<⎪⎩，120130x xx x+⎧>⎪⎪⎨-⎪<⎪⎩，()()120130x x x x ⎧+>⎪⎨-<⎪⎩，解得11(,)(,)23x ∈-∞-+∞ .故答案为11(,(,)23-∞-+∞ .【点睛】本小题主要考查分式不等式的解法，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础题.4.设集合{}{},T =∅∅，则下列命题：①T ∅∈，②T ∅⊆，②{}T ∅∈，④{}T ∅⊆中正确的是__________（写出所有正确命题对应的序号）.【答案】①②③④.【分析】根据集合T 元素的特征，对四个命题逐一分析，由此确定正确命题的序号.【详解】集合{}{},T =∅∅，也即集合T 的元素为两个集合，一个是∅，另一个是{}∅.对于①，空集是集合T 的元素，故①正确.对于②，空集是任何集合的子集，故②正确.对于③，{}∅是集合T 的元素，故③正确.对于④，{}∅中含有元素∅，故④正确.故答案为①②③④.【点睛】本小题主要考查元素与集合的关系，考查集合与集合的关系，属于基础题.5.若y =的定义域为R ，则实数a 的取值范围是________.【答案】(,3]-∞-【分析】把y =的定义域为R ，转化为()222150x a x a +++-≥在R 上恒成立，利用二次函数的性质，即可求解，得到答案.【详解】由题意，函数y =的定义域为R ，即()222150x a x a +++-≥在R 上恒成立，根据二次函数的性质，则满足22[2(1)]4(5)0a a ∆=+--≤，即260a +≤，解得3a ≤-，即实数a 的取值范围是(,3]-∞-.【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，以及恒成立问题的求解，其中解答中合理转化为二次函数的图象与性质求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.6.如果全集U 含有12个元素，,P Q 都是U 的子集，P Q 中含有2个元素，U UP Q 痧含有4个元素，U P Qð含有3个元素，则P 含有__________个元素.【答案】5.【分析】根据题目所给条件，画出图像，由此判断集合P 的元素个数.【详解】依题意画出图像如下图所示，由图可知，集合P 的元素个数为5个.故答案为5.【点睛】本小题主要集合交集、补集的运算，考查全集的概念，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.7.已知Rt ABC ∆的周长为定值2，则它的面积最大值为__________.【答案】3-.【分析】设出三角形的边长，根据周长和勾股定理列方程组，利用基本不等式求得ab 的最大值，进而求得三角形面积的最大值.【详解】设Rt ABC ∆三条边长分别为,,a b c ，其中c 为斜边长，所以2222a b c c a b ++=⎧⎨=+⎩，2a b +=，2≥，2≤=-，所以6ab ≤-则三角形的面积132ABC S ab ∆=≤-.故答案为3-.【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求三角形面积的最大值，考查直角三角形的性质，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.8.若()f x 在区间2,22t t t ⎡⎤--⎣⎦上为奇函数，则t 的取值为________．【答案】1-【详解】奇函数的定义域关于原点对称，且区间的右端点不比左端点小，有222220220022320t t t t t t t t t t t ⎧--=⎧-=-->⎪⇔<⎨⎨<--⎩⎪-->⎩．解得1t =-．9.已知不等式34x x a --+<解集非空，则实数a 的取值范围为__________.【答案】(7,)-+∞.【分析】利用零点分段法，求得34x x --+的最小值，由此求得a 的取值范围.【详解】令()34f x x x =--+，则()7,421,437,3x f x x x x <-⎧⎪=---≤≤⎨⎪->⎩，所以()[]7,7f x ∈-，要使不等式34x x a --+<解集非空，则需7a >-.故答案为(7,)-+∞.【点睛】本小题主要考查零点分段法去绝对值，考查分段函数的性质，考查存在性问题的求解策略，属于中档题.10.对于集合M ，定义函数()1,1,M x Mf x x M-∈⎧=⎨∉⎩，对于两个集合,A B ，定义集合()(){}|1A B A B x f x f x *=⋅=-.已知集合{}A x x =>，()(){}|330B x x x x =-+>，则A B *=__________.【答案】(,3][0,1)(3,)-∞-+∞ .【分析】解不等式求得集合A 与集合B ，根据新定义函数()M f x 以及新定义集合A B *的概念，求得A B *中x 的取值范围.【详解】当0x >x >两边平方并化简得220x x +-<，即()()210x x +-<，解得21x -<<，由于0x >，故x 的范围是()0,1.当0x ≤x >恒成立，故x 的取值范围是(],0-∞.综上所述，(),1A =-∞.故()1,11,1A x f x x -<⎧=⎨≥⎩①.由()()330x x x -+>，解得30x -<<或3x >，故()()3,03,B =-⋃+∞.故()()()(][]1,3,03,1,,30,3B x f x x ⎧-∈-⋃+∞⎪=⎨∈-∞-⋃⎪⎩②.要使()()1A B f x f x ⋅=-，由①②可知，(,3][0,1)(3,)x -∞-∞∈+ .故答案为(,3][0,1)(3,)-∞-+∞ .【点睛】本小题主要考查新定义函数的理解和运用，考查新定义集合的理解和运用，考查不等式的解法，属于中档题.11.若实数,0x y ≥满足31x y xy +-=，求34x y +的最小值为__________.【答案】43.【分析】将方程31x y xy +-=转化为y 关于x 的函数，画出函数y 的图像，根据线性规划的知识，求得34x y +的最小值.【详解】依题意31x y xy +-=，验证可知3x ≠，故31x y xy +-=可化为213y x =+-（,0x y ≥，3x ≠），画出其图像如下图所示.将基准目标函数340x y +=向上平移到点10,3A ⎛⎫ ⎪⎝⎭时，34x y +取得最小值为140433+⨯=.故答案为43.【点睛】本小题主要考查根据方程求线性目标函数的最值，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.12.已知0a >时，对任意0x >，有2()()0x a x bx a -+-≥恒成立，则ab的取值范围是_________________.【答案】()(),10,-∞-+∞ 【分析】根据条件的x a =为方程20x bx a +-=的根,化简ab为一元函数,再求取值范围.【详解】因为对任意0x >，有()()20x a x bx a -+-≥恒成立，所以x a =为方程20x bx a +-=的根,即210, 10, 1, 111a a a ba a a b b a b a a+-=+-==-==-+--,因为0a >,所以11a 1,11a -∴-或101a <-，即1a b <-或0ab>.【点睛】在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究.二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）13.命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（）A.若q 不正确，则p 不正确B.若q 不正确，则p 正确C.若p 正确，则q 不正确D.若p 正确，则q 正确【答案】D 【分析】由命题“若p 不正确，则q 不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果．【详解】解：命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题是：“若q 不正确，则p 不正确”其等价命题是它的逆否命题，即“若p 正确，则q 正确”故选D ．【点睛】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键．14.已知,a b ∈R ，则“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的（）条件.A.充分非必要B.必要非充分C.充要D.既不充分又不必要【答案】A 【分析】化简不等式1ab a b +>+为()()110a b -->，再根据充分、必要条件的判断方法，选出正确选项.【详解】不等式1ab a b +>+等价于()()110a b -->.故当“1a <，1b <”时，10,10a b -<-<，故()()110a b -->，即“不等式1ab a b +>+”成立.当“不等式1ab a b +>+”成立时，()()110a b -->，可能是1,1a b >>，故不能推出“1a <，1b <”.所以“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的充分非必要条件.故选A.【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题.15.已知定义在R 上的偶函数()f x ，对任意不相等的(]120x x ∈-∞，，，有()()()21210x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，当*n N ∈时，有（）A.()()()11f n f n f n -<-<+B.()()() 11f n f n f n -<-<+C.()()() 11f n f n f n +<-<-D.()()()11f n f n f n +<-<-【答案】C 【分析】由已知不等式得函数在(,0]-∞上的单调性，再由偶函数性质得在[0,)+∞上的单调性，结合偶函数性质得距离y 轴越远的自变量的函数值越小，从而可得结论．【详解】由题意，函数在区间(]0-∞，上单调递增，函数图象关于y 轴对称，所以函数在()0+∞，上单调递减；又*n N ∈，11n n n +>->-，距离y 轴越远的自变量的函数值越小，则()()()11f n f n f n +<-<-，故选：C.【点睛】本题考查的奇偶性与单调性，利用奇偶性性质得函数在关于y 轴对称区间上的单调性，从而可比较函数值大小．16.设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x x x b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是（）A.对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B.对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C.存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D.存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集【答案】B 【分析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项．【详解】对于1P 和2P ，由于210x ax ++>时222110x ax x ax ++=+++>，所以1P 的元素，一定是2P 的元素，故对任意a ，1P 是2P 的子集.对于1Q 和2Q ，根据判别式有140440b b -<⎧⎨-<⎩，即1b >时，12Q Q R ==，满足1Q 是2Q 的子集，也即存在b ，使得1Q 是2Q 的子集.故选B.【点睛】本小题主要考查子集的判断，考查恒成立问题和存在性问题的求解策略，属于基础题.三、解答题（本大题共有5题，满分76分）17.已知集合()(){}2|3210A x x m x m =-+++=，(){}2|23120B x x n x =+++=，其中,m n R ∈.（1）若A B A = ，求,m n 的值；（2）若A B A ⋃=，求,m n 的取值范围.【答案】（1）2n =-，1m =或12m =-；（2）5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩.【分析】先求得集合A 中元素的可能取值.（1）根据A B A = ，判断出2x =是集合,A B 的元素，由此求得n 的值，进而求得集合B ，由此确定m 的值.（2）根据B 为空集、单元素集、双元素集进行分类讨论，由此确定,m n 的取值范围.【详解】由()()()()2321210x m x m x x m -+++=--+=⎡⎤⎣⎦，解得2x =或1x m =+.（1）当A B A = ，所以2x =是集合,A B 的元素，所以()22231220n ⨯++⨯+=，解得2n =-，所以{}21|2520,22B x x x ⎧⎫=-+==⎨⎬⎩⎭.若12,1m m +==，此时{}2A =，符合A B A = .若111,22m m +==-，此时12,2A ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭，符合A B A = .故2n =-，1m =或12m =-.（2）由于A B A ⋃=，当B =∅时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯<，解得5,13n ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，此时m R ∈.当B 为单元素集时，由判别式得()2314220n +-⨯⨯=，解得53n =-或1n =.当53n =-时，{}1B =，要使A B A ⋃=，则11,0m m +==.当1n =时，{}1B =-，，要使A B A ⋃=，则11,2m m +=-=-.当B 为双元素集时，由（1）知2n =-，12m =-.综上所述，,m n 的取值范围为5(,1)3m R n ∈⎧⎪⎨∈-⎪⎩或21m n =-⎧⎨=⎩或053m n =⎧⎪⎨=-⎪⎩或122m n ⎧=-⎪⎨⎪=-⎩.【点睛】本小题主要考查根据集合交集和并集的情况求参数，考查一元二次方程根的求法，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.18.设0a >，0b >，且11a b a b+=+.证明：(1)2a b +≥；(2)22a a +<与22b b +<不可能同时成立．【答案】(1)见解析.(2)见解析.【详解】试卷分析：本题考查基本不等式和反证法,结合转化思想证明不等式,意在考查考生对基本不等式的掌握和反证法的应用.(i)构造基本不等式求出代数式的最值,直接证明不等式成立;(ii)直接证明较难,假设两个不等式同时成立,利用(i)的结论,得出矛盾,则假设不成立.试卷解析：由11a b a b a b ab++=+=,0,0a b >>,得1ab =.(1)由基本不等式及1ab =,有2a b +≥=,即2a b +≥(2)假设22a a +<与22b b +<同时成立,则由22a a +<及a>0得0<a<1;同理得0<b<1,从而ab<1,这与ab=1矛盾.故22a a +<与22b b +<不可能同时成立.点睛：本题主要考查基本不等式，其难点主要在于利用三角形的一边及这条边上的高表示内接正方形的边长.在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.①一正：关系式中，各项均为正数；②二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；③三相等：含变量的各项均相等，取得最值.19.（2017-2018学年上海市杨浦区高三数学一模）如图所示，用总长为定值l 的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.（1）设场地面积为y ，垂直于墙的边长为x ，试用解析式将y 表示成x 的函数，并确定这个函数的定义域；（2）怎样围才能使得场地的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）()3y x l x =-，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭；（2）6l x =时，2max 12ly =.（1）设平行于墙的边长为a ，则篱笆总长3l x a =+，即3a l x =-，∴场地面积()3y x l x =-，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（2）()222333612l l y x l x x lx x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，0,3l x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，∴当且仅当6l x =时，2max 12l y =.综上，当场地垂直于墙的边长x 为6l 时，最大面积为212l.20.已知函数()2a f x x x=+，（1）判断()f x 的奇偶性，并给出理由；（2）当2a =时，①判断()f x 在(]0,1x ∈上的单调性并用定义证明；②若对任意(0,)x ∈+∞，不等式()f x m >m 的取值范围.【答案】(1)见解析；(2)①()f x 在区间(]0,1上是递减；②14m ≤<【分析】(1)分类讨论0a =时和0a ≠时的奇偶性(2)①代入2a =，然后运用定义法证明函数的单调性②不等式()f x m >-()min f x m >-【详解】(1)当0a =时，()2f x x =，定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称此时()()f x f x -=∴()f x 为偶函数；当0a ≠时，()2af x x x=+，定义域为{|0}x x ≠，关于原点对称此时()11f a =+，()11f a -=-，故()()11f f -≠，()()11f f -≠-∴()f x 无奇偶性.(2)①()22f x x x=+，任取1201x x <<≤，则()()2212121222f x f x x x x x -=+--()121212122x x x x x x x x -⎡⎤=+-⎣⎦，∵1201x x <<≤∴12120,0x x x x -，()12122x x x x +<，∴()()120f x f x ->，所以()f x 在区间(]0,1上是递减.②由题意得()min f x m >，由（2）知()f x 在区间(]0,1上是递减，同理可得()f x 在区间[)1,+∞上递增，所以()()min 13f x f ==，所以3m >-120m --<，(),0t t =≥，则220t t --<，解得12t -<<，故02t ≤<即02≤<，即14m ≤<．【点睛】本题考查了函数的综合知识：函数的奇偶性、单调性及不等式的求解，在解答综合性题目时分别运用相关知识求解，最后一问中恒成立问题中将其转化为最值问题，然后求出结果．21.设函数()f x 为定义在R 上的奇函数，且当[)0,x ∈+∞时，()22f x x x =-+.（1）求函数()f x 的解析式；（2）求实数,a b ，使得函数()f x 在区间[][),1,a b ⊆+∞上的值域为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦；（3）若函数()f x 在区间[],a b 上的值域为11,b a⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则记所有满足条件的区间[],a b 的并集为D ，设()()()g x f x x D =∈，问是否存在实数m ，使得集合()(){},|x y y g x =(){}2,|x y y xm =+恰含有2个元素？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】（1）222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩；（2）112a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩；（3）2m =-.【分析】（1）根据函数()f x 为奇函数，利用()()f x f x =--求得当0x <时的表达式，由此求得()f x 的解析式.（2）判断出函数()f x 在1≥x 时的单调性，由此得到()()11f a af b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由()1f x x =求解得,a b 的值.（3）利用()1f x x=，求得集合D ，利用分段函数()()()g x f x x D =∈的解析式，结合分离常数法，求得m 的取值范围.【详解】（1）令0x <则0x ->，由于函数()f x 为奇函数，故()()f x f x =--()()2222x x x x ⎡⎤=---+-=+⎣⎦.所以函数()f x 的解析式为222,0()2,0x x x f x x x x ⎧+<=⎨-+≥⎩.（2）依题意a b <，且当1≥x 时，()22f x x x =-+是单调递减函数，故()()11f a a f b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,a b 是方程()()11f x x x =≥的两个根，即212x x x-+=，()()2110x x x --++=，由于a b <且,1a b ≥，故()()2110x x x --++=解得112a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩.（3）由于函数()f x 在区间[],a b 上的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，即a b <，11a b >，所以,a b 同号.当0,0a b >>时，111b a a ≤∴>≥，当0,0a b <<时，111b a a ≥-∴-≥>，即函数()f x 在区间[],a b 上单调递减，即()()11f a af b b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即,a b 是方程()()11f x x x =≥的两个根，或是方程()()11f x x x =≤-的两个根，即()2121x x x x+=≤-①，或()2121x x x x -+=≥②.由①解得5121a b ⎧+=-⎪⎨⎪=-⎩，由②解得1512a b =⎧⎪⎨=⎪⎩，所以11,11,22D ⎡⎤⎡⎤++=--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.当51,12x ⎡⎤+∈--⎢⎥⎣⎦，令222x x x m +=+，得)21,2m x ⎡⎤=∈-+-⎣⎦，且512,,12y x x ⎡⎤=∈--⎢⎥⎣⎦为单调递增函数.当11,2x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，令222x x x m -+=+，得[]2222,0m x x =-+∈-，且2122,1,2y x x x ⎡⎤+=-+∈⎢⎥⎣⎦为单调递减函数.所以在区间D 上，当2m =-时，222x x x m +=+和222x x x m -+=+各有1解，也即存在实数2m =-，使得集合()(){},|x y y g x = (){}2,|x y y x m =+恰含有2个元素.【点睛】本小题主要考查根据函数的奇偶性求函数解析式，考查根据函数的定义域和值域求参数，考查分类讨论的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，考查集合交集的概念理解，综合性很强，属于难题.。
2019-2020学年上海市杨浦区复旦附中高一下学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市杨浦区复旦附中高一下学期期中数学试题一、单选题1．在△ABC 中，“sin 2A >”是“34A π<”的（ ）条件A ．充分非必要B ．必要非充分C ．充要D ．既非充分又非必要 【答案】A【解析】根据三角函数的性质，得到当sin A >时，34A π<是成立的，再利用反例，得出必要性不一定成立，即求解. 【详解】在ABC ∆中，由sin 2A >，因为(0,)A π∈，可得344A ππ<<，所以当sin 2A >时，34A π<是成立的，即充分性成立；反之：例如364A ππ=<，此时1sin 22A =<，即必要性不一定成立.所以“sin A >”是“34A π<”的充分不必要条件.故选：A 【点睛】本题主要考查了充分不必要条件的判定，其中解答中熟练应用三角函数的性质，结合充分条件、必要条件的判定方法求解是解答的关键，着重考查推理与运算能力.2．以下哪个不是25lim 21nn n q q →∞-+可能的取值（ ）A ．2B ．1-C ．52-D ．7-【答案】D【解析】对q 的取值进行分类讨论，即可得答案；【详解】（1）若12q =，则0nq →，∴25lim 221n nn q q →∞-=+； （2）若2q，则n q →+∞，∴25255lim lim 12122n nn n n nq qq q→∞→∞--==-++；（3）若1q =，则1nq =，∴25lim 121nnn q q →∞-=-+； 利用排除法可得D 选项不可能， 故选：D. 【点睛】本题考查数列极限的求解，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力. 3．若等差数列{}n a 首项为2，公差为2，其前n 项和记为n S ，则数列1{}nS 前n 项和为（ ） A ．21nn + B ．1n n + C ．1n(n 1)+D ．2(1)nn +【答案】B【解析】根据等差数列前n 项和公式求出n S ，从而得出1{}nS 的通项公式，再用裂项相消法即可求出数列1{}nS 前n 项和. 【详解】等差数列前n 项()112n n n S na d -=+，等差数列{}n a 首项为2，公差为2，代入可得()()12212n n n S n n n -=+⨯=+，所以()111111n S n n n n ==-++，所以数列1{}nS 前n 项和为111111111122334111n n T n n n n =-+-+-++-=-=+++. 故选：B 【点睛】本题主要考查等差数列前n 项和的求法，以及裂项相消法求数列前n 项和.4．已知函数()sin()f x A x ωϕ=+（其中A 、ω、ϕ均为正的常数）的最小正周期为2π，当3x π=时，函数()f x 取得最小值，则下列结论正确的是（ ）A ．(1)(1)(0)f f f <-<B ．(0)(1)(1)f f f <<-C ．(1)(0)(1)f f f -<<D ．(1)(0)(1)f f f <<-【答案】A【解析】根据周期公式可得4ω=，根据当3x π=时，函数()f x 取得最小值，可得1126k ϕππ=-，k Z ∈，所以()f x sin(4)6A x π=+，再利用诱导公式以及三角函数的性质比较大小可得答案. 【详解】 依题意得22ππω=，解得4ω=，所以()sin(4)f x A x ϕ=+，因为当3x π=时，函数()f x 取得最小值，所以4232k ππϕπ⨯+=-，k Z ∈，即1126k ϕππ=-，k Z ∈， 所以11()sin(42)6f x A x k ππ=+-11sin(4)sin(42)66A x A x πππ=-=-+sin(4)6A x π=+，因为3462πππ<+<且0A >，所以(1)sin(4)6f A π=+0<，因为(1)sin(4)sin(42)sin[(42)]666f A A A ππππππ-=-+=-++=--++11sin(4)sin(4)66A A πππ=--=-，又1104662πππ<-<<，所以110sin(4)sin 66ππ<-<， 因为0A >，所以0(1)(0)f f <-<， 综上所述：(1)(1)(0)f f f <-<. 故选：A 【点睛】本题考查了根据三角函数的性质求解析式，考查了诱导公式，考查了利用正弦函数的单调性比较大小，属于中档题.二、填空题5．一个面积为1的扇形，所对弧长也为1，则该扇形的圆心角是________弧度 【答案】12【解析】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α，应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组，即可求解. 【详解】设扇形的所在圆的半径为r ，圆心角为α， 因为扇形的面积为1，弧长也为1，可得21121r r αα⎧⋅=⎪⎨⎪=⎩，即221r r αα⎧⋅=⎨=⎩，解得12,2r α==.故答案为：12【点睛】本题主要考查了扇形的弧长公式和面积公式的应用，其中解答中熟练应用扇形的弧长公式和面积公式，列出方程组是解答的关键，着重考查了运算与求解能力. 6．计算sin40sin100sin50sin10︒︒-︒︒=________ 【答案】12【解析】利用诱导公式和两角差的正弦公式，即可得到答案； 【详解】原式1sin 40cos10cos 40sin10sin 302=︒︒-︒︒=︒=， 故答案为：12. 【点睛】本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，考查转化与化归思想，考查运算求解能力.7．函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数记为()g x ，则1()2g =________ 【答案】56π【解析】点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，根据题意两函数图象关于直线y x =对称知点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，得解. 【详解】因为当[,]2x ππ∈时，51sin62π=，所以点51(,)62π在原函数sin y x =的图象上，因为()g x 是函数sin y x =，[,]2x ππ∈的反函数，所以点15(,)26π在反函数()g x 的图象上，则15()26g π=. 故答案为：56π【点睛】本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质，属于基础题. 8．在△ABC中，若a =1b =，60A =︒，则B =________【答案】6π 【解析】直接利用正弦定理，结合三角形解的个数判定，即可得到答案； 【详解】11sin sin sin sin 2a bB A BB=⇒=⇒=，a b >，∴A B >，∴6B π=，故答案为：6π. 【点睛】本题考查正弦定理\三角形解的个数，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.9．已知等比数列{}n a 中，24a =，68a =，则10a =________ 【答案】16【解析】将等比数列的通项公式代入24a =，68a =中，可得4q ，再求10a 的值。
【精准解析】上海市杨浦区复旦附中2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题
2
2
【答案】 5 6
-1-
【解析】
【分析】
点 (5 , 1 ) 在原函数 y sin x 的图象上， 根据题意两函数图象关 于直线 y x 对称知点 62
(1 , 5 ) 在反函数 g(x) 的图象上，得解. 26
【详解】因为当 x [ , ] 时， sin 5 1 ，所以点 (5 , 1) 在原函数 y sin x 的图象上，
2
62
62
因为 g(x) 是函数 y sin x ， x [ , ] 的反函数， 2
所以点 (1 , 5 ) 在反函数 g(x) 的图象上，则 g(1) 5 .
26
26
5 故答案为：
6
【点睛】本题考查两个互为反函数的函数图象的对称性、正弦函数的图象与性质，属于基础
题.
4.在△ ABC 中，若 a 3 ， b 1， A 60 ，则 B ________
2 【解析】
【分析】
利用诱导公式和两角差的正弦公式，即可得到答案；
【详解】原式 sin 40 cos10 cos 40sin10 sin 30 1 ， 2
故答案为： 1 . 2
【点睛】本题考查诱导公式和两角差的正弦公式的应用，考查转化与化归思想，考查运算
求解能力.
3.函数 y sin x ， x [ , ] 的反函数记为 g(x) ，则 g(1) ________
9.函数
f
(x)
2
sin x cos 3 sin 2x
x
（
xR
）的最小值为________
【答案】 2 2 2
【解析】
【分析】
设 t sin x cos x ，得到 sin 2x t 2 1 ，且 t [
2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试题
2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）3.已知，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油二、填空题5．设全集2，3，4，5，，集合4，，则______．6．不等式的解集为______．7．已知集合0，，，若，则实数a的值为______．8．用列举法写出集合______9．已知不等式的解集为，则______10．命题“如果，那么”的逆否命题为______．11．已知集合，，，则______．12．若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围为______．13．已知集合，，若，则实数a的取值集合为______14．已知集合中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为______．15．已知正实数x，y满足，则的最小值是______16．若不等式对任意，恒成立，则a的取值范围是______．三、解答题17.设集合，集合.（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.18.若“，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且. （1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.21.已知，设，，（，为常数）. （1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中考试数学试题一、单选题1.如图，为全集，、、是的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A. B.C. D.【答案】C【考点】交、并、补集的混合运算【解析】【解答】图中的阴影部分是：M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集即是CI S的子集则阴影部分所表示的集合是（M∩P）∩∁IS故答案为：C．【分析】根据集合的运算结合韦恩图，即可确定阴影部分所表示的集合.2.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. 与B. 与C. 与D. （）与（）【答案】D【考点】判断两个函数是否为同一函数【解析】【解答】对于A选项，，f（x）的定义域为R，g（x）的定义域为[0，+∞），∴不是同一函数；对于B选项的定义域为的定义域为∴不是同一函数；对于C选项，f（0）=-1，g（0）=1，f（0）≠g（0），∴不是同一函数．对于B选项，f（x）的定义域为，g（x）的定义域为，且且两函数解析式化简后为同一解析式，∴是同一函数.故答案为：D.【分析】判断两个函数是否表示同一个，看定义域和对应关系是否相同即可. 3.已知，则“”是“”的（）A. 充分非必要条件B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既非充分又非必要条件【答案】A【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】【解答】由题意可知：a，b∈R+，若“a2+b2＜1”则a2+2ab+b2＜1+2ab+a2•b2，∴（a+b）2＜（1+ab）2∴ab+1＞a+b．若ab+1＞a+b，当a=b=2时，ab+1＞a+b成立，但a2+b2＜1不成立．综上可知：“a2+b2＜1”是“ab+1＞a+b”的充分不必要条件．故答案为：A．【分析】根据不等式的性质，结合充分、必要条件的概念进行判断即可.4.汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗1升汽油行使的里程，下图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不同速度下得燃油效率情况，下列叙述中正确的是（）A. 消耗1升汽油，乙车最多可行使5千米B. 以相同速度行使相同路程，三辆车中，甲车消耗汽油最多C. 甲车以80千米/小时的速度行使1小时，消耗10升汽油D. 某城市机动车最高限速80千米/小时，相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油【答案】D【考点】函数的图象【解析】【解答】对于A，消耗升汽油，乙车行驶的距离比千米小得多，故错；对于B, 以相同速度行驶相同路程，三辆车中甲车消耗汽油最少，故错；对于C, 甲车以千米/小时的速度行驶小时，消耗升汽油, 故错；对于D,车速低于千米/小时，丙的燃油效率高于乙的燃油效率，用丙车比用乙车量多省油，故对.故答案为：D.【分析】根据图象的实际意义，对选项逐一判断即可.二、填空题5．设全集2，3，4，5，，集合4，，则______．【答案】3，【解析】根据补集的定义写出 A.【详解】全集2，3，4，5，，集合4，，则3，．故答案为：3，．【点睛】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．6．不等式的解集为______．【答案】【解析】不等式等价于，根据一元二次不等式的解集的特征，可以断定原不等式的解集为.7．已知集合0，，，若，则实数a的值为______．【答案】【解析】先假设，得，；，；，；取补集得结果．【详解】若，则，；，；，；，．故答案为：．【点睛】本题考查的知识点集合的包含关系应用，难度不大，属于基础题．8．用列举法写出集合______【答案】【解析】由及即可求出，0，或1，从而得出，或1，进而得出y的值，从而得出集合A．【详解】，且；，0，或1；，或1；，或0；．故答案为：．【点睛】考查描述法、列举法的定义，以及绝对值不等式的解法．9．已知不等式的解集为，则______【答案】11【解析】利用不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系求出a、b的值．【详解】不等式的解集为，方程的实数根为2和3，，，；．故答案为：11．【点睛】本题考查了一元二次不等式与对应方程的关系应用问题，是基础题．10．命题“如果，那么”的逆否命题为______．【答案】若，则【解析】根据逆否命题的定义，即把结论和条件的否定后作为逆否命题的条件和结论即可．【详解】原命题“如果，那么”，其逆否命题为：“若，则”．故答案为：若，则．【点睛】本题考查的知识点是逆否命题的定义，需要正确写出对条件的结论的否定，这是关键和易出错的地方．11．已知集合，，，则______．【答案】【解析】根据交集定义得．【详解】．故答案为：．【点睛】此题考查了交集及其运算，需要注意此题是点集，是基础题．12．若“”是“”的充分不必要条件，则a的取值范围为______．【答案】【解析】根据充分条件和必要条件的定义进行求解即可．【详解】若“”是“”的充分不必要条件，则，则，故答案为：【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，比较基础．判断充要条件的方法是：①若p⇒q为真命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的充分不必要条件；②若p⇒q为假命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的必要不充分条件；③若p⇒q为真命题且q⇒p为真命题，则命题p是命题q的充要条件；④若p⇒q为假命题且q⇒p为假命题，则命题p是命题q的即不充分也不必要条件．⑤判断命题p与命题q所表示的范围，再根据“谁大谁必要，谁小谁充分”的原则，判断命题p与命题q的关系．13．已知集合，，若，则实数a的取值集合为______【答案】【解析】分为，和两种情况讨论，取并集得结论．【详解】，，，，，，，，故实数a的取值集合为．故答案为：．【点睛】本题考查了集合的化简与集合的运算的应用，注意不要漏掉，属于基础题．14．已知集合中的所有元素之和为2，则实数a的取值集合为______．【答案】或【解析】推导出的解为或无解，由此能求出实数a的取值集合．【详解】集合中的所有元素之和为2，已经确定2是其中的元素，的解为或无解，或，解得．实数a的取值集合为或．故答案为：或．【点睛】本题考查实数的取值集合的求法，考查集合定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．15．已知正实数x，y满足，则的最小值是______【答案】【解析】由已知分离，然后进行1的代换后利用基本不等式即可求解．【详解】正实数x，y满足，则当且仅当且即，时取得最小值是故答案为：【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解题的关键是进行分离后利用1的代换，在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.16．若不等式对任意，恒成立，则a的取值范围是______．【答案】【解析】不等式，，，，令，可得：利用导数研究其单调性极值最值即可得出．【详解】不等式，，，，令，可得：．．函数在，可知：时函数取得最大值，．.不等式对任意，恒成立，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化方法、方程与不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．三、解答题17.设集合，集合.（1）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围；（2）若中只有一个整数，求实数的取值范围.【答案】（1）解：若“”是“”，则B⊆A，∵A={x|-1≤x≤2}，①当时，B={x|2m＜x＜1}，此时-1≤2m＜1⇒；②当时，B=∅，有B⊆A成立；③当时B=∅，有B⊆A成立；；综上所述，所求m的取值范围是A={x|x＜-1或x＞2}，①当时，B={x|2m （2）解：∵A={x|-1≤x≤2}，∴∁R＜x＜1}，若∁A∩B中只有一个整数，则-3≤2m＜-2，得②R当m当时，不符合题意；③当时，不符合题意；综上知，m 的取值范围是-【考点】集合关系中的参数取值问题【解析】【分析】（1）根据必要条件的概念，将集合的关系转化为端点值比较大小，即可求出实数m的取值范围；（2）根据交集、补集的概念，结合区间端点值的大小关系，即可求出实数m的取值范围.18.若“，求证：”除了用比较法证明外，还可以有如下证法：（当且仅当时等号成立），学习以上解题过程，尝试解决下列问题：（1）证明：若，，，则，并指出等号成立的条件；（2）试将上述不等式推广到（）个正数、、、、的情形，并证明.【答案】（1）解：，∴，当且仅当时等号成立（2）解：故.当且仅当时等号成立【考点】归纳推理，类比推理【解析】【分析】（1）根据题干中证法及不等式的性质，结合基本不等式，即可证明相应的不等式成立；（2）根据具体例子，归纳推广即可证明相应的不等式.19.某公司有价值10万元的一条流水线，要提高该流水线的生产能力，就要对其进行技术改造，改造就需要投入，相应就要提高产品附加值，假设附加值万元与技术改造投入万元之间的关系满足：①与和的乘积成正比；②当时，；③，其中为常数，且. （1）设，求出的表达式，并求出的定义域；（2）求出附加值的最大值，并求出此时的技术改造投入的的值.【答案】（1）解：设，当时，可得k=4，∴∴定义域为，t为常数，（2）解：因为定义域中函数在上单调递减，故. 【考点】函数解析式的求解及常用方法，二次函数的性质【解析】【分析】（1）根据题意，采用待定系数法，设出表达式，求出相应的系数，即可得到f（x）机器定义域；（2）采用配方法，结合二次函数的单调性，求出函数的最大值即可.20.设数集由实数构成，且满足：若（且），则.（1）若，试证明中还有另外两个元素；（2）集合是否为双元素集合，并说明理由；（3）若中元素个数不超过8个，所有元素的和为，且中有一个元素的平方等于所有元素的积，求集合.【答案】（1）证明：若x∈A，则又∵2∈A，∴∵-1∈A，∴∴A中另外两个元素为，（2）解：，，，且，，，故集合中至少有3个元素，∴不是双元素集合（3）解：由，，可得，所有元素积为1，∴，、、，∴.【考点】元素与集合关系的判断【解析】【分析】（1）将x=2代入，即可求出集合A中的另外两个元素；（2）根据集合中元素的特点，确定集合A中至少有三个元素；（3）设出集合中相应的元素，结合元素之和，即可求出集合A.21.已知，设，，（，为常数）. （1）求的最小值及相应的的值；（2）设，若，求的取值范围；（3）若对任意，以、、为三边长总能构成三角形，求的取值范围.【答案】（1）解：。
2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中数学试题(解析版)
2019-2020学年上海市复旦大学附属中学高一上学期期中数学试题一、单选题1．命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题的等价命题是（ ） A ．若q 不正确，则p 不正确 B ．若q 不正确，则p 正确 C ．若p 正确，则q 不正确 D ．若p 正确，则q 正确【答案】D【解析】由命题“若p 不正确，则q 不正确”，根据四种命题的定义，我们易求出其逆命题，进而根据互为逆否命题是等价命题，易求出结果． 【详解】解：命题“若p 不正确，则q 不正确”的逆命题是： “若q 不正确，则p 不正确” 其等价命题是它的逆否命题，即 “若p 正确，则q 正确” 故选：D ． 【点睛】本题考查的知识点是四种命题的逆否关系，根据四种命题的定义，求出满足条件的逆命题，及互为逆否的两个命题为等价命题是解答本题的关键．2．已知,a b ∈R ，则“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的（ ）条件. A ．充分非必要 B ．必要非充分C ．充要D ．既不充分又不必要 【答案】A【解析】化简不等式1ab a b +>+为()()110a b -->，再根据充分、必要条件的判断方法，选出正确选项. 【详解】不等式1ab a b +>+等价于()()110a b -->.故当“1a <，1b <”时，10,10a b -<-<，故()()110a b -->，即“不等式1ab a b +>+”成立.当“不等式1ab a b +>+”成立时，()()110a b -->，可能是1,1a b >>，故不能推出“1a <，1b <”.所以“1a <，1b <”是“不等式1ab a b +>+”成立的充分非必要条件. 故选：A. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查不等式的性质，属于基础题. 3．定义在R 上的偶函数()f x 满足对任意(]()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x ->-，则当*n N ∈时，有（ ）A ．()()()11f n f n f n -<-<+B ．()()()11f n f n f n -<-<+C ．()()()11f n f n f n +<-<-D ．()()()11f n f n f n +<-<-【答案】C【解析】根据函数的奇偶性和在(],0-∞上的单调性，判断函数在[)0,+∞上的单调性，由此判断出()()()1,,1f n f n f n -+的大小关系. 【详解】依题意可知，函数()f x 满足对任意(]()1212,,0x x x x ∈-∞≠，有()()21210f x f x x x ->-，也即函数()f x 在(],0-∞上单调递增，由于()f x 为偶函数，故函数在[)0,+∞上单调递减.而()()f n f n -=，且011n n n ≤-<<+，故()()()11f n f n f n +<<-，即()()()11f n f n f n +<-<-.故选：C. 【点睛】本小题主要考查利用函数的单调性和奇偶性比较大小，属于基础题. 4．设集合{}21|10P x x ax =++>，{}22|20P x x ax =++>，{}21|0Q x x x b =++>，{}22|20Q x x x b =++>，其中,a b ∈R ，下列说法正确的是（ ）A ．对任意a ，1P 是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集B ．对任意a ，1P 是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集C ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；对任意的b ，1Q 不是2Q 的子集D ．存在a ，使得1P 不是2P 的子集；存在b ，使得1Q 是2Q 的子集 【答案】B【解析】先证得1P 是2P 的子集，然后求得b 使1Q 是2Q 的子集，由此确定正确选项。
2018-2019学年上海市复大附中高一(下)期中数学试卷-学生版(无水印)
2018-2019学年上海市复大附中高一（下）期中数学试卷一、填空题1．（3分）已知1690α=︒，(2,0)θπ∈-，若角θ与α的终边相同，则θ=．2．（3分）已知函数()tan()(0)4f x ax a π=+>的最小正周期为2π，则a =．3．（3分）已知半径为r 的扇形，它的周长等于弧所在半圆的弧长，则扇形的圆心角的弧度数为．4．（3分）已知α是第三象限的角，则sin(cos )cos(sin )αα 的符号是号（填正或负）．5．（3分）角α终边上有点(P x ，5)(0)x <，且cos 13xα=，则cot α=．6．（3分）若(tan )cos 2f x x =，则f （2）=．7．（3分）已知函数()2sin(0)4f x x πωω=+>，且[0,]4π是其单调区间，则ω的取值范围是8．（3分）已知1cos()cos()638ππαα+-=- ，(,)32ππα∈，sin 2α=．9．（3分）张老师整理旧资料时发现一题部分字迹模糊不清，只能看到：在ABC ∆中，a ，b ，c 分别是角是A ，B ，C的对边，已知b =45A ∠=︒，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 有两解，那么a 的取值范围是．10．（3分）函数1cos ()sin xf x x-=的值域．11．（3分）如图为了立一块广告牌，要制造一个三角形的支架三角形支架形状如图，要求60ACB ∠=︒，BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了广告牌稳固，要求AC 的长度越短越好，则AC 最短为米．12．（3分）设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201()2log 14x x f x x x π⎧=⎨<<⎩ ，记()()g x f x a =-，若函数()g x 在区间[4-，5]上零点的个数是8个，则a 的取值范围是．二、选择题13．（3分）在ABC ∆中，“1sin 2A =”是“6A π=”的()A ．充分非必要条件B ．必要非充分条件C ．充要条件D ．既非充分又非必要条件14．（3分）设函数()sin(2)3f x x π=-的图象为C ，下面结论中正确的是()A ．函数()f x 的最小正周期是2πB ．图象C 关于点(,0)6π对称C ．图象C 可由函数()sin 2g x x =的图象向右平移3π个单位得到D ．函数()f x 在区间(,)122ππ-上是增函数15．（3分）设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>．若a 、b 、c 是ABC ∆的三条边长，则下列结论中正确的个数是()①对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使x xa ，x b ，x c 不能构成一个三角形的三边长；③若ABC ∆为钝角三角形，则存在(1,2)x ∈，使()0f x =．A ．3个B ．2个C ．1个D ．0个16．（3分）若函数222(1)sin ()1x xf x x ++=+的最大值和最小值分别为M 、m ，则函数()()sin[()]3g x M m x M m x π=+++-图象的对称中心不可能是()A ．4(,)33ππB ．(,)123ππC ．28(,33ππD ．416(,)33ππ三、解答题17．已知函数()2cos 2f x x x =+．（1）求()y f x =的单调增区间；（2）当[,]63x ππ∈-时，求()f x 的最大值和最小值．18．在ABC ∆中，已知22sin cos 212A BC ++=，外接圆半径2R =．（1）求角C ；（2）求ABC ∆面积的最大值．19．已知函数()cos()(0,0,)22f x A x A ππωϕωϕ=+>>-<<的图象与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(x ，2)和0(2x π+，2)-．（1）求函数()f x 的解析式；（2）将函数()y f x =的图象向左平移((0,2))a a π∈个单位后，得到的函数()y g x =是奇函数，求a 的值．20．如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形都是全等的三角形，设11AA H α∠=．（1）用α表示线段1AH ；（2）设1AH x =，sin y α=，求y 关于x 的函数解析式；（3）求八角形所覆盖面积S 的最大值，并指出此时α的大小．21．已知()f x 是定义在[a ，]b 上的函数，如果存在常数0M >，对区间[a ，]b 的任意划分：011n n a x x x x b -=<<⋯<<=，和式11|()()|ni i i f x f x M -=-∑ 恒成立，则称()f x 为[a ，]b 上的“绝对差有界函数”，注：121ni n i a a a a ==++⋯+∑；（1）证明函数()sin cos f x x x =+在[,0]2π-上是“绝对差有界函数”；（2）记集合{()|A f x =存在常数0k >，对任意的1x ，2[x a ∈，]b ，有1212|()()|||f x f x k x x -- 成立}，证明集合A 中的任意函数()f x 均为“绝对差有届函数”；当[a ，][1b =，2]时，判断()g x =是否在集合A 中，如果在，请证明并求k 的最小值，如果不在，请说明理由；（3）证明函数cos01()20x x f x xx π⎧<⎪=⎨⎪=⎩ 不是[0，1]上的“绝对差有界函数．。
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复旦附中高一期中数学试卷
2019.04
一.填空题
1.已知=1690α︒，(2,0)θπ∈-，若角θ与α的终边相同，则θ=
2.已知函数()tan()4
f x ax π
=+
(0)a >的最小正周期为2π，则a =3.一个半径为r 的扇形，若其周长等于弧所在半圆的长，则该扇形圆心角是弧度
4.已知α是第三象限的角，则sin(cos )cos(sin )αα⋅的符号是号（填正或负）
5.角α终边上有点(,5)P x (0)x <，且cos 13
x
α=，则cot α=6.若(tan )cos2f x x =，则(2)f =
7.已知函数()2sin()4f x x πω=+
(0)ω>，且[0,4
π
是其单调区间，则ω的取值范围是8.已知1cos()cos()638ππαα+⋅-=-，(,)32
ππ
α∈，sin 2α=
9.张老师整理旧资料时发现一题目部分字迹模糊不清，只能看到：在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的
对边，已知b =45A ∠=︒，求边c ，显然缺少条件，若他打算补充a 的大小，并使得c 有两解，那么a 的取值范围是10.函数1cos ()sin x
f x x
-=
的值域
11.为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求60ACB ∠=︒，
BC 的长度大于1米，且AC 比AB 长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC 越短越好，则AC 最短为
米
12.设()f x 是定义在R 上的周期为4的函数，且2sin 201
()2log 14x x f x x x π≤≤⎧=⎨<<⎩
，记()()g x f x a =-，若函数()g x 在
区间[4,5]-上零点的个数是8个，则a 的取值范围是二.选择题
13.在△ABC 中，“1
sin 2
A =”是“6A π=”的（
）
A.充分非必要条件
B.必要非充分条件
C.充要条件
D.既非充分条件又非必要条件
14.设函数()sin(2)3
f x x π
=-
的图像为C ，下列结论正确的是（）
A.函数()f x 的最小正周期是2π
B.图像C 关于(,0)6
π对称
C.图像C 可由函数()sin 2g x x =的图像向右平移3
π
个单位得到D.函数()f x 在区间(,122
ππ
-
上是增函数
15.设函数()x x x f x a b c =+-，其中0c a >>，0c b >>，若a 、b 、c 是△ABC 的三条边长，则下列结论：①对于一切(,1)x ∈-∞都有()0f x >；②存在0x >使x xa 、x b 、x c 不能构成一个三角形的三边长；③△ABC 为钝角三角形，存在(1,2)x ∈，使()0f x =；其中正确的个数为（
）个
A.3
B.2
C.1
D.0
16.若函数222(1)sin ()1x x
f x x ++=+的最大值与最小值分别为M 、m ，则函数
()()sin[()]3
g x M m x M m x π
=+++-图像的对称中心不可能是（
）
A.4(,)33ππ
B.(,)123ππ
C.28(,33
ππ
D.416(
,)33
ππ
三.解答题
17.已知函数()2cos2f x x x =+.（1）求()y f x =的单调递增区间；（2）当[,63
x ππ
∈-
时，求()f x 的最大值和最小值.18.在△ABC 中，已知22sin cos212
A B
C ++=，外接圆半径2R =.（1）求角C 的大小；
（2）试求△ABC 面积S 的最大值.
19.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+（0A >，0ω>，22
ππ
ω-<<）的图像与y 轴的交点为(0,1)，它在y 轴右侧第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为0(,2)x 和0(2,2)x π+-.
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）将函数()y f x =的图像向左平移a ((0,2))a π∈个单位后，得到的函数()y g x =是奇函数，求a 的值.
20.如图，制图工程师要用两个同中心的边长均为4的正方形合成一个八角形图形，由对称性，图中8个三角形是全等的三角形，设11AA H α∠=.（1）用α表示线段1AH ；
（2）设1AH x =，sin y α=，求y 关于x 的函数解析式；（3）求八角形所覆盖面积S 的最大值，并指出此时α的大小.
21.已知是定义()f x 在定义在[,]a b 上的函数，如果存在常数0M >，对区间[,]a b 的任意划分：
011n n a x x x x b -=<<⋅⋅⋅<<=，和式11
|()()|n
i i i f x f x M -=-≤∑恒成立，则称()f x 为
[,]a b 上的“绝对差有界函数”.注：121
n
i n i a a a a ==++⋅⋅⋅+∑.
（1）求证：函数()sin cos f x x x =+在[,0]2
π
-
上是“绝对差有界函数”；（2）设集合{()|A f x =存在常数0k >，对任意的12,[,]x x a b ∈，有12|()()|f x f x -≤12||k x x -成立}，求证：集合A 中任意的函数()f x 为“绝对差有界函数”；
（3）求证：函数cos 01()20
x x f x x
x π⎧<≤⎪
=⎨⎪=⎩不是[0,1]上的“绝对差有界函数”.
参考答案
一.填空题1.1118π- 2.
12 3.2
π- 4.负
5.125
-
6.35
-7.(0,1]8.
18
-
9.10.(,0)(0,)-∞+∞ 11.2+12.(0,1)
二.选择题13.B 14.B
15.A
16.C
三.解答题17.（1）[,]36
k k ππ
ππ-+，k ∈Z ；
（2）最大值为2，最小值为1-.
18.（1）3
C π=
；（2）.19.（1）1()2cos()2
3f x x π=-
；（2）53
a π
=.
20.（1）4sin sin cos 1AH ααα=++，(0,2πα∈；（2）2
2448x x y x x -=-+，(0,4)x ∈；（3）max 64S =-，4
πα=.
21.略.。