全国研究生数学建模比赛E题解答

参赛密码（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛学校参赛队号队员姓名参赛密码（由组委会填写）第十二届“中关村青联杯”全国研究生数学建模竞赛题目数控加工刀具运动的优化控制摘要：本文基于计算机数控系统的工作原理，建立了刀具运动的优化控制模型，目的在于寻求机床刀具在单个坐标轴方向上的运动合理控制，从而增强机床运行的平稳性。

主要运用了S型曲线的加减速控制方法，建立了通用模型，该模型可通过已经设定的刀具加工路径，得出机床运动过程中任意一点的速度，从而验证所设定的符合加减速控制原理，得到最优的数控加工刀具的路径。

在该通用模型中，机床控制的加速度和速度都是连续变化的，因此通过渐变控制使机床运动按S型曲线式平稳变化，保证了速度的光顺及加速度的连续，提高了机床运动的平稳性，运用该模型，可以帮助寻找最优刀具路径，从而实现数控刀具加工的优化。

本论文的创新点在于模型适用范围广，突破了速度范围和加速度的限制不仅适用于S型曲线七阶段的加减速，而且适用于平稳性更强的五阶段和三阶段的S型曲线加减速控制路径。

论文中主要采用了力学分析建模、直线插补法建模和最优化方法建模。

在直线插补模型中，不论运行轨迹是直线还是曲线，刀具的运行都是按阶梯形路径行走，用步长乘以步数即可求得刀具的运行长度。

并且每一步长的增量均为分辨率∆∆∆，并且每个增量的长度均为分辨率的整数倍。

根据此原理，采用直线插补,,x y z法，建模可画出刀具沿轨迹的路径变化，在模型中输入刀具起点坐标和终点坐标即可求得刀具沿路径运行的长度。

对于问题一：根据问题二的相关提示，我们设定加工线型分别为正方形和八边形即转角分别为90°和135°，然后根据S型曲线的减加速控制方法，建立了力学分析模型，再运用牛顿第二定理和受力分析可得出速度变化特征。

分别对刀具在拐角为90°和135°处进行受力分析得到结果：转角为90°时的合力F2>0.765F2(135°转角处的合力)，所以当刀具经过90°转角时，速度变化大于135°转角的速度。

对于问题二：由于问题一建立的模型是根据问题二设定的，再加上附录的提示，问题一所建立的通用模型可直接套用在问题二上，所以我们依据题目要求和模型特点，讨论了圆弧半径的变化对算法效率的影响，继而用该通用模型和已知路径各点间的路程（运动距离）S，计算出对应的速度V，然后与表格中的已知速度V’进行核对，从而检验了所给的加工路径，V’越接近V，则路径越符合加减速数控机床的运动平稳。

通过讨论，我们得到结论：在1点到11点的运动路径下，半径的变化范]。

当半径r越大，则S越小，所运用的计算情况越简单，计算时间越围是r∈ [0,L2短，计算效率越高；当半径r越小，则S越大，所运用的计算情况越复杂，计算时间越长，计算效率越低。

对于问题三：我们在模型二的基础上考虑了瞬时启动加速度及瞬时启动速度，所以在模型中加入了瞬时启动加速度运动段，丰富了模型的通用性之后，依照问题二的检验步骤，检验了加工路径示例。

此情况下，节点1以瞬时起始速度min运动至×10−3时提高到min,然后保持min的速度匀速运行到节点2，然后从节点2以速度min运行到处速度加至min，然后保持min的速度一直运行到节点5。

从节点5至节点11的运动轨迹及速度与前半段路径对称。

对于问题四：在问题一、问题二、问题三的基础上，我们去掉了S型加减速控制方法阶段中的第二阶段（匀加速阶段）和第六阶段（匀减速阶段），满足精度和速度的要求，建立了模型，并大量搜取相关计算机数控加工同的文献，讨论了该模型对提高机床运行平稳性的优缺点。

讨论优点结果为S曲线加减速可以克服直线加减速方法的缺点，保证了加速度和速度的连续，满足了系统的稳定性和加减速的要求。

缺点有三，首先使用S型加减速方法时速度的变化相当快，但由于存在加速度突变从而产生冲击，因此不适用于高速数控系统；其次对于传统普通的S型曲线加减速法，其通过对加速阶段及减速阶段进行平滑处理来减少机床的冲击，然而其加减速阶段存在突变以及加加速并不连续，从而使机床柔性受到限制；最后，由于其参数比较多，计算相对复杂，不能满足高性能数控实时性的要求。

关键词：直线插补法最优化模型 S型曲线加减速数控加工1.问题重述问题背景近年来，随着计算机技术的发展，数字控制技术已经广泛应用于工业控制的各个领域，尤其是机械制造业中，普通机械正逐渐被高效率、高精度、高自动化的数控机械所代替。

这种高速高效高精度的技术即被称为数控加工技术，高速加工要求机床各运动轴都能够在极短的时间内达到高速运行状态并实现高速准停，研究开发数控加工刀具运动满足高速、高精度要求的、有效柔性加减速控制方法，已成为现代高性能数控系统研究的重点。

在本文中，我们考虑加工刀具在数控机床所提供的精度、速度、加速度等限制条件下，对机床刀具在各坐标轴方向上的运动进行建模并合理控制，进而优化其加工效率。

计算机数控系统工作原理及难点：原理为首先通过计算机组成的数控编程系统对读入的零件信息进行存储和译码等处理后通过输入装置将它们传输给加工控制系统，然后由数控系统对输入的指令进行信息处理和轨迹插补计算出数控机床各坐标轴方向上刀具运动的控制信息，进而通过机床驱动以及机床运动将刀具在各坐标轴方向上的运动合成为刀具实际加工轨迹和速度控制，加工出所需的工件。

难点之一为数控机床加工刀具在三个坐标轴方向的运动实行分别控制，导致加工刀具的运动轨迹与工件几何形状之间存在误差；第二为每一直线段对应的坐标增量长度必须为分辨率的整数倍，从而导致加工刀具运动方向受限制，并影响加工刀具在三个坐标轴方向上的速度、加速度；第三机床需运动平稳、速度光滑、加速度连续。

问题提出本文需解决的问题：问题一：设加工型线为折线，建立模型分析讨论刀具通过指定折点时的速度变化。

问题二：设加工型线是由直线段和圆弧段（相切或不相切）组成的连续曲线，在不考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度的情况下讨论圆弧半径的变化对算法效率的影响，并应用所建立的模型指定加工路径示例进行检验。

问题三：在问题二的基础上，在考虑瞬时启动加速度及瞬时启动速度的情况下讨论圆弧半径的变化对算法效率的影响，并应用所建立的模型指定加工路径示例进行检验。

问题四：结合前3问，分析S型曲线的加减速控制方法的优缺点，在满足精度和速度要求的条件下，建立能提高机床运行平稳性的优化控制运动模型。

2.模型的假设假设1：不考虑五轴控制，假设数控机床对加工刀具在三个坐标轴方向运动，对此三轴实行分别控制，且它们之间相互协调；假设2：假设在S型曲线运动过程中，速度V不大于机床最大速度V max，加速度a不大于机床最大加速度a max，加加速度为常量J。

const假设3：假设在此S型速度控制曲线中加速度每次都是从0增加，最后又降为0。

假设4：假设不考虑刀具尺寸大小及刀具磨损，加工刀具抽象为一点。

假设5：加工刀具行走的路线是一系列首尾相接的直线段,机床运动平稳，速度光滑、加速度连续等。

3.符号说明a瞬时启动加速度加加速度4.问题分析数控技术作为先进制造技术（如柔性制造技术，计算机集成制造系统）的基础，国家投入了大量的人力、财力进行公关开发，其关键技术已取得了重大进展，实现了多坐标联动，攻克了交流全数字伺服和主轴驱动技术，“九五”期间实现了数控机床产业攻关目标。

几何造型和道具运动轨迹是实施数控加工的两大关键技术，其中零件数控加工准确性只有在合理的刀具轨迹的前提下才能予以保证。

刀具轨迹的生成是复杂零件数控加工中重要的内容之一，刀具轨迹规划是否合理不仅直接关系到切削效率、加工质量及加工成本，而且还影响机床的动力性能及刀具的使用寿命。

此题研究的是数控加工刀具运动的优化控制问题，数控加工对单个坐标运动的控制方法有多种，其中，从数控系统的控制角度看，要实现高速度加工，必须采用加减速控制。

为了在运动的开始和结束时，系统自动进行加减速，以保证平稳启动和停止，并且在速度变化时也能自动的加减速，使进给速度平稳变化数控机床进给传统系统设计应尽量采用S型加减速。

本题在数控系统保证加工精度的条件下，使用加减速控制技术对加工路径段间加减速过程进行控制，即选用基于S型曲线的加减速控制方法，将加减速过程分为7个阶段：加加速、匀加速、减加速、匀加速、加减速、匀减速，减减速七个阶段，在启动时间加速度逐渐增大，当达到最大加速度时，以匀加速运动，在到达额定速度之前，加速度逐渐减小。

并且每个阶段时间的变化规律已给出，提高进给速度，减小速度跳变，提高加工效率。

针对问题一：加工型线为折线，结合问题二我们首先分析刀具路线为与题二相似的正方形，在正方形直角处画出一条与正方形相邻竖边和横边内夹角为135?的斜线，刀具沿着此路径展开S型曲线加减速变化，在直角点和135?点处分别经历加加速、匀加速、减加速、匀速、加减速、匀减速、减减速七个阶段，后来在分析过程中我们发现各路径的时间T是可以算出来的，则放弃此种方法改用数学建模。

为了便于观察刀具通过相邻折线段夹角为90?和135?的折线交点时运动速度的变化，我们将加减速七个阶段中的速度分别进行积分，得到每个阶段的位移S1、S2……S7,刀具的每次位移均为机床分辨率的整数倍，即,n为整数，然后相加得到总位移，即S=∫V1+∫V2+∫V3+ S=n1280∫V4+∫V5+∫V6+∫V7=S1+S2+⋯+S7,虽然题中刀具速度呈S型曲线走势，但实际运行的是接近直线规律的加减速控制，这样就造成机床的颤抖，严重影响加工质量，为了解决解决短代码运行造成的缺陷，实现高速度下平稳运行微小线段程序，实现高速高精加工，我们运用积分使其最小化，通过计算当刀具在加加速阶段速度已经达到最大极限值，故此后没有匀加速和减加速阶段，根据此方法进行建模，由于刀具运动轨迹为对称图形，建模可算出S1、S2和S3，在本题中S2和S3为0，如下图1所示，当输入拐点处位移时即可得出该点速度。

图1针对问题二：刚着手分析此题，由于要讨论圆弧半径与算法效率的关系，我们刚开始考虑用弧度来代替半径，即弧长等于半径乘以夹角，半径长为0到r ，夹角为0到90?，即可用不同的弧度建模计算算术时间，用时间来代表效率。

后来建模时发现未知数夹角难以分析计算，则改用研究讨论路径边长与半径的关系。

由于加工型线是由直线和圆弧段组成的连续曲线，我们假设直线总长为L ，两圆弧与直线切点间的距离为L 1，圆弧对应的直线为L 2，则L=L 1+L 2，设圆弧与直线相切时半径为r ，当弧线无限小时r 为0，当弧线与直线相切时半径为r ，并且此时L 2=r，位移S 为刀具所走路径L 和弧度的和，S 与r 成反比关系，建立实时加工优化控制算法，讨论圆弧半径从零变为r 时对算法效率的影响，并应用所建立的模型对题目中给出的加工路径示例进行检验。