高中数学《任意角的三角函数》教学设计
高中数学_任意角的三角函数教学设计学情分析教材分析课后反思
教学设计教学目标：知识与技能目标：1、理解任意角的三角函数的定义；2、根据三角函数的定义，求出三角函数值；3、根据三角函数的定义，能够判断三角函数值的符号。
过程与方法目标：1、通过参与任意角的三角函数的“发现”与“形成”过程，培养合情猜测的能力，体会函数模型思想，以及数形结合思想，培养观察、分析、探索、归纳、类比及解决问题的能力；2、通过从锐角三角函数推广到任意角的三角函数的过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。
情感态度与价值观目标：提高学生的学习兴趣，并培养学生严谨的学习态度，体会科学研究的逻辑性，认识并发现理性之美、数学之美，为今后创造美打下良好的基础。
教学重点：任意角的三角函数的定义，会利用三角函数的定义求角的函数值教学难点：任意角的三角函数定义的建构过程教具准备：多媒体课件教学方法：启发式、讲授法、练习法教学过程一、情景设置:问题1：初中时的锐角三角函数如何定义的？（学生A口头回答，教师根据学生回答情况进行点评，并作补充和总结）锐角三角函数的定义：在直角中，是直角，,则问题2：如何用直角坐标系中角的终边上的点的坐标表示锐角三角函数呢？设计问题梯度：（1）师：首先要建立直角坐标系，我们应该在中如何选择原点和轴、轴？（全体学生讨论2分钟，讨论完后选学生代表回答，教师根据学生回答情况进行点评）答：以点为原点，以为轴正半轴，建立平面直角坐标系，此时的始边是非负半轴，终边是射线（教师根据学生回答的具体情况更正、补充并配合学生，放相应课件）（2）师：现在，锐角放在了直接坐标系中，应如何利用终边上的坐标表示锐角函数？（学生回答，教师在学生的回答过程中充分起到引导作用，帮助学生得出相应结论），，师：分析以上三个等式：的正弦值是点的纵坐标和的比值，的余弦值是点的横坐标和的比值，的正切值是点的纵坐标和横坐标的比值。
（回答了问题2）问题3：如果改变点Ｐ在终边上的位置，这三个比值会改变吗？学生互动：锐角的三角函数值都是比值关系，与终边上选取的点P的位置无关，可以利用相似三角形证明.教师利用几何画板的动态效果，展示三角函数值与点P的位置无关，仅与角有关.（回答了问题3）问题4：用单位圆上的点的坐标表示的锐角三角函数。
任意角的三角函数教学设计人教版
1.分组讨论：学生们将分成若干小组，每组讨论一个与三角函数相关的实际问题。
2.实验操作：为了加深理解，我们将进行一个简单的实验操作。这个操作将演示三角函数的基本原理。
3.成果展示：每个小组将向全班展示他们的讨论成果和实验操作的结果。
四、学生小组讨论（用时10分钟）
1.讨论主题：学生将围绕“三角函数在实际生活中的应用”这一主题展开讨论。他们将被鼓励提出自己的观点和想法，并与其他小组成员进行交流。
- 对于学生作业中出现的问题，及时给予反馈，指出错误并提供正确的解题方法。
- 对于学生的优秀作业，给予表扬和鼓励，以提高学生的学习积极性和自信心。
- 对于作业中的共性问题，在课堂上进行讲解和澄清，确保学生能够理解并掌握相关知识点。
- 鼓励学生主动查找错误并及时更正，培养学生的自主学习和解决问题的能力。
- 题目二：已知一个角的正弦值为0.5，求这个角的度数。
- 题目三：绘制正弦函数的图像，并标注出其周期性、奇偶性、单调性等性质。
- 题目四：探索任意角三角函数在实际生活中的应用，举例说明并解释其原理。
2. 作业反馈：
- 批改作业时，重点关注学生对任意角三角函数概念的理解、三角函数计算的准确性以及图像分析的完整性。
2. 数学建模：通过学习三角函数的应用，培养学生将实际问题转化为数学模型的能力，使学生能够运用三角函数解决实际问题。
3. 直观想象：通过绘制三角函数的图像，培养学生的直观想象能力，使学生能够观察和理解三角函数的图像特征。
4. 数学运算：通过学习三角函数的计算，培养学生运用数学运算解决实际问题的能力，使学生能够熟练运用三角函数进行计算。
拓展与延伸
1. 拓展阅读：提供与本节课内容相关的拓展阅读材料，如下：
4.2任意角的三角函数(教学设计)-中职《数学》(高教版)
§4.2任意角的三角函数一、学习要求：理解任意角的三角函数的定义，熟记三角函数在各个象限内的符号，了解各三角函数线，能作出已知角在单位圆中的三角函数线。
二、学习重点、难点：重点：任意角三角函数的定义；三角函数在各个象限内的符号；求三角函数值。
难点：三角函数线三、学时安排：共2学时第一学时：学习任意角饿三角函数定义，和三角函数在各个象限的符号，并理解和运用。
第二学时：学习三角函数线，通过三角函数线求三角函数值（不编写学案）。
四、学习过程：第一学时（一）课前尝试1、学习方法：认真阅读课本P.165-167内容，注意理解三角函数的定义，符号法则的推出过程及作用。
2、尝试练习：（1）已知P（1,-2）是角α终边上一点，求α的三个三角函数值。
（2）确定下列三角函数值的符号：sin(740)-︒19 tan()6π-（二）课堂探究：1、探究问题在初中，我们学习了锐角的三角函数值，当角的概念推广以后，对于一个任意角的三角函数，应该如何求呢？比如：sin120︒ 7cos()6π tan300︒ 等等 2、知识链接：回忆： （1）Rt ABC ∆中，90C ∠=︒，A α∠=，则sin α= cos α= tan α=（2）把上述Rt ABC ∆放置在直角坐标中，如图所示：sin α= cos α= tan α=（3）任意角的三角函数定义：图4-2-1 图4-2-2 图4-2-3（4）三角函数在各个象限内的符号法则：y y yO x O x O xαsin αcos αtan图4-2-43、拓展练习：（1）P.166例2 P 点的坐标还可怎么取？（2）思考：为什么正弦函数、余弦函数的定义域为R ，正切函数的定义域不是R ？4、当堂训练：书本上P.167.课内练习1。
5、归纳总结：（三）课后拓展：1.已知角α终边经过点(3,4),(0)P t t t <，求sin ,cos ,tan ααα的值。
高中数学《任意角的三角函数》公开课优秀教学设计
....2.. “任意角的三角函数”第一课时教学设计一、教学内容解析1、本节课是人教 A 版《数学 4》第一章“三角函数”中的“任意角的三角函数（第一 课时）”，其重点内容是任意角的三角函数概念的建构.通过引入直角坐标系，实现用锐角终 边上点的坐标表示锐角的三角函数值（坐标化）；随着单位圆的引入（形式优化），进而引导 学生注意到在单位圆中，锐角 和单位圆上的点有对应关系，因为角的集合与实数集之间 可以建立一一对应的关系，从而发现锐角的弧度数和单位圆上点的坐标之间形成函数关系 （函数化）；最终形成任意角的三角函数的概念（一般化）之后，通过例题闯关，应用了概 念，加强了对概念的理解（概念理解强化）.2、任意角的三角函数是三角学内容的基础，是后续内容学习的思维起点，是整个三角 学认知结构的生长点.它的学习既是学科系统内部知识发展的需要，又是坐标思想、数形结 合思想的载体，更是对函数概念理解和认识的一次升华.学习过程中的认知冲突，容易激发 学生思维的积极性，有助于探究、创新能力的培养.由锐角三角函数的定义到任意角三角函 数的定义是学生认识上的突破，也是体会特殊到一般思想的良好素材 二、教学目标设置1、知识与技能：①借助单位圆让学生认识和理解任意角的三角函数的定义②让学生能 根据定义判定三角函数的符号③让学生知道公式一，并由此体会三角函数的周期性特点2、过程与方法：①通过回忆初中的锐角三角函数定义，发现角概念推广后其局限性， 必须寻找其它方式定义；②在形成新的锐角三角函数定义的过程中领悟坐标法的优越性，加 深对函数概念的理解；③由特殊到一般的思想推广到任意角的三角函数定义；④通过探究任 意角正弦函数定义，类比得到任意角的余弦函数和正切函数，培养学生类比分析的能力；⑤ 通过对三角函数值在各个象限符号的确定，培养学生利用规律解决问题的意识；⑥通过对公 式一的学习，培养学生数形结合的意识，让学生体会三角函数的周期性3、情感态度与价值观：①培养学生在运动变化的过程中认识知识的发生和发展，体会 知识之间的内在联系，感悟知识的整体性；②通过小组合作交流，倡导学生主动参与课堂， 培养学生团队合作的意识；③通过对新知识的探究，培养学生分析解决问题的能力和理性思 维的能力.三、教学重点1、对任意角的三角函数定义的理解； 、正弦、余弦、正切函数值在各个象限内符号的 确定；3、三角函数的周期性特点（公式一）.四、教学难点任意角的三角函数概念的建构过程.五、学生学情分析学生在初中学习的锐角三角函数是以锐角为自变量，以边的比值为函数值的函数，以及 高中学习过的函数的定义和任意角及弧度制，这些是学生学习任意角的三角函数知识的基础 和依据.本节课从研究锐角三角函数的概念出发，更容易激发学生学习的热情，从而催生学 生创造性思维.在概念建构的过程中，学生必需经历由特殊到一般的认识过程以及把新的概 念纳入到一般函数的结构之中，这是认知过程的一道坎，又是认知的一次升华 六、教学策略分析本课采用“引”“探”相结合的方式，将问题以问题串的形式展现，让学生在愤悱中形 成认知冲突，体会、感悟数学研究的一般思路和方法 课堂中以学生为主体，将学生分成若 干小组，使学生全员参与课堂，通过学生之间合作交流，教师间或参与学生的讨论，对有困..惑的小组或者个别学生进行帮助和引导，培养学生主动探究新知识的能力 .此外，为了提高 教学效果，使课堂教学更生动形象，利用多媒体课件进行教学 七、教学过程（一）创设情境，导入新课（问题 1 到问题 2 是温故知新化过程）问题 1 初中我们在直角三角形中学习过锐角三角函数，你能回忆出初中锐角的正弦、余弦、 正切函数是怎样定义的吗？你能说出它们的自变量是什么，又以什么为函数值呢？自变量的 范围是什么？设计意图：要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况 开始，因此对锐角三角函数的复习是必不可少的.将锐角三角函数融入学生已有的函数知识 结构中，容易为学生建立起任意角的三角函数获取心理逻辑的自然 问题 2 在高中，随着角的概念的推广和弧度制的引入，角的范围变成了全体实数R ，那么 对于任意角 α ，比如当α 为钝角时，角α 的“斜边”这种说法还存在吗？那么任意角的三 角函数该如何定义呢？设计意图：利用角 α 的变化作为思维的切入点，打破学生已有的认知结构的平衡，感受学 习新知识的必要性，即角的范围扩大了，初中锐角三角函数的定义也应该与时俱进，这有利 于将探究的主动权交给学生.（二）提出问题，探求新知（问题 3 到问题 5 是定义坐标化过程）问题 3 中国有句古话说的好，“工欲善其事，必先利其器”.随着角的概念推广和弧度制的 引入，我们一般借助什么工具来研究角？设计意图：依托学生已有的经验，启发学生联想，触发学生的灵感，为坐标法的实施奠定研 究的基础.问题 4 我们先研究哪种角呢？是直接研究任意角的情形还是先研究锐角的情形呢？设计意图：以锐角三角函数的研究为本节课知识的“生长点”，这样的研究符合学生的认知 规律，学生有思考的落脚点，更能够激发学生的求知欲，由特殊到一般的思想突破本节课任 意角三角函数概念的建构这一教学难点.问题 5 对于任意角α 都有始边和终边.在直角坐标系中，如何放置锐角α 可以方便研究？在锐角 α 的终边上任取一点 P(a, b ) ，它与原点 O 的距离为 r ，你能用点 P 的坐标及 r 来表示锐角 α 的三角函数吗？设计意图：把锐角 α 放在直角坐标系下对学生来说比较简单，构造直角三角形也是一目了 然的，这样可以把复习的初中的锐角三角函数的定义纳入直角坐标系，将边长的比变成坐标 关系，为任意角的三角函数定义的给出做好铺垫.提及“始边”、“终边”也是为了概念一般 化做铺垫.（问题 6 到问题 7 是表达式形式优化过程）问题 6 当锐角 α 确定，如果改变α 的终边上的 P 点位置，角 α 的正弦值会发生改变吗？ 设计意图：问正弦值这一种情况，方便师生研究.余弦值和正切值可以类比得到，更方便学 生理解（下面有类似问法也是同样考虑）;由三角形相似，说明在终边上任意取点不影响三 角函数值. 这是为单位圆定义的提出做好铺垫.问题 7 数学追求“简洁美”，既然这三个比值与终边上点 P 的位置无关，那么当 P 点选在 何处时， sin α和 c os α 的形式最简单？设计意图：通过问题的形式过渡，自然得出单位圆的概念.由此便可顺势得出 s in α和 c os α 的 简化形式，体现了数学的“简洁美”.同时也明确在单位圆的背景下，锐角和单位圆上 P 点.有对应关系.（问题 8 到问题 10 是函数化过程）问题 8 当锐角 α 发生变化时， P 点的坐标会发生相应的改变吗？（追问）当锐角α 确定 了， P 点的坐标是否唯一确定？（配合动画演示） 教师板书：任意锐角α （实数）→唯一 实数 b ；任意锐角 α （实数）→唯一实数 a .）设计意图：初中学生对函数理解还比较肤浅，这里提出的问题扣准了函数概念的内涵，突出 了变量之间的依赖关系及对应关系，是从一般函数知识演绎到三角函数知识的重要环节，是 准确理解三角函数概念的关键.问题 9 你能给这个函数（任意锐角α （实数）→唯一实数 b ）命名吗？设计意图：只单问一个函数，可以方便学生思考，也方便师生共同总结，还可以让学生在自 行总结任意角的三角函数概念时有参照对象.问题 10 既然是函数，你能说出锐角α 正弦函数的自变量吗？以什么为函数值呢？设计意图：让学生能更好的理解锐角三角函数的定义，同时为总结任意角三角函数定义打好 基础.（问题 11 到问题 12 是特殊到一般化过程）问题 11 我们现在得到的锐角三角函数的定义和初中所学锐角三角函数定义有什么区别？ 设计意图：加强学生对新的定义方式的理解，让学生意识到任意角没有“斜边”，但是有“始 边”、“终边”，从而发现对于任意角，如果始边放在 x 轴非负半轴上，其终边定与单位圆有 唯一交点，从而能形成函数关系.为归纳任意角三角函数概念扫清心理障碍.问题 12 由特殊到一般的思想，你能给任意角的三角函数下一个定义吗？（教师在与学生 交流中，板书定义）设计意图：利用类比、迁移的认知规律，学生容易给出任意角的三角函数定义 .学生可以意 识到锐角三角函数是任意角三角函数的特例，任意角三角函数是锐角三角函数的自然延伸 （三）分析思考，加深理解（下列问题是概念理解强化过程）问题 13 既然它们是函数，就要注意其定义域，它是函数的“生命之域”，那么正弦、余弦、 正切函数的定义域分别是什么？设计意图：因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应的关系，故三角函数也可以看成实 数为自变量的函数，强调了其函数属性.问题 14 当 α 为锐角时， sin α ,cos α , tan α 的值都是正数，当α 的终边落在各个象限时，它们分别取什么符号？设计意图：对比锐角三角函数，让学生再次回忆任意角三角函数的定义，培养学生利用规律 解决问题的意识.设置一个阅读环节，让学生阅读“三角函数名称由来简史”.设计意图：通过三角知识简史的阅读，让学生有新奇感，同时提高课堂的数学文化感，让学 生感知数学是源于生活的.以此，进一步激发学生的学习热情.（四）强化训练，巩固双基第一关 求5π 3 的正弦、余弦和正切的值.设计意图：将例题以闯关的形式呈现，和综艺节目设置相似，寓教于乐，能激发学生的学习 热情；明确已知角的终边，要求其三角函数值，可以先求终边与单位圆的交点坐标，通过运 用概念，巩固对概念的理解.4 ) ； . ..问题 15 （追问）求11π 3 的正弦、余弦和正切的值.设计意图：引起学生发现这两个角的终边是重合的，所以它们与单位圆的交点坐标相同，由 任意角三角函数的定义可知，终边相同的角的同一三角函数值是相等的 .让学生体验到公式 一的作用和三角函数的周期性.第二关 确定下列三角函数值的符号：（1） cos 260 ； （2） sin(-π （3） tan(-700 ) ； （4） tan3 π .第三关 求下列三角函数值：9π 11π (1)sin(-1050 ) ； (2) cos ； (3) tan(- ) .4 6 设计意图：判断三角函数值的正负符号，是本节课的教学目标之一，引导学生抓住定义、数 形结合判断三角函数值的正负符号，同时应用终边相同的角的同一三角函数值是相等的这一 结论.第四关 已 知 角 α 的 终 边 经 过 点 P (-3, -4), 求 角 α 的 正 弦 ， 余 弦 和 正 切 值 . 0P (-3a, -4a)(a ≠ 0), 情况又如何？0 设计意图：该点不在单位圆上，与例题 1 的解法对比；为课后探究“角 α 终边上任一点 Q( x , y) ，求角 α 的正弦、余弦和正切的值.”这一问题作铺垫；增加了一个问题，加强了学生对任意角三角函数定义的理解，同时渗透了分类讨论的思想（五）课堂小结,升华提高知识与技能：任意角三角函数的定义（单位圆）；能根据定义判定三角函数的符号；公式一 （终边相同的角的同一三角函数值相等）即三角函数的周期性特点 思想与方法：坐标法、特殊到一般、数形结合、类比、转化、分类讨论设计意图：让学生自己总结，教师补充，并且提醒学生知识重要，探究的思想与方法更重要，体现了教学应以学生为主体，教师为主导的新课标理念.（六）作业布置：1、课本 15 页练习 2、3、5.2、假设角 α 的顶点是直角坐标系的原点，始边与 x 轴的非负半轴重合，已知角 α 终边上任一点 Q ( x , y) ，求角 α 的正弦、余弦和正切函数值.3、通过本节课学习，你对任意角三角函数有哪些新的认识？利用定义你能解决哪些问题？你还有哪些不明白的地方？请把它写下来.设计意图：体现作业的多样性，鼓励学有余力的同学课后探究，因材施教，多元发展.教师和学生同唱励志歌曲《奔跑》，课堂在歌声中结束.设计意图：拉近师生关系，也鼓励学生不畏艰难，在学习过程中保持奔跑的态度.在数学课堂也可以渗透品德教育.“任意角的三角函数”教学课例点评一堂好的数学课，必须蕴含丰富的数学内涵，能够激发学生思考的热情，使学生经历“百思不得其解的困惑——茅塞顿开的激动——问题解决的愉悦”的过程，从中品味思考的乐趣，发展思维的能力，获得数学的思想方法.这样的课才既有内容又有思想，既见树木又见森林.蔡老师将本节课设计成问题串的形式，通过问题串诱发、引导学生完成本节课的探究过程（温故知新化过程——定义坐标化过程——表达式形式优化过程——函数化过程——特殊到一般化过程——概念理解强化过程）.整个教学过程层层递进，线索清晰，突出了教学重点，突破了教学难点.问题的设计能让学生产生认知需求，享受在领悟、感知中探求新方法和学习新知识的乐趣.此外，例题以闯关的形式出现，寓教于乐，是学生喜闻乐见的.本节课在知识的学习中很好的渗透了数学的思想和方法.比如，单位圆的引入渗透了数形结合的思想；由锐角的三角函数到任意角的三角函数体现了从特殊到一般的思想；将任意角的正弦函数的定义类比到了任意角的余弦函数和正切函数定义等等.本节课融入了数学文化、数学育人的精神.比如，通过三角函数名称简史的阅读，渗透了数学文化，提高课堂的数学文化厚度，让学生感知数学是源于生活的；在单位圆的引入体现数学“简洁美”时，蔡老师提到为人应当“简简单单，堂堂正正”；通过对新知识的探究，培养学生分析解决问题的能力和理性思维的能力；在课堂结尾时，教师鼓励学生在学习过程中要保持奔跑的态度，师生同唱立志歌曲《奔跑》等等，这些都体现了立德树人的教育理念.。
任意角的三角函数教案
任意角的三角函数教案关键信息项1、教学目标理解任意角三角函数的定义。
掌握三角函数在各象限的符号。
能运用三角函数的定义解决相关问题。
2、教学重难点重点：任意角三角函数的定义。
难点：三角函数在各象限的符号判断及应用。
3、教学方法讲授法练习法讨论法4、教学工具多媒体课件黑板、粉笔导入新课讲授课堂练习课堂总结作业布置11 教学目标111 知识与技能目标通过本节课的学习，学生能够理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义，明确其定义域和值域，并能熟练运用定义求解相关问题。
112 过程与方法目标经历从锐角三角函数推广到任意角三角函数的过程，培养学生的数学抽象和逻辑推理能力。
113 情感态度与价值观目标激发学生对数学的兴趣，培养学生勇于探索、敢于创新的精神，感受数学的严谨性和逻辑性。
12 教学重难点任意角三角函数的定义是本节课的重点。
学生需要明确在平面直角坐标系中，对于任意角α，其终边上任取一点 P（x，y），点 P 到原点的距离 r ＝√（x²＋ y²) ，则正弦函数sinα ＝ y/r，余弦函数cosα ＝ x/r，正切函数tanα ＝ y/x （x ≠ 0）。
122 教学难点三角函数在各象限的符号判断及应用是本节课的难点。
由于角的终边位置不同，三角函数值的符号也不同，需要学生牢记“一全正，二正弦，三正切，四余弦”的口诀，并能灵活运用。
13 教学方法131 讲授法通过教师的详细讲解，让学生理解任意角三角函数的定义、性质和应用。
132 练习法安排适量的课堂练习和课后作业，让学生巩固所学知识，提高解题能力。
133 讨论法组织学生进行小组讨论，共同解决问题，培养学生的合作精神和思维能力。
14 教学工具141 多媒体课件利用多媒体课件展示图形、动画等，帮助学生直观地理解任意角三角函数的概念。
142 黑板、粉笔用于教师板书重点内容和解题过程，方便学生记录和复习。
15 教学过程151 导入通过回顾锐角三角函数的定义，引导学生思考如何将其推广到任意角。
《数学》教案：任意角的三角函数
（1） ；（2） ；
（3） ．
提问
巡视
指导
思考
动手
解答
交流
通过课堂练习及时了解学生对知识的掌握情况
归纳总结
1．任意角的正弦、余弦和正切函数。
2．各象限角的三角函数值的正负号。
3．界限角的三角函数值。
回顾
总结
思考
记忆
通过归纳总结，回顾所学知识
课后练习
完成教材中习题4.2
通过例题讲解与提问增加课堂互动，加深学生理解
通过表格讲述各象限角三角函数的正负号
通过例题讲解与提问增加课堂互动，加深学生理解
讲解界限角的三角函数值
通过例题加深学生理解
理解应用
练习4.2.1
1．已知点 为角 的终边上的一点，且 ，那么 ______．
2．已知点 为角 的终边上的一点，则 ______．
表4-4
所在象限
点P的坐标
x
y
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
例2判断下列各三角函数值的正负号：
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） ．
解（1）因为 角是第三象限的角，所以 ．
（2）因为 角是第四象限的角，所以 ．
（3）因为 ， 角是第一象限的角，所以 角也是第一象限的角， ．
（4）因为 ， 角是第四象限的角，所以 角也是第四象限的角， ．
第4章三角函数
课题4.2任意角的三角函数
【教学目标】
1．掌握任意角的正弦、余弦和正切函数。
2．掌握三角函数的正负号，了解用计算器进行角度与三角函数值转换。
【教学重点】
任意角的正弦、余弦和正切函数及三角函数的正负号。
(完整)《任意角的三角函数》教学设计
《任意角的三角函数（第一课时）》教学设计任意角的三角函数（1）一、教学内容分析:高一年《普通高中课程标准教科书·数学（必修4）》（人教版A版）1。
2.1任意角的三角函数第一课时。
本节课是三角函数这一章里最重要的一节课，它是本章的基础，主要是从通过问题引导学生自主探究任意角的三角函数的生成过程，从而很好理解任意角的三角函数的定义。
在《课程标准》中：三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型,在数学和其他领域中具有重要的作用。
《课程标准》还要求我们借助单位圆去理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切)的定义.在本模块中,学生将通过实例学习三角函数及其基本性质,体会三角函数在解决具有变化规律的问题中的作用。
二、学生学习情况分析我们的课堂教学常用“高起点、大容量、快推进”的做法，忽略了知识的发生发展过程,以腾出更多的时间对学生加以反复的训练，无形增加了学生的负担，泯灭了学生学习的兴趣.我们虽然刻意地去改变教学的方式，但仍太多旧时的痕迹，若为了新课程而新课程又会使得美景变成了幻影，失去新课程自然与清纯之味。
所以如何进行《普通高中数学课程标准(实验)》(以下简称课程标准）的教学设计就很值得思考探索。
如何让学生把对初中锐角三角函数的定义及解直角三角形的知识迁移到学习任意角的三角函数的定义中?《普通高中数学课程标准(实验）解读》中在三角函数的教学中，教师应该关注以下两点：第一、根据学生的生活经验，创设丰富的情境，例如单调弹簧振子，圆上一点的运动，以及音乐、波浪、潮汐、四季变化等实例,使学生感受周期现象的广泛存在，认识周期现象的变化规律,体会三角函数是刻画周期现象的重要模型以及三角函数模型的意义。
第二、注重三角函数模型的运用即运用三角函数模型刻画和描述周期变化的现象（周期振荡现象），解决一些实际问题,这也是《课程标准》在三角函内容处理上的一个突出特点。
根据《课程标准》的指导思想，任意角的三角函数的教学应该帮助学生解决好两个问题：其一：能从实际问题中识别并建立起三角函数的模型；其二:借助单位圆理解任意角三角函数的定义并认识其定义域、函数值的符号。
《任意角的三角函数》 教学设计
《任意角的三角函数》教学设计一、教学目标1、知识与技能目标（1）理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义。
（2）掌握三角函数在各象限的符号。
（3）能够根据角的终边上的点的坐标求出三角函数值。
2、过程与方法目标（1）通过单位圆的引入，经历从锐角三角函数推广到任意角三角函数的过程，体会从特殊到一般的数学思想方法。
（2）通过三角函数的定义的探究，培养学生的观察、分析和解决问题的能力。
3、情感态度与价值观目标（1）通过数学知识的探究和应用，感受数学的严谨性和实用性，激发学生学习数学的兴趣。
（2）培养学生勇于探索、敢于创新的精神，提高学生的数学素养。
二、教学重难点1、教学重点任意角三角函数的定义。
2、教学难点用坐标法定义任意角的三角函数。
三、教学方法讲授法、讨论法、探究法四、教学过程1、导入新课（1）复习锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦、余弦、正切分别是对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边的比值。
（2）提出问题：对于任意角，如何定义三角函数呢？2、新课讲授（1）单位圆的概念在平面直角坐标系中，以原点为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆。
（2）任意角三角函数的定义设角α的终边与单位圆交于点 P(x,y)，则定义：正弦函数：sinα ＝ y余弦函数：cosα ＝ x正切函数：tanα ＝ y/x （x≠0）（3）三角函数在各象限的符号根据角α终边上点的坐标的正负，确定三角函数值在各象限的符号。
3、例题讲解例 1：已知角α的终边经过点 P(3,－4)，求角α的正弦、余弦和正切值。
解：因为 x ＝ 3，y ＝－4，所以 r ＝√（3²＋（－4)²) ＝ 5sinα ＝ y/r ＝－4/5cosα ＝ x/r ＝ 3/5tanα ＝ y/x ＝－4/3例 2：确定角α所在的象限，使得sinα ＞ 0 且cosα ＜ 0。
解：因为sinα ＞ 0，所以角α的终边在第一、二象限或 y 轴的正半轴上；因为cosα ＜ 0，所以角α的终边在第二、三象限或 x 轴的负半轴上。
任意角的三角函数教学设计
“任意角的三角函数”教学设计一、教学目标1．理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义,经历“单位圆法”定义三角函数的过程；2．会用定义求特殊角的三角函数值,会求已知终边位置的角的三角函数值；3．会从函数三要素的角度认识三角函数的对应法则、自变量、函数值；4．体会定义三角函数过程中的数形结合、化归、数学模型等思想方法．二、教学重难点重点：理解任意角三角函数的定义。
难点：引导学生将任意角的三角函数的定义强化，帮助学生真正理解定义。
三、教学过程设计（一）教学情境复习锐角三角函数的定义问题1 对于三角函数我们并不陌生，初中学过锐角三角函数，你能说说它的自变量和对应关系各是什么吗？任意画一个锐角α，你能借助三角板，根据锐角三角函数的定义找出sinα的值吗？（设计意图：帮助学生回顾初中锐角三角函数的定义。
）(二) 认识任意角三角函数的定义问题2 你能借助象限角的概念，用直角坐标系中点的坐标表示锐角三角函数吗？即将三角函数值用终边上点的坐标表示出来。
，对于这些比值 ，我们以前称之为锐角α的正弦、余弦和正切，统称为锐角α的三角函数。
当角α确定后，比值xy r x r y ,,也是唯一确定的，而与P 点在角终边上的位置无关。
当α是锐角时，x y r x r y ,,（设计意图：比值“坐标化”，与点在终边上的位置无关。
）问题3 既然当角确定后，三角函数值与点P 在终边上的位置无关，那么你能否在终边上取适当的点，使三角函数的形式更简单？（设计意图：在求简意识的指引下，自然地引出单位圆，同时在对圆周运动寻求函数关系的求解的过程中体会它与锐角三角函数之间的内在联系。
）当α是锐角时，设P (x ,y )是α的终边与单位圆的交点，那么当r=1,则y 就称为锐角α的正弦，x 就称为锐角α的余弦， 就称为锐角α的正切. 记为：类似地，我们可以将锐角三角函数的定义推广到任意角的三角函数： 设α是一个任意角，它的终边与单位圆的交点为P (x ,y ),则y 叫做α的正弦,记作sin α= y . x 叫做α的余弦,记作c o s α=x ; 叫做α的正切,记作t a n α= 任意角α的正弦、余弦和正切,统称为任意角α的三角函数.x y xy x y ===αααtan ,cos ,sin xy问题4 你能说明上述定义符合函数定义的要求吗？ （设计意图：让学生用函数的三要素说明定义的合理性，以此进一步明确三角函数的对应法则、定义域和值域。
高中数学 任意角的三角函数教案 新人教版必修4-新人教版高一必修4数学教案
任意角的三角函数(一)一、教学目标：1、知识与技能〔1〕掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；〔2〕理解任意角的三角函数不同的定义方法；〔3〕了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；〔4〕掌握并能初步运用公式一；〔5〕树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数.2、过程与方法初中学过:锐角三角函数就是以锐角为自变量,以比值为函数值的函数.引导学生把这个定义推广到任意角,通过单位圆和角的终边,探讨任意角的三角函数值的求法,最终得到任意角三角函数的定义.根据角终边所在位置不同,分别探讨各三角函数的定义域以及这三种函数的值在各象限的符号.最后主要是借助有向线段进一步认识三角函数.讲解例题，总结方法，巩固练习.3、情态与价值任意角的三角函数可以有不同的定义方法，而且各种定义都有自己的特点.过去习惯于用角的终边上点的坐标的“比值〞来定义，这种定义方法能够表现出从锐角三角函数到任意角的三角函数的推广，有利于引导学生从自己已有认知基础出发学习三角函数，但它对准确把握三角函数的本质有一定的不利影响，“从角的集合到比值的集合〞的对应关系与学生熟悉的一般函数概念中的“数集到数集〞的对应关系有冲突，而且“比值〞需要通过运算才能得到，这与函数值是一个确定的实数也有不同，这些都会影响学生对三角函数概念的理解.本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.这个定义清楚地说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.二、教学重、难点重点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；终边相同的角的同一三角函数值相等〔公式一〕.难点: 任意角的正弦、余弦、正切的定义〔包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号〕；三角函数线的正确理解.三、学法与教学用具任意角的三角函数可以有不同的定义方法，本节利用单位圆上点的坐标定义任意角的正弦函数、余弦函数.说明了正弦、余弦函数中从自变量到函数值之间的对应关系，也说明了这两个函数之间的关系.另外，这样的定义使得三角函数所反映的数与形的关系更加直接，数形结合更加紧密，这就为后续内容的学习带来方便，也使三角函数更加好用了.教学用具:投影机、三角板、圆规、计算器四、教学设想第一课时任意角的三角函数〔一〕提问：锐角O的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾.数,你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗?如图,设锐角α的顶点与原点O重合,始边与x轴的正半轴重合,么它的终边在第一象限.在α的终边上任取一点(,)P a b ,它与原点的距离0r =>.过P 作x 轴的垂线,垂足为M ,那么线段OM 的长度为a ,线段MP 的长度为b .那么sin MP bOP rα==;cos OM a OP r α==; tan MP bOM aα==.思考：对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：sin MP b OP α==; cos OM a OP α==; tan MP bOM aα==. 思考：上述锐角α的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示.那么,角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题――任意角的三角函数.【探究新知】1.探究:结合上述锐角α的三角函数值的求法,我们应如何求解任意角的三角函数值呢?显然,我们只需在角的终边上找到一个点,使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了.所以,我们在此引入单位圆的定义:在直角坐标系中,我们称以原点O 为圆心,以单位长度为半径的圆.2.思考:如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义?如图,设α是一个任意角,它的终边与单位圆交于点(,)P x y ,那么: (1)y 叫做α的正弦(sine),记做sin α,即sin y α=； 〔2〕x 叫做α的余弦(cossine),记做cos α,即cos x α=； 〔3〕y x 叫做α的正切(tangent),记做tan α,即tan (0)yx xα=≠. 注意:当α是锐角时，此定义与初中定义相同〔指出对边，邻边，斜边所在〕；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点(,)P x y ，从而就必然能够最终算出三角函数值.3.思考:如果知道角终边上一点,而这个点不是终边与单位圆的交点,该如何求它的三角函数值呢? 前面我们已经知道,三角函数的值与点P 在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.我们只需计算点到原点的距离r =那么sin α=,cos α=,tan yxα=.所以，三角函数是以为自变量,以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4.例题讲评例1.求53π的正弦、余弦和正切值. 例2．角α的终边过点0(3,4)P --，求角α的正弦、余弦和正切值.教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法:如例2:设3,4,x y =-=-那么5r ==.于是4sin 5y r α==-,3cos 5x r α==-,4tan 3y x α==. 5.巩固练习17P 第1,2,3题6.探究:请根据任意角的三角函数定义,将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再将这三种函数的值在各个象限的符号填入表格中：例3．求证：当且仅当不等式组sin 0{tan 0θθ<>成立时，角θ为第三象限角.8.思考:根据三角函数的定义,终边相同的角的同一三角函数值有和关系? 显然: 终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一:sin(2)sin k απα+=cos(2)cos k απα+= (其中k Z ∈) tan(2)tan k απα+=9.例题讲评例4.确定以下三角函数值的符号,然后用计算器验证: (1)cos250︒; (2)sin()4π-; (3)tan(672)︒-; (4)tan3π例5.求以下三角函数值:(1)'sin148010︒; (2)9cos4π; (3)11tan()6π- 利用公式一,可以把求任意角的三角函数值, 转化为求0到2π(或0︒到360︒)角的三角函数值. 另外可以直接利用计算器求三角函数值,但要注意角度制的问题. 10.巩固练习17P 第4,5,6,7题11.学习小结(1)本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同? (2)你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗? (3)请写出各三角函数的定义域；(4)终边相同的角的同一三角函数值有什么关系?你在解题时会准确熟练应用公式一吗?五、评价设计1．作业：习题1.2 A组第1,2题．2．比较角概念推广以后,三角函数定义的变化.思考公式一的本质是什么?要做到熟练应用.另外,关于三角函数值在各象限的符号要熟练掌握,知道推导方法.第二课时任意角的三角函数〔二〕【复习回顾】1、三角函数的定义；2、 三角函数在各象限角的符号；3、 三角函数在轴上角的值；4、 诱导公式〔一〕：终边相同的角的同一三角函数的值相等；5、 三角函数的定义域.要求：记忆.并指出，三角函数没有定义的地方一定是在轴上角，所以，凡是碰到轴上角时，要结合定义进行分析；并要求在理解的基础上记忆. 【探究新知】1．引入：角是一个图形概念，也是一个数量概念〔弧度数〕.作为角的函数——三角函数是一个数量概念〔比值〕，但它是否也是一个图形概念呢？换句话说，能否用几何方式来表示三角函数呢？2．[边描述边画]以坐标原点为圆心，以单位长度1为半径画一个圆，这个圆就叫做单位圆〔注意：这个单位长度不一定就是1厘米或1米〕.当角α为第一象限角时，那么其终边与单位圆必有一个交点(,)P x y ，过点P 作PM x ⊥轴交x 轴于点M ，那么请你观察:根据三角函数的定义：|||||sin |MP y α==；|||||cos |OM x α==随着α在第一象限内转动，MP 、OM 是否也跟着变化？ 3．思考：〔1〕为了去掉上述等式中的绝对值符号，能否给线段MP 、OM 规定一个适当的方向，使它们的取值与点P 的坐标一致？〔2〕你能借助单位圆，找到一条如MP 、OM 一样的线段来表示角α的正切值吗？我们知道，指标坐标系内点的坐标与坐标轴的方向有关.当角α的终边不在坐标轴时,以O 为始点、M 为终点，规定：当线段OM 与x 轴同向时，OM 的方向为正向，且有正值x ；当线段OM 与x 轴反向时，OM 的方向为负向，且有正值x ；其中x 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有cos OM x α==同理,当角α的终边不在x 轴上时,以M 为始点、P 为终点，规定：当线段MP 与y 轴同向时，MP 的方向为正向，且有正值y ；当线段MP 与y 轴反向 时，MP 的方向为负向，且有正值y ；其中y 为P 点的横坐标.这样,无论那种情况都有sin MP y α==4.像MP OM 、这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段〔direct line segment 〕.5.如何用有向线段来表示角α的正切呢?如上图,过点(1,0)A 作单位圆的切线,这条切线必然平行于轴,设它与α的终边交于点T ,请根据正切函数的定义与相似三角形的知识,借助有向线段OA AT 、,我们有tan y AT xα==我们把这三条与单位圆有关的有向线段MP OM AT 、、,分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线，统称为三角函数线.6.探究：〔1〕当角α的终边在第二、第三、第四象限时，你能分别作出它们的正弦线、余弦线和正切线吗？〔2〕当α的终边与x 轴或y 轴重合时，又是怎样的情形呢？7.例题讲解 例1．42ππα<<，试比较,tan ,sin ,cos αααα的大小.处理:师生共同分析解答,目的体会三角函数线的用处和实质. 8.练习19P 第1,2,3,4题9学习小结(1)了解有向线段的概念.(2)了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来.(3)体会三角函数线的简单应用. 【评价设计】1． 作业：比较以下各三角函数值的大小(不能使用计算器)(1)sin15︒、tan15︒〔2〕'cos15018︒、cos121︒〔3〕5π、tan 5π2．练习三角函数线的作图.同角三角函数的基本关系一、教学目标： 1、知识与技能(1) 使学生掌握同角三角函数的基本关系；(2)某角的一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；(3)利用同角三角函数关系式化简三角函数式；(4)利用同角三角函数关系式证明三角恒等式；〔5〕牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；〔6〕灵活运用同角三角函数关系式的不同变形，提高三角恒等变形的能力，进一步树立化归思想方法；〔7〕掌握恒等式证明的一般方法.2、过程与方法由圆的几何性质出发,利用三角函数线,探究同一个角的不同三角函数之间的关系；学习一个三角函数值，求它的其余各三角函数值；利用同角三角函数关系式化简三角函数式；利用同角三角函数关系式证明三角恒等式等.通过例题讲解，总结方法.通过做练习,巩固所学知识.3、情态与价值通过本节的学习，牢固掌握同角三角函数的三个关系式并能灵活运用于解题，提高学生分析，解决三角问题的能力；进一步树立化归思想方法和证明三角恒等式的一般方法.二、教学重、难点重点：公式1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =的推导及运用：〔1〕某任意角的正弦、余弦、正切值中的一个，求其余两个；〔2〕化简三角函数式；〔3〕证明简单的三角恒等式.难点: 根据角α终边所在象限求出其三角函数值；选择适当的方法证明三角恒等式.三、学法与教学用具利用三角函数线的定义, 推导同角三角函数的基本关系式:1cos sin 22=+αα及αααtan cos sin =,并灵活应用求三角函数值,化减三角函数式,证明三角恒等式等.教学用具:圆规、三角板、投影四、教学设想【创设情境】与初中学习锐角三角函数一样，本节课我们来研究同角三角函数之间关系，弄清同角各不同三角函数之间的联系，实现不同函数值之间的互相转化．【探究新知】 1. 探究:三角函数是以单位圆上点的坐标来定义的,你能从圆的几何性质出发,讨论一 下同一个角不同三角函数之间的关系吗?如图:以正弦线MP ,余弦线OM 和半径OP 三者的长构成直角三角形,而且1OP =.由勾股定理由221MP OM +=,因此221x y +=,即22sin cos 1αα+=.根据三角函数的定义,当()2a k k Z ππ≠+∈时,有sin tan cos ααα=.这就是说,同一个角α的正弦、余弦的平方等于1，商等于角α的正切.2. 例题讲评 例6.3sin 5α=-,求cos ,tan αα的值. sin ,cos ,tan ααα三者知一求二,熟练掌握.3. 巩固练习23P 页第1,2,3题4.例题讲评例7.求证:cos 1sin 1sin cos x xx x+=-. 通过本例题,总结证明一个三角恒等式的方法步骤. 5.巩固练习23P 页第4,5题 6.学习小结〔1〕同角三角函数的关系式的前提是“同角〞，因此1cos sin 22≠+βα，γβαcos sin tan ≠． 〔2〕利用平方关系时，往往要开方，因此要先根据角所在象限确定符号，即要就角所在象限进行分类讨论．五、评价设计(1) 作业：习题组第10,13题.(2) 熟练掌握记忆同角三角函数的关系式,试将关系式变形等,得到其他几个常用的关 系式;注意三角恒等式的证明方法与步骤.。
数学《三角函数-任意角的三角函数》人教版必修三第七章三角函授第二节教学设计
《任意角的三角函数》教学设计一、 新课导入师：同学们在初中的时候我们学过，在一个直角三角形中，如果锐角a 的对边为a ，邻边为b,斜边c ,则有Sina=a c ,cosA=bc ,tanA = ？当a 是一个锐角时，上述正弦、余弦、正切，能否通过a 终边上的点的坐标来定义呢？这种定义能否推广到任意角上呢？三角王国的奥秘无穷无尽，让我们一起来一探究竟吧！二、 讲授新知师：同学们当a 是锐角时，它的终边在第一象限内，如课件第十四页7-2-1所示，在a 终边上任取一个不同于坐标原点的点P （x ，y ），作PM 垂直Ox 于点M ，记r= y?+x?，则△OMP 是一个直角三角形，且OM=x ，PM=y,OP=r,由此可知sin a=OP PM =r y ，cos a=OP OM =r x ， tan a=OM PM =xy ，可以看出，任意角的正弦、余弦与正切可以用类似的方式定义，如图7-2-2所示，对于任意角a 来说，设P （x ，y)是a 终边上异于原点的任意一点，r=y?+x?，则三角形相似的知识可知r y 与rx ，跟P 在a 终边上的位置师：如图7-2-3所示，在65π的终边上取点P ，使得OP=2.，作PM ⊥Ox,则在RI △OMP 中，∠POM=π-65π=6π，因此MP=1,OM=3，从而可知P 的坐标为（-3，1），因此sin 65π=21，cos 65π=23- tan 65π=33-。
师：既然同学们学会了，那我们来看使锐角a 的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ,PM ⊥ x 轴于M,设P(x,y),|OP|=r.如图，那我们可知角a 的正弦、余弦、正切分别等于什么？是不是等于sin a=yr, cos a=xr , tan a=yx 。
接下来对于确定的角a, sin a ，cos a ，tan a 是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？是不是不改变啊，由此我们得知了一个结论:设a 是一个任意大小的角，P （x ，y)是a 终边上不同于坐标原点的任意一点，则它与原点的距离是r(r=x2+y2>0)，如图，那么(1)称yr 为角a 的正弦，记作sin a ，即sin a=yr ；(2)称xr 为角a 的余弦，记作cos a ，即cos a=xr ；(3)称yx 为角a 的正切，记作tan a ，即tan a=yx.由上可知，对于每一个角a，都有唯一确定的正弦、余弦与之对应；当a≠kπ+π2（k ）时，有唯一的正切与之对应.角a的正弦、余弦与正切，都称为a的三角函数。
高一数学 任意角的三角函数(定义)教案
芯衣州星海市涌泉学校师范大学附属中学高一数学教案：任意角的三角函数〔定义〕 教材：任意角的三角函数〔定义〕 目的：要求学生掌握任意角的三角函数的定义，继而理解角与=2k +(kZ)的同名三角函数值相等的道理。
过程：一、提出课题：讲解定义：1． 设是一个任意角，在的终边上任取〔异于原点的〕一点P 〔x,y 〕那么P 与原点的间隔02222>+=+=y x y x r〔图示见P13略〕 2．比值r y 叫做的正弦记作：ry =αsin 比值rx 叫做的余弦记作：r x =αcos 比值x y 叫做的正切记作：x y =αtan 比值y x叫做的余切记作：yx =αcot 比值x r 叫做的正割记作：xr =αsec 比值y r 叫做的余割记作：yr =αcsc 注意突出几个问题：①角是“任意角〞，当=2k +(k Z)时，与的同名三角函数值应该是相等的，即但凡终边一样的角的三角函数值相等。
②实际上，假设终边在坐标轴上，上述定义同样适用。
〔下面有例子说明〕③三角函数是以“比值〞为函数值的函数④0>r ，而x,y 的正负是随象限的变化而不同，故三角函数的符号应由象限确定〔今后将专题研究〕 ⑤定义域：二、例一的终边经过点P(2,3)，求的六个三角函数值解：13)3(2,3,222=-+=-==r y x∴sin =13133cos =13132 tan =23cot =32 sec =213csc =313 例二求以下各角的六个三角函数值⑴0⑵⑶23π⑷2π 解：⑴⑵⑶的解答见P16-17⑷当=2π时r y x ==,0 ∴sin 2π=1cos 2π=0tan 2π不存在cot 2π=0 sec 2π不存在csc 2π=1 例三教学与测试P103例一求函数x xx xy tan tan cos cos +=的值域解：定义域：cosx 0∴x 的终边不在x 轴上又∵tanx0∴x 的终边不在y 轴上 ∴当x 是第Ⅰ象限角时，0,0>>y xcosx=|cosx|tanx=|tanx|∴y=2 …………Ⅱ…………,0,0><y x |cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=2 …………ⅢⅣ………,0,00,0<><<y x y x |cosx|=cosx|tanx|=tanx∴y=0 例四教学与测试P103例二⑴角的终边经过P(4,3),求2sin +cos 的值⑵角的终边经过P(4a,3a),(a 0)求2sin +cos的值 xo y P(2,-3)解：⑴由定义：5=r sin =53cos =54∴2sin +cos =52 ⑵假设0>aa r 5=那么sin =53cos =54∴2sin +cos =52 假设0<a a r 5-=那么sin =53cos =54∴2sin +cos =52 三、小结：定义及有关注意内容四、作业：课本P19练习1P20习题3教学与测试P1044、5、6、7。
高中数学_任意角的三角函数教学设计学情分析教材分析课后反思
教学重点、难点
重点
任意角的函数值得定义
难点
求解任意角的三角函数值
教学
方法
图形结合、小组讨论法、讲练结合法
教学资源与教学手段
教学手段：多媒体辅助教学
教学资源：教具（直尺，三角板，圆规等）、幻灯片、投影仪。
教学
过程
教师教授
活动
学生学习
活动
设计意图
复
习
引
学生圆规画出单位圆，将任意角置于单位圆中，结合锐角三角函数值的表示方法，同学积极思考如何表示任意角的三角函数。
采用提问方式，使学生记忆更加深刻，同时鼓励学生勤于思考。温故而知新，为探究新知识做准备。
学生了解在直角坐标系下如何利用角的终边的坐标表示锐角三角函数，对任意角三角函数如何定义及表示，产生了强烈的求知欲望，使得同学们都集中了注意力。
定义推广：
设角 是一个任意角， 是终边上的任意一点，点 与原点的距离
那么____叫做 的正弦，即_____；____叫做 的余弦，即_____；____叫做 的正切，即____.
变式2.若角 的终边过点 则角 的正弦，余弦，正切值又为多少?
学生通过观察和思考，学习如何利用单位圆表示任意角的三角函数。探 Nhomakorabea究
发
现
学
习
新
知
（22分钟）
探究第一站——锐角三角函数
问题1：在直角坐标系中如何用坐标表示锐角三角函数？
问题2：如果改变点 在终边上的位置，这三个比值会改变吗？
问题3：点 的位置在终边上的哪个位置可以更简洁地表示锐角的三角函数？
探究第二站——任意角的三角函数
问题4：角有正角、负角和零角，在这样的环境下，你认为对于任意角 ，
任意角的三角函数 说课稿 教案 教学设计
任意角的三角函数●三维目标1．知识与技能(1)掌握任意角的三角函数的定义．(2)已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值．(3)记住三角函数的定义域、值域、诱导公式一．2．过程与方法(1)通过直角三角形中三角函数定义到单位圆中三角函数定义，最后到直角坐标系中一般化的三角函数定义，培养学生发现数学规律的思维方法和能力．(2)树立映射观点，正确理解三角函数是以实数为自变量的函数．(3)通过对定义域、三角函数值的符号、诱导公式一的推导，提高学生分析、探究、解决问题的能力．3．情感、态度与价值观(1)使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度(自变量)与比值(函数值)的一种联系方式．(2)学习转化的思想，培养学生严谨治学、一丝不苟的科学精神．●重点、难点重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义(包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号)，以及这三种函数的第一组诱导公式．公式一是本小节的另一个重点．难点：利用角的终边上点的坐标刻画三角函数，三角函数的符号以及三角函数的几何意义．●教学建议学生已经学过锐角三角函数，它是用直角三角形边长的比来刻画的．锐角三角函数的引入与“解三角形”有直接关系．任意角的三角函数是刻画周期变化现象的数学模型，它与“解三角形”已经没有什么关系了．因此，与学习其他基本初等函数一样，学习任意角的三角函数，关键是要使学生理解三角函数的概念、图象和性质，并能用三角函数描述一些简单的周期变化规律，解决简单的实际问题．先以锐角三角函数为引子，利用单位圆上点的坐标定义三角函数，从而很容易建立角的终边和单位圆的交点坐标、单位圆中的三角函数线之间的关系；在此基础上定义任意角的三角函数，并直接用定义研究三角函数的定义域、函数值的符号、诱导公式一等问题．●教学流程知识点1任意角的三角函数【问题导思】使锐角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P，PM⊥x轴于M，设P(x，y)，|OP|＝r.1．角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？【提示】sin α＝yr，cos α＝xr，tan α＝yx.2．对于确定的锐角α，sin α、cos α、tan α的值是否随P点在终边上的位置的改变而改变？【提示】不会．3．在问题1中，取|OP|＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？【提示】sin α＝y，cos α＝x，tan x＝yx.1．单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆．2．定义：图1－2－1在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)那么：(1)y叫做α的正弦，记作sin_α，即sin α＝y；(2)x叫做α的余弦，记作cos_α，即cos α＝x；(3)yx叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝yx(x≠0)．对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的．故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数．3．正弦函数sin α的定义域是R；余弦函数cos α的定义域是R；正切函数tan α的定义课标解读1.掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义及其应用．(重点)2．初步了解有向线段的概念，会利用单位圆中的三角函数线表示任意角的正弦、余弦、正切．(难点)3．掌握诱导公式及其应用．(重点难点)域是{x |x ∈R ，且x ≠k π＋π2，k ∈Z }．知识点2 正弦、余弦、正切函数值在各象限的符号【问题导思】三角函数在各象限的符号由什么来确定？【提示】 由三角函数的定义知三角函数在各象限的符号由角α终边上任意一点的坐标来确定．1－2－2口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．知识点3诱导公式【问题导思】当角α分别为30°，390°，－330°时，它们的三角函数值有什么关系？为什么？ 【提示】 相等，因为它们的终边重合．诱导公式一sin (α＋k ·2π)＝sin α，k ∈Ztan (α＋k ·2π)＝tan α，k ∈Zcos (α＋k ·2π)＝cos α，k ∈Z知识点4有向线段与三角函数线在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P ，过P 作PM ⊥x 轴，过A (1,0)作AT ⊥x 轴，交终边或其反向延长线于点T ，如图所示：结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α 与MP ，OM ，AT 的关系吗？ 【提示】 可以，sin α＝|MP |，cos α＝|OM |，tan α＝|AT |. 1．有向线段：带有方向的线段． 2．三角函数线：1－2－3类型1用三角函数的定义求三角函数值例1 已知角θ的终边上有一点P (－3，m )，且sin θ＝24m ，求cos θ与tan θ的值． 【思路探究】 此类问题的解答一般根据三角函数的定义求解．对于本题可由定义求出m 的值，再求cos θ与tan θ的值．【自主解答】 点P 到原点的距离r ＝(－3)2＋m 2＝3＋m 2， ∴sin θ＝m 3＋m 2＝24m ，解得m ＝0或m ＝±5. (1)当m ＝0时，cos θ＝－33＝－1，tan θ＝0.(2)当m ＝5时，cos θ＝－38＝－64，tan θ＝5－3＝－153.(3)当m ＝－5时，cos θ＝－38＝－64，tan θ＝－5－3＝153.规律方法1．当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，要根据问题的实际情况对参数进行分类讨论．2．解决此类问题有两种方法：(1)先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值；(2)注意到角的终边为射线，所以应分两种情况处理，取射线上任意一点坐标(a ，b )，则对应角的正弦值sin α＝b a 2＋b 2，余弦值cos α＝aa 2＋b2. 变式训练a ≠0)，求sin α，cos α，tan α的值； sin α，cos α，tan α的值． 是第四象限角，则 (2)因为角α的终边在直线y ＝3x 上，所以可设P (a ，3a )(a ≠0)为角α终边上任意一点． 则r ＝a 2＋(3a )2＝2|a |(a ≠0)．若a ＞0，则α为第一象限角，r ＝2a ，所以 sin α＝3a 2a ＝32， cos α＝a 2a ＝12，tan α＝3aa＝ 3. 若a ＜0，则α为第三象限角，r ＝－2a ，所以sin α＝3a －2a＝－32，cos α＝－a 2a ＝－12，tan α＝3aa＝ 3.例2 (1)a 2sin(－1 350°)＋b 2tan 405°－2ab cos(－1 080°)； (2)sin(－11π6)＋cos 125π·tan 4π.【思路探究】 利用诱导公式，把每个角化为[0,2π)间的角，再利用特殊角的三角函数求值．【自主解答】 (1)原式＝a 2sin(－4×360°＋90°)＋b 2tan(360°＋45°)－2ab cos(－3×360°) ＝a 2sin 90°＋b 2tan 45°－2ab cos 0° 利用诱导公式一可把任意角的三角函数化归为[0,2π)内的三角函数，实现“负化正，．一定要熟记一些特殊角的三角函数，有利于准确求值． (1)cos 253π＋tan(－154π)；(2)sin 810°＋tan 1 125°＋cos 420°. 【解】 (1)cos 253π＋tan(－154π)＝cos(8π＋π3)＋tan(－4π＋π4)＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32.(2)原式＝sin(2×360°＋90°)＋tan(3×360°＋45°)＋cos(360°＋60°) ＝sin 90°＋tan 45°＋cos 60° ＝1＋1＋12＝52.类型3三角函数线及其应用例3 在单位圆中画出适合下列条件的角α的终边范围，并由此写出角α的集合． (1)sin α≥32；(2)cos α≤－12. 【思路探究】 根据三角函数线．在单位圆中首先作出满足sin α＝32，cos α＝－12的角的终边，然后由已知条件确定角α的终边范围．【自主解答】 (1)作直线y ＝32，交单位圆于A ，B 两点，连接OA ，OB ，则OA 与OB 围成的区域(图(1)中阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋π3≤α≤2k π＋2π3，k ∈Z }．(2)作直线x ＝－12，交单位圆于C ，D 两点，连接OC 与OD ，则OC 与OD 围成的区域(图(2)中的阴影部分)即为角α的终边的范围．故满足条件的角α的集合为{α|2k π＋2π3≤α≤2k π＋4π3，k ∈Z }． 规律方法1．三角函数线是利用数形结合思想解决有关问题的工具，要注意利用其来解决问题． 2．三角函数线的主要作用是解三角不等式、比较大小及求函数的定义域，在求三角函数定义域时，一般转化为不等式(组)，因此必须牢固掌握三角函数线的画法及意义．变式训练求函数y ＝2cos x －1的定义域．【解】 由题意得：2cos x －1≥0，则有cos x ≥12.如图在x 轴上取点M 1使OM 1＝12，过M 1作x 轴的垂线交单位圆于点P 1，P 2，连接OP 1，OP 2.则OP 1与OP 2围成的区域(如图中阴影部分)即为角x 的终边的范围．∴满足cos x ≥12的角的集合即y ＝2cos x －1的定义域为：{x |2k π－π3≤x ≤2k π＋π3，k ∈Z }．易错易误辨析 忽视三角函数的定义域致误典例 求满足y ＝sin x ·tan x 的x 的取值范围．【错解】 由题意知，只需要sin x ·tan x ≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ sin x ≥0，tan x ≥0，①或⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0，tan x ≤0，② 对①可知x 为第一象限角或终边在x 轴或y 轴上的角． 对②可知x 为第四象限角或终边在x 轴或y 轴上的角． 因此x 的取值范围为－π≤＋π或＝k π，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≥0，tan x ≥0，x ≠k π＋π2(k ∈Z )，或⎩⎪⎨⎪⎧sin x ≤0，tan x ≤0，x ≠k π＋π2(k ∈Z ).根据x 所在象限情况可判断x 的取值范围是{x |2k π－π2＜x ＜2k π或2k π＜x ＜2k π＋π2或x ＝k π，k ∈Z }．课堂小结1．三角函数的定义是以后学习一切三角函数知识的基础，要充分理解其内涵，把握住三角函数值只与角的终边所在位置有关，与所选取的点在终边上的位置无关这一关键点．2．诱导公式一指的是终边相同的角的同名三角函数值相等，反之不一定成立，可结合三角函数的定义进行记忆．3．三角函数值的符号主要涉及开方、去绝对值等计算问题，同时也要注意终边在坐标轴上的角的三角函数值情况，因角的终边经过的点决定了三角函数值的符号，所以当点的位置不确定时注意进行讨论，体现了分类讨论的思想．4．三角函数线的引入，为我们解决三角函数问题提供了几何方法，体现了数形结合的思想．其主要作用是解三角不等式、比较三角函数值的大小和求函数定义域．当堂双基达标1．cos(－11π6)等于( )A.12 B ．－12C.32D ．－32【解析】 cos(－11π6)＝cos(－2π＋π6)＝cos π6＝32.【答案】 C2．(2013·包头高一检测)已知cos θ·tan θ＜0，那么角θ是( ) A ．第一或第二象限角 B ．第二或第三象限角 C ．第三或第四象限角 D ．第一或第四象限角【解析】 由cos θtan θ＜0知，cos θ与tan θ异号，所以θ在第三或第四象限． 【答案】 C3．用三角函数线比较sin 1和cos 1的大小，结果是 _______________．【解析】 如图，借助三角函数线可知【答案】 sin 1>cos 14．已知角α的终边过点P (5，a )，且tan α＝－125，求sin α＋cos α的值．【解】 ∵角α的终边过点P (5，a )且tan α＝－125，∴a 5＝－125，∴a ＝－12. 因此r ＝|OP |＝52＋a 2＝13，sin α＝－1213，cos α＝513，故sin α＋cos α＝－1213＋513＝－713.课后知能检测一、选择题α＝( ) α的终边与单位圆交点的横坐标为角α的余弦值，的值为( )【解析】 cos 2α＝cos(π3＋4k π)＝cos π3＝12.【答案】 B3．(2013·铜川高一检测)已知角α的终边过点P (－3,4)，则sin α＋cos α＝( ) A.35 B ．－45 C.15 D ．－15【解析】 ∵r ＝x 2＋y 2＝(－3)2＋42＝5， ∴sin α＋cos α＝y ＋x r ＝15.【答案】 C4．(2013·周口高一检测)如果点P (sin θcos θ，2cos θ)位于第三象限，那么θ在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解析】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧sin θcos θ＜02cos θ＜0，∴sin θ＞0且cos θ＜0，故θ在第二象限． 【答案】 B5．若420°角的终边所在直线上有一点(－4，a )，则a 的值为( )A ．4 3B ．－4 3C ．±4 3 D. 3【解析】 由三角函数的定义有：tan 420°＝a －4.【答案】 28．角α的终边上有一点M (a ，a )，a ∈R 且a ≠0，则sin α的值为________．【解析】 当a ＞0时，r ＝a 2＋a 2＝2a ，sin α＝y r ＝a 2a ＝22. 当a ＜0时，r ＝a 2＋a 2＝－2a ，sin α＝y x ＝a －2a ＝－22. ∴sin α＝22或－22. 【答案】22或－22 三、解答题9．判断下列各式的符号．(1)sin 105°·cos 230°；(2)sin 240°·sin 300°；(3)cos 16π3·sin π； (4)cos 4·cos 5.【解】 (1)∵105°是第二象限角，∴sin 105°＞0，又∵230°是第三象限角，∴cos 230°＜0，∴sin 105°·cos 230°＜0.(2)∵240°是第三象限角，∴sin 240°＜0；)sin 750°；(2)cos(－233π)＋tan 17π4. 【解】 (1)原式＝sin(－4×360°＋120°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°) ＝sin 120°cos 30°＋cos 60°sin 30° ＝32×32＋12×12＝1. (2)原式＝cos[π3＋(－4)×2π]＋tan(π4＋2×2π) ＝cos π3＋tan π4＝12＋1＝32. 11．若角α的终边与直线y ＝3x 重合，且sin α＜0，又P (m ，n )是角α终边上一点，且|OP |＝10，求m －n 的值．【解】由题意，P(m，n)是解α终边上一点，sin α＝yr＝nm2＋n2＜0，∴n＜0.又角α的终边与y＝3x重合，故n＝3m＜0，∴m＜0，由OP＝10，则m2＋n2＝10，10m2＝10，m2＝1，∴m＝－1，由n＝3m，∴n＝－3，∴m－n＝－1－(－3)＝2.【教师备课资源】1．三角函数线的应用(2013·聊城高一检测)如果π4＜α＜π2，那么下列不等式成立的是()A．cos α＜sin α＜tan αB．tan α＜sin α＜cos αC．sin α＜cos α＜tan αD．cos α＜tan α＜sin α【解析】如图所示，在单位圆中分别作出α的正弦线MP、余弦线OM、正切线AT，很容易地观察出OM＜MP＜AT，即cos α＜sin α＜tan α.【答案】 A1．单位圆中的三角函数线可以用来解决同名三角函数值比较大小．解三角不等式．研究三角函数值域或最值等问题．2．准确做出单位圆中的三角函数线是解决这类问题的关键．。
“任意角的三角函数”教学设计
【 设计 意 图 】 学生 集体 朗读 ，一是 集 中注意 力尽 快
这 些 公理 除 了必 须相 互 一致 外 ，完 全 出 自数 学家 心 灵 的 进入上课 状态，二是在理科教学中增加 点文学味 ，三是 自由创 造 。…… 它将 是 定义 、法 则 和三 段 论 的游 戏 ， 既 引出周期现象。接下来指 出在必修１ 中学习过两种重要 函 无 动力也 无 目的 ” （ ． 朗 《 学是什 么 》 ）。 Ｒ柯 数
点 的坐标 定 义 正弦 函 数 、余 弦 函数 。这 样 可 以使 学生 在 同 。昼 夜循环 潮起 伏 ，冬春更 替草 枯荣 。 ”
续借 助单 位 圆 的直 观讨 论 三 角 函数 的 图象 与性 质奠 定 坚 多 ‘ 一 定 规 律 周 而 复始 ’ 的 现 象 ，称 之 为 ‘ 期 现 按 周 实 的 基 础 ， 删 减 任 意角 的 余 切 、 正 割 、余 割 概 念 的 学 象 ’ 。我 们 曾学 习过用 ‘ 指数 函数 ’模 型刻 画 人 口增 长
／ 课程设计 ／
“ 任意角的三角 函数 ”教学设计
龚亮亮
１教学 内容解析
三 角 函 数 是 描 述 客 观 世 界 中周 期 性变 化 规 律 的 重
２教学 目标
１ ）知 识 和 技 能 目标 ： 了解 任 意 角 三 角 函 数 定义 产
要 数 学模 型 ，在 数 学和 其他 领 域 中具 有重 要 的 作用 。本 生 的 背景 和应 用 ；掌握 任 意角 的 正弦 、余 弦 、正 切 的定 章 中，学 生将 在 学 习函 数概 念 与基 本 初等 函数 Ｉ的基础 义 ；加深 对 函数一般 概念 的理解 。 上 ，学 习三角 函数及 其 基本 性 质 ，这 是 学生 在 高 中阶段 ２ ）过 程 与 方 法 ：通 过参 与 知 识 的 “ 现 ” 与 “ 发 形 学 习 的最 后一 个 基本 初 等 函数 。与 以往 的三 角 函数 内容 成 ” 的过 程 ， 培 养 合 情 推 理 的 能力 ， 体 会 函 数 模 型 思 相 比较 ，本 章加 强 了三 角 函数 作为 刻 画现 实 世 界 的数学 想 、数 形 结合 思 想 ；培 养观 察 、分 析 、探 索 、 归纳 、类 模 型 ，借 助单 位 圆理 解 三角 函 数 的概念 、性质 ， 以及通 比及 解决 问题 的能力 。 过建 立三 角函数 模型解 决 实际 问题等 方面 的 内容 。 ３ ）情 感 、 态 度 、价 值 观 ：在 数 学 史 的 学 习 中开 阔 本 节 课 是在 学 习完 “ 意 角 和 弧 度 制 ”后 的 一 节 视野 ，感 受数 学 文化 的 熏陶 ，从 中感悟 数 学概 念 的合 理 任 新 授课 ——任 意 角 的 三角 函 数 ， 内容 虽 然属 于 “ 统 内 性 、严 谨 性 、科 学性 ，感 悟 数 学 的本质 ，培养 追求 真 理 传 容 ” ，但 为 了更好 地 突 出 “ 三角 函 数作 为 描述 周 期变 化 的 精 神 。 的数 学 模 型 ”这 一 本质 ， 教 材 通 过 现 实世 界 的 周 期 现 ３教 学过程设计 象 ，在 学生 感 受 引入 三角 函 数必 要 性 的基础 上 ，引 出三 ３ １ 导 入 ． 角 函数概 念 ，特 别 强 调单 位 圆 的直 观作 用 ，用 单位 圆上 三角 函数 学 习之 初 就感 受 到 单位 圆 的重 要性 ， 同时为 后 学生 集 体 朗读 ： “ 升 西落 照苍 穹 ，影 短 影长 角 不 东 教 师 ： “曰出 日落 ，寒 来 暑 往 ， 自然 界 中存 在 许
4.3 任意角的三角函数教案
4.3 任意角的三角函数教学目标（1）掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解如何利用与单位圆有关的有向线段，将任意角α的正弦、余弦、正切函数值分别用正弦线、余弦线、正切线表示出来；（2）了解余切、正割、余割的定义；掌握正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各象限的符号；（3）掌握公式一，会运用它们把求任意角的正弦、余弦、正切函数值分别转化为求0°到360°的这三种三角函数值；（4）通过树立映射的观点，建立正确理解三角函数是以实数为自变量的函数的能力；（5）体会同一角的三角函数值，不因在其终边上取点的变化而变化，从而启示在研究问题时，要能在千变万化中，抓住事物的本质属性，不被表面现象所迷惑．教学建议一、知识结构先通过平面直角坐标系定义了任意角的正弦、余弦、正切函数，并利用与单位圆有关的线段，将这些函数值分别用它们的几何形式表示出来；然后定义了任意角的正切、正割、余割函数．接着着重研究正弦、余弦、正切函数的定义域和这三种函数的值在各个象限的符号；并根据三角函数的定义，得出“终边相同的角的同一三角函数的值相等”的结论及把此结论表示成第一组诱导公式（公式一）．二、重点、难点分析重点是任意角的正弦、余弦、正切的定义及在各象限内的符号和定义域，诱导公式一；难点是用单位圆中的有向线段表示角的正弦、余弦、正切值．（1）定义中的六个比值等，与点在终边上的位置无关，只与角的大小有关；它们都可以看作以角为自变量，以比值为函数值的函数，分别称为正弦函数，余弦函数等．（2）三角函数在各象限内的符号，是根据三角函数的定义，终边上的点坐标符号来确定的，十分重要，在今后的学习中经常用到．（3）定义域也是根据三角函数的定义，要求其有意义，即分母不为0而得到角的取值范围．（4）诱导公式（一）也是利用任意三角函数的定义，结合终边相同的角定义得出，即终边相同的角的同名三角函数值相等：．（5）三角函数线是表示一个角三角函数值的几何方法，它们的大小即长度等于的三角函数值的符号．特别注意的是它们均有方向，即起点和终点，记法：当两个端点都在轴上时，以原点为起点（余弦线），当两个端点有一个在轴上时，以轴上的点为起点（正弦线、余弦线），特别是正弦线和正切线在后面三角函数的图象中，用来作出正弦曲线和正切曲线，所必须清楚其意义．三、关于任意角的三角函数的教法建议（1）由三角函数的定义可知，若已知角终边上一点，便可求出其各三角函数值，或通过三角函数定义，可知其二求其一．三角函数的符号与角所在象限有关，采用上图来记忆．（2）必须讲清并强调这六个比值的大小都与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关，即它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数．（3）教学中应注意，语言要准确严密．首先“六种函数统称为三角函数”这句话，说明不是这六种函数的函数，都不能说是三角函数．（4）教学中，应当引导学生深刻认识三角函数符号的含义．如，这个符号，它表示，即角的正弦，不能把看成与的乘积，犹如不能看成与的乘积一样，离开了自变量，符号就没有意义了．同时也应注意，每个函数记号的第一个字母“”或“”或“”都不能大写，不能让学生养成写“”、“”等习惯．教学设计示例（一）任意角的三角函数教学目标：1．通过对初中锐角三角函数定义的回忆，掌握任意角三角函数的定义法，并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值．2．掌握已知角终边上一点坐标，求四个三角函数值．（即给角求值问题）教学重点：任意角的三角函数的定义．教学难点：任意角的三角函数的定义，正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示．教学用具：直尺、圆规、投影仪．教学步骤：1．设置情境角的范围已经推广，那么对任一角是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢？本节课就来讨论这一问题．2．探索研究（1）复习回忆锐角三角函数我们已经学习过锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量，以比值为函数值，定义了角的正弦、余弦、正切、余切的三角函数，本节课我们研究当角是一个任意角时，其三角函数的定义及其几何表示．（2）任意角的三角函数定义如图1，设是任意角，的终边上任意一点的坐标是，当角在第一、二、三、四象限时的情形，它与原点的距离为，则．定义：①比值叫做的正弦，记作，即．②比值叫做的余弦，记作，即．图1③比值叫做的正切，记作，即．同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件提问：对于确定的角，这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否有关呢？利用三角形相似的知识，可以得出对于角，这三个比值的大小与点在角的终边上的位置无关，只与角的大小有关．请同学们观察当时，的终边在轴上，此时终边上任一点的横坐标都等于0，所以无意义，除此之外，对于确定的角，上面三个比值都是惟一确定的．把上面定义中三个比的前项、后项交换，那么得到另外三个定义．④比值叫做的余切，记作，则．⑤比值叫做的正割，记作，则．⑥比值叫做的余割，记作，则．可以看出：当时，的终边在轴上，这时的纵坐标都等于0，所以与的值不存在，当时，的值不存在，除此之外，对于确定的角，比值，，分别是一个确定的实数，所以我们把正弦、余弦，正切、余切，正割及余割都看成是以角为自变量，以比值为函数值的函数，以上六种函数统称三角函数．（3）三角函数是以实数为自变量的函数对于确定的角，如图2所示，，，分别对应的比值各是一个确定的实数，因此，正弦，余弦，正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射，它们都是以角为自变量，以比值为函数值的函数，当采用弧度制来度量角时，每一个确定的角有惟一确定的弧度数，这是一个实数，所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量，以比值为函数值的函数．即：实数→角（其弧度数等于这个实数）→三角函数值（实数）（4）三角函数的一种几何表示利用单位圆有关的有向线段，作出正弦线，余弦线，正切线，如下图3．图3设任意角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，过作轴的垂线，垂足为；过点作单位圆的切线，这条切线必然平行于轴，设它与角的终边（当为第一、四象限时）或其反向延长线（当为第二、三象限时）相交于，当角的终边不在坐标轴上时，我们把，都看成带有方向的线段，这种带方向的线段叫有向线段．由正弦、余弦、正切函数的定义有：这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余弦线、正切线．当角的终边在轴上时，正弦线、正切线分别变成一个点；当角的终边在轴上时，余弦线变成一个点，正切线不存在．（5）例题讲评【例1】已知角的终边经过，求的六个三角函数值（如图4）．解：∵∴提问：若将改为，如何求的六个三角函数值呢？（分，两种情形讨论）【例2】求下列各角的六个三角函数值（1）；（2）；（3）．解：（1）∵当时，，∴，，不存在，，不存在（2）∵当时，，∴，不存在不存在（3）当时，，∴不存在不存在【例3】作出下列各角的正弦线，余弦线，正切线．（1）；（2）．解：，的正弦线，余弦线，正切线分别为．【例4】求证：当为锐角时，．证明：如右图，作单位圆，当时作出正弦线和正切线，连∵∴∴利用三角函数线还可以得出如下结论的充要条件是为第一象限角．的充要条件是为第三象限角．练习（学生板演，利用投影仪）（1）角的终边在直线上，求的六个三角函数值．（2）角的终边经过点，求，，，的值．（3）说明的理由．．解答：（1）先确定终边位置①如在第一象限，在其上任取一点，，则，②如在第三象限，在终边上任取一点，则，（2）若，不妨令，则在第二角限∴（3）在终边上任取一点，因为与终边相同，故也为角终边上一点，所以成立．说明：以后会知道，求三角函数值的方法有多种途径．用定义求角的三角函数值，是基本方法之一．当角终边不确定时，要首先确定终边位置，然后再在终边上取一个点来计算函数值．3．反馈训练（1）若角终边上有一点，则下列函数值不存在的是（）．A．B．C．D．（2）函数的定义域是（）．A．B．C．D．（3）若，都有意义，则．（4）若角的终边过点，且，则．参考答案：（1）D；（2）B；（3）或8，说明点在半径为的圆上；（4）－6．4．本课小结利用定义求三角函数值，首先要建立直角坐标系，角顶点和始边要按既定的位置设置．角的三角函数定义式，其实是比例的化身，它的背后是相似形在支称着，不过这个定义具有一般性，如轴上角的三角函数，如果没有定义作为论据，欲求其函数性就不是很容易．分类讨论（角位置）是三角函数求值过程中，使用频率非常高的一个数学思想，而分类标准往往是四个象限及四个坐标半轴．课时作业：1．已知角的终边经过下列各点，求角的六个三角函数值．（1）（2）2．计算（1）（2）（3）（4）3．化简（1）（2）（3）（4）参考答案：1．（1），，，，，（2），，，，，2．（1）－2；（2）8；（3）－1；（4）3．（1）0；（2）；（3）；（4）教学设计示例（二）任意角的三角函数第二课时教学目标：1．根据任意角三角函数定义，归纳出三角函数在各象限的符号，并能根据角的某种函数值符号，反馈出可能存在的象限．2．掌握诱导公式一，并能运用诱导公式把角的三角函数值转化为中角的三角函数值．教学重点：终边相同的角的同一三角函数值相等．教学难点：运用诱导公式把角的三角函数值转化为中角的三角函数值．教学用具：直尺、圆规、投影仪．教学过程1．设置情境设角均是第二象限角，依三角函数定义，为了求的四个三角函数值，只要分别在终边上取点、，由比值，，，，及，，，可知，这两组比值虽然不一定相等，但由于均在第二象限，故同号，同号，因而可见，的正弦、余弦、正切、余切值，符号是对应相同时。
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《任意角的三角函数》教学设计一、学情分析在初中学生学习过锐角三角函数。
因此本课的内容对于学生来说，有比较厚实的基础，新课的引入会比较容易和顺畅。
学生要面对的新的学习问题是，角的概念推广了，原先学生所熟悉的锐角三角函数的定义是否也可以推广到任意角呢？通过这个问题，让学生体会到新知识的发生是可能的，自然的。
二、教学目标分析（一）知识与技能1．掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；2．已知角α终边上一点，会求角α的各三角函数值；3．记住三角函数的定义域、值域以及象限符号。
（二）过程与方法锐角三角函数就是以锐角为自变量，以比值为函数值的函数．引导学生把这个定义推广到任意角，通过单位圆和角的终边，探讨任意角的三角函数值的求法，最终得到任意角三角函数的定义．根据角终边所在位置不同，分别探讨各三角函数的定义域、象限符号。
（三）情感、态度与价值观1．使学生认识到事物之间是有联系的，三角函数就是角度（自变量）与比值（函数值）的一种联系方式；2．通过共同探究，发现新知的过程，培养学生团结协作的意识以及大胆猜想、勇于探索的科学精神．三、教学重点、难点分析（一）教学重点三角函数是函数的一个特例，与指数函数、对数函数具有相同的地位，但是在具体的定义方式上又有所不同，应该按照概念的体系将之纳入到原有的认知结构中，揭示彼此之间的关系，认识新概念的本质属性。
因此本课时的教学重点是：通过概念的同化与精致过程，帮助学生理解任意角的正弦、余弦、正切的定义（包括这三种三角函数的定义域和函数值在各象限的符号），并在这个过程中突出单位圆的作用。
（二）教学难点本课时研究的是任意角的三角函数，学生在初中阶段研究过锐角三角函数，研究范围是锐角；研究方法是几何的，没有坐标系的参与；研究目的是为解直角三角形服务。
以上三点都是与本课时不同的，因此在教学过程中要发展学生的已有认知经验，发挥其学生的主体作用。
具体而言要做到：明确研究范围的变化，开阔学生的视野，并揭示由此带来的新问题，激发学生的学习兴趣；借助单位圆在坐标系中进行研究，要先将锐角的三角函数问题置于坐标系中，帮助学生利用坐标系借助单位圆重新认识锐角三角函数，这样做激活了学生的已有知识经验，并且用新的视角认识已有知识经验，复习了旧知识，同时为新的研究内容做好铺垫。
认识一个函数，关键是认识函数的三要素。
在任意角的三角函数学习过程中也可能在自变量和对应法则上出现问题，应该注意明确任意角的三角函数的三要素，比如正弦函数y =sin α中自变量是角α，并且α∈R ，对应法则是一个角与其正弦值对应，至于这个值怎么计算，在此处是规定为角α终边与单位圆交点的纵坐标，通过例2可以看出，也可以利用比值定义。
对于一次函数、二次函数也需要将自变量的值进行计算得到函数值，这一点本质上是统一的，要引导学生类比理解。
综合上述分析，本课时的教学难点是：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数符号.四、学法与教学用具分析利用“班班通”的几何画板改变角的位置，认识角的终边位于不同象限时如何定义角的三角函数值，充实学生的直观感知材料，帮助学生形成比较全面的认知。
五、教学过程设计（一）创设情境，导入新课1、复习引入（情景1）我们在初中通过锐角三角形的边角关系，学习了锐角的正弦、余弦、正切等三个三角函数. 请回想：这三个三角函数分别是怎样规定的？（设计意图：温故而知新。
要让学生体会知识的产生、发展过程，就要从源头上开始，从学生现有认知状况开始。
）2. 引伸铺垫、创设情景（情景2）我们已经把锐角推广到了任意角，锐角的三角函数概念也能推广到任意角吗？试试看，可以独立思考和探索，也可以互相讨论！（设计意图：现有认知水平和认知能力出发，创设问题情景，让学生产生知识冲突，进行必要启发，将学生思维引上自主探索、合作交流的再创造征途。
）留时间让学生独立思考或自由讨论，教师参与讨论或巡回对学困生作启发引导. 能推广吗？怎样推广？针对刚才的问题点名让学生回答. 用角的对边、邻边、斜边比值的说法显然是受到阻碍了，由于1.1节已经以直角坐标系为工具来研究任意角了，学生一般会想到（否则教师进行提示）继续用直角坐标系来研究任意角的三角函数.（二）主题探究，合作交流问题1 本章研究的问题是三角函数，函数的研究离不开平面直角坐标系。
现在请你 结合初中时我们学习的锐角三角函数的定义，你能用直角坐标系中角的终边上的点的坐标来表示锐角三角函数吗？（设计意图：将已有知识坐标化,分化难点。
用新的观点再认识学生的已有知识经验，sin α=斜边对边，con α=斜边邻边，（图1）发挥学生的主体作用，同时使本课时的学习与学生的已有知识经验紧密联系起来。
）预计的回答：学生可以回忆出初中学过的锐角三角函数的定义，但是在用坐标语言表述时可能会出现困难——即使将角置于坐标系中但是仍然习惯用三角形边的比值表示锐角三角函数，需要教师引导学生将之转换为用终边上的点的坐标表示锐角三角函数。
解答过程：（1）再现锐角三角函数的定义：如图，在直角△POM 中，∠M 是直角，于是。
（2）坐标化：如图，建立平面直角坐标系，设锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的正半轴重合，那么它的终边在第一象限．在α的终边上任取一点P ，设点P 的坐标为（x ，y ），它与原点的距离．过P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则线段OM 的长度为X ，线段MP 的长度为y ．则： ；问题2 对于确定的角α，这三个比值是否会随点P 在α的终边上的位置的改变而改变呢？为什么？（设计意图：引入单位圆。
深化对单位圆作用的认识，用数学的简洁美引导学生进行研究，为定义的拓展奠定基础。
该问题与问题1结合，分步推进，降低难度，基本尊重教材的处理方式。
）预计的困难：由于学生第一次接触单位圆，对它所能起的作用不了解，所以需要教师的引导。
也可以引导学生从形式上对上述定义化简，使得分母为1，之后通过分母的几何意义将之与单位圆结合起来。
根据相似三角形的知识，对于确定的角 ，三个比值不以点P 在 的终边上的位置的改变而改变大小．我们可以将点P 取在使线段OP 的长1r =的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数：M OyαP ( x , y )x单位圆：在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆称为单位圆．上述P 点就是α的终边与单位圆的交点， 锐角α的三角函数可以用单位圆上点的坐标表示．问题3：上述定义是借助于单位圆，利用角的终边与单位圆的交点的坐标给出的，它可以推广到任意角的三角函数，结合上述锐角α的三角函数值的求法，请你写出任意角的三角函数的定义。
分小组分别写出角α的终边位于第二、三、四象限和x 轴、y 轴上时的三角函数。
（设计意图：具体认识任意角的三角函数，突现本课时的研究重点。
如果问题太一般化，如设计为：上述定义可以推广到任意角的三角函数，请写出任意角的三角函数的定义。
那么学生不知道“上述定义”是指哪个，而且不明白任意角该如何取。
所以在问题设计中再次强调要借助于单位圆，利用坐标，限定学生的思维，以免太发散。
再者在一般要求“写出任意角的三角函数”之后，又提出具体的活动方式：分小组针对不同位置的角分别写出其三角函数。
这样将问题具体化，学生容易着手解决。
写出定义的过程也是巩固推广的过程，而且这样做尽可能避免出现学生用计算器算cos π的现象。
）活动形式：由学生分组独立完成之后再展示交流，形成具体而全面的认识。
学生可能会在写出任意角的三角函数的定义时出现困难，教师的帮助不要具体，而是在思维上引导——用坐标表示，并引导学生正确认识三角函数的定义域。
结论：如图，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点(,)P x y ，那么：（1）y 叫做α的正弦(sine)，记做sin α，即sin y α=； （2）x 叫做α的余弦(cosine)，记做cos α，即cos x α=；（3）y x叫做α的正切(tangent)，记做tan α tan (0)y x xα=≠．问题4：在上述三角函数定义中，自变量是什么？对应关系有什么特点，函数值是什么？ （设计意图：通过这样的活动强化学生对任意角三角函数定义的理解，达到对概念的初步精致。
）预计的困难：学生对三角函数的自变量认识可能会存在问题。
教师的引导：引导学生利用单位圆的几何意义解释正弦、余弦的值域。
预计的答案：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P （x ,y ）。
αA ( 1 , 0 ) _ O P ( x , y ) yx说明：（1）当ππ()2k k α=+∈Z 时，α的终边在y 轴上，终边上任意一点的横坐标x 都等于0，所以tan y x α=无意义，除此情况外，对于确定的值α，上述三个值都是唯一确定的实数．（2）当α是锐角时，此定义与初中定义相同；当α不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点()P x y ，，从而就必然能够最终算出三角函数值．（3）正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将这种函数统称为三角函数．（三）例题讲解例1 求的正弦、余弦和正切值。
（设计意图：巩固对定义的理解。
）分析：根据定义求解，先利用锐角三角函数知识求出点P 的坐标，再根据定义求解。
解：如图5，可知在RT ΔOPC 中，∠OPC=30o ，所以OC=，CP=，所以点P 的坐标是。
根据定义可得：例2 已知角α的终边经过点P 0(-3，-4)，求角α的正弦、余弦和正切值。
（设计意图：通过问题的转化，进一步加深对定义的理解。
）分析：如右图，由△OMP ∽△OM 0P 0，可求出相应的三角函数值.解：由已知，可得|OP 0|=22)4()3(-+-=5．如图，设角α的终边与单位圆交于点P (x ，y )．分别过点P 、P 0作x 轴的垂线MP 、M 0P 0，则|M 0P 0|=4，|MP |=-y ，|OM 0|=3，|OM |=-x ，△OMP ∽△OM 0P 0，于是sin α=y =1y =|OP ||MP |-=||||000OP P M -=54-； cos α=x =1x =|OP ||OM |-=||||00OP OM -=53-； tan α=x y =sin cos a α=34． （点评：本例是已知角α终边上一点的坐标，求角α的三角函数值问题．可以先根据三角形相似将这一问题化归到单位圆上，再由定义得解．）探究：请根据任意角的三角函数定义，将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表；再三角函数的定义告诉我们，各三角函数在各象限内的符号，取决于x ，y 的符号，当点P 在第一、二象限时，纵坐标y >0，点P 在第三、四象限时，纵坐标y <0，所以正弦函数值对于第一、二象限角是正的，对于第三、四象限角是负的(可制作课件展示);同样地，余弦函数在第一、四象限是正的，在第二、三象限是负的;正切函数在第一、三象限是正的，在第二、四象限是负的．从而完成上面探究问题．即“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．六、课堂小结1．本章的三角函数定义与初中时的定义有何异同？2．你能准确判断三角函数值在各象限内的符号吗？3．请写出各三角函数的定义域；（设计意图：引导学生小结，并进一步思考。