高等电磁场理论课件3

布，对这些类型的电流分布，直接计算其产生的电磁场通常 是困难的，但利用磁流源来等效后可以使 问题的求解变得简便。 例如，下图所示小圆环电流的远区电 磁场为
kωμ 0 IS Eϕ = sin θ e − jkr 4π r
z θ
IS
v r
k 2 IS Hθ = − sin θ e − jkr 4π r
一、场源的概念
S S
v v v v v v ∫ ∇ × E ⋅ dS = −∫ J m ⋅ dS − jω ∫ B ⋅ dS
S
应用斯托克斯定理，上式可改写为
v v v v v v ∫ E ⋅ dl = −∫ J m ⋅ dS − jω ∫ B ⋅ dS
l S S
上式左端感应电场强度压沿闭合回路 l 的线积分表示 l 上的 感应电动势，即
第三章 电磁场的基本定理
应用电磁场的基本定理可使复杂的电磁场问题的求解变 得简便。 • 场源概念的扩展：引入假想的等效磁流与磁荷。 • 二重性原理(或称对偶性原理)： 由一类电磁场问题的解 直接得出另一类电磁场问题的解。 • 唯一性定理：告诉我们唯一地决定电磁场的条件，是 镜像法、等效原理与感应定理等等效定理的理论基础。 • 等效原理、感应定理与惠更斯原理：本质上都是用等 效源来代替实际源，为计算复杂的电磁场问题提供简便而行 之有效的方法。
磁壁
e
e e
σ =0
σ =0
电壁
壁代替，则可将 耦合传输线问题分别简 化为单根传输线问题。
y
电壁
y
+
-
电壁
_
U0
-
U0
+ x
U0
+ 电壁 x
二、对偶原理(二重性原理 )
将只有电流源的麦克斯韦方程组与只有磁流源的麦克斯 韦方程组式比较，可以看出，两个方程组的数学形式完全相 同。如果我们按下列方式作符号变换： 电流源方程组
一、场源的概念
引入假想的磁荷与磁流以后，边界条件应改写为
v v v v n × (H 2 − H1 ) = J s ⎫ v v ⎪ v v n × ( E 2 − E1 ) = − J ms ⎪ v ⎬ v v n ⋅ ( B2 − B1 ) = ρ ms ⎪ v v v n ⋅ ( D2 − D1 ) = ρ s ⎪ ⎭
S
v v v v v v ∫ E ⋅ dl = −∫ J m ⋅ dS − jω ∫ B ⋅ dS 可改写为电路形式
l S S
∑U = − K
任一曲面 S 上的总磁流的负值。
t
由此可见，一个闭合回路上的电动势等于穿过以 l 为周界的
一、场源的概念
一个具体例子：如图所示密绕螺管的等效磁流。设电感 量为 L， 载有交变电流 I。 把载流密绕螺管等效成一块导磁体。 内部有磁流 K，其两端分别有磁荷+Qm、-Qm，因而构成一个 磁偶极子。 导磁体外部有位移磁 I +Qm 流， 在其两端磁流与位移磁流连 续。 因为螺管两端的感应电压为
散度，可得 即
上式就是引入磁荷与磁流概念以后的麦克斯韦第三方程。
一、场源的概念
v v v 将方程 ∇ × E = − J m − jωμH 与麦克斯韦第一方程 v v v ∇ × H = J + jωεE v v v v 相比，可将 jωμH ( jωB )称为位移磁流密度： J mD = jωB 。 v v v 因此， ∇ × E = − J m − jωμH 两端取散度可得 v v ∇ ⋅ ( J m + J mD ) = 0
ωk μ IS Eϕ = 0 0 sin θe − jk r ， 4πr
0
k IS Hθ = − 0 sin θe − jk0 r 4πr
2
应用对偶原理，可由一类问题的解，经过对偶量的替换，直 接得到另一类问题的解，而不必另行求解。
二、对偶原理(二重性原理 )
实际问题中常常遇到同时存在电流源与磁流源的情况， 根据对偶原理，利用第二章的结果可以直接导出磁流源激发 的电磁场的一般解。由于线性媒质中的麦克斯韦方程是线性
在理想导体边界上，电力线垂直于导体表面，磁力线平行于 导体表面；在理想磁体边界上，电力线平行于磁体表面，磁 力线垂直于磁体表面。满足理想导体边界条件的曲面称为电 壁。满足理想磁体边界条件的曲面，称为磁壁。
一、场源的概念
如图， 有一对称耦合传输线， 两根传输线的结构完全相同， 关于 y 轴对称，有公共的理想导体地。当加以等幅同相的 激励电压时(称为偶模激励)，过 y 轴的对称平面为磁壁。 当加上等幅反相的激励电压时(称为奇模激励)，过 y 轴的 对称平面为电 y y y 磁壁 壁。如果过 y 轴 + + + U U 的对称平面分 U μ,ε μ,ε 别用磁壁和电 x x x
v v ∑U = ∫ E ⋅ dl
l
右端可写成
−∫
S
v v v v J m ⋅ dS − jω ∫ B ⋅ dS = − K t
S
一、场源的概念
v v 式中 Kt 表示穿过面积 S 的总磁流， K = ∫S J m ⋅ dS 为穿过面积 S v v 的 磁 流 ， jω ∫ B ⋅ dS 为 穿 过 面 积 S 的 位 移 磁 流 。 于 是 ，
v 磁荷的概念，体磁荷密度定义为 ρ m = −∇ ⋅ M ，面磁荷密度定 v v v = ⋅ ρ M n ，式中 M 为磁化强度。与静磁问题相似，在许 义为 ms
多时变电磁场问题中，引入“磁荷”与“磁流”概念也能给 分析与计算带来许多方便之处。
一、场源的概念
回顾麦克斯韦方程组
v v v ∇ × H = J + jωεE v v ∇ × E = − jωμH v ∇⋅B = 0 v ∇⋅D = ρ
引入磁流概念之后，类似于无穷小电偶极子辐射场的求 解方法，可求得沿 z 轴放置的强度为 K，长度为 l 的小磁流 元(磁偶极子)的远区辐射场为
Eϕ = − jkKl sin θ e − jkr 4π r
Kl z θ
v r
Hθ =
jωε 0 Kl sin θ e − jkr 4π r
显然，如果 Kl = jωμ 0 IS ，则两者的辐射场完全相同，因此可 以用 Kl = jωμ 0 IS 的磁流源来等效小圆环电流。 磁流概念应用最多的是计算导体上孔隙的电磁场，例如 用来计算裂缝天线的电磁场。
满足方程
v v v ∇ × H ′ = J + jωεE ′ v v ∇ × E ′ = − jωμH ′
磁 流 μIS ⎫ K = jω l ⎪ ⎪ Kl = jωμIS ⎪ μIS ⎬ ⎪ Qm = l ⎪ Qml = μIS ⎪ ⎭
v n
l IS l
磁流元 磁 荷
磁偶极矩
一、场源的概念
后面将会看到，有了小圆环电流的等效磁偶极子的概念， 应用二重性原理， 由线电流元的辐射场可直接求出小圆环电流 (磁偶极子)的辐射场。 必须指出，引入磁荷与磁流概念是为了简化分析，此外， 所引入的磁荷与磁流也并不相当于磁介质磁化时的等效磁荷 与等效磁化电流。
一、场源的概念
v 与电流连续性方程 ∇ ⋅ J + jωρ = 0 相对应，可以引入磁流
连续性方程 式中
v ∇ ⋅ J m + jωρ m = 0 v v v ρ m 为体磁荷密度。方程 ∇ × E = − J m − jωμH 两端取
v v jω∇ ⋅ ( μH ) = −∇ ⋅ J m = jωρ m v ∇ ⋅ B = ρm
可见，总磁流是连续的，它与全电流连续相对应。 引入磁荷和磁流之后，麦克斯韦方程组应写为
v v v ∇ × H = J + jωεE v v v ∇ × E = − J m − jωμH v ∇ ⋅ B = ρm v ∇⋅D = ρ
可见，电场与磁场方程形式上变得完全对称了。
一、场源的概念
将第二方程对任一面积 S 积分，有
U = − jωLI ，根据 ∑ U = − K t ，可 求得磁流 K = jωLI 。由磁流连续 v 性 方 程 ∇ ⋅ J m + jωρ m = 0 可 得
l l
-Qm
K = jωQm ，故等效磁荷 Qm = K jω = LI 。因此，一个长度为 l 的载流密绕螺管可等效为一个 Qm = LI 、长度为 l 的磁偶极子，
v n 式中 为不同媒质分界面上的法向单位矢量。对于理想导体， v v v σ = ∞ ，其内部 E = H = 0 。表面上不存在面磁荷与面磁流，则
理想导体的边界条件
v v v n × H = Js ⎫ v v v ⎪ n×E = 0 ⎪ ⎬ v v n⋅B = 0 ⎪ v v n ⋅ D = ρs ⎪ ⎭
μ, ε
v H
v E
v v v E =H =0 v n
σ =∞
理想导体边界条件
一、场源的概念
v v v 对于理想磁体， μ = ∞ ，其内部 E = H = 0 。表面上不存在 v 面电荷与面电流 ( ρ s = J S = 0) ，则可求得理想磁体的边界条件 v v v n×H = 0 ⎫ v H v n v ⎪ v v E μ, ε n × E = − J ms ⎪ ⎬ v v v v v n ⋅ B = ρ ms ⎪ E =H =0 μ =∞ v v ⎪ n⋅D = 0 ⎭ 理想磁体边界条件
v v 微分方程，因而总场可作为两部分场之和，一部分 E ′ 、 H ′ 是 v v 由电流源激发的，另一部分 E ′′ 、H ′′ 是由磁流源激发的，总场 v v v v v v v v 为 E = E ′ + E ′′ 、 H = H ′ + H ′′ 。对于电流源激发的场 E ′ 、 H ′ ，
即等效为 K = jωLI 的磁流源 Kl。
一、场源的概念
小的圆环电流对于远区的辐射场来说，也可等效为一个 磁流元。由于 S 为无穷小量，可将小圆环电流近似看成长度 为 l、横截面积为 S 的细长密绕螺管。计算其自感 L 时又可 当作无穷长螺管来处理，单位长匝数为 1/l。应用无穷长螺管 的自感公式可求得 L = μS l 。因此，对小圆环电流可求得如下 等效磁偶极子的各个量：
可以发现，电场和磁场的方程是不对称的。为了在形式上使 方程具有对称性，也需要引入磁荷与磁流。此时，麦克斯韦 第二方程的右端应添加附加项而改写为
v 式中 J m 为体磁流密度，它是假想的场源。
v v v ∇ × E = − J m − jωμH
一、场源的概念
v 事实上， J m 可以用来作为等效源代替某些类型的电流分
• 洛仑兹互易定理：两组场源产生的场之间的联系。 • 巴俾涅原理给出了互补屏(障碍物)电磁场量之间的关 系，使我们由一种形式的绕射场得到另一种形式的绕射场。 (不讲) 本章不过多地涉及定理与原理的具体应用，而着重讨论 它们本身的内容。
一、场源的概念
产生电磁场的实际场源是电荷与电流，自然界中并不存 在磁荷和磁流。 但是， 为了分析与计算某些电磁场问题方便， 可以引入假想的等效磁荷与磁流的概念。 在计算磁性物体产生的磁场时，可引入等效面磁荷与体
v E v H v J ↔ ↔ ↔ ↔ ↔ ↔
Hale Waihona Puke Baidu
磁流源方程组
v H⎫ v⎪ -E ⎪ v Jm ⎪ ⎪ ⎬ ρm ⎪ ε ⎪ ⎪ μ⎪ ⎭
ρ μ ε
则可由一个方程组得到另一个方程组。
二、对偶原理(二重性原理 )
如果按上述各量的互换关系，可由一类问题的边界条件 (如只存在电流源的边界条件)得到另一类问题的边界条件(只 存在磁流源的边界条件)，那么由一类问题的解经上述各量互 换后即可得到另一类问题的解， 这就是所谓对偶性或二重性。 下面用简单的例子来说明一下二重性原理的应用。应用 二重性原理，由自由空间中电偶极子(电流元)的电磁场可求 出自由空间中磁偶极子(磁流元)的电磁场，再利用对远区场 来说小圆环电流与磁偶极子的等效关系，可求得小圆环电流 的远区辐射场。
二、对偶原理(二重性原理 )
根据对偶原理，由上式可求得磁偶极子(磁流源 Kl )的远区辐 射场
jωε 0 Kl Hθ = sin θe − jk0 r ， 4πr
− Eϕ =
jk0 Kl sin θe − jk0 r 4πr
上节已求得小圆环电流 IS 的等效磁流源 Kl = jωμ 0 IS ，因此， 可直接写出小圆环电流的远区辐射场
二、对偶原理(二重性原理 )
z r
Kl
z r
θ
z r
θ IS
(c) 小圆环电流
θ Il
(a) 电偶极子
(b) 磁偶极子
如图， 第二章已经求出， 自由空间中电偶极子(电流元 Il)， 其远区辐射场为：
Eθ = jωμ0 Il sin θe − jk0r ， 4πr
Hϕ = jk0 Il sin θe − jk0 r 4πr