导数的几何意义

导数的几何意义

[提出问题如图，P n 的坐标为(x n ，f (x n ))(n ＝1,2,3，4，…)，P 的坐标为(x 0，

y 0)，直线PT 为在点P 处的切线．

问题1：割线PP n 的斜率k n 是什么？

提示：割线PP n 的斜率k n ＝Δy n Δx n ＝f x n －f x 0 x n －x 0

.

问题2：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 与在点P 处的切线PT 有什么关系？

提示：当点P n 趋近于点P 时，割线PP n 趋近于在点P 处的切线PT . 问题3：当P n 无限趋近于点P 时，k n 与切线PT 的斜率k 有什么关系？

提示：k n 无限趋近于切线PT 的斜率k . 问题4：如何求得过点P 的切线PT 的斜率？

提示：函数f (x )在x ＝x 0处的导数就是切线PT 的斜率k ，即k ＝

lim Δx →0

f x 0＋Δx －f x 0 Δx

＝f ′(x 0)．

[导入新知]

导数的几何意义

函数f(x)在x＝x0处的导数就是切线PT的斜率k，即k＝f′(x0)

＝lim

Δx→0f x0＋Δx －f x0

Δx

.

[化解疑难]

曲线y＝f(x)在点P处的切线的斜率，即函数y＝f(x)在点P处的导数，反映了曲线在点P处的变化率.

[提出问题]

已知函数f(x)＝－x2＋2.

问题1：如何求f′(x0)?

提示：f′(x0)＝lim

Δx→0－ x0＋Δx 2＋2－ －x20＋2

Δx

＝lim

Δx→0

(－2x0－Δx)＝－2x0.

问题2：若x0是一变量x，f′(x)是常量吗？

提示：f′(x)＝－2x，说明f′(x)不是常量，而是关于x的函数．

[导入新知]

导函数的定义

对于函数y＝f(x)，当x＝x0时，f′(x0) 是一个确定的数，当x 变化时，f′(x) 便是一个关于x的函数，我们称它为函数y＝f(x)的导函数(简称为导数)，即f′(x)＝y′＝

lim Δx →0

f x ＋Δx －f x Δx

. [化解疑难]

函数y ＝f (x )“在点x 0处的导数”“导函数”“导数”之间的区别与联系

(1)函数在点x 0处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数．

(2)导函数也简称导数，所以

“导数” f (x )在一点x 0处的导数(特殊)导函数(一般) (3)函数y ＝f (x )在点x 0处的导数f ′(x 0)就是导函数f ′(x )在点

x ＝x 0处的函数值．

[例1] 若函数f (x )＝x －x

，求它与x 轴交点处的切线方程．

[解] 由f (x )＝x －1

x

＝0，得x ＝±1，

即与x 轴的交点坐标为(1,0)，(－1,0)． ∵f ′(x )＝lim Δx →0 x ＋Δx －1x ＋Δx －x ＋

1

x

Δx

＝lim Δx →0

⎣⎢⎡

⎦⎥⎤1＋1x x ＋Δx ＝1＋1

x

2，

∴切线的斜率k ＝1＋1

1

＝2.

∴切线的方程为y ＝2(x －1)或y ＝2(x ＋1)， 即2x －y －2＝0或2x －y ＋2＝0. [类题通法]

求曲线在点P (x 0，y 0)处的切线方程的步骤

(1)求出函数y ＝f (x )在x 0处的导数f ′(x 0)，得到切线的斜率k ＝f ′(x 0)．

(2)根据直线的点斜式方程，得到切线方程y －y 0＝f ′(x 0)(x －

x 0)．

[活学活用]

已知曲线y ＝3x 2，求过点A (1,3)的曲线的切线方程． 解:∵Δy Δx ＝3 1＋Δx 2－3³12

Δx ＝6＋3Δx ，

∴y ′|x ＝1＝lim Δx →0

(6＋3Δx )＝6. ∴曲线在点A (1,3)处的切线斜率为6. ∴所求的切线方程为y －3＝6(x －1)， 即6x －y －3＝0.

[例2] (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45°？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4x －y －2＝0? (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x ＋8y －3＝0? [解] 设点的坐标为(x 0，y 0)，则

Δy ＝2(x 0＋Δx )2＋1－2x 20－1＝4x 0Δx ＋2(Δx )2

.

∴Δy

Δx

＝4x 0＋2Δx .

当Δx 无限趋近于零时，Δy

Δx 无限趋近于4x 0，

即f ′(x 0)＝4x 0.

(1)∵抛物线的切线的倾斜角为45°， ∴斜率为tan 45°＝1， 即f ′(x 0)＝4x 0＝1，得x 0＝1

4

，

该点为⎝ ⎛⎭

⎪⎫

14，98.

(2)∵抛物线的切线平行于直线4x －y －2＝0， ∴斜率为4，

即f ′(x 0)＝4x 0＝4，得x 0＝1，该点为(1,3)． (3)∵抛物线的切线与直线x ＋8y －3＝0垂直， ∴斜率为8，即f ′(x 0)＝4x 0＝8， 得x 0＝2，该点为(2,9)． [类题通法]

求曲线切点坐标的五个步骤

(1)先设切点坐标(x 0，y 0)； (2)求导数f ′(x )； (3)求切线的斜率f ′(x 0)；

(4)由斜率间的关系列出关于x 0的方程，求出x 0；

(5)由于点(x 0，y 0)在曲线f (x )上，将(x 0，y 0)代入求得y 0的值，得切点坐标(x 0，y 0)．

[活学活用]

已知曲线y ＝2x 2＋a 在点P 处的切线方程为8x －y －15＝0，求切点P 的坐标和实数a 的值．