《电磁场与电磁波》(第四版)习题集：第4章 时变电磁场
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(4.3.6)
由式
由于式中的
例4.3.1同轴线地内导体半径为 、外导体地内半径为 ，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为 ，导体中流过的电流为 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率 为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
第4章 时变电磁场
在时变的情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播。电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性，本章首先对电磁场的波动方程进行讨论。
在时变电磁场的情况下，也可以引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂问题的分析求解过程得以简化。本章对时变电磁场的位函数及其微分方程进行了讨论。
4.2.1矢量位和标量位
由于磁场 的散度恒定于零，即 ，因此可以将磁场 表示为一个矢量函数 的旋度，即
（4.2.1）
式中的矢量函数 称为电磁场的矢量位，单位是 。
将式（4.2.1）代入方程 ，有
即
这表明 是无旋的，可以用一个标量函数 的梯度来表示，即
（4.2.2）
式中的标量函数 称为电磁场的标量位，单位是 。由式（4.2.2）可将电场强度矢量 用矢量位 和标量位 表示为
4. 3电磁能量守恒定律
电场和磁场都具有能量，在线性、各向同性的媒质中，电场能量密度 与磁场能量密度 能量密度分别为
(4.3.1)
(4.3.2)
在时变电磁场中，电磁场能量密度 等于电场能量密度 与磁场能量密度 之和，即
(4.3.3)
当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动。为了描述能量的流动状况，引入了能流密度矢量，其方向表示能量的流动方向，其大小表示单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位面积的能量。能流密度矢量又称为坡印廷矢量，用 表示，其单位为 （瓦/米2）。
同理可得到无源来自百度文库域中磁场强度矢量 满足的波动方程为
（4.1.6）
无源区域中的 或 可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波动方程得到。
在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含有一个场分量。例如，式（4.1.5）可以分解为
（4.1.7）
（4.1.8）
（4.1.9）
在其它坐标系中分解得到的三个标量方程都具有复杂的形式。
电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理，本章将讨论电磁场的能流和表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理。
本章在最后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，这种时变电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。
4. 1波动方程
由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。下面建立无源空间中电磁场的波动方程。
电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理。下面将讨论表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理，以及描述电磁能量流动的坡印廷矢量的表达式。
坡印廷定理可由麦克斯韦方程组推导出来。假设闭合面 包围的体积 中无外加源，媒质是线性和各向同性的，且参数不随时间变化。分别用 点乘方程 、 点乘方程 ，得
将以上两式相减，得到
在线性、各向同性的媒质中，当参数不随时间变化时
于是得到
再利用矢量恒等式
可得到
(4.3.4)
在体积 上，对式(4.3.4)两端积分，并应用散度定理，即可得到
(4.3.5)
这就是表征电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
在式(4.3.5)中，右端第一项 是在单位时间内体积 中所增加的电磁场能量；右端第二项 是在单位时间内电场对体积 中的电流所作的功，在导电媒质中， 即为体积 内总的损耗功率。根据能量守恒关系，式(4.3.5)左端的 则是单位时间内通过曲面 进入体积 的电磁能量，所以矢量 是一个与垂直通过单位面积的功率相关的矢量。因此，我们将 定义为电磁能流密度矢量 ，即
在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零，即 、 。在线性、各向同性的均匀媒质中， 和 满足的麦克斯韦方程为
（4.1.1）
（4.1.2）
（4.1.3）
（4.1.4）
对式（4.1.2）两边取旋度，有
将式（4.1.1）代入上式，得到
利用矢量恒等式 和式（4.1.4），可得到
（4.1.5）
此式即为无源区域中电场强度矢量 满足的波动方程。
（4.2.5）
此式称为洛仑兹条件。
4.2.2达朗贝尔方程
在线性、各向同性的均匀媒质中，将 和 代入方程 ，则有
利用矢量恒等式 ，可得到
（4.2.6）
同样，将 代入 ，可得到
（4.2.7）
式（4.2.6）和式（4.2.7）是关于 和 得一组耦合微分方程，可通过适当地规定矢量位 的散度来加以简化。利用洛仑兹条件（4.2.5），由式（4.2.6）和式（4.2.7）可得到
波动方程的解是在空间中沿一个特定方向传播的电磁波。研究电磁波的传播问题都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求波动方程的解。当然，除最简单的情况外，求解波动方程常常是很复杂的。
4. 2电磁场的位函数
在静态场中引入了标量电位来描述电场，引入了矢量磁位和标量磁位来描述磁场，使对电场和磁场的分析得到很大程度的简化。对于时变电磁场，也可以引入位函数来描述，使一些问题的分析得到简化。
（4.2.3）
由式（4.2.1）和式（4.2.3）定义的矢量位和标量位并不是惟一的，也就是说，对于同样的 和 ，除了可用一组 和 来表示外，还存在另外的 和 ，使得 和 。实际上，设 为任意标量函数，令
（4.2.4）
则有
由于 为任意标量函数，所以由式（4.2.4）定义的 和 有无穷多组。出现这种现象的原因在于确定一个矢量场需要同时规定该矢量场的散度和旋度，而式（4.2.1）只规定了矢量位 的旋度，没有规定矢量位 的散度。因此，通过适当地规定矢量位 的散度，不仅可以得到惟一的 和 ，而且还可以使问题的求解得以简化。在电磁场工程中，通常规定矢量位 的散度为
（4.2.8）
（4.2.9）
式（4.2.8）和式（4.2.9）就是在洛仑兹条件下，矢量位 和标量位 所满足的微分方程，称为达朗贝尔方程。
由式（4.2.8）和式（4.2.9）可知，采用洛仑兹条件使矢量位 和标量位 分离在两个独立的方程中，且矢量位 仅与电流密度 有关，而标量位 仅与电荷密度 有关，这对方程的求解是有利的。如果不采用洛仑兹条件，而选择另外的 ，得到的 和 的方程将不同于式（4.2.8）和式（4.2.9），其解也不相同，但最终由 和 求出的 和 是相同的。
由式
由于式中的
例4.3.1同轴线地内导体半径为 、外导体地内半径为 ，其间填充均匀的理想介质。设内外导体间的电压为 ，导体中流过的电流为 。（1）在导体为理想导体的情况下，计算同轴线中传输的功率；（2）当导体的电导率 为有限值时，计算通过内导体表面进入每单位长度内导体的功率。
第4章 时变电磁场
在时变的情况下，电场和磁场相互激励，在空间形成电磁波，时变电磁场的能量以电磁波的形式进行传播。电磁场的波动方程描述了电磁场的波动性，本章首先对电磁场的波动方程进行讨论。
在时变电磁场的情况下，也可以引入辅助位函数来描述电磁场，使一些复杂问题的分析求解过程得以简化。本章对时变电磁场的位函数及其微分方程进行了讨论。
4.2.1矢量位和标量位
由于磁场 的散度恒定于零，即 ，因此可以将磁场 表示为一个矢量函数 的旋度，即
（4.2.1）
式中的矢量函数 称为电磁场的矢量位，单位是 。
将式（4.2.1）代入方程 ，有
即
这表明 是无旋的，可以用一个标量函数 的梯度来表示，即
（4.2.2）
式中的标量函数 称为电磁场的标量位，单位是 。由式（4.2.2）可将电场强度矢量 用矢量位 和标量位 表示为
4. 3电磁能量守恒定律
电场和磁场都具有能量，在线性、各向同性的媒质中，电场能量密度 与磁场能量密度 能量密度分别为
(4.3.1)
(4.3.2)
在时变电磁场中，电磁场能量密度 等于电场能量密度 与磁场能量密度 之和，即
(4.3.3)
当场随时间变化时，空间各点的电磁场能量密度也要随时间改变，从而引起电磁能量流动。为了描述能量的流动状况，引入了能流密度矢量，其方向表示能量的流动方向，其大小表示单位时间内穿过与能量流动方向相垂直的单位面积的能量。能流密度矢量又称为坡印廷矢量，用 表示，其单位为 （瓦/米2）。
同理可得到无源来自百度文库域中磁场强度矢量 满足的波动方程为
（4.1.6）
无源区域中的 或 可以通过求解式（4.1.5）或式（4.1.6）的波动方程得到。
在直角坐标系中，波动方程可以分解为三个标量方程，每个方程中只含有一个场分量。例如，式（4.1.5）可以分解为
（4.1.7）
（4.1.8）
（4.1.9）
在其它坐标系中分解得到的三个标量方程都具有复杂的形式。
电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理，本章将讨论电磁场的能流和表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理。
本章在最后讨论了随时间按正弦函数变化的时变电磁场，这种时变电磁场称为时谐电磁场或正弦电磁场。
4. 1波动方程
由麦克斯韦方程可以建立电磁场的波动方程，揭示了时变电磁场的运动规律，即电磁场的波动性。下面建立无源空间中电磁场的波动方程。
电磁能量一如其它能量服从能量守恒原理。下面将讨论表征电磁场能量守恒关系的坡印廷定理，以及描述电磁能量流动的坡印廷矢量的表达式。
坡印廷定理可由麦克斯韦方程组推导出来。假设闭合面 包围的体积 中无外加源，媒质是线性和各向同性的，且参数不随时间变化。分别用 点乘方程 、 点乘方程 ，得
将以上两式相减，得到
在线性、各向同性的媒质中，当参数不随时间变化时
于是得到
再利用矢量恒等式
可得到
(4.3.4)
在体积 上，对式(4.3.4)两端积分，并应用散度定理，即可得到
(4.3.5)
这就是表征电磁能量守恒关系的坡印廷定理。
在式(4.3.5)中，右端第一项 是在单位时间内体积 中所增加的电磁场能量；右端第二项 是在单位时间内电场对体积 中的电流所作的功，在导电媒质中， 即为体积 内总的损耗功率。根据能量守恒关系，式(4.3.5)左端的 则是单位时间内通过曲面 进入体积 的电磁能量，所以矢量 是一个与垂直通过单位面积的功率相关的矢量。因此，我们将 定义为电磁能流密度矢量 ，即
在无源空间中，电流密度和电荷密度处处为零，即 、 。在线性、各向同性的均匀媒质中， 和 满足的麦克斯韦方程为
（4.1.1）
（4.1.2）
（4.1.3）
（4.1.4）
对式（4.1.2）两边取旋度，有
将式（4.1.1）代入上式，得到
利用矢量恒等式 和式（4.1.4），可得到
（4.1.5）
此式即为无源区域中电场强度矢量 满足的波动方程。
（4.2.5）
此式称为洛仑兹条件。
4.2.2达朗贝尔方程
在线性、各向同性的均匀媒质中，将 和 代入方程 ，则有
利用矢量恒等式 ，可得到
（4.2.6）
同样，将 代入 ，可得到
（4.2.7）
式（4.2.6）和式（4.2.7）是关于 和 得一组耦合微分方程，可通过适当地规定矢量位 的散度来加以简化。利用洛仑兹条件（4.2.5），由式（4.2.6）和式（4.2.7）可得到
波动方程的解是在空间中沿一个特定方向传播的电磁波。研究电磁波的传播问题都可归结为在给定的边界条件和初始条件下求波动方程的解。当然，除最简单的情况外，求解波动方程常常是很复杂的。
4. 2电磁场的位函数
在静态场中引入了标量电位来描述电场，引入了矢量磁位和标量磁位来描述磁场，使对电场和磁场的分析得到很大程度的简化。对于时变电磁场，也可以引入位函数来描述，使一些问题的分析得到简化。
（4.2.3）
由式（4.2.1）和式（4.2.3）定义的矢量位和标量位并不是惟一的，也就是说，对于同样的 和 ，除了可用一组 和 来表示外，还存在另外的 和 ，使得 和 。实际上，设 为任意标量函数，令
（4.2.4）
则有
由于 为任意标量函数，所以由式（4.2.4）定义的 和 有无穷多组。出现这种现象的原因在于确定一个矢量场需要同时规定该矢量场的散度和旋度，而式（4.2.1）只规定了矢量位 的旋度，没有规定矢量位 的散度。因此，通过适当地规定矢量位 的散度，不仅可以得到惟一的 和 ，而且还可以使问题的求解得以简化。在电磁场工程中，通常规定矢量位 的散度为
（4.2.8）
（4.2.9）
式（4.2.8）和式（4.2.9）就是在洛仑兹条件下，矢量位 和标量位 所满足的微分方程，称为达朗贝尔方程。
由式（4.2.8）和式（4.2.9）可知，采用洛仑兹条件使矢量位 和标量位 分离在两个独立的方程中，且矢量位 仅与电流密度 有关，而标量位 仅与电荷密度 有关，这对方程的求解是有利的。如果不采用洛仑兹条件，而选择另外的 ，得到的 和 的方程将不同于式（4.2.8）和式（4.2.9），其解也不相同，但最终由 和 求出的 和 是相同的。