高中数学-导数及其应用导学案
高三数学 3.9导数及其应用复习导学案
山东省高密市第三中学高三数学 3.9导数及其应用复习导学案一、考纲要求:1.通过对大量实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其内涵。
2.通过函数图像直观地理解导数的几何意义。
3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数， 二、基础知识自测：1.求下列函数的导数：(1)常函数：y=c(c 为常数)(2）幂函数：3y x = ； y=1x ； y = (3)指数函数： 2x y =； x y e = ；(4）对数函数：2log y x =； y lnx = ；(5）正弦函数：y=sinx(6)余弦函数：y=cosx2.求下列函数的导数：（1）xe x y 2=； （2）x x y ln =； （3）x x y ln 2=3.如果某物体的运动方程是22(1)s t =-，则在 1.2t =秒时的瞬时速度是（ ）A ．4B ．4-C ．4.8D ．0.84.与直线042=+-y x 平行的抛物线2x y =的切线方程为( )A. 032=+-y xB. 032=--y xC. 012=+-y xD. 012=--y x5.（2011山东文）曲线311y x =+在点P(1，12)处的切线与y 轴交点的纵坐标是（ ）（A ）-9 （B ）-3 （C ）9 （D ）156.（2013江西文）若曲线1y x α=+(α∈R)在点(1,2)处的切线经过坐标原点,则α=_________7.已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 通过点P (1,1)，且在点Q (2，－1)处与直线y ＝x －3相切，求实数a 、b 、c 的值．课内探究案四、典型例题题型一 利用定义求函数的导数例1若函数y＝f(x)在区间(a，b)内可导，且x0∈(a，b)，则limh→0f x0＋h －f x0－hh的值为( )A．f′(x0) B．2f′(x0) C．－2f′(x0) D．0题型二导数的几何意义例2 已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程．题型三利用导数研究函数的单调性例3已知函数f(x)＝e x－ax－1.(1)求f(x)的单调增区间；(2)是否存在a，使f(x)在(－2,3)上为减函数，若存在，求出a的取值范围，若不存在，请说明理由．题型四 利用导数求函数的极值例4 设a >0，函数f (x )＝12x 2－(a ＋1)x ＋a (1＋ln x )． (1)求曲线y ＝f (x )在(2，f (2))处与直线y ＝－x ＋1垂直的切线方程；(2)求函数f (x )的极值．变式训练：1.曲线2x y x =+在点（-1，-1）处的切线方程为 2.设函数f (x )＝13x 3－(1＋a )x 2＋4ax ＋24a ，其中常数a >1，则f (x )的单调减区间为________．3.若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________． 4.已知函数f (x )＝x ln x .(1)求函数f (x )的极值点；(2)设函数()()(1)g x f x a x ＝－－ ，其中a ∈R ，求函数g (x )在区间[1，e]上的最小值．当堂检测：1.曲线f (x )=x 3+x －2在0P 点处的切线平行于直线y =4x －1,则P 0点的坐标为( )A.(1,0)或(－1,-4)B.(0,1)C.(1,0)D.(-1,-4)2.已知函数()f x 的导函数为()f x '，且满足()2(1)ln f x xf x '=+，则(1)f '=（ ）A ．e -B ．1-C ．1D ．e课后拓展案A 组1. （2014广东理）曲线25+=-x e y 在点()0,3处的切线方程为 .2. （2014全国2理）设曲线y=a x-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x ，则a = （ ）A. 0B. 1C. 2D. 33.若42()f x ax bx c =++满足(1)2f '=，则(1)f '-=（ ）A ．4-B ．2-C ．2D ．4B 组4.（2012新课标）曲线y =x (3ln x +1)在点)1,1(处的切线方程为________5．（2011大纲）已知曲线()421128=y x ax a a =++-+在点，处切线的斜率为，（）A ．9 B ．6 C ．-9 D ．-66.（2013 广东）若曲线2ln y ax x =-在点(1,)a 处的切线平行于x 轴,则a =______7. 设函数())ln 2(2x x k x e x f x +-=k 为常数， 2.71828e = 是自然对数的底数）（I ）当0k ≤时，求函数()f x 的单调区间；（II ）若函数()f x 在()0,2内存在两个极值点，求k 的取值范围.。
高二数学导数的应用教案
高二数学导数的应用教案
教学目标：
1. 理解导数的概念和性质；
2. 掌握导数的计算方法；
3. 熟练应用导数解决实际问题。
教学步骤：
一、导入（10分钟）
1. 引入导数的概念，与学生讨论导数的意义和应用；
2. 提出今天的学习目标：掌握导数的计算方法，并能够在实际问题中灵活应用。
二、理论讲解与示范（15分钟）
1. 介绍导数的定义：函数在某一点的切线斜率；
2. 解释导数的符号表示和计算方法，如使用极限的概念计算导数；
3. 给出一些导数计算的例题，并详细讲解解题思路和步骤。
三、练习与巩固（20分钟）
1. 给学生分发练习题，并要求他们独立完成；
2. 针对练习题中的难点和疑惑，进行答疑和解释；
3. 鼓励学生互相交流和讨论，加深对导数的理解和应用。
四、拓展应用（15分钟）
1. 引导学生思考导数在实际问题中的应用；
2. 分组讨论，找到不同领域中可以使用导数解决的问题，并汇报给全班；
3. 提出一些挑战性的导数应用问题，激发学生的思维和创造力。
五、综合评价（10分钟）
1. 进行简单的导数应用综合评价；
2. 针对学生的表现，给予及时的反馈和指导；
3. 总结本节课的重点内容和学习方法。
总结：
通过本节课的学习，学生应该对导数的概念和应用有了更深入的理解，能够熟练计算导数，并能够应用导数解决实际问题。
在后续的学习中，我们将进一步拓展导数的应用领域，并提高解题的灵活性和创造性。
导数及其应用教案
导数及其应用教案一、引言在高中数学课程中，导数是一个非常重要的概念。
本教案旨在介绍导数及其应用，帮助学生理解导数的概念和基本性质，并学习如何在实际问题中运用导数进行分析和计算。
二、导数的概念1. 导数的定义：导数表示函数在某一点上的变化率，即函数值随自变量变化而变化的快慢程度。
2. 导数的几何意义：导数等于函数曲线在某一点切线的斜率。
3. 导数的符号表示：通常用f'(x)或dy/dx表示函数f(x)的导数。
三、导数的基本性质1. 常数的导数为0：若f(x) = a（a为常数），则f'(x) = 0。
2. 幂函数的导数：若f(x) = x^n（n为常数），则f'(x) = nx^(n-1)。
3. 和差的导数：若f(x) = u(x) ± v(x)，则f'(x) = u'(x) ± v'(x)。
4. 乘积的导数：若f(x) = u(x)v(x)，则f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)。
5. 商的导数：若f(x) = u(x)/v(x)，则f'(x) = [u'(x)v(x) - u(x)v'(x)] /v(x)^2。
四、导数的应用1. 切线和法线：导数可以用于求函数曲线在某一点的切线和法线方程。
2. 极值问题：导数可以帮助我们判断函数的极值，并求出极值点和极值。
3. 函数图像的画法：导数可以提供函数图像的一些特征，如拐点、极值、单调性等。
4. 物理问题中的应用：导数可以帮助解决一些物理问题，如速度、加速度等。
五、教学活动1. 导数的计算练习：通过给出具体函数的表达式，让学生计算其导数。
2. 导数在几何中的应用：通过给出函数的图像，让学生判断函数的增减性、拐点、极值等。
3. 实际问题解析：将一些实际问题转化为数学模型，并运用导数进行分析和求解。
六、教学反思通过本教案的讲解和练习，学生应能掌握导数的概念和基本性质，具备运用导数进行实际问题分析和计算的能力。
人教版高中数学导数的求解与应用教案2023
人教版高中数学导数的求解与应用教案2023一、导数概念的引入在高中数学学科中，导数是一个重要的概念。
导数的概念由数学家牛顿和莱布尼茨独立提出，是微积分的基础之一。
导数的计算和应用在物理、经济学等领域中具有广泛的应用。
本节课将向大家介绍导数的概念及其求解与应用方法。
二、导数的定义与性质1. 导数的定义导数可以理解为函数在某一点上的瞬时变化率。
设函数y=f(x)，在点x=a处的导数记为f'(a)，则导数的定义为：\[f'(a)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(a+\Delta x)-f(a)}{\Delta x}\]2. 导数的几何意义导数可以表示函数曲线在某一点上的切线斜率。
当函数曲线逐渐平缓或陡峭时，导数也会相应地减小或增大。
3. 导数的性质（1）导数的存在性：对于一个函数在某一点处可导，则该点导数存在。
（2）导数代数运算法则：导数有加法、减法、乘法的运算性质。
（3）常见函数的导数公式：如常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数等。
三、导数的求解方法1. 初等函数的导数求解（1）常数函数的导数：常数函数的导数为0。
（2）幂函数的导数：幂函数的导数为该函数的指数乘以底数的次数。
（3）三角函数的导数：三角函数的导数与三角函数本身有关。
如正弦函数的导数为余弦函数，余弦函数的导数为负的正弦函数。
2. 导数的四则运算法则（1）求和与差的导数：两个函数的和（差）的导数等于两个函数的导数的和（差）。
（2）求积的导数：两个函数的积的导数等于其中一个函数的导数乘以另一个函数，再加上另一个函数的导数乘以第一个函数。
（3）求商的导数：两个函数的商的导数等于分子函数的导数乘以分母函数，减去分母函数的导数乘以分子函数，再除以分母函数的平方。
3. 隐函数的导数求解当函数的表达式不能明确表示出y与x的关系时，可以通过隐函数求导公式求解。
高中数学导数应用问题教案
高中数学导数应用问题教案
主题：导数的应用问题
教学目标：
1.了解导数的定义及其应用；
2.掌握常见的导数应用问题求解方法；
3.能够运用导数解决实际问题。
教学重点：
1.导数的定义及性质；
2.导数在实际问题中的应用。
教学难点：
1.如何将实际问题转化为导数问题求解；
2.如何运用导数解决各类应用问题。
教学准备：
1.教师准备相关教学资料和案例；
2.学生准备笔记和计算工具。
教学步骤：
一、导入（5分钟）
教师用一个实际问题引入导数的应用，引导学生思考导数在解决实际问题中的作用。
二、概念讲解（10分钟）
1.复习导数的定义及性质；
2.介绍导数在实际问题中的应用，如最速下降问题、最大最小问题等。
三、案例分析（15分钟）
教师以实际问题为例，分析导数应用问题的解题思路和方法，并带领学生一起解决一些简单的案例。
四、练习与讨论（15分钟）
1.学生进行导数应用问题的练习，教师提供帮助和指导；
2.学生分组讨论解题过程，分享解题方法和经验。
五、总结（5分钟）
教师总结本节课的重点内容，强调导数在实际问题中的应用重要性。
六、作业布置（5分钟）
布置相关的导数应用问题作业，希望学生能够独立完成并加强对应用问题的理解和掌握。
教学反思：
通过本节课的教学，学生对导数的应用有了更深入的了解，同时也能够更加灵活地应用导数解决各类实际问题。
希望学生能够在课下多加练习，进一步提高解题能力和运用能力。
导数及其应用导学案
导数及其应用导学案姓名： ；小组编号： ；自评： ；小组长评价： ；教师评价：【使用说明与学法指导】1.本导学案为导数复习学案，在做导学案之前需熟记导数的有关公式；2.自主高效完成导学案并总结规律方法；3.注意待定系数法在解题中的应用；4.带★的题C 层同学可选做。
【学习目标】1.熟练掌握导数有关的知识点。
2.掌握导数有关切线、极值、最值问题的应用。
【重点】 掌握导数有关切线、极值、最值问题的应用。
【知识点回顾】1.基本初等函数的导数公式：①='C ②=)'(n x ③=)'(sin x ④=)'(cos x⑤=')(x a ⑥=')(x e ⑦='][log x a ⑧=')(ln x2.导数的运算法则：①()()[]=±'x g x f ②()()[]='x g x f③()()=⎥⎦⎤⎢⎣⎡'x g x f ④ ()[]='x cf3.导数的应用：（1）切线斜率与导数的关系：（2）求极值的方法：（3）求最值得方法：【合作、探究、展示】例1、右图为)(x f y =的导函数的图像，则正确的判断是①()x f 在（-3,1）上是增函数。
②1-=x 是()x f 的极小值点。
③()x f 在（2,4）上是减函数，在（-1,2）上是增函数。
④2=x 是()x f 的极小值点。
规律方法总结：例2、设()bx ax x x f 3323+-=的图像与直线0112=-+y x 相切于点（1，-11） 求a,b 的值。
规律方法总结：例3、已知a 为实数，()()()a x x x f --=42(1)求()x f ' (2)若1-=x 是函数()x f 的一个极值点，求()x f 在[]2,2-上的最大值和最小值。
规律方法总结：★例4：已知函数()x x x f ln 22-=，求()x f 的单调区间与极值。
高中数学导数及其应用教案
高中数学导数及其应用教案教学目标：1. 理解导数的定义和性质，能够计算常见函数的导数。
2. 掌握导数在函数求极限、判定函数的增减性和凹凸性等方面的应用。
3. 能够解决实际问题中的优化和相关性问题。
教学内容：1. 导数的定义和性质2. 基本函数的导数3. 高阶导数4. 函数的导数应用：求极限、判定增减性和凹凸性5. 优化问题和相关性问题的求解教学流程：1. 导数的定义和基本性质的介绍（15分钟）- 导数的定义- 导数的性质：线性性、乘积法则、商法则、链式法则2. 基本函数的导数计算（20分钟）- 常数函数、幂函数、指数函数、对数函数的导数计算- 三角函数的导数计算3. 高阶导数和导数的应用（25分钟）- 高阶导数的定义和计算- 导数在函数的极限、增减性和凹凸性判定中的应用4. 优化问题和相关性问题的解决（20分钟）- 优化问题的定义和解决方法- 相关性问题的建模和解决方法教学方法：1. 讲解导数的定义和性质，引导学生理解概念并掌握基本计算方法。
2. 练习基本函数的导数计算，帮助学生巩固知识。
3. 引导学生理解高阶导数和导数在函数中的应用，培养学生应用知识解决问题的能力。
4. 练习优化问题和相关性问题，让学生通过实际问题感受导数在解决问题中的作用。
教学评估：1. 布置作业，巩固学生对导数的理解和应用能力。
2. 定期组织小测验，检验学生对导数相关知识的掌握程度。
3. 课堂中提问和讨论，评估学生对导数的理解程度。
教学资源：1. PowerPoint课件：导数的定义和基本性质、基本函数的导数计算、高阶导数和导数的应用、优化问题和相关性问题的解决。
2. 习题册：导数相关习题，巩固学生对导数的掌握。
教学反思与总结：教师在教学导数及其应用过程中，要注意引导学生理解概念、掌握计算方法，并注重培养学生的问题解决能力。
通过多种教学方法，激发学生的学习兴趣，提高他们的学习效果。
及时总结分析教学过程中出现的问题和不足，不断完善教学内容和方法，提升教学质量。
人教版高中数学导数的应用教案2023
人教版高中数学导数的应用教案2023教案：人教版高中数学导数的应用一、教学目标通过本节课的学习，使学生能够：1. 了解导数的概念及其在数学问题中的应用；2. 学习常见函数的导数求解方法；3. 掌握导数在函数图像的刻画中的应用；4. 运用导数解决实际问题。
二、教学重难点1. 重点：导数的概念及其应用；2. 难点：运用导数解决实际问题。
三、教学过程1. 导入（5分钟）通过引入一个简单的实际问题，激发学生对导数的兴趣和应用价值。
2. 提出问题（10分钟）通过一系列问题的提出与讨论，引出导数的概念，激发学生的思考。
3. 导数的定义与求解（20分钟）讲解导数的定义及其求解方法，并通过一些例题进行说明和练习。
4. 导数与函数图像（15分钟）介绍导数与函数图像的关系，如导数的正负值与函数的增减性、导数为零点与函数的极值等，并通过相关例题加深理解。
5. 导数的应用（30分钟）a. 最值问题：讲解如何通过导数求解函数的最值问题，并结合实际问题引导学生运用所学方法。
b. 曲线的切线与法线：引入曲线的切线与法线的概念，介绍切线斜率等于导数的方法，并通过例题进行演示和练习。
c. 变率问题：引导学生思考变率的概念与导数的联系，并通过具体问题引导学生应用导数解决变率问题。
6. 小结与拓展（5分钟）对本节课的内容进行小结，并提供一些延伸问题供学生进一步思考和拓展。
四、教学手段1. 板书：概念定义、例题解析、解题思路等重点内容；2. 图片展示：通过图示形象化地表达导数与函数图像的关系，激发学生的视觉感受；3. 实例演练：通过一些实际问题的演示和讨论，引导学生运用所学知识解决问题。
五、教学评价1. 课堂练习：针对每个环节，设置相应的练习题，检验学生对所学知识的掌握情况；2. 课堂互动：通过提问、讨论等方式，了解学生对导数概念的理解和应用能力。
六、教学反思本节课通过问题引入、理论讲解、例题练习等多种教学手段，使学生在掌握导数的概念的同时，能够将其应用于实际问题的解决中。
导数及应用导学案
导数及应用导学案【课前预习导读】 一、学习目标1.知识与技能１）了解导数概念的实际背景, 理解导数的几何意义．２）掌握函数y =c (c 为常数)、*()n y x n =∈N 的导数公式，会求多项式函数的导数。
３）会用导数求多项式函数的单调区间, 极值及闭区间上的最值，利用导数证明函数的的单调性，会利用导数求最值的方法解决一些实际问题． 2.过程与方法通过对几种题型的分析、讲解和进一步的练习，提高学生综合、灵活运用数形结合思想、分类讨论思想解决问题的能力。
3.情感态度价值观培养学生合情推理和独立思考等良好的思想品质，以及主动参与、勇于探索的精神。
二、重点难点函数单调性及极值、最值的讨论 三、学习方法：探究、讨论、归纳。
四、自主复习1、 已知0a >，函数312()f x ax x a=+，且'(1)12f ≤，则a = （ ） A ．4 B ．3 C ．2 D ．1 2．设点P 是曲线3233+-=x x y 上的任意一点，P 点处切线的倾斜角为α，则 角α的取值范围是 （ ）A ．),32[ππB ．]65,2(ππC ．),65[)2,0[πππ D ．),32[)2,0[πππ 3．已知函数f (x )=x 3+3ax 2+3(a +2)x +1既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是 ．4．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数的导函数)，下面四个图象中()y f x =图象大致是（ ）【课堂自主导学】 一、问题探究例1 （1）曲线f (x )=x 3－3x ，过点A (0，16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程；变式：若把“A (0，16)”改为“B （2，2）”，其余不变，结果如何？例 2 函数32()f x x ax bx c =+++，在曲线()y f x =上的点))1(,1(f P 处的切线方程为y =3x +1．（1）若()2y f x x ==-在时有极值，求()f x 的表达式；（2）在（1）的条件下，若对于任意]1,3[-∈x 都有()f x m <成立, 求实数m 的取值范围； （3）若函数()y f x =在区间[－2，1]上单调递增，求b 的取值范围。
高中数学教案函数的导数与应用
高中数学教案函数的导数与应用高中数学教案：函数的导数与应用导数是数学中一个重要的概念，它在函数研究和应用问题中起着关键的作用。
本教案将介绍函数的导数的概念、求导法则以及导数在各种实际应用中的具体运用。
一、函数的导数的概念及求导法则1.1 函数的导数概念函数的导数描述了函数在某一点的变化率，可用以下定义来表达：对于函数f(x)，当自变量x在某点a处有极小的增量Δx时，相应的函数增量为Δf(x)。
如果当Δx趋近于0时，函数增量Δf(x)与Δx之比的极限存在，那么这个极限就是函数f(x)在点a处的导数。
导数用f'(a)或者dy/dx|_(x=a)表示。
1.2 常见函数的导数求法在实际应用中，我们常常需要对各种函数进行求导。
以下是一些常见函数的导数求法：1.2.1 常数函数的导数对于常数函数y = c，其中c为常数，其导数为0。
1.2.2 幂函数的导数对于幂函数y = x^n，其中n为常数，其导数为dy/dx = nx^(n-1)。
1.2.3 指数函数的导数对于指数函数y = a^x，其中a为底数（a>0且a≠1），其导数为dy/dx = a^x·ln(a)。
1.2.4 对数函数的导数对于对数函数y = logₐ(x)，其中a为底数（a>0且a≠1），其导数为dy/dx = 1/（x·ln(a)）。
1.2.5 三角函数的导数对于三角函数，常见的导数求法如下：- 正弦函数的导数：dy/dx = cos(x)- 余弦函数的导数：dy/dx = -sin(x)- 正切函数的导数：dy/dx = sec^2(x)- 余切函数的导数：dy/dx = -csc^2(x)二、导数在函数研究中的应用2.1 函数的单调性与极值导数可以帮助我们研究函数的单调性与极值。
当函数的导数为正时，函数递增；当函数的导数为负时，函数递减。
函数的极值出现在导数为0的点或者导数不存在的点上。
2.2 函数的凹凸性与拐点导数还可以帮助我们研究函数的凹凸性与拐点。
导数公式表及应用导学案
导数公式表及应用导学案【学习要求】1．能根据定义求函数y ＝c ，y ＝x ，y ＝x 2，y ＝1x 的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数． 【学法指导】1．利用导数的定义推导简单函数的导数公式，类推一般多项式函数的导数公式，体会由特殊到一般的思想．通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣．2．本节公式是下面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键．记公式时，要注意观察公式之间的联系．【知识要点】1【问题探究】探究点一求导函数 问题1 怎样利用定义求函数y ＝f (x )的导数？问题2 利用定义求下列常用函数的导数：（1） y ＝c ； （2）y ＝x ； （3）y ＝x 2； （4）y ＝1x ； （5）y ＝x .问题3 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段无法变形，怎样解决这个问题？例1 求下列函数的导数：（1）y ＝sin π3； （2）y ＝5x ； （3）y ＝1x 3； （4）y ＝4x 3； （5）y ＝log 3x .跟踪训练1 求下列函数的导数：（1）y ＝x 8； （2）y ＝(12)x ； （3）y ＝x x ； （4）x y 31log =探究点二 求某一点处的导数例2 判断下列计算是否正确．求f (x )＝cos x 在x ＝π3处的导数，过程如下：f ′⎝⎛⎭⎫π3＝⎝⎛⎭⎫cos π3′＝－sin π3＝－32.跟踪训练2 求函数f (x )＝13x在x ＝1处的导数．探究点三 导数公式的综合应用例3 已知直线x －2y －4＝0与抛物线y 2＝x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，试在抛物线的弧 上求一点P ，使△ABP 的面积最大．跟踪训练3 点P 是曲线y ＝e x 上任意一点，求点P 到直线y ＝x 的最小距离． 【当堂检测】1．给出下列结论：①若y ＝1x 3，则y ′＝－3x 4；②若y ＝3x ，则y ′＝133x ；③若y ＝1x2，则y ′＝－2x －3；④若f (x )＝3x ，则f ′(1)＝3.其中正确的个数是 ( )A ．1B ．2C ．3D ．42．函数f (x )＝x ，则f ′(3)等于 ( )A ．36B ．0C ．12x D ．32 3．设正弦曲线y ＝sin x 上一点P ，以点P 为切点的切线为直线l ，则直线l 的倾斜角的范围是 ( ) A ．[0，π4]∪[3π4，π) B ．[0，π) C ．[π4，3π4] D ．[0，π4]∪[π2，3π4] 4．曲线y ＝e x 在点(2，e 2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________【课堂小结】1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．如求y＝1－2sin2x2的导数．因为y＝1－2sin2x2＝cos x，所以y′＝(cos x)′＝－sin x.3．对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化。
【2019年整理】高三数学复习课导学案《导数及导数的应用》
高三数学复习课导学案《导数及导数的应用》学科：数学 课题：导数及导数的应用 (一) 编号：1.会用导数求函数的单调区间以及已知单调区间求参数范围2记住极值、极值点的定义并会用导数求函数的极值、最值3.提高规范意识和注重细节意识，从而提高“稳做会，求全对”的得分意识4.不断提高运用数形结合、分类讨论以及转化等思想的能力1记住导数的几何意义，求导公式（8个基本函数求导公式，导数的四则运算，复合函数如何求导）2回顾用导数求函数单调区间以及已知单调区间求参数范围的方法步骤3 回顾极值、极值点的定义及用导数求极值、最值的方法步骤4结合一轮复习回顾导数部分常见题型及解题方法.)x (f .a x x )x ln(a )x (f x .的极值）求函数（的值）求（的一个极值点是函数已知21101362-++== 处取得极小值，则实数在函数 的单调递增区间为函数 ）轴交点的纵坐标是（ 处的切线与在点山东文）曲线==-=-=--+=m x )m x (x )x (f .x ln x y .y ),(P x y .(152215(D) 9(C) 3 (B)9(A)1211120111223 的单调递增区间是函数x x x )x (f .32132323++-=）内单调递减，则，在（若函数204423+-=ax x )x (f . 的取值范围是 a考点一 函数的单调性与导数例1 （2011年天津高考19(2)）【求单调区间】已知函数 R x t x t tx x x f ∈-+-+=,1634)(223 其中t R ∈当0t ≠时，求()f x 的单调区间.变式训练：求f(x)的单调区间.例2 2011年青岛模拟考试（理21（2））【已知单调区间求参数范围】 ),0)(2)((6)(1'≠-+=t t x t x t x f 若[].)x (f 上的单调性，在讨论21),0)(2)((6)(2'>-+=t t x t x t x f 若 已知函数),x ('f )x ln()x (g ,x ax x )x (f -++=++-=31323223问： 是否存在实数 使得 在 上单调递增，若存在求实数 的取值范围；若不存在请说明理由.考点二 函数的极值、最值与导数例3的取值范围？ 个交点，求的图像有与函数若直线的极值求函数的值求的一个极值点是函数已知b )x (f b y )x (f a x x )x ln(a )x (f x 3(3)(2)(1)10132=-++==思考：若方程0101162=--++b x x )x ln(有三个不同实根，该如何求b 的取值范围？a )x (g ⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞-,21a )x (g )x (f )x (F .m x x )x (g ,x ln a x )x (f -=+-=-=令22（1）当 时，试求实数 的取值范围使得 的图像恒在 轴上方；（2）当 时，若函数 在 上恰有两个不同零点，求实数 的取值范围；（3）是否存在实数 的值，使函数 和函数 在定义域上具有相同的单调性？若存在求出 的值，若不存在请说明理由 .)(1,0+∞∈=x ,m a )x (F x 2=a )x (F [1,3]m a )x (f )x (g a的（ ）条件是则 ）内单调递增，，在（ 设q p m q mx x x x f p ,5:012ln )(:.12-≥∞++++= (A) 充分不必要 (B)必要不充分 (C)充分必要 (D)既不充分也不必要2. （2011年湖南高考）设直线x=t 与函数f(x)= x 2,g(x)=lnx 的图像分别交于M,N 点，则当MN 达到最小时t 的值为（ ） （A ）1 （B ）21 （C ）25（D ）22 3. 已知4)2(2)(24-++-=x p px x f 在]3,-∞-（上为增函数，在)0,3[-上为减函数，则p=4 已知函数 ，常数 为实数（1）是否存在实数 使得 在区间 上单调递增恒成立，若存在求出 的取值范围，若不存在请说明理由； （2）求函数 的单调递增区间B 组(选)： 5)x (a )x ln(x )x (f 11+-+=a a )x (f [)+∞,1a x ax )x ('f )x (g +-=1121(2)(1)010212-+>=>+-=)a ln()a (g ),a (g )x (f )x (f b a )('f )a (bx ax x ln )x (f 试证明不等式的最大值为设函数的单调区间，并求的代数式表示试用含有且已知函数。
导数及其应用复习完整版
《导数及其应用》复习导学案一、知识梳理二、典例剖析题型一、导数的概念及运算1．在求平均变化率时，自变量的增量为（ ）A ．0x ∆>B ．0x ∆<C ．0x ∆=D ． 0x ∆≠ 【答案】D2．函数f (x )＝2x 2－1在区间[1,1＋Δx ]上的平均变化率ΔyΔx等于( )A ．4B ．4＋2ΔxC ．4＋2(Δx )2D ．4x 变式．已知f (x )＝－x 2＋10，则f (x )在x ＝32处的瞬时变化率是__________.3． 下列求导正确的是 ( ) 【答案】BA.（x+x 1）′=1+21x B. (log2x)′=ln21x C. (3x)′=3xlog3xD. (x2cosx)′=－2xsinx4．下列说法正确的是（ ）A ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处就没有切线；B ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 有切线，则)(0x f '必存在；C ．若)(0x f '不存在，则曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在；D ．若曲线)(x f y =在点()00,()x f x 处的切线斜率不存在，则曲线在该点处没有切线。
【答案】C5．设,M m 分别是()f x 在区间[],a b 上的最大值和最小值，则()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰，由上述估值定理，估计定积分2212x dx --⎰的取值范围是 ．【解析】：因为当12x -≤≤ 时，204x ≤≤ ，所以，212116x -≤≤所以由估值定理得：()()221121212116x dx --⨯--≤≤⨯--⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰， 即22132316x dx --≤≤⎰，所以答案应填：3,316⎡⎤⎢⎥⎣⎦． 6．211dx x +=⎰⎰．【答案】ln 24π+ 题型二、导数的几何意义7．已知曲线y ＝2x 2上一点A (2,8)，则曲线在点A 处的切线斜率为( )A ．4B ．16C ．8D ．2 8．求过点P (－1,2)且与曲线y ＝3x 2－4x ＋2在点M (1,1)处的切线平行的直线．变式1．已知曲线y ＝x ＋ln x 在点(1,1)处的切线与曲线y ＝ax 2＋(a ＋2)x ＋1相切，则a ＝________.变式2．已知函数f (x )＝－13x 3＋2x 2＋2x ，若存在满足0≤x 0≤3的实数x 0，使得曲线y ＝f (x )在点(x 0，f (x 0))处的切线与直线x ＋my －10＝0垂直，则实数m 的取值范围是( )A ．[6，＋∞)B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[5,6] 变式 3.已知曲线2()xf x x e m =+-在0x =处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为16，则实数m 的值为 ．9．已知抛物线y ＝x 2，直线l ：x －y －2＝0，则抛物线上的点到直线l 的最短距离是 ． 变式.点P 是曲线2ln y x x =-，则点P 到直线40x y --=的距离的最小值是 ．题型三、导数的综合应用 类型1：导数的运算性质10.设()f x ，()g x 分别是定义在R 上的奇函数和偶函数，当0x <时，'()()()'()0f x g x f x g x +>，且(3)0f -=，则不等式()()0f x g x <的解集是（ ）A ．(3,0)(3,)-+∞ B ．(3,0)(0,3)- C ．(,3)(3,)-∞-+∞ D ．(,3)(0,3)-∞-变式1．函数f (x )在定义域R 内可导，若f (x )＝f (2－x )且当x ∈(－∞，1)时，(x －1)f ′(x )＜0.设a ＝f (0)，b ＝f ⎝⎛⎭⎫12，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系是______ ．变式2．设函数F (x )＝f (x )e x 是定义在R 上的函数，其中f (x )的导函数f ′(x )满足f ′(x )<f (x )对于x ∈R 恒成立，则( )A ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)B ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)>e 2 016f (0)C ．f (2)<e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)D ．f (2)>e 2f (0)，f (2 016)<e 2 016f (0)变式3．已知函数f (x )的定义域为R ，f (－1)＝2，对任意x ∈R ，f ′(x )＞2，则f (x )＞2x ＋4的解集为____________． 变式4．定义在R 上的偶函数f x 的导函数为()f x '，若对任意的实数x ，都有()()22f x xf x '+<恒成立，则使()()2211x f x f x -<-成立的实数x 的集合为（ ）A ．{}1x x ≠±B ．()(),11,-∞-+∞C ．()1,1-D ．()()1,00,1-【解析】：当0x >时，由()()220f x xf x +'-<可知：两边同乘以x 得： ()()2220xf x x f x x -'-< 设：()()22g x x f x x =-，则()()()2220g x xf x x f x x '=+'-<，恒成立：∴()g x 在(0)+∞，单调递减，由()()2211x f x f x -<-∴()()2211x f x x f -<-，即()()1g x g <，即1x >；当0x <时，函数是偶函数，同理得：1x <-；综上可知：实数x 的取值范围为()()11-∞-⋃+∞，，，故选：B变式5．函数()f x 的定义域是R ，(0)3f =，对任意,()()1x R f x f x ∈+>/，则不等式()2x xe f x e ⋅>+的解集为（ ）A ．{|0}x x <B ．{|0}x x >C ．{|1,}x x x <->或1D ．{|1,1}x x x <-<<或0 【解析】∵()()1f x f x +>/，∴()()0xxxe f x e f x e +>>/，∴[()1]()0xxe f x e f x -+>/，即{[()1]}0x e f x '->，∴函数()[()1]x F x e f x =-在R 上单调递增，且0(0)[(0)1]2F e f =-=∴ ()2[()1]2x x x e f x e e f x ⋅>+⇔->，∴x>0，故选B类型2：单调性问题11．函数()()3x f x x e =-的单调递增区间是（ ）DA ．(－∞，2)B ．(0,3)C ．(1,4)D ．(2，＋∞) 变式1．已知()21ln 2f x x a x =-在区间()0,2上不单调，实数a 的取值范围是（ ） A ．()()2,00,2- B ．()()4,00,4- C ．()0,2 D ．()0,4【答案】D变式2．已知函数()f x 的导函数图象如图所示，若ABC ∆为锐角三角形，则下列结论一定成立的是（ ）A ．()()sin cos f A fB > B ．()()sin cos f A f B <C ．()()sin sin f A f B >D ．()()cos cos f A f B < 12．(全国Ⅱ卷)若函数f (x )＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)内单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，－2]B ．(－∞，－1]C ．[2，＋∞)D ．[1，＋∞)变式1．若f (x )＝－12x 2＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是_____________．变式2．已知a ≥0，函数f (x )＝(x 2－2ax )e x .设f (x )在区间[－1,1]上是单调函数，求a 的取值范围．变式3．函数32y x ax bx =++在(,1)-∞-上单调递增，在()1,2-上单调递减，在()2,+∞上递增，则,a b 的值为( ) AA 、3,62a b =-=-B 、36,2a b =-=- C 、3,2a b == D 、3,6a b =-=-变式4．若函数y ＝a (x 3－x )的单调减区间为⎝⎛⎭⎫－33， 33，则a 的取值范围是( )A ．(0，＋∞)B ．(－1,0)C ．(1，＋∞)D ．(0,1)13．已知f(x)=e x -ax-1.（1）求f(x)的单调增区间； （2）若f(x ）在定义域R 内单调递增，求a 的取值范围；（3）是否存在a,使f(x)在（-∞，0］上单调递减，在［0，+∞）上单调递增？若存在，求出a 的值；若不存在，说明理由.【答案】解 ： f ′(x)= e x -a.(1)若a ≤0，f ′(x)= e x -a ≥0恒成立，即f(x)在R 上递增. 若a ＞0, e x -a ≥0,∴e x ≥a,x ≥lna. ∴f(x)的递增区间为（lna ，+∞）.（2）∵f （x ）在R 内单调递增，∴f ′(x)≥0在R 上恒成立. ∴e x -a ≥0，即a ≤e x 在R 上恒成立.∴a ≤（e x ）min ，又∵e x ＞0,∴a ≤0.[来源:Z §xx §] （3）由题意知e x -a ≤0在（-∞，0］上恒成立. ∴a ≥e x 在（-∞，0］上恒成立. ∵e x 在（-∞，0］上为增函数. ∴x=0时，e x 最大为1.∴a ≥1.同理可知e x -a ≥0在［0，+∞）上恒成立. ∴a ≤e x 在［0，+∞）上恒成立. ∴a≤1，∴a=1.14．设函数2e (),1axf x a x R =∈+. （Ⅰ）当1a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程； （Ⅱ）求函数)(x f 单调区间. 【答案】解：因为2e (),1ax f x x =+所以222e (2)()(1)ax ax x a f x x -+'=+.（Ⅰ）当1a =时, 2e ()1xf x x =+,222e (21)()(1)x x x f x x -+'=+,所以(0)1,f = (0)1f '=.所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为10x y -+=. ……………4分（Ⅱ）因为222222e (2)e ()(2)(1)(1)ax axax x a f x ax x a x x -+'==-+++， ……………5分 （1）当0a =时,由()0f x '>得0x <；由()0f x '<得0x >.[所以函数()f x 在区间(,0)-∞单调递增, 在区间(0,)+∞单调递减. ……………6分 （2）当0a ≠时, 设2()2g x ax x a =-+，方程2()20g x ax x a =-+=的判别式2444(1)(1),a a a ∆=-=-+ ……………7分①当01a <<时，此时0∆>.由()0f x '>得211a x a --<,或211a x a +->；由()0f x '<得221111a a x a a--+-<<. 所以函数()f x 单调递增区间是211(,)a a ---∞和211(,)a a +-+∞, 单调递减区间221111(,)a a a a--+-. ……………9分 ②当1a ≥时，此时0∆≤.所以()0f x '≥，所以函数()f x 单调递增区间是(,)-∞+∞. ……………10分 ③当10a -<<时，此时0∆>.由()0f x '>得221111a a x a a +---<<； 由()0f x '<得211a x a +-<,或211a x a-->.所以当10a -<<时,函数()f x 单调递减区间是211(,)a a +--∞和211(,)a a --+∞, 单调递增区间221111(,)a a a a+---. ……………12分 ④当1a ≤-时, 此时0∆≤，()0f x '≤，所以函数()f x 单调递减区间是(,)-∞+∞.类型3：图像问题15．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，容器中水面的高度h 随时间t 变化的可能图象是（ ）A ．B ．C ． D.【解析】：由三视图可知该几何体是圆锥，顶点朝下，底面圆的上面，随之时间的推移，注水量的增加高度在增加，所以函数是增函数，刚开始时截面面积较小，高度变化较快，随着注水量的增加，高度变化量减慢，综上可知B 正确16．函数()f x 的导函数()'f x 在区间(,)a b 内的图象如图所示， 则 ()f x 在(,)a b 内的极大值点有（ ）BA. 1个B. 2个C. 3个D. 4个变式1.如果函数()y f x =的图象如图，那么导函数()y f x '=的图象可能（ ）O thh t O h t O O t h变式2.设f ′(x )是函数f (x )的导函数，y ＝f ′(x )的图象如图所示，则y ＝f (x )的图象最有可能的是( )类型4：极值（最值）问题17．已知函数()313f x x ax b =-+在y 轴上的截距为1，且曲线上一点02, 2p y ⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭处的切线斜率为13. （1）曲线在P 点处的切线方程； （2）求函数()f x 的极大值和极小值【答案】解：（1）因为函数()313f x x ax b=-+在y 轴上的截距为1，所以1b = 又'2y x a =-，所以2211 236a a ⎛⎫-=∴= ⎪ ⎪⎝⎭()311 136f x x x ∴=-+ 所以0212y f ⎛⎫== ⎪ ⎪⎝⎭，故点2,12P ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，所以切线方程为12132y x ⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭ 即26620x y -+-=（2）由题意可得，令()'2106f x x =-=得66x =±列表如下：x6,6⎛⎫-∞- ⎪ ⎪⎝⎭66- 66,66⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭666,6⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭()'f x+- 0 + ()f x增区间极大 减区间极小增区间所以函数的极大值为661f ⎛=+ ⎝⎭， 极小值为661f =⎝⎭18．已知函数c bx x ax x f -+=44ln )()0(>x 在1=x 处取得极值c --3，其中c b a ,,为常数．（1）求b a ,的值； （2）求函数)(x f 的单调区间；（3）若对任意0>x ，不等式02)(2≥+c x f 恒成立，求c 的取值范围．解：（1）)4ln 4()(3/b a x a x x f ++=，0)1(='f ，∴04=+b a ，又c f --=3)1(，∴3,12-==b a ； 经检验合题意；………4分（2）x x x f ln 48)(3/=（)0>x ∴由0)(/=x f 得1=x ，当0)(/<x f 时，10<<x ，)(x f 单调递减；当0)(/>x f 时，1>x ，)(x f 单调递增；∴)(x f 单调递减区间为)1,0(，单调递增区间为),1(+∞ ……8分 （3）由（2）可知，1=x 时，)(x f 取极小值也是最小值c f --=3)1(，列表略 依题意，只需0232≥+--c c ，解得23≥c 或1-≤c ………………12分 19.已知函数()()xf x x k e =-. （1）求()f x 的单调区间； （2）求()f x 在区间]2,1[上的最小值；（3）设)(')()(x f x f x g +=，当2523≤≤k 时，对任意]1,0[∈x ，都有λ≥)(x g 成立，求实数λ的范围。
高中导数及其应用教案
4.4,3212='∴='∴+==x y x y x y即过点P 的切线的斜率为4，故切线为：14+=x y ．设过点Q 的切线的切点为),(00y x T ，则切线的斜率为04x ，又2900--=x y k PQ ，故00204262x x x =--，3,1.06820020=∴=+-∴x x x 。
即切线QT 的斜率为4或12，从而过点Q 的切线为：1512,14-=-=x y x y★ 热 点 考 点 题 型 探 析★考点1: 导数概念题型1.求函数在某一点的导函数值 [例1] 设函数()f x 在0x 处可导，则xx f x x f x ∆-∆-→∆)()(lim000等于A ．)('0x fB ．0'()f x -C ．0()f xD ．0()f x - 【解题思路】由定义直接计算 [解析]0000000()()[()]()limlim ()()x x f x x f x f x x f x f x x x ∆→∆→-∆-+-∆-'=-=-∆-∆.故选B【名师指引】求解本题的关键是变换出定义式00()()lim ()x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆考点2.求曲线的切线方程[例2](高明一中2009届高三上学期第四次月考)如图，函数)(x f y =的图象在点P 处的切线方程是 8+-=x y ，则)5()5(f f '+= . 【解题思路】区分过曲线P 处的切线与过P 点的切线的不同，后者的P 点不一定在曲线上. 解析:观察图形,设(5,(5))P f ,过P 点的切线方程为(5)'(5)(5)y f f x -=-即'(5)(5)5'(5)y f x f f =+-它与8+-=x y 重合,比较系数知:'(5)1,(5)3f f =-= 故)5()5(f f '+=2【名师指引】求切线方程时要注意所给的点是否是切点．若是，可以直接采用求导）cos x y e =）2tan ,y x x =+∴x'1(1)1x x =⋅+=+【名师指引】 注意复合函数的求导方法（分解2. (广东省2008届六校第二次联考)cos y x x =在3x π=处的导数值是.解析：'cos sin y x x x =-故填1326π-3. 已知直线2y －4=0与抛物线y 2=4x 相交于A 、B 两点，O 是坐标原点，P 是抛物线的弧上求一点P ，当△面积最大时，P 点坐标为 .解析：为定值，△面积最大，只要P 到的距离最大，只要点P 是抛物线的平行于的切线的切点，设P （）.由图可知，点P 在x 轴下方的图象上∴－2x ,∴y ′=－x 1,∵－21,∴－211-=x∴4,代入y 2=4x (y <0)得－4. ∴P (4,－4)4.(广东省深圳市2008年高三年级第一次调研考试)已知()ln f x x =，217()22g x x mx =++（0m <），直线l 与函数()f x 、()g x 的图像都相切，且与函数()f x 的图像的切点的横坐标为1．求直线l 的方程与m 的值；解：依题意知：直线l 是函数()ln f x x =在点(1,0)处的切线，故其斜率1(1)11k f '===，所以直线l 的方程为1y x =-．又因为直线l 与()g x 的图像相切，所以由22119(1)0172222y x x m x y x mx =-⎧⎪⇒+-+=⎨=++⎪⎩，得2(1)902m m ∆=--=⇒=-（4m =不合题意，舍去）； 5.(湛江市实验中学2009届高三第四次月考)已知函数)(),(),(21)(,ln )(2x g x f l a a x x g x x f 与函数直线为常数+==的图象都相切，且l 与函数)(x f 图象的切点的横坐标为1,求直线l 的方程与a 的值；解析：()'=f x'=f x ax()31a≥-3【名师指引】:本题主要考查函数的单调性与导数正负值的关系()f x '=，()f x '∴=0)0=，f ∴【名师指引】若要证的不等式两边是两类不同的基本函数，往往构造函数，借助于2(1)4y x =-++在[,2]a 上的最大值为154，1a ∴>-且在x a =时，215234y a a =--+=最大，解之12a =或32a =-（舍去），∴12a =选B.5．32()32f x x x =-+在区间[1,1]-上的最大值是A ．2-B ．0C ．2D ．4[解析]2()363(2)f x x x x x '=-=-，令()0f x '=可得0x =或2（2舍去），当10x -≤<时，()f x '0，当01x <≤时，()f x '0，所以当0x =时，f （x ）取得最大值为2.选C6．已知函数3()(0)f x ax cx d a =++≠是R 上的奇函数，当1x =时()f x 取得极值2-.（1）求()f x 的单调区间和极大值；（2）证明对任意12,x x (1,1),∈-不等式12|()()|4f x f x -<恒成立. [解析]（1）由奇函数定义，有()(),f x f x x R -=-∈. 即33,0.ax cx d ax cx d d --+=---∴=因此，3(),f x ax cx =+ 2'()3.f x ax c =+由条件(1)2f =-为()f x 的极值，必有'(1)0,f =故 230a c a c +=-⎧⎨+=⎩,解得 1, 3.a c ==-因此3()3,f x x x =-2'()333(1)(1),f x x x x =-=+- '(1)'(1)0.f f -== 当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(,1)-∞-上是增函数. 当(1,1)x ∈-时，'()0f x <，故()f x 在单调区间(1,1)-上是减函数. 当(1,)x ∈+∞时，'()0f x >，故()f x 在单调区间(1,)+∞上是增函数. 所以，()f x 在1x =-处取得极大值，极大值为(1) 2.f -= （2）由(1)知，3()3([1,1])f x x x x =-∈-是减函数，且()f x 在[1,1]-上的最大值为(1)2,M f =-=最小值为(1) 2.m f ==-所以，对任意12,(1,1),x x ∈-恒有12|()()|2(2) 4.f x f x M m -<-=--=[方法技巧]善于用函数思想不等式问题,如本题12max min |()()|()()-≤-f x f x f x f x . ★ 抢 分 频 道 ★基础巩固训练1．（广东省六校2009届高三第二次联考试卷） 函数)(x f 的定义域为开区间),(b a ，导函数)(x f '在),(b a 值内的图象如图所示，则函数)(x f 在),(b a 内有极小点共有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ． 4个 解析：观察图象可知，只有一处是先减后增的，选A 2．、函数313y x x =+-有（ ）A. 极小值－1，极大值1B. 极小值－2，极大值3C. 极小值－2，极大值2D. 极小值－1，极大值3解析：2333(1)(1)y x x x '=-=-+，令0y '=得 1,1x x ==-当1x <-时，0y '>；当11x -<<时，0y '<；当1x >，0y '<∴ 1x =-时，1y =-极小，当1x =3y =极大，故选D.3．函数(x )－x ,在区间(0］上的最大值为A.1－eB.－1C.－eD.0解析：y ′=x1－1,令y ′=0,即1,在(0，e ］上列表如下：x (0,1) 1 (1) ey ′ + 0 －y增函数极大值－1减函数1－e由于f (e)=1－e,而－1＞1－e,从而y 最大(1)=－1.答案：B4．(广东深圳外国语学校2008—2009学年高三第二次月考)若1>a ，求函数)),0()(ln()(+∞∈+-=x a x x x f 的单调区间.[解析],121)(ax x x f +-='y=f '(x)bao yx图2图1即在相同的时间内,生产第9档次的产品的总利润最大,最大利润为864元.10分解法二:由上面解法得到－6x 2+108378. 求导数,得y ′=－12108,令y ′=－12108=0,解得9.因9∈［1,10］只有一个极值点,所以它是最值点,即在相同的时间内,生产第9档次的产品利润最大,最大利润为864元.【名师指引】一般情况下,对于实际生活中的优化问题,如果其目标函数为高次多项式函数、简单的分式函数简单的无理函数、简单的指数、对数函数,或它们的复合函数,均可用导数法求其最值.由此也可见,导数的引入,大大拓宽了中学数学知识在实际优化问题中的应用空间.题型2:几何模型的最优化问题【名师指引】与最值有关的问题应合理解模,使问题获解.例3. (07上海春季高考)某人定制了一批地砖. 每块地砖 (如图1所示）是边长为4.0米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边和上， △CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格之比依次为3:2:1. 若将此种地砖按图2所示的形式铺设，能使中间的深色阴影部分成四边形EFGH .(1) 求证：四边形EFGH 是正方形；费用最(2) F E 、在什么位置时，定制这批地砖所需的材料省？【解题思路】图2是由四块图1所示地砖绕点C 按顺时针旋转90后得到，△CFE 为等腰直角三角形， ∴ 四边形EFGH 是正方形. [解析] (2) 设x CE =，则x BE -=4.0，每块地砖的费用为W ，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 三种材料的每平方米价格依次为3a 、2a 、a (元)， a x x a x a x W ⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⨯⨯--+⨯-⨯⨯+⋅=)4.0(4.0212116.02)4.0(4.02132122 ()24.02.02+-=x x a[]4.00,23.0)1.0(2<<+-=x x a .由0>a ，当1.0=x 时，W 有最小值，即总费用为最省.答：当1.0==CF CE 米时，总费用最省.【名师指引】 处理较复杂的应用题审题时要逐字逐句地去啄磨. 题型3:三角模型的最优化问题例4. 若电灯B 可在桌面上一点O 的垂线上移动，桌面上有与点O 距离为a 的另一点A ，问电灯与点0的距离怎样，可使点A 处有最大的照度？（,,r BA BAO ==∠ϕ照度与ϕsin 成正比，与2r 成反比）2r 成反比，【解题思路】如图，由光学知识，照度y 与ϕsin 成正比，与即2sin rCy ϕ=（C 是与灯光强度有关的常数）要想点A 处有最大的照度，只需求y 的极值就可以了. 解析：设O 到B 的距离为x ，则rx=ϕsin ，22a x r += 于是)0()(sin 232232∞<≤+===x a x xCrxC r C y ϕ，0)(2252222=+-='a x x a Cy .当0='y 时，即方程0222=-x a 的根为21a x -=（舍）与22a x =，在我们讨论的半闭区间[)+∞,0内，所以函数)(x f y =在点2a 取极大值，也是最大值。
高中数学导数导学案,导数及其应用导学案
第13讲 变化率与导数、导数的运算1.变化率与导数 (1)平均变化率:概念对于函数y=f (x ),f(x 2)-f(x 1)x 2-x 1=Δy Δx 叫作函数y=f (x )从x 1到x 2的变化率几何意义函数y=f (x )图像上两点(x 1,f (x 1)),(x 2,f (x 2))连线的物理意义若函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则ΔyΔx 就是该质点在[x 1,x 2]上的 速度(2)导数:概念点x 0处ΔΔΔΔx→0ΔyΔx =ΔΔΔΔx→0f(x 0+Δx)-f(x 0)Δx,我们称它为函数y=f (x )在处的导数,记为f'(x 0)或y'|x =x 0,即f'(x 0)=ΔΔΔΔx→0ΔyΔx = ΔΔΔΔx→0f(x 0+Δx)-f(x 0)Δx区间 (a ,b ) 当x ∈(a ,b )时,f'(x )=ΔΔΔΔx→0ΔyΔx =ΔΔΔΔx→0叫作函数在区间(a ,b )内的导数几何意义函数y=f (x )在点x=x 0处的导数f'(x 0)就是函数图像在该点处切线的 .曲线y=f (x )在点(x 0,f (x 0))处的切线方程是物理意义函数y=f (x )表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x 0处的导数就是质点在x=x 0时的 速度,在(a ,b )内的导数就是质点在(a ,b )内的 方程2.导数的运算常用导数公式原函数导函数特例或推广常数函数C'=0(C为常数)幂函数(x n)'=(n∈Z)(1Δ)'=-1Δ2三角函数(sinx)'= ,(cosx)'=偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数,周期函数的导数是周期函数指数函数(a x)'=(a>0,且a≠1)(e x)'=e x对数函数(log a x)'=(a>0,且a≠1)(lnx)'=1Δ,(ln|x|)'=1Δ四则运算法则加减[f(x)±g(x)]'=(∑Δ=1ΔΔΔ(Δ))'=∑Δ=1Δf'i(x)乘法[f(x)·g(x)]'=[Cf(x)]'=Cf'(x) 除法[Δ(Δ)Δ(Δ)]'=(g(x)≠0)[1Δ(Δ)]'=-Δ'(Δ)[Δ(Δ)]2复合函数求导复合函数y=f[g(x)]的导数与函数y=f(u),u=g(x)的导数之间具有关系y'x= ,这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u 的导数与u对x的导数的乘积”题组一常识题1.[教材改编]向气球中充入空气,当气球中空气的体积V(单位:L)从1 L增加到2 L时,气球半径r(单位:dm)的平均变化率约为.2.[教材改编]已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用(单位:元)为c(x)=5284(80<x<100),当净化到纯净度为98%时费用的瞬时变化率为.100-Δ3.[教材改编]y=ln(x+1)的导数是y'= .4.[教材改编]曲线y=x e x-1在点(1,1)处切线的斜率等于.题组二常错题◆索引:平均变化率与导数的区别;求导时不能掌握复合函数的求导法则致错;混淆f'(x0)与[f(x0)]',f'(ax+b)与[f(ax+b)]'的区别.5.函数f(x)=x2在区间[1,2]上的平均变化率为,在x=2处的导数为.6.已知函数y=sin 2x,则y'= .7.已知f(x)=x2+3xf'(2),则f(2)= .8.已知f(x)=x3,则f'(2x+3)= ,[f(2x+3)]'= .探究点一导数的运算例1 (1)若函数f(x)=x·e x+f'(1)·x2,则f'(1)= .(2)函数y=sin(x+1)-cosΔ的导数为y'= .2[总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆.变式题 (1)已知函数f(x)=sin(2Δ-π3),则f'(π3)=()A.√3B.√32C.12D.1(2)已知函数f(x)=ln(ax-1)的导函数是f'(x),且f'(2)=2,则实数a的值为()A.12B.23C.34D.1探究点二导数的几何意义角度1求切线方程例2[2018·南昌模拟]曲线y=3sin x+16x3+1在点(0,1)处的切线方程为.[总结反思] (1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0);(2)求解曲线切线问题的关键是求切点的横坐标,在使用切点横坐标求切线方程时应注意其取值范围;(3)注意曲线过某点的切线和曲线在某点处的切线的区别.变式题已知f(x)=x3-3x,过点P(-2,-2)作函数y=f(x)图像的切线,则切线方程为.角度2求切点坐标例3 设a∈R,函数f(x)=e x+ΔeΔ是偶函数,若曲线y=f(x)的一条切线的斜率是32,则切点的横坐标为.[总结反思] (1)f'(x)=k(k为切线斜率)的解即为切点的横坐标;(2)切点既在曲线上也在切线上,这个点对于与切点有关的问题非常重要.变式题曲线y=e x在点A处的切线与直线x-y+1=0平行,则点A的坐标为()A.(-1,e-1)B.(0,1)C.(1,e)D.(0,2)角度3求参数的值或范围例4 (1)若f(x)=2e x+3ax+b的图像在点(0,1)处的切线l与直线x+2y-5=0垂直,则a+b= ()A.1B.-1C.2D.-2(2)[2018·莆田模拟]已知定义在(0,+∞)上的函数f(x)=x2-m,h(x)=6ln x-4x,设曲线y=f(x)与y=h(x)在公共点处的切线相同,则m=()A.-3B.1C.3D.5[总结反思] (1)利用导数的几何意义求参数的基本方法:利用切点的坐标、切线的斜率、切线方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组),进而求出参数的值或取值范围.(2)注意曲线上点的横坐标的取值范围.变式题已知函数f(x)=ln(x+1)·cos x-ax的图像在点(0,f(0))处的切线的倾斜角为45°,则a=()A.-2B.-1C.0D.3第13讲 变化率与导数、导数的运算考试说明 1.导数概念及其几何意义①了解导数概念的实际背景. ②理解导数的几何意义.2.导数的运算①能根据导数定义求函数y=C (C 为常数),y=x ,y=x 2,y=x 3,y=1Δ,y=√Δ的导数.②能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数,能求简单的复合函数(仅限于形如f (ax+b )的复合函数)的导数.【课前双基巩固】 知识聚焦1.(1)平均 斜率 平均 (2)x=x 0 Δ(Δ+ΔΔ)-Δ(Δ)ΔΔ斜率 y-f (x 0)=f'(x 0)(x-x 0) 瞬时速度2.nx n-1cos x -sin x a xln a1Δln Δf'(x )±g'(x ) f'(x )·g (x )+f (x )·g'(x )Δ'(Δ)Δ(Δ)-Δ'(Δ)Δ(Δ)[Δ(Δ)]2y'u ·u'x对点演练1.0.16 dm/L [解析] 易知r (V )=√3V4Δ3,故气球中空气的体积从1 L 增加到2 L 时,气球半径r (单位:dm)的平均变化率为r(2)-r(1)2-1≈0.16(dm/L).2.1321元/吨 [解析] c'(x )=5284(100-Δ)2,代入x=98计算可得.3.1Δ+1 [解析] y'=1Δ+1×(x+1)'=1Δ+1.4.2 [解析] y'=x'e x-1+x e x-1·(x-1)'=(x+1)e x-1,所以y'|x=1=2,即曲线在点(1,1)处切线的斜率为2.5.3 4 [解析] 函数f (x )=x 2在区间[1,2]上的平均变化率为22-122-1=3.因为f'(x )=2x ,所以f (x )在x=2处的导数为2×2=4.6.2cos 2x [解析] 方法一:y'=(2sin x cos x )'=2(sin x )'cos x+2sin x (cosx )'=2cos 2x-2sin 2x=2cos 2x.方法二:y'=cos 2x ·(2x )'=2cos 2x.7.-8 [解析] 因为f'(x )=2x+3f'(2),令x=2,得f'(2)=-2,所以f (x )=x 2-6x ,于是f (2)=-8. 8.3(2x+3)26(2x+3)2[解析] f'(x )=3x 2,所以f'(2x+3)=3(2x+3)2,[f (2x+3)]'=[(2x+3)3]'=3(2x+3)2(2x+3)'=6(2x+3)2.【课堂考点探究】例1 [思路点拨] (1)对函数f (x )=x ·e x+f'(1)·x 2求导,令x=1,即可求得f'(1)的值;(2)根据导数的四则运算法则及复合函数的求导法则求解.(1)-2e (2)cos(x+1)+12sin Δ2 [解析] (1)∵f (x )=x ·e x +f'(1)·x 2,∴f'(x )=e x +x ·e x +2f'(1)x ,∴f'(1)=e +e +2f'(1),解得f'(1)=-2e .(2)将函数y=sin(x+1)看作y=sin u 和u=x+1的复合函数,则y'x =y'u ·u'x =(sin u )'·(x+1)'=cos u=cos(x+1).同理可以求出y=cos Δ2的导数为y'=-12sin Δ2.所以所求函数的导数为y'=cos(x+1)+12sin Δ2.变式题 (1)D (2)B [解析] (1)∵函数f (x )=sin (2Δ-π3),∴f'(x )=2cos (2Δ-π3), ∴f'(π3)=2cos (2π3-π3)=2cos π3=1,故选D .(2)因为f'(x )=ΔΔΔ-1,所以f'(2)=Δ2Δ-1=2,解得a=23,故选B .例2 [思路点拨] 先求导,从而得切线的斜率,再由点斜式求得切线方程. 3x-y+1=0 [解析] 求导得y'=3cos x+12x 2, 当x=0时,可得切线斜率k=3, 所以切线方程为y=3x+1,即3x-y+1=0.变式题 y=-2或y=9x+16 [解析] 对函数求导,得f'(x )=3x 2-3. 当点P (-2,-2)为切点时,切线斜率k=3×(-2)2-3=9, 根据点斜式得切线方程为y=9x+16.当点P (-2,-2)不是切点时,设切点坐标为(m ,n ),则{Δ=Δ3-3Δ,Δ+2Δ+2=3Δ2-3,可得m=1,所以切点为(1,-2),此时切线方程为y=-2. 综上,切线方程为y=9x+16或y=-2.例3 [思路点拨] 先根据f (x )为偶函数求得a=1,再建立方程,解得切点的横坐标. ln 2 [解析] 由题意可得f (x )=f (-x ),即e x+Δe Δ=e -x+Δe -Δ,即(1-a )(e Δ-1e Δ)=0对任意x ∈R 都成立,所以a=1,所以f (x )=e x +e -x ,f'(x )=e x -e -x.设切点为(x 0,y 0),则f'(x 0)=e Δ0-e -Δ0=32,由于f'(x )是R 上的增函数,且f'(ln 2)=32,所以x 0=ln 2,即切点的横坐标为ln 2.变式题 B [解析] 设点A 的坐标为(x 0,e Δ0).因为y'=e x,所以曲线在点A 处的切线斜率k=y'|Δ=Δ0=e Δ0, 又切线与直线x-y+1=0平行,所以e Δ0=1,解得x 0=0, 所以切点A 的坐标为(0,1).例4 [思路点拨] (1)求出原函数的导函数,根据题意列出关于a ,b 的方程(组),计算即可得到结果;(2)先设两曲线的公共切点为(a ,b )(a>0),再根据两函数在x=a 处的导数相等及切点在两曲线上列方程组,即可解得m 的值.(1)B (2)D [解析] (1)∵f (x )=2e x+3ax+b ,∴f'(x )=2e x+3a. 由题意得f'(0)=2+3a=2,解得a=0.∵点(0,1)在f (x )=2e x +3ax+b 的图像上,∴2+b=1,解得b=-1. ∴a+b=0+(-1)=-1.(2)设两曲线在公共点(a ,b )处的切线相同(a>0). 由题得f'(x )=2x ,h'(x )=6Δ-4,则{Δ=Δ2-Δ,Δ=6ln Δ-4Δ,2Δ=6Δ-4,解得{Δ=1,Δ=-4,Δ=5.变式题 C [解析] f'(x )=cos ΔΔ+1-ln(x+1)·sin x-a.∵函数f (x )=ln(x+1)·cos x-ax 的图像在点(0,f (0))处的切线的倾斜角为45°, ∴1-a=1,∴a=0,故选C .【备选理由】 例1考查导数的运算法则等知识,意在考查学生的基本计算能力;例2在知识点的交汇处命题,分别考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式,利用导数的几何意义求切线方程等知识;例3是一道导数新概念题,需要依据新定义求解,计算量较大,供学有余力的同学学习;例4是导数几何意义的应用与求参数取值范围的综合问题,并涉及数形结合思想,有一定的综合性.例1 [配合例1使用] 设函数f (x )=x (2017+ln x ).若f'(x 0)=2018,则x 0= ( )A .eB .e 2C .ln 2D .1[解析] D 因为f (x )=x (2017+ln x ), 所以f'(x )=2018+ln x ,所以f'(x 0)=2018+ln x 0=2018,所以x 0=1.例2 [配合例2使用] [2018·荆州中学月考] 函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x<0时,f (x )=x 3-2x 2,则曲线y=f (x )在点(1,f (1))处的切线方程为 . [答案] 7x-y-4=0[解析] ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x<0时,f (x )=x 3-2x 2,∴当x>0时,-x<0,f (-x )=(-x )3-2(-x )2=-x 3-2x 2=-f (x ), ∴当x>0时,f (x )=x 3+2x 2. ∴f (1)=1+2=3,f'(x )=3x 2+4x ,∴f'(1)=7, ∴所求切线方程为y-3=7(x-1),即7x-y-4=0.例3 [配合例4使用] [2018·石家庄质检] 定义:如果函数f (x )在区间[a ,b ]上存在x 1,x 2(a<x 1<x 2<b )满足f'(x 1)=Δ(Δ)-Δ(Δ)Δ-Δ,f'(x 2)=Δ(Δ)-Δ(Δ)Δ-Δ,则称函数f (x )是区间[a ,b ]上的一个双中值函数.已知函数f (x )=x 3-65x 2是区间[0,t ]上的一个双中值函数,则实数t 的取值范围是 ( ) A .(35,65) B .(25,65) C .(25,35) D .(1,65)[解析] A 由题意知,在区间[0,t ]上存在x 1,x 2(0<x 1<x 2<t )满足f'(x 1)=f'(x 2)=Δ(Δ)-Δ(0)Δ=Δ3-65Δ2Δ=t 2-65t.∵f (x )=x 3-65x 2,∴f'(x )=3x 2-125x ,∴方程3x 2-125x=t 2-65t 在区间(0,t )上有两个不同的实数解.令g (x )=3x 2-125x-t 2+65t (0<x<t ),则需满足{ (125)2-12(65Δ-Δ2)>0,Δ(0)=65Δ-Δ2>0,Δ(Δ)=2Δ2-65Δ>0,Δ>25,解得35<t<65,∴实数t 的取值范围是(35,65),故选A .例4 [配合例4使用] 已知函数f (x )={3-Δ(Δ≤0),√Δ(Δ>0),若函数g (x )=f (x )-12x-b 有且仅有两个零点,则实数b 的取值范围是 .[答案] 0<b<12[解析] ∵函数g (x )=f (x )-12x-b 有且仅有两个零点,∴函数f (x )={3-Δ(Δ≤0),√Δ(Δ>0)与函数y=12x+b 的图像有且仅有两个交点,作出函数f (x )={3-Δ(Δ≤0),√Δ(Δ>0)与函数y=12x+b 的图像,如图所示.当b=0时,两函数图像有一个交点,是一个临界值.当直线y=12x+b 与f (x )=√Δ(x>0)的图像相切时,两函数图像有一个交点,此时b 的值是另一个临界值.设切点为(m ,√Δ),m>0,∵f'(x )=12·√Δ(x>0),∴12·√Δ=12,解得m=1,故切点为(1,1), 故b=1-12=12.结合图像可得,0<b<12.第14讲 导数与函数的单调性函数的单调性与导数导数到单调性单调递增在区间(a ,b )上,若f'(x )>0,则f (x )在这个区间上单调单调递减在区间(a ,b )上,若f'(x )<0,则f (x )在这个区间上单调单调性到导数单调递增若函数y=f (x )在区间(a ,b )上单调递增,则f'(x )单调递减若函数y=f (x )在区间(a ,b )上单调递减,则f'(x )“函数y=f (x )在区间(a ,b )上的导数大(小)于0”是“其单调递增(减)”的 条件题组一 常识题1.[教材改编] 函数f (x )=e x-x 的单调递增区间是 . 2.[教材改编] 比较大小:x ln x (x ∈(1,+∞)).3.[教材改编] 函数y=ax 3-1在(-∞,+∞)上是减函数,则实数a 的取值范围为 . 4.[教材改编] 已知f (x )是定义在R 上的可导函数,函数y=ef'(x )的图像如图2-14-1所示,则f (x )的单调递减区间是 .图2-14-1题组二常错题◆索引:可导函数在某区间上单调时导数满足的条件;利用单调性求解不等式时不能忽视原函数的定义域;求单调区间时忽略定义域;讨论函数单调性时分类标准有误.5.若函数f(x)=kx-ln x在区间(1,+∞)上为增函数,则k的取值范围是.,则不等式f(1-x)>f(2x-1)的解集为.6.若函数f(x)=ln x-1Δ7.函数f(x)=x+ln(2-x)的单调递增区间为.8.讨论函数y=ax3-x在R上的单调性时,a应分、、三种情况讨论.探究点一函数单调性的判断或证明.讨论函数f(x)例1[2018·商丘二模]已知函数f(x)=(x-1)e x+1+mx2,其中m为常数,且m>-e2的单调性.[总结反思] 用导数法判断和证明函数f(x)在区间(a,b)内的单调性的一般步骤:(1)求f'(x).(2)确认f'(x)在区间(a,b)内的符号(如果含有参数,则依据参数的取值讨论符号).(3)得出结论:f'(x)>0时,函数f(x)为增函数;f'(x)<0时,函数f(x)为减函数.)e x,a∈R.变式题已知函数f(x)=(Δ+ΔΔ(1)求f(x)的零点;(2)当a≥-5时,求证:f(x)在区间(1,+∞)上为增函数.探究点二求函数的单调区间-ax(a∈R).例2 [2018·北京朝阳区一模]已知函数f(x)=lnΔ-1Δ(1)若a=0,求曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;(2)若a<-1,求函数f(x)的单调区间.[总结反思] (1)利用导数求函数单调区间的关键是确定导数的符号.不含参数的问题直接解导数大于(或小于)零的不等式,其解集即为函数的单调区间;含参数的问题,应就参数范围讨论导数大于(或小于)零的不等式的解,其解集即为函数的单调区间.(2)所有求解和讨论都必须在函数的定义域内,不要超出定义域的范围.x2的单调递增区间为()变式题 (1)函数f(x)=3ln x-4x+12A.(0,1),(3,+∞)B.(1,3)C.(-∞,1),(3,+∞)D.(3,+∞)+2ln x的单调递减区间是.(2)函数f(x)=x+3Δ探究点三已知函数单调性确定参数的取值范围例3 已知函数f(x)=x2+ln x-ax.(1)当a=3时,求f(x)的单调递增区间;(2)若f(x)在(0,1)上是增函数,求a的取值范围.[总结反思] (1)f(x)在D上单调递增(减),只要满足f'(x)≥0(≤0)在D上恒成立即可.如果能够分离参数,则可分离参数后转化为参数值与函数最值之间的关系.(2)二次函数在区间D上大于零恒成立,讨论的标准是二次函数的图像的对称轴与区间D的相对位置,一般分对称轴在区间左侧、内部、右侧进行讨论.变式题 (1)[2018·哈尔滨师大附中三模]若函数f(x)=2x+sin x·cos x+a cos x在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是 ()A.[-1,1]B.[-1,3]C.[-3,3]D.[-3,-1](2)若函数f(x)=x+a ln x不是单调函数,则实数a的取值范围是 ()A.[0,+∞)B.(-∞,0]C.(-∞,0)D.(0,+∞)探究点四函数单调性的简单应用例4 (1)定义域为R的可导函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)<f'(x),f(0)=2,则不等式f(x)<2e x的解集为()A.(-∞,0)B.(-∞,2)C.(0,+∞)D.(2,+∞)(2)已知函数g(x)是偶函数,f(x)=g(x-2),且当x≠2时,导函数f'(x)满足(x-2)f'(x)>0,若1<a<3,则()A.f(4a)<f(3)<f(log3a)B.f(3)<f(log3a)<f(4a)C.f(log3a)<f(3)<f(4a)D .f (log 3a )<f (4a)<f (3)[总结反思] 用导数比较大小或解不等式,常常要构造新函数,把比较大小或求解不等式的问题转化为利用导数研究函数单调性的问题,再由单调性比较大小或解不等式.常见构造的辅助函数有:g (x )=xf (x ),g (x )=Δ(Δ)Δ,g (x )=e xf (x ),g (x )=Δ(Δ)e Δ,g (x )=f (x )ln x ,g (x )=Δ(Δ)ln Δ等. 变式题 (1)已知a=2.12.2,b=2.22.1,c=log 2.22.1,则 ( ) A .c<b<a B .c<a<b C .a<b<c D .a<c<b(2)已知定义在实数集R 上的函数f (x )满足f (2)=7,且f (x )的导函数f'(x )<3,则不等式f (lnx )>3ln x+1的解集为 .第14讲 导数与函数的单调性考试说明 1.了解函数单调性和导数的关系;2.能利用导数研究函数的单调性;3.会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次).【课前双基巩固】 知识聚焦递增 递减 ≥0 ≤0 充分 对点演练1.(0,+∞) [解析] 由f'(x )=e x-1>0,解得x>0,故其单调递增区间是(0,+∞).2.> [解析] 设f (x )=x-ln x ,x ∈(1,+∞),则f'(x )=1-1Δ>0,所以函数f (x )在(1,+∞)上是增函数,所以f (x )=x-ln x>1>0,所以x>ln x.3.(-∞,0) [解析] ∵y'=3ax 2,函数在区间(-∞,+∞)上是减函数,∴y'≤0在(-∞,+∞)上恒成立,即3ax 2≤0恒成立, ∴a ≤0.∵当a=0时,y=-1,不是减函数, ∴a<0,即a ∈(-∞,0).4.(-∞,2] [解析] 因为当x ≤2时,e f'(x )≤1,所以当x ≤2时,f'(x )≤0,所以f (x )的单调递减区间是(-∞,2].5.[1,+∞) [解析] 因为函数f (x )=kx-ln x 在区间(1,+∞)上为增函数,所以f'(x )=k-1Δ≥0在(1,+∞)上恒成立,即k ≥1Δ在(1,+∞)上恒成立,可得k ≥1.6.(12,23) [解析] 因为x ∈(0,+∞),f'(x )=1Δ+1Δ2>0,所以函数f (x )=ln x-1Δ在(0,+∞)上为增函数,所以只需满足1-x>2x-1>0,解得12<x<23.7.(-∞,1) [解析] 由2-x>0,得x<2,即函数f (x )的定义域为(-∞,2). 易知f'(x )=1-12-Δ,令f'(x )>0,可得12-Δ<1,结合2-x>0,得2-x>1,解得x<1,即函数f (x )=x+ln(2-x )的单调递增区间为(-∞,1).8.a>0 a=0 a<0 [解析] y'=3ax 2-1,所以对a 分a>0,a=0,a<0三种情况讨论比较合理. 【课堂考点探究】例1 [思路点拨] 先对m 进行分类讨论,再结合f'(x )的符号讨论函数f (x )的单调性. 解:易知x ∈(-∞,+∞),f'(x )=e x+1+(x-1)e x+1+2mx=x (e x+1+2m ).①当m≥0时,∵e x+1>0,∴e x+1+2m>0.∴当x>0时,f'(x)>0;当x<0时,f'(x)<0.故f(x)在区间(-∞,0)上单调递减,在区间(0,+∞)上单调递增.②当-e2<m<0时,f'(x)=0有两个实数根,即x1=0,x2=ln(-2m)-1,且x1>x2.则当x>0时,f'(x)>0;当ln(-2m)-1<x<0时,f'(x)<0;当x<ln(-2m)-1时,f'(x)>0.故f(x)在区间(-∞,ln(-2m)-1),(0,+∞)上单调递增,在区间(ln(-2m)-1,0)上单调递减.综上所述,当m≥0时,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增;当-e2<m<0时,f(x)在(-∞,ln(-2m)-1),(0,+∞)上单调递增,在(ln(-2m)-1,0)上单调递减.变式题解:(1)f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞).令f(x)=0,得x2+a=0,即x2=-a.当a≥0时,方程无解,f(x)没有零点;当a<0时,得x=±√-Δ.综上,当a≥0时,f(x)无零点;当a<0时,f(x)的零点为±√-Δ.(2)证明:f'(x)=(1-ΔΔ2)e x+(Δ+ΔΔ)e x=(Δ3+Δ2+ΔΔ-Δ)eΔΔ2.令g(x)=x3+x2+ax-a(x>1),则g'(x)=3x2+2x+a,其图像的对称轴为直线x=-13,所以g'(x)在(1,+∞)上单调递增,所以g'(x)>3×12+2×1+a=5+a.因为a≥-5,所以g'(x)>0在(1,+∞)上恒成立,所以g(x)在(1,+∞)上为增函数,可得g(x)>g(1)=2>0,即f'(x)>0,所以f(x)在区间(1,+∞)上为增函数.例2[思路点拨] (1)求出f(1)及f'(1)的值,利用点斜式可得曲线的切线方程.(2)在定义域内,令f'(x)>0,求得x的取值范围,可得函数f(x)的单调递增区间;令f'(x)<0,求得x的取值范围,可得函数f(x)的单调递减区间.解:(1)若a=0,则f(1)=-1,f'(x)=2-lnΔΔ2,所以f'(1)=2,所以曲线y=f (x )在点(1,-1)处的切线方程为2x-y-3=0. (2)易知x ∈(0,+∞),f'(x )=2-ΔΔ2-ln ΔΔ2.令g (x )=2-ax 2-ln x ,则g'(x )=-2ΔΔ2-1Δ.令g'(x )=0,得x=√-12Δ或x=-√-12Δ(舍去).由g'(x )>0,得x>√-12Δ;由g'(x )<0,得0<x<√-12Δ.所以g (x )在区间(0,√-12Δ)上单调递减,在区间(√-12Δ,+∞)上单调递增,所以g (x )min =g (√-12Δ)=52-ln √-12Δ.因为a<-1,所以0<-12Δ<12,所以ln √-12Δ<0, 所以g (x )>0,即f'(x )>0,所以函数f (x )的单调递增区间为(0,+∞).变式题 (1)A (2)(0,1) [解析] (1)f'(x )=3Δ-4+x=(Δ-1)(Δ-3)Δ,由f'(x )>0,得0<x<1或x>3,∴f (x )的单调递增区间为(0,1),(3,+∞).(2)函数f (x )的定义域是(0,+∞),f'(x )=1-3Δ2+2Δ=(Δ+3)(Δ-1)Δ2.令f'(x )<0,可得0<x<1,故函数f (x )的单调递减区间为(0,1).例3 [思路点拨] (1)当a=3时,求出函数f (x )的导函数,然后由f'(x )>0可得单调递增区间;(2)将原问题转化为导函数在区间(0,1)上大于等于零恒成立问题求解即可. 解:(1)f (x )的定义域为(0,+∞),当a=3时,f (x )=x 2+ln x-3x ,∴f'(x )=2x+1Δ-3=2Δ2-3Δ+1Δ,由f'(x )>0,得0<x<12或x>1,∴函数f (x )的单调递增区间为(0,12),(1,+∞).(2)由题意得f'(x )=2x+1Δ-a.∵f (x )在(0,1)上是增函数,∴f'(x )=2x+1Δ-a ≥0在(0,1)上恒成立,即a ≤2x+1Δ在(0,1)上恒成立.∵2x+1Δ≥2√2,当且仅当2x=1Δ,即x=√22时,等号成立, ∴a ≤2√2,故实数a 的取值范围为(-∞,2√2].变式题 (1)A (2)C [解析] (1)∵f (x )=2x+sin x ·cos x+a cos x ,∴f'(x )=2+cos 2x-a sin x=-2sin 2x-a sin x+3.设t=sin x ,-1≤t ≤1, 则g (t )=-2t 2-at+3,∵f (x )在(-∞,+∞)上单调递增, ∴g (t )≥0在[-1,1]上恒成立. ∵二次函数g (t )的图像开口向下,∴{Δ(1)≥0,Δ(-1)≥0,可得-1≤a ≤1,即a 的取值范围是[-1,1],故选A . (2)函数f (x )=x+a ln x 的定义域为(0,+∞),f'(x )=1+ΔΔ.当a ≥0时,f'(x )>0,函数f (x )=x+a ln x 是增函数.当a<0时,由f'(x )<0,得0<x<-a ,由f'(x )>0,得x>-a ,所以函数f (x )=x+a ln x 在(0,-a )上单调递减,在(-a ,+∞)上单调递增.因为f (x )=x+a ln x 不是单调函数,所以实数a 的取值范围是(-∞,0),故选C . 例4 [思路点拨] (1)构造函数g (x )=Δ(Δ)e Δ,通过g'(x )的符号判断函数g (x )的单调性,利用单调性得出x 的取值范围;(2)先根据函数图像的平移得到函数f (x )的图像关于直线x=2对称,再通过讨论导数的符号得到函数f (x )的单调性,最后将4a,log 3a ,3转化到同一个单调区间上比较其对应函数值的大小. (1)A (2)B [解析] (1)设g (x )=Δ(Δ)e Δ,则g'(x )=Δ'(Δ)-Δ(Δ)e Δ,∵f (x )<f'(x ),∴g'(x )>0,即函数g (x )在R 上单调递增.∵f (0)=2,∴g (0)=f (0)=2, 则不等式f (x )<2e x等价于g (x )<g (0).∵函数g (x )在R 上单调递增,∴x<0,即不等式的解集为(-∞,0).(2)∵g (x )是偶函数,∴其图像关于y 轴对称,∴f (x )=g (x-2)的图像关于直线x=2对称. ∵(x-2)f'(x )>0,∴当x>2时,f'(x )>0,即函数f (x )在(2,+∞)上为增函数.∵1<a<3,∴4<4a <64,0<log 3a<1,又f (log 3a )=f (4-log 3a ),3<4-log 3a<4,∴3<4-log 3a<4a ,∴f (3)<f (4-log 3a )<f (4a ),即f (3)<f (log 3a )<f (4a).变式题 (1)B (2)(0,e 2) [解析] (1)设f (x )=ln ΔΔ(x>0),则f'(x )=1-ln ΔΔ2,可得函数f (x )在(0,e)上单调递增,所以f (2.1)<f (2.2),即ln2.12.1<ln2.22.2,可化为2.12.2<2.22.1,即1<a<b ,又c=log 2.22.1<1, 所以c<a<b ,故选B .(2)设t=ln x ,则不等式f (ln x )>3ln x+1等价于f (t )>3t+1. 设g (x )=f (x )-3x-1,则g'(x )=f'(x )-3,∵f (x )的导函数f'(x )<3, ∴g'(x )=f'(x )-3<0,∴函数g (x )=f (x )-3x-1在R 上单调递减. ∵f (2)=7,∴g (2)=f (2)-3×2-1=0,则由g (t )=f (t )-3t-1>0=g (2),解得t<2,∴ln x<2,解得0<x<e 2,即不等式f (ln x )>3ln x+1的解集为(0,e 2).【备选理由】 例1讨论函数的单调性;例2可以进一步明确不等式f'(x )>0的解集对应的区间是函数f (x )的单调递增区间,不等式f'(x )<0的解集对应的区间是f (x )的单调递减区间;例3为含参函数单调性的讨论及利用单调性求参的综合问题,旨在使学生加深对导数与单调性关系的理解,并强化处理参数问题的原则和方法.例1 [配合例1使用] 已知函数f (x )=(x-a )e x-12ax 2+a (a-1)x (x ∈R).(1)若曲线y=f (x )在点(0,f (0))处的切线为l ,l 与x 轴的交点坐标为(2,0),求a 的值; (2)讨论f (x )的单调性.解:(1)∵f'(x)=(x-a)e x+e x-ax+a(a-1),∴f'(0)=(a-1)2,又∵f(0)=-a,∴切线方程为y+a=(a-1)2(x-0).令y=0,得x=Δ(Δ-1)2=2,∴2a2-5a+2=0,∴a=2或a=12.(2)f'(x)=(x-a)e x+e x-ax+a(a-1)=[x-(a-1)](e x-a).当a≤0时,e x-a>0,若x∈(-∞,a-1),则f'(x)<0,f(x)为减函数;若x∈(a-1,+∞),则f'(x)>0,f(x)为增函数.当a>0时,令f'(x)=0,得x1=a-1,x2=ln a.令g(a)=a-1-ln a,则g'(a)=1-1Δ=Δ-1Δ,当a∈(0,1)时,g'(a)<0,g(a)为减函数,当a∈(1,+∞)时,g'(a)>0,g(a)为增函数,∴g(a)min=g(1)=0,∴a-1≥ln a(当且仅当a=1时取“=”).∴当0<a<1或a>1时,若x∈(-∞,ln a),则f'(x)>0,f(x)为增函数;若x∈(ln a,a-1),则f'(x)<0,f(x)为减函数;若x∈(a-1,+∞),则f'(x)>0,f(x)为增函数.当a=1时,f'(x)=x(e x-1)≥0,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.综上所述:当a≤0时,f(x)在(-∞,a-1)上为减函数,在(a-1,+∞)上为增函数;当0<a<1或a>1时,f(x)在(ln a,a-1)上为减函数,在(-∞,ln a)和(a-1,+∞)上为增函数;当a=1时,f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.例2[配合例2使用] [2018·东莞模拟]已知函数f(x)=ax2e-x(a≠0),求函数f(x)的单调区间.解:对f(x)求导,得f'(x)=a·2Δ·eΔ-Δ2·eΔ(eΔ)2=a·Δ(2-Δ)eΔ.①若a>0,则当x∈(0,2)时,f'(x)>0,当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f'(x)<0,所以f(x)在(0,2)上单调递增,在(-∞,0),(2,+∞)上单调递减.②若a<0,则当x∈(0,2)时,f'(x)<0,当x∈(-∞,0)或x∈(2,+∞)时,f'(x)>0,所以f(x)在(0,2)上单调递减,在(-∞,0),(2,+∞)上单调递增.例3[配合例3使用] [2018·重庆七校期末]已知函数f(x)=x2+(m+2)x+n(m,n为常数).(1)当n=1时,讨论函数g(x)=e x f(x)的单调性;(2)当n=2时,若函数h(x)=x+Δ(Δ)eΔ在[0,+∞)上单调递增,求m的取值范围.解:(1)当n=1时,g(x)=e x[x2+(m+2)x+1],g'(x)=e x[x2+(m+4)x+(m+3)]=e x(x+1)[x+(m+3)].令g'(x)=0,解得x=-1或x=-(m+3).∴当-1<-(m+3),即m<-2时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,-1),(-m-3,+∞),单调递减区间为(-1,-m-3);当-1=-(m+3),即m=-2时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,+∞),无单调递减区间;当-1>-(m+3),即m>-2时,函数g(x)的单调递增区间为(-∞,-m-3),(-1,+∞),单调递减区间为(-m-3,-1).(2)当n=2时,h(x)=x+Δ2+(Δ+2)Δ+2eΔ,h'(x)=1+-Δ2-ΔΔ+ΔeΔ.由题意知,h'(x)≥0在[0,+∞)上恒成立,即e x-x2≥m(x-1)在[0,+∞)上恒成立.当x=1时,不等式成立.当x≠1时,令k(x)=eΔ-Δ2Δ-1,则k'(x)=(Δ-2)(eΔ-Δ)(Δ-1)2.当x>1时,只需k(x)≥m恒成立.∵e x-x>0恒成立(可求导证明),∴当1<x<2时,k'(x)<0,k(x)单调递减;当x>2时,k'(x)>0,k(x)单调递增.∴k(x)≥k(2)=e2-4,∴m≤e2-4.当0≤x<1时,只需k(x)≤m恒成立.∵0≤x<1,∴k'(x)<0,∴k(x)单调递减,∴k(x)≤k(0)=-1,∴m≥-1.综上所述,-1≤m≤e2-4.第15讲导数与函数的极值、最值1.函数的极值(1)函数的极小值:函数y=f(x)在点x=a的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点的函数值都小,f'(a)=0;而且在点x=a附近的左侧,右侧,则点a叫作函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫作函数y=f(x)的极小值.(2)函数的极大值:函数y=f(x)在点x=b的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点的函数值都大,f'(b)=0;而且在点x=b附近的左侧,右侧,则点b叫作函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫作函数y=f(x)的极大值.极小值点、极大值点统称为极值点,极大值和极小值统称为极值.2.函数的最值(1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值.(2)若函数f(x)在[a,b]上单调递增,则为函数的最小值,为函数的最大值;若函数f(x)在[a,b]上单调递减,则为函数的最大值,为函数的最小值. 3.实际应用题理解题意、建立函数模型,使用导数方法求解函数模型,根据求解结果回答实际问题.常用结论导数研究不等式的关键是函数的单调性和最值,各类不等式与函数最值关系如下:不等式类型与最值的关系∀x∈D,f(x)>M∀x∈D,f(x)min>M∀x∈D,f(x)<M∀x∈D,f(x)max<M∃x0∈D,f(x0)>M∀x∈D,f(x)max>M∃x0∈D,f(x0)<M∀x∈D,f(x)min<M∀x∈D,f(x)>g(x) ∀x∈D,[f(x)-g(x)]min>0∀x∈D,f(x)<g(x) ∀x∈D,[f(x)-g(x)]max<0∀x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)>g(x2) ∀x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)min>g(x2)max(续表) 不等式类型与最值的关系∀x1∈D1,∃x2∈D2, f(x1)>g(x2) ∀x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)min>g(x2)min∃x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)>g(x2) ∀x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)max>g(x2)max∃x1∈D1,∃x2∈D2, f(x1)>g(x2) ∀x1∈D1,∀x2∈D2, f(x1)max>g(x2)min(注:上述的大于、小于分别改为不小于、不大于,相应的与最值关系对应的不等号也改变)题组一常识题1.[教材改编]函数f(x)=x3-3x2+1的极小值为.2.[教材改编]函数f(x)=x3-12x在区间[-3,3]上的最大值是.3.[教材改编]当x>0时,ln x,x,e x的大小关系是.4.[教材改编]现有一块边长为a的正方形铁片,铁片的四角截去四个边长均为x的小正方形,然后做成一个无盖方盒,该方盒容积的最大值是.题组二常错题◆索引:利用极值求参数时忽略对所求参数的检验;混淆极值与极值点的概念;连续函数在区间(a,b)上不一定存在最值;不等式问题中的易错点.5.若函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处取得极值10,则a+b= .6.函数g(x)=-x2的极值点是,函数f(x)=(x-1)3的极值点(填“存在”或“不存在”).7.函数g(x)=x2在[1,2]上的最小值和最大值分别是,在(1,2)上的最小值和最大值均(填“存在”或“不存在”).8.对任意实数x,不等式sin x≤a恒成立,则实数a的取值范围是;存在实数x0,使不等式sin x0≤a成立,则实数a的取值范围是.探究点一利用导数解决函数的极值问题微点1由图像判断函数极值例1 [2018·杭州二中模拟]如图2-15-1所示,可导函数y=f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线为l:y=g(x).设h(x)=f(x)-g(x),则下列说法正确的是 ()图2-15-1A.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极大值点B.h'(x0)=0,x=x0是h(x)的极小值点C.h'(x0)=0,x=x0不是h(x)的极值点D.h'(x0)≠0,x=x0不是h(x)的极值点[总结反思] 可导函数在极值点处的导数一定为零,是否为极值点以及是极大值点还是极小值点要看在极值点左、右两侧导数的符号.微点2已知函数求极值例2 若x=1是函数f(x)=ax+ln x的极值点,则()A.f(x)有极大值-1B.f(x)有极小值-1C.f(x)有极大值0D.f(x)有极小值0[总结反思] 求函数极值的一般步骤:①先求函数f(x)的定义域,再求函数f(x)的导函数;②求f'(x)=0的根;③判断在f'(x)=0的根的左、右两侧f'(x)的符号,确定极值点;④求出具体极值.微点3已知极值求参数例3[2018·江西九校二联]若函数f(x)=(a+1)e2x-2e x+(a-1)x有两个极值点,则实数a的取值范围是()A.(0,√62)B.(1,√62)C.(-√62,√62)D.(√63,1)∪(1,√62)[总结反思] 根据极值求参数的值(或取值范围)就是根据极值点处的导数等于零、极值点处的函数值即极值列出关于参数的方程组(或不等式组),通过解方程组(或不等式组)求得参数的值(或取值范围).应用演练1.【微点1】[2018·河南中原名校质检]已知定义在R上的函数f(x),其导函数f'(x)的大致图像如图2-15-2所示,则下列叙述正确的是()①f(b)>f(a)>f(c);图2-15-2②函数f(x)在x=c处取得极小值,在x=e处取得极大值;③函数f(x)在x=c处取得极大值,在x=e处取得极小值.A.③B.①②C.①③D .②2.【微点3】函数f (x )=x 2-a ln x (a ∈R)不存在极值点,则a 的取值范围是 ( ) A .(-∞,0) B .(0,+∞) C .[0,+∞) D .(-∞,0]3.【微点2】[2018·安庆二模] 已知函数f (x )=2e f'(e)ln x-Δe (e 是自然对数的底数),则f (x )的极大值为( )A .2e -1B .-1e C .1 D .2ln 24.【微点3】[2018·菏泽模拟] 已知函数f (x )=x 3-ax+2的极大值为4,若函数g (x )=f (x )+mx 在(-3,a-1)上的极小值不大于m-1,则实数m 的取值范围是 ( ) A .[-9,-154) B .(-9,-154] C .(-154,+∞) D .(-∞,-9)探究点二 利用导数解决函数的最值问题例4 已知定义在正实数集上的函数f (x )=ax 2-(a+2)x+ln x.(1)若函数g (x )=f (x )-ax 2+1,在其定义域上g (x )≤0恒成立,求实数a 的最小值; (2)若a>0时,f (x )在区间[1,e]上的最小值为-2,求实数a 的取值范围.[总结反思] (1)函数在闭区间上的最值在端点处或区间内的极值点处取得,上述值中最大的即为最大值、最小的即为最小值.如果函数在一个区间上(不论区间的类型)有唯一的极值点,则该点也是最值点.(2)注意把不等式恒成立问题转化为函数的最值问题. 变式题 (1)已知a ≥1-ΔΔ+ln x 对任意x ∈[1e ,e ]恒成立,则a 的最小值为( )A .1B .e -2C .1e D .0(2)[2018·唐山三模] 已知a>0,f (x )=Δe Δe Δ+Δ,若f (x )的最小值为-1,则a= ( ) A .1e 2 B .1e C .e D .e 2探究点三利用导数研究生活中的优化问题例5 [2018·南京四校联考]如图2-15-3所示,某大型水上乐园内有一块矩形场地ABCD,AB=120米,AD=80米,以AD,BC为直径的半圆O1和半圆O2(半圆在矩形ABCD内部)为两个半圆形水上主题乐园,BC,CD,DA都建有围墙,游客只能从线段AB处进出该主题乐园.为了⏜修建不锈钢护栏,沿着线段EF⏜,ΔΔ进一步提高经济效益,水上乐园管理部门决定沿着ΔΔ⏜上的动点,EF∥AB,且线段EF⏜,ΔΔ修建该主题乐园大门并设置检票口,其中E,F分别为ΔΔ与线段AB在圆心O1和O2连线的同侧.已知弧线部分的修建费用为200元/米,直线部分的平均修建费用为400元/米.图2-15-3(1)若EF=80米,则检票等候区域(阴影部分)的面积为多少平方米?(2)试确定点E的位置,使得修建费用最低.[总结反思] (1)利用导数研究生活中的优化问题的关键:理清数量关系、选取合适的自变量建立函数模型.(2)注意:函数的定义域由实际问题确定,最后要把求解的数量结果“翻译”为实际问题的答案.变式题某产品每件成本9元,售价30元,每星期卖出432件.如果降低价格,销售量可以增加,若商品单价降低x(0≤x≤21)元,则一个星期增加的销售量为kx2(k>0)件.已知商品单件降低2元时,一个星期的销售量增加24件.(商品销售利润=商品销售收入-商品销售成本)(1)将一个星期的商品销售利润f(x)表示成x的函数;(2)如何定价才能使一个星期的商品销售利润最大.。
高中数学-导数及其应用教案
个性化教学辅导教案设函数 在点 处可导, 求对于 上可导的任意函数 , 若满足 ≥ , 则必有.A (0)(2)f f +()21f < .B (0)(2)f f +≤()21f.C (0)(2)f f +≥()21f .D (0)(2)f f +()21f >设函数 , 在 上均可导, 且 , 则当 时, 有.A ()()f x g x > .B ()()f x g x <.C ()()()()f x g a g x f a +>+ .D ()()()()f x g b g x f b +>+问题2. 的导函数 的图象如图所示, 则 的图象最有可能的是问题3. 求下列函数的导数:()1()21sin y x =+； ()411x x e y e +=-；.A [)3,2]1,31[ - .B ]38,34[]21,1[ - .C [)2,1]21,23[ -.D ⎪⎭⎫⎢⎣⎡⎥⎦⎤ ⎝⎛--3,38]34,21[1,23设 均是定义在 上的奇函数, 当 时, , 且 , 则不等式 的解集是.A ()()2,02,-+∞ .B ()2,2- .C ()(),22,-∞-+∞ .D ()(),20,2-∞-问题2. 如果函数 在区间 上单调递增, 并且方程 的根都在区间 内, 则 的取值范围为已知 , 那么在区间 上单调递增 在 上单调递增.C 在()1,1-上单调递增 .D 在()1,2上单调递增函数 ,（Ⅰ）求)(x f 的单调区间和极值；（Ⅱ）若关于 的方程 有 个不同实根, 求实数 的取值范围.（Ⅲ）已知当 时, ≥ 恒成立, 求实数 的取值范围.2[,)3ππ2[,)3ππ的大致图像, 则 等于.910。
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高中数学-导数及其应用导学案[体系构建][题型探究]利用导数的几何意义求曲线的切线方程运用导数的几何意义，可以求过曲线上任一点的切线的斜率，从而进一步求出过此点的切线方程．还可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、三角形面积等．导数的几何意义是近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题的形式出现．对于较为复杂的此类问题，一般要利用k ＝f ′(x 0)((x 0，f (x 0))为切点)及切点的坐标满足切线方程和曲线方程列方程组求解．求过曲线y ＝x 3－2x 上的点(1，－1)的切线方程.[思路探究] 切线过曲线上一点(1，－1)，并不代表(1，－1)就是切点，故需先设出切点，再求解.【规范解答】 设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 30－2x 0.∵y ′＝3x 2－2，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 20－2，∴切线方程为y －(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．又∵切线过点(1，－1)，∴－1－(x 30－2x 0)＝(3x 20－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2(2x 0＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.∴切点为(1，－1)或⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，78，相应的切线斜率为k ＝1或k ＝－54.故所求切线方程为y －(－1)＝x －1或y －78＝－54·⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12，即x －y －2＝0或5x ＋4y－1＝0.[跟踪训练]1．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值，并且它的图象与直线y ＝－3x ＋3在点(1,0)处相切，则函数f (x )的表达式为________.【导学号：95902257】【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵f (x )与直线y ＝－3x ＋3在点(1,0)处相切，∴⎩⎪⎨⎪⎧f ′1＝－3，f 1＝0.即⎩⎪⎨⎪⎧3＋2a ＋b ＝－3，①1＋a ＋b ＋c ＝0.②∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝12＋4a ＋b ＝0.③由①②③解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3，b ＝0，c ＝2.∴f (x )＝x 3－3x 2＋2.【答案】 f (x )＝x 3－3x 2＋2利用导数研究函数的单调性1x )＞0，f ′(x )＜0的解集确定单调区间，这是函数中常见问题，是考查的重点．2．求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面：(1)f ′(x )＝0有无根，(2)f ′(x )＝0根的大小，(3)f ′(x )＝0的根是否在定义域内．另外当f ′(x )＝0的最高次项系数含有字母时，则要讨论系数是否为0.3．已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：①转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f ′(x )≥0(或≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数的性质求解，注意验证使f ′(x )＝0的参数是否符合题意，②构造关于参数的不等式求解，即令f ′(x )＞0(或＜0)求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数的范围．已知函数f (x )＝x 3－ax －1. (1)讨论f (x )的单调性；(2)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围．[思路探究] (1)求出f ′(x )，讨论f ′(x )＝0的根是否存在，求函数的单调区间； (2)根据题意有f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，分离参数后可求实数a 的取值范围．【规范解答】 (1)f ′(x )＝3x 2－a .①当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a ＞0时，令3x 2－a ＝0得x ＝±3a 3；当x ＞3a 3或x ＜－3a3时，f ′(x )＞0；当－3a 3＜x ＜3a 3时，f ′(x )＜0. 因此f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数； 当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3，3a 3上为减函数．(2)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，即a ≤3x 2对x ∈R 恒成立．因为3x 2≥0，所以只需a ≤0.又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，f (x )＝x 3－1在R 上是增函数， 所以a ≤0，即a 的取值范围为(－∞，0]．[跟踪训练]2．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x.(1)求f (x )的单调区间；(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，求实数m 的取值范围.【导学号：95902258】【解】 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x)． 若x ＜0，则1－e x＞0，所以f ′(x )＜0； 若x ＞0，则1－e x＜0，所以f ′(x )＜0； 若x ＝0，则f ′(x )＝0.∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (2)＝2－e 2.∴当m <2－e 2时，不等式f (x )＞m 恒成立．即实数m 的取值范围是(－∞，2－e 2).利用导数研究函数的极值和最值1.2．求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．3．注意事项：(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论． (2)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f ′(x )＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x －y＋1＝0，若x ＝23时，y ＝f (x )有极值．(1)求a ，b ，c 的值；(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值．[思路探究] (1)利用f ′(1)＝3、f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0、f (1)＝4构建方程组求解； (2)令f ′x ＝0→列表→求极值和区间端点的函数值→比较大小→得最大值和最小值【规范解答】 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′⎝ ⎛⎭⎪⎫23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5.(2)由(1)可得f (x )＝x 3＋2x 2－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2＋4x －4.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝23.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：x －3 (－3，－2) －2⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23 23 ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，1 1f ′(x)＋ 0 －0 ＋f (x ) 8↗ 13 ↙ 9527↗ 4由表可知，函数y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为9527.[跟踪训练]3．已知函数f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d 有极值．(1)求c 的取值范围；(2)若f (x )在x ＝2处取得极值，且当x ＜0时，f (x )＜16d 2＋2d 恒成立，求d 的取值范围.【导学号：95902259】【解】 (1)∵f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝x 2－x ＋c ，要使f (x )有极值，则方程f ′(x )＝x 2－x ＋c ＝0有两个实数解，从而Δ＝1－4c ＞0，∴c ＜14.(2)∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝4－2＋c ＝0，∴c ＝－2.∴ f (x )＝13x 3－12x2－2x ＋d .∵f ′(x )＝x 2－x －2＝(x －2)(x ＋1)，∴当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0，函数单调递增，当x ∈(－1,2]时，f ′(x )＜0，函数单调递减．∴x ＜0时，f (x )在x ＝－1处取得最大值76＋d ， ∵x ＜0时，f (x )＜16d 2＋2d 恒成立，∴ 76＋d ＜16d 2＋2d ，即(d ＋7)(d －1)＞0，∴d ＜－7或d ＞1，即d 的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞).分类讨论思想在含参数的问题中，无论是研究单调性，还是极值、最值，一般都需要分类讨论．已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a ＞0.(1)求a 的值；(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，有f (x )≤kx 2成立，求实数k 的最小值. [思路探究] (1)求出函数f (x )的最小值用a 表示解方程可得a 的值；(2)构造函数g (x )＝f (x )－kx 2，分类讨论求其在[0，＋∞)的最大值，使其最大值≤0可得k 的取值范围，即得其最小值．【规范解答】 (1)f (x )的定义域为(－a ，＋∞)．f ′(x )＝1－1x ＋a ＝x ＋a －1x ＋a. 由f ′(x )＝0，得x ＝1－a ＞－a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：x (－a,1－a )1－a (1－a ，＋∞)f ′(x ) － 0 ＋ f (x )↘极小值↗因此，f (x )a ＝1. (2)当k ≤0时，取x ＝1，有f (1)＝1－ln 2＞0，故k ≤0不合题意． 当k ＞0时，令g (x )＝f (x )－kx 2，即g (x )＝x －ln(x ＋1)－kx 2.g ′(x )＝x x ＋1－2kx ＝－x [2kx －1－2k ]x ＋1.令g ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1－2k2k＞－1.①当k ≥12时，1－2k2k≤0，g ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，因此g (x )在[0，＋∞)上单调递减．从而对于任意的x ∈[0，＋∞)，总有g (x )≤g (0)＝0，即f (x )≤kx 2在[0，＋∞)上恒成立．故k ≥12符合题意．②当0＜k ＜12时，1－2k 2k ＞0，对于x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k ，g ′(x )＞0，故g (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k 内单调递增，因此当取x 0∈⎝⎛⎭⎪⎫0，1－2k 2k 时， g (x 0)＞g (0)＝0，即f (x 0)≤kx 20不成立．故0＜k ＜12不合题意.综上，k 的最小值为12.[跟踪训练]4．设函数f (x )＝a e x＋1a e x＋b (a ＞0)． (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；(2)设曲线y ＝ f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝32x ，求a ，b 的值.【解】 (1)f ′(x )＝a e x－1a e x， 当f ′(x )＞0，即x ＞－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＜－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减．①当0＜a ＜1时，－ln a ＞0，f (x )在(0，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b;②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1a＋b .(2)依题意f ′(2)＝a e 2－1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2＝－12(舍去)，所以a ＝2e2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12，故a ＝2e 2，b ＝12.[链接高考]1．曲线y ＝x 2＋1x在点(1,2)处的切线方程是__________.【导学号：95902260】【解析】 因为y ′＝2x －1x 2，所以在点(1,2)处的切线方程的斜率k ＝2×1－112＝1，所以切线方程为y －2＝x －1，即y ＝x ＋1.【答案】 y ＝x ＋12．已知a ∈R ，设函数f (x )＝ax －ln x 的图象在点(1，f (1))处的切线为l ，则l 在y 轴上的截距为________．【解析】 ∵f ′(x )＝a －1x，∴f ′(1)＝a －1.又∵f (1)＝a ，∴切线l 的斜率为a －1，且过点(1，a )， ∴切线l 的方程为y －a ＝(a －1)(x －1)． 令x ＝0，得y ＝1，故l 在y 轴上的截距为1. 【答案】 1 3．函数f (x )＝xx －1(x ≥2)的最大值为________．【解析】 f ′(x )＝x －1－x x －12＝－1x －12，当x ≥2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数，故f (x )max ＝f (2)＝22－1＝2.【答案】 24．已知函数f (x )＝x 3－2x ＋e x －1e x ，其中e 是自然对数的底数．若f (a －1)＋f (2a 2)≤0，则实数a 的取值范围是________.【导学号：95902261】【解析】 因为f (－x )＝(－x )3－2(－x )＋e －x－1e－x ＝－x 3＋2x －e x＋1e x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 3－2x ＋e x－1e x 是奇函数．因为f (a －1)＋f (2a 2)≤0，所以f (2a 2)≤－f (a －1)，即f (2a 2)≤f (1－a )．因为f ′(x )＝3x 2－2＋e x ＋e －x ≥3x 2－2＋2e x ·e －x ＝3x 2≥0， 所以f (x )在R 上单调递增， 所以2a 2≤1－a ，即2a 2＋a －1≤0， 所以－1≤a ≤12.【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，12 5．已知函数f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1(a >0，b ∈R )有极值，且导函数f ′(x )的极值点是f (x )的零点．(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求b 关于a 的函数关系式，并写出定义域； (2)证明：b 2>3a .【解】 (1)由f (x )＝x 3＋ax 2＋bx ＋1，得f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋a 32＋b －a 23. 当x ＝－a 3时，f ′(x )有极小值b －a 23.因为f ′(x )的极值点是f (x )的零点，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－a 3＝－a 327＋a 39－ab 3＋1＝0.又a >0，故b ＝2a 29＋3a.因为f (x )有极值，故f ′(x )＝0有实根，从而b －a 23＝19a (27－a 3)≤0，即a ≥3.当a ＝3时，f ′(x )>0(x ≠－1)， 故f (x )在R 上是增函数，f (x )没有极值； 当a >3时，f ′(x )＝0有两个相异的实根 x 1＝－a －a 2－3b 3，x 2＝－a ＋a 2－3b 3.列表如下：12从而a >3.因此b ＝2a 29＋3a ，定义域为(3，＋∞)．(2)证明：由(1)知，b a ＝2a a 9＋3a a.设g (t )＝2t 9＋3t ，则g ′(t )＝29－3t 2＝2t 2－279t 2. 当t ∈⎝⎛⎭⎪⎫362，＋∞时，g ′(t )>0， 从而g (t )在⎝⎛⎭⎪⎫362，＋∞上单调递增． 因为a >3，所以a a >33， 故g (a a )>g (33)＝3，即ba> 3. 因此b 2>3a .。