高中数学-导数及其应用导学案

高中数学-导数及其应用导学案

[体系构建]

[题型探究]

利用导数的几何意义求曲线的切线方程

运用导数的几何意义，可以求过曲线上任一点的切线的斜率，从而进一步求出过此点的切线方程．还可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、三角形面积等．导数的几何意义是近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题的形式出现．

对于较为复杂的此类问题，一般要利用k ＝f ′(x 0)((x 0，f (x 0))为切点)及切点的坐标满足切线方程和曲线方程列方程组求解．

求过曲线y ＝x 3

－2x 上的点(1，－1)的切线方程.

[思路探究] 切线过曲线上一点(1，－1)，并不代表(1，－1)就是切点，故需先设出切点，再求解.

【规范解答】 设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 3

0－2x 0.∵y ′＝3x 2

－2，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 2

0－2，∴切线方程为y －(x 3

0－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0)．

又∵切线过点(1，－1)，∴－1－(x 3

0－2x 0)＝(3x 2

0－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2

(2x 0

＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.∴切点为(1，－1)或⎝ ⎛⎭

⎪⎫－12，78，相应的切线斜率为k ＝1或

k ＝－5

4

.

故所求切线方程为y －(－1)＝x －1或y －78＝－54·⎝ ⎛⎭

⎪⎫

x ＋12，即x －y －2＝0或5x ＋4y

－1＝0.

[跟踪训练]

1．已知函数f (x )＝x 3

＋ax 2

＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值，并且它的图象与直线y ＝－3x ＋3在点(1,0)处相切，则函数f (x )的表达式为________.

【导学号：95902257】

【解析】 f ′(x )＝3x 2＋2ax ＋b .∵f (x )与直线y ＝－3x ＋3在点(1,0)处相切，

∴⎩

⎪⎨

⎪⎧

f ′1＝－3，f 1＝0.即⎩

⎪⎨

⎪⎧

3＋2a ＋b ＝－3，①

1＋a ＋b ＋c ＝0.②

∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝12＋4a ＋b ＝0.③

由①②③解得⎩⎪⎨⎪

⎧

a ＝－3，

b ＝0，

c ＝2.

∴f (x )＝x 3－3x 2

＋2.

【答案】 f (x )＝x 3

－3x 2

＋2

利用导数研究函数的单调性

1x )＞0，f ′(x )＜0的解集确定单调区间，这是函数中常见问题，是考查的重点．

2．求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面：(1)f ′(x )＝0有无根，(2)f ′(x )＝0根的大小，(3)f ′(x )＝0的根是否在定义域内．另外当f ′(x )＝0的最高次项系数含有字母时，则要讨论系数是否为0.

3．已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：①转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f ′(x )≥0(或≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数的性质求解，注意验证使

f ′(x )＝0的参数是否符合题意，②构造关于参数的不等式求解，即令f ′(x )＞0(或＜0)

求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数的范围．

已知函数f (x )＝x 3

－ax －1. (1)讨论f (x )的单调性；

(2)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围．

[思路探究] (1)求出f ′(x )，讨论f ′(x )＝0的根是否存在，求函数的单调区间； (2)根据题意有f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，分离参数后可求实数a 的取值范围．

【规范解答】 (1)f ′(x )＝3x 2

－a .

①当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数． ②当a ＞0时，令3x 2

－a ＝0得x ＝±

3a 3；当x ＞3a 3或x ＜－3a

3

时，f ′(x )＞0；

当－

3a 3＜x ＜3a 3

时，f ′(x )＜0. 因此f (x )在⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，－

3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛

⎭⎪⎫－3a 3

，3a 3上为减函数．

综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数； 当a ＞0时，f (x )在⎝ ⎛

⎭⎪⎫－∞，－3a 3，⎝ ⎛⎭⎪⎫3a 3，＋∞上为增函数，在⎝ ⎛⎭⎪⎫－3a 3

，3a 3上为减函数．

(2)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2

－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，

即a ≤3x 2

对x ∈R 恒成立．因为3x 2

≥0，所以只需a ≤0.

又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2

≥0，f (x )＝x 3

－1在R 上是增函数， 所以a ≤0，即a 的取值范围为(－∞，0]．

[跟踪训练]

2．设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x

.

(1)求f (x )的单调区间；

(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，求实数m 的取值范围.

【导学号：95902258】

【解】 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x )＝x (1－e x

)． 若x ＜0，则1－e x

＞0，所以f ′(x )＜0； 若x ＞0，则1－e x

＜0，所以f ′(x )＜0； 若x ＝0，则f ′(x )＝0.

∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞)． (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (2)＝2－e 2

.

∴当m <2－e 2

时，不等式f (x )＞m 恒成立．即实数m 的取值范围是(－∞，2－e 2

).

利用导数研究函数的极值和最值

1.