大学数学_6_5 可降阶的二阶微分方程
7.5 可降阶的二阶微分方程
y(n) f (x) 型的微分方程 y f (x, y)型的微分方程 y f (y, y)型的微分方程
型的 y(n) f (x) 微分方程
y(n) f (x)
dyn1 f x
dx
yn1 f (x)dx C1
例 求微分方程 (1 x2 ) y 2xy 满足初值条件 y x0 1 ，
y x0 3 的特解.
解 设 y p , 则 y dp p ,
dx
dp p
2x 1 x2
dx
p y 3(1 x2 )
p |x0 y x0 3
y 1 x0
，0
t
T
型的 y f (x, y) 微分方程
方程 y f (x, y) 的右端不显含未知函数 y 令 y p , 则 y dp p , dx
p f (x, p)
设通解为 p y (x, C1) ，
y (x, C1)dx C2
两端积分并化简,得 p y C1 y
再分离变量并两端积分，得原方程的通解为 y C2eC1x
例 求微分方程 yy 2( y2 y) 满足初值条件 y |x0 1 ，
y |x0 2 的特解.
解 令 y p ，则 y p dp . 在 y 0 , p 0 时,
1 8
e2x
sin
x
C1 x2
C2 x
C3
C1
C 2
例 质量为 m 的质点受力 F 的作用沿 Ox 轴作直线运动. 设
力 F F t 在开始时刻 t 0 时 F (0) F0 ，随着时间 t 的增
可降阶的二阶微分方程
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y′ = p(x) , 令 y′ = p(y) ,
思考与练习
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或 均可.
例如, 一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便. (2) 遇到开平方时, 要根据题意确定正负号.
切线及 x 轴的垂线, 上述两直线与 x 轴围成的三角形面 为曲边的曲边梯形面积 积记为 区间[ 0, x ] 上以 满足的方程 . 解:
( 99 考研 )
在点 P(x, y) 处的切线倾角为α , 于是
1 2 S1 = y cotα y P S1 1 y α ox x
(一阶线性齐次方程)
dp dp dy dp 则y′′ = = =p dx dy dx dy
故所求通解为
例５. 一个离地面很高的物体, 受地球引力的作用由 静止开始落向地面, 求它落到地面时的速度和所需时间 (不计空气阻力). 解: 如图所示选取坐标系. 则有定解问题: k mM d2 y M : 地球质量 m 2 = 2 y dt dt m : 物体质量
积分得
1 2
p2 = 1 e2y + C1 2
利用初始条件, 得C1 = 0, 根据 p y=0 =y′ x=0 =1 > 0, 得 dy = p =e y dx 积分得 e y = x + C2 , 再 y x=0 = 0, 得C2 = 1 由 故所求特解为
1 e y = x
例７.
二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的
高数第4章第4节——可降阶的二阶微分方程
一、 y f ( x) 型的微分方程 二、 y f ( x, y)型的微分方程 三、y f ( y, y) 型的微分方程
四、可降阶二阶微分方程的应用举例
一、y f ( x) 型的微分方程
特点 右端仅含有自变量 x , 只要连续积分 二次即得通解 .
解法
y f ( x)dx C1,
积分后得通解: y2 C1x C2.
例 8 已知曲线 y y( x)满足方 yy 2( y2 y)，其 在(0,1)处的切线为 y 2x 1，求此曲线方程.
解 即求解初值问题：
则 y P dP , dy
代入原方程得
由于y 0, p 0,
y p dP 2( p2 p)
dy
故有
dp 2( p 1)
dy
y
分离变量，得
dp 2 dy p1 y
两边积分，得 ln p 1 ln y2 C1
将 y 1 , P 2 代入 , 得 C1 0 ,
y P y2 1 ,
分离变量，得
dy y2
1
dx
,
两边积分，得 arctan y x C ,
将 x 0 , y 1 代入 , 得 C ,
4
故曲线方程为 y tan( x ) .
4
例9 解令
积分得
代入方程得 即
例10 解初值问题
y e2y 0
y
x0
0
,
y
x0
. 1
解令
代入方程得
积分得
即
利用初始条件,
根据
得
积分得 故所求特解为
五、小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 令
经济数学-可降阶的二阶微分方程
dy ( y , C1 ) x + C 2 .
例 4 求方程 yy y 2 0 的通解.
dp , 解一 设 y p( y ), 则 y p dy
dp dp 2 代入原方程得 y p p 0, 即 p( y p) 0, dy dy
写为
y d1 x 4 + d 2 x 2 + d 3 x + d 4 .
其中 d i ( i 1,2,3,4) 为任意常数.
ห้องสมุดไป่ตู้
二、 y f ( x , y) 型
特点： 右端不显含未知函数y. 解法： 设 y p
dp y p, dx
方程变为 p f（x，p） .
关于x, p的一 阶微分方程，设其通解为 p ( x, C1 )
dy p ( x , C1 ) 关于y, x一阶微分方程 dx
即
故方程的 通解为： y ( x , C1 )dx + C 2
例3 求微分方程 (1 + x ) y 2 xy 满足初 始条件 y x 0 1, y x 0 3 的特解.
上式为可分离变量的一阶微分方程, 解得
2 p y Cy + 1, dy dx , 由初始条件 y(0) 1, 再分离变量, 得 2 Cy + 1 y(0) 2 定出 C 1, 从而得
dy 2 dx , 1+ y
再两边积分, 得 由 y(0) 1 定出 C1 arctan 1 ,
练习题答案
一 1. y ln cos(x + C1 ) + C2 2. y arcsin( C 2 e x ) + C1 ； 1 3. y 1 . C1 x + C 2 x
高等数学_第6章节_可降阶的二阶微分方程
3 , 得 C1 3, 于是有 y 3 ( 1 x 2 )
两端再积分得 利用 y
x0
y x 3 3 x C2
1 , 得 C 2 1, 因此所求特解为
y x 3 x 1
3
例5. 设有一均匀, 柔软的绳索, 两端固定, 绳索仅受 重力作用而下垂, 问该绳索的平衡状态是怎样的曲线 ? 解 取坐标系如图. 考察最低点 A 到
y
M
任意点M ( x, y ) 弧段的受力情况: A 点受水平张力 H M 点受切向张力T
弧段重力大小 按静力平衡条件, 有
( : 密度, s :弧长)
T
H
A
gs
x
o
两式相除得
故有 y 1 a
0
x
1 H ) tan s (其中a g a 1 2 2 y 1 y 1 y dx a
求特解时,一般应在每次积分后确定一个常数.
例2.
2x 解 y e cos x d x C1
1 2x e sin x C1 2 1 2 x cos x C x C y e 1 2 4 1 2x y e sin x C1 x 2 C 2 x C3 8
y f ( x, y )
y f ( y , y )
(n) y f ( x) 型 一、 ( n 1) , 令 zy
因此
z f ( x ) d x C1
即 同理可得 y ( n 2 )
d x C 2
d x
C1 x C 2
例9.
二阶可导, 且 上任一点 P(x, y) 作该曲线的
高等数学 可降阶的二阶微分方程
2.解法：变形为
yndyP(x)y1nQ(x)， dx
令z y1n，从而有
dz(1n)yndy, yndy 1 dz,
dx
dx dx n1dx
代入原方程得 dz(1n)P(x)z(1n)Q(x) dx
这是关于 z的一阶线性微分方程. 求出通解后将
z y1n 代入即得 dyP(x)yQ(x)yn的通解.
e 设 yu( x )eP(x)令dx是v(xd) yuP((xx))yQ(x)的解.
dx 5
设 yu( x e) P(x)dx是 dyP(x)yQ(x)的解.
dx
y u (x )e P (x )d x u (x ) P [(x )e ] P (x )d x ,
( 2 )代入原方程得：uxdu(u),即 du(u)u.
dx
dx x
y
( 3 )求此可分离变量方程的解，并回代 u
. x
1
若 d x ( x )， 令u x . 其它换元法：uxy, uxy.
dy y
y
如方程：d y x y, dx
令 uxy,
则
d y du 1， dx dx
将 y, y代入原方程得
u (x )e P (x )d x u (x ) [P (x )e ]P (x )d x p(x)u(x)eP(x)dx
Q(x), 化简得 u(x)eP(x)dxQ(x),
即 u(x)Q(x)eP(x)dx,
积分得 u (x)Q (x)eP(x)dxdxC ,
dx 特点：它是关于 y, y的一次方程. Q ( x )：自由项.
例如 d y y x2, dxxsintt2, 线性的;
高等数学 上、下册6_5 可降阶的二阶微分方程
复合函数的求导法则，有
y d p d p . d y p d p , dx dy dx dy
代 入 方 程 （ 3 ）， 得
p d p f ( y, p), dy
这 是 关 于 y, p 的 一 阶 微 分 方 程 .如 果 可 求 得 其 通 解 为
p
( y,C1),即
d d
y x
(y,C1)， 再 分 离 变
dy
当y 0, p 0时，约去p 并分离变量，得
dp dy, py
积分得
p C1y,
即
y C1y.
再分离变量后积分，得通解为
y C2eC1x . 利用初始条件 y |x0 1, y |x0 2, 立刻得到C1 2,C2 1, 故 所求的特解为
y e2x.
当 p=0 时，即 y 0，从而 y C2.这是通解中C1 0的 情形.
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
1. y(n) f(x) 逐次积分
2. yf(x,y) 令 yp(x), 则 y d p
dx
3. yf(y,y)
作业
令 yp(y), 则y p dp
dy
P234 1(3), 2(3)
谢谢大家！
量
后
求
积分，便
可 求 得 原 方 程 （ 3） 的 解 .
例 3求 yyy20的 通 解 ， 并 求 满 足 初 始 条 件
y|x 01 ,y|x 02的 特 解 .
解 原方程是不显含自变量x 的方程.
令y p,则y pd p,于是原方程化为 dy
ypd p p2 0, dy
即
p(y d p p2) 0.
3x 1
dy dx . 3x 1
可降阶二阶微分方程
1 e y x.
四、小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法 逐次积分 令 y p( x ) , 令 y p( y ) ,
思考:
1. 方程 答: 令 如何代换求解 ? 或
均可.
一般说, 用前者方便些. 有时用后者方便 . 例如： 2. 解二阶可降阶微分方程初值问题需注意哪些问题 ? 答: (1) 一般情况 , 边解边定常数计算简便.
故原方程通解为
y C 2e
c1 x
.
2 例 1 求方程 yy y 0 的通解.
解2
1 两端同乘 2 , y
yy y 2 d y ( ) 0, 2 dx y y
故 y C1 y,
从而通解为 y C 2e C1 x .
解3
y y , 原方程变为 y y
o
T t
对方程两边积分, 得
d x F0 t (t ) C1 dt m 2T
2
d x F0 t2 (t ) C1 dt m 2T
利用初始条件
2
得 C1 0, 于是
d x F0 t (t ) dt m 2T F0 t 2 t 3 ) C2 两边再积分得 x ( m 2 6T
dy dx , 2 y 1
dy dx , 2 y 1
可得 arctan y x C ,
将 x 0 , y 1 代入 , 得 C
4 4
,
故曲线方程为 y tan( x ) .
例
求方程 y e 2 y 0 的通解. dp 解 令 y p ( y ), 则 y p , 代入方程得 dy
关于 p(x) 的一阶方程
降阶法二阶微分方程组
降阶法二阶微分方程组降阶法是求解二阶微分方程组的一种常用方法，用于将高阶微分方程组降阶为一阶方程组或二者的组合。
在此，我们将介绍如何用降阶法求解二阶微分方程组。
首先，考虑一个二阶微分方程组：$\begin{cases} x''(t) = f(t,x(t),x'(t)) \\ y''(t) = g(t,x(t),x'(t),y(t),y'(t)) \end{cases}$其中，$x(t)$和$y(t)$是未知函数，$f$和$g$是已知函数。
为了将方程组降阶，我们引入新的未知函数$v(t) = x'(t)$和$w(t) = y'(t)$。
然后，我们可以将原方程组转化为一阶方程组：$\begin{cases} v'(t) = f(t,x(t),v(t)) \\ w'(t) = g(t,x(t),v(t),y(t),w(t))\end{cases}$此时，我们需要求解一个四维的一阶微分方程组，而不是原来的二维二阶方程组。
接下来，我们需要使用初值条件来求解一阶方程组的解。
假设给定初始条件$x(t_0) = x_0$、$y(t_0) = y_0$、$x'(t_0) =v_0$和$y'(t_0) = w_0$。
我们可以利用数值方法（如欧拉法、龙格-库塔法等）求解上述一阶微分方程组，从而得到$v(t)$和$w(t)$的数值解。
一旦我们得到了$v(t)$和$w(t)$的数值解，我们可以进行更迭代的计算，从而得到$x(t)$和$y(t)$的数值解。
以上就是利用降阶法求解二阶微分方程组的基本步骤。
下面，我们将通过一个例子来演示具体的计算过程。
考虑方程组：$\begin{cases} x''(t) = -x(t) + x'(t) + \cos(t) \\ y''(t) = -2x(t) + y(t) + \sin(t) \end{cases}$我们希望求解在$t = 0$时，$x(0) = 0$、$y(0) = 1$、$x'(0) =1$和$y'(0) = 0$的初始条件下，方程组的解。
可降阶的二阶微分方程
可降阶的二阶微分方程可降阶的二阶微分方程是指在求解过程中可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
这种方程在物理学、工程学等领域中经常出现，因此掌握其求解方法对于理工科学生来说非常重要。
我们来看一个典型的可降阶的二阶微分方程：$$y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)$$其中，$p(x)$和$q(x)$是已知函数，$f(x)$是已知的非齐次项函数，$y$是未知函数。
我们可以通过一些变换将其降为一阶微分方程的形式。
我们令$y'=z$，则原方程可以写成：$$z'+p(x)z+q(x)y=f(x)$$接下来，我们再令$u(x)=\int p(x)dx$，则上式可以写成：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=e^{u(x)}f(x)$$这是一个一阶线性微分方程，我们可以通过求解它来得到原方程的解。
具体来说，我们可以先求解其齐次方程：$$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}z)+e^{u(x)}q(x)y=0$$这个方程的通解可以表示为：$$z=c_1e^{-u(x)}-\int e^{-u(x)}q(x)ydx$$其中，$c_1$是常数。
接下来，我们可以利用常数变易法来求解非齐次方程的特解。
假设特解为$z=u(x)v(x)$，则代入原方程得到： $$\frac{d}{dx}(e^{u(x)}u'(x)v(x))+e^{u(x)}q(x)y=f(x)$$化简后得到：$$u'(x)e^{u(x)}v(x)=\frac{1}{e^{u(x)}}\int e^{u(x)}f(x)dx$$因此，特解可以表示为：$$z=u(x)v(x)=\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$将特解和通解相加，即可得到原方程的通解：$$y=c_1\int e^{-u(x)}dx+\int e^{-u(x)}\left(c_2+\int e^{u(x)}f(x)dx\right)dx$$这就是可降阶的二阶微分方程的求解方法。
(整理)可降阶的二阶微分方程
第五节可降阶的二阶微分方程在前面几节中，我们已经介绍了几种可用初等方法求解的一阶方程类型，正确而又敏捷地判定所给方程的类型从而按照所知的方法求解，这是基本的要求。
因为我们所遇到的方程，有时不易直接判定其类型，有时需要适当的运算，或作变量替换才能化为能求解对于一般的二阶微分方程没有普遍的解法，本节讨论几种特殊形式的二阶微分方程，它们有的可通过积分求得，有的可经过适当的变量替换可以降为一阶微分方程，然后求解一阶微分方程，再将变量代回，从而求得二阶微分方程的§5.122dxyd ＝f(x)型的微分方程 这是一种特殊类型的二阶微分方程，本章第一节例2就是这种类型，求解方法也较容易，只需二次积分，积分一次得dxdyf(x)dx ＋C1再积分一次得 y f(x)dx ＋C 1］dx＋C ２上式含有两个相互独立的任意常数C 1，C 2，所以这就是方程的通解。
例1. 求方程22dx y d ＝－xsin 12 满足y ｜x ＝4π22ln ，dx dy 4x |π=＝1解dxdy ＝ctanx ＋C1以条件dx dy4x |π=＝1代入得C 1＝dxdy ＝ctanxy ＝ln ｜sinx ｜＋C2以条件y ｜x ＝4π22ln－22ln ln 22＋C 2 即C 2＝于是所求特解是 y ＝ln ｜sinx 这种类型的方程的解法，可推广到n 阶微分方程n n dxyd ＝f(x)，只要积分n例2. 解微分方程33dx yd ＝lnx ＋x解 积分一次得 22dxyd ＝xlnx ＋x ＋C1积分二次得 dx dy ＝21x 2lnx －4x 2＋C 1x ＋C2积分三次得 y ＝6x 3lnx ＋12x 3＋2C 1x 2＋C 2x ＋C3§5.222dx y d ＝f(x, dxdy)这种方程的特点是不明显含有未知函数y ，解决的方法是：我们把dxdydxdy＝p于是有22dx y d ＝dx dp，这样可将原方程降为如下形式的dx dp=f(x,p)这里p p ＝φ(x,C １)然后根据关系式dxdy＝py ＝∫φ(x,C 1)dx ＋C2例3. 求微分方程(1＋x 2) 22dx y d －2x dxdy ＝0的通解 这是一个不明显含有未知函数y 的方作变换 令 dx dy＝p ，则22dx y d ＝dxdp，于是原方程降(1＋x 2) dxdp －2px ＝p dp ＝2x1x2dx积分得ln ｜p ｜＝ln(1＋x 2)＋ln ｜C 1即 p ＝C 1(1＋x 2)从而 dxdy ＝C 1(1＋x 2)y ＝C 1(x ＋3x 3)＋C2例4. 设有柔软而无伸缩性的均匀绳索，求其两端固定且仅受自身重量作用时的形状，即求绳索曲线的方程(如图6-2)解 取曲线上最低点N 的铅直线作Oy 轴，取水平方向的直线为Ox 轴，ON 的长暂时不定。
医用高等数学第五章微分方程基础5.3
将 dy p代入上式得 dx
dy dx
x
,C1
对它两边积分，便得方程的通解为
y x,C1 dx C2
例2 解方程xy y ln y
解 设y p, y dp，方程化为x dp p ln p
dx
dx
分离变量，两边积分得 lnln p ln x lnC1或p eC1x
dy
dy
由 y dP P 0， dy
可得 P C1 y,
dy dx C1 y,
原方程通解为
y C2ec1x .
返回
例 求方程 yy y2 0 的通解. 解 将方程写成 d ( yy) 0,
dx
故有 yy C1, 即 ydy C1dx,
积分后得通解 y2 C1 x C2 .
dy
设其通解为y p y,C1
再分离变量并积分，便得原方程的通解为
dy
y,C1
x
C2
返回
例Leabharlann 求方程 yy y2 0 的通解.
解 设 y p( y), 则 y p dP ,
dy
代入原方程得 y P dP P 2 0, 即 P( y dP P) 0,
第三节 可降阶的二阶微分方程
一、y f x型
例 y sin 2x
返回
二、y f x , y型 缺y型 解法 设y px, 则y dp p
dx
于是原方程降阶成为一阶方程p f x , p
设其通解为 p x ,C1
注意 这一段技巧性较高, 关键是配导数的方程.
高等数学-第6章-常微分方程【可编辑全文】
6.3.3 形如 的y 方f 程y, y
6.4 二阶线性微分方程解的结构
6.4.1 二阶线性微分方程的一般形式 6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构 6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.1 二阶线性微分方程的一般形式
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.2 二阶线性齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.4.3 二阶线性非齐次微分方程解的结构
6.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解
6.5.2 二阶常系数线性非齐次微分方程的求解
6.6 微分方程的简单应用
微分方程是利用一元微积分解决实际问题的重要数学工具．现实世 界中，能用微分方程建模研究的实际问题有很多，涉及的领域包括物理 学、化学、经济、生物、军事、资源等．下面举几个简单的例子，说明 如何运用微分方程解决实际问题．
6.3.1 形如 y'' f (x) 的方程 6.3.2 形如y'' f (x, y ') 的方程 6.3.3 形如y f y, y 的方程
6.3.1 形如 的y方'' 程f (x)
6.3.2 形如 的y''方f (程x, y ')
6.3.2 形如 的y''方f (程x, y ')
6.3.2 形如 的y''方f (程x, y ')
可降阶的二阶微分方程
且初速度为0 , 求质点的运动规律. 解 据题意有
F0 (1 t ) mT
F0
F
F
F0 (1
t T
)
o Tt
对方程两边积分, 得
dx dt
F0 m
(t
t2 2T
)
C1
dx dt
F0 m
(t
t2 2T
)
C1
利用初始条件
得C1 0, 于是
dx F0 ( t t 2 ) d t m 2T
解法 y f ( x)dx C1, y ( f ( x)dx)dx C1x C2.
例 1 求方程 y xe x cos x 的通解.
解 y ( xe x cos x)dx xex ex sin x C1, y ( xe x e x sin x C1)dx
p C1 y, 即
故原方程通解为 y C2ec1x .
例 1 求方程 yy y2 0 的通解.
解2
两端同乘
1 y2
,
yy y2
y2
d( dx
y) y
0,
故 y C1 y, 从而通解为 y C2eC1x .
解3
原方程变为
y y
y y
,
两边积分,得 ln y ln y ln C1， 即 y C1 y，
p f ( x, p). 关于 p(x) 的一阶方程 设其通解为 p ( x,C1), 即 y ( x,C1) ,
再次积分, 得原方程的通解 y ( x,C1)dx C2.
二阶微分方程
这就是说， 是方程(6)的解 的解， 这就是说，如果函数 y = e rx 是方程 的解，那么 r 必须满 足方程(8)． 足方程 ． 反之， 是方程 的一个根， 是方程(8)的一个根 则 反之，若r是方程 的一个根， 是方程(6)的一个特解 的一个特解． e rx是方程 的一个特解． 方程(8)是以 为未知数的二次方程 为未知数的二次方程， 方程 是以 r为未知数的二次方程，我们把它称为微分 2 的系数， 方程(6)的特征方程， 方程 的特征方程，其中 r 和 r 的系数，以及常数项恰好 依次是微分方程(6)中 的系数． 依次是微分方程 中 y′′ 、y ′ 及 y 的系数． 特征方程的根称为特征根． 特征方程的根称为特征根． 特征根
y = (C1 + C 2 x )e r2 x
（10）
(3)特征根是一对共轭复根 1,2=α±βi ， 这时y1 = e (α + βi ) x 特征根是一对共轭复根r 特征根是一对共轭复根 ±
y 2 = e (α − βi ) x 是方程 的两个特解，但这两个解含有复数， 是方程(6)的两个特解 但这两个解含有复数， 的两个特解， 和
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1．二阶常系数线性齐次微分方程的通解 先讨论二阶常系数线性齐次微分方程 y′′ + py′ + qy = 0 的解的结构． 的解的结构． 定理1 定理1 如果函数 y1与y2 是方程 (6)的两个解, 那么 (6)
y = C1 y1 + C 2 y2
也是方程(6)的解，其中是任意常数 也是方程 的解，其中是任意常数． 的解
C x ln y = C1 x + ln C 2 或 y = C 2 e 1
显然它也满足原方程． 如果P 显然它也满足原方程．但 y =C 如果 = 0，那么立刻可得 y = C， 那么立刻可得 Cx 已被包含在解 y = C 2 e 1 中了 (令 C1 = 0 就可得到它 ).
可降阶的二阶微分方程
例1解方程时=1+广1
-— — .■ —-*
.- 二一"=—-
特点：方程的右I关于变量W的一阶微分方程
解法：令y' = p可
,
dx
方程可化为：p = f (x, p)
求出它的通解y=p=甲(x,c1)
再积分得原方程的通解：
y =\^( x, C )dx + C2
例2 解方程 xy" = y'(ln y9 - In x).
一、 T" = f ( x)型的微分方程 二、 7" = f (x,y')型的微分方程 =_yff = f (y, y')型的微分方程
见,应用举例
型的微分方程
- 一 一-一二 * ,__ _
特点：方程的右端仅含有 变量
解法：令y = z可得
dz /
两端积分， 彳
y' = z
dx +C
再两端积分பைடு நூலகம்
J ( J ) 可推广y应=用于更高阶的微f分(x方)d程x yyn) =dx + Cx + C
特点：方程的右端不显含自变
关于变量决的一阶微分方程
解法：令y' = pr 方程可化为：p华=/(y, p)
d—x d—y d=x=dyp亠
dy 求出它的通解y' =
P
=
yC)
再积分得原方程的通解：
= X+C J o(y, G) 2
例3求微分方程yy"- y” = 0 的通解・
一、T" = f (X) 型的微分方程
逐次积分即可得解。
二、 矿=f (x, Q型的微分方程
令y' = p方程变为：p' = f (x, p)
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y 例 1 求方程 y xe x 的通解. x
解 原方程是 y f ( x, y) 型 dp dp 1 , 方程化为 p xe x . 令 y p ， y dx dx x 利用非齐次线性方程求其通解为 1 1 ( )dx d x p e x ( xe x e x dx C1)
（ 2） dp ,代 的右端不含为未知函数 y， 此时可令 y p ， 则 y dx dp f ( x, p ). 入方程（ 2） ，得 dx 这是关于变量 x 和 p 的一阶微分方程，它比原方程（ 2） 降低了一阶，若能求出它的通解 . p ( x, C1 ), 则（ 2）的通 解为 y ( x, C1 ) d x C2 . 一般地，不含 y 的可降阶的二阶微分方程，都可以按 上述方法求其通解 . 微分方程
积分得
p C1 y, y C1 y. 即 再分离变量后积分，得通解为 y C2 eC1x . 利用初始条件 y |x0 1, y |x0 2, 立刻得到 C1 2, C2 1, 故 所求的特解为 y e2 x . 当 p=0 时， 即 y 0 ， 从而 y C2 . 这是通解中 C1 0 的 情形 .
x x x
y |x0 0, y |x0 1的特解. 解 所给方程中不含未知数 y 及自变量 x， 这也是不 含 y 的可降阶的二阶微分方程. dp y p , y , 代入原方程，得 令 dx p 3 p 2 0, dp 3d x. 即 2 p
1 3 x C1.由 y |x0 p |x0 1, 得 p C1=1 1 y , 从而 3x 1 dx dy . 即 3x 1 1 y ln(3 x 1) C2 . 得 3 又由 y |x0 0, 得 C2 0. 所以原方程的特解为 1 y ln(3 x 1). 3
第五节
可降阶的二阶微分方程
二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程 . 高阶微分方程在工程技术有着广泛的应用 .高阶微分方 程的求解一般要比一阶微分方程复杂，能够求解的类型 也不多，其中最简单的 n 阶微分方程为 y ( n ) f ( x ). （1） 因为方程（1）可以通过逐次积分，即 y ( n1) f ( x) d x C1 ,
所以
二、 y f y, y) 型
y f ( y , y) 微分方程 (3) 的右端不含自变量 x, 为其求解，此时可令y p ，根据 复合函数的求导法则，有 dp dp dy dp y . p , dx dy dx dy 代入方程（3） ，得 dp p f ( y , p ), dy 这是关于 y, p 的一阶微分方程 . 如果可求得其通解为 dy ( y, C1 ) ，再分离变量后求积分，便 p ( y, C1 ), 即 dx 可求得原方程（3）的解.
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分 1. y f ( x) 2. y f ( x, y) 令 y p( x) ,
(n)
3. y f ( y, y)
令
y p( y ) ,
作业
P234 1(3), 2(3)
eln x ( xe x e
ln 1 x
dx C1)
即
x( e x dx C1x) xe x C1x dy x(e x C1) dx
所以原方程的通解为
C 2 y ( xe C1x) dx xe e x C2 2 C1 x x 2 xe e C1 x C2 (C1 ). 2 2 例 2 求 微 分 方 程 y 3 y 0 满 足 初 始 条 件
y ( n2) f ( x) d x C1 d x C2 ,
...... 直到积分 n 次后就得到其通解 y 的表达式（其中含 n 个 任意常数） ，如第一节的例 2，这里就不在举例了.
本接将介绍可降阶的两种特殊类型的二阶微分方程 的解法.
一﹑ y f ( x, y) 型
例 3 求 yy y2 0 的通解，并求满足初始条件
y |x0 1, y |x0 2 的特解.
解 原方程是不显含自变量 x 的方程. dp , 于是原方程化为 令 y p, 则 y p dy dp yp p 2 0, dy dp p( y p 2 ) 0. 即 dy 当 y 0, p 0 时，约去 p 并分离变量，得 dp dy , p y