大学数学_6_5 可降阶的二阶微分方程

积分得
p C1 y, y C1 y. 即 再分离变量后积分，得通解为 y C2 eC1x . 利用初始条件 y |x0 1, y |x0 2, 立刻得到 C1 2, C2 1, 故 所求的特解为 y e2 x . 当 p=0 时， 即 y 0 ， 从而 y C2 . 这是通解中 C1 0 的 情形 .
（ 2） dp ,代 的右端不含为未知函数 y， 此时可令 y p ， 则 y dx dp f ( x, p ). 入方程（ 2） ，得 dx 这是关于变量 x 和 p 的一阶微分方程，它比原方程（ 2） 降低了一阶，若能求出它的通解 . p ( x, C1 ), 则（ 2）的通 解为 y ( x, C1 ) d x C2 . 一般地，不含 y 的可降阶的二阶微分方程，都可以按 上述方法求其通解 . 微分方程
y f ( x, y)
y 例 1 求方程 y xe x 的通解. x
解 原方程是 y f ( x, y) 型 dp dp 1 , 方程化为 p xe x . 令 y p ， y dx dx x 利用非齐次线性方程求其通解为 1 1 ( )dx d x p e x ( xe x e x dx C1)
内容小结
可降阶微分方程的解法 —— 降阶法
逐次积分 1. y f ( x) 2. y f ( x, y) 令 y p( x) ,
(n)
3. y f ( y, y)
令
y p( y ) ,
作业
P234 1(3), 2(3)
x x x
y |x0 0, y |x0 1的特解. 解 所给方程中不含未知数 y 及自变量 x， 这也是不 含 y 的可降阶的二阶微分方程. dp y p , y , 代入原方程，得 令 dx p 3 p 2 0, dp 3d x. 即 2 p
1 3 x C1.由 y |x0 p |x0 1, 得 p C1=1 1 y , 从而 3x 1 dx dy . 即 3x 1 1 y ln(3 x 1) C2 . 得 3 又由 y |x0 0, 得 C2 0. 所以原方程的特解为 1 y ln(3 x 1). 3
第五节ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
可降阶的二阶微分方程
二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程 . 高阶微分方程在工程技术有着广泛的应用 .高阶微分方 程的求解一般要比一阶微分方程复杂，能够求解的类型 也不多，其中最简单的 n 阶微分方程为 y ( n ) f ( x ). （1） 因为方程（1）可以通过逐次积分，即 y ( n1) f ( x) d x C1 ,
例 3 求 yy y2 0 的通解，并求满足初始条件
y |x0 1, y |x0 2 的特解.
解 原方程是不显含自变量 x 的方程. dp , 于是原方程化为 令 y p, 则 y p dy dp yp p 2 0, dy dp p( y p 2 ) 0. 即 dy 当 y 0, p 0 时，约去 p 并分离变量，得 dp dy , p y
eln x ( xe x e
ln 1 x
dx C1)
即
x( e x dx C1x) xe x C1x dy x(e x C1) dx
所以原方程的通解为
C 2 y ( xe C1x) dx xe e x C2 2 C1 x x 2 xe e C1 x C2 (C1 ). 2 2 例 2 求 微 分 方 程 y 3 y 0 满 足 初 始 条 件
y ( n2) f ( x) d x C1 d x C2 ,
...... 直到积分 n 次后就得到其通解 y 的表达式（其中含 n 个 任意常数） ，如第一节的例 2，这里就不在举例了.
本接将介绍可降阶的两种特殊类型的二阶微分方程 的解法.
一﹑ y f ( x, y) 型
所以
二、 y f ( y, y) 型
y f ( y , y) 微分方程 (3) 的右端不含自变量 x, 为其求解，此时可令y p ，根据 复合函数的求导法则，有 dp dp dy dp y . p , dx dy dx dy 代入方程（3） ，得 dp p f ( y , p ), dy 这是关于 y, p 的一阶微分方程 . 如果可求得其通解为 dy ( y, C1 ) ，再分离变量后求积分，便 p ( y, C1 ), 即 dx 可求得原方程（3）的解.