平面向量知识点易错点归纳

平面向量知识点易错点

归纳

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§ 平面向量的概念及线性运算

1名称 定义

备注

向量 既有大小又有方向的量；向量的大小

叫做向量的长度(或称模) 平面向量是自由向量

零向量 长度为0的向量；其方向是任意的

记作0

单位向量 长度等于1个单位的向量 非零向量a 的单位向量为±a

|a |

平行向量 方向相同或相反的非零向量 0与任一向量平行或共线

共线向量

方向相同或相反的非零向量又叫做共

线向量

相等向量 长度相等且方向相同的向量 两向量只有相等或不等，不能比较大

小

相反向量 长度相等且方向相反的向量

0的相反向量为0 2.向量的线性运算

向量运算

定义 法则(或几何意义) 运算律 加法

求两个向量和的运

算

(1)交换律：a ＋b

＝b ＋a . (2)结合律：(a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )．

减法

求a 与b 的相反向

量－b 的和的运算叫做a 与b 的差

三角形法则

a －

b ＝a ＋(－b )

数乘

求实数λ与向量a 的积的运算

(1)|λa |＝|λ||a |；(2)当λ>0时，λa 的方

向与a 的方向相同；当λ<0时，λa 的方向与a 的方向相反；当λ＝0时，λa

＝0

λ(μa )＝(λμ)a ；(λ＋μ)a ＝λa ＋μa ；λ(a ＋b )＝λa ＋λb

3.共线向量定理

向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa . 方法与技巧

1．向量的线性运算要满足三角形法则和平行四边形法则，做题时，要注意三角形法则与平行四边形法则的要素．向量加法的三角形法则要素是“首尾相接，指向终点”；向量减法的三角形法则要素是“起点重合，指向被减向量”；平行四边形法则要素是“起点重合”．

2．可以运用向量共线证明线段平行或三点共线．如AB →∥CD →且AB 与CD 不共线，则AB ∥CD ；若AB

→

∥BC →

，则A 、B 、C 三点共线． 失误与防范

1．解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更重要的是要考虑向量的方向；二是考虑零向量是否也满足条件．要特别注意零向量的特殊性．

2．在利用向量减法时，易弄错两向量的顺序，从而求得所求向量的相反向量，导致错误.

§ 平面向量基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理

如果e 1、e 2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量a ，有且只有一对实数λ1、λ2，使a ＝λ1e 1＋λ2e 2.

其中，不共线的向量e 1、e 2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底． 2．平面向量的坐标运算

(1)向量加法、减法、数乘及向量的模 设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则

a ＋

b ＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，a －b ＝(x 1－x 2，y 1－y 2)，

λa ＝(λx 1，λy 1)，|a |＝x 21＋y 21.

(2)向量坐标的求法

①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则AB →＝(x 2－x 1，y 2－y 1)，|AB →

|＝x 2－x 12＋y 2－y 12. 3．平面向量共线的坐标表示

设a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，其中b ≠∥b x 1y 2－x 2y 1＝0. 方法与技巧

1．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解． 向量的坐标表示的本质是向量的代数表示，其中坐标运算法则是运算的关键． 2．平面向量共线的坐标表示 (1)两向量平行的充要条件

若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件是a ＝λb ，这与x 1y 2－x 2y 1＝0在本质上是没有差异的，只是形式上不同． (2)三点共线的判断方法

判断三点是否共线，先求由三点组成的任两个向量，然后再按两向量共线进行判定． 失误与防范

1．要区分点的坐标和向量的坐标，向量坐标中包含向量大小和方向两种信息；两个向量共线有方向相同、相反两种情况．

2．若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ∥b 的充要条件不能表示成x 1x 2＝y 1

y 2

，因为x 2，y 2有可能等于0，

所以应表示为x 1y 2－x 2y 1＝0.

§ 平面向量的数量积

1．平面向量的数量积

已知两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，则数量|a ||b |cos θ叫做a 和b 的数量积(或内积)，记作a ·b ＝|a ||b |cos θ.

规定：零向量与任一向量的数量积为__0__.

两个非零向量a 与b 垂直的充要条件是a·b ＝0，两个非零向量a 与b 平行的充要条件是a·b ＝±|a||b|.

2．平面向量数量积的几何意义

数量积a·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积． 3．平面向量数量积的重要性质 (1)e·a ＝a·e ＝|a |cos θ；

(2)非零向量a ，b ，a ⊥ba·b ＝0； (3)当a 与b 同向时，a·b ＝|a||b|；

当a 与b 反向时，a·b ＝－|a||b|，a·a ＝a 2，|a |＝a·a ；

(4)cos θ＝a·b

|a||b|；

(5)|a·b |__≤__|a||b|.

4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a (交换律)；

(2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .

5．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2，由此得到 (1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |＝x 2＋y 2.

(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A 、B 两点间的距离|AB |＝|AB →

|＝x 2－x 12＋y 2－y 12. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b x 1x 2＋y 1y 2＝0. 方法与技巧

1．计算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活选用，和图形有关的不要忽略数量积几何意义的应用．

2．求向量模的常用方法：利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算． 3．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧． 失误与防范

1．(1)0与实数0的区别：0a ＝0≠0，a ＋(－a )＝0≠0，a ·0＝0≠0；(2)0的方向是任意的，并非没有方向，0与任何向量平行，我们只定义了非零向量的垂直关系． 2．a·b ＝0不能推出a ＝0或b ＝0，因为a·b ＝0时，有可能a ⊥b .