离散数学复习要点 (2)

离散数学复习
2018.1.3
第1章数学语言与证明方法
知识点1：幂集的定义
幂集的元素个数计算，如果A有n个元素，那么P（A）有2的n次方个元素例1
φ的幂集P（φ）的元素个数为1，因为2的0次方为1.即{φ}。

{φ}的幂集P（{φ}）元素个数为2，其幂集为{φ，{φ}}
知识点2：集合的运算
P8的公式，特别要注意下面的公式：
A-B=A ~B
~~A=A
~(A B)= ~A ~B
~(A B) = ~A ~B
A⊕B=（A - B） (B - A)
知识点3 文氏图
P7 用文氏图表达集合运算
第2章命题逻辑
1 成真赋值，成假赋值
例1：求(p∨q)→r的成假赋值
若上式子成假，必须(p∨q)为1，r为0
故成假赋值为110 ，100，010
2可满足式，矛盾式，永真式的定义
3 合取范式，析取范式的定义
4 极大项，极小项的定义。

例2 求(p∨q)→r的合取范式的极大项，析取范式的极小项
解成假赋值为110，100，010，故此有三项极大项，
(p∨q)→r⇔M2∧M4∧M6
成真赋值为000，001，011，101，111，故此析取范式有五项极小项
(p∨q)→r⇔m0∨m1∨m3∨m5∨m7
5 联接词完备集
{∨，⌝，∧}是完备的，因为→和↔都可以用前三个符号来表达
例如p↔q⇔（p→q）∧（q →p）
（p→q）⇔⌝p∨q
{⌝，∧}也是完备的
因为p∨q⇔⌝(⌝(p∨q)) ⇔⌝(⌝p∧⌝q)
但{∨，∧}就不是完备的
6 命题符号化和定理证明
例如小王学过英语或者日语。

如果小王学过英语，则他去过英国，如果他去过英国，他也去过日本。

所以小王学过日语或者去过日本。

证明：
1）p：小王去过英语；q：小王学过英语
r : 小王去过英国s：小王去过日本
2）前提：p∨q，p→r，r→s
结论：q∨s
3）构造证明过程：
1 p→r 前提引入
2 r→s 前提引入
3 p→s 1，2假言三段伦
4 p∨q 前提引入
5 ⌝⌝p∨q 4置换
6 ⌝q→p 5置换
7 ⌝q→s 6，3假言三段
8 q∨s 7置换
7 归结法证明：
例子：用归结法证明上述命题
1）p：小王去过英语；q：小王学过英语
r : 小王去过英国s：小王去过日本
2）前提：p∨q，p→r，r→s
结论：q∨s
用归结法改写为下述形式：
前提：p∨q，⌝p∨r，⌝r∨s，⌝q，⌝s
结论0
证明：
1 ⌝r∨s 前提引入
2 ⌝s 前提引入
3 ⌝r 1，2归结
4 ⌝p∨r 前提引入
5 ⌝p 3，4归结
6 p∨q 前提引入
7 q 6，7归结
8 ⌝q 前提引入
9 0 7，8归结
第3章一阶逻辑
知识点1 公式符号化
例如所有的汽车比飞机慢
例如有的汽车比有的飞机慢
例如有的汽车比所有的飞机慢
知识点2 前束范式的定义，及转换
例：将上述转换为前束范式
P85 3.32
第四章关系
1 笛卡尔积的定义
例子：
求{1，2，3}×{4，5}
2二元关系的矩阵表示与图表示
3 关系的传递性，对称性，反对称性，自反性。

（判断法则）
4 关系的交，并，关系的合成，关系的幂运算。

5 传递闭包，对称闭包，自反闭包，tsr闭包
4 等价关系，偏序关系与哈斯图，集合的划分
例1
{1，2，3}有多少种划分
{1,2,3,4}有多少种划分
例2 A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}如果整除关系为偏序关系，画出哈斯图。

并求{2，3}在该偏序关系的上界和下界
第5章函数
知识点1：函数，恒等函数，单射，满射，双射函数
例子判断下列映射是否是函数，是否是双射函数
例子|A|=m |B|=n,求A到B上函数的个数，A到B上双射函数的个数
A到B上函数有n^m个，因为每个自变量都有n种选择。

A到B的双射函数，如果当n不等于m时，为0.因为双射函数必须一一对应。

如果m=n，则有n!
知识点2 函数的像，完全原像。

f 的定义
知识点3 函数的合成，g
第6章图
1 握手定理
2 完全图Kn 圈图Cn，轮图Wn，各有多少顶点，多少边
3 生成子图的定义和性质。

4 初级通路和简单通路的定义，初级回路和简单回路的定义。

例子：给定一个无向图，计算初级通路和简单通路的条数
5 平面图的定义，欧拉公式n-m+r=2，平面图的判断
6染色问题，四色定理
7 欧拉图，欧拉通路，哈密尔顿图，哈密尔顿通路，欧拉图的判断，哈密尔顿图的判断。

8 二部图的定义，二部图的判断。