离散数学复习要点 (2)

离散数学复习

2018.1.3

第1章数学语言与证明方法

知识点1：幂集的定义

幂集的元素个数计算，如果A有n个元素，那么P（A）有2的n次方个元素例1

φ的幂集P（φ）的元素个数为1，因为2的0次方为1.即{φ}。

{φ}的幂集P（{φ}）元素个数为2，其幂集为{φ，{φ}}

知识点2：集合的运算

P8的公式，特别要注意下面的公式：

A-B=A ~B

~~A=A

~(A B)= ~A ~B

~(A B) = ~A ~B

A⊕B=（A - B） (B - A)

知识点3 文氏图

P7 用文氏图表达集合运算

第2章命题逻辑

1 成真赋值，成假赋值

例1：求(p∨q)→r的成假赋值

若上式子成假，必须(p∨q)为1，r为0

故成假赋值为110 ，100，010

2可满足式，矛盾式，永真式的定义

3 合取范式，析取范式的定义

4 极大项，极小项的定义。

例2 求(p∨q)→r的合取范式的极大项，析取范式的极小项

解成假赋值为110，100，010，故此有三项极大项，

(p∨q)→r⇔M2∧M4∧M6

成真赋值为000，001，011，101，111，故此析取范式有五项极小项

(p∨q)→r⇔m0∨m1∨m3∨m5∨m7

5 联接词完备集

{∨，⌝，∧}是完备的，因为→和↔都可以用前三个符号来表达

例如p↔q⇔（p→q）∧（q →p）

（p→q）⇔⌝p∨q

{⌝，∧}也是完备的

因为p∨q⇔⌝(⌝(p∨q)) ⇔⌝(⌝p∧⌝q)

但{∨，∧}就不是完备的

6 命题符号化和定理证明

例如小王学过英语或者日语。如果小王学过英语，则他去过英国，如果他去过英国，他也去过日本。所以小王学过日语或者去过日本。

证明：

1）p：小王去过英语；q：小王学过英语

r : 小王去过英国s：小王去过日本

2）前提：p∨q，p→r，r→s

结论：q∨s

3）构造证明过程：

1 p→r 前提引入

2 r→s 前提引入

3 p→s 1，2假言三段伦

4 p∨q 前提引入

5 ⌝⌝p∨q 4置换

6 ⌝q→p 5置换

7 ⌝q→s 6，3假言三段

8 q∨s 7置换

7 归结法证明：

例子：用归结法证明上述命题

1）p：小王去过英语；q：小王学过英语

r : 小王去过英国s：小王去过日本

2）前提：p∨q，p→r，r→s

结论：q∨s

用归结法改写为下述形式：

前提：p∨q，⌝p∨r，⌝r∨s，⌝q，⌝s

结论0

证明：

1 ⌝r∨s 前提引入

2 ⌝s 前提引入

3 ⌝r 1，2归结

4 ⌝p∨r 前提引入

5 ⌝p 3，4归结

6 p∨q 前提引入

7 q 6，7归结

8 ⌝q 前提引入

9 0 7，8归结

第3章一阶逻辑

知识点1 公式符号化

例如所有的汽车比飞机慢

例如有的汽车比有的飞机慢

例如有的汽车比所有的飞机慢

知识点2 前束范式的定义，及转换

例：将上述转换为前束范式

P85 3.32

第四章关系

1 笛卡尔积的定义

例子：

求{1，2，3}×{4，5}

2二元关系的矩阵表示与图表示

3 关系的传递性，对称性，反对称性，自反性。

（判断法则）

4 关系的交，并，关系的合成，关系的幂运算。

5 传递闭包，对称闭包，自反闭包，tsr闭包

4 等价关系，偏序关系与哈斯图，集合的划分

例1

{1，2，3}有多少种划分

{1,2,3,4}有多少种划分

例2 A={1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}如果整除关系为偏序关系，画出哈斯图。并求{2，3}在该偏序关系的上界和下界

第5章函数

知识点1：函数，恒等函数，单射，满射，双射函数

例子判断下列映射是否是函数，是否是双射函数

例子|A|=m |B|=n,求A到B上函数的个数，A到B上双射函数的个数

A到B上函数有n^m个，因为每个自变量都有n种选择。

A到B的双射函数，如果当n不等于m时，为0.因为双射函数必须一一对应。

如果m=n，则有n!

知识点2 函数的像，完全原像。

f 的定义

知识点3 函数的合成，g

第6章图

1 握手定理

2 完全图Kn 圈图Cn，轮图Wn，各有多少顶点，多少边

3 生成子图的定义和性质。

4 初级通路和简单通路的定义，初级回路和简单回路的定义。

例子：给定一个无向图，计算初级通路和简单通路的条数

5 平面图的定义，欧拉公式n-m+r=2，平面图的判断

6染色问题，四色定理

7 欧拉图，欧拉通路，哈密尔顿图，哈密尔顿通路，欧拉图的判断，哈密尔顿图的判断。

8 二部图的定义，二部图的判断