浅析对称性在求函数最值中的运用

浅析对称性在求函数最值中的运用

孝感市第一高级中学 陈雄飞

在数学的学习中，常常会遇到一些求函数最值的问题．最值问题除了可以运用函数知识解决以外，有时还可以通过运用数形结合，利用几何的方法——对称性来解决．

本文仅从以下几个方面谈谈对称性在几何中的应用，以求抛砖引玉．

一、距离之和的最小值问题

问题一、求函数()2216-48f x x x x =+++的最小值．

解：对于这类问题，在解题时，会遇到很大的难度，有时会变得束手无策．但是我们注意到，函数的形式，与解析几何中的两点间的距离公式很“像”，于是，我们不难将其变形整理得()2222(0)(04)(2)(02)f x x x =-+-+-+-．

∴()f x 即为点P (),0x 与点A ()0,4的距离与点P ()

,0x 与点B ()2,2的距离之和．即：()f x =PA PB +作A ()0,4关

于x 轴的对称点A '()0,4-．连结A B '与x 轴交于点P ，知

当(),0x 为点P 时， ()min f x PA PB PA PB A B ''=+=+=

220-2(-4-2)=40=210=+（）． 推广1（平面）： 例1．已知平面上两点A ()4,1和B ()3,3在直线:310l x y --=上找一点M ，使MA MB +最小，求点M 的坐标．

解：如图，因为点A,B 在直线l 的同侧，作点B 关于直线l 的对称点C, AC 与l 的交点为M,则MA MB +取得最小值．

设()00,C x y ，因为BC 被l 垂直平分，所以

00003(3)31022313

3x y y x ++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩ 从而可得直线AC 的方程为34160x y +-=与A A'

B x y O

P

310x y --=联立解得4,33

x y ==， ∴ M (43

, 3)． 推广2（空间）：

例2．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a, E 是AA 1的中点，在对角面BB 1D 1D 上取一点M ，使AM+ME 最小，最小值为________．

解：如图，因为A, E 在平面BB 1D 1D 的同侧，

在正方体中易知点A 关于平面BB 1D 1D 的对称点

为C ，则连接EC 与平面BB 1D 1D 的交点为M 时，

AM+ME 最小为EC ．

222213()(2)22

EC EA AC a a a =+=+=． 说明：对于在直线(或平面)上求一点，使该

点到两定点距离之和为最小的问题，当两点在直

线(或平面)的同侧，可作出其中一点关于直线(或

平面)的对称点，再求对称点与另一点的距离．这

两点所在的直线与已知直线(或平面)的交点即为所求的点．

当两点在已知直线(或平面)的异侧，可直接连结这两点，则这两点间的距离即为所求最小值，这两点所在的直线与已知直线(或平面)的交点为所求的点．

推广3：涉及到多个点的距离之和的最小值，根据两点间直线段最短公理，知点共线时距离之和最小．

例3．二面角l αβ--的大小为60°，点P 到α的距离为2，到β的距离为3，,A B αβ∈∈，则PAB ∆的周长的最小值为_________．

解：作P 关于α，β对称点P 1,P 2,连结P 1,P 2

交平面α于A,交平面β于B ．

C △PAB =PA+AB+BP=P 1A+AB+BP 2=P 1P 2最小．

由二面角知识知∠P 1PP 2=180°-60°=120°,

PP 2=2×3=6，PP 1=2×2=4．

在12PPP ∆中由余弦定理有

22

1221122cos120PP PP PP PP PP =+-⋅⋅°

=76 ， ∴P 1P 2=219 , 则(C △PAB )min = P 1P 2=219．

二、距离之差的最大值问题

例１．求函数22()251f x x x x =-+-+的最大值． 解：变形整理得2222()(1)(02)(0)(01)f x x x =-+---+-

∴()f x 即为点(,0)x 到点A (1,2)的距离与点(,0)x 到B(0,1)的距离之差．

点(,0)x 为x 轴上的动点，连结AB 与x 轴交于点P,当

点(,0)x 为点P 时，max ()f x =AB =2．

说明：对于在直线(或平面)上求一点使该点到两定

点距离之差最大的问题，如果两点在已知直线(或平面)

的同侧，可直接连接这两点，两点间的距离为最大值，

这两点所在直线与已知直线(或平面)的交点即为所求

的点．

如果两点在已知直线(或平面)的异侧，可作出其中一点关于直线(或平面)的对称点，再求对称点与另一点间的距离，这两点所在的直线与已知直线(或平面)的交点为所求点．

思考题：

1、正三棱锥P-ABC 的三条侧棱两两成40°角，侧棱

长为6，D,E 为PB,PC 上的点，则ABC ∆周长的最小值是

________．

2、直线2360x y +-=交,x y 轴于A,B 两点，试在直

线y x =上求一点P ，使得PA PB -最大，并求最大值．

参考答案：

1、分析：此题涉及求立体几何图形上几点间的距离之和的最小值问题。应先化归成平面问题，然后根据点共线时距离最短求解．

解：将三棱锥P-ABC 沿棱PA 展开成平面图如右，ABC ∆的周长=AD+DE+EA.当点A,D,E 共线，即连结AA '与PB 交于点D ，与PC 交于

点E 时，距离之和最小．

∴ABC ∆的周长的最小值=AA '由题意PA =6,PA '=6,

APA APB BPC CPA ''∠=∠+∠+∠=120° ，

由余弦定理知AA '=63．

∴ABC ∆的周长的最小值为63