浅析对称性在求函数最值中的运用

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函数极值求解题技巧

函数极值求解题技巧在数学中，求解函数的极值是一个经常遇到的问题。

极值是指在一定区间内，函数取得最大值或最小值的点。

解决函数极值问题的方法有很多，下面介绍一些常用的技巧。

1.求导法求导法是求解函数极值的基本方法之一。

主要步骤如下：（1）对给定的函数，将其关于变量求导，得到导数函数。

（2）将导数函数置为0，求解方程。

（3）解得方程的解即为函数的极值点。

（4）通过二阶导数来判断极值的类型：若二阶导数大于0，则该点是极小值点；若二阶导数小于0，则该点是极大值点；若二阶导数等于0，则需要进一步分析。

2.边界值法边界值法适用于区间上包含有限个点的情况。

主要步骤如下：（1）在区间的边界处计算函数值。

（2）比较边界处的函数值，找出最大值或最小值。

（3）这些最大值或最小值都可能是函数的极值。

3.对称性法对称性法适用于具有一定的对称性质的函数。

主要步骤如下：（1）根据函数的对称性特点，找出函数取极值的位置。

（2）通过计算函数在取极值位置的导数，判断极值的类型。

4.二分法二分法适用于函数在一个区间上单调递增或单调递减的情况。

主要步骤如下：（1）找出一个区间，使得函数在该区间上单调递增或单调递减。

（2）取区间的中点，计算中点的函数值。

（3）根据函数值的大小关系，确定下一次迭代的区间。

（4）重复以上步骤，直到找到函数的极值。

5.最大值和最小值的性质对于连续函数，最大值和最小值都会在闭区间内取得。

所以可以先计算出闭区间的边界值，再计算函数在闭区间内的驻点，最终比较这些值找出极值。

6.二次函数的极值对于二次函数，其形式为y=ax^2+bx+c。

当a>0时，函数开口向上，最小值在顶点处取得；当a<0时，函数开口向下，最大值在顶点处取得。

顶点的横坐标为-b/2a，代入函数求得最大值或最小值。

除了以上提到的方法，求解函数极值还可以利用拉格朗日乘数法、柯西不等式等高级方法。

不同的函数具有不同的特点，需要根据具体情况选择合适的方法进行求解。

高中数学如何求解三角函数的极值和最值

高中数学如何求解三角函数的极值和最值一、引言三角函数是高中数学中的重要内容，求解三角函数的极值和最值是数学分析的基本技能之一。

本文将介绍如何通过分析和计算来求解三角函数的极值和最值，以及一些常见的解题技巧。

二、求解三角函数的极值1. 极值的定义在数学中，极值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。

对于三角函数而言，极值点就是函数图像上的顶点或谷底。

2. 求解极值的方法（1）利用导数法求解对于一元函数，可以通过求导数来确定其极值点。

对于三角函数而言，可以先求出函数的导数，然后令导数等于零，解方程得到极值点。

例如，考虑函数f(x) = sin(x)，其导数f'(x) = cos(x)。

令f'(x) = 0，解得x = π/2 + kπ，其中k为整数。

因此，函数sin(x)在x = π/2 + kπ处取得极值。

（2）利用周期性求解由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解极值。

例如，考虑函数f(x)= sin(2x)，它的周期为π。

因此，只需求解f(x)在一个周期内的极值即可。

在区间[0, π]上，函数f(x)在x = π/4处取得最大值1，而在x = 3π/4处取得最小值-1。

三、求解三角函数的最值1. 最值的定义在数学中，最值是指函数在某个区间内取得的最大值或最小值。

对于三角函数而言，最值点就是函数图像上的最高点或最低点。

2. 求解最值的方法（1）利用周期性求解与求解极值类似，由于三角函数具有周期性，可以利用周期性来求解最值。

例如，考虑函数f(x) = sin(x)，它的周期为2π。

因此，只需求解f(x)在一个周期内的最值即可。

在区间[0, 2π]上，函数f(x)在x = π/2处取得最大值1，而在x = 3π/2处取得最小值-1。

（2）利用函数图像求解通过观察函数的图像，可以直观地确定函数的最值点。

例如，考虑函数f(x) = cos(x)，它的图像是一条波浪线。

从图像上可以看出，函数f(x)在x = 0处取得最大值1，而在x = π处取得最小值-1。

对称性在数学教学中的应用

对称性在数学教学中的应用在数学教学中利用数学问题的对称性不仅有助于找到简洁优美的解法，也有利于学生思维水平的提高。

更重要的是可以在学习数学的同时欣赏数学美，正如古代哲学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美。

”而对称美是数学美的基本内容和重要体现，因此在数学教学中，教师要有意识地揭示数学中的对称美，培养学生的美感，利用对称性提高学生解决问题的能力。

本文以例题为主，主要论述对称性在函数，几何等方面的应用，让学生充分认识对称性的作用，认识对称美。

运用对称性可以锻炼学生的思维，拓展学生的视野，丰富学生的想象，提高学习效果。

一、对称的概念“对称”一词，译自希腊语，其含义是“和谐”“美观”，原义指“在一些物品的布置时出现的般配与和谐”。

我国老一辈数学家段学复教授也说过：“对称，照字面来讲，就是两个东西相对而又相称(或者说相仿、相等)。

因此，把这两个东西互换一下，好像没动一样。

”在现实世界中，形式上和内容上的对称性，广泛地存在于客观事物之中，既有轴对称、中心对称、镜面对称等等的空间对称，又有周期、节奏和旋律的时间对称。

对称美，作为数学美的主要表现形式之一，其数学的实质就是自然物的和谐性在量和量的关系上最直观的表现，是组元的一个构形在其自同构变换群作用下具有的不变性。

从狭义上说，对称是指通常意义下的几何对称和代数对称；从广义上讲，对称还包含对偶、匀称等方面的内容，及各种数学概念、公式、定理间的对称思想。

二、函数中的对称性问题1.函数自身的对称性。

（1）利用奇偶函数的对称性解题。

众所周知，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称，只要掌握这些知识的内涵，就能得到处理这些问题的思路把看似复杂的问题简单化。

例1设（fx）是R上的奇函数，且（fx+3）=-（fx），当0≤时（fx）=x，求（f2008）。

解：因为y=（fx）是定义在R上的奇函数，所以点（0，0）是其对称中心，又（fx+3）=-（fx）=（f-x）=（f0-x），所以直线是y=（fx）的对称轴，故y=（fx）是周期为6的周期函数，所以（f2008）=（f6×335-2）=f（-2）=-（f3-1）=（f-1）=-（f1）=-1。

高考数学复习考点知识与题型专题讲解6---函数的奇偶性、周期性与对称性

高考数学复习考点知识与题型专题讲解函数的奇偶性、周期性与对称性考试要求1.了解函数奇偶性的含义，结合三角函数，了解周期性与对称性及其几何意义.2.会依据函数的性质进行简单的应用．知识梳理1．函数的奇偶性奇偶性定义图象特点偶函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数关于y轴对称奇函数一般地，设函数f(x)的定义域为I，如果∀x∈I，都有－x∈I，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数关于原点对称2.周期性(1)周期函数：一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果存在一个非零常数T，使得对每一个x∈D都有x＋T∈D，且f(x＋T)＝f(x)，那么函数y＝f(x)就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．常用结论1．奇函数在关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上具有相反的单调性．2．函数周期性常用结论对f (x )定义域内任一自变量的值x ：(1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)．(2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)． 3．函数对称性常用结论(1)f (a －x )＝f (a ＋x )⇔f (－x )＝f (2a ＋x )⇔f (x )＝f (2a －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(2)f (a ＋x )＝f (b －x )⇔f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b 2对称．f (a ＋x )＝－f (b －x )⇔f (x )的图象关于点⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 2，0对称．思考辨析判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若函数f (x )为奇函数，则f (0)＝0.(×)(2)若f (x )为奇函数，g (x )为偶函数，则y ＝f (x )g (x )为奇函数．(×)(3)若T 是函数f (x )的一个周期，则kT (k ∈N *)也是函数的一个周期．(√)(4)若函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，则f (x )的图象关于直线x ＝2对称．(√)教材改编题1．下列函数中为偶函数的是()A．y＝x2sin x B．y＝x2cos xC．y＝|ln x|D．y＝2－x答案B解析根据偶函数的定义知偶函数满足f(－x)＝f(x)且定义域关于原点对称，A选项为奇函数；B选项为偶函数；C选项定义域为(0，＋∞)，不具有奇偶性；D选项既不是奇函数，也不是偶函数．2．若f(x)是定义在R上的周期为2的函数，当x∈[0,2)时，f(x)＝2－x，则f(2023)＝______.答案1 2解析∵f(x)的周期为2，∴f(2023)＝f(1)＝2－1＝1 2.3.设奇函数f(x)的定义域为[－5,5]，若当x∈[0,5]时，f(x)的图象如图所示，则不等式f(x)<0的解集为________．答案(－2,0)∪(2,5]解析由图象可知，当0<x<2时，f(x)>0；当2<x≤5时，f(x)<0，又f(x)是奇函数，∴当－2<x <0时，f (x )<0，当－5≤x <－2时，f (x )>0.综上，f (x )<0的解集为(－2,0)∪(2,5]．题型一函数的奇偶性命题点1判断函数的奇偶性例1判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝3－x 2＋x 2－3；(2)f (x )＝⎩⎨⎧ x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0； (3)f (x )＝log 2(x ＋x 2＋1)．解(1)由⎩⎪⎨⎪⎧3－x 2≥0，x 2－3≥0，得x 2＝3，解得x ＝±3，即函数f (x )的定义域为{－3，3}，从而f (x )＝3－x 2＋x 2－3＝0.因此f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )，∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x <0时，－x >0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数．(3)显然函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝log2[－x＋(－x)2＋1]＝log2(x2＋1－x)＝log2(x2＋1＋x)－1＝－log2(x2＋1＋x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件(1)定义域关于原点对称，否则即为非奇非偶函数．(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数))是否成立．命题点2函数奇偶性的应用例2(1)(2022·哈尔滨模拟)函数f(x)＝x(e x＋e－x)＋1在区间[－2,2]上的最大值与最小值分别为M，N，则M＋N的值为()A．－2B．0C．2D．4答案C解析依题意，令g(x)＝x(e x＋e－x)，显然函数g(x)的定义域为R，则g(－x)＝－x(e－x＋e x)＝－g(x)，即函数g(x)是奇函数，因此，函数g(x)在区间[－2,2]上的最大值与最小值的和为0，而f(x)＝g(x)＋1，则有M＝g(x)max＋1，N＝g(x)min＋1，于是得M＋N＝g(x)max＋1＋g(x)min＋1＝2，所以M＋N的值为2.(2)(2021·新高考全国Ⅰ)已知函数f(x)＝x3(a·2x－2－x)是偶函数，则a＝________.答案1解析方法一(定义法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－x)＝f(x)对任意的x∈R恒成立，所以(－x)3(a·2－x－2x)＝x3(a·2x－2－x)对任意的x∈R恒成立，所以x3(a－1)(2x＋2－x)＝0对任意的x∈R恒成立，所以a＝1.方法二(取特殊值检验法)因为f(x)＝x3(a·2x－2－x)的定义域为R，且是偶函数，所以f(－1)＝f (1)，所以－⎝ ⎛⎭⎪⎫a 2－2＝2a －12，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.方法三(转化法)由题意知f (x )＝x 3(a ·2x －2－x )的定义域为R ，且是偶函数．设g (x )＝x 3，h (x )＝a ·2x －2－x ，因为g (x )＝x 3为奇函数，所以h (x )＝a ·2x －2－x 为奇函数，所以h (0)＝a ·20－2－0＝0，解得a ＝1，经检验，f (x )＝x 3(2x －2－x )为偶函数，所以a ＝1.教师备选1．已知函数f (x )＝9－x 2|6－x |－6，则函数f (x )() A ．既是奇函数也是偶函数B ．既不是奇函数也不是偶函数C ．是奇函数，但不是偶函数D ．是偶函数，但不是奇函数答案C解析由9－x 2≥0且|6－x |－6≠0，解得－3≤x ≤3且x ≠0，可得函数f (x )的定义域为{x |－3≤x ≤3且x ≠0}，关于原点对称，所以f (x )＝9－x 2|6－x |－6＝9－x 26－x －6＝9－x 2－x，又f (－x )＝9－(－x )2x ＝－9－x 2－x ＝－f (x )，所以f (x )是奇函数，但不是偶函数．2．若函数f (x )＝⎩⎨⎧ g (x )，x <0，2x －3，x >0为奇函数，则f (g (－1))＝________. 答案－1解析∵f (x )为奇函数且f (－1)＝g (－1)，∴f (－1)＝－f (1)＝－(－1)＝1，∴g (－1)＝1，∴f (g (－1))＝f (1)＝－1.思维升华 (1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值．(2)利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题．跟踪训练1(1)(2021·全国乙卷)设函数f (x )＝1－x 1＋x ，则下列函数中为奇函数的是() A ．f (x －1)－1B ．f (x －1)＋1C ．f (x ＋1)－1D ．f (x ＋1)＋1答案B解析f(x)＝1－x1＋x＝2－(x＋1)1＋x＝21＋x－1，为保证函数变换之后为奇函数，需将函数y＝f(x)的图象向右平移一个单位长度，再向上平移一个单位长度，得到的图象对应的函数为y ＝f(x－1)＋1.(2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0，f(x)＝2x－2x＋a，则a＝________；当x<0时，f(x)＝________.答案－1－2－x－2x＋1解析∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，即1＋a＝0，∴a＝－1.∴当x≥0时，f(x)＝2x－2x－1，设x<0，则－x>0，∴f(－x)＝2－x－2(－x)－1＝2－x＋2x－1，又f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴－f(x)＝2－x＋2x－1，∴f(x)＝－2－x－2x＋1.题型二函数的周期性例3(1)(2022·重庆质检)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，对任意的实数x ，f (x －2)＝f (x ＋2)，当x ∈(0,2)时，f (x )＝x 2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132等于() A ．－94B ．－14C.14D.94答案A解析由f (x －2)＝f (x ＋2)，知y ＝f (x )的周期T ＝4，又f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫8－32 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－94. (2)函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，且f (1)＝2，则f (2023)＝________.答案－2解析f (x )＝－f (x ＋2)，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，∴f (x )的周期为4，∴f (2023)＝f (3)＝－f (1)＝－2.教师备选若函数f (x )＝⎩⎨⎧2－x ，x ≤0，f (x －1)－f (x －2)，x >0，则f (2023)＝________.答案－1解析当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，①∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，②①＋②得，f(x＋1)＝－f(x－2)，∴f(x)的周期为6，∴f(2023)＝f(337×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1.思维升华(1)求解与函数的周期有关的问题，应根据题目特征及周期定义，求出函数的周期．(2)利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．跟踪训练2(1)(2022·安庆模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x＋6)＝f(x)，当－3≤x<－1时，f(x)＝－(x＋2)2，当－1≤x<3时，f(x)＝x，则f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)等于() A．336B．338C．337D．339答案B解析因为f(x＋6)＝f(x)，所以函数的周期T＝6，于是f(1)＝1，f(2)＝2，f(3)＝f(－3)＝－(－3＋2)2＝－1，f(4)＝f(－2)＝－(－2＋2)2＝0，f(5)＝f(－1)＝－1，f(6)＝f(0)＝0，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝1，而2023＝6×337＋1，所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2023)＝337×1＋1＝338.(2)函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且f(x)为定义在R上的奇函数，则f(2021)＋f(2022)＝________.答案0解析∵f(x＋1)＝f(x－1)，∴f(x)的周期为2，∴f(2021)＋f(2022)＝f(1)＋f(0)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴f(0)＝0，且f(－1)＝－f(1)，①又f(x)的周期为2，∴f(－1)＝f(1)，②由①②得f(1)＝0，∴f(2021)＋f(2022)＝0.题型三函数的对称性例4(1)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是________．(填序号)①f(x)的图象关于直线x＝2对称；②f(x)的图象关于点(2,0)对称；③f(x)的周期为4；④y＝f(x＋4)为偶函数．答案①③④解析∵f(2＋x)＝f(2－x)，则f(x)的图象关于直线x＝2对称，故①正确，②错误；∵函数f(x)的图象关于直线x＝2对称，则f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴T＝4，故③正确；∵T＝4且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故④正确．(2)函数f(x)＝lg|2x－1|图象的对称轴方程为________．答案x＝1 2解析内层函数t＝|2x－1|的对称轴是x＝12，所以函数f(x)＝lg|2x－1|图象的对称轴方程是x ＝12.教师备选已知函数f (x )＝x 3－ax 2＋bx ＋1的图象关于点(0,1)对称，且f ′(1)＝4，则a －b ＝________. 答案－1解析因为f (x )关于点(0,1)对称，所以f (x )＋f (－x )＝2，故f (1)＋f (－1)＝2，即1－a ＋b ＋1＋(－1)－a －b ＋1＝2，解得a ＝0，所以f (x )＝x 3＋bx ＋1，又因为f ′(x )＝3x 2＋b ，所以f ′(1)＝3＋b ＝4，解得b ＝1，所以a －b ＝－1.思维升华 (1)求解与函数的对称性有关的问题时，应根据题目特征和对称性的定义，求出函数的对称轴或对称中心．(2)解决函数对称性有关的问题，一般结合函数图象，利用对称性解决求值或参数问题．跟踪训练3(1)函数f (x )的周期为6，且f (x ＋2)为偶函数，当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －1，则f (2025)＝________.答案1解析∵f (x )的周期为6，则f (2025)＝f (3)，又f (x ＋2)为偶函数，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称，∴f (3)＝f (1)＝1，∴f (2025)＝1.(2)关于函数f (x )＝sin x ＋1sin x 有如下四个命题，其中正确的是________．(填序号)①f (x )的图象关于y 轴对称；②f (x )的图象关于原点对称；③f (x )的图象关于直线x ＝π2对称；④f (x )的图象关于点(π，0)对称．答案②③④解析∵f (x )＝sin x ＋1sin x 的定义域为{x |x ≠k π，k ∈Z }，f (－x )＝sin(－x )＋1sin (－x )＝－sin x －1sin x ＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，图象关于原点对称，故①错误，②正确．∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝cos x ＋1cos x ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ＝cos x ＋1cos x ，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x ， ∴f (x )的图象关于直线x ＝π2对称，故③正确．又f (x ＋2π)＝sin(x ＋2π)＋1sin (x ＋2π)＝sin x ＋1sin x ，f (－x )＝－sin x －1sin x ，∴f (x ＋2π)＝－f (－x )，∴f (x )的图象关于点(π，0)对称，故④正确．课时精练1．如果奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，那么f (x )在区间[－7，－3]上()A ．单调递增且最小值为－5B ．单调递减且最小值为－5C ．单调递增且最大值为－5D ．单调递减且最大值为－5答案C解析因为奇函数f (x )在[3,7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，所以f (x )在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5.2．若函数f (x )＝12x －1＋a 为奇函数，则a 的值为() A ．－2B ．－12C.12D ．2答案C解析方法一(定义法)∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴12－x －1＋a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x －1＋a ， ∴2a ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x －1＋12x －1＝1， ∴a ＝12.方法二(特值法)f (x )为奇函数，且x ≠0，∴f (－1)＝－f (1)，∴a －2＝－(a ＋1)，∴a ＝12.3．(2022·南昌模拟)函数f (x )＝9x ＋13x 的图象()A ．关于x 轴对称B ．关于y 轴对称C ．关于坐标原点对称D ．关于直线y ＝x 对称答案B解析f(x)＝32x＋13x＝3x＋3－x，f(－x)＝3－x＋3x，∴f(－x)＝f(x)，故f(x)为偶函数，其图象关于y轴对称．4．已知函数f(x)的图象关于原点对称，且周期为4，f(3)＝－2，则f(2021)等于()A．2B．0C．－2D．－4答案A解析依题意，函数f(x)的图象关于原点对称，则函数f(x)是奇函数，又f(x)的周期为4，且f(3)＝－2，则有f(2021)＝f(－3＋506×4)＝f(－3)＝－f(3)＝2，所以f(2021)＝2.5．已知y＝f(x)是定义在R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是()A．y＝f(|x|) B．y＝|f(x)|C．y＝xf(x) D．y＝f(x)＋x答案D解析由奇函数的定义f(－x)＝－f(x)验证，A项，f(|－x|)＝f(|x|)，为偶函数；B项，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，为偶函数；C项，－xf(－x)＝－x·[－f(x)]＝xf(x)，为偶函数；D项，f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，为奇函数．6．(2022·南昌模拟)已知f(x)是定义在R上的奇函数，且对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，当x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，则a＋b等于()A．0B．－1C．－2D．2答案C解析因为f(x)是定义在R上的奇函数，且x∈[0,2]时，f(x)＝x2＋ax＋b，所以f(0)＝b＝0，f(－x)＝－f(x)，又对任意的x∈R都有f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋2)＝f(－x)，所以函数图象关于直线x＝1对称，所以－a2＝1，解得a＝－2，所以a＋b＝－2.7．(2022·湘豫名校联考)已知f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则a＋b＝________.答案1 3解析因为f(x)＝ax2＋bx＋1是定义在[a－1,2a]上的偶函数，则有(a－1)＋2a＝3a－1＝0，则a＝13，同时f(－x)＝f(x)，即ax2＋bx＋1＝a(－x)2＋b(－x)＋1，则有bx ＝0，必有b ＝0.则a ＋b ＝13.8．已知函数f (x )满足对∀x ∈R ，有f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，当x ∈(0,1)时，f (x )＝x 2＋mx ，若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝12，则m ＝______. 答案12解析由f (1－x )＝f (1＋x )，f (x ＋2)＝－f (x )，知f (x )的图象关于直线x ＝1对称，f (x )的周期为4，∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12， ∴14＋12m ＝12，∴m ＝12.9．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧ －x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值； (2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围．解(1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x .又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )，于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2.(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．10．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式．(1)证明∵f (x ＋2)＝－f (x )，∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )．∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]，∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8.∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )，∴－f (x )＝－x 2＋6x －8，即当x ∈[2,4]时，f (x )＝x 2－6x ＋8.11．(2022·重庆模拟)已知函数f (x )＝ax 5＋bx 3＋2，若f (2)＝7，则f (－2)等于()A ．－7B ．－3C ．3D ．7答案B解析设g (x )＝f (x )－2＝ax 5＋bx 3，则g (－x )＝－ax 5－bx 3＝－g (x )，即f (x )－2＝－f (－x )＋2，故f (－2)＝－f (2)＋4＝－3.12．已知定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝2x ＋a ，则g (1)等于()A ．a ＋54B.54C.34D ．a ＋34答案C解析依题意⎩⎨⎧ f (1)＋g (1)＝2＋a ①f (－1)＋g (－1)＝12＋a ，②又f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，∴②式可化为f (1)－g (1)＝12＋a ，③由①③可得g (1)＝34. 13．已知f (x )为R 上的偶函数，且f (x ＋2)是奇函数，则下列结论正确的是________．(填序号)①f (x )的图象关于点(2,0)对称；②f (x )的图象关于直线x ＝2对称；③f (x )的周期为4；④f (x )的周期为8.答案①④解析∵f (x )为偶函数，∴f (x )的图象关于y 轴对称，f (－x )＝f (x )，又∵f (x ＋2)是奇函数，∴f (－x ＋2)＝－f (x ＋2)，∴f (x )的图象关于(2,0)对称，又∵f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )，∴f (x )为周期函数且周期为8.14．已知函数f (x )对任意实数x 满足f (－x )＋f (x )＝2，若函数y ＝f (x )的图象与y ＝x ＋1有三个交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，(x 3，y 3)，则y 1＋y 2＋y 3＝________.答案3解析因为f (－x )＋f (x )＝2，则f (x )的图象关于点(0,1)对称，又直线y ＝x ＋1也关于点(0,1)对称，因为y ＝f (x )与y ＝x ＋1有三个交点，则(0,1)是一个交点，另两个交点关于(0,1)对称，则y 1＋y 2＋y 3＝2＋1＝3.15．已知函数f (x )＝4x 4x ＋2，则f (x )＋f (1－x )＝____________，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＝________. 答案11011解析因为f (x )＝4x4x ＋2，所以f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋41－x41－x ＋2＝4x 4x ＋2＋44x 44x ＋2＝4x 4x ＋2＋44x 4＋2·4x 4x＝4x 4x ＋2＋44＋2·4x＝2·4x ＋44＋2·4x ＝1，设f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＝m ，① 则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＝m ，② ①＋②得2022＝2m ，即m ＝1011，故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22023＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32023＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20222023＝1011. 16．(2022·北京西城区模拟)设函数f (x )的定义域为R .若存在常数T ，A (T >0，A >0)，使得对于任意x ∈R ，f (x ＋T )＝Af (x )成立，则称函数f (x )具有性质P .(1)判断函数y ＝x 和y ＝cos x 是否具有性质P ？(结论不要求证明)(2)若函数f (x )具有性质P ，且其对应的T ＝π，A ＝2.已知当x ∈(0，π]时，f (x )＝sin x ，求函数f (x )在区间[－π，0]上的最大值．解(1)因为函数y ＝x 是增函数，所以函数y ＝x 不具有性质P ，当A ＝1，T ＝2π时，函数y ＝cos x 对于任意x ∈R ， f (x ＋T )＝Af (x )成立，所以y ＝cos x 具有性质P .(2)设x ∈(－π，0]，则x ＋π∈(0，π]，由题意得f (x ＋π)＝2f (x )＝sin(x ＋π)，所以f (x )＝－12sin x ，x ∈(－π，0]，由f (－π＋π)＝2f (－π)，f (0＋π)＝2f (0)，得f (－π)＝14f (π)＝0，所以当x ∈[－π，0]时，f (x )＝－12sin x ，所以当x ＝－π2时，f (x )在[－π，0]上有最大值f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＝12.。

利用对称变化,探究函数推导问题

一
又。，是奇函数．．，ｔ一（０．（ ’ ） ’ （：１．＿，））：＾）（１（＜，一）一１卜＜一１１ ② 解不等式 ①得１或 …。，解不等式 ②得Ｘ ∈
‘
．
．
．
．
・
．．
原等的集｛ｃ半或ｃ。不式解是ｘｌ｝
是增函数。
（在（）一一．一］上是减函数，（＋ｍ）上ｉ在一
故，芏（ｏ３（ｏ］上是减函数．在［．＋２一）上是增函数。２利用函数奇偶性的对称性进行推导１确定取值范围
、
求函数的单调区间点例７、已知函数ｙ（是偶函数，且在［．］上是减＝，）Ｏ＋函数．求函数，１。（）一的单调区间义解：．函数在对称区间上单调性相反偶）［。３上是增函数在一。．０设：－ｚ对称轴是纵轴．边单调递增，１ｘ．左右边单调递减 ①、在０ ≤１时．ｕ减函数，且ｕ：而在ｕ ≤Ｘ是 ≥０ ≥Ｏ时，／ｕ是减函数．根据复合函数性质，可得，一）增函数。（）（】是 ②、Ｘ在 ≤－１．是增函数．ｕ：在ｕ时ｕ且 ≤０而 ≤Ｏ时，（），“ 是增函数．．，）是增函数。 ’（．１ ③ 、在一＜Ｘ时，ｕ１＜０是增函数，且ｕ：而在ｕ＞Ｏ＞Ｏ时，， “ 是减函数．．，１（） ’ （）是减函数。．一 ④ 、ｘ时．ｕ＞１是减函数且ｕ：而在ｕ＜Ｏ＜０时，ｉｕ是（）增函数，，一是减函数。（】在区间（。－］或区、【，］函数巾）是增函数一。．１日Ｏ１上］在区间（．０－１）或区间（，＋。）上是减函数。１。５判断函数的奇偶性例８、判别艚的奇偶性。解：函数的定义域１＋、一１≤ Ｘ＜１定义域不关于原点对称

函数的对称性与周期性

函数的对称性与周期性函数是数学中的重要概念之一，也是实际问题建模时必不可少的工具。

在函数的研究中，对称性和周期性是两个重要的特性，它们在解决问题时具有重要的意义。

一、对称性对称性是指当函数中存在一些特定的点、直线或面对称时，函数会出现相应的特征变化。

在函数研究中，对称性分为奇偶对称性、轴对称性和中心对称性三种类型。

1.1 奇偶对称性在定义域上对函数进行某种变换，若此时函数值不变，则称函数具有对称性。

其中，奇偶对称是一种特殊的对称性。

若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$，即对于定义域上任意一个$x$，都有$f(-x)=f(x)$成立，则函数$f(x)$具有奇函数对称性。

若函数$f(x)$满足$f(-x)=f(x)$且$f(x)$具有偶函数性质，即对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$，且对于定义域上任意$x$都有$f(-x)=f(x)$成立，则$f(x)$具有偶函数对称性。

1.2 轴对称性对于定义域上的任意一个$x$，若函数$f(x)$等于一个定值减去该点处的函数值，则称函数$f(x)$具有轴对称性。

定义域上的这条轴称为对称轴。

轴对称性表明函数$f(x)$在对称轴两侧的函数值相等。

1.3 中心对称性对于定义域的任意一个$x$，若函数$f(x)$与以坐标系原点为中心的另一个点对称，则称函数$f(x)$具有中心对称性。

中心对称性表明函数$f(x)$在以原点为中心的圆形中的两侧具有对称性。

二、周期性周期性是指函数具有在某一定量级范围内重复的规律性。

对于函数$f(x)$，若存在正数$T$，使得对于定义域上的任何一个$x$，都有$f(x+T)=f(x)$成立，则函数$f(x)$是周期函数，其中最小正周期为$T$。

具有周期性的函数，其解析式通常为三角函数式。

结论函数在解决实际问题时，对称性和周期性的特性具有重要的意义。

它们可以用来研究函数的性质、求函数的极值、判别函数的奇偶性、求证某些理论结论等。

函数的对称性与单调性的应用

函数的对称性与单调性的应用在数学中，对称性与单调性是一些重要的概念，并且在函数的研究和应用中具有广泛的用途。

通过对函数的对称性和单调性的研究，我们可以更深入地了解函数的性质，进而应用于问题的求解和证明中。

本文将重点探讨函数的对称性与单调性在数学中的应用，并通过几个具体的例子来加深我们对这些概念的理解。

一、函数的对称性的应用1. 奇函数和偶函数奇函数和偶函数是函数在对称性研究中的两个重要概念。

奇函数的特点是在原点对称，即满足f(-x) = -f(x)；而偶函数则在y轴上对称，即满足f(-x) = f(x)。

我们可以通过对奇函数和偶函数的研究，来解决一些对称性相关的问题。

举个例子，如果我们需要求解一个方程f(x) = 0的根，而该方程对应的函数是奇函数，那么我们只需要找到其中一个根x1，就可以确定其对称的根为-x1。

同样地，如果方程对应的函数是偶函数，那么我们只需要找到其中一个根x1，就可以确定其对称的根也为x1。

2. 对称轴对称轴也是函数对称性研究中常见的概念。

对称轴是函数图像中具有对称性的一条直线。

通过研究对称轴的性质，我们可以解决一些与对称性相关的问题。

例如，在一元二次函数y = ax^2 + bx + c中，如果a为非零常数且对称轴为直线x = p，那么我们可以通过对称性来确定另外一个对称点。

设对称轴上的点为(p, q)，那么我们可以得到一个关于x的方程a(x-p)^2 + q = 0。

通过求解这个方程，我们可以得到另外一个对称点(p, -q)。

二、函数的单调性的应用1. 单调递增和单调递减在函数的单调性研究中，单调递增和单调递减是两个重要的概念。

如果函数在定义域的任意两个不同的点x1和x2上，满足f(x1) < f(x2)，那么我们称函数在该区间上是单调递增的；如果满足f(x1) > f(x2)，那么我们称函数在该区间上是单调递减的。

通过研究函数的单调性，我们可以解决一些与最值、零点和图像的整体形态等相关的问题。

轮换对称性及其在中学数学中的应用 (1)

轮换对称性及其在中学数学中的应用一、轮换对称性的相关定义与性质1.1、轮换对称性的相关定义：定义1. 如果把一个代数式中的字母按照某个秩序排列, 然后依次把第一个字母换成第二个字母，把第二个字母换成第三个字母，……，把最后一个字母换成第一个字母，称这种变换字母的方法叫做轮换.定义2 如果把一个代数式中的字母对调，所得的代数式和原来的代数式恒等，那么，就说原来的代数式关于这些字母对称，原来的代数式就是关于这些字母的对称式.定义3 如果一个函数，则称该函数是对称函数.定义4 如果通过轮换后所得的代数式与原来的代数式恒等，则把原来的代数式叫做关于这些字母的轮换对称式.定义5 如果轮换对称式中各项的次数相等, 则把这样的代数式叫做齐次轮换对称式.1.2、轮换对称性的相关定义与性质性质1 轮换对称式的和、差、积、商也是轮换对称式.性质2 齐次轮换对称式的和、差、积、商也是齐次轮换对称式.二、轮换对称性的应用举例2.1 轮换对称性在因式分解中的应用由轮换对称式的性质可知,当一个轮换对称式有某个因式时,它一定还有关于这个因式中的变数的轮换对称式.根据这个性质,再利用因式定理和待定系数法,可以比较简便地把一个轮换对称式因式分解.例1 设△ABC的三边长分别为 a 、b、c, 且则△ABC的形状是三角形?因为等式是关于a、b、c的轮换对称式,可考虑先去分母,再通过分解因式来确定a 、b、c 的关系.解：将原式去分母,并设其为f, 得当a=b 时,f=0, 由因式定理知f有因式a-b. 又f 是关于a、b、c的轮换对称式,由性质知,f 还有因式b-c和c-a. 于是,f有因式由于f和g 都是三次齐次轮换对称式, 故f和g 之间只差一个非零常数因子, 即由此可知,a-b 、b-c 、c-a中至少有一个等于0, 即a、b、c 中至少有两个相等, 则三角形至少有两条边相等. 所以, 三角形是等腰三角形.2.2 轮换对称性在不等式中的应用例2 已知x 、y 、z 为正实数，求证:解这是道轮换对称不等式, 原命题等价于：又：且;由轮换对称知，必有：；所以原命题为真 .2.3 利用轮换对称性求最值在高考或竞赛的选择、填空题中,常会遇到一类求最值问题, 这类问题的特征是条件式与待求式都是轮换对称式即所给式中的字母x、y、z ……能依次轮换,相互代替而结果不变, 则关于x、y、z、……的代数式的最大( 小) 值, 一定是在x = y = z =……时的值（x = y = z =……时代数式不能有奇点） . 运用此性质,能有效、迅速求解此类题, 从而赢得宝贵的时间.例3 已知P(x,y) 是曲线C:上一动点 . 设，则.解：依据x、y 轮换对称性,可得仅当x=y, 即x2 =y2时,S 取得最大或最小值, 于是. 由条件分析可知, 当x=y 时,最大；当x=-y时,最小 . 所以,故原式的值是 .2.4 轮换对称多项式的乘法例4 计算分析因为原式中的两个因式都是关于x 、y 、z 的轮换对称式,由性质1知,其积也是关于x 、y、z 的轮换对称式, 于是, 只要把第一个因式的第一个字母乘以第二个因式, 然后按照轮换对称的规律写出其余各项即可解由于. 又因为原式为x、y、z的轮换对称式，∴原式2.5 降元法求最值问题因为求一元函数的最值对于解题者来讲有较多和熟悉的方法，尤其有较为有力的导数方法，所以，对于三元轮换对称式S 的最值求法，基本思想是将三变元转化为一个变元函数来处理．先假定三变元变化时，S值变化具有连续性.下面通过例题介绍．例5 设非负实数a、b、c满足a+b+c＝1. 求.解:由轮换对称性可设，对任意给定（固定a的值），有设，显然，。

浅谈多重积分中的对称性问题

浅谈多重积分中的对称性问题【摘要】在求解多重积分的问题的时候,总会有一些特殊的情况是用一般的方法无法解决或者说很困难的,然而这些替米可以通过很特殊的对称性问题得以简便得解决,既方便又准确无误,本文将就多重积分求解中的对称性问题做一简短的总结归纳。

【关键词】二重积分三重积分对称性奇偶性1.二重积分中的对称性问题。

在计算二重积分的问题的时候,往往有些题目是通过一般方法无法解决的,而这些题目中会有一些题目是很特殊的对称性问题,通过使用固定的方法就能够迅速准确地算出答案,节省了时间,提高了效率和准确度。

1.1 积分域关于轴的对称。

1.1.1 关于x轴对称。

设D关于x轴对称()其中,1.1.2 关于y轴对称。

与关于x轴对称相似。

例1.1.1 计算:,解:添,分域为1.2 积分域关于原点对称。

与关于x轴对称相似。

1.3 积分域关于直线y=x对称(即轮换对称性)设D关于y=x对称,()例1.3.1 D:D1是D在x≥0部分,则(B)A.B.C.D.解:A.=0,C.,D.B.评注:D关于y=x对称。

例1.3.2 求其中解:区域D关于x,y轴均对称,对x,y均为偶函数。

,其中再用变量轮换对称性(把x与y互换,区域D1不变),于是因此,I=评注:D1关于y=x对称,于是。

例1.3.3 计算,其中S是球面在第一卦限中的部分。

解:直接化为二重积分计算。

由于所以记,则评注:本题使用了轮换对称性。

例1.3.4 计算,其中曲面S:, ; 是S向上的法向量。

解:由于,所以根据曲面S关于坐标面的对称性,得再由S关于x,y的轮换对称性,得因此I=0。

2.三重积分中的对称性问题。

三重积分往往相对较麻烦,和二重积分一样,一些特殊的有关对称性的问题可以通过一些特殊的方法迎刃而解,方便迅速又准确无误。

2.1 积分域关于面的对称。

2.1.1 积分域关于xoy面对称。

设Ω是空间中的有界闭区域,在Ω上可积。

若Ω关于xoy平面对称,则其中例2.1.1 ,解:Ω关于xoy面对称,关于z轴为奇函数,I=0。

例谈数学解题中对称性的巧用

方程组．出点的坐标，算较复杂，求计若利用对称性．解题过程很简单．则
据可所函表式（）此设求数达为＋＋ ≥
．
个关键性的条件。许多数学问题取得使
把曰（，），－求得１求函数１３４Ａ，￣．所
一一一
蝴
“ 称 ” 仅是数学内容中一个重要对不
的概念，是一种重要的思想方法，对更在“ 称” 中往往体现出数学的 “ ” 名德国美．著象过Ａ（，）１３，（１１三点，这０１，，）Ｃ一，）（求数学家魏尔说过：美和对称是紧密相连 “ 个二次函数的解析式．的．在数学解题中，时根据数据条件关 ” 有系等所隐含着的对称性特点，能够迅速有解ｉｙ＝ｃｓ＋ｃｓ・ｉｘ５ｉ４．￣２ｏ４３ｏ￣ｓＺ＋ｓｘｘｘｎｎ分析如果不仔细观察三个点的坐标
ＢＣ／Ｍ．／Ｄ这就给我们采取综合法证明提供了可贵的线索，如何
添加辅助线就 “ 之欲出” 而不再是 “ 空出世 ” 呼．横．
突破性的进展．
例４若曲线
解析式为ｖ帆＋１．
和（－）＝有ｘ１ｌ
三个交点。求实数ａ试的值．解变量在两个方程中都以平方的形
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解因为正比例函￣ｙ－－的图象与ｋ
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巧用对称性求最值

初中数学对称求最小值问题

初中数学对称求最小值问题一、对称轴问题对于对称轴问题，我们可以通过找到对称轴来求取最小值。

在几何图形中，对称轴是一条直线，它使得图形沿这条直线折叠后两部分能够完全重合。

对于一些具有对称性质的几何图形，如等腰三角形、矩形等，它们的对称轴是固定的。

通过找到这些对称轴，我们可以确定最小值的所在位置。

二、对称点问题对于对称点问题，我们需要找到图形中的对称点来求解。

在一个图形中，如果两个点关于某一条直线对称，那么这两个点的连线与该直线垂直且中点在该直线上。

通过找到这些对称点，我们可以确定最小值的所在位置。

三、对称性应用对称性在数学中有着广泛的应用，它可以用于解决很多问题。

例如，在几何问题中，我们可以通过对称性将复杂的问题简化；在代数问题中，我们可以通过对称性找到函数的极值点；在概率问题中，我们可以通过对称性计算概率分布。

四、对称与最值关系对称性与最值之间存在着密切的联系。

在一些情况下，通过利用对称性，我们可以更方便地找到最小值。

例如，对于一些二次函数，它们的图像具有对称性，我们可以通过找到对称轴来确定最小值的位置；对于一些几何图形，我们可以通过找到对称轴或对称点来确定最小值的位置。

五、对称性质与几何图形几何图形中的对称性质是常见的。

例如，等腰三角形是关于其高线对称的；矩形是关于其对角线所在的直线对称的；圆是关于其任意直径所在的直线对称的。

了解这些对称性质可以帮助我们更好地理解图形的结构，并找到最小值的位置。

六、对称变换与函数图像函数图像的对称变换也是数学中的一个重要概念。

例如，函数y=ax^2+bx+c的图像是一个抛物线，该抛物线可以沿x轴或y轴进行对称变换。

通过了解这些对称变换的性质，我们可以更好地理解函数的图像，并找到最小值的位置。

七、对称不等式问题在一些数学问题中，我们需要证明两个量之间的不等式关系。

如果这两个量具有对称性，那么我们可以利用这种对称性来证明不等式。

例如，对于一些二次函数的最小值问题，我们可以利用二次函数的对称性来证明不等式。

谈高中函数中的奇偶性和对称性

谈高中函数中的奇偶性和对称性
高中函数中的奇偶性和对称性是基本的概念，它们在数学分析中被广泛使用。

下面我将详细介绍奇偶性和对称性，并给出一些例子：
一、奇偶性
1. 定义：奇偶性指函数图像围绕其中心(原点)对称，若函数关于原点对称，则称其具有奇偶性。

2. 表示方法： $$f(-x)=f(x)\text{ 即成对函数 }$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=-x$
二、对称性
1. 定义：对称性指函数图像沿某条直线对称，若函数关于这一条直线对称，则称其具有对称性。

2. 表示方法： $$f(x)=-f(x-a)\text{ 其中$a$是平移量}$$
3. 例子：$f(x)=x^2 \; \text{、}\; f(x)=sin(x)$。

综上，奇偶性和对称性是高中数学中非常重要的概念，它们可以帮助我们有效地进行数学分析，提高解题速度和效率。

高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析

高中数学函数的对称性知识点讲解及典型习题分析新课标高中数学教材上就函数的性质着重讲解了单调性、奇偶性、周期性，但在考试测验甚至高考中不乏对函数对称性、连续性、凹凸性的考查。

尤其是对称性，因为教材上对它有零散的介绍，例如二次函数的对称轴，反比例函数的对称性，三角函数的对称性，因而考查的频率一直比较高。

一、对称性的概念及常见函数的对称性1、对称性的概念：①函数轴对称：如果一个函数的图像沿一条直线对折，直线两侧的图像能够完全重合，则称该函数具备对称性中的轴对称，该直线称为该函数的对称轴。

②中心对称：如果一个函数的图像沿一个点旋转180度，所得的图像能与原函数图像完全重合，则称该函数具备对称性中的中心对称，该点称为该函数的对称中心。

2、常见函数的对称性（所有函数自变量可取有意义的所有值）①常数函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

②一次函数：既是轴对称又是中心对称，其中直线上的所有点均为它的对称中心，与该直线相垂直的直线均为它的对称轴。

③二次函数：是轴对称，不是中心对称，其对称轴方程为ab x 2-=。

④反比例函数：既是轴对称又是中心对称，其中原点为它的对称中心，y=x 与y=-x 均为它的对称轴。

⑤指数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑥对数函数：既不是轴对称，也不是中心对称。

⑦幂函数：显然幂函数中的奇函数是中心对称，对称中心是原点；幂函数中的偶函数是轴对称，对称轴是y 轴；而其他的幂函数不具备对称性。

⑧正弦函数：既是轴对称又是中心对称，其中（kπ，0）是它的对称中心，2ππ+=k x 是它的对称轴。

⑨正弦型函数：正弦型函数y=Asin(ωx+φ)既是轴对称又是中心对称，只需从ωx+φ=kπ中解出x ，就是它的对称中心的横坐标，纵坐标当然为零；只需从ωx+φ=kπ+π/2中解出x ，就是它的对称轴；需要注意的是如果图像向上向下平移，对称轴不会改变，但对称中心的纵坐标会跟着变化。

中考数学专题(一)利用二次函数的对称性求最小值-

利用二次函数的对称性求最小值1．如图,抛物线217322y x x =++与直线1122y x =--交于,A B 两点,点C 为y 轴上点,当ABC 周长最短时;周长的值为（）A 7353B 7335C 4335D 4353【答案】B【解析】【分析】联立方程先求出抛物线和直线的交点坐标，然后已知在ABC 中的边AB 的长已经确定，只需要求出AC BC +的最小值即可，可以做B 点关于y 轴的对称点B ',连接AB '交y 轴于点C ，此时AB '就为AC BC +的最小值，所以ABC 周长最短为+AB AB '的长，求出即可.【详解】解：根据题意联立方程得：2173221122y x x y x ⎧=++⎪⎪⎨⎪=--⎪⎩，得出71x x =-=-、，把横坐标分别代入表达式得出交点坐标，即：(7,3)A -,(1,0)B -,已知在ABC 中的边AB 的长已经确定，做B 点关于y 轴的对称点B ',连接AB '交y 轴于点C,如图所示，此时AB '就为AC BC +的最小值,2296473AB AD DB ''=+=+=2293635AB AD DB =+=+=ABC ∴周长最小为：7335+;故选B.【点睛】本题考查的是两个函数图像的交点问题，以及求线段的最小值问题，需要根据题意去解读信息，借助于勾股定理去求最终结果.2．已知抛物线2114y x =+具有如下性质：抛物线上任意一点到定点F （0,2）的距离与到x 轴的距离相等，点M 的坐标为（3,6），P 是抛物线2114y x =+上一动点，则△PMF 周长的最小值是（）A ．5B ．9C ．11D ．13【答案】C【解析】【分析】过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交抛物线2114y x =+于点P ，由PF=PE 结合三角形三边关系，即可得出此时△PMF 周长最小，再由点F 、M 的坐标即可得出MF 、ME 的长度，进而得出△PMF 周长的最小值.【详解】如图过点M 作ME ⊥x 轴于点E ，交抛物线2114y x =+于点P ，此时△PMF 周长最小 ∵F （0,2）M （3,6），∴ME=6，FM 22(30)(62)5=-+-= ∴△PMF 周长的最小值=ME+FM=6+5=11 故选C【点睛】本题考查了二次函数的性质和最短路径问题，熟练掌握各个知识点是解题关键.，3．如图，抛物线y=x 2+bx-2与x 轴交于A 、B 两点，与y 交于C 点，且A （-1，0），点M （m ，0）是x 轴上的一个动点，当MC+MD 的值最小时，m 的值是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】试题分析：∵点A （-1，0）在抛物线y=x 2+bx-2上，∴×（-1）2+b×（-1）-2=0，∴b=-，∴抛物线的解析式为y=x 2-x-2，∴顶点D 的坐标为（，-），作出点C 关于x 轴的对称点C′，则C′（0，2），OC′=2连接C′D 交x 轴于点M ，根据轴对称性及两点之间线段最短可知，MC+MD 的值最小．设抛物线的对称轴交x 轴于点E ．∵ED ∥y 轴，∴∠OC′M=∠EDM ，∠C′OM=∠DEM∴△C′OM ∽△DEM ． ∴，即，∴m=．故选B ．考点：1.轴对称-最短路线问题；2.二次函数的性质；3.相似三角形的判定与性质．4．如图，顶点为M 的抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A ，()1,0B -两点，与y 轴交于点C ．（1）请求此抛物线的函数解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点Q ，使得QBC ∆的周长最小，请求出点Q 的坐标；（3）在直线AC 的上方的抛物线上，是否存在一点P （不与点M 重合），使得ACP ∆的面积等于ACM ∆的面积，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）点Q 的坐标为()1,2；（3）存在，点P 的坐标为：()2,3【解析】【分析】（1）根据抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A ，()1,0B -，可得抛物线的表达式为(1)(3)y a x x =+-，展开即可求解；（2）根据题意得抛物线的对称轴为：1312x -+==，由抛物线的对称性可知，点B 关于对称轴1x =的对称点是点A ，所以BQ=AQ ，要使QCB △的周长最小，只需AQ+CQ 最小即可，连接AC ，交对称轴点Q ，此时AQ+CQ 最小，即QCB △的周长最小，利用待定系数法求出直线AC 的解析式，然后令x=1即可求出C 点坐标；（3）过点M 作直线//m AC ，直线m 与抛物线交点即为点P ，根据点M 的坐标可求出m 直线的表达式，联立抛物线的解析式与直线m 的解析式即可求出点P 的坐标．【详解】解：（1）抛物线23y ax bx =++与x 轴交于()3,0A ，()1,0B -， ∴抛物线的表达式为：(1)(3)y a x x =+-()223a x x =--=223ax ax a --，故33a -=，解得：1a =-，故抛物线的表达式为：2y x 2x 3=-++ ；（2）由题意可知抛物线的对称轴为： 1312x -+==，由抛物线的对称性可知，点B 关于对称轴1x =的对称点是点A ，∴BQ=AQ ，∵QCB △的周长=QC+BQ+BC ，∴QCB △的周长=QC+AQ+BC ，要使QCB △的周长最小，只需AQ+CQ 最小，连接AC ，交对称轴点Q ，此时QCB △的周长最小，当0x =时，3y =，()0,3C ∴，设直线AC 的解析式为y kx b =+，把()3,0A ，()0,3C 代入，则303k b b +=⎧⎨=⎩，解得13k b =-⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的解析式为3y x =-+，当1x =时，2y =，∴点Q 的坐标为()1,2；（3）存在．过点M 作直线//m AC ，直线m 与抛物线交点即为点P ，点()1,4M ，则m 直线的表达式为：5y x =-+，∴2235y x x y x ⎧=-++⎨=-+⎩整理得2320x x -+-=解得：1x =（舍去）2x =；故点P 的坐标为：()2,3；【点睛】本题是二次函数的综合运用，考查了求二次函数的解析式和性质，求一次函数解析式，平行线的性质等知识．掌握平行线间的距离相等是解（3）题的关键．5．如图，抛物线经过A （﹣1，0），B （5，0），C （0，52-）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA+PC 的值最小，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）抛物线的解析式为：215y x 2x 22=--．（2）P （2，52-）．（3）存在点N 的坐标为（4，52-），（214-，52）或（214+，52）【解析】【分析】本题考查的是二次函数综合题，涉及到用待定系数法求一次函数与二次函数的解析式、平行四边的判定与性质、全等三角形等知识，在解答（3）时要注意进行分类讨论．（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0），再把A （﹣1，0），B （5，0），C （0，）三点代入求出a 、b 、c 的值即可；（2）因为点A 关于对称轴对称的点B 的坐标为（5，0），连接BC 交对称轴直线于点P ，求出P 点坐标即可；（3）分点N 在x 轴下方或上方两种情况进行讨论．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为y=ax 2+bx+c （a≠0），∵A （﹣1，0），B （5，0），C （0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣）∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣）∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图2，过点N2作N2D⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA）∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为N1（4，﹣），N2（2+，）或N3（2﹣，）．考点：二次函数综合题．6．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与一直线相交于A（1，0）、C（﹣2，3）两点，与y轴交于点N，其顶点为D．（1）求抛物线及直线AC的函数关系式；（2）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值及此时点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点M，使△ANM的周长最小．若存在，请求出M点的坐标和△ANM周长的最小值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3；y＝﹣x+1；（2）当x＝﹣12时，△APC的面积取最大值，最大值为278，此时点P的坐标为（﹣12，154）；（3）在对称轴上存在一点M（﹣1，2），使△ANM的周长最小，△ANM周长的最小值为102【解析】【分析】（1）根据点A ，C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），进而可得出PF 的值，由点C 的坐标可得出点Q 的坐标，进而可得出AQ 的值，利用三角形的面积公式可得出S △APC ＝﹣32x 2﹣32x +3，再利用二次函数的性质，即可解决最值问题；（3）利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点N 的坐标，利用配方法可找出抛物线的对称轴，由点C ，N 的坐标可得出点C ，N 关于抛物线的对称轴对称，令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，则此时△ANM 周长取最小值，再利用一次函数图象上点的坐标特征求出点M 的坐标，以及利用两点间的距离公式结合三角形的周长公式求出△ANM 周长的最小值即可得出结论．【详解】（1）将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝﹣x 2+bx +c ，得：10423b c b c -++=⎧⎨--+=⎩，解得：23b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的函数关系式为y ＝﹣x 2﹣2x +3；设直线AC 的函数关系式为y ＝mx +n （m ≠0），将A （1，0），C （﹣2，3）代入y ＝mx +n ，得：023m n m n +=⎧⎨-+=⎩，解得：11m n =-⎧⎨=⎩， ∴直线AC 的函数关系式为y ＝﹣x +1．（2）过点P 作PE ∥y 轴交x 轴于点E ，交直线AC 于点F ，过点C 作CQ ∥y 轴交x 轴于点Q ，如图1所示．设点P 的坐标为（x ，﹣x 2﹣2x +3）（﹣2＜x ＜1），则点E 的坐标为（x ，0），点F 的坐标为（x ，﹣x +1），∴PE ＝﹣x 2﹣2x +3，EF ＝﹣x +1，EF ＝PE ﹣EF ＝﹣x 2﹣2x +3﹣（﹣x +1）＝﹣x 2﹣x +2． ∵点C 的坐标为（﹣2，3），∴点Q 的坐标为（﹣2，0），∴AQ ＝1﹣（﹣2）＝3，∴S △APC ＝12AQ •PF ＝﹣32x 2﹣32x +3＝﹣32（x +12）2+278．∵﹣32＜0， ∴当x ＝﹣12时，△APC 的面积取最大值，最大值为278，此时点P 的坐标为（﹣12，154）．（3）当x ＝0时，y ＝﹣x 2﹣2x +3＝3， ∴点N 的坐标为（0，3）． ∵y ＝﹣x 2﹣2x +3＝﹣（x +1）2+4， ∴抛物线的对称轴为直线x ＝﹣1． ∵点C 的坐标为（﹣2，3），∴点C ，N 关于抛物线的对称轴对称．令直线AC 与抛物线的对称轴的交点为点M ，如图2所示． ∵点C ，N 关于抛物线的对称轴对称， ∴MN ＝CM ，∴AM +MN ＝AM +MC ＝AC ， ∴此时△ANM 周长取最小值．当x ＝﹣1时，y ＝﹣x +1＝2， ∴此时点M 的坐标为（﹣1，2）．∵点A 的坐标为（1，0），点C 的坐标为（﹣2，3），点N 的坐标为（0，3）， ∴AC ＝2233+ ＝32，AN ＝2231+ ＝10， ∴C △ANM ＝AM +MN +AN ＝AC +AN ＝32+10．∴在对称轴上存在一点M （﹣1，2），使△ANM 的周长最小，△ANM 周长的最小值为32+10．【点睛】本题考查待定系数法求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、三角形的面积以及周长，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出抛物线及直线AC 的函数关系式；（2）利用三角形的面积公式找出S △APC ＝﹣32x 2﹣32x +3的最值；（3）利用二次函数图象的对称性结合两点之间线段最短找出点M 的位置． 7．如图，抛物线y=12x 2+mx+4m 与x 轴交于点A(1x ，0）和点B(2x ，0)，与y 轴交于点C ，22121220x x x x +=且、满足，若对称轴在y 轴的右侧．（1）求抛物线的解析式（2）在抛物线的对称轴上取一点M ，使|MC-MB|的值最大；（3）点Q 是抛物线上任意一点，过点Q 作PQ ⊥x 轴交直线BC 于点P ，连接CQ ，当△CPQ 是等腰三角形时，求点P 的坐标．【答案】（1）y=212x -x-4；（2）M(1，-6)；（3）P 1 (42222--，，P 2(2，-2)，P 3(42222+，．【解析】【分析】（1）利用根与系数的关系即可求出m ，结合对称轴在y 轴右侧可得结果；（2）根据点A 和点B 关于对称轴对称，过点AC 作直线交对称轴于点M ，求出A ，B ，C 的坐标，求出AC 的表达式，得到点M 的坐标即可；（3）分PC=PQ ，QC=QP ，CP=CQ 分别讨论，求出相应x 值即可. 【详解】解：（1）∵y=12x 2+mx+4m 与x 轴交于1(x ，0)和点B(2x ，0)， ∴12 x x 、是方程12x 2+mx+4m=0的两个根，122x x m ∴+=-，128x x m ∴=，221220x x +=∴(-2m)2-16m=20，解得m 1=5，m 2=-1， ∵对称轴在y 轴的右侧， ∴m=-1，∴y=212x -x-4；（2）y=212x -x-4中，当x=0时，y=-4，当y=0时1x =-2，2x =4， ∴A(-2，0)，B(4，0)，C(0，-4)，过点AC 作直线交对称轴于点M ，设直线AC 的解析式为y=kx+b ，将(-2，0)，(0，-4)代入，则024k bb=-+⎧⎨-=⎩，解得24k b =-⎧⎨=-⎩，得y=-2x-4，当x=1时，y=-6， ∴M(1，-6)；（3）直线BC 的解析式为y=k 1x+b 1，将(4，0)，(0，-4)代入，则111044k b b =+⎧⎨-=⎩，解得1114k b =⎧⎨=-⎩，得y=x-4，∴∠OCB=∠OBC=45°，设P 的横坐标为x ，作PH ⊥y 轴于H ，则PC=2x，∴PQ=|(x-4)-212x （-x-4）|（图一）（图二）如图一图二，当CQ=CP 时，(x-4)+212x （-x-4）=-8， x=0，不合题意，所以不存在；（图三）（图四）（图五）如图三，当PC=PQ 2x =(x-4)-212x （-x-4），解得x=42- ∴P(42222--，如图四，当CQ=PQ 时，x=(x-4)-212x （-x-4），解得x=2， ∴P(2，-2)；如图五，当PC=PQ 时，212x （-x-4）2x ，解得：x=422+， ∴P(42222+，；综上：P 1(42222--，，P 2(2，-2)，P 3(42222+，【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求二次函数表达式，二次函数的图像和性质，最值问题，等腰三角形的性质，解题的关键是学会分类讨论，利用等腰三角形的性质解题.8．已知y 是x 的二次函数，该函数的图象经过点A(0，5)、B(1，2)、C(3，2)．（1）求该二次函数的表达式，画出它的大致图象并标注顶点及其坐标；（2）结合图象，回答下列问题： ①当1≤x≤4时，y 的取值范围是；②当m≤x≤m+3时，求y 的最大值（用含m 的代数式表示）；③是否存在实数m 、n （m≠n ），使得当m≤x≤n 时，m≤y≤n ？若存在，请求出m 、n ；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y ＝x 2﹣4x+5，见解析；（2）①1≤y≤5，②当x ＝m+3时，y 有最大值为y＝m 2﹣+2m+2；当x ＝m 时，y 有最大值为y ＝m 2﹣4m+5，③存在，mn＝【解析】【分析】（1）用待定系数法求出解析式，用描点法画出函数图象；（2）①根据函数图象找出横坐标由1到4的点的纵坐标的最大值与最小值，便可写出y 的取值范围； ②先求出对称轴x ＝﹣2b a ，分两种情况：﹣2b a ﹣m ≥m +3﹣（﹣2b a ）或﹣2ba﹣m ＜m +3﹣（﹣2ba），根据二次函数的性质求y 的最大值便可； ③利用已知可得图象过（a ，a ）点，进而得出a 的值，即可得出m ，n 的值．【详解】（1）设二次函数的解析式为：y ＝ax 2+bx +c （a ≠0），则52932c a b c a b c =⎧⎪++=⎨⎪++=⎩，解得，145a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩，∴二次函数的解析式为：y ＝x 2﹣4x +5，列表如下：描点、连线，（2）①由函数图象可知，当2,1x y ==最小时，当4,5x y ==最大时 ∴当1≤x ≤4时，1≤y ≤5，故答案为：1≤y ≤5；②∵二次函数的解析式为：y ＝x 2﹣4x +5， ∴对称轴为x ＝2，当2﹣m ≤m +3﹣2，即m ≥12时，则在m ≤x ≤m +3内，当x ＝m +3时，y 有最大值为y ＝x 2﹣4x +5＝（m +3）2﹣4（m +3）+5＝m 2﹣+2m +2；当2﹣m ＞m +3﹣2，即m ＜12时，则在m ≤x ≤m +3内，当x ＝m 时，y 有最大值为y ＝x 2﹣4x +5＝m 2﹣4m +5；③由已知可得图象过（a ，a ）点， ∴a ＝a 2﹣4a +5，解得，a 55± ∵当m ≤x ≤n 时，m ≤y ≤n ， ∴可以取m 55-n ＝552+．【点睛】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，画二次函数图象，由函数图象解决问题，后两问难度较大，关键是分情况讨论和根据特征点解题． 9．如图，抛物线经过()1,0A -，()3,0B ，30,2C ⎛⎫⎪⎝⎭三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P ，使PA PC +的值最小，求点P 的坐标；（3）点M 为x 轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N ，使以A ，C ，M ，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N 的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）21322y x x =-++；（2）()1,1P ；（3）存在，点N 的坐标为32,2⎛⎫⎪⎝⎭，317,2⎛⎫+- ⎪⎝⎭，317,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠，然后根据待定系数法进行求解；（2）根据点A 关于对称轴对称的点B 的坐标为(3,0)，连接BC 交对称轴直线于点P ，求出P 点坐标即可；（3）分点N 在x 轴下方或上方两种情况进行讨论．【详解】解：（1）设抛物线的解析式为()20y ax bx c a =++≠，∵()1,0A -，()3,0B ，30,2C ⎛⎫⎪⎝⎭三点在抛物线上， ∴093032a b c a b c c ⎧⎪-+=⎪++=⎨⎪⎪=⎩，解得，12132a b c ⎧=-⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，∴抛物线的解析式为：21322y x x =-++；（2）∵抛物线的解析式为21322y x x =-++，∴其对称轴为直线：12bx a=-=，如图1所示，连接BC ，设直线BC 的解析式为()0y kx b k =+≠， ∵()3,0B ，30,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴3032k b b +=⎧⎪⎨=⎪⎩，解得，1232k b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC 的解析式为1322y x =-+，当1x =时，13122y =-+=， ∴()1,1P ；（3）存在，如图2所示， ①当点N 在x 轴上方时，∵抛物线的对称轴为直线1x =，30,2C ⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴132,2N ⎛⎫ ⎪⎝⎭；②当点N 在x 轴下方时，过点2N 作2N D x ⊥轴于点D ， ∴22AN D M CO ≅△△，∴232N D OC ==，即2N 点的纵坐标为32-， ∴2133222x x -++=-，解得，1x =+1x =-∴2312N ⎛⎫+-⎪⎝⎭，3312N ⎛⎫- ⎪⎝⎭，综上所述，点N 的坐标为32,2⎛⎫ ⎪⎝⎭，317,2⎛⎫+-⎪⎝⎭，317,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭．【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了利用待定系数法求解函数的解析式，二次函数的对称轴，平行四边形的性质，全等三角形的性质，第（3）小题要注意进行分类讨论．10．如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于(10)A -，，(30)B ，两点，与y 轴交于点C ．（1）直接写出抛物线的解析式为：；（2）点D 为第一象限内抛物线上的一动点，作DE x ⊥轴于点E ，交BC 于点F ，过点F 作BC 的垂线与抛物线的对称轴和y 轴分别交于点G ，H ，设点D 的横坐标为m ． ①求DF HF +的最大值；②连接EG ，若45GEH ∠=，求m 的值．【答案】（1）2y x 2x 3=-++；（2）①1124+；②1m =，95【解析】【分析】（1）将点(10)A -，，(30)B ，代入抛物线2y x bx c =-++，求出b 、c 的值，继而求出抛物线解析式；（2）①先求出点C 的坐标，由待定系数法求出直线BC 的解析式，作FK y ⊥轴于点K ，可得： FH ==，由线段的和差可得：DF HF DE EF +=-+，代入数据得到二次函数，由二次函数的性质可知当m =，DF HF +有最大值； ②作GM y ⊥轴于点M ，记直线FH 与x 轴交于点N ，易知45EFH ENF ∠=∠=，由等角对等边可知：EN ＝EF ，OH ＝ON ，由抛物线的性质可得MG ＝1，继而可得HG，根据相似三角形的判定及其性质可得~EHG FHE ∆∆，HE HF HG HE=，代入数据可得22HE HG HF m =⋅=，在Rt OEH ∆中，由勾股定理可得22225129HE OE OH m m =+=-+，可得一元二次方程，继而解方程求解．【详解】（1）将点(10)A -，，(30)B ，代入抛物线2y x bx c =-++得： 01093b c b c=--+⎧⎨=-++⎩ 解得：23b c故抛物线的解析式为：2y x 2x 3=-++；（2）①当0x =时，2y x 2x 3=-++∴点(0,3)C ，又点(3,0)B ，BC ∴的解析式为：3y x =-+，3OC OB ==，45OBC OCB ∴∠=∠=，作FK y ⊥轴于点K ，又FH BC ⊥，45KFH KHF ∴∠=∠=，FH ∴==，2(23)(3)DF HF DE EF m m m ∴+=-+=-++--++，化简得：2(3DF HF m m +=-+，由题意有03m <<，且3232032(1)2++<-=<⨯-，10-<， ∴当322m +=时，DF HF +取最大值， DF HF +的最大值为232321162()(32)+++-++⨯= ②作GM y ⊥轴于点M ，记直线FH 与x 轴交于点N ，FK y ⊥轴，DE x ⊥轴，45KFH ∠=，45EFH ENF ∴∠=∠=，EF EN ∴=，45KHF ONH ∠=∠=，OH ON ∴=，2y x 2x 3=-++的对称轴为1x =，1MG =∴，22HG MG ==，45GEH ∠=GEH EFH ∴∠=∠，又∠EHF ＝∠GHE ，~EHG FHE ∴∆∆，HE HF HG HE∴=， 2222HE HG HF m m ∴=⋅=⋅=在Rt OEH ∆中，(3)23OH ON OE EN OE EF m m m ==-=-=--+=-，OE m =222222(23)5129HE OE OH m m m m ∴=+=+-=-+251292m m m ∴-+=，解得：1m =或95【点睛】本题考查一次函数与二次函数的综合题，还涉及到相似三角形的判定及其性质，等角对等边的性质和等边对等角的性质，考查学生的数形结合能力，解题的关键是熟练掌握一次函数与二次函数的性质．11．如图，直线112y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线2y x bx c =-++经过A 、B 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若P 是抛物线上一点，且P 点坐标为3,12⎛⎫ ⎪⎝⎭，点Q 为抛物线对称轴上一点，求QP QA +的最小值；（3）点N 为直线AB 上的动点，点M 为抛物线上的动点，当以点O 、B 、M 、N 为顶点的四边形是平行四边形时，求点M 的坐标．【答案】（1）2312y x x =-++；（2）QP ＋QA 5（3）满足条件的点M 的坐标为112,(12)2⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭或112,(12)2⎛⎫--- ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【解析】【分析】（1）先通过直线112y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B 计算出A 、B 点的坐标，再代入2y x bx c =-++计算即可；（2）根据对称性知A 点关于抛物线对称轴的对称点是1,02C ⎛⎫-⎪⎝⎭，连接PC ，则QP ＋QA 的最小值就是PC ，从而计算即可；（3）根据平行四边形的性质分为以OB 为边和对角线两种情况分类讨论计算．【详解】（1）∵直线112y x =-+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ∴A （2，0），B （0，1）∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A、B两点∴4201b cc-++=⎧⎨=⎩∴321 bc⎧=⎪⎨⎪=⎩∴抛物线解析式为2312y x x=-++（2）如解图①，由（1）知，抛物线解析式为2312y x x=-++∴抛物线的对称轴为直线34x=，抛物线与x轴的另一交点为1,02C⎛⎫-⎪⎝⎭∵点A与点C关于对称轴对称∴QP＋QA的最小值就是5PC=（3）①OB为平行四边形的边时，MN＝OB，MN∥OB∵点N在直线AB上∴设1,12N m m⎛⎫-+⎪⎝⎭∴23,12M m m m⎛⎫-++⎪⎝⎭∴2231112122MN m m m m m⎛⎫=-++--+=-+=⎪⎝⎭Ⅰ．－m 2＋2m ＝1解得，m ＝1 ∴31,2M ⎛⎫ ⎪⎝⎭Ⅱ．－m 2＋2m ＝－1 解得，12m∴11(12M ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭或11(12⎛⎫--- ⎪⎝⎭②当OB 为对角线时，OB 与MN 互相平分，交点为H ，∴OH ＝BH ，MH ＝NH ，∵B （0，1），O （0，0），∴10,2H ⎛⎫ ⎪⎝⎭，设1,12N n n ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，23,12M d d d ⎛⎫-++ ⎪⎝⎭， ∴202131112222n d n d d +⎧=⎪⎪⎨-+-++⎪=⎪⎩，∴1(1d n ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩或1(1d n ⎧=⎪⎨=-⎪⎩，∴11(12M ⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭或11(12M ⎛⎫--- ⎪⎝⎭；即：满足条件的点M的坐标为11(12⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭或11(12⎛⎫--- ⎪⎝⎭或31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭．【点睛】本题考查二次函数与线段之和最短、平行四边形相结合，难度较大．数形结合的思维是解题关键．12．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y ＝ax 2+bx +2（a ≠0）与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，抛物线经过点D （﹣2，﹣3）和点E （3，2），点P 是第一象限抛物线上的一个动点．（1）求直线DE 和抛物线的表达式；（2）在y 轴上取点F （0，1），连接PF ，PB ，当四边形OBPF 的面积是7时，求点P 的坐标；（3）在（2）的条件下，当点P 在抛物线对称轴的右侧时，直线DE 上存在两点M ，N （点M 在点N 的上方），且MN ＝2Q 从点P 出发，沿P →M →N →A 的路线运动到终点A ，当点Q 的运动路程最短时，请直接写出此时点N 的坐标．【答案】（1）y ＝x ﹣1，y ＝12-x 2+32x +2；（2）P （2，3）或（32，258）；（3）N （12，12-）．【解析】【分析】（1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式，即可求解；（2）S 四边形OBPF ＝S △OBF +S △PFB ＝12×4×1+12×PH ×BO ，即可求解；（3）过点M 作A ′M ∥AN ，过作点A ′直线DE 的对称点A ″，连接PA ″交直线DE 于点M ，此时，点Q 运动的路径最短，即可求解．【详解】（1）将点D 、E 的坐标代入函数表达式得：34229322a b a b -=-+⎧⎨++=⎩，解得： 1232a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故抛物线的表达式为：y ＝12-x 2+32x +2，同理可得直线DE 的表达式为：y ＝x ﹣1…①；（2）如图1，连接BF ，过点P 作PH ∥y 轴交BF 于点H ，将点FB 代入一次函数表达式，同理可得直线BF 的表达式为：y ＝14x -+1，设点P （x ，213222x x -++），则点H （x ，14x -+1）， S 四边形OBPF ＝S △OBF +S △PFB ＝12×4×1+12×PH ×BO ＝2+2（213121224x x x -+++-）＝7，解得：x ＝2或32，故点P （2，3）或（32，258）；（3）当点P 在抛物线对称轴的右侧时，点P （2，3），过点M 作A ′M ∥AN ，过作点A ′直线DE 的对称点A ″，连接PA ″交直线DE 于点M ，此时，点Q 运动的路径最短，∵MN ＝2，相当于向上、向右分别平移2个单位，故点A ′（1，2），A ′A ″⊥DE ，则直线A ′A ″过点A ′，则其表达式为：y ＝﹣x +3…②，联立①②得x ＝2，则A ′A ″中点坐标为（2，1），由中点坐标公式得：点A ″（3，0），同理可得：直线AP ″的表达式为：y ＝﹣3x +9…③，联立①③并解得：x ＝52，即点M （52，32），点M沿BD向下平移22个单位得：N（12，12-）．【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、图形的平移、面积的计算等，其中（3），通过平移和点的对称性，确定点Q运动的最短路径，是本题解题的关键．13．如图，直线y＝x+c与x轴交于点A（﹣4，0），与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 经过点A，C．（1）求抛物线的解析式；（2）已知点P是抛物线上的一个动点，并且点P在第二象限内，过动点P作PE⊥x轴于点E，交线段AC于点D．①如图1，过D作DF⊥y轴于点F，交抛物线于M，N两点（点M位于点N的左侧），连接EF，当线段EF的长度最短时，求点P，M，N的坐标；②如图2，连接CD，若以C，P，D为顶点的三角形与△ADE相似，求△CPD的面积．【答案】（1）y＝﹣x2﹣3x+4；（2）①点P坐标为（﹣2，6），点M、N的坐标分别为（3172--，2）、（3172-+，2）；②△CPD的面积为92或4．【解析】【分析】（1）将点A的坐标分别代入直线和抛物线表达式，即可求解；（2）①四边形DEOF为矩形，故：EF＝OD，当OD垂直于AC时，OD最小，点D 为AC的中点，其坐标为（﹣2，2），即可求解；②分△ADE∽△CDP、△ADE∽△PCD两种情况，求解即可．【详解】（1）将点A的坐标代入直线y＝x+c得：0＝﹣4+c，解得：c＝4，将点A 坐标代入抛物线表达式得：0＝﹣16﹣4b+4，解得：b ＝﹣3，故抛物线的表达式为：y ＝﹣x2﹣3x+4，故点A 、C 的坐标分别为（﹣4，0）、（0，4），将A 、C 点坐标代入一次函数表达式y ＝kx+b 得：044k b b =-+⎧⎨=⎩，解得14k b =⎧⎨=⎩，则直线AC 的表达式为：y ＝x+4；（2）①∵四边形DEOF 为矩形，故：EF ＝OD ，当OD 垂直于AC 时，OD 最小（即EF 最小），∵OA ＝OC ，∴点D 为AC 的中点，其坐标为（﹣2，2），故点P 坐标为（﹣2，6），把点D 纵坐标代入二次函数表达式得：﹣x2﹣3x+4＝2，解得：x ＝32-±，故点M 、N 2）、，2）； ②当△ADE ∽△CDP 时，则∠CPD ＝90°，PC ＝PD ，则PC ∥x 轴，则点P 的纵坐标为4，则点P 坐标为（﹣3，4），点D 在直线AC ：y ＝x+4上，则点D 坐标为（﹣3，1），则PD ＝4﹣1＝3＝PC ，则S △CPD ＝12×PC•PD ＝92；当△ADE ∽△PDC 时，同理可得：S △CPD ＝12×PD•CH ＝4，故：△CPD的面积为92或4．【点睛】本题考查的是二次函数知识的综合运用，涉及到三角形相似、矩形基本性质等知识点，其中（2），利用矩形性质OD＝EF，确定EF最小值，是本题的难点．14．已知．在Rt△OAB中，∠OAB=90°，∠BOA=30°，OA=23，若以O为坐标原点，OA所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内，将Rt△OAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点C处．（1）求经过点O，C，A三点的抛物线的解析式．（2）若点M是抛物线上一点，且位于线段OC的上方，连接MO、MC，问：点M位于何处时三角形MOC的面积最大？并求出三角形MOC的最大面积．（3）抛物线上是否存在一点P，使∠OAP=∠BOC？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）y=﹣x23x；（2）333⎝⎭33；（3）存在，3，53)或(3﹣7 3 )【解析】【分析】（1）根据折叠的性质可得OC=OA，∠BOC=∠BAO=30°，过点C作CD⊥OA于D，求出OD、CD，然后写出点C的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答；（2）求出直线OC的解析式，根据点M到OC的最大距离时，面积最大；平行于OC 的直线与抛物线只有一个交点，利用根的判别式求出m的值，利用锐角三角函数的定义求解即可；（3）分两种情况求出直线AP与y轴的交点坐标，然后求出直线AP的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点P的坐标．【详解】解：（1）∵Rt △OAB 沿OB 折叠后，点A 落在第一象限内的点C 处，∴OC=OA=23，∠BOC=∠BAO=30°，∴∠AOC=30°+30°=60°，过点C 作CD ⊥OA 于D ，则OD=12×33 3×3，所以，顶点C 33），设过点O ，C ，A 抛物线的解析式为为y=ax 2+bx ，则223)33(23)30a b a b ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩，解得：13a b =-⎧⎪⎨=⎪⎩ ∴抛物线的解析式为y=﹣x 23；（2）∵C 3，3），∴直线OC 的解析式为：3y x =，设点M 到OC 的最大距离时，平行于OC 的直线解析式为3y x m =+，联立233y x m y x x⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，消掉未知数y 并整理得，230x x m -+=，△=（32-4m=0，解得：m=34．∴230 4x+=，∴x=；∴点M到OC的最大距离=34×sin30°=313428⨯=；∵OC==∴13288MOCS∆=⨯⨯=；此时，M⎝⎭，最大面积为8；（3）∵∠OAP=∠BOC=∠BOA =30°，∴2=，∴直线AP与y轴的交点坐标为（0，2）或（0，﹣2），当直线AP经过点（0）、（0，2）时，解析式为2y=+，联立223y xy x⎧=-+⎪⎨=-+⎪⎩，解得11xy⎧=⎪⎨=⎪⎩22353xy⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩．所以点P53），当直线AP经过点（0）、（0，﹣2）时，解析式为2y x=-，联立223y xy x⎧=-+⎪⎨=-⎪⎩解得110x y ⎧=⎪⎨=⎪⎩2273x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩；所以点P的坐标为（-73-）．综上所述，存在一点P5373），使∠OAP=∠BOA ．【点睛】本题是二次函数综合题型，主要利用了折叠的性质，待定系数法求二次函数解析式，联立两函数解析式求交点的方法，（2）判断出点M 到OC 的距离最大是，平行于OC 的直线与抛物线只有一个交点是解题的关键，（3）确定出直线AP 的解析式是解题的关键． 15．抛物线2y x bx c =-++ （b c ，为常数）与x 轴交于点()1,0x 和()2,0x 与y 轴交于点A ，点E 为抛物线顶点．（Ⅰ）当121,3x x =-=时，求点E ，点A 的坐标；（Ⅱ）①若顶点E 在直线y x =上时，用含有b 的代数式表示c ；②在①的前提下，当点A 的位置最高时，求抛物线的解析式；（Ⅲ）若11,0x b =->，当()1,0P 满足PA PE +值最小时，求b 的值．【答案】（Ⅰ）2y x 2x 3=-++；（Ⅱ）①21142c b b =-+；②214y x x =-++；（Ⅲ）3b =+【解析】【分析】（Ⅰ）当121,3x x =-=时，y=0，由二次函数的交点式即可求出解析式；（Ⅱ）①由题意得24(,)24b c b E +，代入直线y=x 中即可解答； ②表达出211(0,)42A b b -+，根据二次函数的性质可知，当b=1时，点A 在最高点，即可得到二次函数解析式；（Ⅲ）将（-1,0）代入得到c=b+1，表达出2(2)(,)24b b E +， A （0，b+1）,求出点E 关于x 轴的对称点2(2)(,)24b b E +'-，根据当()1,0P 满足PA PE +值最小时，则此时点P ，A ，E '三点共线，求出直线AP 的解析式，将点2(2)(,)24b b E +'-代入直线AP 的解析式即可求出b 的值．【详解】解：（Ⅰ）当121,3x x =-=时，y=0，∴(1)(3)y x x =-+-，∴2y x 2x 3=-++（Ⅱ）①∵点E 是抛物线2y x bx c =-++的顶点， ∴24(,)24b c b E +， ∵顶点E 在直线y x =上， ∴24=24b c b +， ∴21142c b b =-+， ②由①可知211(0,)42A b b -+， 21142c b b =-+，104-<， ∴当12112()4b =-=⨯-时，21142c b b =-+最大，即点A 是最高点，此时14c =， ∴214y x x =-++；（Ⅲ）∵抛物线经过（-1,0）,∴-1-b+c=0，∴c=b+1，∵24(,)24b c b E +，A （0，c ） ∴2(2)(,)24b b E +， A （0，b+1）, ∴点E 关于x 轴对称的点2(2)(,)24b b E +'-， ∵当()1,0P 满足PA PE +值最小时，则此时点P ，A ，E '三点共线，设过点A ，P 的直线为y=kx+t ，将点A （0，b+1），P （1，0）代入得10t b k t =+⎧⎨+=⎩，解得：11t b k b =+⎧⎨=--⎩， ∴y=(-b-1)x+b+1，将2(2)(,)24b b E +'-代入得：2(2)(1)124b b b b +--++=-，整理得：2680b b --=，解得：3b =3b =∵b ＞0，∴3b =+【点睛】本题考查了二次函数的图象及性质，掌握待定系数法求函数解析式，利用轴对称求最短距离是解题的关键．16．已知：抛物线)222y kx k x k k =++++经过坐标原点．（1）求抛物线的解析式和顶点B 的坐标；（2）设点A 是抛物线与x 轴的另一个交点且A 、C 两点关于y 轴对称，试在y 轴上确定一点P ，使PA+PB 最短，并求出点P 的坐标；（3）过点A 作AD ∥BP 交y 轴于点D ，求到直线AP 、AD 、CP 距离相等的点的坐标．【答案】（1）抛物线的解析式是y ＝﹣x 2，顶点B ，3）；（2）点P 的坐标是（0，2）；（3）到直线AP 、AD 、CP 距离相等的点的坐标是（0，0）和（2）．【解析】【分析】（1）根据抛物线经过原点求出k 的值，即可求出解析式，在求顶点坐标即可；（2）先找出P 的位置，再求直线BC 的解析式，再求点P 的坐标即可；（3）先求得y 轴是∠APC 的角平分线，x 轴是∠DAP 的角平分线，交点符合要求，∠DAP的外角∠EAP 的平分线和∠CPA 的外角∠FPA 的平分线的交点M 也符合要求.【详解】解：（1）∵抛物线2223(2)y kx k x k k =++++经过坐标原点，∴k 2+k ＝0，解得：k ＝0（舍去），k ＝﹣1，∴抛物线的解析式是y ＝﹣x 2+23x ， ∴y ＝﹣x 2+23x ，＝﹣（x ﹣3）2+3，∴顶点B 的坐标是（3，3），答：抛物线的解析式是y ＝﹣x 2+23x ，顶点B 的坐标是（3，3）；（2）当y ＝0时﹣x 2+23x ＝0，解得：x 1＝0，x 2＝23，∴A 的坐标是（23，0），A 关于y 轴的对称点C 的坐标是C （﹣23，0），设直线BC 的解析式是y ＝kx+b ，把B 33），C （﹣30）代入得：33k b 03k b⎧=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得：32kb⎧=⎪⎨⎪=⎩，∴直线BC的解析式是y＝33x+2，当x＝0时，y＝2，∴点P的坐标是（0，2），答：点P的坐标是（0，2）．（3）∵A、C关于y轴对称，P在Y轴上，∴AP＝CP，∵∠CAP＝∠ACP，x轴⊥y轴，∴y轴是∠APC的角平分线，即y轴上任意一点到AP、CP的距离都相等，∵AD∥PC，∴∠DAC＝∠ACP，∴∠DAC＝∠CAP，∴x轴是∠DAP的角平分线，即x轴上任意一点到AP、AD的距离都相等，∴x轴与y轴的交点O到AP、AD、CP距离相等，∴点的坐标是（0，0），如图，∠DAP的外角∠EAP的平分线和∠CPA的外角∠FPA的平分线的交点M也符合要求，根据作图条件能得到矩形MAOP，即点M的坐标是（3，2），到直线AP、AD、CP距离相等的点的坐标是（0，0）和（32），答：到直线AP、AD、CP距离相等的点的坐标是（0，0）和（23，2）．【点睛】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握待定系数法求函数解析式，最值问题，角平分线的性质. 找出PA+PB有最小值的条件是解题的关键．17．已知，如图，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象经过点A(﹣1，0)，B(3，0)，点E为二次函数第一象限内抛物线上一动点，EH⊥x轴于点H，交直线BC于点F，以EF为直径的圆⊙M与BC交于点R.(1)求这个二次函数关系式.(2)当△EFR周长最大时.①求此时点E点坐标及△EFR周长.②点P为⊙M上一动点，连接BP，点Q为BP的中点，连接HQ，求HQ的最大值.【答案】(1)y＝﹣x2+2x+3；(2)①E(32，154)，周长为94+942；②HQ的最大值大为：365 16+9 16.【解析】【分析】(1)用交点式函数表达式，即可求解；(2)①证明△ERF为等腰直角三角形，当△EFR周长最大时，EF最长，EF＝﹣m2+3m，即可求解；②HQ＝12OP，利用OP≤OM+PM＝365988+，即可求解.【详解】(1)用交点式函数表达式得：y＝﹣(x+1)(x﹣3)＝﹣x2+2x+3；(2)①由（1）知C（0,3），∴OC=OB=3，∴∠OBC=45︒，。

函数对称性及其在解题中的应用

８８：５ｍ．５ｃ
致地体现出来了，所涉及的内容的深度和广度是它其它章节的知识和内容所无法相比的．此，想在因要的复习和研究，要掌握好不等式中的基本题型的既
如Ａ［，】设 ≤，Ａ，高考中获得理想的成绩，须高度重视不等式知识果丁３，手Ａ：３ｅ２可＜≤ 则必
８＝即＝Ｉｃ时取最值这里发挥了工具作用．４去Ａ５５１，得小，Ｘ）ｓ此综上可知，等式作为中学阶段的重要内容和不求解数学问题的重要工具，高考命题中被淋漓尽在时面高 √ ＝ｃ宽 ÷・ ’ 的为＝８，画８为ｍ
代人上式，得
评注
本题取材于现实生活中的实际问题，重
点考查建立函数关系式、函数最值的技能技巧和求
ｓｏ＋（）＝ｏ铂ｓ５，ｓｏ＋
运用所学数学知识解决实际问题的能力．立起函建数关系式以后，求函数的最小值，等式的知识在为不
４Ｔ＋ｓ去）４ｏ六一，（／ｓ一ｃ一（志）ｓ．一
瓜 ≥ ＞撤一＿５８２焘・
函数对称性及其在解题中的应用
郑建雄
（江省绍兴县鲁迅中学浙３２０）１０８
函数是高中数学教学的核心内容，称性是函对数图像的重要性质，称关系不仅广泛存在于数学对问题之中，且利用对称性往往能更简捷地使问题而得到解决．查对称性能有效地考查学生的逻辑思考维能力、间想象能力、析问题和解决问题的能空分力，而是高考和竞赛中命题的热点和重点．文拟因本通过函数自身的对称性和不同函数之间的对称性等方面来探讨函数对称性及其在解题中的应用．

多元函数积分学的对称性问题

D
（1） x 2 y 2 2 x 2 y 2 ；
2
（2） x 2 y 2 2 xy.
2
解（1）由 x 2 y 2
2 x y 2 2 2
而被积函数 xy 围成的积分区域 D (图 6—2)对称于 x 轴．
D
关于 y 是奇函数，即 x y xy ．故由第 2 种情况知 xy d x d y 0 . （2）由 x 2 y 2 2 xy 所围的域 D (图 6—3)对称于原点．而被积函数 x y xy ，
借助于几何意义,此结论不难理解．证将区域 D D1
D2 关于 y 轴进行对称性划分, i D1 ,与之对称的有 i D2 ,令
为小区域的最大直径,取点 (i ,i ) i ,与点 (i,i) i 对称．
f ( , ) f ( , ) f ( x, y ) d x d y lim
解积分域是圆 x 2 y 2 a 2 ，故关于 x 、 y 轴、原点及变元 x 、
y 均对称．将被积函数分项积分
x2 y 2 a2

2 x 3 y d 0
2
O
2
x
而
2
x y a

2
x2 d
2 2
x y a

2
y2 d
2
1 a4 2 2 x y d ，又 2 x2 4 y 2 a2
解依积分区域 D 及被积函数 arcsin x y 的特点，首先将 D 分解为 D （ i 1,2,3 ）如图所示．因为 D2 与 D3 关于直线 x y 0 对称，而被积函数 arcsin x y 在 D2 奇函数，所以

中考数学知识点考点复习指导利用轴对称求最值

中考数学知识点考点复习指导利用轴对称求最值利用轴对称求最值是高中数学中的一个重要的知识点，也是中考数学中经常考察的内容之一、下面我将从以下几个方面为你详细介绍如何利用轴对称求最值。

1.轴对称性的概念轴对称性是指对于平面上的一个图形，如果沿条直线旋转180度后，旋转后的图形与原图形重合，那么我们就说这个图形具有轴对称性。

轴对称的直线称为轴线。

轴对称的图形的特点是：图形的任意一点关于轴线对称的点也在图形内部。

2.利用轴对称求最值的一般步骤求解最值的一般步骤为：首先明确最值是指最大值还是最小值，然后利用轴对称性把问题转化为一个等价的问题，利用已知条件求解这个等价问题，最后还原到原问题中，得到最值。

3.利用轴对称求最值的具体方法在具体的问题中，可以根据实际的情况，运用合适的方法进行求解。

下面是常见的一些方法：(1)利用轴对称线上的点求最值：对于轴对称的图形，如果可以确定图形上的其中一点关于轴线的对称点是最值点，那么这个最值点的横坐标就可以作为最值的解。

(2)利用轴对称图形的特点求最值：对于具有轴对称性的图形，如果能够找到一些特殊的点，使得这些点关于轴线对称，而且能够确定这些点是最值点，那么这个最值点就可以作为最值的解。

(3)利用轴对称图形的性质求最值：对于轴对称的图形，如果能够利用对称性与其他已知条件建立等式或不等式，然后求解这个等式或不等式的解，就可以得到最值的解。

(4)利用轴对称折线的特点求最值：对于轴对称的折线图，可以利用折线图的性质，比如单调性，交点等，将问题转化为求解折线的最值的问题，然后利用已知条件求解最值。

4.练习题示例为了更好地理解和掌握利用轴对称求最值的方法，我们可以通过一些练习题来加深印象。

下面是一些练习题的示例：(1)求函数y=2x^2-3x+1在区间[-1,2]上的最大值和最小值。

解：首先，求函数的极值点，对应的x值是-1/4、然后，将-1/4代入函数，得到y=-1/8、所以在[-1,2]上，最大值为1，最小值为-1/8(2)求函数y=x^3-3x^2+3x的最大值和最小值。

函数对称性、周期性的应用(含解析)

函数对称性、周期性的应用高考对函数性质的考查往往是综合性的，如将奇偶性、周期性、单调性及函数的零点综合考查，因此，复习过程中应注意在掌握常见函数图象和性质的基础上，注重函数性质的综合应用的演练.（一）函数的对称性1、对定义域的要求：无论是轴对称还是中心对称，均要求函数的定义域要关于对称轴（或对称中心）对称2、轴对称的等价描述：（1）关于轴对称（当时，恰好就是偶函数）（2）关于轴对称在已知对称轴的情况下，构造形如的等式只需注意两点，一是等式两侧前面的符号相同，且括号内前面的符号相反；二是的取值保证为所给对称轴即可.例如：关于轴对称，或得到均可，只是在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是偶函数，则，进而可得到：关于轴对称.① 要注意偶函数是指自变量取相反数，函数值相等，所以在中，仅是括号中的一部分，偶函数只是指其中的取相反数时，函数值相等，即，要与以下的命题区分：若是偶函数，则：是偶函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相等，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是偶函数，则关于轴对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.2、中心对称的等价描述：（1）关于中心对称（当时，恰好就是奇函数）（2）关于中心对称在已知对称中心的情况下，构造形如的等式同样需注意两点，一是等式两侧和()()f a x f a x -=+⇔()f x x a =0a =()()()f a x f b x f x -=+⇔2a b x +=()()f a x f b x -=+f x ,a b 2a b x +=()f x 1x =()()2f x f x ⇒=-()()31f x f x -=-+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=-+()f x x a =()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=-+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +0x =()f x ()f x a +a a ()f x x a =()()f a x f a x -=-+⇔()f x (),0a 0a =()()()f a x f b x f x -=-+⇔,02a b +⎛⎫ ⎪⎝⎭()()f a x f b x -=-+f前面的符号均相反；二是的取值保证为所给对称中心即可.例如：关于中心对称，或得到均可，同样在求函数值方面，一侧是更为方便（3）是奇函数，则，进而可得到：关于中心对称.① 要注意奇函数是指自变量取相反数，函数值相反，所以在中，仅是括号中的一部分，奇函数只是指其中的取相反数时，函数值相反，即，要与以下的命题区分：若是奇函数，则：是奇函数中的占据整个括号，所以是指括号内取相反数，则函数值相反，所以有② 本结论也可通过图像变换来理解，是奇函数，则关于中心对称，而可视为平移了个单位（方向由的符号决定），所以关于对称.4、对称性的作用：最突出的作用为“知一半而得全部”，即一旦函数具备对称性，则只需要分析一侧的性质，便可得到整个函数的性质，主要体现在以下几点：（1）可利用对称性求得某些点的函数值（2）在作图时可作出一侧图像，再利用对称性得到另一半图像（3）极值点关于对称轴（对称中心）对称（4）在轴对称函数中，关于对称轴对称的两个单调区间单调性相反；在中心对称函数中，关于对称中心对称的两个单调区间单调性相同（二）函数的周期性1、定义：设的定义域为，若对，存在一个非零常数，有，则称函数是一个周期函数，称为的一个周期2、周期性的理解：可理解为间隔为的自变量函数值相等3、若是一个周期函数，则，那么，即也是的一个周期，进而可得：也是的一个周期4、最小正周期：正由第3条所说，也是的一个周期，所以在某些周期函数中，往往寻找x ,a b 2a b x +=()f x ()1,0-()()2f x f x ⇒=---()()35f x f x -=--+()f x ()f x a +()()f x a f x a +=--+()f x (),0a ()f x a +x x ()()f x a f x a +=-+()f x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x x ()()f x a f x a +=--+⎡⎤⎣⎦()f x a +()f x a +()0,0()f x ()f x a +a a ()f x (),0a ()f x D x D ∀∈T ()()f x T f x +=()f x T ()f x T ()f x ()()f x T f x +=()()()2f x T f x T f x +=+=2T ()f x ()kT k Z ∈()f x ()kT k Z ∈()f x周期中最小的正数，即称为最小正周期.然而并非所有的周期函数都有最小正周期，比如常值函数5、函数周期性的判定：（1）：可得为周期函数，其周期（2）的周期分析：直接从等式入手无法得周期性，考虑等间距再构造一个等式：所以有：，即周期注：遇到此类问题，如果一个等式难以推断周期，那么可考虑等间距再列一个等式，进而通过两个等式看能否得出周期（3）的周期分析：（4）（为常数）的周期分析：，两式相减可得：（5）（为常数）的周期（6）双对称出周期：若一个函数存在两个对称关系，则是一个周期函数，具体情况如下：（假设）① 若的图像关于轴对称，则是周期函数，周期分析：关于轴对称关于轴对称的周期为② 若的图像关于中心对称，则是周期函数，周期③ 若的图像关于轴对称，且关于中心对称，则是周期函数，周期()f x C =()()f x a f x b +=+()f x T b a =-()()()f x a f x f x +=-⇒2T a =()()2f x a f x a +=-+()()()()()2f x a f x a f x f x +=-+=--=2T a =()()()1f x a f x f x +=⇒2T a =()()()()1121f x a f x f x a f x +===+()()f x f x a k ++=k ()f x ⇒2T a =()()()(),2f x f x a k f x a f x a k ++=+++=()()2f x a f x +=()()f x f x a k ⋅+=k ()f x ⇒2T a =()f x ()f x b a >()f x ,x a x b ==()f x ()2T b a =-()f x x a =()()2f x f a x ⇒-=+()f x x b =()()2f x f b x ⇒-=+()()22f a x f b x ∴+=+()f x ∴()222T b a b a =-=-()f x ()(),0,,0a b ()f x ()2T b a =-()f x x a =(),0b ()f x ()4T b a =-7、函数周期性的作用：简而言之“窥一斑而知全豹”，只要了解一个周期的性质，则得到整个函数的性质.（1）函数值：可利用周期性将自变量大小进行调整，进而利用已知条件求值（2）图像：只要做出一个周期的函数图象，其余部分的图像可利用周期性进行“复制+粘贴”（3）单调区间：由于间隔的函数图象相同，所以若在上单调增（减），则在上单调增（减）（4）对称性：如果一个周期为的函数存在一条对称轴（或对称中心），则存在无数条对称轴，其通式为证明：关于轴对称函数的周期为关于轴对称注：其中（3）（4）在三角函数中应用广泛，可作为检验答案的方法.【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则（）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（） ()kT k Z ∈()f x ()(),a b b a T -≤()f x ()(),a kT b kT k Z ++∈T ()f x x a =()f x ()2kT x a k Z =+∈()f x x a =()()2f x f a x ∴=-()f x T ()()f x kT f x ∴+=()()2f x kT f a x ∴+=-()f x ∴2kT x a =+A ．6B ．8C ．12D ．16例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（）.A．⎛ ⎝⎭B．⎫⎪⎪⎝⎭C．⎛ ⎝⎭ D．⎫⎪⎪⎝⎭例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（）A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-= 例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( ) A ．0 B ．6 C ．12 D ．18例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >> 例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（）①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点.A ．①③B ．②④C ．①③④D ．②③④ 例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( ) A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．0BC ．D ．【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（）A ．2-B ．2log 3C ．3D ．2log 5- 2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．201940963．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（） A ．2 B ．3 C ．4 D ．54．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（）A ．6B ．4C ．2D ．05．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe -=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos x f x x =-，则下列结论正确的是（） A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．78．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（） A ．c a b >> B ．c b a >> C ．b a c >> D ．a c b >>9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（）A ．[4,)+∞B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x x x x y e e ----=+的曲线有下列说法： ①该曲线关于2x =对称；②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数.其中正确的是（）A ．②③B ．①④C ．②④D ．①③11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（） A ．3B ．4C ．5D ．612．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1m i i i x y =+=∑（） A ．0 B ．m C ．2m D ．4m【经典例题】例1.【2020年高考全国Ⅲ卷文数12】已知函数()1sin sin f x x x =+，则（）A ．()f x 的最小值为2B ．()f x 的图像关于y 轴对称C ．()f x 的图像关于直线x =π对称D ．()f x 的图像关于直线2x π=对称【答案】D【思路导引】根据基本不等式使用条件可判断A;根据奇偶性可判断B;根据对称性判断C ，D ．【解析】sin x 可以为负，所以A 错；1sin 0()()sin ()sin x x k k Z f x x f x xπ≠∴≠∈-=--=-∴()f x 关于原点对称； 11(2)sin (),()sin (),sin sin f x x f x f x x f x x xππ-=--≠-=+=故B 错；()f x ∴关于直线2x π=对称，故C 错，D 对，故选：D ．【专家解读】本题考查了三角函数图象及其性质，考查三角函数周期公式，考查数形结合思想，考查数学运算、直观想象等学科素养．解题关键是熟记三角函数的性质．例2．（2020·全国高三三模）已知定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，且()()30f x f x -+-=，若曲线()y f x =在()()6,6f 处切线的斜率为4，则曲线()y f x =在()()2022,2022f --处的切线方程为（）A ．48088y x =--B ．48088y x =+C ．1101142y x =--D ．1101142y x =+ 【答案】B【解析】因为定义域为R 的函数()f x 的图像关于原点对称，所以()00f =，因为()()30f x f x -+-=，()()630f x f x -+-=，两式相减可得，()()6f x f x -=-，故6T =，故()()202200f f -==；因为()()()2022064f f f '''-===，故所求切线方程为48088y x =+，故选：B ．例3．（2020·南岗·黑龙江实验中学高三三模）若()f x 为偶函数，对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立，且当10x -≤≤时，()()()211f x x x =-+.则方程()29log f x x =根的个数为（）A ．6B ．8C ．12D ．16【答案】D【解析】对任意x ∈R ，()()11f x f x -=+恒成立,故()()2f x f x -=+，又()f x 为偶函数，所以()()2f x f x =+，2T =，且当10x -≤≤时，()()()221122f x x x x =-+=-，设()293log log h x x x ==，则()h x 为偶函数，求方程()29log f x x =根的个数转化为求()f x 与()g x 的交点个数，画出当0x >时()y f x =与()y g x =的图像，如图：可知两图像有8个交点，又()f x 与()g x 都为偶函数，所以()f x 与()g x 有16个交点，即方程()29log f x x =根的个数为16.故选：D.例4．（2020·山西大学附中三模）已知函数()()cos 1,0,2log ,0,a x x f x x x π⎧⎛⎫-≥⎪ ⎪=⎝⎭⎨⎪--<⎩（0a >且1a ≠），若函数图象上关于原点对称的点至少有3对，则实数a 的取值范围是（）.A．0,6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．6⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C．0,5⎛ ⎝⎭D．5⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A【解析】由题可知：cos 12y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭与log a y x =的图像在0x >的交点至少有3对，可知()0,1a ∈，如图所示，当6x =时，log 62a >-，则0a <<故实数a的取值范围为0,6⎛ ⎝⎭故选：A例5．（2020·启航中学三模）已知函数()f x 在定义域上的值不全为零，若函数()1f x +的图象关于()1,0对称，函数()3f x +的图象关于直线1x =对称，则下列式子中错误的是（） A ．()()f x f x -=B ．(2)(6)f x f x -=+C ．(2)(2)0f x f x -++--=D ．(3)(3)0f x f x ++-=【答案】D【解析】∵函数(1)f x +的图象关于()1,0对称， ∴函数()f x 的图象关于(2,0)对称，令()(1)F x f x =+，∴()()2F x F x =--，即()(3)1f x f x -=-+，∴()()4f x f x -=- …⑴ 令()(3)G x f x =+，∵其图象关于直线对称，∴()()2G x G x +=-，即()()53f x f x +=-，∴()()44f x f x +=- …⑵ 由⑴⑵得，()()4f x f x +=-，∴()()8f x f x += …⑶ ∴()()()844f x f x f x -=-=+-，由⑵得()()()()()4444f x f x f x +-=--=,∴()()f x f x -=；∴A 对；由⑶，得()()282f x f x -+=-，即()()26f x f x -=+，∴B 对；由⑴得，()()220f x f x -++=，又()()f x f x -=， ∴()()(2)(2)220f x f x f x f x -++--=-++=，∴C 对；若()()330f x f x ++-=，则()()6f x f x +=-，∴()()12f x f x +=，由⑶得()()124f x f x +=+，又()()4f x f x +=-，∴()()f x f x =-，即()0f x =，与题意矛盾，∴D 错.故选：D.例6．（2020·山东高密·高三三模）已知函数(1)2y f x =+-是奇函数，21()1x g x x -=-，且()f x 与()g x 的图像的交点为11(,)x y ，22(,)x y ，，66(,)x y ，则126126x x x y y y +++++++=( )A ．0B ．6C ．12D ．18【答案】D 【解析】()211211x g x x x -==+--，由此()g x 的图像关于点()1,2中心对称，()12y f x =+-是奇函数()()1212f x f x -+-=-++，由此()()114f x f x -+++=，所以()f x 关于点()1,2中心对称，1266x x x +++=，12612y y y +++=，所以12612618x x x y y y +++++++=，故选D例7．（2020·四川泸州·高三三模）定义在实数集R 上的函数()f x 满足(1)(1)f x f x +=-，且当1≥x 时，()f x 是增函数，则()3log 2a f =，⎛=- ⎝b f ，(3)c f =的大小关系正确的是（）. A ．a b c >> B ．b c a >> C ．c a b >>D ．b a c >>【答案】C 【解析】(1)(1)f x f x +=-，∴()f x 关于1x =对称，又1≥x 时，()f x 是增函数，()()3339log 22log 2log 2f f f ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭，33392log 4,log 4log 321-==<<<， ∴b a c <<.故选：C.例8．（2020·北大附中高三三模）若定义在R 上的偶函数()f x 满足()()2f x f x +=，且在区间[]1,2上是减函数，()11f =，()01f =-现有下列结论，其中正确的是：（） ①()f x 的图象关于直线1x =对称；②()f x 的图象关于点3,02⎛⎫⎪⎝⎭对称；③()f x 在区间[]3,4上是减函数；④()f x 在区间()4,4-内有8个零点. A ．①③ B ．②④ C ．①③④ D ．②③④【答案】C【解析】由()()2f x f x +=，得()()2f x f x -=-，结合()f x 为偶函数，得()()2f x f x -=，则曲线()y f x =关于直线1x =对称，则①正确；无法推出()()3f x f x -=-，则②不一定正确；由曲线()()12y f x x =≤≤可得曲线()()01y f x x =≤≤，即得曲线()()02y f x x =≤≤，恰好是在一个周期内的图象；再根据()f x 是以2为周期的函数，得到曲线()()24y f x x =≤≤，因为在()y f x =在[]1,2上是减函数，()y f x =在[]3,4上是减函数，则③正确；因为()y f x =在[]1,2上是减函数，()110f =>，()210f =-<，所以()y f x =在[]1,2上有唯一的一个零点，根据对称性，()f x 在区间()4,4-内有8个零点.故选：C.例9．（2020·咸阳市教育教学研究室高三三模）设()f x 为R 上的奇函数，满足(2)(2)f x f x -=+，且当02x ≤≤时，()x f x xe =，则(1)(2)(3)(100)f f f f ++++=( )A ．222e e +B ．25050e e +C ．2100100e e +D ．222e e --【答案】A【解析】由()()22f x f x -=+得：()f x 关于2x =对称又()f x 为R 上的奇函数 ()f x ∴是以8为周期的周期函数()()()()()()()()()1281241240f f f f f f f f f ++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅++-+-+⋅⋅⋅+-=且()()()()2123422f f f f e e +++=+()()()()()()()()()()12100121281234f f f f f f f f f f ∴++⋅⋅⋅+=++⋅⋅⋅+++++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦222e e =+，故选：A例10．（2020·山东省实验高三三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足()()210f x f x -++=，且当()0,3x ∈时，()()12f f ==-则()()()()0122020f f f f +++⋅⋅⋅+=（）A ．0BC ．D ．【答案】B 【解析】()f x 是奇函数且满足()()210f x f x -++=，(1)(2)(2)f x f x f x ，(3)()f x f x ∴+=，()f x ∴是以3为周期的函数，且(0)0f =，()()()()()()()0122020674067416732f f f f f f f ∴+++⋅⋅⋅+=++=故选：B.【精选精练】1．（2020·黑龙江·大庆四中三模）已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，且当3,02x ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，则(2020)f =（） A ．2- B ．2log 3C ．3D ．2log 5-【答案】D 【解析】已知定义域为R 的奇函数()f x 满足(3)()0f x f x -+=，()()(3)f x f x f x ∴-=-=-，∴()f x 的周期为3.3,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭时，2()log (27)f x x =+，22(2020)(36731)(1)(1log (27)lo )5g f f f f =⨯+==-=--+-=-,故选D ．2．（2020·济南一中2020届高三三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()0f x f x -+=，()()4f x f x +=，且当()0,2x ∈时，()2x f x =，则()2log 2019f =（）A ．20482019-B ．40962019-C ．40962019D ．20194096【答案】B【解析】由()()4f x f x +=，得函数()f x 的周期是4. 由()()0f x f x -+=，则()f x 在R 上是奇函数，且当()0,2x ∈时，()2xf x =，210log 201911<<，所以()()()222log 2019log 20191212log 2019f f f =-=--212log 2019409622019-=-=-.故选：B 3．（2020·西安市鄠邑区第一中学三模）已知函数()f x 满足()()f x f x =-和()()+2f x f x =，且在[]0,1x ∈时，()1f x x =-，则关于x 的方程13x y ⎛⎫= ⎪⎝⎭在[]0,4上解的个数是（）A ．2B ．3C ．4D ．5【答案】D【解析】由题意可得，函数()f x 为偶函数，且是周期为2的周期函数．方程1()()3xf x =在[0x ∈，4]上解的个数，即函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数，再根据当[0x ∈，1]时，()1f x x =-，设1,(0)11()()()()330x xx g x g f x =--∴-==.因为1211113()1()0223236g -=--=-=<，数形结合可得，函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，1)内存在两个交点，画出函数()f x 在[0，4]上的图象，如图，故函数()y f x =的图象与函数1()3xy =的图象在[0，4]上的交点个数为5.（在[0,1]内有2个，在[1,2]有1个，在(2,4]有2个），故选：D ．4．（2020·哈尔滨市第一中学校三模）已知定义在R 上的函数满足()()2,(0,2]f x f x x +=-∈时，()sin f x x x π=-，则20201()i f i ==∑（）A ．6B ．4C ．2D ．0【答案】D【解析】根据题意，函数()f x 满足()()2f x f x +=-，则()4()f x f x +=，即()f x 是周期为4的周期函数，当2(]0,x ∈时，()sin f x x x π=-，则()11sin 1f π=-=，()22sin 22f π=-=，又由()()2f x f x +=-，则()()()()311,422f f f f =-=-=-=-，所以(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=，所以20201()505((1)(2)(3)(4))0i f i f f f f ==⨯+++=∑．故选：D ．5．（2020·湖南开福·周南中学三模）已知偶函数()f x 满足(3)(3)f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()xf x xe-=，若关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，则实数t 的取值范围是（）A ．120,e -⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1322,3e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．3123,2e e --⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．112,2e e --⎡⎫⎪⎢⎣⎭【答案】B【解析】当[0,3]x ∈时，2()xf x xe =，22211122()x x xf x ee e x x ---⎛⎫-=- ⎪⎝⎭'=，当(2,3]x ∈时，()0f x '<，当[0,2)x ∈时，()0f x '>，所以函数()f x 在(2,3]x ∈单调递减，在2(]0,x ∈单调递增，(0)0f =，32(3)30f e -=>，又(3)(3)f x f x +=-，函数()f x 关于3x =对称，且是偶函数，所以()()f x f x =-，所以(3)(3)(3)f x f x f x +=-=-，所以函数周期6T =，关于x 的不等式2()()0f x tf x ->在[150,150]-上有且只有150个整数解，即()f x t >在[150,150]-上有且只有150个整数解，所以每个周期内恰有三个整数解结合草图可得：1322,3t e e --⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.故选：B.6．（2020·浙江西湖·学军中学高三三模）定义在R 上的奇函数()f x 满足()()2f x f x +=-，且当[]0,1x ∈时，()2cos xf x x =-，则下列结论正确的是（）A ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭B ．()20202019201832f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭C ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭D ．()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<<⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【答案】C【解析】∵f （x ）是奇函数；∴f （x+2）=f （-x ）=-f （x ）；∴f （x+4）=-f （x+2）=f （x ）； ∴f （x ）的周期为4；∴f （2018）=f （2+4×504）=f （2）=f （0），2019122f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,20207 312f f ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ∵x ∈[0，1]时，f （x ）=2x -cosx 单调递增；∴f(0)＜12f ⎛⎫⎪⎝⎭ ＜712f ⎛⎫⎪⎝⎭∴()20192020201823f f f ⎛⎫⎛⎫<< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故选C.7．（2020·陕西省商丹高新学校三模）若定义在R 上的函数()f x 满足()()2f x f x +=且[]1,1x ∈-时，()f x x =，则方程()3log f x x =的根的个数是A ．4B ．5C ．6D ．7【答案】A【解析】因为函数()f x 满足()()2f x f x +=，所以函数()f x 是周期为2的周期函数.又[1,1]x ∈-时，()||f x x =，所以函数()f x 的图象如图所示.再作出3log y x =的图象，易得两图象有4个交点，所以方程3()log ||f x x =有4个零点．故应选A ． 8．（2020·全国高三三模）已知函数()f x 的图象关于直线1x =对称，当211x x >>时，2121[()()]()0f x f x x x --<恒成立，设1()2a f =-，(2)b f =，()c f e =，则,,a b c 的大小关系为（）A ．c a b >>B ．c b a >>C ．b a c >>D ．a c b >>【答案】C【解析】：∵当x 2＞x 1＞1时，[f （x 2）-f （x 1）]（x 2-x 1）＜0恒成立， ∴()()()122121,1,,0x x x x f x f x ∀∈+∞>-<且，有， ∴f （x ）在（1，+∞）上单调递减，又∵函数f （x ）的图象关于直线x =1对称， ∴a=f （12-）=f (52),∵e>52>2>1, ∴f (e)<f (52)<f (2) 即b>a>c,故选：C.9．（2020·贵州黔东南·高三三模）已知函数()f x 的图象关于点()1,0对称，当1x >时，2()5f x x mx =-+，且()f x 在(,0)-∞上单调递增，则m 的取值范围为（） A ．[4,)+∞ B ．[2,)+∞C ．(,4]-∞D ．(,2]-∞【答案】C【解析】函数()f x 的图象关于点()1,0对称且在(,0)-∞上单调递增，所以()f x 在(2,)+∞上单调递增，所以对称轴22m≤，即4m ≤.故选：C 10．（2020·湖北黄州·黄冈中学三模）方程()222(1)(3)x xx x y e e ----=+的曲线有下列说法：①该曲线关于2x =对称； ②该曲线关于点(2,1)-对称；③该曲线不经过第三象限；④该曲线上有无数个点的横､纵坐标都是整数. 其中正确的是（） A ．②③ B ．①④ C ．②④ D ．①③【答案】D【解析】因为曲线方程为()222(1)(3)x xx x y e e ----=+，而220x x e e --+>恒成立，故等价于()()()22213x xx x y f x ee----==+.①因为()()()()21122xxx x f x f x e e-+-+==-+，故该曲线关于2x =对称；②要该曲线关于()2,1-对称，则需满足()()2212f x f x ++-=-，而由①中所求，显然()()22f x f x ++-不是常数，故该曲线不关于()2,1-对称； ③当0x <时，()()2130x x -->，且220x x e e --+>，则()0f x >恒成立，故该曲线不经过第三象限；④容易知()()()21,10,30f f f =-==，此外该曲线上没有其它横纵坐标都是整数的点. 事实上，本题可以利用导数和函数对称性可知，函数图像如下所示：，则容易知该曲线的各种性质. 故选：D.11．（2020·湖南长沙一中三模）设函数()f x 的定义域为R ，()()f x f x -=，()()2f x f x =-，当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，则函数()()g x cos x f x π-＝在区间13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上零点的个数为（） A ．3 B ．4 C ．5 D ．6【答案】C【解析】由()()f x f x -=，得()f x 的图象关于y 轴对称. 由()()2f x f x =-，得()f x 的图象关于直线1x =对称.当[]01x ∈，时，()3f x x ＝，所以()f x 在[]1,2-上的图象如图. 令()()0g x cos x f x π-=＝，得()cos x f x π=，两函数()y f x =与y cos x π=的图象在13,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的交点有5个.故选：C.12．（2020·云南省下关第一中学三模）已知定义在R 上的函数()f x 满足()()1f 3x f x +=-，且()3y f x =+为偶函数，若()f x 在()0,3内单调递减，则下面结论正确的是（）A ．()()()4.5 3.512.5f f f -＜＜B ．()()()3.5 4.512.5f f f -＜＜C ．()()()12.5 3.5 4.5f f f -＜＜D ．()()()3.512.5 4.5f f f -＜＜【答案】B【解析】∵函数()f x 满足()()13f x f x +=-，∴()()163f x f x +=-+=()1f x 1f x -=-（）， ∴f （x ）在R 上是以6为周期的函数，∴f （12.5）＝f （12+0.5）＝f （0.5），()()()4.5 4.56 1.5f f f -=-+=又()3y f x =+为偶函数，∴f （x ）的对称轴为x ＝3，∴f （3.5）＝f （2.5），又∵0＜0.5＜1.5＜2.5＜3，且()f x 在（0，3）内单调递减，∴f （2.5）＜f （1.5）＜f （0.5）即f （3.5）＜f （-4.5）＜f （12.5），故选B ．13．（2020·福建高三三模）已知定义在R 上的函数()f x 的对称中心为()2,0，且当[2,)x ∈+∞时，2()2f x x x =-+，则不等式()f x x >的解集为（）A．⎛ ⎝-⎭∞ B．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ C．⎫⎪⎝+⎭∞⎪ D．⎛ ⎝-⎭∞ 【答案】D【解析】依题意知()f x 图象关于点(2,0)对称，作出()f x 图象如图，可知()f x 在R 上为减函数，由图象可得(,2]x ∈-∞时，()(4)(2)(4)f x f x x x =--=--，由(2)(4)x x x x --=⇒=或x 舍去)，由图象可知()f x x >的解为⎛ ⎝-⎭∞，故选：D .14．（2020·广东濠江·金山中学高三三模）已知函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，若函数21x y x +=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y ，则()1mi i i x y =+=∑（）A ．0B ．mC ．2mD ．4m【答案】C【解析】因为函数()f x （x ∈R ）满足()()4f x f x -=-，即函数()f x （x ∈R ）满足()()22f x f x -+=，所以()y f x =是关于点(0,2)对称，函数21x y x +=等价于12y x =+，所以函数21x y x +=也关于点(0,2)对称，所以函数21x y x+=与()y f x =图像的交点为()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 也关于点(0,2)对称，故交点()11,x y ，()22,x y ，…，(),m m x y 成对出现，且每一对点都关于(0,2)对称，故()12121()()0422mi i m m i mx y x x x y y y m =+=+++++++=+⨯=∑. 故选：C.。

最全最详细抽象函数的对称性、奇偶性和周期性常用结论

（三）抽象函数的对称性与周期性 1、抽象函数的对称性
性质 1 若函数 y＝f(x)关于直线 x＝a 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质 2 若函数 y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(a＋x)＝－f(a－x) （2）f(2a－x)＝－f(x) （3）f(2a＋x)＝－f(－x)
（2）例题
1、 f (x) a x 关于点（ 1 ，1）对称： f (x) f (1 x) 1;
ax a
22
f
(x)
4x 2
1（ 0，1）对称：
f
(x)
f
(x)
2
f
(x)
1 x
1
(
R, x
0)关于（1 ，1）对称：f（x) 22
f
(1) x
1
2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称： f (x) f (x) 0 。
12、 y f (x) 有两个对称中心 (a,0) 和 (b,0) (b a) y f (x) 周期T 2(b a)
推论：奇函数 y f (x) 满足 f (a x) f (a x) y f (x) 周期T 4a
13、 y f (x) 有一条对称轴 x a 和一个对称中心 (b,0) (b a) f (x) 的T 4(b a)
3、若 f (x) f (2a x)或f (a x) f (a x), 则y f (x) 的图像关于直线 x a 对
称。设 f (x) 0有n个不同的实数根，则
x1 x2 xn x1 (2a x1) x2 (2a x2 ) xn (2a xn ) na .

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浅析对称性在求函数最值中的运用
孝感市第一高级中学陈雄飞
在数学的学习中，常常会遇到一些求函数最值的问题．最值问题除了可以运用函数知识解决以外，有时还可以通过运用数形结合，利用几何的方法——对称性来解决．
本文仅从以下几个方面谈谈对称性在几何中的应用，以求抛砖引玉．
一、距离之和的最小值问题
问题一、求函数()2216-48f x x x x =+++的最小值．
解：对于这类问题，在解题时，会遇到很大的难度，有时会变得束手无策．但是我们注意到，函数的形式，与解析几何中的两点间的距离公式很“像”，于是，我们不难将其变形整理得()2222(0)(04)(2)(02)f x x x =-+-+-+-．
∴()f x 即为点P (),0x 与点A ()0,4的距离与点P ()
,0x 与点B ()2,2的距离之和．即：()f x =PA PB +作A ()0,4关
于x 轴的对称点A '()0,4-．连结A B '与x 轴交于点P ，知
当(),0x 为点P 时， ()min f x PA PB PA PB A B ''=+=+=
220-2(-4-2)=40=210=+（）．推广1（平面）：例1．已知平面上两点A ()4,1和B ()3,3在直线:310l x y --=上找一点M ，使MA MB +最小，求点M 的坐标．
解：如图，因为点A,B 在直线l 的同侧，作点B 关于直线l 的对称点C, AC 与l 的交点为M,则MA MB +取得最小值．
设()00,C x y ，因为BC 被l 垂直平分，所以
00003(3)31022313
3x y y x ++⎧--=⎪⎪⎨-⎪=--⎪⎩ 从而可得直线AC 的方程为34160x y +-=与A A'
B x y O
P
310x y --=联立解得4,33
x y ==， ∴ M (43
, 3)．推广2（空间）：
例2．正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1的棱长为a, E 是AA 1的中点，在对角面BB 1D 1D 上取一点M ，使AM+ME 最小，最小值为________．
解：如图，因为A, E 在平面BB 1D 1D 的同侧，
在正方体中易知点A 关于平面BB 1D 1D 的对称点
为C ，则连接EC 与平面BB 1D 1D 的交点为M 时，
AM+ME 最小为EC ．
222213()(2)22
EC EA AC a a a =+=+=．说明：对于在直线(或平面)上求一点，使该
点到两定点距离之和为最小的问题，当两点在直
线(或平面)的同侧，可作出其中一点关于直线(或
平面)的对称点，再求对称点与另一点的距离．这
两点所在的直线与已知直线(或平面)的交点即为所求的点．
当两点在已知直线(或平面)的异侧，可直接连结这两点，则这两点间的距离即为所求最小值，这两点所在的直线与已知直线(或平面)的交点为所求的点．
推广3：涉及到多个点的距离之和的最小值，根据两点间直线段最短公理，知点共线时距离之和最小．
例3．二面角l αβ--的大小为60°，点P 到α的距离为2，到β的距离为3，,A B αβ∈∈，则PAB ∆的周长的最小值为_________．
解：作P 关于α，β对称点P 1,P 2,连结P 1,P 2
交平面α于A,交平面β于B ．
C △PAB =PA+AB+BP=P 1A+AB+BP 2=P 1P 2最小．
由二面角知识知∠P 1PP 2=180°-60°=120°,
PP 2=2×3=6，PP 1=2×2=4．
在12PPP ∆中由余弦定理有
22
1221122cos120PP PP PP PP PP =+-⋅⋅°
=76 ， ∴P 1P 2=219 , 则(C △PAB )min = P 1P 2=219．
二、距离之差的最大值问题
例１．求函数22()251f x x x x =-+-+的最大值．解：变形整理得2222()(1)(02)(0)(01)f x x x =-+---+-
∴()f x 即为点(,0)x 到点A (1,2)的距离与点(,0)x 到B(0,1)的距离之差．
点(,0)x 为x 轴上的动点，连结AB 与x 轴交于点P,当
点(,0)x 为点P 时，max ()f x =AB =2．
说明：对于在直线(或平面)上求一点使该点到两定
点距离之差最大的问题，如果两点在已知直线(或平面)
的同侧，可直接连接这两点，两点间的距离为最大值，
这两点所在直线与已知直线(或平面)的交点即为所求
的点．
如果两点在已知直线(或平面)的异侧，可作出其中一点关于直线(或平面)的对称点，再求对称点与另一点间的距离，这两点所在的直线与已知直线(或平面)的交点为所求点．
思考题：
1、正三棱锥P-ABC 的三条侧棱两两成40°角，侧棱
长为6，D,E 为PB,PC 上的点，则ABC ∆周长的最小值是
________．
2、直线2360x y +-=交,x y 轴于A,B 两点，试在直
线y x =上求一点P ，使得PA PB -最大，并求最大值．
参考答案：
1、分析：此题涉及求立体几何图形上几点间的距离之和的最小值问题。

应先化归成平面问题，然后根据点共线时距离最短求解．
解：将三棱锥P-ABC 沿棱PA 展开成平面图如右，ABC ∆的周长=AD+DE+EA.当点A,D,E 共线，即连结AA '与PB 交于点D ，与PC 交于
点E 时，距离之和最小．
∴ABC ∆的周长的最小值=AA '由题意PA =6,PA '=6,
APA APB BPC CPA ''∠=∠+∠+∠=120° ，
由余弦定理知AA '=63．
∴ABC ∆的周长的最小值为63
2、解：由题意知(3,0),(0,2)A B ，点B 关于直线y x =的对称点为(2,0)B ' ∴PA PB PA PB AB ''-=-≤=3-2=1，当且仅当P 与,B A '共线，又在y x =上，即P 为直线B A '(即x 轴)与y x =的交点(0,0)时，PA PB -最大且最大值为1．。