高等数学典型例题与应用实例(重积分B部分)

例 利用二重积分的性质，估计积分

2222(2)d D

x y x y σ+-⎰⎰ 的值，其中D 为半圆形区域22

4,0x y y +≤≥．

解 我们先求函数2

2

2

2

(,)2f x y x y x y =+-在区域22{(,)4,0}D x y x y y =+≤≥上的最大值和最小值．

由22

220,420,x y

f x xy f y x y '⎧=-=⎪

⎨'=-=⎪⎩解得D 内驻点为(2,1)±，(2,1)2f ±=． 在边界1:0L y =(22)x -≤≤上，2

()(,0)g x f x x ==在1L 上(,)f x y 的最大值为4，最小值为0．

在边界22

2:4L x y +=(0)y ≥上，

242()(,4)58(22)h x f x x x x x =-=-+-≤≤

由3

()4100h x x x '=-=得驻点123550,,22

x x x ==-

=，(0)(0,2)8h f ==． 5537

()(,)2224

h f ±

=±=． 综上，(,)f x y 在D 上的最大值为8，最小值为0．又D 的面积为2π，所以由二重积分的估值性质知

222202(2)d 82D

x y x y πσπ⋅≤+-≤⋅⎰⎰，

即

22220(2)d 16D

x y x y σπ≤+-≤⎰⎰．

例 设D 为xoy 平面上以(1,1),(1,1),(1,1)---为顶点的三角形区域，1D 为D 在第一象限的部分，则

(cos sin )(

)D

xy x y dxdy +=⎰⎰．

（A ）1

2

cos sin D x y dxdy ⎰⎰ （B ）1

2D xy dxdy ⎰⎰

（C ）1

4

(cos sin )D xy x y dxdy +⎰⎰ （D ）0

解 区域D 如图所示，并记0D 为以(1,1),(1,1),(0,0)-为顶点的三角

形区域，则0D 关于y 轴对称，且1D 为0D 在y 轴右侧的部分区域，区域0D D -关于x 轴对称．

又xy 关于x 和y 均为奇函数；而cos sin x y 关于x 为偶函数．关于y 为奇函数，由二重积分的奇偶对称性得

0,0D D D xy dxdy xy dxdy -==⎰⎰⎰⎰

，故0D

xy dxdy =⎰⎰；

1

cos sin 2cos sin ,cos sin 0D D D D x ydxdy x y dxdy x y dxdy -==⎰⎰⎰⎰⎰⎰

，

故

1

cos sin 2cos sin D

D x y dxdy x y dxdy =⎰⎰⎰⎰．

所以

1

(cos sin )cos sin 2cos sin D

D

D

D xy x y dxdy xy dxdy x y dxdy x y dxdy +=+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰．

因此我们选（A ）．

例 设区域}0,0,4),{(22≥≥≤+=y x y x y x D ，()f x 为D 上的正值连续函数，,a b 为

常数，则

D

σ= ．

解 由题意知，D 关于直线y x =对称，由二重积分轮换对称性得

D

σ

D

σ=

1

2D d σ=

⎰⎰ 211()π2π22242

D D a b a b a b a b d d σσ+++=

+==⋅⋅=⎰⎰⎰⎰． 因此，我们应填“π2

a b

+．”

例 计算二次积分

220

sin x

y

dx dy y

π

π

⎰

⎰

解 积分区域如图，则 原式20

sin y

y

dy dx y

π

=

⎰

⎰

2200sin sin sin y dy ydy ydy ππππ==+-⎰⎰⎰

4

=；

例设D为椭圆区域

22

(1)(2)

1

49

x y

--

+≤，计算二重积分()

D

x y dxdy

+

⎰⎰．解令

12cos,

23sin,

x r

y r

=+

⎧

⎨

=+

⎩

θ

θ

则D的极坐标表示为01,02

r

≤≤≤≤

θπ，且

(,)

6

(,)

x y

r

rθ

∂

=

∂

．由式(10.2.8)，可得

21

00

()6(32cos3sin)

D

x y dxdy d r r rdr

+=++

⎰⎰⎰⎰

π

θθθ

2

32

6(cos sin)18

23

d

=++=

⎰πθθθπ．

例计算二重积分⎰⎰+

D

y

x

y

x d

d)

(，其中D为.1

2

2+

+

≤

+y

x

y

x

解解法1 D的边界曲线为,2/3

2

1

2

12

2

=

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

+

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-y

x这是一个以⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

2

1

,

2

1

为圆心，

2

3

为半径的圆域，采用一般的变量代换，令

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

-

=

-

=

,

2

1

,

2

1

y

v

x

u

即作变换

⎪

⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

+

=

+

=

,

2

1

,

2

1

v

y

u

x

于是D变为.2/3

:2

2≤

+

'v

u

D

.1

1

1

)

,

(

)

,

(

=

=

∂

∂

=

v

u

y

x

J

所以，

()d d(1)1d d

D D

x y x y u v u v

'

+=++⋅⋅

⎰⎰⎰⎰（再用极坐标）