用待定系数法求数解析式
用待定系数法求函数解析式
• 二次函数的图象经过（0,0）(-1,-1), (1,9) 求这个函数的解析式
• 例题2：已知二次函数的图像的顶点坐标为 （1，-3），且与y轴交于（0，1）。试确 定此函数的解析式。
解：由题意可设抛物线的解析式为: y=a(x-1) 3
2
函数图像与y轴交于点（0， 1 ） 1=(0-1) 3 a 4
y x
y
y x
y
x x
y=a(x-h)²
y=ax²
y=a(x-h)² +k
y=ax² +c
例题1：已知二次函数图像经过点A（0，-1） B（1，0），C（-1，2），求这个函数的解 析式。
解：设二次函数的解析式为 y=ax 2 bx c 函数图像经过点Ａ（0,-1），Ｂ（1,0），Ｃ(-1,2) -１=ｃ ０=ａ＋ｂ＋ｃ ２=ａ-ｂ＋ｃ a 2 b 1 c 1 函数解析式为： y 2x2 x 1
课堂小结
确定二次函数解析式的一般方法是待定系数法， 在选择二次函数的关系式设成什么形式时，可以根据 题目的条件灵活选择，以简单为原则，一般地二次函 数的解析式可以设为如下三种形式： （1）一般式（三点式） y＝ax 2 bx c 当题目给出不特殊的三个点的坐标时，可用此式。
2
（2）顶点式 y a( x h) k 当题目给出两点且其中有一个为顶点时，可用此式。
2
y 4( x 1) 3
2
即：y 4 x 8x 1
2
例题3：已知二次函数的图像点A（1，0） , 1 3 B(3，0),C( ，- ），求这个函数的解析 2 2 式。
解：设抛物线的解析式为： y a ( x 1)( x 3) 1 3 抛物线经过点（ ，- ） 2 2 3 1 1 - a ( 1)( 3) 2 2 2 6 a 5 6 y ( x 1)( x 3) 5 6 2 24 18 即：y x x 5 5 5
待定系数法求函数解析式
已知顶点坐标或对称轴或最值，选择顶点式
已知抛物线与x轴的两交点坐标，选择交点式
例1、已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5）（－1, 0）三点，求这个函数的解析式？
解： 设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c
∵二次函数的图象过点（0,-3）（4，5）（－1, 0） a= 1 c=-3 解得 b=-2 16a+4b+c=5 ∴ x=0时,y=-3; a-b+c=0 c= -3
交点式： y=a(x-x1)(x-x2)
-1
o
1
x
顶点式： y=a(x-h)2+k
故所求的抛物线解析式为 y=- (x＋1)(x-1) 即：y=－x2+1
已知一个二次函数的图象过点（0,-3） （4,5） 对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式？
解：设所求的二次函数为 y=ax2+bx+c c=-3 依题意得 16a+4b+c=0 - b =1 2a
用待定系数法求函数的解析式的一般步骤
一、设 二、代 三、解 四、还原
用待定系数法确定二次函数的解析式时， 应该根据条件的特点，恰当地选用一种函数表达式。
二次函数常用的几种解析式
一般式 顶点式 交点式 y=ax2+bx+c (a≠0) y=a(x-h)2+k (a≠0) y=a(x-x1)(x-x2) (a≠0)
x=4时,y=5;
∴所求二次函数为 y=x2-2x-3
x=-1时,y=0;
最低点为（ x=1，y最值 1， =-4 -4）
例2、已知抛物线的顶点为（1，－4）， 且过点（0，－3），求抛物线的解析式？
考点02 求函数解析式的3种方法(解析版)
专题二 函数考点2 求函数解析式的3种方法【方法点拨】求函数解析式的常用方法1. 待定系数法：已知函数的类型，利用所给条件，列出方程或方程组，用待定系数法确定系数.2. 配凑法或换元法：已知复合函数f[g(x)]=F(x)的解析式，把F(x)配凑成关于g(x)的表达式，再用x 代替g(x)，称为配凑法；或者，直接令g(x)=t ，解方程把x 表示成关于t 的函数，再代回，称为换元法，此时要注意新元t 的取值范围.3解方程组法(或赋值法)：已知关于f(x)与f(1/x)或f(-x)的表达式，可通过对自变量的不同赋值构造出不同的等式通过解方程组求出f(x).【高考模拟】1．已知()f x 是偶函数,且当0x >时,2()f x x x =-,则当0x <时,()f x 的解析式为（ ） A ．2()f x x x =-B ．2()f x x x =--C ．2()f x x x =+D ．2()f x x x =-+【答案】C【分析】利用()f x 是偶函数，()()f x f x -=，当0x <，()2f x x x -=+，即可求得答案 【解析】设0x <，则0x ->，当0x >时,()2f x x x =- ()2f x x x ∴-=+，()f x 是偶函数，则()()f x f x -=()2f x x x ∴=+ ()0x <故选C【点睛】本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式，掌握解题方法，较为简单．2．已知幂函数()f x 的图象经过点()327，，则()f x 的解析式()f x =（ ）．A ．3xB ．3xC ．9xD ．3log x【答案】A【分析】 设幂函数解析式为()f x x α= ，将点()327，代入即可求解. 【解析】设幂函数为()f x x α= 函数经过点（3，27），273α∴= 解得3α=故()f x 的解析式()3f x x = 故选A【点睛】本题考查幂函数解析式的确定，是基础题；解题时需要认真审题，准确代入数值.3．若函数2()1x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数，则()f x 的解析式为（ ）． A ．2()1x f x x =-+ B ．2()1x f x x =+ C ．21()1x f x x +=+ D ．2()1x f x x x =++ 【答案】B【解析】【分析】由奇函数得()()f x f x -=-，代入后求出解析式【解析】函数()21x a f x x bx +=++在[]1,1-上是奇函数 ()()f x f x ∴-=-，即()()00f f -=-，()00f =，001a a ==， 即()21x f x x bx =++()()11f f -=-，1122b b -=--+ 解得0b =则()21x f x x =+ 故选B【点睛】 本题考查了函数奇偶性的运用，当奇函数定义域取到零时有()00f =，然后再赋值法求出解析式，较为基础。
求函数解析式方法
函 数 解 析 式 的 六 种 求 法一、 待定系数法：在已知函数解析式的构造时，可用待定系数法．它适用于已知所求函数类型（如一次函数，二次函数，正、反例函数等）及函数的某些特征求其解析式的题目。
其方法：已知所求函数类型，可预先设出所求函数的解析式，再根据题意列出方程组求出系数。
例1 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f ．二、配凑法：已知复合函数[()]f g x 的表达式，求()f x 的解析式，[()]f g x 的表达式容易配成()g x 的运算形式时，常用配凑法．但要注意所求函数()f x 的定义域不是原复合函数的定义域，而是()g x 的值域．例2 已知221)1(xx x x f +=+ )0(>x ，求 ()f x 的解析式．三、换元法：已知复合函数[()]f g x 的表达式时，还可以用换元法求()f x 的解析式．用来处理不知道所求函数的类型，且函数的变量易于用另一个变量表示的问题。
它主要适用于已知复合函数的解析式，但使用换元法时要注意新元定义域的变化，最后结果要注明所求函数的定义域。
例3 已知x x x f 2)1(+=+，求)1(+x f ．四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法．例4已知：函数)(2x g y x x y =+=与的图象关于点)3,2(-对称，求)(x g 的解析式．五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式． 例5 设,)1(2)()(x xf x f x f =-满足求)(x f ．例6 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，又,11)()(-=+x x g x f 试求)()(x g x f 和的解析式小结：消元法适用于自变量的对称规律。
互为倒数，如f(x)、1()f x ；互为相反数，如f(x)、f(-x)，通过对称代换构造一个对称方程组，解方程组即得f(x)的解析式。
待定系数法求解析式
待定系数法求函数解析式【要点梳理】一．已知三点求抛物线解析式例1 二次函数的图象经过点（1，4），（－1，0）和（－2，5），求二次函数的解析式．例2若抛物线经过A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标．二．已知顶点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例3 已知抛物线的顶点坐标是（－2，3）且过（－1，5），求抛物线的解析式．三．已知两点及对称轴，求抛物线解析式例4已知抛物线过A（1，0），B（0，－3）两点，且对称轴为直线x=2，求抛物线解析式．四．已知x轴上两点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例5若抛物线经过A（－2，0）和B（4，0），且与y轴交点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标．五．求平移后新抛物线解析式例6把抛物线2xy-=向左平移1个单位，然后向上平移3个单位，求平移后新的抛物线解析式．六．求沿坐标轴翻折后新抛物线解析式例7 在一张纸上作出函数322+-=xxy的图象，沿x轴把这张纸对折，描出与函数322+-=xxy的图象关于x轴对称的抛物线，并写出新抛物线解析式．【课堂操练】1．求下列条件下的二次函数解析式：（1）过点（－1，0），（0，2）和（4，0）．（2）顶点为（2，－3），且过点（－1，15）．2．已知二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，求它关于y轴对称的抛物线解析式．3．已知二次函数cbxaxy++=2的图象如图所示，求它关于x轴对称的抛物线解析式．4．已知二次函数cbxxy++=221的图象过点A（c，－2），，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=3，题目中横线上方部分是被墨水污染了无法辨认的文字．（1）根据已知和结论中现有信息，你能否求出题目中的二次函数解析式？若能，请写出解题过程；若不能，请说明理由．（2）请你根据已有的信息，在原题中的横线上添加一个适当的条件，把原题补充完整．【课后巩固】1．将抛物线2y x=的图像向右平移3个单位，则平移后的抛物线的解析式为___________．2．二次函数342++=xxy的图象可以由二次函数2xy=的图象平移而得到，下列平移正确的是（）A、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度B、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度C、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度D、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度3．已知2y ax bx c=++的图象过（－2，－6）、（2，10）和（3，24）三点，求函数解析式．4．已知函数2y ax bx c=++，当x＝1时，有最大值－6，且经过点（2，－8），求出此抛物线的解析式．5．已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标分别为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，求它的解析式．6．已知抛物线22(2)4y m x mx n =--+的对称轴是x ＝2，且它的最高点在直线112y x =+上，求此抛物线的解析式．7．已知抛物线2y ax bx c =++（a ≠0）经过 （0，1）和（2，－3）两点． （1）如果抛物线开口向下，对称轴在y 轴的左侧，求a 的取值范围．（2）若对称轴为x ＝－1，求抛物线的解析式．8． 二次函数图象过A 、B 、C 三点，点A 的坐标为（－1，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴正半轴上，且AB =OC ． （1）求C 的坐标；（2）求二次函数的解析式，并求出函数最大值．9．在平面直角坐标系中，△AOB 的位置如图所示．已知∠AOB ＝90°，AO =BO ，点A 的坐标为 (－3，1)．(1)求点B 的坐标，（2）求过A ，O ，B 三点的抛物线的解析式， （3）设点B 关于抛物线的对称轴的对称点为B l ，求△AB l B 的面积．10．已知点A （－2，－c ）向右平移8个单位得到 点A '，A 与A '两点均在抛物线2y ax bx c =++上， 且这条抛物线与y 轴的交点的纵坐标为－6，求这 条抛物线的顶点坐标．11．在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A （1，－4），且过点B （3，0）． （1）求该二次函数的解析式；（2）将该二次函数图象向右平移几个单位，可使平移后所得图象经过坐标原点？并直接写出平移后所得图象与x 轴的另一个交点的坐标．12．一次函数y ＝x －3的图象与x 轴，y 轴分别交于点A ，B ．一个二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象经过点A ，B ．（1）求点A ，B 的坐标，并画出一次函数y ＝x －3的图象；（2）求二次函数的解析式及它的最小值．13．在平面直角坐标系中，已知二次函数k x a y +-=2)1(的图像与x 轴相交于点A 、B ，顶点为C ，点D 在这个二次函数图像的对称轴上，若四边形ABCD 时一个边长为2且有一个内角为60°的菱形，求此二次函数的表达式．14．关于x 的函数22(4)22y x k x k =-+-+-以y 轴为对称轴，且与y 轴的交点在x 轴上方． （1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设A 是y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A 作AB 垂直于x 轴于点B ，再过点A 作x 轴的平行线交抛物线于点D ，过点D 作DC 垂直于x 轴于点C ，得到矩形ABCD ．设矩形ABCD 的周长为l ，点A 的横坐标为x ，试求l 关于x 的函数关系式； （3）当点A 在y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形ABCD 能否成为正方形．若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由．。
待定系数法求函数解析式
3、若点A(-1,1)在函数y=kx得图象上,
则这个一次函数得解析式为 y= -x 、
4、 如右图所示,直线得函数表达式就是(A )
Y
A、 y= -2x+1 B、
1
C、 y= -2x-1 yD=、2x+y1=2x-1
11 X
2
您会用所学知识解决生活中得问题吗?
5、生物学家研究表明: 某种蛇得长度y(cm)就是其尾长x(cm)得一次函数; 当蛇得尾长为 12cm时, 蛇得长为97cm; 当蛇得尾长为 6cm时, 蛇得长为49cm; 当蛇得尾长为10 cm时,这条蛇得长度就是多少?
画函数y=x+3得图象
(1，4) (0，3)
0
123 4 5 678
x
想一想:
通过复习,我们知道,画一次函数得 图像只需取两个点即可。
那么,聪明得您,想一想:
能否通过直线上得两个点来求这条 直线得解析式呢?
y
8 7 6 5 4 3 2 1
大家能否通过取直线上得 这两个点来求这条直线得 解析式呢?
2、小芳以200米／分得速度起跑后,先匀加速跑 5分钟,每分提高速度20米／分,又匀速跑10分钟、 试写出这段时间里她跑步速度y(米／分)随跑步 时间x(分)变化得函数关系式,并画出图象、
象这样先设待求得函数解析式(其中含有未知得 系数),再根据条件代入列出方程或方程组,解出未知系
数,从而具体写出关系式得方法,叫做待定系数法、 真棒！
已知一次函数得图象经过点(0,2)与(4,6)、
求这个一次函数得解析式、
解:设这个一次函数得解析式为y=kx+b、
∵y=kx+b得图象经过点(0,2)与(4,6)
A、 y=3x+1 B、 y=3x-1 C、 y=3x+2 D、 y=3x-2
求函数f(x)的解析式
例2 已知 f ( x 1) x 2 x ，求 f ( x )
2 解：令 t x 1，则 t 1 ， x (t 1)
f ( x 1) x 2 x
f (t ) (t 1) 2 2(t 1) t 2 1,
2
f ( x) x 1 ( x 1)
2 a x+ab+b f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=
a 2 4 ab b 3
a 2 a 2 或 b 1 b -3
f ( x) 2x 1 或 f ( x) 2x - 3
二、【换元法】
已知f（g(x)）,求f(x)的解析式，一般的可用换元法，具体为：令 t=g(x),在求出f(t)可得f（x）的解析式。换元后要确定新元t的取值 范围。
2
f ( x) ( x 1) 1
2
作业： 《全优课堂》 1、P23 例3 2、P24能力提高7
再
见
解：1、令x=1,y=0则有 f(1)-f(0)=2,由f(1)=0的f(0)=-2 。 2、令y=0则有 f(x)-f(0)=(x+1)x, 所以 f(x)=(x+1)x+2 .
求函数解析式的题型有：
（1）已知函数类型，求函数的解析式：待定系 数法；
（2）已知f(x)求f[g(x)]或已知f[g(x)]求f(x) ：换元法、 配凑法； （3）已知含有两个不同变量的函数的关系式： 列方程组法（消去法） （4）已知关系式中的变量可任意取值：赋值法
练习：
1、若f (3x 1) 4 x 3, 求f ( x)的解析式。 2、已知f ( x 1) x 1, 求f ( x)的解析式。
用待定系数法求解析式
例3．
练习3： 已知一元二次函数f(x)的图象经过点（３，８）,
且与x轴交于两点（－１,０）,（5,０）,求函数f(x)的
已解析解知：式由一。题元意可二设次函数函的数解析f式(x为)的f (图x) 象a(x经1)(过x 点5) （0，因3为）图且象经与过（X３轴，交８）于两点（1，0） ,（3，代入0）得 ,8求 a函(3数1)(3f5()x)的解析式。
所以 a 1
因此,函数的解析式为 f (x) (x 1)(x 5)
三、小结：
已知条件
已知一次函数经过两点 A(x0,y0)，B(x1,y1)
可设函数解析式为
f (x) kx b(k 0)
已知二次函数经过不重
合的三点A(x0,y0),B(x1,y1),
C(x2,y2)
f (x) ax2 bx c(a 0)
这种通过求待定系数来确定变量之间关系（函
数解析式）的方法叫做待定系数法。
二、典例讲解与练习：
例1、已知一元二次函数f(x)在x=-1,0,1处的函 数值分别为7，-1，-3，求这个函数 f(x)的解析 式。
练习1：
已知一元二次函数f(x),且x=0,-1,1 处的函数值分别为3, 6, 2,求这个函数 f(x)的解析式。
思考：
问题1： 一元二次函数 f(x)的图象的对称轴是直线x=2, 并且图象经过点P(2,0),Q(0,4)，求函数f(x)的解 析式。
问题2： 一元二次函数 f(x)满足 f(2+x)=f(2-x) , 且函数 有最大值2，与 y 轴交于点（0，-6），求函数 f(x)的解析式。
一、复习引入
１．已学的函数及其解析式：
①正比例函数： y k x
②反比例函数： ③一 ຫໍສະໝຸດ 函 数：y k xy kxb
用待定系数法求二次函数解析式
顶点式： y=a(x-h)2+k
例2
例题
封面
课 堂 练 习
封面 小结
02
顶点式：
y=a(x-h)2+k
一般式： y=ax2+bx+c
已知一元二次函数f(x)在x= -1，0，1处的函数值分别为7，-1，-3，求这个二次函数的解析式？ 已知一元二次函数g(x)的图象的顶点坐标为（1,2），并且经过点M（3，-4），求g(x)的解析式？
欢迎各位老师光临指导！
简约风年终工作总结
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用待定系数法 求二次函数的解析式
x
o
课 前 复 习
例 题 选 讲
课 堂 小 结
课 堂 练 习
用待定系数法求二次函数的解析式
y
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添加你的文数法？待定系数法 求函数解析式的一般步骤是什么？
1. 假设函数的解析式。
３．将所求系数值代回原函数解析式。
例题
封面
2．列方程(或方程组）求待定系数。
二次函数解析式有哪几种表达式？
”
课 前 复 习
思考
例题
封面
一般式：y=ax2+bx+c
顶点式：y=a(x-h)2+k 两根式：y=a(x-x1)(x-x2)
例 题 选 讲
一般式： y=ax2+bx+c
顶点式： y=a(x-h)2+k
解：
设所求的二次函数为y=ax2+bx+c
由条件得：
c=1 a+b+c=2 4a+2b+c=-1
用待定系数法求函数解析式用
经过点P（1,2）的一次函数的解析式，则这个一次
函数解析式为 y x 1 。
2、（2007年郴州）已知正比例函数y=kx经过点 P(1，2），求这个正比例函数的解析式为 y 2x 。
3、（2010年郴州）已知双曲线 （1，2）则双曲线的解析式为
y
k x
y
的图象经过A
2 。
x
展现 自我
1、（2013年郴州）已知：如图，一次函数的图
象与y轴交于C（0，3），且与反比例函数y= 2 的图象在第一象限内交于A，B两点，其中 x
A（1，a），求这个一次函数的解析式．1
这个一次函数的解析式y=-x+3
．
2、（2012年郴州）已知反比例函数的图象与 直线y=2x相交于A（1，a），求这个反比例 函数的解析式． 这个反比例函数的解析式为y= 2
（1）求抛物线的表达式； （2）、（3）待续
y 2 x2 11 x 4 33
方法点拔 看图找点 见形想式 建模求解
畅谈所得
感悟提升
通过本节课的复习你对用待 定系数法求函数解析式又有什么 新的认识？
轻松 应对
任选以下三个条件中的一个，求二次函数
y=ax2＋bx＋c的解析式； ① 0）已知直线上两个点的坐标
反比例函数
yy kk(k 0) xx
二次函数一般式 y=ax2+bx+c
已知双曲线上一个点的坐标 已知抛物线上三个点的坐标
二次函数顶点式 y＝a(x-h)2+k 已知抛物线顶点坐标（h, k）
二次函数交点式
y=a(x-x1)(x-x2)
已知抛物线与x 轴的两个交 点(x1,0)、 (x2,0),
高中数学：用待定系数法求函数的解析式
高中数学：用待定系数法求函数的解析式待定系数法是一种求未知数的方法。
一般用法是：将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，从而得到一个恒等式，然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，最后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式。
例1、已知一次函数y＝kx＋b（k，b为常数，），当x＝4时，y的值为9；当x＝2时，y的值为－3；求这个函数的关系式。
分析：将已知条件代入函数的解析式得到关于的方程再求解即可。
解：依题意得：∴y＝6x－15思考：一般地，函数关系式中有几个系数，就需要有几个等式才能求出函数关系式。
如，一次函数关系：那么，如果要确定二次函数的关系式，又需要几个条件呢？例2、已知二次函数的图象经过（0，1）、（2，4）、（3，10）三点，求这个二次函数的关系式。
分析：给出三个条件需要列三个等式，应设二次函数的解析式为一般式。
解：设函数的解析式为，则有解得∴y＝1.5x2－1.5x＋1例3、已知一个二次函数的图象经过点（0，1），它的顶点坐标为（8，9），求这个二次函数的关系式。
分析：本题的题目中给了顶点坐标，所以可设二次函数解析式为顶点式。
解：∵顶点坐标是（8，9）∴可设函数关系式为：y＝又∵函数图象经过点（0，1）∴a×＋9＝1 解得a＝∴函数关系式为：y＝（x－8）＋9例4、抛物线的图象经过（0，0）与（12，0）两点，其顶点的纵坐标是3，求它的函数关系式。
分析：根据抛物线的对称性，知顶点的坐标是（6，3）方法一：可设函数关系式为：再将（0，0）点的坐标代入得，解得，所以，所求抛物线解析式为方法二：设函数关系式为：由题意，得，解得所以，所求抛物线解析式为思考：利用已知条件求二次函数的解析式，常用的方法是待定系数法，但可根据不同的条件选用适当形式求的解析式。
如：（1）给出三点坐标，宜使用一般式：（2）已知抛物线的顶点坐标与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常用顶点式：▍▍ ▍▍。
用待定系数法求二次函数解析式
用待定系数法求二次函数解析式待定系数法是求解多项式解析式的有效途径，用来直接求出二次函数解析式的标准型可以以形如$ax^2+bx+c=0$来表示，其中$a,b,c$均为常数。
一、概述1.1 什么是待定系数法待定系数法是指针对未知数多项式的解析方程，通过形如$a_1x^2+a_2x+a_3=0$的解析方程的参数$a_1,a_2,a_3$的确定，来求解形如$ax^2+bx+c=0$的解析式。
1.2 待定系数法的步骤（1）将解析方程形如$ax^2+bx+c=0$的形式确定，将$a,b,c$的系数根据题目替换成未知数，形如$a_1x^2+a_2x+a_3=0$（2）据此，将问题转化为求令$Δ=b_1a_2-2a_1a_3=0$时$a_1,a_2,a_3$的值，其中$b_1$为给定数∵（3）如果$Δ ≠ 0$，有$a_1=Δ/b_1, a_2=2a_1a_3/b_1, a_3=Δ/b_1$（4）将$a_1,a_2,a_3$的值代回原式，可求出$a,b,c$的值（5）最终，得出答案。
二、例题例题1：已知$2x^2+bx+2=0$，求b的值解：由待定系数法可求解出$a_1=2,a_2=b,a_3=2$∴$b_1=2,Δ=2×b−2×2=b-4$∴令$Δ=b-4=0$，解得$b=4$∴$b=4$例题2：已知$2x^2-3x+c=0$，求c的值解：由待定系数法可求解出$a_1=2,a_2=-3,a_3=c$∴$b_1=2,Δ=2×(-3)−2×c=6-2c$∴令$Δ=6-2c=0$，解得$c=3$∴$c=3$三、探究（1）待定系数法的数据限制待定系数法用来求解的多项式解析方程为二次以下的情况，不能用来求解多次多项式方程。
（2）待定系数法的应用范围待定系数法普遍用于求解数学、物理、化学、经济学等学科中，会出现二次式解析方程的问题，它可以用来快速求解解析式，可以极大的节省计算的时间。
待定系数法求一次函数解析式例题
待定系数法求一次函数解析式例题
待定系数法是一种常用的求解一次函数解析式的方法。
它的基本思想是假设一次函数的解析式为一般形式的方程，然后通过给定的条件来确定待定系数的值，从而得到最终的解析式。
下面以一个例题来说明待定系数法的具体步骤：
已知一次函数过点(1, 3)和(2, 5)，求解析式。
假设一次函数的解析式为y = ax + b，其中a和b为待定系数。
根据已知条件，将两个点的坐标代入方程，得到两个方程：
(1) 3 = a(1) + b
(2) 5 = a(2) + b
解这个方程组，可以得到a和b的值。
首先，将方程(1)两边同时减去方程(2)两边，得到：
-2 = a(1) - a(2)
化简得：
-2 = -a
即：
a = 2
将a的值代入方程(1)或(2)中，可以得到b的值。
这里我们选取方程(1)：
3 = 2(1) + b
化简得：
3 = 2 + b
即：
b = 1
最终，将a和b的值代入一次函数的一般形式方程，得到所求的解析式：
y = 2x + 1
通过待定系数法，我们成功求解了一次函数的解析式。
这种方法的优点在于简单直观，适用于一次函数问题。
但需要注意的是，待定系数法只能用于求解一次函数的解析式，对于更高次的函数则不适用。
七种求法求函数解析式
七种求法求函数解析式七种求函数解析式的方法一、待定系数法：已知函数的解析式时，可以使用待定系数法构造函数。
例如，设$f(x)$是一次函数，且$f[f(x)]=4x+3$，求$f(x)$的解析式。
设$f(x)=ax+b(a\neq0)$，则$f[f(x)]=af(x)+b=a(ax+b)+b=a^2x+ab+b$。
根据题意，有$a^2=4$，解得$a=2$或$a=-2$。
再代入$f[f(x)]=4x+3$中，解得$b=1$或$b=3$。
因此，$f(x)=2x+1$或$f(x)=-2x+3$。
二、配凑法：已知复合函数$f[g(x)]$的表达式，求$f(x)$的解析式，可以使用配凑法。
但需要注意所求函数$f(x)$的定义域不是原复合函数的定义域，而是$g(x)$的值域。
例如，已知$f(x+1)=(x+1)^2-2$，求$f(x)$的解析式。
将$x$换成$x-1$，得$f(x)=(x-1)^2-2(x\geq2)$。
三、换元法：已知复合函数$f[g(x)]$的表达式时，可以使用换元法求$f(x)$的解析式。
与配凑法类似，需要注意所换元的定义域的变化。
例如，已知$f(x+1)=x+2x$，求$f(x)$的解析式。
令$t=x+1$，则$t\geq1$，$x=(t-1)$，$f(t)=(t-1)^2+2(t-1)=t^2-1$，因此$f(x)=x^2-1(x\geq1)$。
四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般使用代入法。
例如，已知函数$y=x+\sqrt{x}$与$y=g(x)$的图像关于点$(-2,3)$对称，求$g(x)$的解析式。
设$M(x,y)$为$y=g(x)$上任一点，且$M'(x',y')$为$M(x,y)$关于点$(-2,3)$的对称点，则$x'+x=-4$，$y'+y=6$，解得$y=-x-7+\sqrt{x+4}$，因此$g(x)=-x^2-7x-6$。
用待定系数法求二次函数解析式
精心整理
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用待定系数法求二次函数解析式
1、二次函数解析式常见形式：
（1）一般式：
（a,b,c 为常数，a 0）； （2）顶点式：
2（a,h,k 为常数，a 0）； （3
0） 2第一步，设：先设出二次函数的解析式，如：
或
或，其中a
03①当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数解析式为
；
③当已知抛物线与x 轴的两个交点（x 1，0），（x 2，0
）时，可设函数解析式为
二次函数与一元二次方程
1、二次函数与一元二次方程的转化：
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当二次函数的y 为定值时，二次函数化为一元二次方程。
例如，当y=0时，化为方程。
2、抛物线与x 轴交点个数可由方程根的情况来判断：
①当时，方程有两个不相等的实数根，抛物线与x轴有两个交点；
②当时，方程有两个相等的实数根，抛物线与x轴有一个交点；
③当
3、二次函数的
①当
②当
③当
精心整理。
函数解析式的8种求法
函 数 解 析 式 的 八 种 求 法一．待定系数法：（已知函数类型如：一次、二次函数、反比例函数等）若已知)(x f 的结构时，可设出含参数的表达式，再根据已知条件，列方程或方程组，从而求出待定的参数，求得)(x f 的表达式。
【例1】已知函数f(x)是一次函数，且满足关系式3f(x+1)-2f(x -1)=2x +17，求f(x )的解析式。
分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f(x+1)=?，f(x-1)=?解：设f(x)=ax+b(a≠0)，由条件得：3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=ax+5a+b=2x+17，∴f(x)=2x+7 【例2】求一个一次函数f(x)，使得f{f[f(x)]}=8x+7分析：所求的函数类型已定，是一次函数。
设f(x)=ax+b(a≠0)则f{f[f(x)]}=f{f[ax+b]}=f[a(ax+b)+b]=? 解：设f(x)=ax+b （a≠0)，依题意有a[a(ax+b)+b]+b=8x+7 ∴x a 3+b(2a +a+1)=8x+7，∴f(x)=2x+1例 设)(x f 是一次函数，且34)]([+=x x f f ，求)(x f 解：设bax x f +=)( )0(≠a ，则bab x a b b ax a b x af x f f ++=++=+=2)()()]([∴⎩⎨⎧=+=342b ab a ∴⎩⎨⎧⎩⎨⎧=-===3212b a b a 或 32)(12)(+-=+=∴x x f x x f 或 例、已知二次函数)(x f y =满足),2()2(--=-x f x f 且图象在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为22，求函数)(x f y =的解析式。
分析：二次函数的解析式有三种形式： ① 一般式：)0()(2≠++=a c bx ax x f② 顶点式：()为函数的顶点点其中k h a kh x a x f ,,0)()(2≠++=③ 双根式：的两根是方程与其中0)(,0))(()(2121=≠--=x f x x a x x x x a x f解法1：设)0()(2≠++=a cbx ax x f ，则由y 轴上的截距为1知：1)0(=f ，即c=1 ① ∴ 1)(2++=bx ax x f由)2()2(--=-x f x f 知：1)2()2(1)2()2(22+--+--=+-+-x b x a x b x a 整理得：0)4(=-x b a , 即： 04=-b a ②由被x 轴截得的线段长为22知，22||21=-x x ， 即84)()(21221221=-+=-x x x x x x . 得:814)(2=--aab .整理得： 2284a a b =- ③ 由②③得： 2,21==b a , ∴ 1221)(2++=x x x f .解法2：由)2()2(--=-x f x f 知：二次函数对称轴为2-=x ，所以设)0()2()(2≠++=a kx a x f ；以下从略。
待定系数法求二次函数解析式
待定系数法求二次函数解析式1.内容提要：二次函数解析式有三种表达形式，1.一般式：y=ax 2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数2.顶点式：y=a(x －h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，(h,k)为顶点坐标。
3.交点式：y=a(x －x 1)(x －x 2)；其中a≠0, a, x 1,x 2 为常数，x 1,x 2是抛物线与横轴两交点的横坐标.每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点：（1） 根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用y=a(x －h)2+k(a≠0)(简称顶点式)；已知抛物线与x 轴的两个交点(或与x 轴的一个交点及对称轴)，用y=a(x －x 1)(x －x 2)(a≠0)(简称两点式)；（2） 解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知直接确定某些系数；（3） 若题目给定二次函数解析式的某种形式(如y=ax 2+ bx+c=0 (a≠0))，那么最后的结果必须写成此种形式。
2.例题分析：(1)一般式法例1、已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，2)，C(2，－1)三点，那么这个二次函数的解析式是？解：设二次函数是y=ax 2+bx+c ，由已知函数图象过(0，1)，(1，2)，(2，－1)三点。
得：⎪⎩⎪⎨⎧-=++=++=12421c b a c b a c ， 解得：⎪⎩⎪⎨⎧==-=132c b a ∴ 函数解析式为y=－2x 2+3x+1.小结：因为过任意三点，可以用“一般式”，求解列出三元一次方程组，注意消元，求出a 、b 、c 值。
(2)顶点坐标法例2、某抛物线的顶点为(－2，3)，并经过点(－1，5)。
求此抛物线的解析式。
解：(方法一)设二次函解析式为：y=a(x －h)2+k ，其顶点是(h, k).∵顶点是(－2，3)，∴ y=a(x+2)2+3.又∵过(－1，5)点，∴ 5=a(－1+2)2+3.∴ a=2,∴ y=2(x+2)2+3, ∴ y=2x 2+8x+11.∴ 函数解析式为：y=2x 2+8x+11.小结：因为有顶点坐标，又过任意一点，可以用顶点式，分别代入顶点坐标，和任意一点坐标，求出a 值，结果写成一般式。
待定系数法求函数解析式
a b c 2 9a 3b c 5 4a 2b c 6 解出这个方程组即可
2. 顶点式：y=a (x－h)2＋k
y a x h k 2.设顶点式：________________. 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴 方程与最大值(或最小值)，将已知条件代入所 设顶点式，求出待定系数，最后将解析式化为 一般形式．
b b 2 4ac 则A( b b 4ac ,0 )，B( ,0） 2a 2a
2
因此AB= |a|
已知抛物线 y
a( x 2) 9在x轴上
2
截得的线段长是6，求a的值。
例1.若函数y= -mxm+1+2mx+3的图象是 抛物线，求m的值及函数解析式.
解：由题意得 m+1=2 -m≠0 ∴m=1 解析式为：y= -x2+2x+3
(1)在抛物线y= -x2+2x+3上是否存在点P（点
C除外），使△ABP面积等于△ABC面积?
解：假设存在满足条件的点P， y C 3 P 3 Q Ax
则作PQ⊥x轴∵ S△ABp = S△ABC, ∴ AB×PQ/2= AB×OC/2, -1 ∴ PQ=CO=3, ∴ |y|=3， B 0 ∴ 3= -x2+2x+3, ∴x1=0,x2=2 。 ∴p(2,3)
y x 0 x 0
y=ax2+bx
y
1、画出y= -x2+ຫໍສະໝຸດ x+3的图象，并分析它的性质
y 3 C M(1,4) • 与x 轴的交点： ∵y=0, ∴ -x2+2x+3=0， ∴x1=3,x2= _1 -1 H 3 B 0 1 A x ∴A (3,0),B(_1,0) •与y轴的交点： ∵x=0, ∴y=3, x=1 ∴C(0,3) •∵ y= _（x2_2x）+3 = _（x2_2x+1）+3+1 = _（x_1)2+4 ∴对称轴是直线x=1 •顶点坐标是M（1，4）
二次函数待定系数法求解析式
二次函数待定系数法求解析式
二次函数待定系数法是求解二次函数解析式的一种常用方法。
它的基本思想是：已知二次函数的某些性质或特征，根据这些性质或特征列出方程组，通过待定系数的方式求解二次函数的解析式。
具体来说，二次函数待定系数法的求解步骤如下：
1. 根据题目条件列出方程组。
2. 假设二次函数的解析式为 $y=ax^2+bx+c$，其中 $a$，$b$，$c$ 为待定系数。
3. 根据方程组解出 $a$，$b$，$c$ 的值，从而得到二次函数的解析式。
常用的二次函数待定系数法有以下几种：
1. 已知二次函数图像过某个点和另一个点的切线，求解析式。
2. 已知二次函数图像过三个点，求解析式。
3. 已知二次函数的对称轴和顶点坐标，求解析式。
4. 已知二次函数的零点和另一个点，求解析式。
5. 已知二次函数的一个根和一个点，求解析式。
6. 已知二次函数的一个根和对称轴的位置，求解析式。
二次函数待定系数法是数学中一个非常重要的方法，掌握它可以帮助我们更好地理解和应用二次函数。
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用待定系数法求数解析式
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用待定系数法求二次函数解析式
二次函数是初中数学主要内容之一，也是联系高中数学的重要纽带。
它是初中《代数》中“函数及其图象”中的难点，求二次函数的解析式又是重点。
求二次函数的解析式，要观察题目中给出的条件，灵活选用方法。
一般地，有三个点且点不是特殊点时，一般采用一般式；若有三个点，且有二点为函数图像与x 轴交点时，采用交点式；若有顶点时，一般采用顶点式。
同时，在采用交点式时，要注意二次项系数a 不能漏掉。
应根据题目的特点灵活选用二次函数解析式的形式，运用待定系数法求解。
即：根据已知条件列出关于a 、b 、c 或h 、k 及x 1、x 2的方程(注意有几个未知数就列出几个方程)；解方程组求出待定的系数；写出解析式，要化为一般式．
(1)一般式：y=ax 2+bx+c(a ≠0) ⑵顶点式：y=a(x-h)2＋k(a ≠0)，（h,k ）是抛物线顶点坐标。
(3)交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)(a ≠0)，x 1，x 2分别是抛物线与x 轴的两个交点的横坐标． 思路1、已知图象过三点，求二次函数的解析式，一般用它的一般形式： 较方便。
例1 图像过A(0，1),B(1，2),C(2，-1)三点，求这个二次函数的关系式．
解：分析：因为图像过三点，且三个点不属于特殊点。
因此，只能采用一般式求解。
设函数解析式为y=ax 2+bx+c ∵抛物线过（0，1），（1，2），（2，-1） c=1 ∴ a+b+c=2 4a+2b+c=-1
解之得a=-2，b=3，c=1； ∴函数解析式为y=-2x 2+3x+1
小结：此题是典型的根据三点坐标求其解析式，关键是：（1）熟悉待定系数法；（2）点在函数图象上时，点的坐标满足此函数的解析式；（3）会解简单的三元一次方程组。
思路2、已知顶点坐标，对称轴、最大值或最小值，求二次函数解析式，一般用它的顶点式 较方便。
例2 已知一个二次函数的图象过点（0，1），它的顶点坐标是（8，9），求这个二次函数的关系式．
分析 因为这个二次函数的图象的顶点是（8，9），因此，可以设函数关系式为y ＝a （x －8）2＋9． 根据它的图象过点（0，1），容易确定a 的值．
小结：此题利用顶点式求解较易，用一般式也可以求出，但仍要利用顶点坐标公式。
试一试，比较一下。
思路3、已知图象与 轴两交点坐标，可用交点 的形式，其中x 1、x 2， 为抛物线与 轴的交点的横坐标，也是一元二次方程 的两个根。
一般地，函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的横坐标即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解；当二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 的函数值为0时，相应的自变量的值即为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解，这一结论反映了二次函数与一元二次方程的关系。
所以，已知抛物线与x 轴的两个交点坐标时，可选用二次函数的交点式：y ＝a(x －x 1)(x －x 2)，其中x 1 ，x 2 为两交点的横坐标。
例3已知二次函数的图象过（-2，0）、（4，0）、（0，3）三点，求这个二次函数的关系式． 解 设所求二次函数为，y=a(x+2)(x-4)，由于这个函数的图象过（0，3），可以得到a(0+2)×(0-4)=3
解这个方程组，得a= -38 所以: y= -38(x+2)(x-4)= 233
384
x x -++.
所以，所求二次函数的关系式是y= 233
384
x x -++.
思路4、已知图象与 轴两交点间距离 ，求解析式，可用︱x 1-x 2︱2=（x 1+x 2）2 -2x 1x 2的形式来求，其中︱x 1-x 2︱ 为两交点之间的距离， x 1、x 2为图象与 轴相交的交点的横坐标。
4、二次函数的图象与 轴两交点之间的距离是2，且过（2，1）、（－1，－8）两点，求此二次函数的解析式。
思路5、由已知图象的平移求解析式，一般是把已知图象的解析式写成y=a(x-h)2＋k 的形式，若图象向左（右）移动m 个单位，括号里-h 的值就加（减）m 个单位；若图象向上（下）平移 n
个单位，k的值就加（减）n个单位，即左加右减，上加下减，平移后的抛物线形状不变，大小不变。
5、将抛物线y＝5(x－1)2＋3先向左平移2个单位，再向下平移4个单位后，得到抛物线的解析式
为__
检测题：根据下列条件求二次函数解析式
1、已知一个二次函数的图象经过了点A（0，－1），B（1，0），C（－1，2）；
2、已知抛物线顶点P(－1，－8)，且过点A(0，－6)；
3、二次函数图象经过点A（－1，0），B（3，0），C（4，10）；
3、已知二次函数的图象经过点（4，－3），并且当x=3时有最大值4；
4、已知二次函数的图象经过一次函数y＝－—x+3的图象与x轴、y轴的交点，且过(1，1)；
5、已知二次函数的图象过（－1，－9）、（1，－3）和（3，－5）三点；
6、二次函数当x=8时,函数有最大值9,且图象过点（0，1）
7、已知二次函数的图象经过(0，0)，(1，2)，(-1，-4)三点。
8、已知二次函数的图象顶点是（-1，2），且经过（1，-3）。
9、已知二次函数y＝x2＋px＋q的图象的顶点是(5，－2)。
10、已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象过A(0，－5)，B(5，0)两点，它的对称轴为直线x＝2。
11、已知二次函数图象与x轴交点（2,0）(-1,0)与y轴交点是（0，-1）。
12、已知抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点，它们的横坐标为-1和3，与y轴的交点C的纵坐标为3。
13、已知直线y=x-3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线经过A、B两点，且对称轴方程为x=1。
14、已知一抛物线与x轴的交点是A（-2，0）、B（1，0），且经过点C（2，8）。
15、已知抛物线的顶点在原点，且过点（2，8）；
16、已知抛物线的顶点是（－1，－2），且过点（1，10）；
17、已知抛物线过三点：（0，－2）、（1，0）、（2，3）．
18、已知抛物线过三点：（－1，0）、（1，0）、（0，3）．求函数关系式；写出开口方向、对称轴和顶点坐标；
19、已知抛物线的顶点在原点，且过点（3，－27）；
20、已知抛物线的顶点在（1，－2），且过点（2，3）；
21、已知抛物线过三点：（－1，2），（0，1），（2，－7）．
22、二次函数对称轴x=8,函数最大值9,且图象过点（0，1）。
2 3、已知抛物线的顶点（－1，－2）且图象经过（1，10）。
24、已知二次函数的图象经过原点，且当x＝1时，y有最小值－1。
25、已知二次函数的图象过（3，0）、（2，-3）、二点,且对称轴是x=1．
26．有一个抛物线形的拱形桥洞，桥洞离水面的最大高度为4 m，跨度为10 m．把它的截面边缘的图形放在如图所示的直角坐标系中．
求这条抛物线所对应的函数关系式；
如图，在对称轴右边1 m处，桥洞离水面的高是多少？
27．已知抛物线与x轴的两个交点的横坐标为x1=1，x2=2，且x=3时y=4．
(1)选择最简便的方法求解析式，并画出图象．
(2)指出图象的对称轴、顶点坐标以及开口方向．
(3)从图象上观察x在什么范围时，y随x的增大而增大；x在什么范围时，y随x的增大而减小．。