§1[1].3_线性规划的标准型

4x1 + x2 2x3 + x'4 x''4 = 2 x1 + x2 + 3x3 x'4 + x''4 + x5 =14 ' '' 2x1 + 3x2 x3 + 2x 4 2x 4 x6 = 2 x , x , x , x' , x'' , x , x ≥ 0 1 2 3 4 4 5 6
ai1x1 + ai 2 x2 +L+ ain xn ≥ bi
ai1x1 + ai 2 x2 +L+ ain xn xin+1 = bi
③若变量不满足“≥0”。 若变量不满足“ 。 当 x j ≤ 0，可记 x' j = xj , 用 x' j 代替 x j 无约束时， 当 x j 无约束时，可记
+x3 +x4 +x5
3x1+2x2+x3 x1 2x2 +x4
=18 =4
+x5=12
m z = 3x1 + 5x2 ax
3x1 + 2x2 ≤18 x ≤4 1 2x2 ≤12 x1, x2 ≥ 0
得到标准形： 得到标准形：
max z = 3 x1 + 5 x 2 + 0 x 3 + 0 x 4 + 0 x 5
m z = 3x1 + 4x2 2x3 + 5x4 in
4x1 x2 + 2x3 x4 = 2 x + x + 3x x ≤14 1 2 3 4 2x1 + 3x2 x3 + 2x4 ≥ 2 x1, x2 , x3 ≥ 0, x4无 约束
在第一个约束方程两端同乘-1； 解 ①在第一个约束方程两端同乘 ； ' '' ②令 x4 = x 4 x 4 ，其中 x'4 ≥ 0, x''4 ≥ 0; ③在第二个约束不等式左端加上松弛 变量 x5 ； ④在第三个约束不等式左端减去松弛 变量 x6 ； ⑤令 z' = z ；化 m z 为m z' 。 in ax 从而，该问题化为： 从而，该问题化为：
其中记号
表示≥， ， 三个符号之一 三个符号之一。 表示 ，=，≤三个符号之一。
目标函数可为最小值，也可为最大值。 目标函数可为最小值，也可为最大值。 约束条件可以是线性方程组， 也可以是线性不等式组。 约束条件可以是线性方程组， 也可以是线性不等式组。 标准形。 为讨论方便，用统一的形式—— 标准形。 为讨论方便，
线性规划的标准形
m z = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn ax
(1.1)
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn = b 1 a x + a x +L+ a x = b (1.2) 22 2 2n n 2 21 1 s.t. L L a x + a x +L+ a x = b m2 2 mn n m m1 1 (1.3) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,L, xn ≥ 0
A为系数矩阵；b是资源向量，C是价值向量，X为决策变量向量。 为系数矩阵； 是资源向量 是资源向量， 是价值向量 是价值向量， 为决策变量向量 为决策变量向量。 为系数矩阵
m z = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn ax
(1.1)
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn = b 1 (1.2)' a21x1 + a22x2 +L+ a2n xn = b2 s.t. L L a x + a x +L+ a x = b m2 2 mn n m m1 1 (1.3) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,L, xn ≥ 0 则线性规划标准形的矩阵表示为： 则线性规划标准形的矩阵表示为：
ai1x1 + ai 2 x2 +L+ ain xn ≤ bi
ai1x1 + ai 2 x2 +L+ ain xn + xin+1 = bi
当约束条件是“ ”不等式， 当约束条件是“≥”不等式，在“≥”不等式的左端 ” 减去一个非负松弛变量， 减去一个非负松弛变量，把“≥”不等式变为等式。 ”不等式变为等式。
目标函数z = CX可写成： 可写成： 目标函数 可写成
P 1 x 1 + P 2 x 2 + … + Pn x n = b 则线性规划标准形的向量表示为： 则线性规划标准形的向量表示为： max z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n s.t. P 1 x 1 + P 2 x 2 + … + P n x n = b, x j ≥0, j = 1 , 2 , … , n
§1.3 线性规划的标准型
线性规划问题的一般数学模型
源自文库
m (m )z = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn ax in
a x + a x2 +L+ a n xn 11 1 12 1 b 1 a x + a x +L+ a x 22 2 2n n 21 1 b2 L L a x + a x +L+ a x m2 2 mn n bm m1 1 , x ≥ 0, x2 ≥ 0,L xn ≥ 0 1
m z = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn ax
(1.1)
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn = b 1 a x + a x +L+ a x = b (1.2) 21 1 22 2 2n n 2 s.t. L L a x + a x +L+ a x = b m2 2 mn n m m1 1 (1.3) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,L, xn ≥ 0
m z = CX ax AX = b s.t. X ≥ 0
其中约定： ①b ≥ 0 ②秩A = m < n 。
m z = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn ax
(1.1)
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn = b 1 (1.2)' a21x1 + a22x2 +L+ a2n xn = b2 s.t. L L a x + a x +L+ a x = b m2 2 mn n m m1 1 (1.3) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,L, xn ≥ 0
约定
① bi ≥ 0
(i = 1,2,L, m);
② 约束方程组 约束方程组(1.2) 中不含有多余方程。 中不含有多余方程。
注：约定②意味着方程的个数不大于变量的个数。 约定②意味着方程的个数不大于变量的个数。
m (m )z = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn ax in
a x + a x2 +L+ a n xn 11 1 12 1 b1 a x + a x +L+ a x 22 2 2n n 21 1 b2 L L a x + a x +L+ a x m2 2 mn n bm m1 1 , x ≥ 0, x2 ≥ 0,L xn ≥ 0 1 将线性规划模型化为标准型的主要步骤： 将线性规划模型化为标准型的主要步骤：
m ax z = 3x + 5x2 1
3x + 2x2 ≤18 1 x ≤4 1 2x2 ≤12 x , x2 ≥ 0 1
x x 解 先引入三个松弛变量 x3、 4、 5 ,
在每个约束不等式中分别加上松弛变量使不等式化为等式， 在每个约束不等式中分别加上松弛变量使不等式化为等式，
3x1+2x2 ≤18 x1 ≤4 2x2 ≤12
线性规划问题标准形的矩阵表示：
a11 a12 L a a L A = 21 22 L L L am1 am2 L C = ( c1, c2 ,L, cn ) a1n b1 x1 b x a2n ,b = 2 , X = 2 M M L amn bm xn
z = 3x1 + 5x2
例2 将下列线性规划化成标准形。 将下列线性规划化成标准形。 m z = 3x1 + 4x2 2x3 + 5x4 in
4x1 x2 + 2x3 x4 = 2 x + x + 3x x ≤14 1 2 3 4 2x1 + 3x2 x3 + 2x4 ≥ 2 x1, x2 , x3 ≥ 0, x4无 束 约
m z = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn ax
(1.1)
a11x1 + a12x2 +L+ a1n xn = b 1 (1.2)' a21x1 + a22x2 +L+ a2n xn = b2 s.t. L L a x + a x +L+ a x = b m2 2 mn n m m1 1 (1.3) x1 ≥ 0, x2 ≥ 0,L, xn ≥ 0
①若要求目标函数的最小值
m z = c1x1 + c2 x2 +L+ cn xn , in
只需令z’=-z, 再求 的最大值 再求z’ 只需令
m z = c1x1 c2 x2 L cn xn。 ax
'
②若约束关系是不等式，引入松弛变量 若约束关系是不等式， (slackvariables) ,把不等式改成等式。 把不等式改成等式。 把不等式改成等式 当约束条件是“ ”不等式时， 当约束条件是“≤”不等式时，在“≤”不等式左端加 ” 入非负松弛变量， 把原“≤”不等式变为等式； 入非负松弛变量， 把原“ ”不等式变为等式；
线性规划问题的向量表示: 若 A = (P, P ,L, P ), 令 1 2 n
a1n a11 a12 a z = c 1 x 1 + c 2 x 2 + … + c n x n a a P = 21 , P = 22 ,L, P = 2n 1 n M 2 M M 此时约束方程 可写成： 可写成 a 此时约束方程AX=b可写成： a a m1 m2 mn
m z = 3x1 + 4x2 2x3 + 5x4 in
4x1 x2 + 2x3 x4 = 2 x + x + 3x x ≤14 1 2 3 4 2x1 + 3x2 x3 + 2x4 ≥ 2 x1, x2 , x3 ≥ 0, x4无 约束
标准型为： 标准型为： m z' = 3x1 4x2 + 2x3 5x'4 + 5x''4 ax
xj = x j x j ,
' ''
其中 x' j ≥ 0, x"j ≥ 0, 用x j
'
x j 代替 x j
''
注：任意实数都可以表示为两个非负实数的差， 任意实数都可以表示为两个非负实数的差， ④当bi≤0，则在约束方程两边同乘 。 ，则在约束方程两边同乘-1。
将下列线性规划化成标准形。 例1 将下列线性规划化成标准形。
3x1 + 2x2 + x3 x + x4 1 2x2 x1, x2 , x3 , x4 , x5 ≥ 0
=18 =4 + x5 =12
x x 注：加入的松弛变量 x3、 4、 5 ,
可以看成没有被利用的资源，当然不会产生利润， 可以看成没有被利用的资源，当然不会产生利润， 故在目标函数中的系数应为0。 故在目标函数中的系数应为 。 此时， 仍可简写为 此时，z仍可简写为