数学建模实验报告

湖南城市学院

数学与计算科学学院《数学建模》实验报告

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实验一 初等模型

实验目的：掌握数学建模的基本步骤，会用初等数学知识分析和解决实际问题。 实验内容：A 、B 两题选作一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。

A 题 飞机的降落曲线

在研究飞机的自动着陆系统时，技术人员需要分析飞机的降落曲线。根据经验，一架水平飞行的飞机，其降落曲线是一条S 形曲线。如下图所示，已知飞机的飞行高度为h ，飞机的着陆点为原点O ，且在整个降落过程中，飞机的水平速度始终保持为常数u 。出于安全考虑，飞机垂直加速度的最大绝对值不得超过g ／10，此处g 是重力加速度。

（1）若飞机从0x x 处开始下降，试确定出飞机的降落曲线； （2）求开始下降点0x 所能允许的最小值。

y

0x

一、

确定飞机降落曲线的方程

如图所示，我们假设飞机降落的曲线的方程为I

d cx bx ax x f +++=23)(

由题设有 h x f f ==)(,0)0(0。

由于曲线是光滑的，所以f(x)还要满足0)(,0)0(0='='x f f ，代入f(x)

可以得到

⎪⎪

⎩

⎪

⎪⎨

⎧=++='=+++==='==0

23)()(0)0(0)0(020*******c bx ax x f h d cx bx ax x f c f d f 得 ,0,0,3,22

3

===-

=d c x h b x h a

飞机的降落曲线为 )32()(2

30

2

0x x x x h x f --= 二、

找出最佳着陆点

飞机的垂直速度是关于时间t 的导数，所以

dt dx x x x x h dt dy )66(20

20--= 其中

dt dx 是飞机的水平速度，

,u dt

dx

= 因此 )(60

2

20x x x x hu dt dy --= 垂直加速度为

)12(6)12(6020

20202

2--=--=x x

x hu dt dx x x x hu dt y d 记 ,)(22dt y d x a =则126)(0

2

02-=x x

x hu x a ，[]0,0x x ∈ 因此，垂直加速度的最大绝对值为 2

26)(max x hu x a =

[]0,0x x ∈

设计要求

1062

2g x hu ≤

，所以g

h u x 600⋅≥ （允许的最小值）

实验二 优化模型

实验目的：理解优化模型的三要素，掌握优化模型建模求解步骤与方法。

实验内容：A 、B 中任选一题，C 、D 题中任选一题，撰写实验报告，包括问题分析、模型假设、模型构建、模型求解和结果分析与解释五个步骤。

A 题 梯子长度问题

一楼房的后面是一个很大的花园. 在花园中紧靠着楼房有一个温室,温室伸入花园2m,高3m,温室正上方是楼房的窗台. 清洁工打扫窗台周围,他得用梯子越过温室,一头放在花园中,一头靠在楼房的墙上. 因为温室是不能承受梯子压力的,所以梯子太短是不行的.清洁工只有一架7m 长的梯子,你认为它能达到要求吗? 能满足要求的梯子的最小长度为多少?

如图中所设，

设：梯子与地面角度为θ ，温室伸入花园的长度a=2m ，温室本身的高b=3m 梯子的长度为)(x f 。

根据题意结合图形，有

⎪⎩

⎪

⎨

⎧

=+=0)(sin cos )('x f b a x f θθ

解得

()

⎪⎩⎪⎨

⎧+==5

.13232m i n

3a r c t a n

b

a f a

b θ 其中 )2/,0(πθ∈

将温室伸入花园的长度a=2m ，温室本身的高b=3m ，代入上式

当145.1arctan 5.1arctan 3==θ时候，

梯子的长度最小

(

)

7.029

45

.13

3

min ≈+=

f

可知梯子的最小长度为7.02m ，7m 的梯子不能够做到。

C 题 选址问题

某公司拟在市东、西、南三区建立门市部，假设三个区共有7个位置点i A （7,,2,1 =i ）可共选择，且规定：

东区只能在1A ，2A ，3A 中至多选两个； 西区则在4A ，5A 中至少选一个；

南区则在6A ，7A 中至少选一个；

如选用i A ，设备投资估计为i b 万元，每年可获利润估计为i c 万元，问在投资总额不超过B 万元的条件下，怎样选址可使公司年利润最大？

假设投资总额1000=B 万元，设备投资估计

b 与每项投资每年获利i

c 见下表：

这是一个典型的0-1规划。假设i x 表示)7,...,1(=i A i 7个位置点，z 表示公司年利润，据题意我们可得到

⎪⎪⎪⎩⎪

⎪⎪⎨⎧==≤+≤+≤++≤++++++++++++=)

7,,1(1011210008010030020030018015016175553604625max 764532176543217

654321 i or x x x x x x x x x x x x x x x y y y y y y y z i

用LINGO 程序可求得其解。