2012全国各地中考数学压轴题精选(31-40)解析版

2012年各地中考数学压轴题精选31~40_解析版

【31. 2012娄底】

24．已知二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1＜x2，与y轴交于点C，且满足．

（1）求这个二次函数的解析式；

（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由．

考点：二次函数综合题。

分析：（1）欲求抛物线的解析式，关键是求得m的值．根据题中所给关系式，利用一元二次方程根与系数的关系，可以求得m的值，从而问题得到解决．注意：解答中求得两个m 的值，需要进行检验，把不符合题意的m值舍去；

（2）利用平行四边形的性质构造全等三角形，根据全等关系求得P点的纵坐标，进而得到P点的横坐标，从而求得P点坐标．

解答：解：（1）∵二次函数y=x2﹣（m2﹣2）x﹣2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B （x2，0），x1＜x2，

令y=0，即x2﹣（m2﹣2）x﹣2m=0 ①，则有：

x1+x2=m2﹣2，x1x2=﹣2m．

∴===，

化简得到：m2+m﹣2=0，解得m1=﹣2，m2=1．

当m=﹣2时，方程①为：x2﹣2x+4=0，其判别式△=b2﹣4ac=﹣12＜0，此时抛物线与x轴没有交点，不符合题意，舍去；

当m=1时，方程①为：x2+x﹣2=0，其判别式△=b2﹣4ac=9＞0，此时抛物线与x轴有两个不同的交点，符合题意．

∴m=1，

∴抛物线的解析式为y=x2+x﹣2．

（2）假设在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形．

如图所示，连接PA．PB．AC．BC，过点P作PD⊥x轴于D点．

∵抛物线y=x2+x﹣2与x轴交于A．B两点，与y轴交于C点，

∴A（﹣2，0），B（1，0），C（0，2），∴OB=1，OC=2．

∵PACB为平行四边形，∴PA∥BC，PA=BC，

∴∠PAD=∠CBO，∴∠APD=∠OCB．

在Rt△PAD与Rt△CBO中，

∵，

∴Rt△PAD≌Rt△CBO，

∴PD=OC=2，即y P=2，

∴直线解析式为y=x+3，

∴x P=﹣1，

∴P（﹣1，2）．

所以在直线y=x+3上存在一点P，使四边形PACB为平行四边形，P点坐标为（﹣1，2）．

点评：本题是代数几何综合题，考查了二次函数的图象与性质、抛物线与x轴的交点、一元二次方程根的解法及根与系数关系、一次函数、平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质等方面的知识，涉及的考点较多，有一定的难度．

【32. 2012福州】

22．(满分14分)如图①，已知抛物线y＝ax2＋bx(a≠0)经过A(3，0)、B(4，4)两点．

(1) 求抛物线的解析式；

(2) 将直线OB向下平移m个单位长度后，得到的直线与抛物线只有一个公共点D，求

m的值及点D的坐标；

(3) 如图②，若点N在抛物线上，且∠NBO＝∠ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足

△POD∽△NOB的点P的坐标(点P、O、D分别与点N、O、B对应)．

考点：二次函数综合题．

分析：(1) 利用待定系数法求出二次函数解析式即可；

(2) 根据已知条件可求出OB的解析式为y＝x，则向下平移m个单位长度后的解析式

为：y＝x－m．由于抛物线与直线只有一个公共点，意味着联立解析式后得到的一元二次方程，其根的判别式等于0，由此可求出m的值和D点坐标；

(3) 综合利用几何变换和相似关系求解．

方法一：翻折变换，将△NOB沿x轴翻折；

方法二：旋转变换，将△NOB 绕原点顺时针旋转90°．

特别注意求出P 点坐标之后，该点关于直线y ＝－x 的对称点也满足题意，即满足题意的P

解答

：解：(1) ∵ 抛物线y ＝ax 2＋bx (a ≠0)经过点A (3，0)、B (4，4)．

∴ ⎩⎨

⎧9a ＋3b ＝0

16a ＋4b ＝4，解得：⎩⎨⎧a ＝1

b ＝－3

．

∴ 抛物线的解析式是y ＝x 2

－3x ．

(2) 设直线OB 的解析式为y ＝k 1x ，由点B (4，4)，

得：4＝4k 1，解得k 1＝1．

∴ 直线OB 的解析式为y ＝x ．

∴ 直线OB 向下平移m 个单位长度后的解析式为：y ＝x －m ． ∵ 点D 在抛物线y ＝x 2－3x 上． ∴ 可设D (x ，x 2－3x )．

又点D 在直线y ＝x －m 上，

∴ x 2－3x ＝x －m ，即x 2－4x ＋m ＝0． ∵ 抛物线与直线只有一个公共点， ∴ △＝16－4m ＝0，解得：m ＝4． 此时x 1＝x 2＝2，y ＝x 2

－3x ＝－2， ∴ D 点坐标为(2，－2)．

(3) ∵ 直线OB 的解析式为y ＝x ，且A (3，0)，

∴ 点A 关于直线OB 的对称点A'的坐标是(0，3)．

设直线A'B 的解析式为y ＝k 2x ＋3，过点B (4，4)， ∴ 4k 2＋3＝4，解得：k 2＝1

4．

∴ 直线A'B 的解析式是y ＝1

4x ＋3．

∵ ∠NBO ＝∠ABO ， ∴ 点N 在直线A'B 上，

∴ 设点N (n ，1

4

n ＋3)，又点N 在抛物线y ＝x 2－3x 上，

第22题图①

第22题图②