高三数学(理科)试卷
高三年级数学(理科)试卷2
高三年级数学（理科）试卷2第I 卷（选择题 共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设集合{}{}{}====Q P ，Q P ，b a Q a og P 则若0,,1,32A. {}0,3B. {}103，，C. {}203，，D. {}2103，，，2. 如图，若一个空间几何体的三视图中，正视图和侧视图都是直角三角形，其直角边均为1，则该几何体的体积为 A.13 B.12 C.16 D.13.“=2πθ”是“曲线()sin y x θ=+关于y 轴对称”的 A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件4.在等差数列{}()()135792354n a a a a a a ++++=中，，则此数列前10项的和10S =A.45B.60C.75D.905. 设向量()()cos ,1,2,sin a b αα=-= ，若a b ⊥ ，则tan 4πα⎛⎫- ⎪⎝⎭等于 A.13- B.13 C.3- D.36. 直线022=+-y x 经过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的一个焦点和一个顶点，则椭圆的离心率为 A. 55 B. 21 C. 552 D. 32 7.若实数11.e a dx x =⎰则函数()sin cos f x a x x =+的图象的一条对称轴方程为A.0x =B.34x π=-C.4π-D.54x π=- 8. 函数sin x y x =，(,0)(0,)x ππ∈- 的图象可能是下列图象中的9. 设变量y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≥-+≥+-≤--01022022y x y x y x ，则11++=x y s 的取值范围是A. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡23,1B. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡1,21C. []2,1D. ⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,21 10. 已知函数()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为A ．3-B ．6-C ．3D ．3-第II 卷（共90分）二、填空题：（本大题共4小题，每小题4分，共16分.把正确答案填写在答题纸给定的横线上.）11. 已知点),(n m A 在直线022=-+y x 上，则nm 42+的最小值为 .12.已知F 是抛物线2y x =的焦点，M 、N 是该抛物线上的两点，3MF NF +=，则线段MN 的中点到x 轴的距离为__________.13. 圆C ：022222=--++y x y x 的圆心到直线01443=++y x 的距离是_______________.14. 已知函数()f x 的定义域为[]1,5-，部分对应值如下表，()f x 的导函数()y f x '=的图像如图所示，给出关于()f x 的下列命题：①函数()2y f x x ==在时，取极小值 ②函数()[]0,1f x 在是减函数，在[]1,2是增函数，③当12a <<时，函数()y f x a =-有4个零点 ④如果当[]1,x t ∈-时，()f x 的最大值是2，那么的最小值为0，其中所有正确命题序号为_________.三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.（本小题满分12分）已知数列{}n a 是递增数列，且满足1016·6253=+=a ，a a a 。
四川省泸县第四中学2022-2023学年高三上学期期末考试数学(理)试题含答案
四川省泸县四中高2023届高三上期末考试理科数学本试卷共4页。
考试结束后，只将答题卡交回注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。
2．选择题必须使用2B 铅笔填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}2A x x =<，{}230B x x x =-<，则A B ⋃=A ．()2,3-B ．()2,0-C ．()0,2D ．()2,32．若复数()()211i z x x =-++为纯虚数（i 为虚数单位），则实数x 的值为A ．-1B ．0C ．1D ．-1或13．某车间从生产的一批产品中随机抽取了1000个零件进行一项质量指标的检测，整理检测结果得此项质量指标的频率分布直方图如图所示，则下列结论错误的是A ．0.005a =B ．估计这批产品该项质量指标的众数为45C ．估计这批产品该项质量指标的中位数为60D ．从这批产品中随机选取1个零件，其质量指标在[)50,70的概率约为0.54．若实数x ，y 满足约束条件2301030x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎨⎪+-≥⎩，则2z x y =+的最小值为A ．1-B ．4C ．5D ．145．执行下面的程序框图，如果输出的n ＝4，则输入的t 的最小值为A ．14B ．18C ．116D ．1326．一个容器装有细沙3cm a ，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，min t 后剩余的细沙量为()3cm bt y ae -=，经过8min 后发现容器内还有一半的沙子，若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则需再经过的时间为A ．24min B ．26min C ．8min D ．16min7．已知α满足sin()4πα+2tan tan 1αα=+A ．3B ．﹣3C ．49D ．49-8．已知曲线322y x x x =-++在1x =处的切线为l ，若l 与222:250C x y ax a +-+-= 相切，则实数=a A ．2或3-B ．2-或3C ．2D ．39．在5道题中有3道理科试题和2道文科试题．如果不放回地依次抽2道题，则第一次和第二次都抽到理科题的概率是A ．25B ．12C ．35D ．31010．已知定义在R 上的偶函数()f x ，其导函数为()f x '，若()2()0xf x f x '->，(3)1f -=，则不等式()19f x x x <的解集是A ．(,3)(0,3)-∞- B ．()3,3-C ．(3,0)(0,3)-⋃D ．(,3)(3,)-∞-⋃+∞11．已知双曲线1C ：x y e =上一点11(,)A x y ，曲线2C ：1ln ()y x x m =+-(0)m >上一点22(,)B x y ，当12y y =时，对于任意1x ，2x 都有AB e ≥恒成立，则m 的最小值为A ．1e -B C ．1D ．1e +12．在三棱锥-P ABC 中，已知2PA AB AC ===，2PAB π∠=，23BAC π∠=，D 是线段BC 上的点，2BD DC =，AD PB ⊥．若三棱锥-P ABC 的各顶点都在球O 的球面上，则球O 的半径为A ．1B CD二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知椭圆22x y 12516+=，则椭圆的焦点坐标是______．14．某正三棱锥正视图如图所示，则侧视图的面积为_______．15．已知AB ，CD 是过抛物线28y x =焦点F 且互相垂直的两弦，则11AF BF CF DF+⋅⋅的值为__________.16．已知函数()sin()(0,)R f x x ωϕωϕ=+>∈在区间75,126ππ⎛⎫⎪⎝⎭上单调，且满足73124f f ππ⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．有下列结论：①203f π⎛⎫= ⎪⎝⎭；②若5()6f x f x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则函数()f x 的最小正周期为π；③关于x 的方程()1f x =在区间[)0,2π上最多有4个不相等的实数解；④若函数()f x 在区间213,36ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭上恰有5个零点，则ω的取值范围为8,33⎛⎤⎥⎝⎦．其中所有正确结论的编号为________．三、解答题：共70分。
巴蜀中学高三数学理科试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f（x）=x^3-3x+1，则f（x）的图像大致为：A. 上升的抛物线B. 下降的抛物线C. 直线D. 垂直线2. 若a、b、c是等差数列，且a+b+c=0，则下列结论正确的是：A. a+b+c=0B. a^2+b^2+c^2=0C. a^3+b^3+c^3=0D. a^2+b^2+c^2=abc3. 已知等比数列{an}的首项为2，公比为q，且q≠1，若a1+a2+a3+a4=24，则q的值为：A. 2B. 3C. 4D. 64. 已知函数f（x）=x^3-3x^2+4x，若f（x）在区间[0，2]上存在极值，则f（x）的极值点个数为：A. 1B. 2C. 3D. 45. 已知数列{an}的通项公式为an=3^n-2^n，则数列{an}的前n项和Sn为：A. 3^n-2^nB. 3^n-2^(n-1)C. 2^n-3^nD. 2^n-3^(n-1)6. 已知函数f（x）=ln(x+1)，则f（x）在区间（-1，+∞）上的单调性为：A. 单调递增B. 单调递减C. 先增后减D. 先减后增7. 已知数列{an}的通项公式为an=2n+1，则数列{an}的奇数项之和为：A. n^2+2nB. n^2+nC. n^2+2n+1D. n^2+n+18. 已知函数f（x）=x^2+2x+1，若f（x）在区间[1，2]上存在零点，则下列结论正确的是：A. f（1）=0B. f（2）=0C. f（1）≠0且f（2）≠0D. f（1）=0且f（2）=09. 已知等差数列{an}的首项为a1，公差为d，且a1+a2+a3+a4=24，则a1和d的关系为：A. a1+d=6B. a1+d=8C. a1+d=10D. a1+d=1210. 已知函数f（x）=x^3-3x^2+2x，若f（x）在区间（0，+∞）上存在极值，则f（x）的极值点个数为：A. 1B. 2C. 3D. 4二、填空题（每题5分，共25分）11. 已知函数f（x）=x^2-2x+1，若f（x）在区间[1，3]上的最大值为M，则M=______。
高三理科数学试卷(含答案)
理科数学试卷参考答案及评分标准本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共11页，满分150分，考试时间120分钟.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 注意事项：1. 答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、座号、准考证号、县区和科类填写在答题卡和试卷规定的位置上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置.2. 第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答案不能答在试卷上.3. 第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔在答题卡各题的答题区域内作答；不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效.4. 填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第Ⅰ卷(共60分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 设全集I 是实数集R ， 3{|2}{|0}1x M x x N x x -=>=≤-与都是I 的子集（如图所示）， 则阴影部分所表示的集合为A ．{}2x x <B ．{}21x x -≤<C ．{}12x x <≤D ．{}22x x -≤≤2．下列函数中既不是奇函数，又不是偶函数的是A ．2xy = B ． (lg y x =C ． 22xxy -=+ D ． 1lg1y x =+ 3．若曲线x x x f -=4)(在点P 处的切线平行于直线03=-y x ，则点P 的坐标为A ．（1，0）B ．（1，5）C ．（1，－3）D ．（－1，2）4．在ABC ∆中，a b 、分别是角A B 、所对的边，条件“a b <”是使 “cos cos A B >”成立的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件 5.422142x x dx -⎛⎫-++= ⎪⎝⎭⎰ A ．16 B ．18 C ．20 D ．226. 已知函数),6cos()6sin()(ππ++=x x x f 则下列判断正确的是A ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为12π=xB ．)(x f 的最小正周期为2π，其图象的一条对称轴为6π=xC ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为12π=xD ．)(x f 的最小正周期为π，其图象的一条对称轴为6π=x7. 一空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A．2π+ B．42π+ C．6π+ D．62π+ 8. 若直线:10 l ax by ++=始终平分圆M ：224210x y x y ++++=的周长，则()()2222a b -+-的最小值为AB ．5C．D ．109. 设b c 、表示两条直线，αβ、表示两个平面，下列命题中真命题是A ．若c ∥α，c ⊥β，则αβ⊥B ．若b α⊂，b ∥c ，则c ∥αC ．若b α⊂，c ∥α，则b ∥cD ．若c ∥α，αβ⊥，则c β⊥10.已知数列{}n x 满足3n n x x +=，21||()n n n x x x n N *++=-∈，若11x =，2 (1,0)x a a a =≤≠，则数列{}n x 的前2010项的和2010S 为A ．669B ．670C ．1338D ．134011. 在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，设向量).3,1(),1,3(,,====其中若10,≤≤≤+=μλμλ且，C 点所有可能的位置区域用阴影表示正确的是俯视图正视图侧视图（第7题图）A ．B ．C ．D ．12．已知点F 是双曲线)0,0(12222>>=-b a by a x 的左焦点，点E 是该双曲线的右顶点，过F 且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A B 、两点，若ABE ∆是锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是A ． ()1,+∞B ．()1,2C．(1,1+D．(2,1+第Ⅱ卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分. 13. 对任意非零实数a b 、，若a b ⊗的运算原理如图所示，则()221log 82-⎛⎫⊗= ⎪⎝⎭___1___．14．在ABC ∆中，已知41AB AC ==，，ABCS AB AC ∆=⋅则的值为 ±2 ．15. 设n S 表示等差数列{}n a 的前n 项和，且918S =，240n S =，若()4309n a n -=>，则n = 15 ．16. 已知两个不相等的实数a b 、满足以下关系式：204a sin a cos πθθ⋅+⋅-=，204b sin b cos πθθ⋅+⋅-=，则连接A ()2a ,a 、 B ()2b ,b 两点的直线与圆心在原点的单位圆的位置关系是 相交 ． 三、解答题：本大题共6个小题，共74分. 17．（本小题满分12分）已知函数2()sin cos f x x x x =． （Ⅰ）求()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值． 解：（Ⅰ）∵2()sin cos f x x x x =+)12sin cos cos 212x x x =⋅++（第13题图）1sin 2cos 2222x x =++ ……………3分sin 23x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭ ……………5分 ∴ 函数()f x 的最小正周期22T ππ==． ……………6分 （Ⅱ）∵ 62x ππ-≤≤，40233x ππ≤+≤∴sin 213x π⎛⎫≤+≤ ⎪⎝⎭， ……………9分 ∴0sin 213x π⎛⎫≤++≤= ⎪⎝⎭， ∴ ()f x 在区间,62ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值为22，最小值为0．……………12分 18．（本小题满分12分）已知等腰直角三角形RBC ，其中∠RBC =90º， 2==BC RB ．点A 、D 分别是RB 、RC 的中点，现将△RAD 沿着边AD 折起到△PAD 位置，使PA ⊥AB ，连结PB 、PC ． （Ⅰ）求证：BC ⊥PB ；（Ⅱ）求二面角P CD A --的余弦值． 解：（Ⅰ）∵点D A 、分别是RB 、RC 的中点，∴ BC AD BC AD 21//=且. …… 2分∴ ∠090=∠=∠=RBC RAD PAD . ∴ AD PA ⊥又PA ⊥AB ，DA AB A =∴ ABCD PA 面⊥ ∴BC PA ⊥ ∵ A AB PA AB BC =⊥ ,,∴ BC ⊥平面PAB . …… 4分 ∵ ⊂PB 平面PAB ,∴ PB BC ⊥. …… 6分 （Ⅱ）法一：取RD 的中点F ，连结AF 、PF ．PCADBR(第18题图)∵ 1==AD RA ,∴ RC AF ⊥.又由（Ⅰ）知ABCD PA 面⊥, 而⊂RC 平面ABCD ,∴ RC PA ⊥. ………………… 8分 ∵ ,A PA AF= ∴ ⊥RC 平面PAF .∴ ∠AFP 是二面角P CD A --的平面角. ………………10分 在Rt △RAD 中, 22212122=+==AD RA RD AF ， 在Rt △PAF 中, 2622=+=AF PA PF ， ∴ 332622cos ===∠PF AF AFP . ………………11分 ∴ 二面角P CD A --的平面角的余弦值是33. ………………12分 （Ⅱ）法二：建立如图所示的空间直角坐标系xyz A -． 则D （－1，0，0），C （－2，1，0），P （0，0，1）.∴=（－1，1，0）， =（1，0，1）, ……8分 设平面PCD 的法向量为),,(z y x n =，则n DC x y n DP x z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=+=⎪⎩……10分 令1=x ，得1,1-==z y ， ∴ )1,1,1(-=n.FR ADBCP （第18题图）R（第18题图）显然，是平面ACD 的一个法向量=（,0,01-）．∴ cos<n ，33131=⨯=． ∴ 二面角P CD A --的余弦值是33. ………………12分 19．（本小题满分12分）已知数列{}n a 的首项15a =，前n 项和为n S ，且125n n S S n +=++()n N *∈．（Ⅰ）设1n n b a =+，求数列{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列{}n a 的前n 项和n S ． 解：（Ⅰ）由125n n S S n +=++()n N *∈得 ()1215n n S S n -=+-+(,2)n N n *∈≥两式相减得 121n n a a +=+ ……………………………… 3分 ∴ ()1121n n a a ++=+即 n n b b 21=+(,2)n N n*∈≥ …………………………………… 4分 又1165111122=+=++=-=a S S S a ∴ 12122=+=a b ，6111=+=a b∴ 122b b = …………………………………… 6分 ∴ 数列{}n b 是首项为6，公比为2的等比数列 ∴ n n n b 23261⋅=⋅=- ………………………………… 8分（Ⅱ）法一由（Ⅰ）知321nn a =⋅- ……………………………… 9分 ∴ 12n n S a a a =++⋅⋅⋅+2323232nn =⨯+⨯+⋅⋅⋅+⋅- ……………………………10分()221321n n -=⨯--1626326n n n n +=⋅--=⋅--． ……………………… 12分（Ⅱ）法二由已知125n n S S n +=++()n N *∈ ① 设()()112n n S c n d S cn d ++++=++ 整理得 12n n S S cn d c +=++- ②对照① 、②，得 1,6c d == ……………………………………8分 即①等价于 ()()11626n n S n S n ++++=++∴ 数列{}6n S n ++是等比数列，首项为11161612S a ++=++=，公比为2q = ∴ 11612232n n n S n -+++=⋅=⋅∴ 1326n n S n +=⋅--． …………………………………… 12分20．（本小题满分12分）如图所示，将一矩形花坛ABCD 扩建成一个更大的矩形花坛AMPN ，要求B 点在AM 上，D 点在AN 上，且对角线MN 过C 点，已知3=AB 米，2=AD 米．（I ）要使矩形AMPN 的面积大于32平方米，则DN 的长应在什么范围内？ （II ）当DN 的长度是多少时，矩形花坛AMPN 的面积最小？并求出最小值． 解：（I ）设DN 的长为x （0x >）米，则2AN x =+米∵AMDC ANDN =，∴()32x AM x+=， ……………………2分∴ ()232AMPN x S AN AM x+=⋅=由32>AMPN S 得()23232x x+> ，(第20题图)又0x >，得 2320120x x -+>，解得：2063x x <<> 或 即DN 长的取值范围是2(0)(6)3∞ ，，+ ……………………7分（II ）矩形花坛AMPN 的面积为()22323121212312x x x y x xx x+++===++1224≥= ……………………10分 当且仅当1232x x ,x==即时矩形花坛AMPN 的面积取得最小值24． 故，DN 的长度是2米时，矩形AMPN 的面积最小，最小值为24平方米．…12分 21．（本小题满分12分）已知函数22()ln ()f x x a x ax a R =-+∈．（Ⅰ）当1a =时，证明函数()f x 只有一个零点；（Ⅱ）若函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，求实数a 的取值范围． 解：（Ⅰ）当1a =时，2()ln f x x x x =-+，其定义域是(0,)+∞∴ 2121()21x x f x x x x --'∴=-+=- …………2分令()0f x '=，即2210x x x ---=，解得12x =-或1x =． 0x >Q ，∴ 12x ∴=-舍去． 当01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<．∴ 函数()f x 在区间()01,上单调递增，在区间()1,+∞上单调递减 ∴ 当x =1时，函数()f x 取得最大值，其值为2(1)ln1110f =-+=． 当1x ≠时，()(1)f x f <，即()0f x <．∴ 函数()f x 只有一个零点． ……………………6分（Ⅱ）显然函数22()ln f x x a x ax =-+的定义域为(0,)+∞∴ 222121(21)(1)()2a x ax ax ax f x a x a x x x-++-+-'=-+== ………7分① 当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ② 当0a >时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即1x a≥ 此时()f x 的单调递减区间为1,a ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭．依题意，得11,0.a a ⎧≤⎪⎨⎪>⎩解之得1a ≥．………10分③ 当0a <时，()()00f x x '≤>等价于()()()21100ax ax x +-≥>，即12x a≥- 此时()f x 的单调递减区间为12,a ⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭， ∴1120a a ⎧-≤⎪⎨⎪<⎩得12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 法二：①当0a =时，1()0,()f x f x x'=>∴在区间()1,+∞上为增函数，不合题意……8分 ②当0a ≠时，要使函数()f x 在区间()1,+∞上是减函数，只需()0f x '≤在区间()1,+∞上恒成立，0x > ∴只要22210a x ax --≥恒成立，2214210aa a a ⎧≤⎪∴⎨⎪--≥⎩解得1a ≥或12a ≤-综上，实数a 的取值范围是1(,][1,)2-∞-+∞U …………12分 22．（本小题满分14分）已知椭圆C 中心在原点、焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点的最大值为3，最小值为1．（Ⅰ）求椭圆C 的标准方程；（Ⅱ）若直线l ：()0y kx m k =+≠与椭圆交于不同的两点M N 、（M N 、不是左、右顶点），且以MN 为直径的圆经过椭圆的右顶点A ．求证：直线l 过定点，并求出定点的坐标． 解：（Ⅰ）设椭圆的长半轴为a ，半焦距为c ，则31a c a c +=⎧⎨-=⎩ 解得 21a c =⎧⎨=⎩∴ 椭圆C 的标准方程为 22143x y +=． ………………… 4分（Ⅱ）由方程组22143x y y kx m⎧⎪+=⎨⎪=+⎩ 消去y ，得()2223484120k xk m x m +++-= 由题意：△()()()22284344120km km=-+->整理得：22340k m +-> ① ……7分 设()()1122,,M x y N x y 、，则122834kmx x k+=-+， 212241234m x x k -=+………………… 8分 由已知，AM AN ⊥ ， 且椭圆的右顶点为A (2,0) ∴()()1212220x x y y --+=………………… 10分即 ()()()2212121240kx x km x x m++-+++=也即 ()()22222412812403434m km k km m k k--+⋅+-⋅++=++ 整理得： 2271640m mk k ++= 解得： 2m k =- 或 27km =-，均满足① ……………………… 12分 当2m k =-时，直线l 的方程为 2y kx k =-，过定点(2,0)，舍去当27k m =-时，直线l 的方程为 27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，过定点2(,0)7，故，直线l 过定点，且定点的坐标为2(,0)7．……………………… 14分。
学科网高三数学理科试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，在实数域内单调递增的是（）A. y = -x^2B. y = 2x - 3C. y = x^3D. y = -2x + 52. 已知函数f(x) = x^2 - 4x + 4，则f(x)的对称轴方程为（）A. x = 2B. x = -2C. y = 2D. y = -23. 在等差数列{an}中，若a1 = 3，d = 2，则a10的值为（）A. 19B. 21C. 23D. 254. 若复数z满足|z - 1| = 2，则复数z的取值范围对应的图形是（）A. 圆B. 矩形C. 正方形D. 菱形5. 已知向量a = (2, 3)，向量b = (-1, 2)，则向量a与向量b的夹角θ的余弦值为（）A. 1/5B. 2/5C. 3/5D. 4/56. 若等比数列{an}中，a1 = 2，公比q = 3，则数列的前5项和S5为（）A. 62B. 66C. 72D. 787. 已知函数y = ax^2 + bx + c的图像开口向上，且顶点坐标为(-1, 2)，则a、b、c的取值分别为（）A. a > 0, b < 0, c = 2B. a > 0, b > 0, c = 2C. a < 0, b < 0, c = 2D. a < 0, b > 0, c = 28. 在三角形ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a = 3，b = 4，c = 5，则角A的余弦值为（）A. 3/5B. 4/5C. 5/5D. 5/49. 已知函数f(x) = log2(x + 1)，则f(x)的定义域为（）A. (-1, +∞)B. [-1, +∞)C. (-∞, -1]D. (-∞, +∞)10. 若不等式x^2 - 2x - 3 < 0的解集为A，则不等式x^2 - 2x - 3 > 0的解集为（）A. AB. -AC. A的补集D. -A的补集二、填空题（每题5分，共50分）11. 若函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1在x = 1处取得极值，则该极值为______。
2024届高三数学仿真模拟卷(全国卷)(理科)(考试版)
2024年高考第三次模拟考试高三数学（理科）（考试时间：120分钟试卷满分：150分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上．2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．写在本试卷上无效．3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．4．测试范围：高考全部内容5．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合{}24A x x =-≤≤，{}260B x x x =-≥，则A B = （）A ．[]2,0-B ．[]0,4C ．[]2,6-D ．[]4,62．已知3i 2z a =（R a ∈，i 是虚数单位），若21322z =，则=a （）A ．2B ．1C ．12D ．143．如图，已知AM 是ABC 的边BC 上的中线，若AB a=，AC b = ，则AM 等于（）A ．()12a b- B ．()12a b-- C ．()12a b+ D ．()12a b-+ 4．已知函数()()πtan 0,02f x x ωϕωϕ⎛⎫=+><< ⎝⎭的最小正周期为2π，直线π3x =是()f x 图象的一条对称轴，则()f x 的单调递减区间为（）A ．()π5π2π,2πZ 66k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦B ．()5π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦C ．()4ππ2π,2πZ 33k k k ⎛⎤--∈ ⎥⎝⎦D ．()π2π2π,2πZ 33k k k ⎛⎤-+∈ ⎥⎝⎦5．已知直线l 过点()1,1A 交圆22:4O x y +=于,C D 两点，则“CD =l 的斜率为0”的（）A ．必要而不充分条件B ．充分必要条件C ．充分而不必要条件D ．即不充分也不必要条件6．甲、乙、丙、丁、戊共5名同学进行唱歌比赛，决出第一名到第五名．丙和丁去询问成绩，回答者对丙说：很遗憾，你和丁都没有得到冠军，对丁说：你当然不会是最差的从这两个回答分析，5人的名次排列方式共有（）A ．24种B ．54种C ．96种D ．120种7．函数()πln sin 2x x f x x⎛⎫⋅- ⎪⎝⎭=的部分图象大致为（）A ．B ．C．D．8．祖暅是我国南北朝时期伟大的数学家．祖暅原理用现代语言可以描述为“夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等”．例如，可以用祖暅原理推导半球的体积公式，如图，底面半径和高都为R 的圆柱与半径为R 的半球放置在同一底平面上，然后在圆柱内挖去一个半径为R ，高为R 的圆锥后得到一个新的几何体，用任何一个平行于底面的平面α去截这两个几何体时，所截得的截面面积总相等，由此可证明半球的体积和新几何体的体积相等．若用平行于半球底面的平面α去截半径为R 的半球，且球心到平面α的距离为2R ，则平面α与半球底面之间的几何体的体积是（）A3R B3R C3R D3R9．已知函数()21e 3ln ,ln ,ln ,ln 222f x x a f b f c f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则（）A ．a b c <<B ．b a c <<C ．c<a<bD ．a c b<<10．已知数列{}n a 满足1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩当为偶数时当为奇数时，若81a =，1a 的所有可能取值构成集合M ，则M 中的元素的个数是（）A ．7个B ．6个C ．5个D ．4个11．如图，已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的左、右焦点分别为1(,0)F c -，2(,0)F c ，点A 在C 上，点B 在y 轴上，A ，2F ，B 三点共线，若直线1BF1AF的斜率为，则双曲线C 的离心率是（）AB ．32CD ．312．已知()f x ，()g x 都是定义在R 上的函数，对任意x ，y 满足()()()()()f x y f x g y g x f y -=-，且()()210f f -=≠，则下列说法正确的是（）A ．()01f =B ．函数()21g x +的图象关于点()1,0对称C ．()()110g g +-=D ．若()11f =，则()202311n f n ==∑第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13．已知数列{}n a 的前n 项和2n S n n =+，当9n nS a +取最小值时，n =.14．若函数()sin 1f x x x ωω=-在[]0,2π上恰有5个零点，且在ππ[,415-上单调递增，则正实数ω的取值范围为.15．已知52345012345(23)x a a x a x a x a x a x +=+++++，则123452345a a a a a -+-+=．（用数字作答）16．已知定义在R 上的函数()f x 满足()4()0f x f x '+>，且(01f =），则下列说法正确的是.①()f x 是奇函数；②(0,),()0x f x ∃∈+∞>；③41(1)e f >；④0x ∀>时，41()e xf x <三、解答题：本大题共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）已知()sin ,5sin 5sin m B A C =+ ，()5sin 6sin ,sin sin n B C C A =--垂直，其中A ，B ，C 为ABC的内角．(1)求cos A 的大小；(2)若BC =ABC 的面积的最大值．18．（12分）2016年10月“蓝瘦香菇”等网络新词突然在网络流行，某社区每月都通过问卷形式进行一次网上调查，现从社区随机抽取了60名居民进行调查．已知上网参与问卷调查次数与参与人数的频数分布如下表：参与调查问卷次数[)0,2[)2,4[)4,6[)6,8[)8,10[]10,12参与调查问卷人数814814106(1)若将参与调查问卷不少于4次的居民称为“关注流行语居民”，请你根据频数分布表，完成22⨯列联表，据此调查你是否有99%的把握认为在此社区内“关注流行语与性别有关”？男女合计关注流行语8不关注流行语合计40(2)从被调查的人中按男女比例随机抽取6人，再从选取的6人中选出3人参加政府听证会，求选出的3人为2男1女的概率．附：参考公式()()()()()22n ad bc K a b c d a c b d -=++++及附表()2P K k ≥0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.82819．（12分）在几何体中，底面ABC 是边长为2的正三角形．⊥AE 平面ABC ，若,5,4,3AE CD BF AE CD BF ===∥∥．(1)求证：平面DEF ⊥平面AEFB ；(2)是否在线段AE 上存在一点P ，使得二面角P DF E --的大小为π3．若存在，求出AP 的长度，若不存在，请说明理由．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点为F ，点31,2P ⎛⎫ ⎪⎝⎭在椭圆C 上，且PF 垂直于x 轴．(1)求椭圆C 的方程；(2)直线l 斜率存在，交椭圆C 于,A B 两点，,,A B F 三点不共线，且直线AF 和直线BF 关于PF 对称．（ⅰ）证明：直线l 过定点；（ⅱ）求ABF △面积的最大值．21．（12分）已知函数()2,0eax x f x a =>．(1)当2a =时，求函数()f x 的单调区间和极值；(2)当0x >时，不等式()()2cos ln ln 4f x f x a x x ⎡⎤-≥-⎣⎦恒成立，求a 的取值范围．（二）选考题：共10分．请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．选修4-4：坐标系与参数方程22．在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为12cos 2sin x y αα=+⎧⎨=⎩（α为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为sin 42πρθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭.(1)求C 的普通方程和l 的直角坐标方程；(2)设直线l 与x 轴相交于点A ，动点B 在C 上，点M 满足AM MB =，点M 的轨迹为E ，试判断曲线C与曲线E 是否有公共点.若有公共点，求出其直角坐标；若没有公共点，请说明理由.选修4-5：不等式选讲23．已知()2122f x x x x =-+-+.(1)求()2f x ≥的解集；(2)记()f x 的最小值为t ，且2(0,0)3a b t a b +=>>，求证：11254a b a b ⎛⎫⎛⎫++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.。
江西省临川第一中学2022-2023学年高三上学期期末考试理科数学试卷
卷面满分：150江西省临川一中2022—2023学年上学期期末考试高三年级数学理科试卷分考试试卷：120分钟命题人：黄维京审题人：上官学辉一、单选题（每题5分，共60分）1.设集合2{|230}A x Z x x =∈-- ，{0,1}B =，则A B =ð()A.{3,2,1}--- B.{1,2,3}- C.{1,0,1,2,3}- D.{0,1}2.在复平面内，复数z 1，z 2对应的向量分别是OA =(1,−2)，OB =(−3,1)，则复数z 1z 2对应的点位于()A .第一象限B .第二象限C.第三象限D.第四象限3.对于实数，条件G +1≠52,条件G ≠2且≠12，那么是的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.设a >0，b >0，且2a +b =1，则1a +2aa+b ()A.有最小值为4B.有最小值为22+1B.C.有最小值为14D.无最小值5.设a =57,b =c =log 3145，则a ，b ，c 的大小顺序是()A.b <a <cB.c <a <bC.b <c <aD.c <b <a6.已知(0,)4πα∈，4cos 25α=，则2sin (4πα+=()A.15B.25C.35 D.457.已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，且(a 2+b 2−c 2)⋅(acosB +bcosA)=abc ，则角C =()A.30°B.45°C.60°D.90°8.已知函数=l 2−B +3在0,1上是减函数，则实数的取值范围是()A.0,1B.1,4C.0,1∪1,4D.2,49.已知圆：(−3)2+(−4)2=4和两点o −3s 0)，o 3s 0)(>0).若圆上存在点，使得∠B =90°，则的最小值为()A.6B .5 C.2 D.310.已知双曲线22−22=1>0,>0的左、右焦点分别为1，2，点的坐标为−2,0，点是双曲线在第二象限的部分上一点，且∠1B 2=2∠1B ，B 1⊥12，则双曲线的离心率为()A.3B.2C.32D.211.在△B 中，B =4，B =3，B =5，点在该三角形的内切圆上运动，若B =B+B (s 为实数)，则+的最小值为()A.12B.13C.16D.1712.若函数的定义域为，且2+1偶函数，3−1关于点1,3成中心对称，则下列说法正确的个数为()①的一个周期为2②2x =2−2x③的一个对称中心为6，3④J119=57 A.1B.2C.3D.4二、填空题（每题5分，共20分）13.已知2100+236=1上一点，1，2分别是椭圆的左、右焦点，若∠1B 2=60°，则△B 12的面积为________．14.若(1−3x)n 展开式中第6项的二项式系数与系数分别为p ､q ，则pq =_________．15.如今中国被誉为基建狂魔，可谓是逢山开路，遇水架桥.公路里程、高铁里程双双都是世界第一.建设过程中研制出用于基建的大型龙门吊、平衡盾构机等国之重器更是世界领先.如图是某重器上一零件结构模型，中间最大球为正四面体BB 的内切球，中等球与最大球和正四面体三个面均相切，最小球与中等球和正四面体三个面均相切，已知正四面体BB 棱长为26，则模型中九个球的表面积和为__________．16.若函数op=3−o3+lnp的极小值点只有一个，则的取值范围是_________．三、解答题17.(12分)已知数列{}满足数列{r1−}为等比数列，1=1，2=2，且对任意的∈∗，r2=3r1−2.（1）求{}的通项公式;（2）=∙，求数列{}的前n项和S．18.(12分)如图，在直三棱柱B−111中，，，分别为线段11,1及B的中点，为线段1上的点，B=12B,B=8,B=6，三棱柱B−111的体积为240．(1)求点到平面1B的距离；(2)试确定动点的位置，使直线B与平面1B1所成角的正弦值最大．19.(12分)在一次购物抽奖活动中，假设某10张奖券中有一等奖券1张，可获价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获价值10元的奖品；其余6张没有奖.某顾客从这10张中任抽2张.(1)该顾客中奖的概率；(2)该顾客获得的奖品总价值X(元)的分布列．20(12分)已知抛物线：2=2B,抛物线上两动点A x1,y1,B x2,y2,x1≠x2且x1+x2=6（1）若线段AB过抛物线焦点，且B=10，求抛物线C的方程．（2）若线段AB的中垂线与X轴交于点C，求∆ABC面积的最大值．21(12分)已知op =ｅ+2−s op =2−B −,s ∈(1)若op 与op 在x=1处的切线重合，分别求，的值．(2)若∀∈s op −op ≥op −op 恒成立，求的取值范围．四、选做题（共10分，请考生在22，23题任选一题作答，如果多选，则按所做第一题计分）22.(10分)在平面直角坐标系xOy 中，已知直线312:12x l y t ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数)与圆23cos :(3sin x C y θθθ=+⎧⎨=⎩为参数)相交于A，B 两点.(1)求直线及圆C 的普通方程；(2)已知(1,0)F ，求||||FA FB +的值.23.(10分)已知0a >，0.b >(1)求证：3+3≥2+B 2；(2)若3a b +=，求14a b+的最小值.。
高三年级寒假理科数学试卷
高三年级理科数学试卷第I 卷（选择题共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.1. 已知全集¢/ =及，集合，则正确表示集合A 、B 关系的韦恩（Venn)图是2. 设i 是虚数单位，则复数的虚部是A. B. C.D.3. 已知-7, a 1, a 2 , -1四个实数成等差数列，-4, b 1 b 2, b 3 —1五个实数成等比数列，则=A. 1B. 2C. -1D. 土 14. 一个简单几何体的主视图，左视图如图所示，则其俯视图不可能为①长方形；②正方形；③圆；④椭圆.其中正确的是A. ①②B.②③C.③④D.①④5. 若等比数列{a n }满足： 354321=++++a a a a a ，122524232221=++++a a a a a ，则54321a a a a a +-+-的值是（ ）A ．3 B ．3-C ． 4D ．26. 已知，记.，要得到函数.的图像，只需将函数.的图像A.向左平移个单位长度B.向右平移个单位长度C.向左平移个单位长度D.向右平移个单位长度7.圆关于直线.成轴对称图形，则a -b的取值范围是A. B. C. D.8.曲线在M(e，e)处的切线在x,y7轴上的截距分别为a,b，则a+b=A. B. C. D.9.F2|，则双曲线离心率为___________________________ （）A B C D10.某大学艺术系表演专业的报考人数连创新髙，报名刚结束，某考生想知道这次报考该专业的人数.已知该专业考生的考号是从0001，0002,…这样从小到大顺序依次排列的，他随机了解了 50个考生的考号，经计算，这50个考号的和是25025,估计2010年报考这所大学艺术表演专业的考生大约为________人.A.900B.1000C.1100D.120011.设点P是内一点（不包括边界），且，m、n e R,则的取值范围A. B. C. D.12.若x、y,z均为正实数，则的最大值A. B. C.l D.第II卷本卷包括必考题和选考题两部分’第13—第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22—24题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分13.定义某种运算，运算原理如图所示,则式子：的值是______________14. 已知抛物线的焦点为F ,准线与X 轴的交点为M , N为抛物线上的一点，且满足，则’= . ______________15. 有如下四个命题：①若直线12(1)10l kx k y ++++=与直线2:20l x ky -+=垂直，则实数k=1；②若函数()si n()(0)3f x x πωω=+>在[0,2]π上恰有一最大值与一个最小值则713.1212ω≤< ③已知定义在R 上的偶函数()f x 满足(2)(2),(1)1,f x f x f +=-=且则(2011)1;f = ④曲线22||||:1(0)x x y y C a b a b-=>>关于直线y x =-对称。
高三理科数学试卷+答案
理科数学试题一、选择题（每题5分，共60分）1.已知i 是虚数单位,复数z 满足2(1i)1i z-=+则z =()B.2C.12.已知全集{}2|230,{3}U x x x A =+-≤=-,则U A =ð()A.(,3](1,)-∞⋃+∞B.(3,1]- C.[3,1)- D.[3,1]-3.已知0.30.3121,log 0.3,0.32a b c ⎛⎫=== ⎪⎝⎭,则,,a b c 的大小关系是()A.a b c<< B.c a b<< C.a c b << D.a c b<<4.函数2()cos ln f x x x =的图象大致为()A. B.C.D.5.已知向量,a b 的夹角为π4,且2,a b == ,则a b -= ()A.1B.2C.4D.66.若曲线e 1xy =+在0x=处的切线,也是ln y x b =+的切线,则b =()A.-1B.2C.4D.37.在等差数列{}n a 中,12018a =-,其前n 项和为n S ,若151051510S S -=则2020S =()A.0B.2018C.-2019D.20208、一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A.8π3+ B.8π+ C.82π3+D.89.如图,已知点()2,2A 与反比例函数2y x=,在正方形ABOC 内随机取一点P ,则点P 取自图中阴影部分的概率为()10.已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ,过F 且倾斜角为120的直线与抛物线C 交于,A B 两点,若,AF BF 的中点在y 轴上的射影分别为,M N ,且||43MN =,则抛物线C 的准线方程为()A.32x =-B.2x =- C.3x =- D.4x =-11.已知函数2,0()2ln ,0x x f x x x ⎧⎪<=⎨⎪>⎩,若函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点,则实数k 的取值范围()A.21(0,)eB.1(,0)2- C.(0,e)D.211(,)2e-12.已知等边ABC △的边长为23,,M N 分别为,AB AC 的中点,将AMN △沿MN 折起得到四棱锥A MNCB -.点P 为四棱锥A MNCB -的外接球球面上任意一点,当四棱锥A MNCB -的体积最大时,P 到平面MNCB 距离的最大值为()A.1312+ B.1312+ C.33+ D.35+二、填空题（每题5分，共20分）13.太极图被称为"中华第一图".从孔庙大成殿梁柱,到楼观台,三茅宫等的标记物,太极图无不跃居其上,这种广为人知的太极图,其形状如阴阳两鱼互抱在一起,因而被称为"阴阳鱼太极图".在如图所示的阴阳鱼图案中,阴影部分的区域可用不等式组222240(1)1x y x x y ⎧+⎪≤≤≥⎨⎪++⎩或22(1)1x y +-≤来表示,设(),x y 是阴影中任意一点,则z x y =+的最大值为_______.A.ln 22B.1ln 22+ C.2ln 22- D.1ln 22-14.某校举行歌唱比赛,高一年级从6名教师中选出3名教师参加,要求李老师,王老师两名老师至少有一人参加,则参加的三名老师不同的唱歌顺序的种数为______.(用数字作答)15.已知函数()2sin()(0)f x x ωϕω=+>满足π2,(π)04f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭,且()f x 在区间ππ(,43上单调,则ω的值有_____个.16.已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的左,右顶点12,A A ,右焦点为1,F B 为虚轴的上端点,在线段1BF 上(不含端点)有且只有一点P满足120PA PA ⋅=,则双曲线的离心率为________.三、解答题（共70分）17、（本题12分）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12n na a +=，149a a +=.（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）记()12121log log 1n n n a b a S ++=⋅+，求数列{}n b 的前n 项和n T .18、（本题12分）如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，PA PB PC ==.（1）证明：PBD △为直角三角形；（2）若2PD =，E 是PC 的中点，且二面角P AB E --的余弦值为5714，求三棱锥P ABE -的体积.19、（本题12分）《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成．将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A B B C C D D E +++、、、、、、、共8个等级．参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为371624241673％、％、％、％、％、％、％、％．选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[]91,100、[]81,90、[]71,80、[]61,70、[]51,60、[]41,50、[]31,40、[]21,30八个分数区间，得到考生的等级成绩．某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布()60,169N ．（1）求物理原始成绩在区间()47,86的人数；（2）按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[]61,80的人数，求X 的分布列和数学期望．（附：若随机变量()2,N ξμσ~，则()0.682P μσξμσ-<<+=，()220.954P μσξμσ-<<+=，()330.997P μσξμσ-<<+=）20、（本题12分）已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，下顶点为M ，直线2MF 与E 的另一个交点为P ，连接1PF ，若1PMF △的周长为12PF F △的面积为313b .(1)求椭圆E 的标准方程；(2)若直线:(1)l y kx m m =+≠-与椭圆E 交于A ，B 两点，当m 为何值时，MA MB ⊥恒成立？21、（本题12分）已知函数213()e3x a f x x -=-，其中常数a ∈R .(1)若()f x 在(0,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)当1a =时，求证：导函数()y f x '=与函数241y x x =-+的图象有两个交点.22.（本题10分）在平面直角坐标系xOy 中,曲线C的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩(α为参数),以O 为极点以x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,直线l 的极坐标方程为π6θ=.(1)求曲线C 的极坐标方程;(2)设直线l 与曲线C 相交于,A B 两点,求AB 的值.理科数学参考答案1.答案：A 解析：复数z 满足2(1i)1i z -=+,2(1i)2i 2i(1i)1i 1i 1i 2z ----∴====--++,||z ∴==2.答案：B 解析：全集{|(3)(1)0}[3,1],{3}U x x x A =+-≤=-=-,则(3,1]U A =-ð.3.答案：B 解析：0.3.311221110.31,log 0.3log 1222a ⎛⎫⎛⎫<<=>= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ,c a b ∴<<.4.答案：C解析：易知()(),()f x f x f x -=∴为偶数,当(0,1)x ∈时,2cos 0,ln 0x x ><,所以当(0,1)x ∈时,()0f x <,故只有C 选项满足条件.5.答案：B解析：||82a b -===+= 6.答案：D解析： e 1x y =+的导数为'e x y =,曲线 e 1x y =+在0x =处的切线斜率为1k =,则曲线 e 1x y =+在0x =处的切线方程为2,ln y x y x b -==+的导数为1y x '=设切点为(),m n .则11m=解得1,3m n ==,即有3ln1b =＋解得3b =.7.答案：D 解析：设等差数列{}n a 的公差为d ,由等差数列的性质可得112n S n a d n -=+为等差数列,n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为2d .15105,5515102S S d -=∴⨯=.解得2d =.则2020202020192020(2018)220202S ⨯=⨯-+⨯=.8.答案：A 解析：该几何体是由一个四棱锥和一个圆柱的一半组成的几何体,体积为2118π12222π233⨯⨯⨯+⨯⨯⨯=+.9.答案：D解析：由题意可得正方形的面积为4,联立,22y y x =⎧⎪⎨=⎪⎩解得12x y =⎧⎨=⎩.所以阴影部分面积为221122d 22ln (42ln 2)(20)22ln 2x x x x ⎛⎫-=-=---=- ⎪⎝⎭⎰,所以所求概率22ln 21ln 242P --==.10.答案：C 解析：抛物线2(:20)C y px p =>的焦点为,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭,过F 且倾斜角为120的直线方程设为)2py x =-联立抛物线的方程可得2220py +-=.设A 的纵坐标为1y ,B 的纵坐标为2y ,,M N 的纵坐标为1211,22y y ,可得21212y y y p +==-,则121||2y y -=,可得()212124192y y y y +-=,即为22192443p p =+解得6p =,则抛物线的准线方程为3x =-.11.答案：A解析：如图,作出函数,0()2ln ,0xx f x x x ⎧-<⎪=⎨⎪>⎩的图象,函数()()1g x f x kx =--有且只有三个零点,则函数()f x 与函数1y kx =+的图象有且只有三个交点,函数1y kx =+图象恒过点()0,1则直线1y kx =+在图中阴影部分内时,函数()f x 与1y kx =+有三个或两个交点.当直线1y kx =+与ln y x =的图象相切时,设切点为()00,ln x x 切线斜率为000011,ln 1k x x x x =∴=⋅+解得202211e ,,0,e ex k k ⎛⎫=∴=∴∈ ⎪⎝⎭.12.答案：A 解析：如图,由题意,易知,CM BM BN CN ⊥⊥,所以取BC 的中点E ,则E 是等腰梯形MNCB 外接圆圆心.AMN △为等边三角形,所以取MN 中点D ,连接AD ,在AD 上取点F 使2AF FD =,所以点为F AMN △外心.易知13,,1,.22AD MN DE MN DF AF DE ⊥⊥===设点O 为四棱锥A MNCB -的外接球球心OE ∴⊥平面MNCB ,OF ⊥平面AMN .当四棱锥A MNCB -的体积最大时,平面AMN ⊥平面MNCB .π31,,222ADE OF ED OE FD ∴∠=====设四棱锥A MNCB -的外接球半径R,则222134R AF OF =+=.所以当四棱锥A MNCB -的体积最大时,P 到平面MNCB距离的最大值为max d R OE =+=.13.答案：1解析：依题意,,,z x y y x z z =+∴=-+表示直线y x z =-+在y 轴上的截距,所以当直线y x z =-+与圆22(1)1x y +-=切于如图的点A 时,z 最大(1)z >.因为直线y x z =-+与圆相切,所以点()0,1到直线0x y z +-=的距离为1,即11z =>,1=,解得1z =+.14.答案：96解析：第一步:先选3人,李老师与王老师至少有一人参加,用间接法,有3364C C 20416-=-=种;第二步,将3人排序,有336A =种.故不同发言顺序的种数为16696⨯=.15.答案：9解析：由π2,(π)04f f ⎛⎫== ⎪⎝⎭知,*π3ππ,N 4244T kT k +=-=∈,*3π2(12),,N 123k T k k ω+∴==∈+又因为()f x 在区间ππ(,)43上单调,ππ342T ∴-≤故π2π,126T Tω≥∴=≤,即2(12)1712,32k k +≤∴≤,*N ,0,1,2,8k k ∈∴= 符合条件的ω的值有9个.16.解析：由题意1(,0),(0,)F c B b ,则直线1BF 的方程为0bx cy bc +-=,在线段1BF 上(不含端点)有且只有一点满足120PA PA ⋅=,则1PO BF ⊥,且PO a =,a ∴=即22222222b c a a b c b c =⋅+=+ ,42244230,310c a c a e e ∴-+=-+=,解得2351522e e ++=∴=.17.答案：（1） 设n S 为数列{}n a 的前n 项和，且12n na a +=，149a a +=.∴数列{}n a 为等比数列，公比2=q ,又149a a +=，11a ∴=.因此数列{}n a 的通项公式为12n n a -=,*n N ∈.（2）由()12121log log 1n n n a b a S ++=⋅+，得1221111(1)1log 2log 2n n n b n n n n +===-++.11111122311n n T n n n =-+-+-=++ .18.解析：（1）因为四边形ABCD 是菱形，120ABC ∠=︒，所以AD BD CD ==，取AB 的中点M ，连接DM ，PM ，易知DM AB ⊥，因为PA PB =，所以PM AB ⊥，因为PM DM M ⋂=，所以AB ⊥平面PDM ，又PD ⊂平面PDM ，所以PD AB ⊥.取BC 的中点N ，连接DN ，PN ，同理得PD BC ⊥，又AB BC B ⋂=，所以PD ⊥平面ABCD ，又BD ⊂平面ABCD ，所以PD BD ⊥，故PBD △为直角三角形.（2）由（1）可知，直线DM ，DC ，DP 两两垂直，故可以D 为坐标原点，DM ，DC ，DP 所在直线分别为x ，y ，z 轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图所示.设AB a =，则,,02a A ⎫-⎪⎪⎝⎭，,,02a B ⎫⎪⎪⎝⎭，(0,,0)C a ，(0,0,2)P ，因为E 是PC 的中点，所以0,,12a E ⎛⎫⎪⎝⎭，则(0,,0)AB a =，,,222aPA a ⎛⎫=-- ⎪ ⎪⎝⎭，,0,12BE a ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，设平面PAB 的法向量为()111,,x y z =m ，则0,0,AB PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩m m 得11110,320,22ay a ax y z =⎧--=⎪⎩令12x =，则2a ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭m .设平面ABE 的法向量为()222,,x y z =n ，则0,0,AB BE ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 得2220,30,2ay z =⎧⎪⎨-+=⎪⎩令21x =，则⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭n，所以2324|cos ,|a +〈〉=m n .令2314t a =+，则14=，解得73t =或4t =，所以237143a +=或23144a +=，所以43a =或2a =.连接AC ，因为12P ABC P ABCD V --=，12E ABC P ABC V V --=，所以2111344312P ABE E ABC P ABCD V V AB DM PD a ---===⨯⨯⨯⨯=.当2AB =时，三棱锥P ABE -；当43AB =时，三棱锥P ABE -19.答案：（1）因为物理原始成绩()260,13N ξ~，所以()()()478647606086P P P ξξξ<<=<<+≤<()()1160136013602136021322P P ξξ=-<<++-⨯≤<+⨯0.6820.95422=+0.818=．所以物理原始成绩在()47,86的人数为20000.8181636⨯=（人）．（2）由题意得，随机抽取1人，其成绩在区间[]61,80内的概率为25．所以随机抽取三人，则X 的所有可能取值为0，1，2，3，且23,5X B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭，所以()332705125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭；()21323541C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅= ⎪⎝⎭；()22323362C 55125P X ⎛⎫==⋅⋅=⎪⎝⎭；()32835125P X ⎛⎫=== ⎪⎝⎭．所以X 的分布列为X 0123P2712554125361258125所以数学期望()26355E X =⨯=．20.解析：(1)设122F F c =.由椭圆的定义可知，1PMF △的周长为4a =a =直线2MF 的方程为by x b c =-，与22221x y a b +=联立可得点2322222,a c b P a c a c ⎛⎫ ⎪++⎝⎭，12PF F ∴△的面积为333222112223b b c c b a c c ⨯⨯==++，即232c c =+，解得1c =或2c =(舍)，则2221b a c =-=，∴椭圆E 的标准方程为2212x y +=.(2)联立22,1,2y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 得()222214220k x kmx m +++-=，()228210k m ∆=-+>.由(1)可知(0,1)M -，设()()1122,,,A x y B x y ，则2121222422,2121km m x x x x k k -+=-=++，()212122242222121k m my y k x x m m k k +=++=-+=++，()()()2212121212y y kx m kx m k x x mk x x m =++=+++()22222222222242212121k m k m m k m k k k --=-+=+++，()()1122,1,1 MA MB x y x y ∴⋅=+⋅+uuu r uuu r ()()121211x x y y =+++1212121x x y y y y =++++22222222221212121m m k mk k k --=++++++.由MA MB ⊥得0MA MB ⋅=uuu r uuu r ，故23210m m +-=，解得13m =或1m =-(舍)，∴当13m =时，MA MB ⊥恒成立.21.解析：(1)因为()f x 在(0,)+∞上是增函数，所以212()2e 0x f x ax -'=-≥在(0,)+∞上恒成立，即212e 2x a x -≤恒成立，只需使212mine 2x a x -⎛⎫≤ ⎪⎝⎭即可.设212e ()(0)x h x x x -=>，则2122121432e 2e 2(1)e ()x x x x x x h x x x -----'==.当(0,1)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 在(0,1)上单调递减；当(1,)x ∈+∞时，()0h x '>，函数()h x 在(1,)+∞上单调递增，所以()h x 的最小值为(1)e h =，所以e 2a≤，解得2e a ≤，故实数a 的取值范围是(,2e]-∞.(2)证明：当1a =时，212()2e x f x x -'=-.令()221()()412e 41x g x f x x x x -'=--+=--，则21()44x g x e -'=-.令()0g x '>得12x >；令()0g x '<得12x <，所以()g x 在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在1,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()g x 在12x =处取极小值，1102g ⎛⎫=-< ⎪⎝⎭.因为32(1)410e g -=+->，3(2)290g e =->，所以存在12111,,,222x x ⎛⎫⎛⎫∈-∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，使得()()120,0g x g x ==，所以()g x 有两个零点，即导函数()y f x '=与函数241y x x =-+的图象有两个交点.22.答案：(1)曲线C 的参数方程为4cos 24sin x y αα=+⎧⎨=⎩.得曲线C 的普通方程为224120x y x +--=.所以曲线C 的极坐标方程为24cos 12ρρθ-=.(2)设,A B 两点的极坐标方程分别为12ππ(,,66ρρ,12||AB ρρ=-,又,A B 在曲线C 上,则12,ρρ是2π4cos 1206ρρ--=的两根.12121212,||AB ρρρρρρ∴+==-∴=-=.23.答案：(1).∵0,0a b >>,1a b +=由基本不等式得:2124a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭,当且仅当12a b ==时等号成立,由ab m ≤恒成立,14m ∴≥(2).∵(),0,a b ∈+∞()4141459b a a b a b a b a b ⎛⎫∴+=++=++≥ ⎪⎝⎭故要使41212x x a b+≥--+恒成立,第7页共7页则2129x x --+≤当2x ≤-时,不等式化为:1229x x -++≤,解得62x -≤≤-当122x -<<时,不等式化为:1229x x ---≤,解得122x -<<当12x ≥时,不等式化为:2129x x ---≤,解得1122x ≤≤故 x 的取值范围[]6,12-.。
四川省攀枝花市2023届高三第三次统一考试理科数学试题
中该金属含量低于最原始的 5%时，至少需要循环使用该技术的次数为（ ）（参考数
据： lg2 » 0.301）
A．12
B．13
C．14
D．15
10．已知函数
f
(
x)
=
sin
æ çè
w
x
+
π 3
ö ÷ø
(w
>
0)
对任意
x
Î
æ çè
0,
3π 8
ö ÷ø
都有
f
(
x)
>
1 2
w ，则当
取
到最大值时， f ( x) 图象的一条对称轴为（ ）
7
天的最高气温的平均数为
28 ´
2
+
29 ´3 7
+
30
+
31
=
204 7
>
29
，D
错.
故选：D. 4．B
【分析】根据程序框图，明确该程序的功能是求分段函数
f
(x)
=
ìíîlxo-g12 ,xx,
x > 1的值，由此根 £1
据该函数值域，可求得答案. 【详解】由程序框图可知：运行该程序是计算分段函数的值，
(2)若射线q
=
π 6
(r
³
0) 分别与曲线 C1 ， C2 相交于 A，B
两点，求△C2 AB
的面积.
23．已知函数 f ( x) = x -1 + x - 3 .
(1)解不等式 f ( x) £ x +1；
(2)设函数
f
(x)
的最小值为
c，正实数
江西省萍乡市2022-2023学年高三上学期期末考试数学理科试卷
准考证号姓名（在此卷上答题无效）萍乡市2022－2023学年度高三期末考试试卷理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页．满分150分，考试时间120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人的准考证号、姓名是否一致．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．第Ⅱ卷用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上书写作答．若在试题卷上作答，答题无效．3．考试结束后，监考员将试题卷、答题卡一并收回．第Ⅰ卷一．选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{}1,0,1,2A =-，{}2,x B y y x A ==∈，则A B = A ．{}1,2B ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．[)1,2-D ．{}12．已知i 为虚数单位，则复数11i+的实部与虚部之和为A ．1-B ．0C ．1D ．23．在各项均为正数的等差数列{}n a 中，23=a ，若235,1,3++a a a 成等比数列，则公差=d A ．1-或2B ．2C ．1或2-D ．14．已知m 和n 是空间中两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下列命题正确的是A ．若⊥m n ，n ⊂α，则α⊥m B ．若m ⊂α，n ⊂β， αβ，则m n P C ．若m αP ，⊥m n ，则α⊥n D ．若α⊥m ，m β，则αβ⊥5．关于某校运动会5000米决赛前三名选手甲、乙、丙有如下命题：“甲得第一”为命题p ；“乙得第二”为命题q ；“丙得第三”为命题r .若∨p q 为真命题，∧p q 为假命题，()⌝∧q r 为假命题，则下列说法一定正确的为A ．甲不是第一B ．乙不是第二C ．丙不是第三D ．根据题设能确定甲、乙、丙的顺序6．在二项式6(2)-a x 的展开式中，若3x 的系数为160，则=aA ．1-B ．1C D ．7．函数=y kx 与ln =y x 的图象有且只有一个公共点，则实数k 的取值范围为A ．1=k B ．1e=k C ．1e=k 或0≤k D ．1=k 或0≤k 8．分形是由混沌方程组成，其最大的特点是自相似性：当我们拿出图形的一部分时，它与整体的形状完全一样，只是大小不同．谢尔宾斯基地毯是数学家谢尔宾斯基提出的一个分形图形，它的构造方法是：将一个正方形均分为9个小正方形，再将中间的正方形去掉，称为一次迭代；然后对余下的8个小正方形做同样操作，直到无限次，如右上图．进行完二次迭代后的谢尔宾斯基地毯如右下图，从正方形ABCD 内随机取一点，该点取自阴影部分的概率为A ．19B ．1781C ．29D ．3179．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，()'f x 是其导函数.当0≥x 时，()20'->f x x ，且()23=f ，则()()3113≥+f x x 的解集是A ．[)2,+∞-B ．[]2,2-C ．[)2,+∞D ．(],2∞--10．下列关于函数1()sin 2cos =+f x x x有关性质的描述，正确的是A ．函数()f x 的最小正周期为2πB ．函数()f x 的图象关于直线2π=x 对称C ．函数()f x 的最小正周期为πD ．函数()f x 的图象关于直线=πx 对称11．点M 为抛物线28=y x 上任意一点，点N 为圆22430+-+=x y x 上任意一点，P 为直线10---=ax y a 的定点，则+MP MN 的最小值为A ．2B C ．3D ．2+12．已知函数()ln f x ax a =+，()e ln x g x x x =+-，若关于x 的不等式()()f x g x >在区间(0,)+∞内有且只有两个整数解，则实数a 的取值范围为A ．(2e,e ⎤⎦B ．2e (e,]2C ．(23e ,e ⎤⎦D ．23e e (,]23萍乡市2022－2023学年度高三期末考试试卷理科数学第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22，23题为选考题，考生根据要求做答.二、填空题:本大题共4小题，每小题5分．13．在平面直角坐标系中，角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，已知角α终边过点(2,1)-P ，则sin 2α=__________．14．在平面直角坐标系中，向量,a b 满足()()1,1,231,5=+=- a a b ，则⋅= a b __________．15．在∆ABC 中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若∆ABC 的周长为7，面积为，且828ab c +=，则=c __________．16．已知球O 是棱长为1的正四面体的内切球，AB 为球O 的一条直径，点P 为正四面体表面上的一个动点，则⋅PA PB 的取值范围为__________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）记n S 为数列1⎧⎫⎨⎬⎩⎭n a 的前n 项和，已知11=a ，()21⋅=-n n a S n n ．(1)求数列{}n a 的通项公式；(2)求数列1321+⎧⎫⋅⎪⎪⎨⎬+⎪⎪⎩⎭n n a n 的前n 项和n T ．18.（本小题满分12分）如图，在五面体ABCDE 中，ABC ∆为等边三角形，平面ABC ⊥平面ACDE ，且222AC AE ED ===，90∠=∠=︒DEA EAC ，F 为边BC 的中点．(1)证明： DF 平面ABE ；(2)求EF 与平面ABE 所成角的正弦值．19.（本小题满分12分）甲、乙两人参加某知识竞赛对战，甲答对每道题的概率均为12，乙答对每道题的概率均为(01)<<p p ，两人答每道题都相互独立.答题规则：第一轮每人三道必答题，答对得10分，答错不加分也不扣分；第二轮为一道抢答题，每人抢到的概率都为12，若抢到，答对得10分，对方得0分，答错得0分，对方得5分.(1)若乙在第一轮答题中，恰好答对两道必答题的概率为()f p ，求()f p 的最大值和此时乙答对每道题的概率0p ；(2)以(1)中确定的0p 作为p 的值，求乙在第二轮得分X 的数学期望．20.（本小题满分12分）已知椭圆E 的中心在原点，周长为8的∆ABC 的顶点()A 为椭圆E 的左焦点，顶点,B C 在E 上，且边BC 过E 的右焦点．(1)求椭圆E 的标准方程；(2)椭圆E 的上、下顶点分别为,M N ，点(),2P m (),0R ≠∈m m ，若直线,PM PN 与椭圆E 的另一个交点分别为点,S T ，求证：直线ST 过定点，并求该定点坐标．21.（本小题满分12分）已知函数()1ln e +-=x xf x a x．(1)若0=a ，求()f x 的极值；(2)若()1≥f x 恒成立，求实数a 的取值范围．请考生在第22、23两题中任选一题做答，只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题号后方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线()()0100,,0:πθθθρ=∈≥C 与曲线22:4sin 30ρρθ-+=C 相交于,P Q 两点．(1)写出曲线2C 的直角坐标方程，并求出0θ的取值范围；(2)求11+OP OQ的取值范围．23.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲已知函数()()10,0=--+>>f x a x b a b 的图象与x 轴围成的封闭图形的面积为1．(1)求实数,a b 满足的关系式；(2)若对任意R ∈x ，不等式()2<-f x x ab恒成立，求实数b 的取值范围.萍乡市2022—2023学年度高三期末考试理科数学参考答案及评分标准一、选择题（12×5=60分）：ABBDC ；ACBCC ；AD .二、填空题（4×5=20分）：13.45-；14.0；15.3；16.10,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦.三、解答题（共70分）：17.（1）由(21)n n a S n n =-得，(21)n n n n S a -=，当11(1)(23)2,n n n n n S a ----≥=，………（1分）两式相减得：11(21)(1)(23)n n n n n n n a a a ----=-，化简得：12123n n a n a n -+=-，………………（2分）21234211233212121239754112325275313n n n n n n n a a a a a a n n n n a a a a a a a a n n n -----+---=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=--- ，…（4分）当1n =时，2141113a ⋅-==，符合上式，………………………………………………（5分）故2413n n a -=；……………………………………………………………………………（6分）（2）由(1)知13=(21)321n n n a n n +⋅-⋅+，………………………………………………………（7分）1231133353(23)3(21)3n nn T n n -=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ 23413133353(23)3(21)3n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯ ，……………………………（9分）两式相减得1234121323232323(21)3n n n T n +-=⨯+⨯+⨯+⨯++⨯--⨯ 21113(13)32(21)362(1)313n n n n n -++⨯-=+⨯--⨯=-+-⨯-，……………（11分）故13(1)3n n T n +=+-⋅.………………………………………………………………………（12分）18.（1）证明：取AB 的中点为M ，连接ME ，MF ，…………………………………（1分）因为F 为边BC 的中点，所以MF AC ，1=2MF AC ，……………………………………（2分）又DE AC ，12DE AC =，所以MF DE ，且MF DE =，即四边形EDFM 为平行四边形，所以DF EM ，………………………………………（4分）又EM ABE ⊂平面，DF ABE ⊄平面，所以DF ABE 平面；………………………（6分）【用面面平行性质得到线面平行同样给分】（2）平面ABC ⊥平面ACDE ，ABC 平面平面ACDE AC =，EA AC ⊥，EA ⊂平面ACDE ，则EA ⊥平面ABC ，…………………………………（8分）过点F 作FN AB ⊥于N ，则FN EA ⊥，且EA AB A = ，则FN ABE ⊥平面，连接EN ，则EF 与平面ABE 所成角为FEN ∠，………………………………………（10分）由题知，在直角FNE ∆中，有2FN EN EF =，则sin4FN FEN EF ∠=即EF 与平面ABE .…………………（12分）【建立空间直角坐标系求解同样给分】19.（1）由题知，22233()(1)33f p C p p p p =⋅⋅-=-，…………………………………（2分）2()693(23)f p p p p p '=-=-，则()f p 在2(0,)3单调递增，在2(,1)3单调递减，……（4分）故()f p 的最大值为24(39f =，此时，023p =；…………………………………………（6分）（2）由题知，X 的所有可能取值为0,5,10，……………………………………………（7分）11115(0)232212P X ==⨯+⨯=，111(5)224P X ==⨯=，121(10)233P X ==⨯=，……（9分）则X 的分布列为：………………………………………………………………………………………………（10分）乙在第二轮得分X 的数学期望51155()0510124312E X =⨯+⨯+⨯=．…………………（12分）20．（1）根据椭圆定义可知48a =，2a =，……………………………………………（2分）c =，1b ==，…………………………………………………………………（3分）故椭圆E 的标准方程为2214x y +=；………………………………………………………（4分）（2）由题知，(0,1)M ，(0,1)N -，………………………………………………………（5分）直线:1xPM y m =+，与椭圆方程联立、化简得：22(4)80m x mx ++=，则284S m x m -=+，2244S m y m -=+，……………………………………………………………（7分）同理可得22436T m x m =+，223636T m y m -=+，…………………………………………………（8分）()()()22423212121441216192161612T S STT S m m y y m m k x x m m m m m -+---====-++，………………………（9分）直线222221284121:(1644162m m m m ST y x x m m m m ---=⋅++=⋅+++，………………………（11分）故直线ST 过定点1(0,)2．…………………………………………………………………（12分）X 0510P512141321．（1）0a =，1ln ()xf x x -=，22ln ()0x f x x-+'==，得2x e =，…………………（1分）则()()20,,()0,x e f x f x '∈<单调递减；()()2,,()0,x e f x f x '∈+∞>单调递增，……（3分）故()f x 的极小值为221()f e e =-，无极大值；……………………………………………（4分）（2）【法一】由题知，1ln x axe x x +-≥，0x >，令()1ln x g x axe x x =+--，则()1'()1x g x x ae x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，…………………………………（5分）①当0a ≤时，'()0g x <，(1)0g ae =≤，则1x >时，()(1)0g x g <≤，不合题意；…（7分）②当0a >时，设0x 满足001x ae x =，则()g x 在()00,x 单调递减，在()0,x +∞单调递增，则min 0000()()ln 1x g x g x ax e x x ==--+，……………………………………………………………（9分）001x ae x = ，00001,ln ln x ax e a x x ∴=+=-，………………………………………………（10分）故min 000()()1ln 1ln 20g x g x x a x a ==-+++=+≥，解得21a e≥，…………………………（11分）综上所述，实数a 的取值范围为21[,)e +∞.………………………………………………（12分）【法二】由题知，ln 1xx x a xe +-≥，0x >，………………………………………………（5分）令ln 1()x x x g x xe+-=，则()21(2ln )'()x x x x g x x e+--=，…………………………………………（6分）设0x 满足002ln x x =+，则()g x 在()00,x 单调递增，在()0,x +∞单调递减，…………（8分）故0000max 000ln 11()()x x x x g x g x x e x e +-===，…………………………………………………（9分）002ln x x =+ ，020x x e -∴=，故0max 2011()x g x x e e ==，即21a e ≥，……………………（11分）综上所述，实数a 的取值范围为21[,)e+∞.………………………………………………（12分）【法三】由题知，ln 1xaxe x x ≥+-，即ln ln 1x x ae x x +≥+-，…………………………（6分）令ln t x x =+，t R ∈，即1t ae t ≥-，即1()t t a g t e-≥=，………………………………（8分）2'()t tg t e-= ，()g t ∴在(),2-∞单调递增，在()2,+∞单调递减，…………………（10分）故max 21()(2)a g t g e ≥==，即实数a 的取值范围为21[,)e+∞.…………………………（12分）22．（1）曲线2C 的直角坐标方程为2243x y y +-=-，即()2221x y +-=，……（2分）当02πθ=时，曲线1:0C x =与曲线2C 有两个交点，符合题意，………………………（3分）当02πθ≠时，曲线1C 的直角坐标方程为：0tan y x θ=，设()20,2C 到曲线1C 的距离为d ，则1d r ==，得0tan θ0tan θ<4分）又0(0,)θπ∈ ，02,33ππθ⎛⎫∴∈⎪⎝⎭；…………………………………………………………（5分）（2）将0θθ=代入2C 的极坐标方程得：204sin 30ρθρ-+=，…………………………（6分）设,P Q 两点对应的极径分别为12,ρρ，则120124sin ,3ρρθρρ+==，…………………（7分）1212124sin 111103OP OQ θρρρρρρρ+≥∴+=+== ，……………………………………………（9分）由（1）知02,33ππθ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则04sin 11433OP OQ θ⎤+=∈⎥⎝⎦.………………………………（10分）23．（1）(),11,1ax a b x f x a x b ax a b x -+≤⎧=--+=⎨-++>⎩，…………………………………………（1分）()y f x = 与x 轴交点坐标分别为1,0,1,0b b a a ⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，顶点坐标为()1,b ，……………（3分）21212b b S b a a∴=⨯⨯==，即2b a =；……………………………………………………（5分）（2）对于x R ∀∈，不等式左边=2221()121b x b f x x x b b b b--+==--+<-恒成立，……（6分）即对于x R ∀∈，121x x b b<-+-恒成立，…………………………………………………（7分）222111x x x x b b b-+-≥--+=- …………………………………………………………（8分）∴121b b <-，即211bb->或211b b-<-，…………………………………………………（9分）又0b > ，()()0,13,b ∴∈+∞ .…………………………………………………………（10分）命题：胡斌（市教研室）欧阳丽（芦溪中学）徐敏（莲花中学）江敏（萍乡三中）刘晓君（湘东中学）吕鋆（上栗中学）彭仕海（萍乡中学）审核：胡斌。
高三数学试题(理科)
高三数学试题（理科）本试卷分Ⅰ、Ⅱ两卷,第Ⅰ卷1至2页,第Ⅱ卷3到6页,共150分,考试时间120分注意事项：１．考生必须将自己的姓名、学号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上，并在答卷前将班别、姓名、学号、等填写在试卷上.２．第一大题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑. ３．请用蓝色或黑色钢笔或圆珠笔答卷.考试结束后，试卷必须全部上交.参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么P （A+B ）=P （A ）+P （B ） 如果事件A 、B 相互独立，那么P （A ·B ）=P （A ）·P （B ） 如果事件A 在一次试验中的发生的概率是P ，那么n 次独立重复试验中恰好发生k 次的概率为：P n （k ）=C n k P k （1-p ）n-k球的表面积公式为：S=4πR 2，其中R 表示球的半径. 球的体积公式为：V=34πR 3，其中R 表示球的半径. 第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知U 为全集，若集合A 、B 、C 满足A ∩B=A ∩C ，则可以推出( ) A ． B=C B ．A ∪B=A ∪C C ．A ∪(U C B)=A ∪(U C C) D ．(U C A)∪B=(U C A)∪C 2．函数g (x )满足g (x )g (－x )＝1，且g (x )≠1，g (x )不恒为常数，则函数f (x)=g(x)+1g(x)-1( )A .是奇函数不是偶函数B .是偶函数不是奇函数C .既是奇函数又是偶函数D .既不是奇函数也不是偶函数3．已知函数f (x)=223(1)131(1)x x x x x x ⎧+->⎪-⎨⎪+≤⎩，则f –1(3)=( ) A ．10 B ．12 C ． 23 D ． －124．设f (x)=1()0x x ⎧⎨⎩为有理数(为无理数)，使所有x 均满足x ·f (x)≤g (x)的函数g(x)是（ ）A ．g (x)=sinxB ．g (x)=xC ．g (x)=x 2D ．g (x)=|x| 5．二项式(1x－)n 展开式中含有x 4项，则n 的可能取值是（ ）A ．5B ．6C ．3D ．76．设OA u u u v =a v ，OB uuu v =b v ，OC u u u v =c v ，当c v =λa v +μb v (λ,μ∈R)，且λ+μ=1时，点C 在（ ）A ．线段AB 上 B ．直线AB 上C ．直线AB 上，但除去点AD ． 直线AB 上，但除去点B7．从17个相异的元素中选出2a －1个不同元素的选法记为P ，从17个相异的元素中选出2a 个不同元素的选法记为Q ，从18个相异的元素中选出12个不同元素的选法记为S ，若P+Q=S ，则a 的值为（ ）A ． 6B ． 6或8C ．3D ．3或68．若一个平面与正方体的12条棱所成的角均为θ，那么cos θ等于（ ） A．3 B ．3 C ．2 D．69．设OM u u u u v =（1，12），ON u u u v =（0，1），则满足条件0≤OP uuu v ·OM u u u u v ≤1，0≤OP uuu v ·ON u u u v ≤1的10．已知函数f k图象上相邻的一个最大值点与一个最小值点恰好在x 2+y 2=k 2上，则f (x)的最小正周期为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．411．2003年12月，全世界爆发“禽流感”，科学家经过深入的研究终于发现了一种细菌Ｍ在杀死“禽流感”病毒N 的同时能够自我复制，已知1个细菌M 可以杀死1个病毒N ，并生成2个细菌M ，那么1个细菌M 和2047个“禽流感”病毒N 最多可生成细菌M 的数值是（ ）A ． 1024B ．2047C ．2048D ．204912．已知抛物线的一条过焦点F 的弦PQ ，点R 在直线PQ 上，且满足OR uuu v =12（OP uuu v +OQ uuu v），R 在抛物线准线上的射影为S ，设α，β是ΔPQS 中的两个锐角，则下面4个式子中不一定正确的是（ ）A ．tan α·tan β=1B ．sin α+sinC ．cos α+cos β>1D ．|tan(α－β)|>tan2αβ+高三(1－12班)数学试题（理科）班别____________ 学号______________ 姓名___________ 得分___________第II 卷 (非选择题 共90分)二、填空题13．把函数sin y x x =-的图象，按向量(),m n =-va （m >0）平移后所得的图象关于y 轴对称，则m 的最小正值为__________________14．若关于x 的不等式2－2x >|x －a | 至少有一个负数解，则a 的取值范围为__________________. 15．利用函数f (t)=12+3sin[2365π(t －81)]可用来估计某一天的白昼时间的长短，其中f (t)表示白昼的小时数，t 是某天的序号，t=0表示1月1日，依此类推0≤t ≤365，若二月份28天，则这一地区一年中白昼最长的大约是 月 日.16．在平面几何里，有勾股定理“设ΔABC 的两边AB 、AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2”.拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系，可以得出的正确结论是：“设三棱锥O －ABC 的三个侧面OAB 、OAC 、OBC 两两相互垂直， 则______________________________________________.” 三、解答题：本大题6个小题，共74分17．（本小题满12分）已知A 、B 是ΔABC 的两个内角，a v sin 22A B A B i j +-+v v ，其中i j v v 、为互相垂直的单位向量，若||a =v.(Ⅰ) 试问tanA ·tanB 是否为定值? 若为定值，请求出；否则请说明理由． (Ⅱ) 求tanC 的最大值，并判断此时三角形的形状．18. (本小题12分)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1=1，S n =na n ﹣2n(n ﹣1)，(n ∈N*)(Ⅰ) 求证数列{a n }为等差数列，并写出通项公式； (Ⅱ) 是否存在自然数n ，使得40032321=++++nS S S S n Λ?若存在，求出n 的值； 若不存在，说明理由；19.（本小题满分12分）甲、乙两人进行乒乓球比赛，在每一局比赛中，甲获胜的概率为P ． （Ⅰ）如果甲、乙两人共比赛4局，甲恰好负2局的概率不大于其恰好胜3局的概率，试求P的取值范围； （Ⅱ）如果P=13，当采用3局2胜制的比赛规则时，求甲获胜的概率.20. （本小题满分12分）在正四棱柱ABCD —A 1B 1C 1D 1中，侧棱是底面边长的2倍，P 是侧棱CC 1上的一点. （Ⅰ）求证：不论P 在侧棱CC 1上任何位置，总有BD ⊥AP ；（Ⅱ）若CC 1=3C 1P ，求平面AB 1P 与平面ABCD 所成二面的余弦值. （Ⅲ）当P 点在侧棱CC 1上何处时，AP 在平面B 1AC 上的射影是∠B 1AC 的平分线.21. （本小题满分1４分）已知点Q 位于直线3x =-右侧，且到点()1,0F -与到直线3x =-的距离之和等于4. (Ⅰ) 求动点Q 的轨迹C ；(Ⅱ) 直线l 过点()1,0M 交曲线C 于A 、B 两点，点P 满足1()2FP FA FB =+u u u r u u u r u u u u r ，0EP AB =u u ur u u u r g ，又OE uuu r=(0x ,0)，其中O 为坐标原点，求0x 的取值范围；(Ⅲ) 在(Ⅱ)的条件下，PEF ∆能否成为以EF 为底的等腰三角形？若能，求出此时直线l 的方程；若不能，请说明理由.ABCDA 1 D 1C 1 B 1P22．（本小题满分12分）已知函数f(x)满足f(x+y)= f(x)·f(y)且f(1)=1 2 .(Ⅰ)当n∈N+时，求f(n)的表达式.(Ⅱ)设a n=n·f(n),n∈N+，求证a1+a2+…+a n<2.答案：1．D 由A ∩B=A ∩C 知B ，C 在A 内部的元素相同，由韦恩图可得. 2．A3．Ｃ 2231x x x +--=(1)(3)1x x x -+-=x+3 依题意 当x>1时 f(x)>4当x ≤1时 f(x)=3x+1≤4 令t= f －1(3) ∴f(t)=3<4 即3t+1=3 ∴t=234．D 将f(x)拆成：当x 是有理数时，f(x)=1;当x 是无理数时，f(x)=0,然后一一验证即可5．C 展开式的通项为r nC (1x)n-r ·(－)r =(－1)r ·r n C 4()3r n r x --（r=0,1,2,…n ）即存在自然数r ，使43r －(n －1) =4即7r=3n+12且n ≥r,故选C. 6．B ∵n+μ=1 ∴λ=1－μ，∵c v =λa v +μb v =a v +μ(b v －a v )=a v +μAB u u u v∴AC u u u v =c v －a v =μAB u u u v ，即AC u u u v 与AB u u u v共线.7．D 法一：反代法.分别取a=6,8代入验证。
高三数学综合测试题(含答案)
高三数学试题（理科）一、选择题(本大题共12小题,每小题5.0分,共60分)1.已知复平面内的平行四边形ABCD中，定点A对应的复数为i(i是虚数单位)，向量BC 对应的复数为2＋i，则点D对应的复数为()A． 2 B． 2＋2i C．－2 D．－2－2i2.在判断两个变量y与x是否相关时，选择了4个不同的模型，它们的相关指数分别为：模型1的相关指数为0.98，模型2的相关指数为0.80，模型3的相关指数为0.50，模型4的相关指数为0.25.其中拟合效果最好的模型是()．A．模型1 B．模型2 C．模型3 D．模型43.设随机变量X的分布列如下表，且E(X)＝1．6，则a－b＝()A．0．2B．0．1C．－0．2D．－0．44.若方程x3－3x＋m＝0在[0,2]上有解，则实数m的取值范围是()A． [－2,2] B． [0,2]C． [－2,0]D． (－∞，－2)∪(2，＋∞)5.已知圆上9个点，每两点连一线段，所有线段在圆内的交点有()A．36个 B．72个 C．63个 D．126个6.函数f(x)＝ax3＋x＋1有极值的一个充分而不必要条件是()A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<17.若（n∈N*),且,则() A．81 B．16 C．8 D．18.一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a，b，c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2(不计其他得分情况)，则ab的最大值为()A． B． C． D．9.高三毕业时，甲、乙、丙等五位同学站成一排合影留念，已知甲、乙二人相邻，则甲、丙相邻的概率是()A． B． C． D．10.已知x与y之间的几组数据如表:假设根据如表数据所得线性回归直线方程为,若某同学根据表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为,则以下结论正确的是()A．, B．, C．, D．,11.某人射击一发子弹的命中率为0.8，现在他射击19发子弹，理论和实践都表明，在这19发子弹中命中目标的子弹数X的概率满足P(X＝k)＝(k＝0,1,2，…，19)，则他射完19发子弹后，击中目标的子弹最可能是 ()A．14发 B．15发 C．16发 D．15发或16发12.函数f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)，若a＋b＋c＝0，导函数f′(x)满足f′(0)f′(1)>0，设f′(x)＝0的两根为x1，x2，则|x1－x2|的取值范围是()A．323⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭，B．14,39⎡⎤⎢⎥⎣⎦C．133⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭， D．1193⎡⎫⎪⎢⎣⎭，第II 卷非选择题二、填空题(本大题共4小题,每小题5.0分,共20分)13.某人从某城市的A地乘公交车到火车站，由于交通拥挤，所需时间(单位：分钟)X～N(50,)，则他在时间段(30,70]内赶到火车站的概率为________．14.如图(1)，在三角形ABC中，AB⊥AC，若AD⊥BC，则AB2＝BD·BC；若类比该命题，如图(2)，三棱锥A－BCD中，AD⊥面ABC，若A点在三角形BCD所在平面内的射影为M，则有________．15.设M＝，则M与1的大小关系是__________．16.若对任意的x∈A，则x∈，就称A是“具有伙伴关系”的集合．集合M＝{－1,0，，，1,2,3,4}的所有非空子集中，具有伙伴关系的集合的个数为________．三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.（本小题共12分）已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)．(1)若x＝37+i44是方程的根，求a的值；(2)若x1，x2是方程两个虚根，且|x1－1|＞|x2|，求a的取值范围．18. （本小题共12分）随着生活水平的提高，人们的休闲方式也发生了变化．某机构随机调查了n 个人，其中男性占调查人数的.已知男性中有一半的人的休闲方式是运动，而女性只有的人的休闲方式是运动．(1)完成如图2×2列联表：(2)若在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可认为“休闲方式有关与性别”，那么本次被调查的人数至少有多少？(3)根据(2)的结论，本次被调查的人中，至少有多少人的休闲方式是运动？参考公式：＝，其中n=a+b+c+d.参考数据：19.若n为正整数，试比较3·2n－1与n2＋3的大小，分别取n＝1,2,3,4,5加以试验，根据试验结果猜测一个一般性结论，并用数学归纳法证明．20.为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物．某人一次种植了n株沙柳．各株沙柳的成活与否是相互独立的，成活率为p，设ξ为成活沙柳的株数，数学期望E(ξ)为3，标准差为.(1)求n和p的值，并写出ξ的分布列；(2)若有3株或3株以上的沙柳未成活，则需要补种．求需要补种沙柳的概率．21.已知函数f(x)＝(ax－x2)e x.(1)当a＝2时，求f(x)的单调递减区间；(2)若函数f(x)在(－1,1]上单调递增，求a的取值范围；(3)函数f(x)是否可为R上的单调函数？若是，求出a的取值范围，若不是，说明理由．22.设函数f(x)＝|x－a|＋x.(1)当a＝2时，求函数f(x)的值域；(2)若g(x)＝|x＋1|，求不等式g(x)－2>x－f(x)恒成立时a的取值范围．答案解析1.B2.A3.C4.A5.D【解析】此题可化归为：圆上9个点可组成多少个四边形，每个四边形的对角线的交点即为所求，所以，交点有＝126(个)6.C7.A8.D9.C10. C11. D【解析】由≥且≥，解得15≤k≤16，即P(X＝15)＝P(X＝16)最大12.A【解析】由题意得f′(x)＝3ax2＋2bx＋c，∵x1，x2是方程f′(x)＝0的两个根，∴x 1＋x2＝－，x1·x2＝，∴|x1－x2|2＝(x＋x2)2－4x1·x2＝.∵a＋b＋c＝0，∴c＝－a－b，∴|x 1－x2|2＝＝()2＋·＋.∵f′(0)·f′(1)>0，f′(0)＝c＝－(a＋b)，且f′(1)＝3a＋2b＋c＝2a＋b，∴(a＋b)(2a＋b)<0，即2a2＋3ab＋b2<0，∵a≠0，两边同除以a2，得()2＋3＋2<0，解得－2<<－1.由二次函数的性质可得，当＝－时，|x 1－x2|2有最小值为，当趋于－1时，|x1－x2|2趋于，故|x 1－x2|2∈[，)，故|x1－x2|∈[，)．13. 0．9544 14.＝S △BCM·S△BCD15.【答案】M<1【解析】∴M＝＝1.16.【答案】15【解析】具有伙伴关系的元素组有－1；1；，2；，3；共4组，所以集合M的所有非空子集中，具有伙伴关系的非空集合中的元素，可以是具有伙伴关系的元素组中的任一组、二组、三组、四组，又集合中的元素是无序的，因此，所求集合的个数为＋＋＋＝15．17.解(1)已知一元二次方程x2－ax＋1＝0(a∈R)，若x＝＋i是方程的根，则x＝-i也是方程的根．(＋i)＋(-i)＝a，解得a＝.(2)x 1，x2是方程x2－ax＋1＝0的两个虚根，不妨设x1＝，x2＝，a∈(－2,2)，|x 1－1|＞|x2|，∴(－1)2＋(－)2＞()2＋()2，∴a＜1.综上，－2＜a＜1.18.【解】(1)依题意，被调查的男性人数为，其中有人的休闲方式是运动；被调查的女性人数为，其中有人的休闲方式是运动，则2×2列联表如图。
高三年数学试卷(理科)(附答案)
高三年数学试卷（理科）(完卷时间：120分钟； 满分：150分)一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1、复数i z +=31，i z -=12，则1z ·2z 在复平面内的对应点位于（ ）A ．第一象限B ．第二象限 Ｃ．第三象限 Ｄ．第四象限2、等差数列{}n a 中,若752a a =-,则1715a a -=( ) A ．2- B ．2 C ．1- D ．13、函数)1(121>+=+x y x 的反函数是（ ）A ．)5(2log 2>-=x x yB ．())5(11log 2>--=x x yC ．)1(2log 2>-=x x yD ． ())1(11log 2>--=x x y 4、为真命题的且为真命题是或""""q p q p 条件 A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 C ．既非充分也非必要条件 D ．充要条件 5、一个容量为20的样本数据，分组后，组距与频数如下：A ．201. B ．41. C ．107. D ．21 6、关于x 的不等式0<-b ax 的解集为(1,+∞)，则关于x 的不等式2--x bax >0的解集为( ) A ．(－1,2) B ．(－∞,－1)∪(2,+∞)C ．(1,2)D ．(―∞,―2)∪(1,+∞)7、已知函数)(x f 的导数为,44)(3x x x f -='且)(x f 图象过点（0，－5），当函数)(x f 取得极小值－6时，x 的值应为( ) A ．0B ．－1C ．±1D ． 18、设函数⎪⎩⎪⎨⎧>≤-=)0(log )0(8)31()(3x x x x f x，若f （a ）＞1，则实数a 的取值范围是( )A ．)3,2(-B ．)2,(--∞∪),3(+∞C ．（3，+∞）D ．)3,(--∞∪（0，+∞） 9、已知等差数列｛a n ｝中，若1201210864=++++a a a a a ，则=1515S 项和前 ( ) A ．240- B ．360- C ．240 D ．360 10、已知数列｛n a ｝中，*N n ∈，11-=a ，1121--+=n n n a a （2≥n ），则∞→n lim =+++)(21n a a a ( )A ．2-B ．2C ． 32-D ．3211、已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，函数f (x )则函数f (| x |)的图象是( )A ． B. C. D.12、已知()x f 为偶函数，且()()x f x f -=+22，当02≤≤-x 时()x x f 2=，若*N n ∈，()n f a n =则=2006a （ ） A ． 2006 B ．4 C ．41D ．4- 二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。
高三理科金太阳数学试卷
一、选择题（每小题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^3 - 3x，则f'(x)的零点为（）A. 0B. 1C. -1D. 32. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则复数z的实部为（）A. 0B. 1C. -1D. 23. 已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=1，公差d=2，则S10等于（）A. 90B. 100C. 110D. 1204. 下列命题中正确的是（）A. 若两个向量垂直，则它们的点积为0B. 若两个向量平行，则它们的点积为0C. 若两个向量垂直，则它们的数量积为0D. 若两个向量平行，则它们的数量积为05. 函数y = log2(3x - 1)的图像过点（2，1），则x的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 46. 已知等比数列{bn}的首项b1=2，公比q=3，则b4+b6等于（）A. 18B. 27C. 36D. 547. 若不等式|ax + b| ≤ c的解集为[-1, 1]，则a、b、c的关系为（）A. a > 0，b > 0，c > 0B. a < 0，b < 0，c > 0C. a > 0，b < 0，c > 0D. a < 0，b > 0，c > 08. 若直线y = kx + 1与圆x^2 + y^2 = 1相切，则k的值为（）A. ±1B. ±√2C. ±1/√2D. ±√39. 已知函数f(x) = e^x + e^(-x)，则f'(x)的零点为（）A. 0B. 1C. -1D. 无10. 已知等差数列{cn}的前n项和为Tn，若c1=1，公差d=2，则T10等于（）A. 90B. 100C. 110D. 120二、填空题（每小题5分，共25分）11. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(x)的最小值为______。
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2014年高三数学(理科)试卷(11) 一、选择题：(本大题共8小题，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)1．设P 、Q 是两个非空集合，定义集合间的一种运算“⊙”：P ⊙Q=}.|{Q P x Q P x x ⋂∉⋃∈，且 如果}0,4|{},4|{2>==-==x y y Q x y x P x ，则P ⊙Q= （ ） A ),2(]1,2[+∞⋃- B ),2[]1,2[+∞⋃- C [1，2] D （2，+∞）2．设x ，y 满足约束条件0,,4312.x y x x y ≥⎧⎪≥⎨⎪+≤⎩则231x y x +++的取值范围为（ ） A ．[]1,5 B ．[]2,6 C ．[]2,10 D ．[]3,113．在等比数列{}n a 中,12a =,前n 项和为n S ,若数列{}1n a +也是等比数列,则n S 等于（ ）(A) 122n +- (B) 3n (C) 2n (D) 31n -4．不等式2()0f x ax x c =-->的解集为{|21}x x -<<,则函数()y f x =-的图象为（ ）5．已知)(2R x x x ∈=-⋅+⋅，其中A 、B 、C 三点共线，则满足条件的x （ ）A ．不存在B ．有一个C ．有两个D ．以上情况均有可能6．已知直线x y a +=与圆224x y +=交于A 、B 两点，O 是坐标原点，向量OA u u u r 、OB u u u r 满足||||OA OB OA OB +=-u u u r u u u r u u u r u u u r ，则实数a 的值是（ ）（A ）2 （B ）2- （C 6或6 （D ）2或2-7．如图，△PAB 所在的平面α和四边形ABCD 所在的平面β互相垂直，且αα⊥⊥BC AD ,，AD=4， BC=8，AB=6，若10tan 2tan =∠+∠BCP ADP ，则点P 在平面α内的轨迹是 （ ）A ．圆的一部分B ．椭圆的一部分C ．双曲线的一部分D ．抛物线的一部分8．若函数,0)(210)1,0)(2(log )(2>≠>+=x f a a x x x f a ）内恒有，在区间（则f （x ）的单调递增区间是（ ）A ．)41,(--∞ B ．),41(+∞- C ．)21,(--∞ D ．（0，+∞）第Ⅱ卷（非选择题，共110分）二、填空题：本大题共6小题，共30分．9．酒杯的形状为倒立的圆锥，杯深8cm ，上口宽6cm ，水以202cm s 的流量倒入杯中，当水深为4cm 时，则水面升高的瞬时变化率是 . 10．已知a>b>0，则a 2 + 16b (a －b )的最小值是_________。
11．在ABC △中，AB BC =，7cos 18B =-．若以A ，B 为焦点的椭圆经过点C ，则该椭圆的离心率e = ．12．已知数列}{n a 的通项公式为(2)n n a n =⋅-，则数列{n n a b }成等比数列是数列}{n b 的通项公式为n b n =的 条件（对充分性和必要性都要作出判断）．13．棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,若过该球球心的一个截面如图1,则图中三角形(正 四面体的截面)的面积是14．给出下列四个结论：① 函数sin y x =在第一象限是增函数；② 函数1cos 2y x =+的最小正周期是π ③若22,am bm <则a b <；④函数()sin f x x x =-（x R ∈）有3个零点；⑤对于任意实数x ，有()(),()(),f x f x g x g x -=--=且x>0时,()0,()0,f x g x ''>>则x<0时()().f x g x ''>其中正确结论的序号是 .（填上所有正确结论的序号） 三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15（12分）已知函数()sin()sin()cos (,)66f x x x x a a R a ππ=++-++∈为常数. (Ⅰ)求函数()f x 的最小正周期；(Ⅱ)若函数()f x 在[-2π，2π]上的最大值与最小值之和为3，求实数a 的值. 16．（本小题满分12分）如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，AA 1⊥面ABC ，BC ⊥AC ，BC=AC=2，AA 1=3，D 为AC 的中点.（Ⅰ）求证：AB 1//面BDC 1；（Ⅱ）求二面角C 1—BD —C 的余弦值；（Ⅲ）在侧棱AA 1上是否存在点P ，使得CP ⊥面BDC 1？并证明你的结论.17、（本小题满分14分）如图，已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，长轴长是短轴长的2倍且经过点M （2，1），平行于OM 的直线l 在y 轴上的截距为m （m ≠0），l 交椭圆于A 、B 两个不同点。
图（1）求椭圆的方程；（2）求m 的取值范围；（3）求证直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形。
18．已知函数f(x)=ax 3+bx 2－3x 在x=±1处取得极值.（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤4； （Ⅲ）若过点A （1，m ）（m ≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m 的取值范围.19已知曲线)0(1)1(log )(2>++=x x x x f 上有一点列))(,(*N n y x P n n n ∈，点n P 在x 轴上的射影是)0,(n n x Q ，且)(12*1N n x x n n ∈+=-，11=x .（1）求数列}{n x 的通项公式；（2）设四边形11++n n n n P Q Q P 的面积是n S ，求证：4121121<+++nnS S S Λ20定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y（1）令函数))94(log ,1()(22+-=x x F x f 的图象为曲线c 1，曲线c 1与y 轴交于点A （0，m ），过坐标原点O作曲线c 1的切线，切点为B （n ，t ）（n ＞0）设曲线c 1 在点A 、B 之间的曲线段与OA 、OB 所围成图形的面积为S ，求S 的值；（2）当).,(),(,,*x y F y x F y x N y x ><∈证明时且高三数学答案一、选择题 ADCC CDBC二、填空题9．80cm s 9π 10.16 11. 38c e a == 12. 必要不充分 13. 2 14. ③⑤三、解答题：15.解：（Ⅰ）∵()2sin cos cos 6f x x x a π=++3sin cos x x a =++2sin 6x a π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭……………………4分 ∴函数()f x 的最小正周期2T π= ………………………6分 (Ⅱ)∵,22x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，∴2363x πππ-≤+≤ ∴当63x ππ+=-，即2x π=-时，()min 32f x f a π⎛⎫=-=-+ ⎪⎝⎭……8分 当62x ππ+=，即3x π=时，()max 23f x f a π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭……10分 由题意，有(3)(2)3a a -+++=∴31a =- ……12分 16. （I ）证明：连接B 1C ，与BC 1相交于O ，连接OD∵BCC 1B 1是矩形，∴O 是B 1C 的中点.又D 是AC 的中点，∴OD//AB 1.………………………………………………2分∵AB 1⊄面BDC 1，OD ⊂面BDC 1，∴AB 1//面BDC 1.…………………………………………4分（II ）解：如力，建立空间直角坐标系，则C 1（0，0，0），B （0，3，2），C （0，3，0），A （2，3，0），D （1，3，0）……………………5分设n =（x 1，y 1，z 1）是面BDC 1的一个法向量，则 ,0011⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅D C n B C n 即)21,31,1(,030231111-=⎩⎨⎧=+=+n y x z y 取.…………6分 易知C C 1=(0，3，0)是面ABC 的一个法向量.723671,cos 11-=⋅-=>=<∴C .…………………………8分 ∴二面角C 1—BD —C 的余弦值为72.………………………………9分 （III ）假设侧棱AA 1上存在一点P （2，y ，0）（0≤y ≤3），使得CP ⊥面BDC 1.则⎪⎩⎪⎨⎧==∴⎩⎨⎧=-+=-⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅.373,0)3(320)3(3,0011y y y y C C 即 ∴方程组无解.∴假设不成立.∴侧棱AA 1上不存在点P ，使CP ⊥面BDC 1.……………14分17. 解：（1）设椭圆方程为)0(12222>>=+b a by a x ……………………………1分 则⎪⎩⎪⎨⎧==⎪⎩⎪⎨⎧=+=2811422222b a b a b a 解得…………………………………………3分 ∴椭圆方程为12822=+y x ………………………………………………4分 （2）∵直线l 平行于OM ，且在y 轴上的截距为m 又K OM =21 m x y l +=∴21的方程为：……………………………………………………5分 由0422128212222=-++∴⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++=m mx x y x m x y ……………………………………6分 ∵直线l 与椭圆交于A 、B 两个不同点，分且解得8...........................................................0,22,0)42(4)2(22≠<<->--=∆∴m m m m（3）设直线MA 、MB 的斜率分别为k 1，k 2，只需证明k 1+k 2=0即可…………9分 设1122(,),(,)A x y B x y 则11112y k x -=-,22212y k x -=-，由222240x mx m ++-= 212122,24x x m x x m +=-=-………………10分 而12122112121211(1)(2)(1)(2)22(2)(2)y y y x y x k k x x x x -----+--+=+=----)2)(2()1(4)2)(2(42)2)(2()1(4))(2()2)(2()2)(121()2)(121(212212*********------+-=----+++=----++--+=x x m m m m x x m x x m x x x x x m x x m x13......................................................0)2)(2(444242212122=+∴=--+-+--=k k x x m m m m 分 故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.…………………………14分 18. 解：（I ）f ′(x)=3ax 2+2bx －3，依题意，f ′(1)=f ′(－1)=0，即,03230323⎩⎨⎧=--=-+b a b a …………………………………………2分 解得a=1，b=0.∴f(x)=x 3－3x.……………………………………………………4分 （II ）∵f(x)=x 3－3x,∴f ′(x)=3x 2－3=3(x+1)(x －1)，当－1<x<1时，f ′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，f max (x)=f(－1)=2，f min (x)=f(1)=－2……………………………………6分∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x 1，x 2，都有|f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x) －f min (x)||f(x 1)－f(x 2)|≤|f max (x)－f min (x)|=2－(－2)=4………………………………8分 （III ）f ′(x)=3x 2－3=3(x+1)(x －1)，∵曲线方程为y=x 3－3x ，∴点A （1，m ）不在曲线上.设切点为M （x 0，y 0），则点M 的坐标满足.30300x x y -=因)1(3)(200-='x x f ，故切线的斜率为13)1(300302---=-x m x x x ，整理得03322030=++-m x x . ∵过点A （1，m ）可作曲线的三条切线，∴关于x 0方程3322030++-m x x =0有三个实根.……………………10分设g(x 0)= 3322030++-m x x ，则g ′(x 0)=60206x x -，由g ′(x 0)=0，得x 0=0或x 0=1.∴g(x 0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.∴函数g(x 0)= 3322030++-m x x 的极值点为x 0=0，x 0=1………………12分∴关于x 0方程3322030++-m x x =0有三个实根的充要条件是⎩⎨⎧<>0)1(0)0(g g ，解得－3<m<－2.故所求的实数a 的取值范围是－3<m<－2.……………………14分19. 解：（1）由)(12*1N n x x n n ∈+=-得)1(211+=+-n n x x ∵11=x ， ∴01≠+n x ，故}1{+n x 是公比为2的等比数列112)1(1-⋅+=+⇒n n x x∴)(12*N n x n n ∈-=.…………………………………………………………6分（2）∵n n n n n n x f y 2112)112(log )(2=+-+-== ， ∴n n n n n Q Q 2)12()12(||11=---=++, 而nn n n Q P 2||= ， …………………9分 ∴四边形11++n n n n P Q Q P 的面积为：4132)221(21|||)||(|211111+=⋅++=⋅+=++++n n n Q Q Q P Q P S n n n n n n n n n n ∴)111(4)33131(12)13131(12)13(312)13(41+-=+-<+-=+=+=n n n n n n n n n n nS n , 故1211114(1)421n S S nS n +++<-<+L .……………………………………………14分 20. 解：（1）y x y x F )1(),(+=Θ942))94(log ,1()(2)94(log 2222+-==+-=∴+-x x x x F x f x x 故A （0，9）…………2分42)('-=x x f ，过O 作C 1的切线，切点为)0)(,(>n t n B ，⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=∴42942n n t n n t 解得B （3，6） …………4分9|)9331()294(3023302=+-=-+-=∴⎰x x x dx x x x S …………6分 （2）令2)1ln(1)(')1()1ln()(x x x x x h x x x x h +-+=≥+= …………8分 令)0)(1ln(1)(>+-+=x x xx x P 0)1(11)1(1)('22<+-=+-+=∴x x x x x P [)+∞∴,0)(在x P 单调递减。