第四章约束问题的最优化方法
第四章约束问题的最优化方法
当limr(k) 0 k
则(x, r(k) ) f (x) , xk * x *
例： 用内点法求
min
f
(x)
x2 1
x2 2
s.t. g( x) 1 x1 0 的约束最优解。
解:
首先构造内点惩罚函数: (
x,
r)
x2 1
x2 2
rk
ln(x1
1)
用解析法求函数的极小值，运用极值条件：
二. 直接解法：
基本思想：合理选择初始点，确定搜索方向，以迭代公式 x(k+1)= x(k)+α(k)S(k)在可行域中寻优，经过若干次迭代，收敛至最优点。 适用范围：只能求解不等式约束优化问题的最优解。
基本要点：选取初始点、确定搜索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。 可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足
1
u1 gu (x)
② .(x, r(k) )
m
f (x) r(k)
1
u1 gu (x)
③ .(x, r (k) )
f (x)
m
r (k) u u 1
1 gu (x)
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
其中：gu (x) 0,u 1,2,...m
gu(x)0, u=1,2,…,p
适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的，即满足 F(xk+1)<F(xk)
收敛条件：
• 边界点的收敛条件应该符合 K-T 条件；
• 内点的收敛条件为： xk1 xk 1
和
机械优化设计-第04章 多维有约束优化方法
第四章：多维有约束优化方法4.1概述一、多维有约束问题的数学模型机械优化设计问题绝大多数是属于多维有约束非线性规划，其数学模型可表示为式中a i、b i分别为x i的下界和上界。
在求解约束优化问题时，虽然可以利用第三章的无约束优化方法，再加上约束的逻辑判断，使搜索点保持在可行域内逐步逼近约束最优解，但这样处理太复杂，缺乏严格的科学性。
因此，出现了一些直接求解约束优化问题的方法，其基本思路也是数值迭代法。
目前，约束优化方法虽然不如无约束优化方法那样多而完善，但对求解工程优化问题已有很多较好的方法。
二、多维有约束优化方法的分类（1)直接法直接法包括：网格法、分层降维枚举法、复合形法、随机试验法、随机方向法、可变容差法和可行方向法。
(2)间接法间接法包括：罚函数法、内点罚函数法、外点罚函数法、混合罚函数法、精确罚函数法、广义乘子法、广义简约梯度法和约束变尺度法。
直接法不需要利用目标函数和约束函数的梯度，就可直接利用迭代点和目标函数值的信息来构造搜索方向。
间接法要利用目标、约束函数的梯度，其中也包括利用差分来近似梯度的应用。
很多约束优化方法是先转变成无约束优化方法来求解。
可见，无约束优化方法也是也是约束优化方法的基础。
4.2复合形法一、方法概述基本思路：在可行域中选取K个设计点（n+1≤K≤2n）作为初始复合形的顶点。
比较各顶点目标函数值的大小，去掉目标函数值最大的顶点(称最坏点)，以坏点以外其余各点的中心为映射中心，用坏点的映射点替换该点，构成新的复合形顶点。
反复迭代计算，使复合形不断向最优点移动和收缩，直至收缩到复合形的顶点与形心非常接近，且满足迭代精度要求为止。
初始复合形产生的全部K个顶点必须都在可行域内。
二、初始复合形的产生复合形法是一种在可行域内收索最优点大直接解法。
(1)确定可行点作为初始复合形的第一个顶点：式中：通过调整随机数，使第一个初始点控制在可行域范围内。
(2)产生其余（K－1）个随机点。
最优化方法4-1第四章 约束最优化方法-KKT条件
(II) f(x)和 c i (x)（i∈I*）在 x*点可微；
（III）c i (x)（i∈I\ I*）在 x*点连续
则 S={p∈Rn | ▽f(x*)Tp<0}
与 G={ p∈Rn |▽c i(x* )Tp>0, i∈I*} 的交是空集，
（iii）▽ci(x*)(i=1,2,…,l)线性无关；
则存在一组不全为零的实数 1*… l*使得
l
▽f(x*)- i *▽c i(x*)=0 1
定义 n+l 元函数：
l
L(x, )=f(x)- Tc(x)=f(x)- ici(x) i1 为 lagrange 函数，
1
1 2
x1 x2 1 0
的 KT 点为 x* (0, 3)T,相应乘子为* (1 ,0)T。
6
例 2：验证(2,1)T 为下面约束优化问题的 K-T 点.
min
f ( x1 , x2 ) ( x1 3)2 ( x2 2)2
恰好给出等式约束问题的一阶必要条件
及 c i(x*)=0，i=1, …,l
点（X*, *）称为 lagrange 函数 L（x, ）的驻点。
几何意义是明显的：考虑一个约束的情况：
-▽f(x*)
-▽f(x ) x
▽c(x )
c(x)
▽c(x*)
这里 x* 是局部最优解，
▽f(x*)与▽c(x*) 共线，
称 为 lagrange 乘子向量。
lagrange 函数的梯度为
▽L(x, )=(▽xL,▽ L)T
最优化理论第四章约束问题最优性条件
定理4.2
设x* s, f ( x), g i ( x), (i I )在x*可微，g i ( x), (i I )在x *连续，
如果x*是问题 2 的局部最优解，则F0 G0 =。 （证明从略）
2.2 定理4.3 （Fritz，John条件）
* 设x* s，I i g i ( x* ) 0 ，f , g i (i I )在x*处可微，g （ i i I）在x 处连续，
第
四
章
约束问题的最优性 条件（P206）
min f(x) 约束优化： s.t. gi (x) 0, h ( x) 0, j
x Rn i 1,..., m j 1,..., l
s x gi ( x) 0, i 1,..., m; h j ( x), j 1,..., l
iI
①K-T条件
* 进一步条件，若g（ i I ）在 x 处可微，K-T条件为： i m （ f x*） - wi gi ( x* ) 0 ② i 1 ② * m n方程组 wi gi ( x ) 0, i 1,..., m ③ ③ ④ wi 0, i 1,..., m * 给定x ，验证是否符合K-T条件用① 应用 * x 未定，求解K-T点，求解② +③
2.4
定理4.5 （约束问题最优解的一阶充分条件）
问题（2）中，f 是凸函数，g （ ）是凹函数，s为可行域，x* s, i i 1,..., m I i gi ( x* ) 0 , f 和gi (i I )在点x*可微，gi (i I )在点x*连续，且在x*处 K - T 条件成立，则x*为全局最优解。 x 1， 0 为全局最优解（例子）
第四章 约束非线性优化
m * 0 f ( x * ) i*ci ( x * ) 0, i 1 *c ( x * ) 0, * 0, i 1, 2, ..., m; * 0. i 0 i i
f ( x* d ) f ( x* ) 且 ci ( x * d ) 0
对于0 = 都成立,这与已知x*为局部极小矛盾.
最优化方法之约束非线性规划 怀化学院数学系
最优性条件
定理4.1( Fritz John一阶必要条件)
设x*为(1)的局部极小点且f ( x ), ci ( x )(1 i m )在点x*可微,
i 1 m
最优化方法之约束非线性规划
怀化学院数学系
最优性条件
Gordan引理的几何意义为:
不存在向量d 使aiT d 0( i 1, ..., m ),是指向量a1 , a2 , ..., am不同时
处于过原点的任何超平面的同一侧.
这时,总可以适当放大或缩小各向量的长度,使变化后 各向量的组合为零向量. 引理4.3(几何最优性条件) 在问题(1)中,假定x*为(1)的局部
% % 不等式约束ci ( x ) 0为x的有效约束;反之，若有ci ( x ) 0, % % 则称不等式约束ci ( x ) 0为x的非有效约束.称所有在x处的 有效约束的下标组成的集合
% % I ( x ) {i | ci ( x ) 0} {1, 2, ..., m}
% % 为x处的有效约束指标集, 简称x处的有效集. 在讨论两个重要引理前先给出凸锥的定义. 定义4.2 设非空集合C Rn , 某一点x C .对d Rn和t 0, 当x d C时,必有x td C , 则称C为以x为顶点的锥.当C
最优化方法与理论第四章 例题
x1 x2 5.
x1 x2 5 0
L( x1 , x2 , ) ( x1 2) 2 ( x2 1) 2 ( x1 x2 5) ，
令 L( x1 , x2 , ) 0 ，即
2( x1 2) 0, 2( x2 1) 0, x x 5 0. 2 1
T
定理 4.5(几何最优性条件)
若 x * 是约束问题（4.7）的局部最优点，则点 x * 的容
许方向锥与下降方向锥的交集是空集.
定理 4.5 表明：在最优点处，一定不存在下降容许方向.换句话说，在最优点处，或 者不存在下降方向，或者任何下降方向都不是容许方向.
定理 4.5 表明：不等式方程组
T ) p 0, i I si ( x T f ( x ) p 0
无解.
引理 4.8（Gordan） 设 a1 , a2 ,, am 是 n 维向量，则不存在向量 p 使得
aiT p 0, i 1, 2,, m
成立的必要条件是，存在不全为零的非负数 1 , 2 ,, m 使得
T
(2)K-T 条件为
2( x1 2) 2 x1 0 , 2 x2 0 2( x2 1) 2 2 (9 x1 x2 ) 0, 0.
① ② ③
由③，若 0 ，代入①得 x1 2, x2 1 .由于[2,1]T∈D，所以[2,1]T 是 K-T 点.又 因是凸规划问题，所以[2,1]T 是最优解.
最优化计算方法(工程优化)第4章
点。
如果 2 f x 负定，则 x 为 f (x) 的严格局部极大点。
无约束优化的最优性条件----凸优化的一阶条件
定理(一阶充要条件)
设 f : Rn R 是凸函数且在 x 处连续可微，则 x 为 f (x)的全局极小点的充要条件是 f (x*) 0.
f (x p) f (x)+f (x)T p o( )
P是什么方向时，函数值 f (x p) 下降最快？也就是
p是什么方向时，f (x)T p 取得最小值？
f (x)T p f (x) p cos(f (x), p)
当 cos(f (x), p) 1 时，f (x)T p 最小，最小值为
令 f x 0, 即：
利用一阶条件 求驻点
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
x12 1 0
x22
2x2
0
得到驻点： 1 1 1 1
x1
0 ,
x2
2 ,
x3
0
,
x4
2
.
无约束优化的最优性条件
函数 f x 的Hesse阵：
2
f
x
2x1
0
0
2
x2
2
利用二阶条件 判断驻点是否 是极小点
2 0
0 2
的行列式小于0；
x1, x4是鞍点；
2
f
x2
2 0
0
2
是正定矩阵；
x2 是极小点；
2
f
x3
2 0
0 2
是负定矩阵；
x3 是极大点。
• 对某些较简单的函数，这样做有时是可行的；
工程优化方法及应用 第四章1-2节
2 x x -0f x 1/2
1 0 0
Page 8
第2次迭代：
-1 f x , -2
1
|| f x1 || 5 0.5,
1
2+1 x x -1f x = 1/2+2 1 ( )=f x1 -f x1 =f 2+ ,1/2+2
2、其基本思想和逻辑结构可以推广到约束问题；
3、约束问题可以转化成无约束问题求解。
f ( x), x D min f ( x) min F ( x), 其中F ( x) n xD 类
解析法：对简单问题，求解必要条件或充分条件； 零阶法：只需计算函数值 f(x) 迭代算法 一阶法：需计算 ▽f(x) 梯度法 二阶法：需计算 ▽2f(x) 建立迭代算法的关键：确定迭代格式
3
5/2+22 3 x x -2f ( x )= = ， 3/2 2 5/4
继续迭代可得到函数的近似最优解。
Page 10
2 2 例 用最速下降法求函数 f ( x1 , x2 )＝x1 的极小点（迭代两 4 x2 T 次）。 并验证相邻两个搜索方向是正交的。初始点 x 0 1,1 。
No
Page 6
Yes stop. x* =xk
dk= －▽f(xk ) min f(xk+λdk) s.t. λ >0 得最佳步长因子λk 令： xk+1=xk+λkdk 解
最速下降法的算例
取 x 0 1,1T , =0.5. 解：函数的梯度为
Page 7
2 2 min f ( x ) x 2 x 例 利用最速下降法求解 1 2 2 x1 x2 4 x1 ,
最优化方法第四章(1)概要
（4.7）
D {x si ( x) 0, i 1,2, , 对于约束问题（4.7），设 x D 。若 x 使得 某个不等式约束有 si ( x ) 0 ，则该不等式约束 si ( x ) 0 称为是关于容许点 x 的起作用约束；否则，若 si ( x ) 0 ， 则该不等式约束称为是关于容许点 x 的不起作用约束。
*
*
G( x* ) S ( x* ) * * p C ( x ) ， 证 根据引理4.3，若 p G( x ) ，则 * * C ( x ) S ( x ) , 从而 G( x* ) C( x* ) 。又根据定理4.5，有 故必有 G( x* ) S ( x* ) 。
j 1
l
Lagrange 函数（4.4)的梯度是
x L L L
其中
x L f ( x ) j h j ( x )
l
L h1 ( x ), h2 ( x ),
最优性必要条件
j 1
hl ( x )
T
L( x* , 1* , 2* ,
C 是凸集，则称为凸锥。
显然，由 的集合
n 维向量 v1, v2 ,
m i 1
, vm 的全部非负组合构成
C {x x i vi , i 0}
是一个以原点为顶点的凸锥。由于这样的凸锥的边界是 （超）平面或直线，所以也称为由 v1 , v2 , , vm 张成的 凸多面锥。 n 是 D 定义4.3 设 R 中的非空集，且 x D。对于非零 n 向量 p R ，若存在 0 ，当 t (0, ) 时，必有 x tp D ，则 p 称为点 x 的容许方向向量，其方向 称为点 x 的容许方向。由点 x 的全部容许方向向量构成的 集合称为点 x 的容许方向锥，记作 C ( x* )
约束最优化方法
约束最优化方法
约束最优化方法是指通过给定约束条件，寻找目标函数的最优解。
以下是一些常用的约束最优化方法：
1. 拉格朗日乘子法：将约束最优化问题转化为无约束最优化问题，通过求解无约束最优化问题得到原问题的最优解。
2. 罚函数法：将约束条件转化为罚函数项，通过不断增加罚函数的权重，使目标函数逐渐逼近最优解。
3. 梯度下降法：通过迭代计算目标函数的梯度，沿着梯度的负方向搜索目标函数的最优解。
4. 牛顿法：通过迭代计算目标函数的Hessian矩阵，使用Hessian矩阵的逆矩阵乘以梯度向量来逼近最优解。
5. 遗传算法：模拟自然界的遗传机制，通过种群迭代的方式搜索最优解。
6. 模拟退火算法：模拟物理退火过程，通过随机搜索的方式搜索最优解。
7. 蚁群算法：模拟蚂蚁觅食行为，通过模拟蚂蚁的信息素传递过程来搜索最优解。
8. 粒子群算法：模拟鸟群、鱼群等群集行为，通过模拟粒子间的相互作用来搜索最优解。
这些方法各有优缺点，应根据具体问题选择合适的方法进行求解。
约束条件下的最优化问题
约束条件下的最优化问题约束条件下的最优化问题是数学和工程领域中的常见问题之一。
在这类问题中，我们需要找到一个满足一系列给定约束条件的最优解。
这类问题可以在多个领域中找到应用，包括经济学、物理学、工程学和计算机科学。
在解决约束条件下的最优化问题时，我们需要首先定义目标函数。
目标函数可以是一个需要最小化或最大化的数值指标。
我们需要确定约束条件，这些约束条件可能是等式或不等式。
约束条件反映了问题的实际限制，我们需要在满足这些限制的情况下找到最优解。
在解决这类问题时，一个常用的方法是使用拉格朗日乘子法。
这种方法基于拉格朗日函数的最优性条件，通过引入拉格朗日乘子来将约束条件融入目标函数中。
通过对拉格朗日函数进行求导，并解方程组可以找到满足约束条件的最优解。
在实践中，约束条件下的最优化问题可能会面临多个挑战。
问题的约束条件可能会很复杂，涉及多个变量和多个限制。
解决这些问题需要使用不同的数学工具和技巧。
问题的目标函数可能是非线性的，这使得求解过程更加复杂。
有时候问题可能会存在多个局部最优解，而不是一个全局最优解。
这就需要使用适当的算法来寻找全局最优解。
解决约束条件下的最优化问题有着重要的理论和实际价值。
在理论上，它为我们提供了了解优化问题的深入洞察和数学分析的机会。
在应用上，它可以帮助我们在现实世界中优化资源分配、最大化利润、降低成本等。
在工程领域中，我们可以使用最优化方法来设计高效的电路、最小化材料使用或最大化系统性能。
在总结上述讨论时，约束条件下的最优化问题是在特定约束条件下寻找最优解的问题。
通过使用拉格朗日乘子法和其他数学工具，我们可以解决这些问题并找到最优解。
尽管这类问题可能会面临一些挑战，但解决这些问题具有重要的理论和实际应用。
通过深入研究和理解约束条件下的最优化问题，我们可以在不同领域中做出更优化的决策，实现更有效的资源利用和更优秀的结果。
参考文献：1. Nocedal, J., & Wright, S. J. (2006). Numerical optimization. Springer Science & Business Media.2. Boyd, S., & Vandenberghe, L. (2004). Convex optimization. Cambridge university press.3. Bazaraa, M. S., Sherali, H. D., & Shetty, C. M. (2013). Nonlinear programming: theory and algorithms. John Wiley & Sons.个人观点和理解：约束条件下的最优化问题在现实生活中起着重要的作用。
第四章 非线性规划 山大刁在筠 运筹学讲义
第四章 非线性规划教学重点：凸规划及其性质，无约束最优化问题的最优性条件及最速下降法，约束最优化问题的最优性条件及简约梯度法。
教学难点：约束最优化问题的最优性条件。
教学课时：24学时主要教学环节的组织：在详细讲解各种算法的基础上，结合例题，给学生以具体的认识，再通过大量习题加以巩固，也可以应用软件包解决一些问题。
第一节 基本概念教学重点：非线性规划问题的引入，非线性方法概述。
教学难点：无。
教学课时：2学时主要教学环节的组织：通过具体问题引入非线性规划模型，在具体讲述非线性规划方法的求解难题。
1、非线性规划问题举例例1 曲线最优拟合问题已知某物体的温度ϕ 与时间t 之间有如下形式的经验函数关系：312c t c c t e φ=++ （*）其中1c ，2c ，3c 是待定参数。
现通过测试获得n 组ϕ与t 之间的实验数据),(i i t ϕ，i=1，2，…,n 。
试确定参数1c ，2c ，3c ，使理论曲线(*)尽可能地与n 个测试点),(i i t ϕ拟合。
∑=++-n 1i 221)]([ min 3i t c i i e t c c ϕ例 2 构件容积问题通过分析我们可以得到如下的规划模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥=++++=0,0 2 ..)3/1( max 212121222211221x x S x x x x a x x t s x x a V ππππ基本概念设n T n R x x x ∈=),...,(1，R R q j x h p i x g x f n j i :,...,1),(;,...,1),();(==,如下的数学模型称为数学规划(Mathematical Programming, MP)：⎪⎩⎪⎨⎧===≤q j x h p i x g t s x f j i ,...,1,0)( ,...,1,0)( ..)( min约束集或可行域X x ∈∀ MP 的可行解或可行点MP 中目标函数和约束函数中至少有一个不是x 的线性函数，称(MP)为非线性规划令 T p x g x g x g ))(),...,(()(1=T p x h x h x h ))(),...,(()(1=，其中，q n p n R R h R R g :,:，那么(MP )可简记为⎪⎩⎪⎨⎧≤≤ 0)( 0 ..)( min x h g(x)t s x f 或者 )(min x f X x ∈ 当p=0,q=0时，称为无约束非线性规划或者无约束最优化问题。
最优化方法(约束优化问题的最优性条件)
s.t. c1 ( x ) = x 1 + x 2 + x 3 − 3 = 0 , c 2 ( x ) = − x 1 + x 2 ≥ 0
c 3 ( x ) = x1 ≥ 0 , c 4 ( x ) = x 2 ≥ 0 , c 5 ( x ) = x 3 ≥ 0
带入约束条件可知满足约束条件 将 x = (1,1,1) 带入约束条件可知满足约束条件
验证KT点的步骤 小结
• • • • • • 1 化为标准形式 2 验证约束成立 并且求得有效约束 3 约束规范 ∇f ( x * ) − λ1 ∇c1 ( x * ) − λ 2 ∇c 2 ( x * ) = 0 4 一阶条件方程 例如 5 验证不等式约束互补条件、乘子的非负性 验证不等式约束互补条件、 6结论 结论
* T
并且有效约束集合为 并且有效约束集合为 I = {1,2}
*
∇f ( x ) = ( −3,−1,−2) T ， ∇c1 ( x ) = ( 2,2,2) T ， ∇c 2 ( x ) = ( −1,1,0) T T T 线性无关。 且 ∇c 1 ( x ) = ( 2,2,2) 与 ∇c 2 ( x ) = ( −1,1,0) 线性无关。
向量 d ，如果对任意的 i ∈ I ( x) 有 ∇ci ( x)T d > 0 , 则 d 是点 x 的 可行方向。
令 证明： x ' = x + t d , t > 0。 则对任意的 i ∈ I ( x ) , 有
ci ( x' ) = ci ( x) + t ∇ci ( x)T d + o( || td ||2 )
= t ∇ci ( x)T d + o( || td ||2 )
第四章约束问题的最优化方法
迭代，产生的极值点 xk*(r(k))
4
序列从可行域外部趋向原目标
函数的约束最优点 x* 。
外点法可以用来求解含不等式和等式约束的优化问题。
二. 惩罚函数的形式：
m
l
( x, r) f ( x) r max[0, gi ( x)]2 r [hj ( x)]2
i1
j1
• 惩罚因子rk 是递增的，rk1 a rk ，a为递增系数，a 1
惩罚项：当迭代点在非可行域或不满足不等式约束条件时，在迭 代过程之中迫使迭代点逼近约束边界或等式约束曲面。
加权因子（即惩罚因子）： r1 , r2
无约束优化问题：min . (x, r1, r2 )
Φ函数的极小点序列 x (k)* ( r1 (k) , r2 (k) ) k= 0,1,2…
其收敛必须满足：
这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和 G．P．Mcormick提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多 维有约束非线性规划问题开创了一个新局面。
适用范围：求解等式约束优化问题和一般约束优化问题。
§4.2 内点惩罚函数法（障碍函数法）
一. 基本思想： 内点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 内，随着惩罚
六. 举例：盖板问题
设计一个箱形截面的盖板。 已知：长度 l0= 600cm，宽度 b = 60cm， h 侧板厚度 ts = 0.5cm，翼板厚度为 tf(cm)，高 度为 h(cm)，承受最大的单位载荷 q = 0.01Mpa。
tf ts
b
要求：在满足强度、刚度和稳定性等条件下，设计一个最轻结构。
f (x) r1G[gu (x)] r2 H[hv (x)]
第四章约束优化方法
iI
如果在x* , g i ( x)可微，i。那么，
m f ( x ) uig i ( x ) 0 i 1 ui* 0 i 1, 2, , m ui g i ( x ) 0 i 1, 2, , m(互补松弛条件) 满足K T 条件的点x*称K T 点。
2( x1 3) 2u1 x1 u 2 0 2( x 2 2) 2u1 x 2 2u 2 0 故x (2,1) T 是K T点。 得u1 1 2 , u2 0 3 3
第四章
4.1 Kuhn-Tucker 条件
二、不等式约束问题的Khun-Tucker条件： （续） ● 2 2 x1 x 2 5 0 g1与g 3交点： 得x (0, 5 ) T x1 0
(0, 5 ) T S , 故不是K T点； (0, 5 ) T S , 不满足g 2 0, 故不是K T点。
●
g 3 , g 4 交点 : x (0,0) T S
I {3,4}故u 解 得u 3 6 0, u 4 4 0 2(0 2) u 4 0 故非K T点.
第四章
4.1 Kuhn-Tucker 条件
一、等式约束性问题的最优性条件： (续) 若(x*,y*)是条件极值，则存在λ* ，使 fx(x*,y*)+ λ* фx (x*,y*) =0 fy(x*,y*)+ λ* фy(x*,y*) =0 Ф (x*,y*)=0 推广到多元情况，可得到对于(fh)的情况： min f(x) 分量形式： s.t. hj(x)=0 j=1,2, …,l 若x*是(fh)的l.opt. ,则存在υ*∈ Rl使
等式约束优化问题的求解方法
等式约束优化问题的求解方法等式约束优化问题是一类重要的数学问题。
它的求解方法在多个领域中得到广泛应用，如机器学习、运筹学、经济学等。
本文将介绍几种常见的求解等式约束优化问题的方法。
一、拉格朗日乘数法拉格朗日乘数法是求解等式约束优化问题的经典方法之一。
设等式约束为f(x)=0，目标函数为g(x)，则拉格朗日函数为：L(x,λ)=g(x)+λf(x)其中，λ称为拉格朗日乘子。
根据最优化问题的求解原理，若x*为最优解，则存在一个λ*使得L(x*,λ*)取最小值。
我们可以通过对L(x,λ)求偏导数，然后令它们等于0，得到x*和λ*的值。
具体来说，求解过程如下：1. 求g(x)的梯度，令其等于λf(x)的梯度，即：∇g(x*)=λ*∇f(x*)2. 求f(x)的值，令其等于0，即：f(x*)=03. 代入公式，解出λ*。
4. 代入公式，解出x*。
值得注意的是，拉格朗日乘数法求解等式约束优化问题的前提是强可行性条件成立，即在f(x)=0的前提下，g(x)的最小值存在。
二、牛顿法牛顿法也是一种常用的求解等式约束优化问题的方法。
它的思路是利用二阶导数信息迭代地逼近最优解。
具体来说，求解过程如下：1. 初始化x0。
2. 计算g(x)和f(x)的一阶和二阶导数。
3. 利用二阶导数信息，优化一个二次模型，即：min{g(x)+∇g(x0)(x-x0)+1/2(x-x0)^TH(x-x0)} s.t. f(x)=0其中H是目标函数g(x)的海塞矩阵。
4. 求解约束最小二乘问题的解x*，即为下一轮的迭代结果。
5. 判断是否满足终止条件。
若满足，则停止迭代，输出结果。
否则，返回第2步。
牛顿法比拉格朗日乘数法更加高效，但是它不保证每次迭代都能收敛到最优解。
三、序列二次规划算法序列二次规划算法是一种求解等式约束优化问题的黑箱算法。
其主要思路是将目标函数g(x)的二次型模型转化为约束最小二乘问题。
这个约束最小二乘问题可以通过牛顿法来求解。
最优化方法第四章(1)
以下几个概念是讨论的基础。
v
v
某 称个为不是定等关义式 于4.1约容对束许于有点约sxv%i束(的xv%问)起题作0（，用4则约.7该）束不，；v等设否式则x%约，束D若。ssi若i((xv%xv%x)%)使0得0，
则该不等式约束称为是关于容许点 x%的不起作用约束。
例如，
不等式约束关于容许集的任意内点都是不起作用约束。
) 时，对于所有的 。根据定义4.3，即
i
，
记
G(
v G(x%)
{ pv
v
v
x%) C(x%)
si
。
(
v x%)T
pv 0,
i I} ，则依引理4.3可知，
v
是方s两i (不 向部xv)起向分由作量，这0用。，梯个约 换变度引束 句成理， 话起看si则 说作(到xv%)，用一pv总约约个是束束事s指曲，实i (向面x且v%，)包若s就i含(sxv是ix%()容仅xv%点)许使0集x把v%0v某的整个，的那个约而一一空束其个侧间，它容。分例约许成如束
由点 xv 的所有下降方向向量构成的集合称为点 xv 的
下降方向锥。 定理4.4 设
f
: Rn
R1 在点
xv 处可微，则点
xv 的
下降方向向量 pv 必满足
f (xv)T pv 0
记 既是点
xvS(
xv) {pv f (xv)T pv 0}
的下降方向锥。显然
，则定理4.4表明， S ( xv)
在第2章和第1章中，已经分别讨论过线性规划问题和 无约束问题的最优性条件。定理2.9是线性规划问题的最 优性充分条件。定理1.15、定理1.17和定理1.18以及推论 1.16分别是无约束问题的最优性必要条件、充分条件以及 充分且必要条件。本节主要讨论一般约束问题的最优性条 件。我们将先从仅含等式约束或不等式约束的问题入手， 然后自然过渡到一般约束问题。
约束问题的最优化方法
3. 优化方法： 选用内点惩罚法，惩罚函数形式为： 6 1 T k k x,r f x r 取 x 0 1,30 , r 0 3 , c 0.7 u 1 g x u 调用 Powell 法求序列无约束优化极值，以逐渐逼近原问 题的极值点。
k 2 x r ( 1 x ) x 1时； x, r k x 1时。 x
4
min.
s.t
f (x) = x
x ∈ R1
g (x) = 1-x ≤ 0
§5.3 外点惩罚函数法
二. 惩罚函数的形式：
①
x, r ( k ) f x r k maxg u x ,0 I u g u x 0 u 1,2,...,m,
(k ) (k ) m
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
1 u 1 g ( x ) u m 1 (k ) (k ) ③ . ( x, r ) f ( x) ru u 1 g u ( x) m 1 (k ) (k ) ④ .( x, r ) f ( x) r 2 u 1 [ g ( x )] u
§5.2 内点惩罚函数法
4. 求解过程分析：
§5.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想： 外点法将新目标函数
Φ( x , r )
构筑在可行域 D
外，随着惩罚因子 r(k) 的不断 递增，生成一系列新目标函数
Φ(xk ,r(k))，在可行域外逐步
迭代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序列从可行域外部趋向原目标 函数的约束最优点 x* 。 例：求下述约束优化问题的最优点。 新目标函数：
第四章最优化方法和最优化设计
xn
x0n
2 x0
x12
2
x0
A x2x1
2 x0
xnx1
2 x0
x1x2
2 x0
x22
2 x0
xnx2
n元函数在Rn域内极值点的必要条件是：
g0 x0 0
LOGO
4.2.2 目标函数
p ：误差函数的指数
p 1时，目标函数是代数和的形式
m
x, W k T x,k Ti k k 1
优点： 优化过程平缓，速度快。 缺点： 传输系数可能出现尖峰，难以处理； 频带边缘处达不到优化目标。
处理方法：在超差频点处加大权函数W k 。
间的凸函数。
数学定义：
设 x为定义在区间a,b上的一元函数，如果对于适合 a x1 x2 b, 0 1的任何x1、x2和恒有 x1 1 x2 x1 1 x2 则 x 称为为定义在区间a,b上的凸函数
第四章 最优化方法与最优化设计
LOGO
第四章 最优化方法与最优化设计
第一节：最优化设计的基本原理 第二节：目标函数 第三节：最优化方法概述 第四节：一维搜索法 第五节：无约束最优化的梯度方法 第六节：无约束最优化的直接方法 第七节：约束最优化问题 1、最优化设计的基本流程和分类如何？ 2、什么是目标函数？ 3、如何使用最速下降法、牛顿法和单纯形法优化电路？ 4、如何使用外罚函数法和内罚函数法优化电路？
Ti ：理想特性函数，即我们所期望的特性值。
W ：频率（或时间）的加权函数。它的作用是加强或减弱给定频率上T x,
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这种方法是1968年由美国学者A．V．Fiacco和G．P．Mcormick 提出的，把不等式约束引入数学模型中，为求多维有约束非线性规 划问题开创了一个新局面。
适用范围：求解等式约束优化问题和一般约束优化问题。
§4.2 内点惩罚函数法（障碍函数法）
一. 基本思想： 内点法将新目标函数 Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 内，随着惩罚 因子 r(k) 的不断递减，生成一系列新目标函数 Φ (xk ,r(k))，在可 行域内逐步迭代，产生的极值点 xk*(r(k)) 序列从可行域内部趋向
新目标函数： ( x, r1 , r2 ) f ( x) r1 G[ gu ( x)] r2 H [hv ( x)] u 1 v 1 其中r Ggu ( x) 和 r H hv ( x) 称为加权转化项，并根据它们在惩 v 1 u 1 罚函数中的作用，分别称为障碍项和惩罚项。
3. 调用无约束优化方法，求新目标函数的最优解 xk* 和 Φ(xk , r(k) ) ； 4. 判断是否收敛：运用终止准则
①
x( k 1) * (r ( k 1) ) xk * (r ( k ) ) 1
②
( x( k 1) * (r ( k 1) )) ( xk * (r ( k ) )) ( x( k 1) * (r ( k 1) ))
[ x* (r k ), r k ] [ x* (r k 1 ), r k 1 ] 1 * k 1 k 1 [ x (r ), r ]
x * (r k ) x* (r k 1 ) 2
五.
方法评价：
用于目标函数比较复杂，或在可行域外无定义的场合下： 由于优化过程是在可行域内逐步改进设计方案，故在解决工程
k 1 k k 1
1
k
k
2
特点：① 在可行域内进行； ② 若可行域是凸集，目标函数是定义在凸集上的凸函数，
则收敛到全局最优点；否则，结果与初始点有关。
三.
间接解法：
目的：将有约束优化问题转化为无约束优化问题来解决。 前提：一不能破坏约束问题的约束条件，二使它归结到原约束问题的 同一最优解上去。 惩罚函数法： 通过构造罚函数把约束问题转化为一系列无约束最优化问题，进 而用无约束最优化方法去求解。惩罚函数法是一种使用很广泛、很有 效的间接解法。 基本思想：以原目标函数和加权的约束函数共同构成一个新的目标函 数 Φ( x, r1 ,r2 )，将约束优化问题转化为无约束优化问题。通 过不断调整加权因子，产生一系列Φ函数的极小点序列 x(k)* (r1(k),r2(k)) k= 0,1,2… ，逐渐收敛到原目标函数的约束最优解。
§4.1
引言
无约束优化方法是优化方法中最基本最核心的部分。但是，在工 程实际中，优化问题大都是属于有约束的优化问题，即其设计变量的 取值要受到一定的限制，用于求解约束优化问题最优解的方法称为约 束优化方法。 根据约束条件类型的不同可以分为三种，其数学模型分别如下： 1、不等式约束优化问题（IP型）
x D Rn s.t. g u ( x ) 0, u 1,2,..., p min F ( x )
6 u 1
gu x
1
取 x 0 1,30 , r 0 3 , c 0.7
T
调用 Powell 法求序列无约束优化极值，以逐渐逼近原问题的极 值点。
4. 求解过程分析：
§4.3 外点惩罚函数法 (衰减函数法）
一. 基本思想： 外点法将新目标函数
Φ( x , r ) 构筑在可行域 D 外，
3. 降低系数 c 的选择：
在构造序列惩罚函数时，惩罚因子r是一个逐次递减到0的数列 ，相邻两次迭代的惩罚因子的关系为 :
r r cr k 1
(k 1,2,...)
式中的c称为惩罚因子的缩减系数，c为小于1的正数。一般的 看法是，c值的大小在迭代过程中不起决定性作用，通常的取值范 围在0.1~0.7之间。 4. 收敛条件：
f ( x* (r 0 )) 2.022
f ( x* (r 0 )) 1.336
f ( x* (r 0 )) 1
内点法的迭代过程在可行域内进行，“障碍项”的作用 是阻止迭代点越出可行域。
三. 1. 2.
步骤： 选取合适的初始点 x(0) ，以及 r(0)、c、计算精度 ε1、ε2 ，令 k=0； 构造惩罚（新目标）函数；
g 3 x 1 0.25x2 0 7 x1 x2 0 45 7 2 g 5 x 1 x1 x2 0 45 1 2 g 6 x 1 x1 x2 0 320
3.
优化方法：
选用内点惩罚法，惩罚函数形式为：
x,r k f x r k
m u 1
m
⑤ .( x, r ) f ( x) r ln[ gu ( x)]
(k )
其中：惩罚（加权）因子 降低系数 c：
r ( 0) r (1) ....r ( k )
0< c <1
r ( k 1) c r ( k )
xk * x *
当lim r ( k ) 0
k
1 x* ( r k ) 0 2
2
当 r0 4
r 0 1.2
r 0 0.36 r0 0
x* (r 0 ) [2 0]T
x* (r 0 ) [1.422 0]T
x* (r 0 ) [1.156 0]T
x* (r 0 ) [1 0]T
f ( x* (r 0 )) 4
k
则( x, r (k ) ) f ( x),
2 2 例： 用内点法求 min f ( x) x1 x2
s.t. g ( x) 1 x1 0
的约束最优解。
2 解: 首先构造内点惩罚函数: ( x, r ) x12 x2 r k ln( x1 1)
用解析法求函数的极小值，运用极值条件： 2 x1 r 0 x x1 1 1 k 1 1 2r 联立求解得： x1 (r k ) 2 x 0 2 2 x2 x (r k ) 0 2 1 1 2r x1 (r ) 时不满足约束条件 g ( x) 1 x1 0 应舍去 。 2 * k 1 1 2r k 无约束极值点为： x (r )
ts b
要求：在满足强度、刚度和稳定性等条件下，设计一个最轻结构。
1. 2.
设计分析：（略） 数学模型：
设计变量： X x1 ,x2 t f ,h
T T
目标函数： min.
f x 120 x1 x2
约束函数： g1 x x1 0
g 2 x x2 0 g 4 x 1
(k ) 1 u 1 m
lim r2 H[hv ( x( k ) )] 0
k
lim [( x ( k ) , r1 , r2 ) f ( x ( k ) )] 0
(k ) (k ) k
分类： 根据约束形式和定义的泛函及罚因子的递推方法等不同，罚函 数法可分为内点法、外点法和混合罚函数法三种。
(k )
(k )
1 u 1 g ( x ) u
m
1. 初始点 x (0) 的选择： 要求：① 在可行域内； ② 不要离约束边界太近。如太靠近某一约束边界，构造 的惩罚函数可能由于障碍项的值很大而变得畸形，使求解无约 束优化问题发生困难. 方法： ① 人工估算，需要校核可行性； ② 计算机随机产生，也需校核可行性。 2. 惩罚因子初始值 r(0) 的选择： 惩罚因子的初值应适当，否则会影响迭代计算的正常进行。 一般而言，太大，将增加迭代次数；太小，会使惩罚函数的性态 变坏，甚至难以收敛到极值点。对于不同的问题，都要经过多次 试算，才能决定一个适当 r0。
2
若均满足，停止迭代，有约束优化问题的最优点为 x* = xk*；
若有一个准则不满足，则令 x ( 0 ) xk * (r ( k ) ), r ( k 1) c r ( k ) , k k 1
并转入第 3 步，继续计算。
四.
几个参数的选择：
( x ,索方向及适当步长。
搜索原则：每次产生的迭代点必须满足可行性与适用性两个条件。 可行性：迭代点必须在约束条件所限制的可行域内，即满足 gu(x)0, u=1,2,…,p 适用性：当前迭代点的目标函数值较前一点是下降的，即满足 F(xk+1)<F(xk)
收敛条件：
• 边界点的收敛条件应该符合 K-T 条件； • 内点的收敛条件为： x x 和 f x f x f x
1 u 1 g ( x ) u
m
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
③ .( x, r ) f ( x) ru ( k )
(k ) u 1
m
1 g u ( x)
④ .( x, r ) f ( x) r
(k )
(k )
(k )
1 [ g ( x)]2 u 1 u
原目标函数的约束最优点 x* 。
内点法只能用来求解具有不等式约束的优化问题。
二.
惩罚函数的形式：
(k ) (k ) m
1 ① . ( x, r ) f ( x) r u 1 g ( x ) u
② . ( x, r ) f ( x) r
(k ) (k )
其中：gu ( x) 0, u 1,2,...m
一. 约束优化问题解法分类： 约束优化方法按求解原理的不同可以分为直接法和间接法两类。
直接解法：随机方向搜索法、复合形法、可行方向法
间接解法：内点惩罚函数法、外点惩罚函数法、混合惩罚函数法 二. 直接解法：