导数及其应用》单元测试题(详细答案)
高中数学选修第三章《导数及其应用》知识点归纳及单元测试
不合要求;综上, 为所求。
20.<1)解法1:∵ ,其定义域为 ,
∴ .
∵ 是函数 的极值点,∴ ,即 .
∵ ,∴ .
经检验当 时, 是函数 的极值点,
∴ .
解法2:∵ ,其定义域为 ,
∴ .
令 ,即 ,整理,得 .
∵ ,
∴ 的两个实根 <舍去), ,
当 变化时, , 的变化情况如下表:
<A) <B) <C) <D)
5.若曲线 的一条切线 与直线 垂直,则 的方程为< )
A. B. C. D.
6.曲线 在点 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为< )
A. B. C. D.
7.设 是函数 的导函数,将 和 的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是< )
8.已知二次函数 的导数为 , ,对于任意实数 都有 ,则 的最小值为< )A. B. C. D. b5E2RGbCAP
A
如图所示,切线BQ的倾斜角小于
直线AB的倾斜角小于 Q
切线AT的倾斜角
O 1 2 3 4 x
所以选B
11.
12.32
13.
14. (1>
三、解答题
15. 解:设长方体的宽为x<m),则长为2x(m>,高为
.
故长方体的体积为
从而
令V′<x)=0,解得x=0<舍去)或x=1,因此x=1.
当0<x<1时,V′<x)>0;当1<x< 时,V′<x)<0,
17.设函数 分别在 处取得极小值、极大值. 平面上点 的坐标分别为 、 ,该平面上动点 满足 ,点 是点 关于直线 的对称点,.求(Ⅰ>求点 的坐标; (Ⅱ>求动点 的轨迹方程. RTCrpUDGiT
选修二第二单元《一元函数的导数及其应用》测试题(含答案解析)
一、选择题1.已知函数()()221sin 1x xf x x ++=+,其中()f x '为函数()f x 的导数,则()()()()2020202020192019f f f f ''+-+--=( )A .0B .2C .2019D .20202.已知111ln 20x x y --+=,22262ln 20x y +--=,记()()221212M x x y y =-+-,则( )A .M 的最小值为25B .M 的最小值为45C .M 的最小值为85D .M 的最小值为1653.已知()21ln (0)2f x a x x a =+>,若对任意两个不等的正实数1x ,2x ,都有()()12122f x f x x x ->-恒成立,则a 的取值范围是( )A .(]0,1B .()1,+∞C .()0,1D .[)1,+∞4.已知()1()2ln 0f x a x x a x ⎛⎫-⎪⎝⎭=->在[1)+∞,上为单调递增函数,则a 的取值范围为( )A .[0)+∞,B .(0)+∞,C .(1)+∞,D .[1)+∞, 5.已知函数f (x )(x ∈R )满足(1)1f =,且()f x 的导数f ′(x )>12,则不等式1()22x f x <+的解集( ) A .(-∞,1) B .(1,+∞)C .(-∞,-1]∪[1,+∞)D .(-1,1)6.已知函数()2ln 1f x x x =--,则()y f x =的图象大致为( )A .B .C .D .7.定义域为R 的函数()f x 的导函数为()f x ',满足()()f x f x '<,若()01f =,则不等式()xf x e >的解集为( )A .()01,B .()1+∞, C .()1-∞, D .()0-∞,8.函数()262xf x x x e =-+的极值点所在的区间为( ) A .()1,0- B .()0,1C .()1,2D .()2,1--9.已知函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数,则实数m 的取值范围为( ) A .45m ≤≤B .24m ≤≤C .2m ≤D .4m ≤10.函数()ln 22f x x x x a =-++,若()f x 与()()f f x 有相同的值域,则a 的取值范围为( ) A .(],0-∞B .1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦C .30,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭D .[)0,+∞11.已知函数2()sin cos f x x x x x =++,则不等式1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<的解集为( ) A .(,)e +∞B .(0,)eC .1(,)e eD .1(0,)(1,)e e12.已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 的导函数()f x '满足()1xf x '>,则( ) A .()()21ln 2f f -< B .()()21ln 2f f -> C .()()211f f -<D .()()211f f ->二、填空题13.已知曲线()32351f x x x x =+-+,过点()1,0的直线l 与曲线()y f x =相切于点P ,则点P 的横坐标为______________.14.已知()f x 是定义在R 上的奇函数,当0x >时,()()xf x f x '<,若()10f =,则不等式()0f x x>的解集为________. 15.已知函数1()f x x ax=+在(),1-∞-上单调递增,则实数a 的取值范围是_____________.16.函数322()f x x ax bx a =--+在1x =处有极值10,则+a b 的值为________. 17.已知曲线x xy e=在1x x =处的切线为1l ,曲线ln y x =在2x x =处的切线为2l ,且12l l ⊥,则21x x -的取值范围是_________.18.已知32()26f x x x m =-++(m 为常数)在[]22-,上有最小值3,那么此函数在[]22-,上的最大值为______.19.已知函数()sin f x x x =+,若正实数,a b 满足()()490f a f b +-=,则11a b+的最小值为______________. 20.已知函数f (x )=ln x -f ′ (12)x 2+3x -4,则f ′(1)=________. 三、解答题21.已知函数321()12f x x x ax =-++. (1)当2a =时,求曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;(2)若函数()f x 在1x =处有极小值,求函数()f x 在区间31,2⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的最大值.22.已知函数2()ln f x x x =-,()g x kx =. (1)求函数()f x 的最小值;(2)若()g x 是()f x 的切线,求实数k 的值;(3)若()f x 与()g x 的图象有两个不同交点A (1x ,1y ),B (2x ,2y ),求证:121x x >. 23.已知函数311()ln 62f x x x x x =+-.(1)求曲线()y f x =在点(1,(1)f )处的切线方程; (2)若()f x a <对1(,)x e e∈恒成立,求a 的最小值. 24.已知函数()3ln 42x a f x x x =+--,其中a R ∈,且曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =. (1)求a 的值;(2)求函数()f x 的单调区间.25.已知集合M 是同时满足下列两个性质的函数()f x 的全体①函数()f x 在其定义域上是单调函数;②()f x 的定义域内存在区间[]a b ,,使得()f x 在[]a b ,上的值域为22a b ⎡⎤⎢⎥⎣⎦,.(1)判断()3g x x =是否属于M ,若是,求出所有满足②的区间[]a b ,,若不是,说明理由;(2)若()h x t M =∈,求实数t 的取值范围.26.已知a ∈R ,函数()2ln f x x a x =-. (1)若有极小值0,求a 的值;(2)若存在1x 、()20,1x ∈,使得不等式()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立,求实数a 的取值范围.【参考答案】***试卷处理标记,请不要删除一、选择题 1.B 解析:B 【分析】将函数解析式变形为()22sin 11x xf x x +=++,求得()f x ',进而可求得所求代数式的值. 【详解】()()222221sin 12sin 2sin 1111x x x x x x x f x x x x ++++++===++++,所以,()()()()()2222020sin 202022020sin 202020202020222020120201f f ⨯-+-⨯++-=++=+-+, ()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x++-+'=+,函数()f x '的定义域为R ,()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-⋅-++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦-=⎡⎤-+⎣⎦'()()()()()2222cos 122sin 1x x x x x f x x ++-+'==+, 所以,函数()f x '为偶函数,因此,()()()()20202020201920192f f f f ''+-+--=. 故选:B. 【点睛】结论点睛:本题考查利用函数奇偶性求值,关于奇函数、偶函数的导函数的奇偶性,有如下结论:(1)可导的奇函数的导函数为偶函数; (2)可导的偶函数的导函数为奇函数. 在应用该结论时,首先应对此结论进行证明.2.D解析:D 【分析】设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,点A 在函数2y lnx x =-+的图象上,点B 在直线22260x y ln +--=上,则221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方,利用导数求出切点坐标,再由点到直线的距离公式求解.求出d 的最小值为两直线平行时的距离,即可得到M 的最小值,并可求出此时对应的2x 从而得解. 【详解】解:设1(A x ,1)y ,2(B x ,2)y ,点A 在函数2y lnx x =-+的图象上,点B 在直线24220x y ln +--=上,221212()()M x x y y =-+-的最小值转化为函数2y lnx x =-+的图象上的点与直线22260x y ln +--=上点距离最小值的平方.由2y lnx x =-+,得11y x'=-,与直线22260x y ln +--=平行的直线的斜率为12k =-.令1112x -=-,得2x =,则切点坐标为(2,2)ln , 切点(2,2)ln 到直线22260x y ln +--=的距离d == 即221212()()M x x y y =-+-的最小值为165. 又过(2,2)ln 且与22260x y ln +--=垂直的直线为22(2)y ln x -=-,即2420x y ln --+=,联立222602420x y ln x y ln +--=⎧⎨--+=⎩,解得145x =,即当M 最小时,2145x =. 故选:D . 【点睛】本题考查函数的最值及其几何意义,考查数学转化思想方法,训练了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程,属于中档题.3.D解析:D 【分析】 根据条件()()12122f x f x x x ->-可变形为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-,构造函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-,利用其为增函数即可求解. 【详解】根据1212()()2f x f x x x ->-可知112212()2[()]20f x x f x x x x --->-, 令()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>- 由112212()2[()]20f x x f x x x x --->-知()g x 为增函数,所以()()'200,0ag x x x a x=+-≥>>恒成立, 分离参数得()2a x x ≥-,而当0x >时,()2x x -在1x =时有最大值为1, 故1a ≥. 故选:D 【点睛】关键点点睛:本题由条件()()12122f x f x x x ->-恒成立,转化为112212()2[()]20f x x f x x x x --->-恒成立是解题的关键,再根据此式知函数()21()2ln ()202g x f x x a x a x x =-=+>-为增函数,考查了推理分析能力,属于中档题. 4.D解析:D 【分析】首先求导,由题意转化为在[1,)x ∈+∞,220ax x a -+≥恒成立,即221xa x ≥+在[1,)+∞上恒成立.再利用基本不等式求出221xx +的最大值即可. 【详解】222()ax x af x x-+'=,(0)a > 因为()f x 在[1,)+∞上为单调递增,等价于220ax x a -+≥恒成立. 即221xa x ≥+在[1,)+∞上恒成立. 因为222111x x x x x x=≤=++,当1x =时,取“=”, 所以1a ≥,即a 的范围为[1,)+∞.故选:D 【点睛】本题主要考查利用导数的单调区间求参数的问题,同时考查了学生的转化思想,属于中档题.5.A解析:A 【分析】 根据f ′(x )>12,构造函数 ()()122x g x f x =-- ,又()()1111022=--=g f ,然后将不等式1()22x f x <+,转化为1()022--<x f x ,利用单调性的定义求解. 【详解】 因为f ′(x )>12,所以()102f x '-> 所以()()()()()110222x g x f x g x f x g x =--⇒=->⇒'' 在R 上递增, 又()()1111022=--=g f , 所以不等式1()22x f x <+,即为1()022--<x f x , 即为:()()1g x g <, 所以1x <, 故选:A 【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数以及单调性的应用,还考查了构造转化求解问题的能力,属于中档题.6.A解析:A 【分析】利用函数的定义域和函数的值域排除BD ,通过函数的单调性排除C ,推出结果即可. 【详解】令()ln 1g x x x =--,则11()1x g x x x-'=-=, 由()0g x '>得1x >,即函数()g x 在(1,)+∞上单调递增, 由()0g x '<得01x <<,即函数()g x 在(0,1)上单调递减, 所以当1x =时,()()min 10g x g ==, 于是对任意(0,1)(1,)x ∈+∞,有()0g x >,则()0f x >,故排除BD ,因为函数()g x 在()0,1单调递减,则函数()f x 在()0,1递增,故排除C. 故选:A. 【点睛】本题考查利用导数对函数图象辨别,属于中档题.7.D解析:D 【分析】 构造函数()()x f x g x e=,用导数法得到()g x 在R 上递减,然后由()01f =,得到()01g =,再利用函数的单调性定义求解.【详解】令()()x f x g x e=,因为()()f x f x '<, 则()()()0xf x f xg x e'-'=<, 所以()g x 在R 上递减, 又()01f =,则()01g =, 不等式()xf x e >等价于()()10xf xg e>= , 所以0x <. 故选:D 【点睛】本题主要考查函导数与函数的单调性以及函数单调性解不等式,还考查了构造函数求解问题的能力,属于中档题.8.B解析:B 【分析】求出函数的导数,根据函数的零点判定定理求出函数的极值点的区间即可. 【详解】()262x f x x e '=-+,且()f x '为单调函数,∴()12620f e '=-+>,()0620f '=-+<, 由()()010f f ''<,故()f x 的极值点所在的区间为()0,1, 故选:B. 【点睛】本题主要考查了导数的应用,函数的极值点的意义,考查转化思想,属于中档题.9.D解析:D 【分析】求出函数的导数,利用函数的单调性,推出不等式,利用基本不等式求解函数的最值,即可得结果 【详解】 解:由()32114332f x x mx x =-+-,得'2()4f x x mx =-+, 因为函数()32114332f x x mx x =-+-在区间[]1,2上是增函数, 所以240x mx -+≥在[]1,2上恒成立,得4m x x≤+恒成立因为44x x +≥=,当且仅当4x x =,即2x =时取等号,所以4m ≤, 故选:D 【点睛】此题考查导数的应用,考查函数最值的求值,考查基本不等式应用,考查转化思想,属于中档题10.B解析:B 【分析】判断()f x 的单调性,求出()f x 的值域,根据()y f x =与(())y f f x =有相同的值域得出()f x 的最小值与极小值点的关系,得出a 的范围.【详解】()f x lnx '=,故而当1x >时,()0f x '>,当01x <<时,()0f x '<,()f x ∴在(0,1)上单调递减,在(1,)+∞上单调递增,()f x ∴的最小值为()121f a =+,且x →+∞时,()f x →+∞即()f x 的值域为[)21,a ++∞,函数()y f x =与(())y f f x =有相同的值域,且()f x 的定义域为(0,)+∞,0211a ∴<+≤,解得:102-<≤a .故选:B 【点睛】本题考查了导数研究函数的单调性,考查函数最值的计算,属于中档题.11.C解析:C 【分析】先判断出()f x 为R 上的偶函数,再利用当0x >时,()'0f x >得到函数的单调性,从而可解原不等式. 【详解】因为()()()()22()sin cos sin cos f x x x x x x x x x f x -=--+-+-=++=,所以()f x 为R上的偶函数,又1(ln )(ln )2(1)0f x f f x+-<等价于(ln )(ln )2(1)0f x f x f +--<即:(ln )(1)f x f <,()'()sin cos sin 22cos f x x x x x x x x =+-+=+,当0x >时,()'0f x >,故()f x 在()0,∞+为增函数,故(ln )(1)f x f <等价于ln 1x <即1ln 1x -<<即1x e e <<,故不等式的解集为1e e ⎛⎫⎪⎝⎭,,故选C.【点睛】对于偶函数()f x ,其单调性在两侧是相反的,并且()()()f x fx f x ==-,对于奇函数()g x ,其单调性在两侧是相同的.另外解函数不等式要利用函数的单调性去掉对应法则f .12.B解析:B 【解析】分析:根据题意,由()1xf x '>可得()()'1f x lnx x='>,构造函数()()g x f x lnx =-,可得()()()110xf x g x f x x x-=-=''>',故()g x 单调递增,根据单调性可得结论.详解:令()(),0g x f x lnx x =->,∴()()()11xf x g x f x x x=''-'-=,∵()1xf x '>, ∴()0g x '>,∴函数()g x 在()0,+∞上单调递增, ∴()()21g g >,即()()2211f ln f ln ->-, ∴()()21ln2f f ->. 故选B .点睛:本题考查对函数单调性的应用,考查学生的变形应用能力,解题的关键是根据题意构造函数()()g x f x lnx =-,通过判断函数的单调性得到函数值间的关系,从而达到求解的目的.二、填空题13.0或或【分析】设切点的坐标由求出切线方程把代入切线方程可求得切点坐标【详解】设的坐标为过点的切线方程为代入点的坐标有整理为解得或或故答案为:0或或【点睛】本题考查导数的几何意义求函数图象的切线方程要解析:0或1-或53【分析】设切点P 的坐标,由P 求出切线方程,把(1,0)代入切线方程可求得切点坐标. 【详解】设P 的坐标为()32,351m m m m +-+,2()9101f x x x +'=-,过点P 的切线方程为()()3223519101()m m m m x y m m +-+=+---,代入点()1,0的坐标有()()()32235191011mm m mm m --+-+=+--,整理为323250m m m --=,解得0m =或1m =-或53m =, 故答案为:0或1-或53. 【点睛】本题考查导数的几何意义.求函数图象的切线方程要分两种情况:(1)函数()y f x =图象在点00(,)P x y 处的切线方程,求出导函数,得出切线方程000()()y y f x x x '-=-;(2)函数()y f x =图象过点00(,)P x y 处的切线方程:设切线坐标11(,)x y ,求出切线方程为111()()y y f x x x '-=-,代入00(,)x y 求得11,x y ,从而得切线方程.14.【分析】令对其求导由时可知从而在上单调递减由的奇偶性可得是定义域上的偶函数从而可得出在上的单调性再结合可求出的解集【详解】由题意令则因为时则故在上单调递减又是定义在上的奇函数所以所以即是上的偶函数根 解析:()()1,00,1-【分析】 令()()f xg x x=,对其求导,由0x >时,()()xf x f x '<,可知()0g x '<,从而()g x 在()0,∞+上单调递减,由()f x 的奇偶性,可得()g x 是定义域上的偶函数,从而可得出()g x 在(),0-∞上的单调性,再结合()()110g g -==,可求出()0g x >的解集.【详解】 由题意,令()()f x g x x =,则()()()2xf x f x g x x'-'=, 因为0x >时,()()xf x f x '<,则()()()20xf x f x g x x'-'=<,故()g x 在()0,∞+上单调递减,又()f x 是定义在R 上的奇函数,所以()()f x f x -=-,所以()()()()()f x f x f x g x g x x x x---====--,即()g x 是()(),00,-∞⋃+∞上的偶函数,根据偶函数的对称性,可知()g x 在(),0-∞上单调递增,且()()()11101f g g -===,所以()()1,00,1x ∈-时,()0g x >.故答案为:()()1,00,1-.【点睛】关键点点睛:本题考查不等式的解集,解题关键是求出函数的单调性.本题通过构造函数()()f xg x x=,求导并结合当0x >时,()()xf x f x '<,可求出函数()g x 在()0,∞+上的单调性,再结合函数的奇偶性,可求出()g x 在定义域上的单调性.考查了学生的运算求解能力,逻辑推理能力,属于中档题.15.【分析】根据题意将问题转化为以在区间上恒成立再分类讨论即可得答案【详解】解:因为函数在上单调递增所以在区间上恒成立当时显然在区间上恒成立当时因为在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以在区间上恒成立所以 解析:()[),01,-∞+∞【分析】根据题意将问题转化为以()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立,再分类讨论即可得答案. 【详解】解:因为函数1()f x x ax=+在(),1-∞-上单调递增, 所以()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立, 当0a <时,显然()22211'10ax f x ax ax -=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立, 当0a >时,因为()22211'10ax f x ax ax-=-=≥在区间(),1-∞-上恒成立, 所以210ax -≥在区间(),1-∞-上恒成立, 所以21≥a x 在区间(),1-∞-上恒成立, 所以2max11a x ⎛⎫≥= ⎪⎝⎭ 综上实数a 的取值范围是()[),01,-∞+∞故答案为:()[),01,-∞+∞【点睛】本题考查根据函数在区间上单调求参数范围问题,考查化归转化思想与数学运算能力,是中档题.16.【分析】先根据极值列方程组解得值再代入验证即可确定结果【详解】解∵函数∴又∵函数当时有极值10∴∴或当时有不等的实根满足题意;当时有两个相等的实根不满足题意;∴【点睛】本题考查根据极值求参数考查基本 解析:7a b +=【分析】先根据极值列方程组解得a b ,值,再代入验证,即可确定结果. 【详解】解∵函数322()f x x ax bx a =--+∴2()32f x x ax b '=--,又∵函数322()f x x ax bx a =--+,当1x =时有极值10,∴2320110a b a b a --=⎧⎨--+=⎩,∴411a b =-⎧⎨=⎩或33a b =⎧⎨=-⎩当411a b =-⎧⎨=⎩时,2()32(1)(311)0f x x ax b x x '=--=-+=有不等的实根满足题意; 当33a b =⎧⎨=-⎩时,22()323(1)0f x x ax b x '=--=-=有两个相等的实根,不满足题意; ∴7a b += 【点睛】本题考查根据极值求参数,考查基本分析求解能力,属中档题.17.【分析】由求导根据得到由得到而然后令用导数法求解【详解】令则所以因为故所以因为故又令则当时为减函数故所以在上恒成立故在上为减函数所以即因此的取值范围是故答案为:【点睛】本题主要考查导数的几何意义导数 解析:(),1-∞-【分析】由()xx f x e =,()ln g x x =,求导,根据12l l ⊥,得到1121x x x e -=,由20x >,得到11x >.而112111x x x x x e --=-,然后令()1,1x x h x x x e-=->,用导数法求解.【详解】令()x x f x e =,()ln g x x =,则()1x xf x e -'=,()1g x x'=,所以1111x x k e -=,221k x =, 因为12l l ⊥,故112111x x e x -⨯=-,所以1121x x x e -=, 因为20x >,故11x >.又112111x x x x x e --=-,令()1,1x x h x x x e -=->,则()221xx xx x e h x e e---=-=', 当()1,x ∈+∞时,2xy x e =--为减函数,故12210x x e e --<--<,所以()0h x '<在()1,+∞上恒成立, 故()h x 在()1,+∞上为减函数,所以()()11h x h <=-,即211x x -<-. 因此,21x x -的取值范围是(),1-∞-. 故答案为:(),1-∞-. 【点睛】本题主要考查导数的几何意义,导数与函数的最值,还考查了运算求解的能力,属于中档题.18.43【分析】先求导数判断函数单调性和极值结合(为常数)在上有最小值3求出的值再根据单调性和极值求出函数的最大值【详解】令解得或当时单调递减当时单调递增当时单调递减所以在时有极小值也是上的最小值即函数解析:43. 【分析】先求导数,判断函数单调性和极值,结合32()26f x x x m =-++(m 为常数)在[]22-,上有最小值3,求出m 的值,再根据单调性和极值求出函数的最大值. 【详解】32()26f x x x m =-++, 2()6126(2)f x x x x x '∴=-+=--,令 ()0f x '=,解得 0x =或2x =,当20x -<<时,()0,()f x f x '<单调递减,当02x <<时,()0,()f x f x '>单调递增,当2x >时,()0,()f x f x '<单调递减,所以()f x 在0x =时有极小值,也是[]22-,上的最小值, 即(0)3f m ==,函数在[]22-,上的最大值在2x =-或2x =时取得, 3232(2)2(2)6(2)343;(2)2262311f f -=-⨯-+⨯-+==-⨯+⨯+=,∴函数在[]22-,上的最大值为43.故答案为:43 【点睛】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性和极值,函数的最值,属于中档题.19.1【分析】由知为奇函数求导分析为增函数故利用可以算得的关系再利用基本不等式的方法求的最小值即可【详解】故为奇函数又所以为增函数又故所以当且仅当时取得最小值1故答案为1【点睛】本题主要考查函数的奇偶性解析:1 【分析】由()sin f x x x =+知()f x 为奇函数,求导分析()f x 为增函数,故利用()()490f a f b +-=可以算得,a b 的关系,再利用基本不等式的方法求11a b+的最小值即可. 【详解】()sin()sin ()f x x x x x f x -=-+-=--=-,故()f x 为奇函数,又()'1cos 0f x x =+≥,所以()f x 为增函数.又()()()()()490,499f a f b f a f b f b +-==--=-, 故49,49a b a b =-+=,所以()11111144599b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1519⎛≥+= ⎝,当且仅当4b aa b =时取得最小值1. 故答案为1 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性与单调性的运用以及基本不等式的用法,属于中等题型.20.-1【分析】根据题意由函数f (x )的解析式对其求导可得在其中令可得再令即可解可得f′(1)的值【详解】根据题意函数f(x)=lnx -f′()x2+3x -4其导数令令则即答案为-1【点睛】本题考查导数解析:-1 【分析】根据题意,由函数f (x )的解析式对其求导可得112'32f x xf x '=-+()() ,在其中令12x =可得12f ⎛⎫' ⎪⎝⎭,再令1x =即可解可得f′(1)的值, 【详解】根据题意,函数f (x )=ln x -f ′ (12)x 2+3x -4, 其导数112'32f x xf x '=-+()(),令12x =,1111152'3,,1222222f f f '=-⨯⨯+∴'=()()() 令1x =,则15213 1.12f x '=-⨯⨯+=-() 即答案为-1. 【点睛】本题考查导数的计算,注意12f ⎛⎫'⎪⎝⎭为常数. 三、解答题21.(1)210x y -+=;(2)4927. 【分析】(1)当2a =时,求得函数的导数2()32f x x x '=-+,得到(0)2f '=,即可求解曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程;(2)由函数在1x =处有极小值,求得2a =-,得到2()32f x x x '=--,根据导数的符号,求得函数的单调性,进而求得函数的最大值,得到答案. 【详解】(1)当2a =时,函数321()212f x x x x =-++, 可得2()32f x x x '=-+,可得(0)2f '=又由()01f =,所以曲线()y f x =在点()()0,0f 处的切线方程12(0)y x -=-,即210x y -+=.(2)由321()12f x x x ax =-++,可得2()3f x x x a '=-+, 因为函数在1x =处有极小值,可得(1)20f a '=+=,解得2a =-,此时321()212f x x x x =--+,且2()32f x x x '=--, 令()0f x '=,即2320x x --=,解得23x =-或1x =, 当23x <-或1x >时,()0f x '>,函数()f x 单调递增; 当213x -<<时,()0f x '<,函数()f x 单调递减, 所以函数()f x 在23(2,),(1,)32--上单调递增,在区间2(,1)3-上单调递减,所以()11,(2)52f f =--=-, 因为24931(),()32724f f -==, 所以函数()f x 的最大值为249()327f -=. 【点睛】解决函数极值、最值综合问题的策略:求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小;求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过比较才能下结论; 函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值. 22.(1)11ln 222+;(2)1;(3)证明见解析. 【分析】(1)利用导数求出其单调性,即可得出函数()f x 的最小值;(2)利用导数的几何意义得出切线方程20000121ln y x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,再由2000012,1ln 0x k x x x -=-+-=求出k 的值; (3)将22111222ln ,ln x x kx x x kx -=-=两式相加相减化简得出2121212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++=-,令211x t x =>,构造函数2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+,利用单调性证明2(1)ln 1t t t ->+,从而得出1212ln 22x x x x +>,再由令()ln 2G x x x =+的单调性得出12()(1)G x x G >,从而得出121x x >. 【详解】解:(1)∵2()ln f x x x =-,∴2121()2(0)x f x x x x x-'=-=>当0,2x ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭时,()0f x '<,∴()f x在2⎛ ⎝⎭上单调递减;当,2x ⎛⎫∈+∞ ⎪ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,∴()f x在⎫+∞⎪⎪⎝⎭上单调递增. 故函数()f x的最小值为211ln ln 222222f ⎛⎫⎛⎫=-=+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭(2)若()g x 是()f x 的切线,设切点为00(,())x f x 则过点00(,())x f x 的切线方程为000()()()y f x x x f x '=-+即20000012()ln y x x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭,即20000121ln y x x x x x ⎛⎫=--+- ⎪⎝⎭ 由题意知2000012,1ln 0x k x x x -=-+-= 令2()1ln (0)h x x x x =-+->,则0x >时,1()20h x x x'=--< ∴2()1ln h x x x =-+-在(0,)+∞上单调递增,又(1)0h =∴2001ln 0x x -+-=有唯一的实根01x =,则0012211k x x =-=-=. (3)由题意知22111222ln ,ln x x kx x x kx -=-=两式相加得22121212ln ()x x x x k x x +-=+两式相减得22221211ln ()x x x k x x x --=-,即212121ln x x x x k x x +-=-∴22211212211221ln ln ()x x x x x x x x x x x x ⎛⎫ ⎪ ⎪+-=+-+-⎪ ⎪⎝⎭,即2121212211ln 2ln x x x x x x x x x x ++=- 不妨令120x x <<,记211x t x =>,则2121212211ln 2ln x x xx x x x x x x ++==-1ln 1t t t +- 令2(1)()ln (1)1t F t t t t -=->+,则2(1)()0(1)t F t t t -'=>+∴2l ())1n 1(t F t t t -=-+在(1,)+∞上单调递增,则2(1)()ln (1)01t F t t F t -=->=+ ∴2(1)ln 1t t t ->+,因而1212ln 2x x x x +=112(1)ln 2111t t t t t t t ++->⋅=--+ 令()ln 2G x x x =+,则0x >时,1()20G x x'=+>,∴()G x 在(0,)+∞上单调递增∵121212()ln 22(1)G x x x x x x G =+>=,∴121x x >. 【点睛】在处理极值点偏移问题时,关键是构造新函数,结合单调性解决极值点偏移问题. 23.(1)23y =;(2)31162e e -. 【分析】 (1)求导211'()ln 22f x x x =--,再分别求得(1)f ,'(1)f ,用点斜式写出切线方程.(2)根据()f x a <对1(,)x e e∈恒成立,则()max a f x >,再利用导数求解()max f x 即可. 【详解】(1)()f x 的定义域为(0,)+∞. 由已知得211'()ln 22f x x x =--,且2(1)3f =. 所以'(1)0f =.所以曲线()y f x =在点(1,(1)f )处的切线方程为23y =. (2)设()'()g x f x =,(1x e e<<) 则211'()x g x x x x-=-=. 令'()0g x =得1x =.当x 变化时,'()g x 符号变化如下表:x 1(,1)e1 (1,)e '()g x-+()g x极小则,即,当且仅当时,所以()f x 在1(,)e e上单调递增. 又311()62f e e e =-, 因为()f x a <对1(,)x e e∈恒成立, 所以31162a e e ≥-, 所以a 的最小值为为31162e e -. 【点睛】方法点睛:恒(能)成立问题的解法: 若()f x 在区间D 上有最值,则(1)恒成立:()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>;()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<; (2)能成立:()()max ,00x D f x f x ∃∈>⇔>;()()min ,00x D f x f x ∃∈<⇔<. 若能分离常数,即将问题转化为:()a f x >(或()a f x <),则(1)恒成立:()()max a f x a f x >⇔>;()()min a f x a f x <⇔<;(2)能成立:()()min a f x a f x >⇔>;()()max a f x a f x <⇔<;24.(1)54a =;(2)单调递减区间是()0,5,单调递增区间是()5,+∞. 【分析】(1)求导,使()12f '=-求解a 的值;(2)将(1)中所求a 的值代入,求解()0f x '>和()0f x '<的区间,从而得出函数()f x 的单调区间.【详解】(1)对()f x 求导得()2114a f x x x=--', 由()f x 在点()()1,1f 处的切线垂直于直线12y x =, 知()3124f a '=--=-,解得54a =. (2)由(1)知()()53ln 0442x f x x x x =+-->,则()22454x x f x x'--=, 令()0f x '=,解得1x =-或5x =,因为1x =-不在()f x 的定义域()0,∞+内,所以舍去.当()0,5x ∈时,()0f x '<,故()f x 在()0,5内单调递减;当()5,x ∈+∞时,()0f x '>,故()f x 在()5,+∞内单调递增.故()f x 的单调递减区间是(0,5),单调递增区间是()5,+∞.【点睛】本题考查导数的几何意义,考查函数单调区间的求解,难度一般.25.(1) ()g x 属于M ,且满足②的区间[a ,b ]为00⎡⎤⎡⎡⎢⎥⎢⎢⎣⎦⎣⎦⎣⎦,, ; (2) 102⎛⎤ ⎥⎝⎦, 【分析】(1)可以看出()g x 为增函数,满足条件①,而方程32x x =有三个不同的解,从而满足条件②,从而说明()g x 属于M ,且可写出所有满足②的区间[a ,b ];(2)()h x 属于M 2x t =至少有两个不同的实数根,从而得到12x x t -=-,两边平方并整理可得()221104x t x t -+++= 从而20t∆=>,得到t >0,而02x t -≥即2x t ≤恒成立,且1≥x ,从而又得到12t ≤,这样便可得出实数t 的取值范围.【详解】 (1)()3g x x =在R 上为增函数,满足性质①; 解32x x =得,x =0,或2x =± ; ∴()g x 属于M ,且满足②的区间[a ,b ]为2222002222⎡⎤⎡⎤⎡⎤--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,,,,,; (2)()1h x x t =-+在定义域内单调递增,满足①;∵h (x )∈M ;∴h (x )满足②;则方程12x x t -=-少有两个解; 即函数1y x =-与函数2x y t =-的图象有两个不同的交点. 如图当直线2x y t =-过点()1,0时,12t = 设直线2x y t =-与曲线1y x =-相切于点()00,A x y 由函数1y x =-的导函数为21'=-y x 所以01221k x ==-,所以02x =,则()2,1A 由()2,1A 在直线2x y t =-上,解得0t = 根据图象可得函数1y x =-与函数2x y t =-的图象有两个不同的交点,得102t <≤∴实数t 的取值范围为102⎛⎤ ⎥⎝⎦,.【点睛】考查函数单调性的定义,函数值域的定义,()f x 满足性质②便说明方程()2x f x =至少有两个不同解,即函数y =2x y t =-的图象有两个不同的交点,数形结合可得出答案,属于中档题.26.(1)2a e =;(2)(),2-∞.【分析】(1)求导,分类讨论得出()f x 的单调性及极值,让极小值为0,求出a 的值; (2)只需使函数()2ln f x x a x =-在()0,1x ∈上存在单调递增区间,然后求解a 的取值范围.【详解】解:(1)()f x 的定义域是()0,∞+,()22a x a f x x x-'=-=, 当0a ≤时,()0f x '>恒成立,()f x 在()0,∞+上单调递增,无极小值;当0a >时,令()0f x '<,解得02a x <<;令()0f x '>,解得2a x >, 则()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减,在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增, 故()f x 有极小值ln 022a a f a a ⎛⎫=-=⎪⎝⎭, ∴1ln 02a -=,∴2a e =; (2)不妨设12x x <,由()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦知,()()12f x f x <, ∴()f x 在()0,1存在增区间,①由(1)可知,当0a ≤时,()f x 在()0,∞+上为增函数,符合要求;②当0a >时,由(1),()f x 在0,2a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上递减,在,2a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上递增, ∴只需102a >>,则有02a <<, 综上,实数a 的取值范围为(),2-∞.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性,极值,考查分类讨论思想及运算求解能力,属于中档题.。
人教A版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》单元检测题(含答案).docx
第三章《导数及其应用》检测题一、选择题(每小题只有一个正确答案)1.已知曲线y = |x2-2上一点P(屈一$,则过点P切线的倾斜角为()乙乙A.30°B. 45°C. 60°D. 120°2.设P为曲线C: y = F+2x + 3上的点,且曲线c在点P处切线倾斜角的取值范围7T 7T为则点P横坐标的取值范围为()4 2( JiA. —co,—B. [—1,0]1D. , + 823.定义在(0, +8)上的函数f(x)的导函数为广(无),且对VxG (0,+oo)都有c. [0,1]/z(x)lnx<^/'(x),则(A. 4/(e) > e3/(e4) > 2e/(e2) C. e3/(e4) > 4/(e) > 2e/(e2) )(其中e«2. 7)B.e3/(e4) > 2e/(e2) > 4/(e) D. 4/(e) > 2e/(e2) > e3/(e4)4.曲线/(x) = (x + l)e x在点(0, f(0))处的切线方程为()A. y = % 4- 1B. y = 2x 4- 1C. y = + 1D.y 弓x+15.对于函数/(x)=—,下列说法正确的有()①f(兀)在x = €处取得极大值》②f(x)有两个不同的零点;③门4) < f (兀)< /(3); @7T4 < 4兀.A.4个B.3个C.2个D. 1个6.定义在R上的奇函数f (x)满足f (・1)=0,且当x>0时,f (x) >xf (x),则下列关系式中成立的是()A. 4f (i) >f (2)B. 4f (2) <f (2)C. f (i) >4f (2)D. f (i) f (2) > 2 2 2 27.定义在[0, +oo)的函数fO)的导函数为f(x),对于任意的%>0,恒有/Xx) </(%),m = n = 则m, zi的大小关系是()・e e zA. m > nB. m < nC. m = nD.无法确定&函数/(x) = e x + x3 - 2在区间(0,1)内的零点个数是().A. 0B. 1C. 2D. 39 .在平面直角坐标系xOy中,已知好一In%! - = 0 , x2 - y2 ~ 2 = 0 ,则(%i -x2)2 +(7i -y2)2的最小值为()A. 1B. 2C. 3D. 410.已知直线2是曲线y = e x与曲线y = e2x-2的一条公切线,2与曲线y =/x 一2切于点(a,b),且a是函数£仗)的零点,贝”仗)的解析式可能为()A. /(%) = e2x(2x + 21n2 -1)-1B. f(x) = e2x(2x + 21n2 -1)-2C.f(x) = e2x(2x一21n2 -1)-1D. /(x) = e2x(2x一21n2 -1)-2二、填空题设函数fd)的导数为f f (x),且f(x)=f‘(^sinx + cosx,则f' (? = _____________________ 12.如图,函数y = f(x)的图象在点P处的切线方程是y = -兀+ 5,则/'⑶+厂⑶=_. Array13._____ 函数y=f (x)的导函数y = f(jc)的图象如图所示,则函数y=f (x)的图象可能是_________ (填序号).(D ②③④14.已知函数/(x)=xlnx + i%2, %是函数f(x)的极值点,给出以下几个命题:乙@0 < %0 < -;②尢o>2;+ X o < 0;④fOo) + Xo>0;e e其中正确的命题是______________ •(填出所有正确命题的序号)、215 .已知函数/(X)= X3 +OT2 +/?JC+C在X =——与兀=1时都取得极值,若对xe[-l,2],不等式f(x)<c2恒成立,则c的取值范围为___________________________ o三、解答题16.求下列函数的导函数®y = X4—3x2—5x + 6 ③y = x2cos x ②y二x+古@y = tan x17.已知函数/'(兀)=|%2一(a + l)x + a\nx.(1)当a VI时,讨论函数f(x)的单调性;(2)若不等式f(X) + (a + l)x n牛+対+ 1 一对于任意x G [e~1,e]成立,求正实数a 的取值范围.18.已知函数f (尤)=^x3— ax1 2 + l(a 6 /?).(1)若曲线y = /(%)在(l,f(l))处的切线与直线x-y + l = 0垂直,求a的值.(2)若a>0,函数y = /(%)在区间(a,a2 - 3)±存在极值,求a的取值范圉.(3)若a >2,求证:函数y = f(x)在(0,2)上恰有一个零点.19.已知函数f^x) = a x^-x2-x\na (a>0,且aHl).(I )求函数/(兀)的单调区间;(II)求函数/(兀)在[-2,2]上的最大值.20.现需要设计一个仓库,它由上下两部分组成,上部的形状是正四棱锥P~A\B\G从, 下部的形状是正四棱柱ABCD-A限Cd (如图所示),并要求正四棱柱的高"0是正以棱锥的高%的4倍.1 若AB=6 m, n =2 m,则仓库的容积是多少?2 若正四棱锥的侧棱长为6 m,则当〃为多少时,仓库的容积最大?参考答案I.C2. D3. D4・ B5. C6. A7. B8. B9. B10・ BII.- A/212. 113.④14.①③15.(-00,-1) U(2,4-oo)16.解析:(l)y z = 4x3— 6x — 5(2)y‘ = % 4- x~2(3)y‘ = (x2ycosx + x2(cosx)f = 2xcosx-x2sinx, sinx , (sinx),cosx — sinx(cosx)' cos2% + sin2% 1(4)-------------- y =( ----------------- )= ----- = = :—cos2%cosx cos2%cos2% cos2%17.(1)当a<0时,函数门切在(1,+8)上单调递增,在(0,1)上单调递减;当ova VI时, 函数f(x)在@,1)上单调递减,在(0卫)和(1,+8)上单调递增.(2) (0,1]解析:(1)函数/'仗)的定义域为(0,+s),广(%)=兀 _ @ + 1)+ 兰=*一@+1央+。
导数及其应用测试题(有详细答案)
12.已知函数f{x)=x3+ax2+bx+a2在ul处有极值为10,则犬2)等于.JT13.函数y=尤+2cosx在区间[0,—]±的最大值是14.已知函数fM=x3+ax在R上有两个极值点,则实数。
的取值范围是15.已知函数八尤)是定义在R上的奇函数,/(1)=0,二⑴;'3)>0危>0),则不等式%x2f(x)>0的解集是三、解答题(本大题共6小题,共80分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)16.设函数/(x)=2x3+3破2+3笊+8c在x=1刚好工=2取得极值.(1)求。
、b的值;(2)若对于随意的xg[0,3],都有/(x)<c2成立,求c的取值范围.17.已知函数f(x)=2x3-3x2+3.(1)求曲线y=f(x)在点工=2处的切线方程;(2)若关于工的方程/(x)+m=0有三个不同的实根,求实数m的取值范围.18.设函S/W=x3-6x+5,x e R.(1)求f(x)的单调区间和极值;《导数及其应用》一、选择题1.r(x0)=o是函数y(尤)在点气处取极值的:A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2、设曲线y=x2+l在点(x,/(x))处的切线的斜率为g(x),WI函数>=g(x)cosx的部分图象可以4.若曲线y=x2+ax+b在点(0,方)处的切线方程是x-j+l=0,贝!|()A.q=L b=lB.a=—1,b=lC.g=L b=—1D.a=—1,b=—15.函数/(x)=x3+ttx2+3x—9,已知处)在x=—3时取得极值,则0等于()A.2B.3C.4D.56.设函数f⑴的导函数为扩(x),且/(x)=x2+2x-r(l),则广(0)等于()A、0B>-4C、-2D、27.直线y=x是曲线y=a+lnx的一条切线,则实数。
的值为()A.-1B.eC.In2D.18.若函数f(x)=x3-12x^区间以-盘+1)上不是单调函数,则实数k的取值范围()A.kJ—3^4—1■ k<23B.—3<上<—l^(il<k<3C.-2<k<2D.不存在这样的实数k9.函数f(x)的定义域为(m),导函数/(%)在(。
《导数及其应用》单元测试题详细答案
导数单元测试题 11.29一、填空题1.函数()22)(x x f π=的导数是_______2.函数xex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是________3.若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值,则实数b 的范围是_______4.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为______ 5.曲线xy e =在点2(2)e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为_________6.设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是_______7.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为________ 8.设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+∞,内单调递增,:5q m -≥,则p 是q 的______________条件9. 函数)(x f 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( ) (A ))2()3()3()2(0//f f f f -<<< y (B ) )2()2()3()3(0//f f f f <-<< (C ))2()3()2()3(0//f f f f -<<<(D ))3()2()2()3(0//f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 10.函数()ln f x x x =的单调递增区间是____.11.已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则M m -=__.12.点P 在曲线323+-=x x y 上移动,设在点P 处的切线的倾斜角为为α,则α的取值范围是13.设函数()f x 的导函数为()f x ',且()()221f x x x f '=+⋅,则()0f '=_____14.已知32()(6)1f x x ax a x =++++有极大值和极小值,则a 的取值范围为_______二.解答题15.已知()1323+-+=x x ax x f 在R 上是减函数,求a 的取值范围。
选修1-1《第三章导数及其应用》单元质量评估试卷含答案
单元质量评估(三)第三章(120分钟150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(2019·台州高二检测)函数y=lgx的导数为( )A. B.ln10C. D.【解析】选C.因为(log a x)′=,所以(lgx)′=.2.(2019·泉州高二检测)已知f(x)=sinx+lnx,则f′(1)的值为( )A.1-cos1B.1+cos1C.-1+cos1D.-1-cos1【解析】选B.f′(x)=cosx+,f′(1)=cos1+1.3.设f(x)=x2(2-x),则f(x)的单调递增区间是( )A. B.C.(-∞,0)D.(-∞,0)∪【解析】选A.f(x)=2x2-x3,f′(x)=4x-3x2,由f′(x)>0得0<x<.4.已知物体的运动方程是s=t3-4t2+12t(t表示时间,s表示位移),则瞬时速度为0的时刻是( )A.0秒、2秒或6秒B.2秒或16秒C.2秒、8秒或16秒D.2秒或6秒【解析】选D.s′=t2-8t+12=0,解得t=2或t=6.5.函数y=2x3-2x2在[-1,2]上的最大值为( )A.-5B.0C.-1D.8【解析】选D.y′=6x2-4x=2x(3x-2),列表:-所以y max=8.6.(2019·临沂高二检测)曲线y=3lnx+x+2在点P0处的切线方程为4x-y-1=0,则点P0的坐标是( )A.(0,1)B.(1,-1)C.(1,3)D.(1,0)【解析】选C.f′(x)=+1.设P0(x0,y0),则+1=4,解得x0=1.因为(x0,y0)在直线4x-y-1=0上,所以y0=3.所以点P0的坐标为(1,3).7.若x=1是函数f(x)=(ax-2)·e x的一个极值点,则a的值为( )A.1B.2C.eD.5【解析】选A.因为f′(x)=ae x+(ax-2)e x,所以f′(1)=ae+(a-2)e=0,解得:a=1,把a=1代入函数得:f(x)=(x-2)·e x,所以f′(x)=e x+(x-2)e x=e x(x-1),所以f′(1)=0,且x<1时,f′(x)<0,x>1时,f′(x)>0.故a=1符合题意.8.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是27π且用料最省,则圆柱的底面半径为( )A.5B.6C.3D.2【解析】选C.设圆柱的底面半径为R,母线长为l,则V=πR2l=27π,所以l=.要使用料最省,只需使水桶的表面积最小,而S表=πR2+2πR l=πR2+,令S表′=2πR-=0,解得R=3,即当R=3时,S表最小.9.(2019·菏泽高二检测)函数f(x)=x3-6bx+3b在(0,1)内有极小值,则实数b的取值范围是( )A.(0,1)B.(-∞,1)C.(0,+∞)D.【解析】选D.f′(x)=3x2-6b,因为f(x)在(0,1)内有极小值,所以f′(x)=0在x∈(0,1)有解.所以所以0<b<.10.(2019·合肥高二检测)设a<b,函数y=(x-a)2(x-b)的图象可能是( )【解析】选C.y′=2(x-a)(x-b)+(x-a)2=(x-a)·(3x-a-2b),由y′=0得x=a或x=.因为a<b,所以a<,所以当x=a时,y取极大值0;当x=时,y取极小值且极小值为负.11.(2019·烟台高二检测)已知a<0,函数f(x)=ax3+lnx,且f′(1)的最小值是-12,则实数a的值为( )A.2B.-2C.4D.-4【解析】选B.f′(x)=3ax2+,所以f′(1)=3a+≥-12,即a+≥-4,又a<0,有a+≤-4.故a+=-4,此时a=-2.12.(2019·全国卷Ⅰ)若函数f(x)=x-sin2x+asinx在(-∞,+∞)上单调递增,则a的取值范围是( )A.[-1,1]B.C. D.【解析】选C.方法一:用特殊值法:取a=-1,f(x)=x-sin2x-sinx,f′(x)=1-cos2x-cosx,但f′(0)=1--1=-<0,不具备在(-∞,+∞)上单调递增,排除A,B,D.方法二:f′(x)=1-cos2x+acosx≥0对x∈R恒成立,故1-(2cos2x-1)+acosx≥0,即acosx-cos2x+≥0恒成立,令t=cosx,所以-t2+at+≥0对t∈[-1,1]恒成立,构造函数f(t)=-t2+at+, 开口向下的二次函数f(t)的最小值的可能值为端点值,故只需解得-≤a≤.二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上)13.(2019·中山高二检测)曲线y=x(3lnx+1)在点(1,1)处的切线方程为.【解析】y′=3lnx+1+x·=3lnx+4,所以y′|x=1=3ln1+4=4.又f(1)=1×(3ln1+1)=1,所以所求的切线方程为y-1=4(x-1),即4x-y-3=0.答案:4x-y-3=014.(2019·郑州高二检测)已知函数f(x)=+,曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为x+2y-3=0,则a= ,b= .【解析】f′(x)=-.由于直线x+2y-3=0的斜率为-,且过点(1,1).故即解得a=1,b=1.答案:1 115.函数y=x+2cosx-在区间上的最大值是.【解析】y′=1-2sinx=0,在区间上解得x=,故y=x+2cosx-在区间上是增函数,在区间上是减函数,所以x=时,y=,而x=0时,y=2-,x=时y=-,且>2->-,故函数y=x+2cosx-在区间上的最大值是.答案:【补偿训练】曲线y=x3-2以点为切点的切线的倾斜角为. 【解析】y′=x2,当x=1时,y′=1,从而切线的倾斜角为45°.答案:45°16.设f(x)=x3-x2-2x+5,当x∈[-1,2]时,f(x)<m恒成立,则实数m的取值范围是.【解析】f′(x)=3x2-x-2=(x-1)(3x+2),令f′(x)=0,得x=1或x=-.f(x)极小值=f(1)=1--2+5=,f(x)极大值=f=--++5=5.又f(-1)=-1-+2+5=,f(2)=8-2-4+5=7,比较可得f(x)max=f(2)=7.因为f(x)<m对x∈[-1,2]恒成立.所以m>7.答案:(7,+∞)三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)(2019·南昌高二检测)设函数f(x)=6x3+3(a+2)x2+2ax.(1)若f(x)的两个极值点为x1,x2,且x1x2=1,求实数a的值.(2)是否存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数?若存在,求出a的值;若不存在,说明理由.【解析】f′(x)=18x2+6(a+2)x+2a.(1)由已知有f′(x1)=f′(x2)=0,从而x1x2==1,所以a=9.(2)由于Δ=36(a+2)2-4×18×2a=36(a2+4)>0,所以不存在实数a,使得f(x)是(-∞,+∞)上的单调函数.【补偿训练】已知函数f(x)=ax2+2x-lnx.(1)当a=0时,求f(x)的极值.(2)若f(x)在区间上是增函数,求实数a的取值范围.【解析】(1)函数的定义域为(0,+∞).因为f(x)=ax2+2x-lnx,当a=0时,f(x)=2x-lnx,则f′(x)=2-,令f′(x)=0得x=,所以当x变化时,f′(x),f(x)的变化情况如表所以当x=时,f(x)的极小值为1+ln2,无极大值.(2)由已知,得f(x)=ax2+2x-lnx,且x>0,则f′(x)=ax+2-=.若a=0,由f′(x)>0得x>,显然不合题意;若a≠0,因为函数f(x)在区间上是增函数,所以f′(x)≥0对x∈恒成立,即不等式ax2+2x-1≥0对x∈恒成立,即a≥=-=-1恒成立,故a≥.而当x=时,函数-1的最大值为3,所以实数a的取值范围为a≥3. 18.(12分)已知函数f(x)=x3+x-16.(1)求曲线y=f(x)在点(2,-6)处的切线的方程.(2)如果曲线y=f(x)的某一切线与直线y=-x+3垂直,求切点坐标与切线的方程. 【解析】(1)因为f′(x)=(x3+x-16)′=3x2+1,所以f(x)在点(2,-6)处的切线的斜率为k=f′(2)=13.所以切线的方程为y=13(x-2)+(-6),即y=13x-32.(2)因为切线与直线y=-+3垂直,所以切线的斜率k=4.设切点的坐标为(x0,y0),则f′(x0)=3+1=4,所以x0=±1,所以或即切点坐标为(1,-14)或(-1,-18).切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18.即y=4x-18或y=4x-14.19.(12分)(2019·临沂高二检测)已知函数f(x)=lnx-ax2-2x.(1)若函数f(x)在x=2处取得极值,求实数a的值.(2)若函数f(x)在定义域内单调递增,求a的取值范围.【解析】(1)f′(x)=-(x>0),因为x=2时,f(x)取得极值,所以f′(2)=0,解之得a=-,经检验符合题意.(2)由题意知f′(x)≥0在x>0时恒成立,即ax2+2x-1≤0在x>0时恒成立,则a≤=-1在x>0时恒成立,即a≤(x>0),当x=1时,-1取得最小值-1.所以a的取值范围是(-∞,-1].20.(12分)某5A级景区为提高经济效益,现对某景点进行改造升级,提高旅游增加值,经过市场调查,旅游增加值y万元与投入x(x≥10)万元之间满足:y=f(x)=ax2+x-bln,a,b为常数,当x=10万元时,y=19.2万元;当x=50万元时,y=74.4万元.(参考数据:ln2=0.7,ln3=1.1,ln5=1.6)(1)求f(x)的解析式.(2)求该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值.(利润=旅游增加值-投入) 【解析】(1)由条件可得解得a=-,b=1.则f(x)=-+x-ln(x≥10).(2)由T(x)=f(x)-x=-+x-ln(x≥10),则T′(x)=-+-=-,令T′(x)=0,则x=1(舍)或x=50,当x∈(10,50)时,T′(x)>0,因此T(x)在(10,50)上是增函数;当x>50时,T′(x)<0,因此T(x)在(50,+∞)上是减函数,故x=50为T(x)的极大值点,也是最大值点,且最大值为24.4万元.即该景点改造升级后旅游利润T(x)的最大值为24.4万元.21.(12分)(2019·绍兴高二检测)已知函数f(x)=x3-3ax2-9a2x+a3.(1)设a=1,求函数f(x)的极值.(2)若a>,且当x∈[1,4a]时,f(x)≥a3-12a恒成立,试确定a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时,f(x)=x3-3x2-9x+1且f′(x)=3x2-6x-9,由f′(x)=0得x=-1或x=3.当x<-1时,f′(x)>0,当-1<x<3时,f′(x)<0,因此x=-1是函数f(x)的极大值点,极大值为f(-1)=6;当-1<x<3时f′(x)<0,当x>3时f′(x)>0,因此x=3是函数的极小值点,极小值为f(3)=-26.(2)因为f′(x)=3x2-6ax-9a2=3(x+a)(x-3a),a>,所以当1≤x<3a时,f′(x)<0;当3a<x≤4a时,f′(x)>0.所以x∈[1,4a]时,f(x)的最小值为f(3a)=-26a3.由f(x)≥a3-12a在[1,4a]上恒成立得-26a3≥a3-12a.解得a≤-或0≤a≤.又a>,所以<a≤.即a的取值范围为.22.(12分)奇函数f(x)=ax3+bx2+cx的图象过点A(-,),B(2,10).(1)求f(x)的表达式.(2)求f(x)的单调区间.(3)若方程f(x)+m=0有三个不同的实数根,求m的取值范围.【解析】(1)因为f(x)=ax3+bx2+cx为奇函数,所以f(-x)=-f(x)(x∈R).所以b=0.所以f(x)=ax3+cx.因为图象过点A(-,),B(2,10),所以即所以所以f(x)=x3-3x.(2)因为f(x)=x3-3x,所以f′(x)=3x2-3=3(x-1)(x+1),所以当-1<x<1时,f′(x)<0;当x<-1或x>1时,f′(x)>0,所以f(x)的递增区间是(-∞,-1)和(1,+∞),递减区间是(-1,1).(3)因为f(-1)=2,f(1)=-2,为使方程f(x)+m=0,即f(x)=-m有三个不等实数根,则-2<-m<2,即-2<m<2,所以m的取值范围是(-2,2).。
高中数学选修2-2第一章《导数及其应用》单元测试(一)
A. y 2x 1
B. y 3x 2
C. y 2x 3
D. y x 2
7.函数 f (x) e ln x x 在 (0, 2e] 上的最大值为
A.1 e C. e
B. 1 D. 0
8.若函数 f (x) x(x c) 2 在 x 2 处取得极大值,则常数 c
A. 2 C. 2 或 6
数学选修 2-2 第一章《导数及其应用》单元测试
一、选择题(本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项
是符合题目要求的)
1.定积分 2 (ex 2x)dx 的值为 0
A.1
B. e2
C. e2 3
D. e2 4
2.某物体的位移 s (米)与时间 t (秒)的关系式为 s t 2 t ,则该物体在 t 2 时的瞬时速度为
A. 2 米/秒 C. 5 米/秒
B. 3 米/秒 D. 6 米/秒
3.已知曲线 y x2 上一点 P 处的切线与直线 2x y 1 0 平行,则点 P 的坐标为
A. (1,1)
B. (1,1)
C. (2, 4)
D. (3, 9)
4.已知 f (x) x2 2x f (1) ,则 f (3)
11.若函数 f (x) lnx ax 1 在[1, ) 上是单调函数,则实数 a 的取值范围为 x
A. (, 0] [1 , ) 4
B. (, 1 ] [0, ) 4
C.[ 1 , 0] 4
D. (,1]
12.已知函数 f (x) ax 1 (a 1) ln x 1 在 (0,1] 上的最大值为 3 ,则实数 a x
即 2x y 1 0 .(6 分)
新版精选2019高中数学单元测试《导数及其应用》专题完整版考核题(含标准答案)
2019年高中数学单元测试卷导数及其应用学校:__________ 姓名:__________ 班级:__________ 考号:__________一、选择题1.已知二次函数()y f x =的图象如图所示,则它与x轴所围图形的面积为A .2π5 B .43C .32D .π22.设)()(,)()(x f y x f y x f x f '=='和将的导函数是函数的图象画在同一直角坐标系中,不可能正确的是( ) 答案 D 二、填空题3. 对于三次函数32()(0)f x ax bx cx d a =+++≠,给出定义:设'()f x 是函数()y f x =的导数,''()f x 是函数'()f x 的导数,若方程()0f x ''=有实数解000,(,())x x f x 则称点为函数()y f x =的“拐点”.某同学经过探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数都有对称中心,且“拐点”就是对称中心.给定函数32115()33212f x x x x =-+-,则1232012()()()()2013201320132013f f f f ++++= __ .20124. 若函数21()ln 22f x x a x x =--存在单调减区间,则实数a 的取值范围是 ▲ . 5.函数x x x f sin )(3+=的导函数是 ☆ ;6.已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+在区间[1,]e 上的最小值为0,则max a = . 7.曲线9y x=在点(3,3)M 处的切线方程为 . 8. 已知函数()a f x x =在1x =处的导数为2-,则实数a 的值是 ▲ .9.直线b x y +=21是曲线)0(ln >=x x y 的一条切线,则实数b= ▲10. 在同一平面直角坐标系中,已知函数()y f x =的图象与xy e =的图象关于直线y x =对称,则函数()y f x =对应的曲线在点(,()e f e )处的切线方程为 ▲ .11.已知定义在R 上的函数()f x 满足()12f =,()1f x '<,则不等式()221f x x <+的解集为_▲__.12.已知函数()sin f x x x =-,则()f x '= ▲ .13.已知函数()y f x =的图象在点(1(1))M f ,处的切线方程是122y x =+,则(1)(1)f f '+=14.如果()f x 为偶函数,且导数()f x 存在,则()0f '的值为____________三、解答题15.求函数21()2ln(1)(1)f x x x =+--的极值。
高二下数学第一章导数及其应用单元检测(含答案)
阶段质量检测:导数及其应用(时间: 120分钟 满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.以正弦曲线y =sin x 上一点P 为切点的切线为直线l ,则直线l 的倾斜角的范围是( ) A.⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎣⎡⎭⎫3π4,π B .[0,π) C.⎣⎡⎦⎤π4,3π4 D.⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎝⎛⎦⎤π2,3π4 2.函数f (x )=x +2cos x 在⎣⎡⎦⎤0, π2上的极大值点为( ) A .0 B.π6 C.π3 D.π23.函数f (x )的定义域为开区间(a ,b ),导函数f ′(x )在(a ,b )内的图象如图所示,则函数f (x )在开区间(a ,b )内有极小值点( )A .1个B .2个C .3个D .4个 4.若函数()ln f x x a x=+不是单调函数,则实数a 的取值范围是( ).A .[)0,+∞B .(],0-∞C .(),0-∞D .()0,+∞5.若e x ≥k +x 在R 上恒成立,则实数k 的取值范围为( ) A .(-∞,1] B .[1,+∞) C .(-∞,-1] D .[-1,+∞)6.若函数f (x )=x 33-a 2x 2+x +1在区间⎝⎛⎭⎫13,4上有极值点,则实数a 的取值范围是( ) A.⎝⎛⎭⎫2,103 B.⎣⎡⎭⎫2,103 C.⎝⎛⎭⎫103,174 D.⎝⎛⎭⎫2,174 7.函数f (x )=13ax 3+12ax 2-2ax +1的图象经过四个象限,则实数a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫-310,67B.⎝⎛⎭⎫-85,-316C.⎝⎛⎭⎫-83,-116D.⎝⎛⎭⎫-∞,-310∪⎝⎛⎭⎫67,+∞ 8.已知函数f (x )的导函数f ′(x )=a (x -b )2+c 的图象如图所示,则函数f (x )的图象可能是( )9.某产品的销售收入y 1(万元)是产量x (千台)的函数:y 1=17x 2,生产成本y 2(万元)是产量x (千台)的函数:y 2=2x 3-x 2(x >0),为使利润最大,应生产( ) A .6千台 B .7千台 C .8千台D .9千台10..已知f (x )是定义在区间(0,+∞)内的函数,其导函数为f ′(x ),且不等式xf ′(x )<2f (x )恒成立,则( )A.4f (1)<f (2)B.4f (1)>f (2)C.f (1)<4f (2)D.f (1)>4f ′(2)11.已知y =f (x )是定义在R 上的奇函数,且当x <0时不等式f (x )+xf ′(x )<0成立,若a =30.3 ·f (30.3),b =log π3·f (log π3),c =log 319·f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319,则a ,b ,c 的大小关系是( )A.a >b >cB.c >b >aC.a >c >bD.c >a >b12.若函数f (x )=sin xx ,且0<x 1<x 2<1,设a =21sin x x ,12sin b x x =,则a ,b 的大小关系是( )A .a >bB .a <bC .a =bD .a ,b 的大小不能确定二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,满分20分.把答案填在题中的横线上) 13.若f (x )=13x 3-f ′(1)x 2+x +5,则f ′(1)=________.14.若函数f (x )=12x 2+(a -1)x -a ln x 存在唯一的极值,且此极值不小于1,则实数a 的取值范围为________.15.若函数f (x )=4xx 2+1在区间(m,2m +1)上单调递增,则实数m 的取值范围是__________.16.已知函数f (x )满足f (x )=f (π-x ),且当x ∈⎝⎛⎭⎫-π2,π2时,f (x )=x +sin x ,设a =f (1),b =f (2),c =f (3),则a ,b ,c 的大小关系是________.三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17. (本小题满分12分)若函数y =f (x )在x =x 0处取得极大值或极小值,则称x 0为函数y =f (x )的极值点.已知a ,b 是实数,1和-1是函数f (x )=x 3+ax 2+bx 的两个极值点. (1)求a 和b 的值;(2)设函数g (x )的导函数g ′(x )=f (x )+2,求g (x )的极值点.18. (2021·百师联盟考试)设函数f (x )=ln x +ax(a 为常数).(2)不等式f(x)≥1在x∈(0,1]上恒成立,求实数a的取值范围.19.(本小题满分12分)某个体户计划经销A,B两种商品,据调查统计,当投资额为x(x≥0)万元时,在经销A,B商品中所获得的收益分别为f(x)万元与g(x)万元,其中f(x)=a(x-1)+2,g(x)=6ln(x+b)(a>0,b>0).已知投资额为零时收益为零.(1)求a,b的值;(2)如果该个体户准备投入5万元经销这两种商品,请你帮他制定一个资金投入方案,使他能获得最大利润.20.(本小题满分12分) (2020·全国Ⅰ卷)已知函数f(x)=e x+ax2-x.(1)当a=1时,讨论f(x)的单调性;(2)当x≥0时,f(x)≥12x3+1,求a的取值范围.21.(本小题满分12分)已知函数f(x)=ln x+ax+1(a∈R).(2)若函数f (x )的图象与x 轴相切,求证:对于任意互不相等的正实数x 1,x 2,都有f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1<1x 1+1x 2.22. (本小题满分12分) 已知函数f (x )=x 2-m ln x ,h (x )=x 2-x +a . (1)当a =0时,f (x )≥h (x )在(1,+∞)上恒成立,求实数m 的取值范围;(2)当m =2时,若函数k (x )=f (x )-h (x )在区间(1,3)上恰有两个不同零点,求实数a 的取值范围.参考答案1.【解析】选A y ′=cos x ,∵cos x ∈[-1,1],∴切线的斜率范围是[-1,1],∴倾斜角的范围是⎣⎡⎦⎤0,π4∪⎣⎡⎭⎫3π4,π. 2.答案:B3.【解析】选A 设极值点依次为x 1,x 2,x 3且a <x 1<x 2<x 3<b ,则f (x )在(a ,x 1),(x 2,x 3)上递增,在(x 1,x 2),(x 3,b )上递减,因此,x 1,x 3是极大值点,只有x 2是极小值点.4.【答案】C【解析】由题意知0x >,()1af x x'=+,要使函数()ln f x x a x =+不是单调函数,则需方程10ax+=在0x >上有解,即x a =-,所以0a <,故选C . 5.解析:选A 由e x ≥k +x ,得k ≤e x -x . 令f (x )=e x -x ,∴f ′(x )=e x -1. 当f ′(x )<0时,解得x <0,当f ′(x )>0时,解得x >0.∴f (x )在(-∞,0)上是减函数,在(0,+∞)上是增函数.∴f (x )min =f (0)=1. ∴实数k 的取值范围为(-∞,1].故选A.6.解析:选D 因为f (x )=x 33-a 2x 2+x +1,所以f ′(x )=x 2-ax +1.函数f (x )=x 33-a 2x 2+x +1在区间⎝⎛⎭⎫13,4上有极值点可化为f ′(x )=x 2-ax +1=0在区间⎝⎛⎭⎫13,4上有解, 即a =x +1x 在区间⎝⎛⎭⎫13,4上有解,设t (x )=x +1x ,则t ′(x )=1-1x 2, 令t ′(x )>0,得1<x <4,令t ′(x )<0,得13<x <1.所以t (x )在(1,4)上单调递增,在⎝⎛⎭⎫13,1上单调递减.所以t (x )min =t (1)=2,又t ⎝⎛⎭⎫13=103,t (4)=174,所以a ∈⎝⎛⎭⎫2,174. 7.【解析】选D f ′(x )=ax 2+ax -2a =a (x +2)(x -1),要使函数f (x )的图象经过四个象限,则f (-2)f (1)<0,即⎝⎛⎭⎫103a +1⎝⎛⎭⎫-76a +1<0,解得a <-310或a >67. 故选D. 8.【解析】选D 由导函数图象可知,当x <0时,函数f (x )递减,排除A 、B ;当0<x <x 1时,f ′(x )>0,函数f (x )递增.因此,当x =0时,f (x )取得极小值,故选D.9.【解析】选A 设利润为y ,则y =y 1-y 2=17x 2-(2x 3-x 2)=18x 2-2x 3,y ′=36x -6x 2,令y ′=0得x =6或x =0(舍),f (x )在(0,6)上是增函数,在(6,+∞)上是减函数,∴x =6时y 取得最大值.10.答案 B【解析】设函数g (x )=f (x )x 2(x >0),则g ′(x )=x 2f ′(x )-2xf (x )x 4=xf ′(x )-2f (x )x 3<0,所以函数g (x )在(0,+∞)上为减函数,因此g (1)>g (2), 即f (1)12>f (2)22,所以4f (1)>f (2). 11.答案 D【解析】 设g (x )=xf (x ),则g ′(x )=f (x )+xf ′(x ),又当x <0时,f (x )+xf ′(x )<0,∴x <0时,g ′(x )<0,g (x )在(-∞,0)上单调递减.由y =f (x )在R 上为奇函数, 知g (x )在R 上为偶函数,∴g (x )在(0,+∞)上是增函数, ∴c =g ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 319=g (-2)=g (2),又0<log π3<1<30.3<3<2, ∴g (log π3)<g (30.3)<g (2),即b <a <c .12.【解析】选A f ′(x )=x cos x -sin xx 2,令g (x )=x cos x -sin x ,则g ′(x )=-x sin x +cos x-cos x =-x sin x .∵0<x <1,∴g ′(x )<0,即函数g (x )在(0,1)上是减函数,得g (x )<g (0)=0,故f ′(x )<0,函数f (x )在(0,1)上是减函数,由0<x 1<x 2<1得12211212sin sin ,sin sin x x x x x x x x >∴>,a >b ,故选A. 13.【解析】f ′(x )=x 2-2f ′(1)x +1,令x =1,得f ′(1)=23. 答案:2314.【解析】 对函数求导得f ′(x )=x -1+a ⎝⎛⎭⎫1-1x =(x +a )(x -1)x ,x >0,因为函数存在唯一的极值,所以导函数存在唯一的零点,且零点大于0,故x =1是唯一的极值点,此时-a ≤0,且f (1)=-12+a ≥1,所以a ≥32.答案 ⎣⎡⎭⎫32,+∞ 15.【解析】f ′(x )=4-4x 2(x 2+1)2,令f ′(x )>0,得-1<x <1,即函数f (x )的增区间为(-1,1).又f (x )在(m,2m +1)上单调递增,所以⎩⎪⎨⎪⎧m ≥-1,m <2m +1,2m +1≤1.解得-1<m ≤0.答案:(-1,0]16.【解析】f (2)=f (π-2),f (3)=f (π-3),因为f ′(x )=1+cos x≥0,故f (x )在⎝⎛⎭⎫-π2,π2上是增函数,∵π2>π-2>1>π-3>0,∴f (π-2)>f (1)>f (π-3),即c <a <b .答案:c <a <b17.【解析】(1)由题设知f ′(x )=3x 2+2ax +b ,且f ′(-1)=3-2a +b =0,f ′(1)=3+2a +b =0,解得a =0,b =-3.(2)由(1)知f (x )=x 3-3x .因为f (x )+2=(x -1)2(x +2),所以g ′(x )=0的根为x 1=x 2=1,x 3=-2,于是函数g (x )的极值点只可能是1或-2.当x <-2时,g ′(x )<0;当-2<x <1时, g ′(x )>0,故-2是g (x )的极值点.当-2<x <1或x >1时,g ′(x )>0, 故1不是g (x )的极值点.所以g (x )的极值点为-2. 18.【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=-a x 2+1x =x -ax 2,当a ≤0时,又x >0,∴x -a >0,∴f ′(x )>0, ∴f (x )在定义域(0,+∞)上单调递增;当a >0时,若x >a ,则f ′(x )>0,∴f (x )单调递增; 若0<x <a ,则f ′(x )<0,∴f (x )单调递减.综上可知:当a ≤0时,f (x )在(0,+∞)上是增函数;当a >0时,f (x )在区间(0,a )上是减函数,在区间(a ,+∞)上是增函数. (2)f (x )≥1⇔a x +ln x ≥1⇔ax ≥-ln x +1⇔a ≥ -x ln x +x 对任意x ∈(0,1]恒成立. 令g (x )=-x ln x +x ,x ∈(0,1].则g ′(x )=-ln x -x ·1x +1=-ln x ≥0,x ∈(0,1], ∴g (x )在(0,1]上单调递增,∴g (x )max =g (1)=1, ∴a ≥1,故a 的取值范围为[1,+∞).19.【解析】(1)由投资额为零时收益为零,可知f (0)=-a +2=0,g (0)=6ln b =0, 解得a =2,b =1.(2)由(1)可得f (x )=2x ,g (x )=6ln(x +1).设投入经销B 商品的资金为x 万元(0<x ≤5), 则投入经销A 商品的资金为(5-x )万元,设所获得的收益为S (x )万元, 则S (x )=2(5-x )+6ln(x +1)=6ln(x +1)-2x +10(0<x ≤5).S ′(x )=6x +1-2,令S ′(x )=0,得x =2.当0<x <2时,S ′(x )>0,函数S (x )单调递增;当2<x ≤5时,S ′(x )<0,函数S (x )单调递减.所以当x =2时,函数S (x )取得最大值, S (x )max =S (2)=6ln 3+6≈12.6万元.所以,当投入经销A 商品3万元,B 商品2万元时, 他可获得最大收益,收益的最大值约为12.6万元.20.解 (1)当a =1时,f (x )=e x +x 2-x ,x ∈R ,f ′(x )=e x +2x -1.故当x ∈(-∞,0)时,f ′(x )<0; 当x ∈(0,+∞)时,f ′(x )>0.所以f (x )在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增. (2)由f (x )≥12x 3+1得,e x +ax 2-x ≥12x 3+1,其中x ≥0, ①当x =0时,不等式为1≥1,显然成立,此时a ∈R .②当x >0时,分离参数a ,得a ≥-e x -12x 3-x -1x 2,记g (x )=-e x -12x 3-x -1x 2,g ′(x )=-(x -2)⎝ ⎛⎭⎪⎫e x -12x 2-x -1x 3.令h (x )=e x-12x 2-x -1(x >0), 则h ′(x )=e x -x -1,令H (x )=e x -x -1,H ′(x )=e x -1>0,故h ′(x )在(0,+∞)上是增函数,因此h ′(x )>h ′(0)=0,故函数h (x )在(0,+∞)上递增,∴h (x )>h (0)=0,即e x -12x 2-x -1>0恒成立,故当x ∈(0,2)时,g ′(x )>0,g (x )单调递增;当x ∈(2,+∞)时,g ′(x )<0,g (x )单调递减.因此,g (x )max =g (2)=7-e 24,综上可得,实数a 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫7-e 24,+∞. 21.【解析】(1) 函数f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1x +a =ax +1x .当a ≥0时,f ′(x )>0,f (x )在(0,+∞)上单调递增; 当a <0时,由f ′(x )=0,得x =-1a .若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-1a ,f ′(x )>0,f (x )单调递增;若x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫-1a ,+∞,f ′(x )<0,f (x )单调递减.综上所述:当a ≥0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增;当a <0时,f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫0,-1a 单调递增,在⎝ ⎛⎭⎪⎫-1a ,+∞上单调递减.(2)证明 由(1)知,当a ≥0时,f (x )在(0,+∞)上单调递增,不满足条件. 所以a <0,此时f (x )的极大值为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫-1a =-ln(-a ),由已知得-ln(-a )=0,故a =-1,此时f (x )=ln x -x +1.不妨设0<x 1<x 2,则f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1<1x 1+1x 2等价于ln x 2x 1<x 2x 1-x 1x 2+x 2-x 1,即证:ln x 2x 1-x 2x 1+x 1x 2<x 2-x 1.令g (x )=ln x -x +1x (x >1),则g ′(x )=1x -1-1x 2=-⎝ ⎛⎭⎪⎫x -122+34x 2<0,故g (x )在(1,+∞)单调递减,所以g (x )<g (1)=0<x 2-x 1.所以对于任意互不相等的正实数x 1,x 2, 都有f (x 2)-f (x 1)x 2-x 1<1x 1+1x 2成立.22.【解析】(1)由f (x )≥h (x ),得m ≤xln x 在(1,+∞)上恒成立.令g (x )=xln x ,则g ′(x )=ln x -1(ln x )2,当x ∈(1,e)时,g ′(x )<0;当x ∈(e ,+∞)时,g ′(x )>0,所以g (x )在(1,e)上递减,在(e ,+∞)上递增. 故当x =e 时,g (x )的最小值为g (e)=e.所以m ≤e.即m 的取值范围是(-∞,e]. (2)由已知可得k (x )=x -2ln x -a .函数k (x )在(1,3)上恰有两个不同零点,相当于函数φ(x )=x -2ln x 与直线y =a 有两个不同的交点.φ′(x )=1-2x =x -2x ,当x ∈(1,2)时,φ′(x )<0,φ(x )递减,当x ∈(2,3)时,φ′(x )>0,φ(x )递增.又φ(1)=1,φ(2)=2-2ln 2,φ(3)=3-2ln 3,要使直线y =a 与函数φ(x )=x -2ln x 有两个交点,则2-2ln 2<a <3-2ln 3.即实数a 的取值范围是(2-2ln 2,3-2ln 3).。
第三章.导数及其应用测试卷(含详细答案)
单元综合测试三(第三章)时间:90分钟 分值:150分第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(每小题5分,共60分)1.已知f (x )=(x +a )2,且f ′(12)=-3,则a 的值为( ) A .-1 B .-2 C .1D .2解析:f (x )=(x +a )2,∴f ′(x )=2(x +a ). 又f ′(12)=-3,∴1+2a =-3,解得a =-2. 答案:B2.函数y =sin x (cos x +1)的导数是( ) A .y ′=cos2x -cos x B .y ′=cos2x +sin x C .y ′=cos2x +cos xD .y ′=cos 2x +cos x解析:y ′=(sin x )′(cos x +1)+sin x (cos x +1)′=cos 2x +cos x -sin 2x =cos2x +cos x .答案:C3.函数y =3x -x 3的单调递增区间是( ) A .(0,+∞) B .(-∞,-1) C .(-1,1)D .(1,+∞)解析:f ′(x )=3-3x 2>0⇒x ∈(-1,1).答案:C4.某汽车启动阶段的路程函数为s (t )=2t 3-5t 2+2,则t =2秒时,汽车的加速度是( )A .14B .4C .10D .6解析:依题意v (t )=s ′(t )=6t 2-10t ,所以a (t )=v ′(t )=12t -10,故汽车在t =2秒时的加速度为a (2)=24-10=14.答案:A5.若曲线f (x )=x sin x +1在x =π2处的切线与直线ax +2y +1=0互相垂直,则实数a 的值为( )A .-2B .-1C .1D .2解析:f ′(x )=x cos x +sin x ,f ′(π2)=1, ∴k =-a2=-1,a =2. 答案:D6.已知P ,Q 为抛物线x 2=2y 上两点,点P ,Q 的横坐标分别为4,-2,过P ,Q 分别作抛物线的切线,两切线交于点A ,则点A 的纵坐标为( )A .1B .3C .-4D .-8解析:如图所示,由已知可设P (4,y 1),Q (-2,y 2), ∵点P ,Q 在抛物线x 2=2y 上,∴⎩⎨⎧42=2y 1, ①(-2)2=2y 2, ②∴⎩⎨⎧y 1=8,y 2=2,∴P (4,8),Q (-2,2).又∵抛物线可化为y =12x 2,∴y ′=x . ∴过点P 的切线斜率为y ′|x =4=4,∴过点P 的切线为y -8=4(x -4),即y =4x -8. 又∵过点Q 的切线斜率为y ′|x =-2=-2.∴过点Q 的切线为y -2=-2(x +2),即y =-2x -2.联立⎩⎨⎧y =4x -8,y =-2x -2,解得x =1,y =-4.∴点A的纵坐标为-4. 答案:C7.若函数y=a(x3-x)的递增区间是(-∞,-33),(33,+∞),则a的取值范围是()A.a>0 B.-1<a<0 C.a>1 D.0<a<1解析:依题意y′=a(3x2-1)>0的解集为(-∞,-33),(33,+∞),故a>0.答案:A8.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是()A.0≤a≤21 B.a=0或a=7C.a<0或a>21 D.a=0或a=21解析:f′(x)=3x2+2ax+7a,当Δ=4a2-84a≤0,即0≤a≤21时,f′(x)≥0恒成立,函数f(x)不存在极值点.故选A.答案:A9.已知函数f(x)=x3-3x,若对于区间[-3,2]上任意的x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则实数t的最小值是()A.0 B.10C.18 D.20解析:f′(x)=3x2-3,令f′(x)=0,解得x=±1,所以1,-1为函数f(x)的极值点,因为f(-3)=-18,f(-1)=2,f(1)=-2,f(2)=2,所以在区间[-3,2]上,f(x)max=2,f(x)min=-18,所以对于区间[-3,2]上任意的x1,x2,|f(x1)-f(x2)|≤20,所以t≥20,从而t的最小值为20.答案:D10.设函数f(x)的定义域为R,x0(x0≠0)是f(x)的极大值点,以下结论一定正确的是()A.∀x∈R,f(x)≤f(x0)B.-x0是f(-x)的极小值点C.-x0是-f(x)的极小值点D.-x0是-f(-x)的极小值点解析:取函数f(x)=x3-x,则x=-33为f(x)的极大值点,但f(3)>f(-33),∴排除A.取函数f(x)=-(x-1)2,则x=1是f(x)的极大值点,f(-x)=-(x+1)2,-1不是f(-x)的极小值点,∴排除B;-f(x)=(x-1)2,-1不是-f(x)的极小值点,∴排除C.故选D.答案:D11.若函数y=f(x)满足xf′(x)>-f(x)在R上恒成立,且a>b,则()A.af(b)>bf(a) B.af(a)>bf(b)C.af(a)<bf(b) D.af(b)<bf(a)解析:设g(x)=xf(x),则g′(x)=xf′(x)+f(x)>0,∴g(x)在R上是增函数,又a>b,∴g(a)>g(b)即af(a)>bf(b).答案:B12.设函数f (x )满足x 2f ′(x )+2xf (x )=e x x ,f (2)=e 28,则x >0时,f (x )( )A .有极大值,无极小值B .有极小值,无极大值C .既有极大值又有极小值D .既无极大值也无极小值解析:由题意知f ′(x )=e x x 3-2f (x )x =e x -2x 2f (x )x3.令g (x )=e x-2x 2f (x ),则g ′(x )=e x -2x 2f ′(x )-4xf (x )=e x -2(x 2f ′(x )+2xf (x ))=e x -2e xx =e x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1-2x .由g ′(x )=0得x =2,当x =2时,g (x )min =e 2-2×22×e 28=0,即g (x )≥0,则当x >0时,f ′(x )=g (x )x 3≥0,故f (x )在(0,+∞)上单调递增,既无极大值也无极小值.答案:D第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(每小题5分,共20分)13.若抛物线y =x 2-x +c 上一点P 的横坐标为-2,抛物线过点P 的切线恰好过坐标原点,则c 的值为________.解析:∵y ′=2x -1,∴y ′|x =-2=-5. 又P (-2,6+c ),∴6+c-2=-5.∴c =4. 答案:414.如果函数f (x )=x 3-6bx +3b 在区间(0,1)内存在与x 轴平行的切线,则实数b 的取值范围是________.解析:存在与x 轴平行的切线,即f ′(x )=3x 2-6b =0有解,∵x ∈(0,1),∴b =x 22∈(0,12).答案:{b |0<b <12}15.已知a ≤4x 3+4x 2+1对任意x ∈[-1,1]都成立,则实数a 的取值范围是________.解析:设f (x )=4x 3+4x 2+1,则f ′(x )=12x 2+8x =4x (3x +2),令f ′(x )=0,解得x 1=0,x 2=-23.又f (-1)=1, f (-23)=4327,f (0)=1,f (1)=9,故f (x )在[-1,1]上的最小值为1,故a ≤1.答案:(-∞,1]16.设二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的导数为f ′(x ),f ′(0)>0,若∀x ∈R ,恒有f (x )≥0,则f (1)f ′(0)的最小值是________.解析:二次函数f (x )=ax 2+bx +c (a ≠0)的导数为f ′(x )=2ax +b ,由f ′(0)>0,得b >0,又对∀x ∈R ,恒有f (x )≥0,则a >0, 且Δ=b 2-4ac ≤0,故c >0,所以f (1)f ′(0)=a +b +c b =a b +c b +1≥2acb 2+1≥2ac4ac +1=2,所以f (1)f ′(0)的最小值为2.答案:2三、解答题(写出必要的计算步骤,只写最后结果不得分,共70分)17.(10分)已知函数f (x )=ln(2x +a )+x 2,且f ′(0)=23.(1)求f (x )的解析式;(2)求曲线f (x )在x =-1处的切线方程. 解:(1)∵f (x )=ln(2x +a )+x 2,∴f ′(x )=12x +a ·(2x +a )′+2x =22x +a +2x .又∵f ′(0)=23,∴2a =23,解得a =3. 故f (x )=ln(2x +3)+x 2.(2)由(1)知f ′(x )=22x +3+2x =4x 2+6x +22x +3,且f (-1)=ln(-2+3)+(-1)2=1, f ′(-1)=4×(-1)2+6×(-1)+22(-1)+3=0,因此曲线f (x )在(-1,1)处的切线方程是y -1=0(x +1),即y =1.18.(12分)已知函数f (x )=13x 3+ax +b (a ,b ∈R )在x =2处取得极小值-43.(1)求函数f (x )的增区间;(2)若f (x )≤m 2+m +103对x ∈[-4,3]恒成立,求实数m 的取值范围.解:(1)由已知得f (2)=-43,f ′(2)=0,又f ′(x )=x 2+a ,所以83+2a +b =-43,4+a =0,所以a =-4,b =4,则f (x )=13x 3-4x +4,令f ′(x )=x 2-4>0,得x <-2或x >2,所以增区间为(-∞,-2),(2,+∞).(2)f (-4)=-43,f (-2)=283,f (2)=-43,f (3)=1,则当x ∈[-4,3]时,f (x )的最大值为283,故要使f (x )≤m 2+m +103对∈[-4,3]恒成立,只要283≤m 2+m +103,所以实数m 的取值范围是m ≥2或m ≤-3.19.(12分)已知函数f (x )=e x (ax +b )-x 2-4x ,曲线y =f (x )在点(0,f (0))处的切线方程为y =4x +4.(1)求a ,b 的值;(2)讨论f (x )的单调性,并求f (x )的极大值. 解:(1)f ′(x )=e x (ax +a +b )-2x -4.由已知得f (0)=4,f ′(0)=4,故b =4,a +b -4=4,所以a =4,b =4.(2)由(1)知,f (x )=4e x (x +1)-x 2-4x , f ′(x )=4e x(x +2)-2x -4=4(x +2)(e x-12).令f ′(x )=0,得x =-ln2或x =-2.从而当x ∈(-∞,-2)∪(-ln2,+∞)时,f ′(x )>0;当x ∈(-2,-ln2)时,f ′(x )<0.故f (x )在(-∞,-2),(-ln2,+∞)上单调递增,在(-2,-ln2)上单调递减.当x =-2时,函数f (x )取得极大值, 极大值为f (-2)=4(1-e -2).20.(12分)已知函数f (x )=x -a ln x (a ∈R ).(1)当a =2时,求曲线y =f (x )在点A (1,f (1))处的切线方程. (2)求函数f (x )的极值.解:函数f (x )的定义域为(0,+∞),f ′(x )=1-ax . (1)当a =2时,f (x )=x -2ln x ,f ′(x )=1-2x (x >0),所以f (1)=1,f ′(1)=-1,所以y =f (x )在点A (1,f (1))处的切线方程为y -1=-(x -1),即x +y -2=0.(2)由f ′(x )=1-a x =x -ax ,x >0可知:①当a ≤0时,f ′(x )>0,函数f (x )为(0,+∞)上的增函数,函数f(x)无极值;②当a>0时,由f′(x)=0,解得x=a;因为x∈(0,a)时,f′(x)<0,x∈(a,+∞)时,f′(x)>0,所以f(x)在x=a处取得极小值,且极小值为f(a)=a-a ln a,无极大值.综上:当a≤0时,函数f(x)无极值,当a>0时,函数f(x)在x=a处取得极小值a-a ln a,无极大值.21.(12分)某地政府鉴于某种日常食品价格增长过快,欲将这种食品价格控制在适当范围内,决定给这种食品生产厂家提供政府补贴,设这种食品的市场价格为x 元/千克,政府补贴为t 元/千克,根据市场调查,当16≤x ≤24时,这种食品日供应量p 万千克,日需量q 万千克近似地满足关系:p =2(x +4t -14)(t >0),q =24+8ln 20x .当p =q 时的市场价格称为市场平衡价格.(1)将政府补贴表示为市场平衡价格的函数,并求出函数的值域;(2)为使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为多少元/千克?解:(1)由p =q 得2(x +4t -14) =24+8ln 20x (16≤x ≤24,t >0), 即t =132-14x +ln 20x (16≤x ≤24). ∵t ′=-14-1x <0,∴t 是x 的减函数. ∴t min =132-14×24+ln 2024=12+ln 2024=12+ln 56; t max =132-14×16+ln 2016=52+ln 54, ∴值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12+ln 56,52+ln 54.(2)由(1)知t =132-14x +ln 20x (16≤x ≤24).而当x =20时,t =132-14×20+ln 2020=1.5(元/千克),∵t 是x 的减函数,∴欲使x ≤20,必须t ≥1.5(元/千克). 要使市场平衡价格不高于20元/千克,政府补贴至少为1.5元/千克.22.(12分)已知函数f (x )=ln x -12ax 2-2x .(1)若函数f (x )在x =2处取得极值,求实数a 的值. (2)若函数f (x )在定义域内单调递增,求实数a 的取值范围. (3)当a =-12时,关于x 的方程f (x )=-12x +b 在[1,4]上恰有两个不相等的实数根,求实数b 的取值范围.解:(1)由题意,得f ′(x )=-ax 2+2x -1x(x >0), 因为x =2时,函数f (x )取得极值,所以f ′(2)=0,解得a =-34,经检验,符合题意.(2)函数f (x )的定义域为(0,+∞),依题意,f ′(x )≥0在x >0时恒成立,即ax 2+2x -1≤0在x >0时恒成立,则a ≤1-2x x 2=⎝ ⎛⎭⎪⎫1x -12-1在x >0时恒成立,即a ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫⎝⎛⎭⎪⎫1x -12-1min (x >0),当x =1时,⎝⎛⎭⎪⎫1x -12-1取最小值-1,所以a 的取值范围是(-∞,-1].(3)当a =-12时,f (x )=-12x +b , 即14x 2-32x +ln x -b =0.设g (x )=14x 2-32x +ln x -b (x >0), 则g ′(x )=(x -2)(x -1)2x, 当x 变化时,g ′(x ),g (x )的变化情况如下表:x (0,1) 1 (1,2) 2 (2,4) g ′(x ) + 0 - 0 + g (x )极大极小所以g (x )极小值=g (2)=ln2-b -2, g (x )极大值=g (1)=-b -54, 又g (4)=2ln2-b -2,因为方程g (x )=0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根, 则⎩⎪⎨⎪⎧g (1)≥0,g (2)<0,g (4)≥0,解得ln2-2<b ≤-54,所以实数b 的取值范围是(ln2-2,-54).。
人教版数学选择性必修2-第五章-一元函数的导数及其应用-单元测试卷【含答案】
第五章一元函数的导数及其应用单元检测题(综合提升篇)一、单选题1.函数31()ln 4x f x x x=--+的图象在点(1,(1))f 处的切线方程为()A .54120x y --=B .5420x y --=C .54120x y +-=D .3440x y ++=2.设()f x 为可导函数,且满足0(1)(12)lim 12x f f x x→--=-,则'(1)f 为()A .1B .1-C .2D .2-3.已知函数()()42e 21x f x x -+=⋅+,则()0f '=()A .2e B .1C .27e D .29e -4.随着科学技术的发展,放射性同位素技术已经广泛应用于医学、航天等众多领域,并取得了显著的经济效益.假设在放射性同位素钍234的衰变过程中,其含量N (单位:贝克)与时间t (单位:天)满足函数关系()2402t N t N -=,其中0N 为0t =时钍234的含量.已知24t =时,钍234含量的瞬时变化率为8ln 2-,则()96N =()A .12B .12ln 2C .24D .24ln 25.已知函数()f x 在0x 处的导数为0()f x ',则()()000lim x f x m x f x x∆→-∆-∆等于()A .0()mf x 'B .0()mf x '-C .0(1)f m x -'D .01()f x m'6.已知函数()21124x xf x a +-=+⋅是偶函数,则函数()()2243,22e ln 1,2x x ax x g x a x x -⎧--<⎪=⎨--≥⎪⎩的所有极值之和等于()A .4-B .3-C .3D .47.已知函数()f x 与其导函数()f x '的图象的一部分如图所示,则函数()()x f x g x e=的单调性()A .在[]1,1-单调递减B .在1,23⎡--⎣单调递减C .在23,1⎡⎤-⎣⎦单调递减D .在[]1,2上单调递减8.已知函数2()cos2f x x x =-,则满足()()2131x xf f +>--的实数x 的取值范围是()A .(0,1)B .(0,)+∞C .(1,0)-D .(,0)-∞二、多选题9.如图是y =()f x 的导函数'()f x 的图象,对于下列四个判断,其中正确的判断是()A .当x =﹣1时,()f x 取得极小值B .()f x 在[﹣2,1]上是增函数C .当x =1时,()f x 取得极大值D .()f x 在[﹣1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数10.若函数()f x 的导函数的图象关于y 轴对称,则()f x 的解析式可能为()A .()3cos f x x =B .()31f x x x =++C .()()2sin f x x x =+D .()e xf x x=+11.[多选]若函数()y f x =的图象上存在两点,使得函数图象在这两点处的切线互相垂直,则称函数()y f x =具有“T 性质”.则下列函数中具有“T 性质”的是()A .e x x y =B .cos 1y x =+C .31y x =D .2ln 2log y x =12.(多选)已知函数()ln xf x x=,则()A .()f x 在e x =处取得极大值B .()f x 有两个不同的零点C .()f x 的极小值点为ex =D .()2ff f <<三、填空题13.已知函数()ln f x x x =+,则曲线()y f x =在1x =处的切线方程为___________.14.已知函数()cos f x x x x =-,则()f x 在区间[0,]π上的最大值是________.15.已知函数()1ln x f x x +=在区间()3,40a a a ⎛⎫+> ⎪⎝⎭上存在极值,则实数a 的取值范围是_________.16.已知函数()3()x f x e ax a R =+-∈,若对于任意的12,[1,)x x ∈+∞且12x x <,都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立,则a 的取值范围是________.四、解答题17.已知曲线3:()x C f x x =-.(1)求曲线C 在点(2,(2))f 处的切线方程;(2)求与直线53y x =+平行的曲线C 的切线方程.18.已知函数()3222f x x ax =-+.(1)若3a =,求函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值;(2)若函数()f x 有三个零点,求实数a 的取值范围.19.已知函数2()exx af x -=,从①1x =-是函数()f x 的一个极值点,②函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为330x y --=这两个条件中任选一个作为已知条件,并回答下列问题.(1)求a 的值;(2)求()f x 的单调区间.20.已知函数2()(1)x f x e m x =-+,()m ∈R .(1)选择下列两个条件之一;①12m =;②1m =;判断()f x 在区间(0,)+∞是否存在极小值点,并说明理由;(其中e 2.718≈)(注:若两个条件都选择作答,按第一个条件作答内容给分)(2)已知0m >,设函数()(1)ln()g x f x mx mx =-+.若()g x 在区间(0,)+∞上存在零点,求实数m 的取值范围.21.已知0x =是函数()ln()1x e f x a x ax x=++-+的一个极值点.(1)求a 的值;(2)证明:()1f x ≥.22.已知函数()()()1sin cos f x a x x x a R =+-∈.(1)若()f x 在5,26ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有零点,求实数a 的取值范围;(2)若04a π-<≤,记()f x 在0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最小值为()g a ,求()g a 的取值范围.参考答案1.A 【分析】先求出7(1)4f =-和切线的斜率为54,再利用直线的点斜式方程得解.【详解】因为31()ln 4x f x x x =--+,所以()23114f x x x'=-++,所以7(1)4f =-,5(1)4f '=,所以切线的斜率为54,所求切线方程为75(1)44y x +=-,即54120x y --=.故选:A 2.B 【分析】利用导数的定义进行求解.【详解】因为0(1)(12)lim12x f f x x →--=-,所以20(1)(12)lim =12x f f x x→---,即20(12)(1)lim12x f x f x-→--=--所以'(1)1f =-.故选:B.3.C 【分析】由基本初等函数的导数公式,结合复合函数的导数运算法则求()f x ¢,进而求()0f '.【详解】()22e ex x -+-+=-',43(21)8(21)x x '⎡⎤+=+⎣⎦,∴()()422e 21e x x x f x -+-+=-⋅++'()3821x ⋅+,当0x =时,()2220e 8e 7e f '=-+=.故选:C 4.C 【分析】对()N t 求导得()24012ln 224t N t N -⎛⎫'=⨯⨯- ⎪⎝⎭,根据已知有()248ln 2N '=-即可求0N ,进而求()96N .【详解】由()2402t N t N -=,得()24012ln 224t N t N -⎛⎫'=⨯⨯- ⎪⎝⎭,∵当24t =时,()242401242ln 28ln 224N N -⎛⎫'=⨯⨯-=- ⎪⎝⎭,解得02824384N =⨯⨯=,∴()243842t N t -=⨯,∴当96t =时,()96424963842384224N --=⨯=⨯=.故选:C.5.B 【分析】根据导数的定义可得()()0000im)l (x f x m xf f x x x m ∆→-∆-'=-∆,将所求的式子整理为()()000limx f x m x f x m m x∆→-∆---∆即可求解.【详解】因为函数()f x 在0x 处的导数为0()f x ',所以()()0000im)l (x f x m xf f x x x m ∆→-∆-'=-∆,所以()()()()000000liml ()im x x f x m x f x f x m x f x m x xf m x m ∆→∆→-∆--∆-=-=-∆-'∆,故选:B.6.A 【分析】先求出a 的值,再分别利用二次函数的性质和导数判断函数是否有极值,从而可得正确的选项.【详解】因为()f x 为偶函数,故()()2112+112424x x x x f x a f x a -++--=+⋅==+⋅,故()112+12+14422xx x x a +--⋅-=-,故()()444244x x x x a --⋅-=-,故12a =,所以()()2223,2e ln 1,2x x x x g x x x -⎧--<⎪=⎨--≥⎪⎩,在(),1-∞上,()g x 为减函数,在()1,2上,()g x 为增函数,故1x =为()g x 的极小值点,且极小值为()14g =-,()g x 无极大值.在[)2,+∞上,()21e 1x g x x -'=--,此时21e,1x y y x -==--在[)2,+∞均为增函数,故()21e1x g x x -'=--在()2,+∞上增函数,而()20g '=,故在()2,+∞上,总有()()20g x g ''>=,故[)2,+∞上,()g x 为增函数,故在[)2,+∞上()g x 无极值.故在R 上,1x =为()g x 的极小值点,且极小值为()14g =-,()g x 无极大值.故选:A.7.B 【分析】由导函数与原函数之间关系可确定两个图象的分属,由此可得()g x '在不同区间内的正负,进而判断单调性,得到结果.【详解】()0f x '<时,()f x 单调递减;()0f x '>时,()f x 单调递增,∴已知图象中在(),0-∞上单调递减,在()0,∞+上单调递增,且有两个零点1x =-和1x =的是()f x ',()()()xf x f xg x e '-'=,由图象可知:当1,2x ⎡∈-⎣时,()()f x f x '>;当2x ⎡⎤∈⎣⎦时,()()f x f x '>;∴当1,2x ⎡∈-⎣时,()0g x '<;当2x ⎡⎤∈⎣⎦时,()0g x '>;()g x ∴在[]1,1-上不单调,A 错误;在1,2⎡--⎣上单调递减,B 正确;在2⎡⎤⎣⎦,[]1,2上单调递增,CD 错误.故选:B.8.D 【分析】先研究出()f x 是偶函数,然后再结合()f x 的单调性,转化为解不等式230x x ->的解集即可,再构造新函数,利用新函数的单调性和特殊值求出x 的取值范围【详解】()()()22()cos 2cos 2f x x x x x f x -=---=-=故2()cos2f x x x =-为偶函数且()()22sin 22sin 2f x x x x x '=+=+当1x >时,[]sin 21,1x ∈-sin 20x x +>恒成立,所以()0f x '>恒成立,当1x >时,2()cos2f x x x =-单调递增,而211x +>,311x-->由()()2131x xf f +>--可得:2131x x +>+,即230x x ->令()23x xg x =-()ln 223ln 30x x g x =-'<所以()23x xg x =-单调递减,而()00g =所以230x x ->的解集为(,0)-∞故选:D 9.AD 【分析】由导函数的图象,确定导函数的正负,由此得到函数()f x 的单调性,由极值的定义判断函数()f x 的极值,由此判断四个选项即可.【详解】解:导函数'()f x 的图象可知,当﹣2<x <﹣1时,'()f x <0,则()f x 单调递减,当x =﹣1时,'()f x =0,当﹣1<x <2时,'()f x >0,则()f x 单调递增,当x =2时,'()f x =0,当2<x <4时,'()f x <0,则()f x 单调递减,当x =4时,'()f x =0,当x >4时,'()f x >0,则()f x 单调递增,所以当x =﹣1时,()f x 取得极小值,故选项A 正确;()f x 在[﹣2,1]上是有减有增函数,故选项B 错误;当x =2时,()f x 取得极大值,故选项C 错误;()f x 在[﹣1,2]上是增函数,在[2,4]上是减函数,故选项D 正确.故选:AD.10.BC 【分析】求出各象限中函数()f x 的导函数()f x ',结合基本初等函数的奇偶性判断可得出结论.【详解】对于A ,()3sin f x x '=-为奇函数,其图象关于原点对称,A 不符合题意;对于B ,()231f x x ='+为偶函数,其图象关于y 轴对称,B 符合题意;对于C ,()()21cos f x x '=+为偶函数,其图象关于y 轴对称,C 符合题意;对于D ,()e 1xf x '=+为非奇非偶函数,其图象不关于y 轴对称,D 不符合题意.故选:BC.11.AB 【分析】由题意可知存在两点使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1,然后结合选项求导逐项分析即可.【详解】由题意,可知若函数()y f x =具有“T 性质”,则存在两点,使得函数在这两点处的导数值的乘积为-1.对于A ,1ee xxx x '-⎛⎫= ⎪⎝⎭,满足条件;对于B ,(cos 1)sin x x '+=-,满足条件;对于C ,34130x x '⎛⎫=-< ⎪⎝⎭恒成立,负数乘以负数不可能得到-1,不满足条件;对于D ,()211ln 2log ln 20ln 2x x x'=⋅=>恒成立,正数乘以正数不可能得到-1,不满足条件.故选:AB.12.AD 【分析】()f x 的定义域为()0,∞+,求()f x '判断单调性,求得极值可判断A ,C ;根据单调性以及()10f =可判断B 、D ,进而可得正确选项.【详解】由题意可得函数的定义域为()0,∞+,由()ln x f x x=可得()221ln 1ln ⋅--'==x xx x f x x x ,令()0f x '=,解得:ex =当0e x <<时,()0f x '>,则()f x 在()0,e 上单调递增;当e x >时,()0f x '<,则()f x 在()e,+∞上单调递堿.所以当e x =时,函数()f x 取得极大值为()1e ef =,无极小值,故选项A 正确,选项C 不正确;因为()ln1101f ==,且()f x 在()0,e 上单调递增,所以函数()f x 在()0,e 上有一个零点.当e x ≥时,ln 0x >,0x >,所以()0f x >,此时无零点.综上所述:()f x 有一个零点,故B 不正确;e <<,()f x 在()0,e上单调递增,所以()2f f f <<,故选项D 正确.故选:AD.13.210x y --=【分析】利用导数几何意义可求得切线斜率()1f ',由此可得切线方程.【详解】()11f x x'=+,()12f '∴=,又()11f =,()y f x ∴=在1x =处的切线方程为()121y x -=-,即210x y --=.故答案为:210x y --=.14.2π【分析】求出函数的导函数,根据导函数的符号求出函数的单调区间,即可求出函数的最大值.【详解】解:()1cos sin f x x x x '=-+,当[0,]x π∈时,()1cos sin 0f x x x x '=-+≥,所以函数()f x 在[0,]π上递增,所以()max ()2f x f ππππ==+=.故答案为:2π.15.1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】利用导数求出函数()f x 的极值点,可得出关于实数a 的不等式组,由此可解得实数a 的取值范围.【详解】因为()1ln x f x x +=,则()()2211ln ln x x x x f x x x ⋅-+'==-.当01x <<时,()0f x '>,当1x >时,()0f x '<.所以,函数()f x 存在唯一的极大值点1x =.由题意可得3140a a a ⎧<<+⎪⎨⎪>⎩,解得114a <<.故答案为:1,14⎛⎫ ⎪⎝⎭.16.(,3]-∞【分析】将不等式变形为:1212()()f x a f x a x x ++<恒成立,构造函数()()f x a h x x+=,转化为当12x x <时,12()()h x h x <恒成立,为了求a 的范围,所以需要构造函数,可通过求导数,根据单调性来求它的范围.【详解】对于任意的1x ,2[1x ∈,)+∞,且12x x <,都有211212()()()x f x x f x a x x -<-成立,∴不等式等价为1212()()f x a f x a x x ++<恒成立,令()()f x a h x x+=,则不等式等价为当12x x <时,12()()h x h x <恒成立,即函数()h x 在(1,)+∞上为增函数;3()x e ax a h x x+-+=,则23()0x x xe e a h x x -+-'= 在[1,)+∞上恒成立;30x x xe e a ∴-+- ;即3x x a xe e -- 恒成立,令()x x g x xe e =-,()0x g x xe ∴'=>;()g x ∴在[1,)+∞上为增函数;()g x g ∴ (1)0=;30a ∴- ;3a ∴ .a ∴的取值范围是(,3]-∞.故答案:(,3]-∞.17.(1)11160x y --=;(2)50x y --=或50x y -+=.【分析】(1)先求出(2)f ,从而得切点坐标,再利用导数的几何意义求出切线的斜率(2)k f '=,最后由点斜式即可求出切线方程;(2)设与直线53y x =+平行的切线的切点为00(,)x y ,由导数的几何意义知,切线的斜率200()315k f x x '==-=,从而求出切点坐标即可求解.【详解】解:(1)∵3()f x x x =-,∴(2)6f =,求导可得2()31x f x '=-,∴切线的斜率为2()11k f '==,∴所求切线方程为611(2)y x -=-,即11160x y --=.(2)设与直线53y x =+平行的切线的切点为00(,)x y ,则切线的斜率为200()31k f x x '==-,又所求切线与直线53y x =+平行,∴20315x -=,解得0x =代入3()f x x x =-可得切点为或(,∴所求切线方程为5(y x =或5(y x =,即50x y --=或50x y -+=.18.(1)6;(2)()+∞【分析】(1)首先求出函数的导函数,即可得到函数的单调区间,从而求出函数的极大值,再与区间端点处函数值比较,即可得到函数的最大值;(2)求出函数的导函数可得()()23f x x x a '=-,即可得到函数的极值点,再对a 分类讨论,即可得到不等式,解得即可;【详解】解:(1)当3a =时,()32232f x x x =-+,所以()()26661f x x x x x '=-=-,令()0f x '>,解得1x >或0x <,令()0f x '<,解得01x <<,所以()f x 在(),0-∞和()1,+∞上单调递增,在()0,1上单调递减,所以当0x =时,()f x 取得极大值为()02f =,当2x =时()26f =,所以函数()f x 在区间[]1,2-上的最大值为6;(2)由()3222f x x ax =-+,所以()()26223f x x ax x x a '=-=-,当0a =时()260f x x '=≥所以函数在定义域上单调递增,则()f x 只有一个零点,故舍去;所以0a ≠,令()0f x '=得0x =或3a x =,函数()f x 有三个零点,等价于()f x 的图象与x 轴有三个交点,函数的极值点为0x =,3a x =,当0a >时,令()0f x '>得0x <或3a x >,所以函数在(),0-∞和,3a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增,令()0f x '<得03a x <<,所以函数在0,3a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以函数在0x =处取得极大值()02f =,在3a x =处取得极小值320327a a f ⎛⎫=-+< ⎪⎝⎭,解得a >;当0a <时,令()0f x '>得0x >或3a x <,所以函数在,3a ⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭和()0,∞+上单调递增,令()0f x '<得03a x <<,所以函数在,03a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,所以函数在0x =处取得极小值()02f =,所以()f x 的图象与x 轴不可能有三个交点;综上可得a >,即()a ∈+∞19.(1)条件性选择见解析,3a =;(2)单调递减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞,单调递增区间为(1,3)-.【分析】(1)选①,求出函数的导函数,根据1x =-是函数()f x 的一个极值点,得函数在1x =-处得到函数值为0,即可得出答案;选②,根据函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为330x y --=,即函数在0x =处得导数值为3,即可的解;(2)由(1)得()2()e 3x f x x -=-,求出函数得导函数,再根据导函数得符号即可得出答案.【详解】解:(1)选①.由题意知,()()2222e e 2()e e x x x x x x a x x a f x ⋅---+'==,依题意得,(1)e(12)0f a '-=-+-=,即3a =,经检验3a =符合题意.选②.由题意知,()()2222e e 2()e e x x x x x x a x x a f x ⋅---+'==,因为函数()f x 的图象在0x =处的切线方程为330x y --=,所以(0)3f a '==,得3a =.(2)由(1)得()2()e 3x f x x -=-,()2()e 23e (3)(1)x x f x x x x x --'=---=--+,令()0f x '=得,1x =-或3x =,列表:x(,1)-∞--1(1,3)-3(3,)+∞()'f x -0+0-()f x 2e-36e 所以()f x 的单调递减区间为(,1)-∞-和(3,)+∞,单调递增区间为(1,3)-.20.(1)答案见解析;(2)m 1≥.【分析】(1)若选择①12m =,求出导函数()1x f x e x '=--,利用导数判断函数的单调性即可求解.(2)令()0g x =,可得12ln()0x e mx mx mx --+=,同除mx 可得ln()1[ln()]0x mx e x mx ----=,令ln()t x mx =-,转化为10t e t --=有解,设1()t h t e t -=-,然后利用导数研究函数的零点即可.【详解】解:(1)若选择①12m =,则21()(1)2x f x e x =-+,则()1x f x e x '=--,令()1x g x e x =--,()1x g x e '=-,由()'g x 单调递增,且(0)0g '=,所以()f x '在(0,)+∞上单调递增,即()(0)0f x f ''>=,则()f x 在(0,)+∞上单调递增,不存在极小值点若选择②1m =,2()e (1)x f x x =-+,则()e 22x f x x '=--,令()22x g x e x =--,()2x g x e '=-.由()'g x 单调递增,且(ln 2)0g '=,()f x '∴在(0,ln 2)上单调递减,(ln 2,)+∞上单调递增,(ln 2)2ln 20f '=-<,而2(2)60f e '=->,所以存在0(ln 2,2)x ∈,使得()f x 在0(0,)x 上单调递减,0(,)x +∞上单调递增,所以存在极小值点0(ln 2,2)x ∈(2)令()0g x =,有12ln()0x e mx mx mx --+=,又0mx >,所以11ln()1ln()ln()ln()[ln()]0x x x mx mx e e x mx x mx e x mx mx e-----+=-+=--=,令ln()t x mx =-,即转化为10t e t --=有解,设1()t h t e t -=-,则由1()1t h t e -'=-可得,()h t 在(,1)t ∈-∞单调递减,在(1,)t ∈+∞单调递增,而(1)0h =,所以1()t h t e t -=-由唯一零点1t =.若()g x 在区间(0,)+∞存在零点,即为1ln()x mx =-在(0,)+∞有解.整理得:1ln ln m x x +=-,设()ln l x x x =-,由1()1l x x'=-知,()l x 在(0,1)x ∈单调递减,在(1,)x ∈+∞单调递增,又0x →时,()l x →+∞.则()(1)1l x l ≥=,所以1ln 1m +≥,得:m 1≥.21.(1)1a =(2)证明见解析【分析】(1)结合已知条件,利用'(0)0f =即可求解;(2)对()f x 求导可得()'2(e 1)(1)x x x f x x --=+,再通过对()e 1x g x x =--求导以确定()g x 在()1,-+∞的符号,从而可得到()f x 的单调性,然后利用()f x 的单调性即可求解.(1)由题意,()()'21e 1xx f x a a x x =+-++,因为0x =是函数()f x 的一个极值点,所以()'100f a a-==,解得1a =±.又因为00a +>,所以1a =.(2)证明:由(1)可知e ()ln(1)1xf x x x x=++-+的定义域为()1,-+∞,则()()'221e (e 1)11(1)1x x x x x f x x x x --=+-=+++,令()e 1x g x x =--,则'()e 1x g x =-,当[)0,x ∈+∞时,'()0g x ≥;当()1,0x ∈-时,'()0g x <,故()g x 在()1,0-上单调递减,在[)0,+∞上单调递增,从而对于(1,)x ∀∞∈-+,()(0)0g x g ≥=,所以当()1,0x ∈-时,()0f x '<,则()f x 在()1,0-上单调递减;当()0,x ∈+∞时,()0f x '>,则()f x 在()0,∞+上单调递增.故对于(1,)x ∀∞∈-+,()(0)1f x f ≥=.22.(1)1,16⎛⎫--- ⎪ ⎪⎝⎭(2)22,024⎫-⎪⎪⎣⎭【分析】(1)令()cos sin x x F x x=,求出其导数后可判断函数的单调性,从而可求其值域,故可求实数a 的取值范围;(2)求出()f x ',令()()G x f x =',求出()G x ',利用题设条件可得()0G x '>,从而可得()f x '在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭存在唯一的零点且可得()f x '的符号情况,从而可得()f x 的单调性,故可得其最小值,再利用导数可求其取值范围.(1)由()0f x =得cos 1sin x x a x +=,令()cos sin x x F x x =,则()2sin cos 0sin x x x F x x -'=<,所以()F x 在5,26ππ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减,(),06F x ⎛⎫∈- ⎪ ⎪⎝⎭,从而1,16a ⎛⎫∈--- ⎪ ⎪⎝⎭.(2)令()()cos sin G x f x a x x x '==+,因为0,,024x a ππ⎛⎫∈-≤< ⎪⎝⎭,故()()1sin cos 0G x a x x x '=-+>,所以()G x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,又()00G a =<,022G ππ⎛⎫=> ⎪⎝⎭,所以存在唯一实数00,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,使得()00G x =,且当()00,x x ∈时,()0f x '<,当0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时,()0f x '>,故()f x 在()00,x 上单减,在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单增,从而()f x 的最小值()()()00001sin cos g a f x a x x x ==+-,∵000cos sin 0a x x x +=,∴000sin cos x x a x -=,故()()()00000001sin cos sin cos x g a f x a x x x x x ==+-=-.令()sin 0cos 2x x h x x x π-⎛⎫=<< ⎝⎭,则()2sin cos 0cos x x x h x x +'=-<,所以()h x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上单减,由题意04a π-<≤可得()()004h h x h π⎛⎫< ⎪⎝⎭≤,所以004x π<≤,令()sin 0cos 4x H x x x x π⎛⎫=-< ⎪⎝⎭≤,则()()222cos cos 1sin cos sin cos cos cos x x x x x x x H x x x x--+=-=()2sin cos sin 0cos x x x x x -+=<,所以()H x 在0,4π⎛⎤ ⎥⎝⎦上单减,故()g a 的取值范围为22,024⎫-⎪⎪⎣⎭.【点睛】思路点睛:含参数的零点问题,可利用参变分离把参数的范围问题转化为不含参数的新函数的值域问题,在函数的单调性的讨论中,如果导函数的零点不易求得,可虚设零点来简化问题的讨论.。
第一章导数及其应用单元测试_A———高中数学选修2-2
第一章导数及其应用单元测试(A)参考答案
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一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C A D A C B
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21. (本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) = x - 3 x.
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(1)求曲线 y = f ( x ) 在点 x = 2 处的切线方程; (2)若过点 A(1, m) ( m ¹ -2) 可作曲线 y = f ( x ) 的三条切线,求实数 m 的取值范围.
a2 , g ( x ) = x + ln x ,其中 a > 0 . 22. (本小题满分14分)已知函数 f ( x ) = x + x (1)若 x = 1 是函数 h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) 的极值点,求实数 a 的值;
第一章导数及其应用单元测试(A)
一、选择题(共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1. f ( x) = x , f '( x0 ) = 6 ,则 x0 = (
3
) D. ±1
b
A. 2 2.设连续函数
B. - 2
C. ± 2
f ( x) > 0 ,则当 a < b 时,定积分 òa f ( x )dx 的符号
2 3 21.解(1) f ¢( x ) = 3 x - 3, f ¢(2) = 9, f (2) = 2 - 3 ´ 2 = 2
………………………2 分
2020届人教A版_导数及其应用_单元测试(2)
导数及其应用学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题 1.函数的单调递增区间是( )A .B .C .D .【答案】C【解析】本题考查导数的运算和导数的应用:利用导数求单调区间.不等式的解法. 函数()3ln f x x x =+的定义域为(0,);+∞()ln 1f x x '=+,由不等式()ln 10f x x '=+> 解得1;x e >则函数()3ln f x x x =+的单调递增区间是1(,).e+∞故选C2.已知函数()3232f x x x mx m =-+--,若存在唯一的正整数0x ,使得()00f x >,则m 的取值范围为( )A .()0,1B .1,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ C .2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭ D .2,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【解析】由题意设()()()323,2g x x x h x m x -+=+,则()()2'3632g x x x x x =-+=--,()g x ∴在()(),0,2,-∞+∞递减,在()0,2上递增,且()()()32030,22324g g g ===-+⋅=,在一个坐标系中画出两个函数图象如图:存在唯一的正整数0x ,使得()00f x >,即()()00g x h x >∴由图得02x =,则()()()(){22 11m g h g h >>≤,即0{44 133m mm>>-+≤,解得21,3m m ≤<∴的取值范围是2,13⎡⎫⎪⎢⎣⎭,故选C.【方法点睛】本题主要考查函数的图象与性质、导数的应用及不等式的整数解、数形结合思想的应用,属于难题.数形结合是根据数量与图形之间的对应关系,通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法,是中学数学四种重要的数学思想之一,尤其在解决选择题、填空题是发挥着奇特功效,大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是运用这种方法的关键是正确作出函数图象以及熟练掌握函数图象的几种变换,充分利用数形结合的思想方法能够使问题化难为简,并迎刃而解.3.已知函数()f x 在R 上满足f(x)=2f(4-x)-2x 2+5x ,则曲线()y f x =在点(2,f(2) ) 处的切线方程是( )A .y=-xB .y x =C .y=-x +4D .y=-2x+2 【答案】A【解析】因为解:∵f(x )=2f (4-x )-2x 2+5x , ∴f(4-x )=2f (x )-(4-x )2+5(4-x ) ∴f(2-x )=2f (x )-x 2+8x+4-5x将f (4-x )代入f (x )=2f (4-x )-2x 2+5x得f (x ),y=f (x )在(2,f (2))处的切线斜率为y′=-1. ∴函数y=f (x )在(2,f (2))处的切线方程为.y=-x 答案A4.已知函数f (x )=x 33+12ax 2+2bx +c 的两个极值分别为f (x 1), f (x 2),若x 1, x 2分别在区间(0,1)与(1,2)内,则b −2a 的取值范围是( )A .(2,7)B .(−4,−2)C .(−5,−2)D .(−∞,2)∪(7,+∞) 【答案】A 【解析】 【分析】先根据导函数的两个根的分布建立a 、b 的约束条件,然后利用线性规划的方法求出目标函数的取值范围即可. 【详解】 ∵函数f (x )=x 33+12ax 2+2bx +c∴f′(x)=x2+ax+2b=0的两个根为x1,x2,∵x1,x2分别在区间(0,1)与(1,2)内∴{f′(0)>0f′(2)>0 f′(1)<0⇒{b>0a+b+2>0 a+2b+1<0做出可行域如图所示,令z=b−2a,平移直线b=2a+z.经过点A(-1,0)时,z最小为:2;经过点B(-3,1)时,z最大为:7∴b−2a∈(2,7),故选:A.【点睛】本题考查的是线性规划问题,解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化,即数形结合思想.需要注意的是:一,准确无误地作出可行域;二,画目标函数所对应的直线时,要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较,避免出错;三,一般情况下,目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.5.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=−13x3+81x−286,则该生产厂家获取的最大年利润为()A.300万元B.252万元C.200万元D.128万元【答案】C【解析】【分析】求得函数的导数,得到函数的单调性,进而求解函数的最大值,即可得到答案.【详解】由题意,函数y=−13x3+81x−286,所以y′=−x2+81,当0<x<9时,y′>0,函数f(x)为单调递增函数;当x>9时,y′<0,函数f(x)为单调递减函数,所以当x=9时,y有最大值,此时最大值为200万元,故选C.本题主要考查了利用导数研究函数的单调性与最值问题,其中解答中熟记函数的导数在函数中的应用,准确判定函数的单调性是解答的关键,着重考查了推理与计算能力,属于基础题.6.函数f (x )=(x +1)(x 2-x +1)的导数是 ( ) A .x 2-x +1B .(x +1)(2x -1)C .3x 2D .3x 2+1【答案】C 【解析】7.定义在[a,3]上的函数f(x)=e x −1e x−2x (a >0)满足,f(a +1)⩽f (2a 2),则实数a 的取值集合是( ) A .(0,√62] B .(1,√62) C .[2√33,√62] D .[1,√62] 【答案】D 【解析】 【分析】对函数求导得到函数的单调性,将不等式转化为a +1≤2a 2≤3结合a >0,解得a 的范围. 【详解】函数f(x)=e x −1e x −2x (a >0),对函数求导得到f ′(x )=e x +e −x −2≥2√e x ⋅e −x −2=0故函数在所给区间上是单调递增的,f(a +1)⩽f (2a 2)等价于a +1≤2a 2≤3 结合a >0,解得1≤a ≤√62故答案为:D. 【点睛】这个题目考查了导数在研究函数单调性中的应用,通过研究函数单调性将函数值的大小转化为自变量的大小关系,进而得到结果.8.已知f ′(x )是函数f (x )的导函数,且对任意的实数x 都有f ′(x )=e x (2x −2)+f (x )(e 是自然对数的底数),f (0)=1,若方程f (x )=k 有三个不同的实数根,则实数k 的取值范围是( )A .(−∞,0]B .(0,4e ) C .(4e ,+∞) D .[e,+∞)【解析】分析:因为f′(x )=e x (2x −2)+f (x ),所以f′(x )e x −(e x )′f (x )e 2x=2x −2,从而有[f (x )e x]′=2x −2,也就是f (x )=e x (x 2−2x +c ),结合f (0)=1得到c =1,从而利用导数研究y =f (x )的图像后利用直线y =k 与其有两个不同的交点即可得到k 的取值范围. 详解:因为f′(x )=e x (2x −2)+f (x ),所以f′(x )e x −(e x )′f (x )e 2x=2x −2,也就是[f (x )e x]′=2x −2,从而f (x )=e x (x 2−2x +c ),又f (0)=1,故c =1.f′(x )=e x (x 2−1), 当x ∈(−∞,−1)时,f′(x )>0,f (x )为增函数; 当x ∈(−1,1)时,f′(x )<0,f (x )为减函数; 当x ∈(1,+∞)时,f′(x )>0,f (x )为增函数,所以当f (1)<k <f (−1)即0<k <4e 时,直线y =k 与y =f (x )的图像有三个不同的交点,即方程f (x )=k 有三个不同的解.故选B .点睛:当函数及其导数满足等式关系时,我们需要根据关系式的形式构建新函数,使得它的导数就是前述的关系式.另外,方程的零点的个数的讨论可以转化为定函数的图像与水平动直线的位置关系讨论.9.已知曲线f(x)=lnx+x 2a 在点(1,f (1))处的切线的倾斜角为3π4,则a 的值为( ) A .1 B .﹣4 C .﹣12 D .﹣1【答案】D 【解析】分析:求导f′(x)=1x +2x a,利用函数f (x )在x=1处的倾斜角为3π4得f′(1)=﹣1,由此可求a 的值. 详解: 函数f(x)=lnx +x 2a(x >0)的导数f′(x)=1x +2x a,∵函数f (x )在x=1处的倾斜角为3π4∴f′(1)=﹣1, ∴1+2a =﹣1,∴a=﹣1. 故选:D .点睛:求曲线的切线方程是导数的重要应用之一,用导数求切线方程的关键在于求出切点P(x 0,y 0)及斜率,其求法为:设P(x 0,y 0)是曲线y =f(x)上的一点,则以P 的切点的切线方程为:y −y 0=f′(x 0)(x −x 0).若曲线y =f(x)在点P(x 0,f(x 0))的切线平行于y 轴(即导数不存在)时,由切线定义知,切线方程为x =x 0.10.已知偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-,且当(]0,4x ∈时, ()()ln 2x f x x=,关于x 的不等式()()20fx af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解,则实数a 的取值范围是( )A .1ln6,ln23⎛⎤- ⎥⎝⎦B .1ln2,ln63⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C .1ln2,ln63⎛⎤-- ⎥⎝⎦ D .1ln6,ln23⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C【解析】因为偶函数()f x 满足()()44f x f x +=-,所以()()()888f x f x f x T =-=-⇒= ,因为关于x 的不等式()()20fx af x +>在[]200,200-上有且只有200个整数解,所以关于x 的不等式()()20fx af x +>在0,4()上有且只有2个整数解,因为()21ln2e 02x f x x x -==⇒=' ,所以()f x 在e 0,2⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增,且()2,e f x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭,在e ,42⎛⎫ ⎪⎝⎭ 上单调递减,且()3ln22,4e f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭,因此()0f x >,只需()f x a >-在0,4()上有且只有2个整数解,因为()()ln61ln233f f =>= ,所以ln3ln3ln2ln266a a >-≥⇒-<≤-,选C. 点睛:对于方程解的个数(或函数零点个数)问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等. 11.函数()y f x =的导函数()y f x ='的大致图象如下图所示,则函数()y f x =的图象可能是( )A.B.C.D.【答案】B【解析】由题意函数y=f(x)的导函数的大致图象如图所示可得,导函数的符号为负,正,负,正;对应函数的单调性为:减函数,增函数,减函数,增函数。
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高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷班级: 姓名: 座号: 成绩:一、选择题(共7个小题,每小题6分)1、一个物体的运动方程为21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3秒末的瞬时速度是 ( )A .5米/秒B .6米/秒C .7米/秒D .8米/秒2、函数()3f x x x =+的单调递增区间是 ( )A .()0,+∞B .(),1-∞C .(),-∞+∞D .()1,+∞3、已知()3232f x ax x =++且()14f '-=,则实数a 的值等于 ( )A .193B .163C .133D .1034、函数()()22f x x π=的导数是 ( )A .()4f x x π'=B .()24f x x π'=C .()28f x x π'=D .()16f x x π'=5、“函数()00f x '=”是“可导函数()f x 在点0x x =处取到极值”的 条件。
( )A .充分不必要B .必要不充分C .充要D .既不充分也不必要6、已知曲线24x y =的一条切线的斜率为12,则切点的横坐标为 ( ) A .1 B .2 C .3 D .47、设()0sin f x x =,()()10f x f x '=,()()21f x f x '=,,()()1n n f x f x +'=,n ∈N ,则()2005f x = ( )A .sin xB .sin x -C .cos xD .cos x -二、填空题(共3个小题,每小题6分)8、曲线31y x x =++在点()1,3处的切线方程是 .9、已知直线10x y --=与抛物线2y ax =相切,则a = .10、三次函数()3f x ax x =+在(),-∞+∞内是增函数,则a 的取值范围是 .三、解答题(共2个小题,每题20分)11、已知函数()32f x x ax bx c =+++,当1x =-时,取得极大值7;当3x =时,取得极小值.试求a 、b 、c 的值及这个极小值.12、设函数3()3(0)f x x ax b a =-+>.(Ⅰ)若曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,求,a b 的值;(Ⅱ)求函数()f x 的单调区间与极值点.高二数学选修1-1《导数及其应用》单元测试卷参考答案1-5 ACDCB 6-7 AC 8. 410x y --= 9. 1410. 0a > 11、解:()32f x x ax bx c =+++,∴()232f x x ax b '=++由题意知,1-和3是方程2320x ax b ++=的两个实数根 ∴2133133a b ⎧-=-+⎪⎪⎨⎪=-⨯⎪⎩,解得:39a b =-⎧⎨=-⎩()17f -=∴()()()()3211319157f c c -=--⨯--⨯-+=+=∴2c =∴极小值()32333393225f =-⨯-⨯+=-12、(Ⅰ)()'233f x x a =-,∵曲线()y f x =在点(2,())f x 处与直线8y =相切,∴()()()'203404,24.86828f a a b a b f ⎧=-=⎧=⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨=-+==⎪⎩⎪⎩⎩(Ⅱ)∵3()3(0)f x x ax b a =-+>,由()'0f x x =⇒=当(,x ∈-∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,当(x ∈时,()'0f x <,函数()f x 单调递减,当)x ∈+∞时,()'0f x >,函数()f x 单调递增,∴此时x =()f x 的极大值点,x =()f x 的极小值点.知识改变命运。
高中数学选修2第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试(含解析)
高中数学选修2第五章一、单选题1.现有一球形气球,在吹气球时,气球的体积V (单位:L )与直径d (单位:dm )的关系式为V =πd 36,当d =2dm 时,气球体积的瞬时变化率为( )A .2πB .πC .π2D .π42.若点P 是曲线y =lnx ―x 2上任意一点,则点P 到直线l :x +y ―6=0的距离的最小值为( )A .22B .32C .522D .9223.函数f (x )=13a x 3+12a x 2―2ax +2a +1的图象经过四个象限的一个充分必要条件是( )A .―43<a <―13B .―1<a <―12C .―2<a <0D .―65<a <―3164.根据公式sin3α=3sin α―4sin 3α,sin10°的值所在的区间是( )A .(17,16)B .(16,15)C .(15,14)D .(14,13)5.已知函数f (x )=ax +ln a ,g (x )=x +e x ―ln x ,若关于x 的不等式f (x )>g (x )在区间(0,+∞)内有且只有两个整数解,则实数a 的取值范围为( )A .(e ,e 2]B .(e ,e 22]C .(e 2,e 3]D .(e 22,e 33]6.设函数 f (x )=e xx―t (ln x +x +2x ) 恰有两个极值点,则实数 t 的取值范围是( )A .(―∞,12]B .(12,+∞)C .(12,e 3)∪(e3,+∞)D .(―∞,12]∪(e3,+∞)7.已知 f (x ) 是定义在 R 上的奇函数, f (―1)=0 ,当 x <0 时, x f ′(x )+f (x )<0 ,则使得 f (x)>0 成立的 x 的取值范围是( ) A .(―∞,―1)∪(0,1)B .(―1,0)∪(1,+∞)C .(―∞,―1)∪(―1,0)D .(0,1)∪(1,+∞)8.函数 f (x )=|x |ex ,方程 [f (x )]2―(m +1)f (x )+1―m =0 有4个不相等实根,则 m 的取值范围是( )A .(e 2―e e 2+e,1)B .(e 2―e +1e 2+e ,+∞)C .(e 2―e +1e 2+e ,1)D .(e 2―e e 2+e,+∞)二、多选题9.对任意的x∈R,函数f(x)=x3+ax2+7ax不存在极值点的充分不必要条件是( )A.0≤a≤21B.1≤a≤20C.a<0D.a=21 10.已知函数f(x)=e xx2―x+1,则下列结论正确的是( )A.函数f(x)存在极大值和极小值B.函数f(x)不存在最小值与最大值C.当x∈[0,3]时,函数f(x)最大值为eD.当x∈[12,e]时,函数f(x)最小值为e2311.已知函数f(x)=14x 4+12a x2+ax,则下面说法正确的是( )A.存在实数a,使f(x)有最小值且最小值小于0B.对任意实数a,f(x)有最小值且最小值不小于0C.存在正实数a和实数x0,使f(x)在(―∞,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增D.对任意负实数a,存在实数x0,使f(x)在(―∞,x0)上递减,在(x0,+∞)上递增12.若f(x)图象上存在两点A,B关于原点对称,则点对[A,B]称为函数f(x)的“友情点对”(点对[A,B]与[B,A]视为同一个“友情点对”)若f(x)={x3e x,x≥0ax2,x<0恰有两个“友情点对”,则实数a的值可以是( )A.0B.―12018C.―1eD.―12021三、填空题13.函数f(x)=12x―x3在区间[―3,3]的最小值是 .14.设曲线y=e ax+sine在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= .15.关于x的方程kx―lnxx =2在区间[1e,e]上有两个实根,则实数k的最小值是 .16.已知函数f(x)=x3―a e x,若函数f(x)有三个极值点x1,x2,x3(x1<x2<x3),若x3≥3x2,则实数a的取值范围是 .四、解答题17.求下列函数的导数:(1)f(x)=(1+sin x)(1―4x);(2)f(x)=xx+1―2x.18.已知函数f(x)=x3-4x2+5x-4.(1)求曲线f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;(2)求经过点A(2,-2)的曲线f(x)的切线方程.19.已知函数f (x )=x 3+a x 2+x (a ∈R )(1)若函数f (x )存在两个极值点,求a 的取值范围;(2)若f (x )≥xlnx +x 在(0,+∞)恒成立,求a 的最小值.20.设f n (x )=x+x 2+…+x n ﹣1,x≥0,n ∈N ,n≥2.(Ⅰ)求f n ′(2);(Ⅱ)证明:f n (x )在(0,23)内有且仅有一个零点(记为a n ),且0<a n ﹣12<13(23)n .21.已知函数f (x )=lnx+a (x 2﹣3x+2),其中a 为参数.(1)当a=0时,求函数f (x )在x=1处的切线方程; (2)讨论函数f (x )极值点的个数,并说明理由;(3)若对任意x ∈[1,+∞),f (x )≥0恒成立,求实数a 的取值范围.22.设函数 f (x )=1x ―eex ,g (x )=a (x 2―1)―lnx ( a ∈R , e 为自然对数的底数).(1)证明:当 x >1 时, f (x )>0 ; (2)讨论 g (x ) 的单调性;(3)若不等式 f (x )<g (x ) 对 x ∈(1,+∞) 恒成立,求实数 a 的取值范围.参考答案1.A2.B解:已知函数y=lnx―x2,可得y′=1x―2x,(x>0),直线l:x+y―6=0的斜率为-1,令y′=―1,即1x―2x=―1,可得(x―1)(2x+1)=0,因为x>0,可得x=1,则y=―1,即平行于直线l:x+y―6=0且与曲线y=lnx―x2相切的切点坐标为P(1,―1),由点到直线的距离公式,可得点P到直线l的距离为d=|1―1―6|2=32.3.D。
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《导数及其应用》单元测试题(文科)(满分:150分 时间:120分钟)一、选择题(本大题共10小题,共50分,只有一个答案正确) 1.函数()22)(x x f π=的导数是( )(A) x x f π4)(=' (B) x x f 24)(π=' (C) x x f 28)(π=' (D) x x f π16)(=' 2.函数xex x f -⋅=)(的一个单调递增区间是( )(A)[]0,1- (B) []8,2 (C) []2,1 (D) []2,03.已知对任意实数x ,有()()()()f x f x g x g x -=--=,,且0x >时,()0()0f x g x ''>>,,则0x <时( )A .()0()0f x g x ''>>,B .()0()0f x g x ''><,C .()0()0f x g x ''<>,D .()0()0f x g x ''<<,4.若函数b bx x x f 33)(3+-=在()1,0内有极小值,则( ) (A ) 10<<b (B ) 1<b (C ) 0>b (D ) 21<b 5.若曲线4y x =的一条切线l 与直线480x y +-=垂直,则l 的方程为( )A .430x y --=B .450x y +-=C .430x y -+=D .430x y ++= 6.曲线xy e =在点2(2)e ,处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.294eB.22eC.2eD.22e7.设()f x '是函数()f x 的导函数,将()y f x =和()y f x '=的图象画在同一个直角坐标系中,不可能正确的是( )8.已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ,'(0)0f >,对于任意实数x 都有()0f x ≥,则(1)'(0)f f 的最小值为( ) A .3 B .52 C .2 D .329.设2:()e ln 21xp f x x x mx =++++在(0)+∞,内单调递增,:5q m -≥,则p 是q 的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件10. 函数)(x f 的图像如图所示,下列数值排序正确的是( )(A ))2()3()3()2(0//f f f f -<<< (B ) )2()2()3()3(0//f f f f <-<< (C ))2()3()2()3(0//f f f f -<<< (D ))3()2()2()3(0//f f f f <<-< O 1 2 3 4 x 二.填空题(本大题共4小题,共20分)11.函数()ln (0)f x x x x =>的单调递增区间是____.12.已知函数3()128f x x x =-+在区间[3,3]-上的最大值与最小值分别为,M m ,则M m -=__.13.点P 在曲线323+-=x x y 上移动,设在点P 处的切线的倾斜角为为α,则α的取值范围是 14.已知函数53123-++=ax x x y (1)若函数在()+∞∞-,总是单调函数,则a 的取值范围是 . (2)若函数在),1[+∞上总是单调函数,则a 的取值范围 . (3)若函数在区间(-3,1)上单调递减,则实数a 的取值范围是 .三.解答题(本大题共4小题,共12+12+14+14+14+14=80分)15.用长为18 cm 的钢条围成一个长方体形状的框架,要求长方体的长与宽之比为2:1,问该长方体的长、宽、高各为多少时,其体积最大最大体积是多少16.设函数32()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值.(1)求a 、b 的值;(2)若对于任意的[03]x ∈,,都有2()f x c <成立,求c 的取值范围.17.设函数3()32f x x x =-++分别在12x x 、处取得极小值、极大值.xoy 平面上点A B 、的坐标分别为11()x f x (,)、22()x f x (,),该平面上动点P 满足•4PA PB =u u u r u u u r,点Q 是点P 关于直线2(4)y x =-的对称点,.求 (Ⅰ)求点A B 、的坐标; (Ⅱ)求动点Q 的轨迹方程.18. 已知函数32()23 3.f x x x =-+ (1)求曲线()y f x =在点2x =处的切线方程;(2)若关于x 的方程()0f x m +=有三个不同的实根,求实数m 的取值范围.19.已知()R a x x a ax x f ∈+++-=14)1(3)(23(1)当1-=a 时,求函数的单调区间。
(2)当R a ∈时,讨论函数的单调增区间。
(3)是否存在负实数a ,使[]0,1-∈x ,函数有最小值-320.已知函数()2a f x x x=+,()ln g x x x =+,其中0a >.(1)若1x =是函数()()()h x f x g x =+的极值点,求实数a 的值;(2)若对任意的[]12,1x x e ∈,(e 为自然对数的底数)都有()1f x ≥()2g x 成立,求实数a 的取值范围.【文科测试解答】 一、选择题1.()∴==,42)(222x x x f ππ=⋅='x x f 242)(πx x f 28)(π=';2.∴=⋅=-.)(x xe x e x xf []=⋅-⋅='21)(x x x e e x e x f , ()[]1,012<∴>⋅-x e e x x x选(A) 3.(B)数形结合由()b x b x x f -=-='22333)(,依题意,首先要求b>0, 所以()()b x b x x f -+='3)(由单调性分析,b x =有极小值,由()1,0∈=b x 得.5.解:与直线480x y +-=垂直的直线l 为40x y m -+=,即4y x =在某一点的导数为4,而34y x '=,所以4y x =在(1,1)处导数为4,此点的切线为430x y --=,故选A 6.(D ) 7.(D ) 8.(C ) 9.(B )10.B 设x=2,x=3时曲线上的点为AB,点A 处的切线为AT 点B 处的切线为BQ ,T=-)2()3(f f ΘAB k f f =--23)2()3( ,)3(BQ k f ='Θ,)2(AT k f =' 如图所示,切线BQ 的倾斜角小于直线AB 的倾斜角小于 切线AT 的倾斜角 <∴BQ k <AB k AT k所以选B 11.1,e ⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭12.3213.⎪⎭⎫⎢⎣⎡⋃⎪⎭⎫⎢⎣⎡πππ,432,0 14. (1).3)3(;3)2(;1-≤-≥≥a a a三、解答题15. 解:设长方体的宽为x (m ),则长为2x (m),高为⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=230(m)35.441218<<x x xh .故长方体的体积为).230()(m 69)35.4(2)(3322<<x x x x x x V -=-=从而).1(18)35.4(1818)(2x x x x x x V -=--='令V ′(x )=0,解得x =0(舍去)或x =1,因此x =1. 当0<x <1时,V ′(x )>0;当1<x <32时,V ′(x )<0, 故在x =1处V (x )取得极大值,并且这个极大值就是V (x )的最大值。
从而最大体积V =V ′(x )=9×12-6×13(m 3),此时长方体的长为2 m ,高为1.5 m. 答:当长方体的长为2 m 时,宽为1 m ,高为1.5 m 时,体积最大,最大体积为3 m 3。
16.解:(1)2()663f x x ax b '=++,因为函数()f x 在1x =及2x =取得极值,则有(1)0f '=,(2)0f '=.即6630241230a b a b ++=⎧⎨++=⎩,.解得3a =-,4b =.(2)由(Ⅰ)可知,32()29128f x x x x c =-++,2()618126(1)(2)f x x x x x '=-+=--.当(01)x ∈,时,()0f x '>; 当(12)x ∈,时,()0f x '<; 当(23)x ∈,时,()0f x '>.所以,当1x =时,()f x 取得极大值(1)58f c =+,又(0)8f c =,(3)98f c =+. 则当[]03x ∈,时,()f x 的最大值为(3)98f c =+. 因为对于任意的[]03x ∈,,有2()f x c <恒成立,所以 298c c +<, 解得 1c <-或9c >,因此c 的取值范围为(1)(9)-∞-+∞U ,,.17.解: (1)令033)23()(23=+-='++-='x x x x f 解得11-==x x 或当1-<x 时,0)(<'x f , 当11<<-x 时,0)(>'x f ,当1>x 时,0)(<'x f所以,函数在1-=x 处取得极小值,在1=x 取得极大值,故1,121=-=x x ,4)1(,0)1(==-f f所以, 点A 、B 的坐标为)4,1(),0,1(B A -.(2) 设),(n m p ,),(y x Q ,()()4414,1,122=-+-=--•---=•n n m n m n m PB PA21-=PQ k ,所以21-=--m x n y ,又PQ 的中点在)4(2-=x y 上,所以⎪⎭⎫⎝⎛-+=+4222m x n y 消去n m ,得()()92822=++-y x .另法:点P 的轨迹方程为(),9222=-+n m 其轨迹为以(0,2)为圆心,半径为3的圆;设点(0,2)关于y=2(x-4)的对称点为(a,b),则点Q 的轨迹为以(a,b),为圆心,半径为3的圆,由2102-=--a b ,⎪⎭⎫⎝⎛-+=+420222a b 得a=8,b=-218.解(1)2()66,(2)12,(2)7,f x x x f f ''=-== ………………………2分∴曲线()y f x =在2x =处的切线方程为712(2)y x -=-,即12170x y --=;……4分 (2)记322()233,()666(1)g x x x m g x x x x x '=-++=-=-令()0,0g x x '==或1. …………………………………………………………6分 则,(),()x g x g x '的变化情况如下表………………………10分由()g x 的简图知,当且仅当(0)0,(1)0g g >⎧⎨<⎩即30,3220m m m +>⎧-<<-⎨+<⎩时, 函数()g x 有三个不同零点,过点A 可作三条不同切线.所以若过点A 可作曲线()y f x =的三条不同切线,m 的范围是(3,2)--.…………14分19.(1)(),2,-∞-∈x 或(),,2+∞∈x )(x f 递减; (),2,2-∈x )(x f 递增; (2)1、当,0=a (),2,-∞-∈x )(x f 递增;2、当,0<a ,2,2⎪⎭⎫ ⎝⎛∈ax )(x f 递增;3、当,10<<a (),2,∞-∈x 或,,2⎪⎭⎫⎝⎛+∞∈a x )(x f 递增; 当,1=a (),,+∞∞-∈x )(x f 递增;当,1>a ,2,⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-∈a x 或(),,2+∞∈x )(x f 递增;(3)因,0<a 由②分两类(依据:单调性,极小值点是否在区间[-1,0]上是分类“契机”:1、当,2,12-≥⇔-≤a a [],2,20,1⎪⎭⎫ ⎝⎛⊆-∈a x )(x f 递增,3)1()(min -=-=f x f ,解得,243->-=a2、当,2,12-≤⇔->a a由单调性知:3)2()(min -==a f x f ,化简得:01332=-+a a ,解得,26213->±-=a 不合要求;综上,43-=a 为所求。