二次函数的区间最值问题知识讲解

二次函数最值问题

二次函数y =ax 2 bx C a = 0）是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基

础•在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量

x 取任意实数时的最值情况（当a ■0时, 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时，函数的最值问

题•在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的

x 的取值范 围区间的两个端点， 二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴， 注意结合图像学会用数形结 合解题。高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面： 1.定轴定区间。2.动轴定区 间。3.定轴动区间。下面我们来看例题。

【例1】当-2空x 空2时，求函数y =x 2 -2x-3的最大值和最小值.

分析：这个问题十分简单，属于定轴定区间这一类题目， 只需要画出函数图像即可以解

决。

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【例2】当t 兰x 兰t +1时，求函数y = -x 2 -X -一的最小值（其中t 为常数）• 2 2

函数在x 二 b 2a 处取得最小值 4ac -b 2 4a 无最大值；当时 a . 0，函数在x —处取得 2a 最大值

4ac -b 2 4a 无最小值.

分析：这类问题属于定轴动区间的问题，由于 X 所给的范围随着t 的变化而变化，所以 需要比较对称轴与其范围的相对位置.

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解：函数y =-x2—x _-的对称轴是x=1。画出其草图。 2 2

(1)

灯=}12 j_| = —3 ；

1 i 5 1 i A min =尹+1) -(t +1)石=|t -3.

1 2 -t 2 -3,t<0 2 综上所述：y min = -3,0_t_1

】t 2 —t —5,t A 1 I 2 2

【例3】设二次函数f x =-x 2 • 2ax • 1-a 在区间0,1 ］上的最大值为2，求实数a 的

值。分析：这类问题属于动轴定区间的问题，由于函数的对称轴随 a 的变化而变化，所 ⑵当对称轴在所给范围左侧.即 1 2 5

t 1时当X"时，畑；

(4)当对称轴在所给范围之间•即

t _1 _t 1= 0_t _1 时；当 x = 1 时,

⑹当对称轴在所给范围右侧•即 t 1 ：：：1= t :: 0时，当 x =t • 1 时,

以需要讨论函数对称轴与其范围的相对位置。

2

解：函数f x = -X - 2ax 1-a的对称轴是x = a。

当对称轴在所给范围左侧，即a 0时，当x=0时，f x max=1-a，此时,

1 -a = 2- a _ -1 ；

当对称轴在所给范围中间，即0_a_1时，当x=a时，

2 2 2 2 1 \/3

f (x hax = —a +2a +1 _a = a _a + 1，此时，a _a+1 =2二a=q 土专，因为此时0乞a乞1，所以此时a无解；

当对称轴在所给范围右侧，即a=1时，当x = 1时，f (x h a x = —12+2a + 1—1 = 2a—1，

一 3

此时，2a -1=2= a =

2

3 综上所述， a = -1 或a .

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