逐步回归和通径分析 ppt
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通径分析——数学建模课件PPT
第十二章
§12.1 通径系数的基本概念 §12.2 通径系数的计算过程
重点: 通径系的意义及其性质; 通径线; 通径图的 表示方法; 通径系数的计算及解释。
2020/10/22
§12.1 通径分析的基本概念 [1]
多元线性回归系数间不能直接比较各因子间 的效应大小, 因为各回归系数间都带有不同的量 纲,再者多变量的关系中,往往都不是独立的,有 时还要研究 xi通过 xj对依变量 y 的影响, 而通径 系数就能有效的表示相关变量间原因对结果的直 接影响或间接影响的效应,从而区分因子的相对 重要性及其关系。
直接通径关系: xi y
间接通径关系: xi xj y, xj xi y
2020/10/22
12.3
12.1.2 通径系数的概念
通径系数：表示各条通径对于改变 y 变量的相 对重要性的统计量称通径系数,常用 q 表示。直接 通径系数就是逐步回归中的偏回归系数 b*i
直接通径系数: qi
y，
qi= b*i =
例12.1 已知乌珠穆沁肥羔羊体长x1(cm)、胸围 x2(cm)、及酮体重 y(kg)的有关资料, 试对其进行回
归、相关、通径分析？
表12.1 羔羊体长x1胸围x2酮体重y资料 体长( x1) 59 63 63 64 63 61 65 62 63 57 60 60 67 68 66 60 69 58 65 69 胸围( x2) 71 73 73 82 74 75 74 68 74 67 71 70 77 73 77 80 76 70 83 88 酮体重(y) 14 15 17 21 20 18 17 17 21 14 16 14 18 17 20 19 21 14 23 24
分析中变量标准化变换后的偏回归系数,所以可
§12.1 通径系数的基本概念 §12.2 通径系数的计算过程
重点: 通径系的意义及其性质; 通径线; 通径图的 表示方法; 通径系数的计算及解释。
2020/10/22
§12.1 通径分析的基本概念 [1]
多元线性回归系数间不能直接比较各因子间 的效应大小, 因为各回归系数间都带有不同的量 纲,再者多变量的关系中,往往都不是独立的,有 时还要研究 xi通过 xj对依变量 y 的影响, 而通径 系数就能有效的表示相关变量间原因对结果的直 接影响或间接影响的效应,从而区分因子的相对 重要性及其关系。
直接通径关系: xi y
间接通径关系: xi xj y, xj xi y
2020/10/22
12.3
12.1.2 通径系数的概念
通径系数：表示各条通径对于改变 y 变量的相 对重要性的统计量称通径系数,常用 q 表示。直接 通径系数就是逐步回归中的偏回归系数 b*i
直接通径系数: qi
y，
qi= b*i =
例12.1 已知乌珠穆沁肥羔羊体长x1(cm)、胸围 x2(cm)、及酮体重 y(kg)的有关资料, 试对其进行回
归、相关、通径分析？
表12.1 羔羊体长x1胸围x2酮体重y资料 体长( x1) 59 63 63 64 63 61 65 62 63 57 60 60 67 68 66 60 69 58 65 69 胸围( x2) 71 73 73 82 74 75 74 68 74 67 71 70 77 73 77 80 76 70 83 88 酮体重(y) 14 15 17 21 20 18 17 17 21 14 16 14 18 17 20 19 21 14 23 24
分析中变量标准化变换后的偏回归系数,所以可
数学建模逐步回归PPT课件
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教学评估问题
为评价教师教学质量，教学管理研究部门设计了一个教学评估表，共 有7项指标：
X1：课程内容的合理性； X2：问题展开的逻辑性； X3：回答问题的有效性； X4：课下交流的有助性； X5：教科书的帮助性； X6：考试评价的公正性； Y：对教师的总体评价
第4页/共22页
现按此指标体系对学生进行问卷调查，要求学生对12为教师的15门课程打分，得如下数据： 第5页/共22页
第10页/共22页
包含全部6个变量的回归: s te p w i se (X ,y, [1 ,2 , 3 , 4 , 5 ,6 ], 0 . 0 5 ) 结果:stepwise命令产生3个窗口:
第11页/共22页
1.Stepwise Table窗口:
给出回归系数及其置信区间，模型 统计量（剩余标准差，决定系数， Ｆ值，Ｐ值）
逐步回归方法的实现可利用Matlab软件中的统计软件包中的stepwise函数实现.
第9页/共22页
逐步回归函数stepwise用法：
stepwise(X,y) s te p w i se ( X , y,i nm o d e l ) s te p w i se ( X , y,i nm o d e l ,a l p ha )
样本资料阵X
4.4600 4.1100 3.5800 4.4200 4.6200 3.1800 2.4700 4.2900 4.4100 4.5900 4.5500 4.6700 3.7100 4.2800 4.2400
4.4200 3.8200 3.3100 4.3700 4.4700 3.8200 2.7900 3.9200 4.3600 4.3400 4.4500 4.6400 3.4100 4.4500 4.3800
教学评估问题
为评价教师教学质量，教学管理研究部门设计了一个教学评估表，共 有7项指标：
X1：课程内容的合理性； X2：问题展开的逻辑性； X3：回答问题的有效性； X4：课下交流的有助性； X5：教科书的帮助性； X6：考试评价的公正性； Y：对教师的总体评价
第4页/共22页
现按此指标体系对学生进行问卷调查，要求学生对12为教师的15门课程打分，得如下数据： 第5页/共22页
第10页/共22页
包含全部6个变量的回归: s te p w i se (X ,y, [1 ,2 , 3 , 4 , 5 ,6 ], 0 . 0 5 ) 结果:stepwise命令产生3个窗口:
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1.Stepwise Table窗口:
给出回归系数及其置信区间，模型 统计量（剩余标准差，决定系数， Ｆ值，Ｐ值）
逐步回归方法的实现可利用Matlab软件中的统计软件包中的stepwise函数实现.
第9页/共22页
逐步回归函数stepwise用法：
stepwise(X,y) s te p w i se ( X , y,i nm o d e l ) s te p w i se ( X , y,i nm o d e l ,a l p ha )
样本资料阵X
4.4600 4.1100 3.5800 4.4200 4.6200 3.1800 2.4700 4.2900 4.4100 4.5900 4.5500 4.6700 3.7100 4.2800 4.2400
4.4200 3.8200 3.3100 4.3700 4.4700 3.8200 2.7900 3.9200 4.3600 4.3400 4.4500 4.6400 3.4100 4.4500 4.3800
自变量的选择与逐步回归实用回归分析ppt课件
§5.2 所有子集回归
准则2 赤池信息量AIC达到最小
设回归模型的似然函数为L(θ,x), θ的维数为p，x为样本，在 回归分析中样本为y=（y1，y2，…yn）′，则AIC定义为：
AIC=-2lnL(θˆ L ,x)+2p 其中θˆ L 是θ的极大似然估计，p 是未知参数的个数。
§5.2 所有子集回归
βˆ p (Xp X p )-1 Xpy
ˆ
2 p
n
1 p
1 SSEp
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
二、自变量选择对预测的影响
关于自变量选择对预测的影响可以分成两种情况： 第一种情况是全模型正确而误用了选模型； 第二种情况是选模型正确而误用了全模型式。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况
性质 1. 在 xj与 xp+1, …,xm的相关系数不全为 0 时，选模型回归系数的 最小二乘估计是全模型相应参数的有偏估计,即
E(ˆ jp ) jp j （j=1,2， …,p）。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况 性质 2. 选模型的的预测是有偏的。 给定新自变量值x0p (x01, x02,, x0m ) ，因变量新值为 y0=β0+β1x01+β2x02+…+βmx0m+ε0 用选模型的预测值为
(ˆ 0p ,ˆ 1p ,,ˆ pp )
全模型的最小二乘参数估计为βˆ m (ˆ 0m ,ˆ 1m ,,ˆ mm )
这条性质说明 D(ˆ jp ) D(ˆ jm ), j 0,1,, p 。
§5.1 自变量选择对估计和预测的影响
（一）全模型正确而误用选模型的情况
第二讲 通径分析解析
Py.e d y.e
对于（2—1）式，为求b1，b2可得下列两个方程：
SS1b1+SP12b2=SP1y
（2—11）
SP21b1+SS2b2=SP2y
（2—12）
先对以上两式的各项除以n－1后，（2－11）式再除以Sx1Sy，（2－12）
式除以Sx2Sy可得：b1S x1 SyS x1 S x1
dy.1+dy.2+2 Py.1 Py.2 r12=1
（2—8）
其中2 Py.1 Py.2 r12可以看成相关原因x1 ，x2 共同对结果y的相对决定程度，称
为相关原因x1 ，x2 共同对结果y的决定系数，记为dy.12 ，所以（2—8）式又可
写成：
dy.1+dy.2+dy.12=1
（2—9）
由（2—9）式可推广到一般，即，如果相关变量x1 ，x2…，xm，y间存在线
（2—1）
( y y)2 n 1
b12
(x1 x1 )2 n 1
b22
(x2 x2 )2 n 1
2b1b2
( x1
x1 )( x2 n 1
x2 )
即
S
2 y
b12
S
2 x1
b22
S
2 x2
2b1b2COV12
（2—6）式两边同除以
S
2 y
得：
（2—6）
b1
S x1 Sy
2
b2
（2—10）
m
m
d y.i d y.ij 1
i 1
i j
其中
d y.i
P2 y.i
， dy.ij=2Py.i Py.j rij
（i，j=1，2，…，m，i<j ）
逐步回归和通径分析 ppt课件
表1 表14-1资料四元线性回归和偏回归系数的假设检验
9
逐步回归 通径分析
（2）建立m-1元线性回归方程：
表2表明，三元线性回归方程 和三个自变量的偏回归系数均 极显著或者显著，因此不需要 再作自变量的剔除。
表2 表14-1资料三元线性回归和偏回归系数的假设检验
最优线性回归方程：
y=-46.9663+2.013139x1+0.674643x2+7.830227x3
x1
y
x2
x3
e
16
逐步回归 通径分析 通径分析的假设检验
回归方程的检验
通径系数的检验
17
逐步回归 通径分析
y a b 1 x 1 b 2 x 2 … b m x m e （1）
对（1）进行标准化变换，令：
y y y SS y
x i
xi xi SS i
标准化变量的m元线性回归方程为：
（2）自变量的个数最少
一方面对因变量起显著作用的自变量都选进回归 方程，另一方面对因变量作用不显著的自变量都剔除 回归方程，选择一个最佳的变量组合。
5
逐步回归 通径分析
逐步剔除法 主要步骤逐：步剔除法
（1）从包含全部p个自变量组合的回归方程中逐个
检验回归系数，剔除对因变量作用不显著的自变量
方；（法2）对剔除后剩下的q个自变量建立对因变量的多
通径部分q1 ; 还有
x1 与
x2; x1与x3的间接通径 r13 q3
和 1r2
q 2
部分。
通式: ① xi 对 y 的直接通径 xi y ② xi 对 y 的间接通径 xi xj y
15
逐步回归 通径分析
[课件]第11章 多元线性回归与多元逐步回归PPT
![[课件]第11章 多元线性回归与多元逐步回归PPT](https://img.taocdn.com/s3/m/a03629e7bb4cf7ec4afed02c.png)
2
n
采用最小二乘法即可求出常数项b0和偏回归系数b1、b2。 其中
b Y ( b x b x ) 0 11 2 2
对表11-2的数据资料由SAS统计软件可得到如下
表11-3的主要结果。
表 11-3 偏回归系 变量 数 常数项 17.011 -0.406 0.098 2.472 0.094 0.116 6.880 -4.313 0.843 0.000 0.000 0.411 标准误 偏回归系数估计结果
2 S S ( Y Y ) m o d e l i
N
Y
i 1 N
2 S S ( Y Y ) e r r o r i i i 1
X2
i 1 N
X1
Total SS Model SS Residual SS
对于例11.1的模型检验
H0： β １＝β ２＝０
＝0.05
xknyn一一多元线性回归方程多元线性回归方程multiplelinearregressionequationmultiplelinearregressionequation01122?kkybbxbxbx???????y?y?yb为偏回归系数bj为偏回归系数partialregressioncoefficienttiliffiit常数项表示当所有自变量为0时应变量y的总体平均值的估计值表示除以外的其它自变量固定不变的情况下每改变一个测量单位时所引起的应变量y的平均改变量两个自变量与应变量的散点图两个自变量与应变量的散点图两个自变量与应变量的拟合面两个自变量与应变量的拟合面bj为为xj方向的斜率方向的斜率1
多元线性回归的数据格式
表 11-1
例号 i 1 2 3
逐步回归和通径分析
一方面对因变量起显著作用的自变量都选进回归 方程，另一方面对因变量作用不显著的自变量都剔除 回归方程，选择一个最佳的变量组合。
3
逐步回归
通径分析
逐步剔除法 逐步剔除法 主要步骤： （1）从包含全部p个自变量组合的回归方程中逐个 检验回归系数，剔除对因变量作用不显著的自变量； （2）对剔除后剩下的q个自变量建立对因变量的多 方法 元回归方程，再逐个检验回归系数，剔除不显著的 变量； （3）重复上述步骤，直到保留在回归方程中自变量 的作用都显著为止 逐步引入法 缺点：一开始把全部自变量都要引入回归方程，计 算量很大，实际上有些不重要的就不必引入
4
逐步回归 逐步引入法
通径分析
缺点：不能反映后来变化的状况，设想x1、x2、x3引入后，又引 基本步骤：
入了 x6，也许x3、x 引入后，x y 的作用就不重要了，应该予以剔 （ 1）先逐个比较 x6 的回归方程哪些是显著的， l,„,xp 对 1 除，而“逐步引入”法不能达到这个要求 从显著的方程中挑选 F 值最大的，相应的自变量 x 就被 “引入”方程。无妨设 x 就是x1 （2）再逐个比较(x1,x2)、(x1,x3)、„、(x1,xp)对y的回归 方程，看有没有F值显著的，此时的F就是考虑添加xi之后， xi的回归系数是否显著地不为0，将显著的F中最大的F所相 应的变量“引入”方程。无妨设第二次“引入”的自变量是
y=-46.9713+2.0131x1+0.6746x2+7.8302x3
9
逐Hale Waihona Puke 回归通径分析通径系数的基本概念
多元线性回归系数间不能直接比较各因子间的效应大小, 因 符号： [ ]表示通径线 ,往往都 为各回归系数间都带有不同的量纲 ,再者多变量的关系中 不是独立的,有时还要研究x y的影响 直接通径 : x1 y, x2 , 而通径系 y i通过xj对依变量 数就能有效的表示相关变量间原因对结果的直接影响或间接影响 间接通径:x1 x2 y, x2 x1 的效应,从而区分因子的相对重要性及其关系。
3
逐步回归
通径分析
逐步剔除法 逐步剔除法 主要步骤： （1）从包含全部p个自变量组合的回归方程中逐个 检验回归系数，剔除对因变量作用不显著的自变量； （2）对剔除后剩下的q个自变量建立对因变量的多 方法 元回归方程，再逐个检验回归系数，剔除不显著的 变量； （3）重复上述步骤，直到保留在回归方程中自变量 的作用都显著为止 逐步引入法 缺点：一开始把全部自变量都要引入回归方程，计 算量很大，实际上有些不重要的就不必引入
4
逐步回归 逐步引入法
通径分析
缺点：不能反映后来变化的状况，设想x1、x2、x3引入后，又引 基本步骤：
入了 x6，也许x3、x 引入后，x y 的作用就不重要了，应该予以剔 （ 1）先逐个比较 x6 的回归方程哪些是显著的， l,„,xp 对 1 除，而“逐步引入”法不能达到这个要求 从显著的方程中挑选 F 值最大的，相应的自变量 x 就被 “引入”方程。无妨设 x 就是x1 （2）再逐个比较(x1,x2)、(x1,x3)、„、(x1,xp)对y的回归 方程，看有没有F值显著的，此时的F就是考虑添加xi之后， xi的回归系数是否显著地不为0，将显著的F中最大的F所相 应的变量“引入”方程。无妨设第二次“引入”的自变量是
y=-46.9713+2.0131x1+0.6746x2+7.8302x3
9
逐Hale Waihona Puke 回归通径分析通径系数的基本概念
多元线性回归系数间不能直接比较各因子间的效应大小, 因 符号： [ ]表示通径线 ,往往都 为各回归系数间都带有不同的量纲 ,再者多变量的关系中 不是独立的,有时还要研究x y的影响 直接通径 : x1 y, x2 , 而通径系 y i通过xj对依变量 数就能有效的表示相关变量间原因对结果的直接影响或间接影响 间接通径:x1 x2 y, x2 x1 的效应,从而区分因子的相对重要性及其关系。
回归及相关分析PPT课件
或实际场景中。
05
相关分析
相关系数的计算
计算公式
相关系数r是通过两个变量之间的样本数据计算得出的，公式为r = (n Σxy - ΣxΣy) / (√(n Σx² - (Σx)²) * √(n Σy² - (Σy)²))，其中n是样本数量，Σx和Σy分别是x和y的样本总和，Σxy是x和y的样本乘积总和。
模型的评估与检验
模型的评估指标
模型的评估指标包括均方误差 （MSE）、均方根误差
（RMSE）、决定系数（R^2） 等，用于衡量模型的预测精度。
模型的检验方法
模型的检验方法包括残差分析、 正态性检验、异方差性检验等， 用于检查模型的假设是否成立。
模型的应用与推广
通过评估和检验模型，可以确定 模型在样本数据上的表现，并进 一步将其应用到更大范围的数据
回归及相关分析ppt课件
目 录
• 回归分析概述 • 一元线性回归分析 • 多元线性回归分析 • 非线性回归分析 • 相关分析
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变量之间的 关系，找出影响因变量的重要因 素，并确定它们之间的数量关系 。
值。
模型的评估与检验
在估计多元线性回归模型的参 数后，需要对模型进行评估和 检验，以确保模型的有效性和 可靠性。
评估模型的方法包括计算模型 的拟合优度、比较模型的预测 值与实际值等。
检验模型的方法包括检验模型 的假设是否成立、检验模型的 残差是否符合正态分布等。
04
非线性回归分析
非线性回归模型
详细描述
05
相关分析
相关系数的计算
计算公式
相关系数r是通过两个变量之间的样本数据计算得出的，公式为r = (n Σxy - ΣxΣy) / (√(n Σx² - (Σx)²) * √(n Σy² - (Σy)²))，其中n是样本数量，Σx和Σy分别是x和y的样本总和，Σxy是x和y的样本乘积总和。
模型的评估与检验
模型的评估指标
模型的评估指标包括均方误差 （MSE）、均方根误差
（RMSE）、决定系数（R^2） 等，用于衡量模型的预测精度。
模型的检验方法
模型的检验方法包括残差分析、 正态性检验、异方差性检验等， 用于检查模型的假设是否成立。
模型的应用与推广
通过评估和检验模型，可以确定 模型在样本数据上的表现，并进 一步将其应用到更大范围的数据
回归及相关分析ppt课件
目 录
• 回归分析概述 • 一元线性回归分析 • 多元线性回归分析 • 非线性回归分析 • 相关分析
01
回归分析概述
回归分析的定义
01
回归分析是一种统计学方法，用 于研究自变量和因变量之间的相 关关系，并建立数学模型来预测 因变量的值。
02
它通过分析数据中的变量之间的 关系，找出影响因变量的重要因 素，并确定它们之间的数量关系 。
值。
模型的评估与检验
在估计多元线性回归模型的参 数后，需要对模型进行评估和 检验，以确保模型的有效性和 可靠性。
评估模型的方法包括计算模型 的拟合优度、比较模型的预测 值与实际值等。
检验模型的方法包括检验模型 的假设是否成立、检验模型的 残差是否符合正态分布等。
04
非线性回归分析
非线性回归模型
详细描述
第二讲 通径分析解析
（2—2）
（2—2）式中b0为常数项，b1 ，b2 分别为y对x1 ，x2 的偏回归系数，e为与各变 量相互独立的误差项（或剩余项）。x1 ，x2 间存在相关，则（2—2）式的关系可 用图1示之。
图1 通径图
图1中，单箭头表示自变量间存在因果关系，方向由原因到结果，称为通径。双 箭头表示变量间存在平行关系，称为相关线，
163.66583 166.4516 2.83775 19.659498 0.7345968
23.325504
27.128761
4.5901316
0.7345968
0.0385129
解得：
Py.1=23.3255， Py.2=27.1288， Py.3=4.5902 ，Py.4=0.7346 3、作出通径图（略）
（2—1）
( y y)2 n 1
b12
(x1 x1 )2 n 1
b22
(x2 x2 )2 n 1
2b1b2
( x1
x1 )( x2 n 1
x2 )
即
S
2 y
b12
S
2 x1
b22
S
2 x2
2b1b2COV12
（2—6）式两边同除以
S
பைடு நூலகம்
2 y
得：
（2—6）
b1
S x1 Sy
2
b2
89.032143
R (2)
2.471164
8.681726
5.604968
89.032143 89.53353 3.421524 8.960605 4.841078
2.471164 3.421524 0.002113 0.000305 0.009923
回归与路径分析ppt课件
在建立回归方程时，要遵循一个原则，即“少而精”。具体地说：既要尽可能地提高拟合的 精度，又要尽可能地使模型简单。为了保证这一原则，常用的量化指标有：
1．复相关系数R与校正复相关系数Rad 2．剩余标准差Syx1x2…Xn
1．复相关系数R与校正复相关系数Rad
复相关系数R的含义有点类似于相关系数r，只不过用于反映所有自变量和应变量关系的 密切程度。其值在0－1之间，越大越好。它的平方也称决定系数，用R2表示。反映 回归的SS占总SS的比重。
预测值： 1. 原始预测值 2. 标准化后的预测值 3. 去掉当前记录时，当前模型对该 记录应变量的预测值 4. 预测值的标准差。
给出一系列用于测量数据点离拟合 模型给距出离均的数指的标可。信区间或个体参考值
范围的上下界限。
建立回归方程时“元”的选择
在多元线性回归分析中，有时候自变量的数目是一个令人头痛的问题，自变量的个数的增加 或多或少总能减少残差，提高模型的拟合精度，但势必导致模型的复杂性。如果将它们 删除又有些舍不得，说不定系数还有统计学意义。那么，有没有什么徇标准可用呢？答 案是肯定的。
输出各个自线变性量诊的断相）关矩阵和方差、 协方差矩阵
用于选择输出残差诊断信息，有两 个可选项。 如果残差间相互独立，则DurbinWatson的取值在2附近。
模型拟合过程中进入、退出的变量列表， 以及一些有关拟合优度的检验： 复相关系数R、 决定系数R2和调整的R2， 标准误及方差分析表。
用于选择需要绘制的回归分析诊断 或预测图，左侧为可用的中间变量 列表。 作图对话框
➢ 条件指数（Condition Index）：由Stewart等提出，当某些维度的该指标数值大于30 时，则可能存在共线性。
多重共线性问题的对策
1．复相关系数R与校正复相关系数Rad 2．剩余标准差Syx1x2…Xn
1．复相关系数R与校正复相关系数Rad
复相关系数R的含义有点类似于相关系数r，只不过用于反映所有自变量和应变量关系的 密切程度。其值在0－1之间，越大越好。它的平方也称决定系数，用R2表示。反映 回归的SS占总SS的比重。
预测值： 1. 原始预测值 2. 标准化后的预测值 3. 去掉当前记录时，当前模型对该 记录应变量的预测值 4. 预测值的标准差。
给出一系列用于测量数据点离拟合 模型给距出离均的数指的标可。信区间或个体参考值
范围的上下界限。
建立回归方程时“元”的选择
在多元线性回归分析中，有时候自变量的数目是一个令人头痛的问题，自变量的个数的增加 或多或少总能减少残差，提高模型的拟合精度，但势必导致模型的复杂性。如果将它们 删除又有些舍不得，说不定系数还有统计学意义。那么，有没有什么徇标准可用呢？答 案是肯定的。
输出各个自线变性量诊的断相）关矩阵和方差、 协方差矩阵
用于选择输出残差诊断信息，有两 个可选项。 如果残差间相互独立，则DurbinWatson的取值在2附近。
模型拟合过程中进入、退出的变量列表， 以及一些有关拟合优度的检验： 复相关系数R、 决定系数R2和调整的R2， 标准误及方差分析表。
用于选择需要绘制的回归分析诊断 或预测图，左侧为可用的中间变量 列表。 作图对话框
➢ 条件指数（Condition Index）：由Stewart等提出，当某些维度的该指标数值大于30 时，则可能存在共线性。
多重共线性问题的对策
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逐步回归与通径分析
目逐步录回归 通径分析
逐步回归 通径分析
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逐步回归 通径分析
概念：逐步回归分析方法是针对多个自变量建立最优回
归方程的一种统计方法。在有p个自变量的情况下，根据
自变量的不同组合可能建立的回归方程众多。这些回归 方程的效果有好有坏，而人们希望的是回归效果最好的 ，即“最优”的回归方程。 要求：（1）回归效果最佳
每个自变量xi与y的相关系数
换后的偏回归系数,所以可解下列均正可规剖方分程为组xi对求y得的直q接,作q用,…, q。 和间接作用的代数和。
(q = b)
r11q1 r12q2 ...... r1pqp r1y
r21q1
r22q2
...... r2pqp
r2 y
.....................................
rp1q1 rp2q2 ...... rppqp rpy
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逐步回归 通径分析
如：当 P=3时xi对y的相关关系可列出方程式
r1y q1 r12q2 r13q3 r2y r21q1 q2 r23q3 r3y r31q1 r32q2 q3
由方程1可看出第1个自变量x1与y的相关关系r1y可看成 x1对y的直接
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逐步回归 通径分析
2、逐步引入法 P260
（1）计算相关矩阵 （2）选择第一个自变量
首先，计算各自变量的标准偏回归平方和。 其次，对偏回归平方和最大的变量进行F检验。 题中x1的最 大，经检验引入该变量。 最后，变换相关矩阵 （3）选择第二个自变量：先计算余下自变量的标准偏回归平方和。 接下来是重复（2）过程。选入x3 （4）选择第三个自变量。选入x2 （5）选择第四个自变量。x4不显著，不选入。 （6）选择计算偏回归系数，建立最优回归方程。 最优线性回归方程：
例14.1 测定了”丰产3号“小麦15株的单株穗数x1、每穗结实小穗数x2、 百粒重x3（g）、株高x4（cm）、单株籽粒产量y（g），结果列于表14-1， 试建立y依xi的最优回归方程。P254
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逐步回归 通径分析 1、逐步剔除法
（1）建立m元线性回归方程
表1表明，四元线性回归方程达极 显著，但x2和x4偏回归系数都不显 著，其中以x4的偏回归平方和最 小，所以，应首先剔除x4。
（2）自变量的个数最少
一方面对因变量起显著作用的自变量都选进回归 方程，另一方面对因变量作用不显著的自变量都剔除 回归方程，选择一个最佳的变量组合。
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逐步回归 通径分析
逐步剔除法 主要步骤逐：步剔除法
（1）从包含全部p个自变量组合的回归方程中逐个
检验回归系数，剔除对因变量作用不显著的自变量
方；（法2）对剔除后剩下的q个自变量建立对因变量的多
元回归方程，再逐个检验回归系数，剔除不显著的 变量； （的3作）用重都复逐显上步著述引为步入止骤法，直到保留在回归方程中自变量 缺点：一开始把全部自变量都要引入回归方程，计 算量很大，实际上有些不重要的就不必引入
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逐步回归 通径分析
逐步引入法
基缺本点：步不骤能：反映后来变化的状况，设想x1、x2、x3引入后，又引
（ ，入 除1从了，）显x而先6著，“逐的也逐个方许步比程x引较3、中入xx挑”6l引,选法…入不,F后x能p值，对达最x1到y大的这的的作个回，用要归相就求方应不程的重哪自要些变了是量，显应x著该就的予被以剔 “引入”方程。无妨设 x 就是x1 （2）再逐个比较(x1,x2)、(x1,x3)、…、(x1,xp)对y的回归 方程，看有没有F值显著的，此时的F就是考虑添加xi之后， xi的回归系数是否显著地不为0，将显著的F中最大的F所相
表1 表14-1资料四元线性回归和偏回归系数的假设检验
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逐步回归 通径分析
（2）建立m-1元线性回归方程：
表2表明，三元线性回归方程 和三个自变量的偏回归系数均 极显著或者显著，因此不需要 再作自变量的剔除。
表2 表14-1资料三元线性回归和偏回归系数的假设检验
最优线性回归方程：
y=-46.9663+2.013139x1+0.674643x2+7.830227x3
应的变量“引入”方程。无妨设第二次“引入”的自变量是
x2 （3）再考察以x1、x2为基础，逐个添加x3、x4、…、xp之后 的回归方程，是否较x1、x2的方程有显著的改进，有就再“
引入”新的自变量……，这样下去，终于到某一步就没有可 以再“引入”的自变量了。这时就获得了最后的回归方程.
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逐步回归 通径分析
通径系数的性质
1.当自变量为 p 时,共有p个直接通径,p(p -1)个间接
通径系数。 2.通径系数能够表示变量间的因果关系, 所以具有回
归系数的性质。 3.通径系数是相对数,且有方向性,因而具有相关系数
的性质。
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逐步回归 通径分析
通径系数的计算过程 1、通径系数正规方程组
前面已经提过,直接通径系数就是逐步回归分析中变量标准化变
的效应,从而区分因子的相对间重接通要径性:及x1 其关x系2 。 y, x2
x1
y
通径图
x1 y
x2
图14-1a x1与x2独立时
x1
y x2
图14-1b x1与x2不独立时
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逐步回归 通径分析
通径系数的概念
表示各条通径对于改变y变量的相对重要性的统计量称 通径系数,常用q表示。直接通径系数就是逐步回归中 的偏回归系数bi。
y=-46.9713+2.0131x1+0.6746x2+7.8302x3
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逐步回归 通径分析
通径系数的基本概念
多元线性回归系数间不能直接比较各因子间的效应大小, 因
为各回归系数间都带有不同的符量号纲：,再[ 者多变]量表的示关通径系线中,往往都
不 数是就独能立有的效的,有表时示还相要关研变究量x直间i通接原过通因x径j对对: 结依x1果变的量直yy,的接影影响x响2 ,或而间通y接径影系响
通径部分q1 ; 还有
x1 与
x2; x1与x3的间接通径 r13 q3
和 1r2
q 2
部分。
通式: ① xi 对 y 的直接通径 xi y ② xi 对 y 的间接通径 xi xj y
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逐步回归 通径分析
例题：计算例14.1资料的通径系数P265
前面已经计算出相关系数，将其带入方程，得标准正规方程组（由于 x4已经剔除，不再参加通径分析）。
目逐步录回归 通径分析
逐步回归 通径分析
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逐步回归 通径分析
概念：逐步回归分析方法是针对多个自变量建立最优回
归方程的一种统计方法。在有p个自变量的情况下，根据
自变量的不同组合可能建立的回归方程众多。这些回归 方程的效果有好有坏，而人们希望的是回归效果最好的 ，即“最优”的回归方程。 要求：（1）回归效果最佳
每个自变量xi与y的相关系数
换后的偏回归系数,所以可解下列均正可规剖方分程为组xi对求y得的直q接,作q用,…, q。 和间接作用的代数和。
(q = b)
r11q1 r12q2 ...... r1pqp r1y
r21q1
r22q2
...... r2pqp
r2 y
.....................................
rp1q1 rp2q2 ...... rppqp rpy
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逐步回归 通径分析
如：当 P=3时xi对y的相关关系可列出方程式
r1y q1 r12q2 r13q3 r2y r21q1 q2 r23q3 r3y r31q1 r32q2 q3
由方程1可看出第1个自变量x1与y的相关关系r1y可看成 x1对y的直接
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逐步回归 通径分析
2、逐步引入法 P260
（1）计算相关矩阵 （2）选择第一个自变量
首先，计算各自变量的标准偏回归平方和。 其次，对偏回归平方和最大的变量进行F检验。 题中x1的最 大，经检验引入该变量。 最后，变换相关矩阵 （3）选择第二个自变量：先计算余下自变量的标准偏回归平方和。 接下来是重复（2）过程。选入x3 （4）选择第三个自变量。选入x2 （5）选择第四个自变量。x4不显著，不选入。 （6）选择计算偏回归系数，建立最优回归方程。 最优线性回归方程：
例14.1 测定了”丰产3号“小麦15株的单株穗数x1、每穗结实小穗数x2、 百粒重x3（g）、株高x4（cm）、单株籽粒产量y（g），结果列于表14-1， 试建立y依xi的最优回归方程。P254
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逐步回归 通径分析 1、逐步剔除法
（1）建立m元线性回归方程
表1表明，四元线性回归方程达极 显著，但x2和x4偏回归系数都不显 著，其中以x4的偏回归平方和最 小，所以，应首先剔除x4。
（2）自变量的个数最少
一方面对因变量起显著作用的自变量都选进回归 方程，另一方面对因变量作用不显著的自变量都剔除 回归方程，选择一个最佳的变量组合。
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逐步回归 通径分析
逐步剔除法 主要步骤逐：步剔除法
（1）从包含全部p个自变量组合的回归方程中逐个
检验回归系数，剔除对因变量作用不显著的自变量
方；（法2）对剔除后剩下的q个自变量建立对因变量的多
元回归方程，再逐个检验回归系数，剔除不显著的 变量； （的3作）用重都复逐显上步著述引为步入止骤法，直到保留在回归方程中自变量 缺点：一开始把全部自变量都要引入回归方程，计 算量很大，实际上有些不重要的就不必引入
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逐步回归 通径分析
逐步引入法
基缺本点：步不骤能：反映后来变化的状况，设想x1、x2、x3引入后，又引
（ ，入 除1从了，）显x而先6著，“逐的也逐个方许步比程x引较3、中入xx挑”6l引,选法…入不,F后x能p值，对达最x1到y大的这的的作个回，用要归相就求方应不程的重哪自要些变了是量，显应x著该就的予被以剔 “引入”方程。无妨设 x 就是x1 （2）再逐个比较(x1,x2)、(x1,x3)、…、(x1,xp)对y的回归 方程，看有没有F值显著的，此时的F就是考虑添加xi之后， xi的回归系数是否显著地不为0，将显著的F中最大的F所相
表1 表14-1资料四元线性回归和偏回归系数的假设检验
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逐步回归 通径分析
（2）建立m-1元线性回归方程：
表2表明，三元线性回归方程 和三个自变量的偏回归系数均 极显著或者显著，因此不需要 再作自变量的剔除。
表2 表14-1资料三元线性回归和偏回归系数的假设检验
最优线性回归方程：
y=-46.9663+2.013139x1+0.674643x2+7.830227x3
应的变量“引入”方程。无妨设第二次“引入”的自变量是
x2 （3）再考察以x1、x2为基础，逐个添加x3、x4、…、xp之后 的回归方程，是否较x1、x2的方程有显著的改进，有就再“
引入”新的自变量……，这样下去，终于到某一步就没有可 以再“引入”的自变量了。这时就获得了最后的回归方程.
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逐步回归 通径分析
通径系数的性质
1.当自变量为 p 时,共有p个直接通径,p(p -1)个间接
通径系数。 2.通径系数能够表示变量间的因果关系, 所以具有回
归系数的性质。 3.通径系数是相对数,且有方向性,因而具有相关系数
的性质。
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逐步回归 通径分析
通径系数的计算过程 1、通径系数正规方程组
前面已经提过,直接通径系数就是逐步回归分析中变量标准化变
的效应,从而区分因子的相对间重接通要径性:及x1 其关x系2 。 y, x2
x1
y
通径图
x1 y
x2
图14-1a x1与x2独立时
x1
y x2
图14-1b x1与x2不独立时
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逐步回归 通径分析
通径系数的概念
表示各条通径对于改变y变量的相对重要性的统计量称 通径系数,常用q表示。直接通径系数就是逐步回归中 的偏回归系数bi。
y=-46.9713+2.0131x1+0.6746x2+7.8302x3
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逐步回归 通径分析
通径系数的基本概念
多元线性回归系数间不能直接比较各因子间的效应大小, 因
为各回归系数间都带有不同的符量号纲：,再[ 者多变]量表的示关通径系线中,往往都
不 数是就独能立有的效的,有表时示还相要关研变究量x直间i通接原过通因x径j对对: 结依x1果变的量直yy,的接影影响x响2 ,或而间通y接径影系响
通径部分q1 ; 还有
x1 与
x2; x1与x3的间接通径 r13 q3
和 1r2
q 2
部分。
通式: ① xi 对 y 的直接通径 xi y ② xi 对 y 的间接通径 xi xj y
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逐步回归 通径分析
例题：计算例14.1资料的通径系数P265
前面已经计算出相关系数，将其带入方程，得标准正规方程组（由于 x4已经剔除，不再参加通径分析）。