三角函数的图像和性质题型归纳总结

三角函数的图像与性质题型归纳总结

题型归纳及思路提示 题型 1 已知函数解析式确定函数性质

【思路提示】一般所给函数为 y ＝A sin( ω x ＋φ)或y ＝A cos( ω x ＋φ)，A>0,ω>0,要根 据

y ＝ sin x ，y ＝ cos x 的整体性质求解。

一、函数的奇偶性

例1 f (x )＝sin (x )(0≤ < )是R 上的偶函数，则

等于( )

B ．

C ．

D ．

42

A 充分不必要条件

B ．必要不充分条

C ．充要条件

变式 3.设f (x) sin( x )，其中 0，则 f (x)是偶函数的充要条件是( )

A. f (0) 1 B ． f (0) 0 C ． f '(0) 1 D ． f '(0) 0

例2.设f (x) sin(2 x )(x R)，则 f(x)是( )

2

A. 最小正周期为 的奇函数 B ． 最小正周期为 的偶函数 C ．最小正周期为 的奇函数 D ． 最小正周期为 的偶函数

22

结论： (1) 若y Asin( x )是奇函数，则

k (k Z);

(2) 若 y Asin( x )是偶函数，则 k + (k

2 Z); (3) 若 y Acos(x

)是奇函数，则

k

2(k

Z);

(4) 若 y Acos( x

)是偶函数，则

k (k Z);

(5) 若 y A tan(x )是奇函数，则 k

2 (k Z).

变式 1.已知 a R ， 函数 f (x) sin x | a | 为奇函数，

则 a 等

于

B ． 1

C ．

1 D ． 1

【评注】由 y sin x 是奇函数， y cosx 是偶函数可拓展得到关于三角函数奇偶性的重要

变式 2.设 R ，则 “ 0”是“f(x) cos(x )(x

R)为偶函数 ” 的( )

D ．无关条件

若函数 y Asin( x )(A 0, 0)则

变式1.若f(x) sin 2 x 1(x R)，则f (x)是( )

A. 最小正周期为 的奇函数 B ． 最小正周期为 的偶函数

二、函数的周期性

A. B ． C ． 2 D

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评注】关于三角函数周期的几个重要结论：

(1) 函数 y Asin( x ) b, y Acos( x ) 的周期分别为 |2 |,|2

三、函数的单调性

例 4.函数y sin( 2x)(x

6

A. [0, ] B ．[ ,7 ]

3 12 12

【评注】求三角函数的单调区间：

[3,56 ] D ．[56

C ． 最小正周期为 2 的奇函数

D ． 最小正周期为 2 的偶函数

变式2.下列函数中，

既在 (0, 2)递增，

又是以 为周期的偶函数的是 ( )

A. y cos2x B ．

y |sin2x| C ．

y |cos2x| D ． y

|sin x|

例3.函数 y sin(2 x

)cos(2 x

)的最小正周期为 ( )

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(2) 函数 y | Asin( x ) |, y | Acos( x )|,y | Atan( x ) | 的周期均为 (3) 函数 y | A sin( x b |(b 0), y | A cos( x ) b |(b 0)的周期均为 ||

2

||

变式1.函数

y sin(2 x 6) cos(2 x )的最小正周期和最大值分别为 ( ) A. ,1 B

． 2 ,1 D ． 2 , 2 变式 2. 若f(x) sin x(sin x cosx),则f ( x)的最小正周期是

变式 3. 若f(x) sin3x |sin3x|则f(x)是( ) A. 最小正周期为 的周期函数 3 B ． 最小正周期为 2

的周期函数 3

C ． 最小正周期为 2 的周期函数

D ． 非周期函数

b, y A tan(

[0, ])的递增区间是 ( )

(1) 函数的递增区间由 2k (2) 函数的递减区间由 2k (3) 若函数 y 则 y Asin( (4) 对于函数 2 )中 A A sin( x Acos( x ) 和 y 0,

0， 2k (k

2 3 2k (k

2

可将函数变为 Z ) 决

定；

Z ) 决定； x )的增区间为原函数的减区间，减区间为原函数的增区间； A tan( x ) 单调性的讨论同上。 y A sin( x ) 变式1.函数y sinx f (x)在[ 4 3 3

] 内单调递增，则 f ( x)可以是 ( ) 4 A.1 B ． cosx C ． sinx cosx 变式 2. 若f(x) sin( x 4)(

A. [1,5] B ． [1,3] A. [2,4] B ．[2,4] 0)在 ( ,

2

1 (0,21] D

) 上单调递增，则 的取值范围是(

． (0, 2]

变式3.已知函数 f (x) 3sin

x cos( x

3) cos( x 3)( 0)

(1)求f ( x)的值域；(2) 若f (x)的最小正周期为

,x [0, ]，f (x)的单调递减区间 .