直线与圆锥曲线的位置关系一教学设计

北京市北纬路中学徐学军

《直线与圆锥曲线的位置关系（一）》教学设计

一、教材分析及学生情况分析

本节课是平面解析几何的核心内容之一。在此之前，学生已学习了直线的基本知识，圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质，直线与圆的位置关系及判定，这为本节课的学习起着铺垫作用。本节内容是《直线与圆锥曲线的位置关系》的第一节课，着重是教会学生如何判断直线与椭圆的位置关系，体会运用方程思想、数形结合、分类讨论、类比归纳等数学思想方法，优化学生的解题思维，提高学生解题能力。这为后面解决直线与圆锥曲线的综合问题打下良好的基础。所以是承上启下的一节课。这节课还是培养学生数学能力的良好题材，所以说是解析几何的核心内容之一。

数学思想方法分析：作为一名数学老师，不仅要传授给学生数学知识，更重要的是传授给学生数学思想、数学意识。因此本节课在教学中力图让学生动手操作，自主探究、发现共性、类比归纳、总结解题规律。

学生情况分析：对于直线和圆，学生已经非常熟悉，并且知道直线与圆有三种位置关系：相离，相切和相交，会从代数、几何两个方面进行判断。本节课，学生将类比挖掘直线与椭圆圆的位置关系，学会从不同角度分析思考问题，为后续学习打下基础。本班为理科班，学生整体思维能力较强，勤于动脑，喜欢想问题，但不愿动手实践，特别是进行相关计算，另外学生在探究问题的能力,合作交流的意识及反思总结等方面有待加强。

二、教学目标

根据上述教材结构与内容分析，考虑到学生已有的认知心理特征和实际，制定如下教学目标：

知识与技能：①理解直线与椭圆的位置关系；

②会进行位置关系的判断，计算弦长。

过程与方法：根据本节课的内容和学生的实际水平，通过回忆画图让学生理解直线与椭圆的位置关系；观察类比直线与圆的位置关系的判定，归纳总结出直线与椭圆的位置关系的判定，掌握代数方法，

学会解决相关的问题。

情感、态度、价值观：使得学生在学习知识的同时，培养学生自主探究和数形结合解决问题的能力。

三、教学重点、难点、关键

本着课程标准，在吃透教材基础上，我觉得这节课是解决直线与圆锥曲线综合问题的基础。对解决综合问题，我觉得只有先定性分析画出图形并观察图形，以形助数，才能定量分析解决综合问题。如：解决圆锥

曲线中常见的弦长问题、中点问题、对称问题等。

所以我制定的教学重点：理解直线与椭圆的位置关系，会判定及应用

教学难点：应用代数方法进行判定，相关计算的准确性，理解用方程思想解决直线与圆锥曲线

的位置关系

关键：感悟方程组的解的个数等于直线与椭圆公共点的个数。计算准确。

为了讲清重点、难点，使学生能达到本节设定的教学目标，我是这样设计教法和学法的。

四、教法

数学是一门培养人的思维，发展人的思维的重要学科，因此，在教学中，不仅要使学生“知其然”，而且要使学生“知其所以然”。为了体现以学生发展为本，遵循学生的认知规律，体现由特殊到一般，采用循序渐进的启发式教学原则。我进行了这样的教法设计：问题引导，问题解决，由学生通过知识迁移，类比探究直线与椭圆位置关系的判断，再由教师引导，自然找出直线与椭圆的位置关系判断方法，激发学生的学习兴趣。在解题过程中体会解决的数学方法。

五、学法

我们常说：“现代的文盲不是不识字的人，而是没有掌握学习方法的人”，因而在教学中要特别重视学法的指导。课程改革的目标之一是“改变课程实施过于强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与、乐于探究、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力，获得新知识的能力、分析和解决问题的能力以及交流与合作的能力”。数学作为基础教育的核心课程之一，转变学生数学学习方式，不仅有利于提高学生的数学素养，而且有利于促进学生整体学习方式的转变。我以类比归纳理论为指导，采用着重于引导学生探索研究的问题教学方法，结合师生共同讨论、归纳。在课堂结构上，我根据学生的认知水平，我设计了：（1）提出问题——引入课题（2）思考交流结论形成：（3）理解应用——巩固方法（4）小结归纳——提高认识，四个层次的学法，它们环环相扣，层层深入，从而顺利完成教学目标。接下来，我再具体谈谈这堂课的教学过程：

六、教学程序及设想

教学过程实录：

一、提出问题引入新课：

师：我们学习过直线与圆的位置关系及判定，请你回忆相关知识。

学生回答：直线与圆有三种位置关系分别是相离（没有公共点）、相切（一个公共点）、相交（两个公共点）。判定方法有两种：代数法、几何法。

（教师在学生回答的同时在黑板上画出相应图形，并补充纠正。）

师：前面我们学习了圆锥曲线，其中椭圆是最基础的，那么直线与椭圆又有什么样的位置关系呢？

有学生立即回答：和圆一样，相离，相切，相交；教师立即追问：如何定义呢？

学生回答：类似直线与圆的位置关系的定义。

教师动手画图，并提出问题：如何来判定直线与椭圆的位置关系呢？

设计意图：由已有的知识类比迁移到新知识。

师：今天我们就来研究这个问题

二、 思考交流结论形成：

师：通过画图我们看到，直线与椭圆的位置关系也可以归纳为相离，相切和相交，请你类比直线和圆的相离、相切、相交的定义来对直线和椭圆相离，相切和相交进行定义。

学生交流，自由发言，教师适时引导，得出结论。

直线与椭圆没有公共点⇔直线与椭圆相离；直线与椭圆有一个公共点⇔直线和椭圆相切；直线与椭圆有两个公共点⇔直线与椭圆相交。

师：通过公共点的个数可以判断直线和椭圆的位置关系，如何确定公共点的个数呢？你有什么办法呢？ 请大家完成学案的第一题。

1、 判断直线123:1;:3;:3l y x l y x l y =+=-+=+与椭圆2

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x y +=的位置关系。 学生完成练习，教师巡视，根据学生的解题情况引入代数方法。在巡视过程中，大部分学生采用的是 代数的方法，及个别的学生画出了图像，但第三条直线与椭圆的位置关系学生画图的很少，但利用代数方法研究的同学也没有得到结论。此时，教师及时进行了计算上辅导。

师：请你说说如何利用代数方法来进行直线和椭圆的位置关系的判断？

学生：直线与椭圆的位置关系的研究方法可通过代数方法即解方程组的办法来研究．因为方程组解的个数与交点的个数是一样的．

联立方程组，消元，得到一个一元二次方程，则

0∆>，方程有两个不等的实数根⇔有两个公共点⇔相交；

0∆=，方程有两个相等的实数根⇔有一个公共点⇔相切；

0∆< ，方程没有实数根⇔没有公共点⇔相离。

师：方法归纳的很好，但是还要求同学们在解决方程问题时要准确计算。

设计意图：以旧带新，学生易于理解。

三、 理解应用：

师：请同学们看学案的练习，完成第二个题。