光学谐振腔(翻译)

光学谐振腔
大多数激光器发射的光都包括有几种分立的光学频率，它们彼此间的频率差各不相同，从而使光学谐振腔产生不同的模式。

通常将谐振腔产生的模式分为两类：纵模和横模。

纵模彼此间的差异仅在于它们具有不同的振荡频率；横模彼此间的差异除了具有不同的振荡频率外，而且在垂直于其传播方向的平面内，场的分布也不同。

与一个给定的横模相对应的大量纵模同该横模具有相同的场分布，但是频率却不同。

人们用符号TEM mnq或TEM plq来描述光学谐振腔内电磁场的变化。

大写字母TEM表示横向电磁波，前两个下标表示肯定的横模，q表示纵模。

因为典型激光器所有的谐振腔都比激光波长要长得多，所以一般都有很多的纵模。

因此，表示腔体轴向模数量的q的数值非常大。

表示横模的下标值却很小，有事可能只取前几位整数。

该值表明了在垂直与轴向的平面内场的变化。

激光器的光谱特性，如谱线宽度和相干长度等，主要取决于纵模；而光束发散角，光束直径和能量分布等则取决于横模。

一般来说，如果没有采取特殊的措施来限制振荡模的数量，激光器就是多模振荡器。

其原因在于这样的事实，即非常多的谐振腔纵模都处于激光跃迁的带宽内，而在激活材料的截面内，可能有很多横模。

5.1 横模
文献[5.1~5.3]论述了光学谐振腔的模式理论，文献[5.4，5.5]也对这一专题进行了综合评论。

5.11 横模的强度分布
那些在两个反射镜之间来回反射，其振幅和相位分布保持不变的电磁场才能存在于光学谐振腔中，这些特殊的场分布形成无源谐振腔的横电磁膜。

在直角坐标系中，用符号TEM mn表示横模，整数m,n表示在水平和垂直方向上与光轴垂直的强度零节点的数量。

在圆柱坐标系中，用TEM pl表示横模，p表示径向节点数，l表示角向节点数。

m,n，p，l的数值越大，模的阶数就越高。

最低阶模TEM00模，在它的光轴上有最大的高斯强度分布。

对于下标为1或者比1大的模，最大的强度值不在对称花样的轴上。

为了确定振荡模的峰值和节点的位置，幅度，必须使用高阶厄米多项式或高阶拉盖尔多项式方程。

应用直角坐标系时，使用的厄米多项式；应用圆柱坐标系时，则通常采用拉盖尔多项式。

在圆柱坐标系中，由下式给出容许的圆对称TEM pl模的径向长度分布：
（5.1）
式中，
Z为光束的传播方向；r,Φ为垂直于光束方向的极坐标。

径向强度分布被归一为高斯分布的光斑尺寸，即w（z）表示高斯光束的光斑尺寸，其定义为：TEM（00）
模的强度为其轴线上峰值的时的半径。

表示p阶l次广义拉盖尔多项式。

上式中给出的强度分布是径向部分和角向分布的乘积。

对于l=0的模，不存在角
向关系。

而模花样有p个同心暗环，每一个暗环对应着一个值为0的（ρ）。

由于因子exp（-ρ）的缘故，径向强度分布是衰减的。

如果l=0，pl模的中心就
是亮点，否则会因为因子而成为暗点。

这些模除了在径向上有p个零点外，在角向上也有2l个节点。

只有改变光斑尺寸和轴向位置z的关系，才能改变（pl）模的分布。

但是，对于所有的z值，模仍然维持电磁场分布的一般形式。

当w 随z增大时，模的横向尺寸也会增大，所以模花样彼此之间的尺寸保持稳定的比值。

上式中可以确定任何光束的模式的分布。

下图示出了在激光器的输出光束中，不同圆柱横模横向强度分布花样。

注意，模所占有的面积随着模阶数的增加而增大。

标有星号的模表示由两个近视模线性叠加而成，其中一个模围绕另一个模的
轴旋转。

例如，标记为01的TEM模由两个TEM（01）模组成。

图 5.1 圆柱形（a）和矩形（b）横模花样的示例。

对于圆柱形模，前后两个小标分别表示暗环数和花样中的暗带数。

对于矩形模，两个下标分别表示x,y 方向的暗带数。

只有改变光斑尺寸与轴向位置z的关系，才能改变(pl)模的分布。

但是，对于所有的z值，模仍然维持电磁场分布的一般形状。

当w随z增大时，模的横向尺寸也会增大，所以模花样彼此之间的尺寸保持稳定的比值。

根据式（5.1）可以确定任何光束模式的分布。

图5.1（a）示出了在激光器的输出光束中，不同圆柱横模向强度分布花样。

注意，模所占据的面积随着模阶数的增加而增大。

标有星号的模表示由两个近似模线性叠加而成，其中一个模围
模组成。

绕另一个模的轴旋转900. 例如，标记为01*的TEM模由两个TEM
01
如果将合适的拉盖尔多项式代入上式（5.1）中，就可以得出上图所示的模的强
度分布，即
图5.2示出了最低阶模和阶数仅高于它的两个横模（即TEM
00，TEM
01
，TEM
10
）的
强度分布。

图5.2 TEM
00模，TEM
01
模，TEM
10
模的径向强度分布，这些模的半径已归一化为基
模光束半径w
00
在直角坐标系中，模（m,n）的强度分布由下式给出：
（5.2）如前文所述，w(z)是最低阶模的横向强度降到峰值强度的时的光斑尺寸。

函数为第m阶厄米多项式。

例如
在一给定的轴向位置点z处，强度分布由两个单独的函数x和y之积构成。

矩形横模的花样结构如上图所示。

数出图形中x和y方向上的暗带数目，就可以确定单模的m,n的值。

注意，在这种几何结构中的基模（m=n=0）与圆柱形结构中的相同。

图5.1所示的横模能够以线偏振光束存在，见图5.3综合两个阶数相同的垂直偏
振模，就可以合成出其他的偏振结构；对于TEM
01
模，这种情况示于图5.4
5.1.2高斯光束的特征
激光器输出的具有高斯强度分布的光束称为基模或TEM00模。

由于其重要性，在本小节将详细地讨论这种光束。

高斯光束的场振幅随着距离轴的距离r的增大而减小。

可由下式表示：
E(r)= E0exp（），（5.3）
由此，得到功率密度分布为
I(r)=I0exp（2）（5.4）
式中，w为在光学轴上场振幅降至1/e时的径向距离，同时轴上的功率密度也降
到，通常将参量w称为光束半径或光斑尺寸，而将2w称为光束直径。

在半径r=w,1.5w,2w的辐射孔径中，高斯光束的功率与总功率的百分比分别为
86.5%。

如果高斯光束通过半径为3w的孔，由于阻挡而损失的光束功率就只占
%。

在以下讨论中，无限大孔径就是指超过3倍光斑尺寸的孔径。

如果现在来参考正在传播的高斯光束，发现尽管光束的每个截面上强度分布都是高斯形，但是强度分布的宽度却沿着光轴线发生变化。

在相前为平面的束腰处，高斯光束的直径收缩为最小的2w0。

如果从束腰处测量z值，光束的扩展规律就会表现为一种简单的形式。

与束腰相距为z的光斑尺寸以双曲线表示为。

（5.5）
其渐近线与轴线成θ/2角，见图5.5，由此确定出发散光束的远场发散角。

基模的最大发散角由下式给出：
（5.6）
由此可见，当距离很远时，光斑尺寸随z呈线性增大，而光束以恒定的锥角θ发散。

此处最感兴趣的是，在束腰处的光斑尺寸w0越小，发散角就越大。

在距离束腰足够远的地方，光束有一个从束腰的光轴线上的某点发出的球面波前。

如果用R（z）表示与广州线交于点z的波前的曲率半径，则有
（5.7）
重要的是要注意在高斯光束的波前面上，相位是相同的。

有时，用一个特定的共
时在束腰两焦参量b来说明TEM（00）模的光束特性，式中，b为W（z）=21/2w
边的点与点之间的距离（见图5.5）。

（5.8）
在结束高斯光束的讨论之前，对高斯光束和平面波光束的发散角之间的不同作一个简要说明。

激光器输出TEM00模时，根据（5.6）可求出光束发散角。

当一个平面波前入社到直径为D的圆孔上时，由夫琅禾费衍射花样的第一个最小值确定的中心圆班的最大锥角为（5.9）。