光学谐振腔(翻译)

光学谐振腔

大多数激光器发射的光都包括有几种分立的光学频率，它们彼此间的频率差各不相同，从而使光学谐振腔产生不同的模式。通常将谐振腔产生的模式分为两类：纵模和横模。纵模彼此间的差异仅在于它们具有不同的振荡频率；横模彼此间的差异除了具有不同的振荡频率外，而且在垂直于其传播方向的平面内，场的分布也不同。与一个给定的横模相对应的大量纵模同该横模具有相同的场分布，但是频率却不同。

人们用符号TEM mnq或TEM plq来描述光学谐振腔内电磁场的变化。大写字母TEM表示横向电磁波，前两个下标表示肯定的横模，q表示纵模。因为典型激光器所有的谐振腔都比激光波长要长得多，所以一般都有很多的纵模。因此，表示腔体轴向模数量的q的数值非常大。表示横模的下标值却很小，有事可能只取前几位整数。该值表明了在垂直与轴向的平面内场的变化。

激光器的光谱特性，如谱线宽度和相干长度等，主要取决于纵模；而光束发散角，光束直径和能量分布等则取决于横模。一般来说，如果没有采取特殊的措施来限制振荡模的数量，激光器就是多模振荡器。其原因在于这样的事实，即非常多的谐振腔纵模都处于激光跃迁的带宽内，而在激活材料的截面内，可能有很多横模。

5.1 横模

文献[5.1~5.3]论述了光学谐振腔的模式理论，文献[5.4，5.5]也对这一专题进行了综合评论。

5.11 横模的强度分布

那些在两个反射镜之间来回反射，其振幅和相位分布保持不变的电磁场才能存在于光学谐振腔中，这些特殊的场分布形成无源谐振腔的横电磁膜。

在直角坐标系中，用符号TEM mn表示横模，整数m,n表示在水平和垂直方向上与光轴垂直的强度零节点的数量。在圆柱坐标系中，用TEM pl表示横模，p表示径向节点数，l表示角向节点数。m,n，p，l的数值越大，模的阶数就越高。最低阶模TEM00模，在它的光轴上有最大的高斯强度分布。对于下标为1或者比1大的模，最大的强度值不在对称花样的轴上。为了确定振荡模的峰值和节点的位置，幅度，必须使用高阶厄米多项式或高阶拉盖尔多项式方程。应用直角坐标系时，使用的厄米多项式；应用圆柱坐标系时，则通常采用拉盖尔多项式。

在圆柱坐标系中，由下式给出容许的圆对称TEM pl模的径向长度分布：

（5.1）

式中，

Z为光束的传播方向；r,Φ为垂直于光束方向的极坐标。径向强度分布被归一为高斯分布的光斑尺寸，即w（z）表示高斯光束的光斑尺寸，其定义为：TEM（00）

模的强度为其轴线上峰值的时的半径。表示p阶l次广义拉盖尔多项式。上式中给出的强度分布是径向部分和角向分布的乘积。对于l=0的模，不存在角

向关系。而模花样有p个同心暗环，每一个暗环对应着一个值为0的（ρ）。由于因子exp（-ρ）的缘故，径向强度分布是衰减的。如果l=0，pl模的中心就

是亮点，否则会因为因子而成为暗点。这些模除了在径向上有p个零点外，在角向上也有2l个节点。只有改变光斑尺寸和轴向位置z的关系，才能改变（pl）模的分布。但是，对于所有的z值，模仍然维持电磁场分布的一般形式。当w 随z增大时，模的横向尺寸也会增大，所以模花样彼此之间的尺寸保持稳定的比值。上式中可以确定任何光束的模式的分布。下图示出了在激光器的输出光束中，不同圆柱横模横向强度分布花样。注意，模所占有的面积随着模阶数的增加而增大。标有星号的模表示由两个近视模线性叠加而成，其中一个模围绕另一个模的

轴旋转。例如，标记为01的TEM模由两个TEM（01）模组成。

图 5.1 圆柱形（a）和矩形（b）横模花样的示例。对于圆柱形模，前后两个小标分别表示暗环数和花样中的暗带数。对于矩形模，两个下标分别表示x,y 方向的暗带数。

只有改变光斑尺寸与轴向位置z的关系，才能改变(pl)模的分布。但是，对于所有的z值，模仍然维持电磁场分布的一般形状。当w随z增大时，模的横向尺寸也会增大，所以模花样彼此之间的尺寸保持稳定的比值。

根据式（5.1）可以确定任何光束模式的分布。图5.1（a）示出了在激光器的输出光束中，不同圆柱横模向强度分布花样。注意，模所占据的面积随着模阶数的增加而增大。标有星号的模表示由两个近似模线性叠加而成，其中一个模围

模组成。

绕另一个模的轴旋转900. 例如，标记为01*的TEM模由两个TEM

01

如果将合适的拉盖尔多项式代入上式（5.1）中，就可以得出上图所示的模的强

度分布，即

图5.2示出了最低阶模和阶数仅高于它的两个横模（即TEM

00，TEM

01

，TEM

10

）的

强度分布。

图5.2 TEM

00模，TEM

01

模，TEM

10

模的径向强度分布，这些模的半径已归一化为基

模光束半径w

00

在直角坐标系中，模（m,n）的强度分布由下式给出：

（5.2）如前文所述，w(z)是最低阶模的横向强度降到峰值强度的时的光斑尺寸。函数为第m阶厄米多项式。例如

在一给定的轴向位置点z处，强度分布由两个单独的函数x和y之积构成。矩形横模的花样结构如上图所示。数出图形中x和y方向上的暗带数目，就可以确定单模的m,n的值。注意，在这种几何结构中的基模（m=n=0）与圆柱形结构中的相同。

图5.1所示的横模能够以线偏振光束存在，见图5.3综合两个阶数相同的垂直偏

振模，就可以合成出其他的偏振结构；对于TEM

01

模，这种情况示于图5.4

5.1.2高斯光束的特征

激光器输出的具有高斯强度分布的光束称为基模或TEM00模。由于其重要性，在本小节将详细地讨论这种光束。高斯光束的场振幅随着距离轴的距离r的增大而减小。可由下式表示：

E(r)= E0exp（），（5.3）

由此，得到功率密度分布为

I(r)=I0exp（2）（5.4）

式中，w为在光学轴上场振幅降至1/e时的径向距离，同时轴上的功率密度也降

到，通常将参量w称为光束半径或光斑尺寸，而将2w称为光束直径。在半径r=w,1.5w,2w的辐射孔径中，高斯光束的功率与总功率的百分比分别为