高数复习题目答案

2013-2014年高等数学（一）复习参考

考试涉及范围：

第一章函数、极限与连续

极限的计算（包括两个重要极限的运用）；无穷小的比较；连续性的判断、间断点的类型；利用零点定理或介值定理证明方程存在根．

第二章导数与微分

导数：求导法则、隐函数导数、高阶导数、参数方程导数（求一阶导数和二阶导数）；微分．第三章微分中值定理及导数的应用

中值定理证明等式或不等式；洛必达法则求极限；函数的单调性与单调区间；利用单调性证明不等式；曲线的凹凸性与拐点；函数的极值与最值．

第四章不定积分

不定积分的计算：换元积分、分部积分；

第五章定积分

定积分的性质；定积分的计算：换元积分、分部积分；无穷限反常积分与敛散型；平面图形的面积与体积．

第六章微分方程

特解与通解的概念及求解：可分离变量的微分方程；齐次方程；一阶线性微分方程；可降阶的高阶微分方程；二阶常系数齐次微分方程．

考试题型：

选择题、填空题、计算题、应用题、证明题

注意：以下内容不考：

泰勒公式；曲率；函数图形的描绘；无界函数反常积分与敛散型；极坐标的问题；弧长的计算；二阶常系数非齐次微分方程．《祝考试顺利！》

复习题一

一、选择题

1．下列等式中，正确的是（ ）．

A ．()()a f x f a

x =→lim B ． ()e x x

x =-→1

1lim

C ．11sin

lim 0

=→x x x D ．11

sin lim =∞→x

x x

2．设x x f cos )(=，则=')]([x f f （ ）．

A ．)cos(cos x

B .)sin(cos x -

C ．)cos(sin x

D ．)sin(cos sin x x ⋅ 3．曲线()x

e x y 1+=在点()1,0处的切线方程是（ ）．

A ．12+=x y

B . x y 2=

C ．ex y 2=

D ．12+=ex y

4．当0>x 时，设()x F dx t x

⎰+=02

11dx t x ⎰++1

0211，则（ ）． A ．()0≡x F B . ()2

π

≡x F C ．()x x F arctan = D ．()x x F arctan 2=

5．若

⎰

⎰=30

1

)3()(dx x xf k dx x xf ，则=k （ ）

． A ．1 B .3 C ．9 D ．27 6．微分方程02=-'+''y y y 的通解是（ ）． A ．x x

e C e

C y 221+=- B ．x x e C e C y 221-+=

C ．x

x

e e y 2-+= D ．x C x C y 2sin cos 21+=

二、填空题

1．极限=⎰⎰→x x

x xdx

xdx 0

20

arcsin tan lim

. 2．设函数x

x x f 112

121)(+-=

，则0=x 是)(x f 的间断点类型为 间断点．

3．=++)sin 3(tan πx

x x

d .

4．函数()()()3

32+-=x x x f 的单调递增区间是 ，单调减区间是 .

5．⎰=⎪⎪⎭

⎫

⎝

⎛--+

-dx x x x x

22113tan . 6．

=⎰

+∞

3

31

dt x

. 三、计算题 1．求极限⎪⎭⎫

⎝

⎛--→13ln 1

lim 31x x x ．

2．已知⎪⎩⎪⎨⎧=+-=0

3sin arctan 3t y t e t

x y 求0=t dx dy ．

3．计算不定积分⎰

dx x arctan ． 4．计算定积分dx x x ⎰

-20

24．

5．求微分方程x e x x y dx

dy

sin 2cos =-满足初始条件20-==x y 的特解． 四、应用题

2．欲用围墙围成面积为216平方米的一矩形土地，并在正中间用一堵围墙将其隔开成两块，问这块矩形土地的长宽各为多少时，能使所用材料最省？ 五、证明题

1．证明：当0>x 时，()()x x x x ++>+

1ln 12

12

． 2．若函数()x f 在()+∞∞-,内满足关系式()()x f x x f ⋅='cos ，且()10=f ，证明：

()x e x f sin =．

复习题二

一、选择题

1．设()A x f x x =→0

lim （A 为常数），则函数()x f 在0x 处（ ）．

A ．无定义

B ．有定义

C ．有定义，且()A x f =0

D ．可有定义，也可无定义 2．下列函数中，在0=x 处不可导的是（ ）．

A ．x y sin =

B .x y cos =

C ．x y ln =

D ．x y = 3．曲线x

xe y =在点()0,0处的切线方程是（ ）．

A ．x y =

B .1+=x y

C ．ex y =

D ．1+=ex y 4．在区间),(b a 内，如果)()(x g x f '='，则必有（ ）． A ．)()(x g x f = B . 为任意常数）

C C

x g x f ()()(+= C ．⎰⎰=dx x g dx

d dx x f dx d )()( D ．⎰⎰=b a b a dx x g dx x f )()(

5．若

⎰

⎰=20

1

)2()(dx x xf k dx x xf ，则=k （ ）

． A ．1 B .2 C ．3 D ．4 6．微分方程02=+'-''y y y 的通解是（ ）． A ．x

e C y 1= B .x

e C C y 21+= C ．()x

e x C C y 21+= D ．x C x C y sin cos 21+=

二、填空题

1．极限=⎪⎭

⎫ ⎝⎛---→1311

lim 31x x x .

2．设函数x

x

x f sin )(=

，则0=x 是)(x f 的间断点类型为 间断点． 3．已知πsin sin ln ++=x

x x y ，则=dy .

4．函数()()()3

21+-=x x x f 的单调递增区间是 ，单调减区间是 .

5．⎰=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-++-dx x e e x x

x 22213

1tan .