第一章--反比例函数小结与复习
初中数学反比例函数知识点总结
初中数学反比例函数知识点总结初中数学反比例函数知识点总结反比例函数反比例函数表达式y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^(-1) (即：y等于x的负一次方，此处x必须为一次方)y=k/x(k为常数且k≠0，x≠0)若y=k/nx此时比例系数为：k/n自变量的取值范围① 在一般的情况下 , 自变量 x 的取值范围可以是不等于0的任意实数;②函数 y 的取值范围也是任意非零实数。
解析式y=k/x 其中x是自变量，y是x的函数，其定义域是不等于0的一切实数,即{x|x≠0,x∈R}。
下面是一些常见的形式：y=k/x=k·1/xxy=ky=k·x^(-1)y=kx(k为常数(k≠0)，x不等于0)反比例函数性质单调性当k>0时，图象分别位于第一、三象限，同一个象限内，从左往右，y随x的增大而减小;当k<0时，图象分别位于第二、四象限，同一个象限内，从左往右，y随x的增大而增大。
k>0时，函数在x<0上同为减函数、在x>0上同为减函数;k<0时，函数在x<0上为增函数、在x>0上同为增函数。
相交性因为在y=k/x(k≠0)中，x不能为0，y也不能为0，所以反比例函数的图象不可能与x轴相交，也不可能与y轴相交，只能无限接近x 轴，y轴。
面积在一个反比例函数图象上任取两点P，Q，过点P，Q分别作x轴，y轴的平行线，与坐标轴围成的矩形面积为S1，S2则S1=S2=|K| 反比例上一点m向x、y分别做垂线，交于q、w，则矩形mwqo(o为原点)的面积为|k|图像反比例函数的图象既是轴对称图形，又是中心对称图形，它有两条对称轴y=x y=-x(即第一三，二四象限角平分线)，对称中心是坐标原点。
反比例函数图像不与x轴和y轴相交。
y=k/x的渐近线：x轴与y 轴。
k值相等的反比例函数重合，k值不相等的反比例函数永不相交。
k|越大，反比例函数的图象离坐标轴的距离越远。
反比例函数知识点知识点总结
反比例函数知识点知识点总结反比例函数知识点总结一、反比例函数的定义一般地，如果两个变量 x、y 之间的关系可以表示成 y ＝ k/x（k 为常数，k≠0）的形式，那么称 y 是 x 的反比例函数。
需要注意的是，反比例函数中自变量 x 的取值范围是x≠0，因为分母不能为 0。
例如，当 k ＝ 5 时，反比例函数为 y ＝ 5/x。
二、反比例函数的表达式反比例函数常见的表达式有以下三种形式：1、 y ＝ k/x （k 为常数，k≠0），这是最基本的形式。
2、 xy ＝ k （k 为常数，k≠0），通过将 y ＝ k/x 两边同乘 x 得到。
3、 y ＝ kx^（－1) （k 为常数，k≠0），这是反比例函数的幂函数形式。
三、反比例函数的图像反比例函数的图像是双曲线。
当 k＞0 时，双曲线的两支分别位于第一、三象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而减小。
当 k＜0 时，双曲线的两支分别位于第二、四象限，在每一象限内 y 随 x 的增大而增大。
例如，对于函数 y ＝ 2/x，因为 k ＝ 2＞0，所以图像位于第一、三象限，在每个象限内，当 x 增大时，y 减小。
四、反比例函数图像的性质1、对称性反比例函数的图像关于原点对称，即若点（a，b）在反比例函数图像上，则点（a，b）也在其图像上。
2、渐近线双曲线逐渐接近但永远不会与坐标轴相交，其渐近线为 x 轴和 y 轴。
3、连续性反比例函数在定义域内不是连续的，存在间断点 x ＝ 0。
五、反比例函数中 k 的几何意义在反比例函数 y ＝ k/x 图像上任取一点 P，过点 P 分别作 x 轴、y轴的垂线 PM、PN，垂足分别为 M、N，则矩形 PMON 的面积 S ＝PM×PN ＝｜y|×｜x| ＝｜xy| ＝｜k|。
例如，在函数 y ＝ 6/x 的图像上有一点 P（2，3），则矩形 PMON 的面积为 6。
六、反比例函数与一次函数的综合在解决反比例函数与一次函数的综合问题时，通常需要联立两个函数的解析式，组成方程组，求解交点坐标。
九年级数学上册 第第1章反比例函数小结与复习(第1课时)教案 浙教版
第一章反比例函数小结与复习（一）一、知识要点：1、反比例函数定义：。
（注意反比例函数的两种形式）反比例函数的自变量x的取值范围是：2、会用待定系数法确定反比例函数的关系式。
3、反比例函数的图象的画法。
4、反比例函数与正比例函数图象性质比较分析双曲线的两个分支分别位于第象限；，y随着x。
5、反比例函数的应用二、习题巩固（一）填空题1、已知，是反比例函数，则m ，此函数图象在第象限。
2、函数y=，当a=_____时，是正比例函数；当a=___时，是反比例函数。
3、正比例函数y=k1x(k1≠0)和反比例函数y=(k2≠0)的一个交点为(m，n)，则另一个交点为_________。
4、若反比例函数y=(2m-1) 的图象在第一、三象限，则函数的解析式为__________。
5、已知是反比例函数(k≠0)图象上的两点，且<0时，，则k________。
6、老师给出一个函数，甲、乙、丙、丁四人各指出这个函数的一个性质，甲：函数图象不经过第三象限；乙：函数图象经过第一象限；丙：随的增大而减小；丁：当时，。
已知这四人叙述都正确，请构造出满足上述所有性质的一个函数_______________。
7、函数y=中，当x=时，y=_____；当x=_______时，y= －1.8、已知函数y=kx 的图象经过点(2，-6)，则函数y=的解析式可确定为______，此反比例函数在每个象限内，y 随x 的增大而______。
9、已知函数y=在每个象限内，y 随x 的减小而减小，则k 的取值范围是_______.10、点 A （，）、B(， )均在反比例函数的图象上，若 ＜0，则 ___.11、已知反比例函数的图象经过点（2，3）、（3，m ）、（n ，－1），则m ，n .12、知点A （x 1，y 1）；B （x 2，y 2）；C （x 3，y 3）在上，且x 1＜x 2＜0＜x 3；比较y 1 、 y 2 y 3的大小是 。
反比例函数小结与复习
法
y k x
xy=k
y=kx-1
2.反比例函数图象:
描点法
①形状 ____双_曲__线____________
②位置 K_>_0时__，__图__像_位__于__第_一__、__三_象限 K<_0_时__，_图__像__位__于_第__二__、_四__象限
③对称性__关__于__原_点__对__称________
自学检测：
1.已知 y m 1 x2m2 1
如果y是x的正比例函数，m=___-_1_
如果y是x的反比例函数，m=____0_
2.已知反比例函数 y =
k x
的图象经过点A（1，4）
（1 ）①求此反比例函数 的解析式；
②画出图像；
③并判断点B（-4，-1）是否在此函数图像上。
y
（2）根据图像得，
O8
x(min)
变式训练：
四、回顾和小结
1.反比例函数解析式常见的几种形式: 2.反比例函数图像的形状，位置，对称性，增减性 3.一些基本题型的解题要点 4.反比例函数在生活中的应用 5.做题时要注意数形结合
当堂训练：
1.如图△P1OA1,△P2A1A2是等腰直角三角形,点P1、P2
在 y 4(x>0)函数的图象上，则点A2的坐标是(4 2 ,0) . x
题型五 反比例函数的实际应用
为了预防“流感”,某学校对教室采用药熏消毒法进行 毒, 已知药物燃烧时,室内每立方米空气中的含药量y(mg) 与时间x(min)成正比例.药物燃烧后,y与x成反比例(如图所 示),现测得药物8min燃毕,此时室内空气中每立方米的含药 量为6mg,请根据题中所提供的信息,解答下列问题:
在同一象限内,例函数的增减性
初二反比例函数知识点归纳总结
初二反比例函数知识点归纳总结反比例函数是数学中的重要概念之一。
在初二阶段，学习反比例函数是提高数学水平的重要一步。
本文将对初二反比例函数的知识进行归纳总结，旨在帮助同学们更好地理解和应用反比例函数。
一、定义与性质1. 反比例函数的定义：反比例函数是一种函数关系，其特点是当自变量的值增大时，函数值减小，反之亦然。
反比例函数可以表示为：y = k / x，其中k为常数。
2. 反比例函数的图像特点：- 反比例函数的图像一般在原点附近形成一个超越x轴的双曲线；- 曲线上的点与y轴相交时，x轴不取0，即该函数无定义域为0；- 随着x的增大，曲线逐渐靠近x轴但永远不会与x轴相交；- 反比例函数不存在水平渐近线，但存在垂直渐近线。
二、图像与特殊情况1. 特殊情况一：k为正数当k为正数时，反比例函数的图像在第一象限和第三象限，且随着x的增大，函数值趋近于0。
2. 特殊情况二：k为负数当k为负数时，反比例函数的图像在第二象限和第四象限，且随着x的增大，函数值趋近于0，但y值始终为负数。
3. 特殊情况三：k为0当k为0时，反比例函数无定义，即不存在反比例关系。
三、直接变比例函数和间接变比例函数1. 直接变比例函数：直接变比例函数是指当x增大时，y也增大；当x减小时，y也减小的函数。
直接变比例函数的公式一般为y = kx。
- k > 0时，函数图像为一条通过原点的直线；- k < 0时，函数图像与x轴平行且位于x轴下方。
2. 间接变比例函数：间接变比例函数是指当x增大时，y减小；当x减小时，y增大的函数。
间接变比例函数的公式一般为y = k / x。
四、解反比例函数问题的方法1. 已知一点求函数关系的过程：当已知反比例函数图像上的一点时，可以利用该点的坐标，代入反比例函数的公式求解常数k。
进而确定反比例函数的具体形式。
2. 已知函数关系求特定点的过程：当已知一个反比例函数的表达式时，可以通过代入特定的x值，求解对应的y值，得到该函数的多个点。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结反比例函数知识点总结1.反比例函数的定义一般地，形如y=k/x（k为常数，k≠0）的函数称为反比例函数。
它可以从以下几个方面来理解：⑴ x是自变量，y是x的反比例函数；⑵自变量x的取值范围是x≠0的一切实数，函数值的取值范围是y≠0；⑶比例系数k≠0是反比例函数定义的一个重要组成部分；⑷反比例函数有三种表达式：① y=k/x（k≠0）；② y=kx^-1（k≠0）；③ xy=k（定值）（k≠0）；⑸函数y=k/x（k≠0）与函数x=k/y（k≠0）是等价的，所以当y是x的反比例函数时，x也是y的反比例函数。
当k=0时，y=k/x就不是反比例函数了。
2.用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数y=k/x（k≠0）中，只有一个待定系数，因此，只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
3.反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，它有两个分支，这两个分支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，它们与原点对称。
由于反比例函数中自变量x≠0，函数值y≠0，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点，即双曲线的两个分支无限接近坐标轴，但永远达不到坐标轴。
反比例函数的画法分三个步骤：⑴列表；⑵描点；⑶连线。
再作反比例函数的图像时应注意以下几点：①列表时选取的数值宜对称选取；②列表时选取的数值越多，画的图像越精确；③连线时，必须根据自变量大小从左至右（或从右至左）用光滑的曲线连接，切忌画成折线；④画图像时，它的两个分支应全部画出，但切忌将图像与坐标轴相交。
4.反比例函数的性质关于反比例函数的性质，主要研究它的图像的位置及函数值的增减情况，如下表所示：反比例函数 y=k/x（k≠0） k的符号 k>0 k0 y0时，函数图像的两个分支分别在第一、第三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小。
当k<0时，函数图像的两个分支分别在第二、第四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大。
专题 反比例函数的概念、性质小结与复习
专题：反比例函数的概念、性质小结与复习一、反比例函数的基本概念1、在下列函数中，m 为何值时y 是x 的反比例函数？（1）2m y x +=； （2）24m y x-=； （3）()221m y m x -=+2、已知点()11A x y ，和()22B x y ，都在6y x=的图象上，若124x x ⋅=，求12y y ⋅的值.二、反比例函数图象的性质3、若反比例函数1m y x+=的图象在第一、三象限，则m 的取值范围是（ ） A 、1m >- B 、1m ≥- C 、1m <- D 、1m ≤-4、若反比例函数k y x =的图象在第二、四象限，则一次函数y kx k =+的图象经过（ ） A 、第一、二、三象限 B 、第二、三、四象限C 、第一、二、四象限 D 、第一、三、四象限5、若直线y kx b =+经过第一、二、四象限，则函数kb y x=的图象在（ ） A 、第一、三象限 B 、第二、四象限 C 、第一、二象限 D 、第三、四象限6、在同一坐标系中，函数k y x=与y kx k =+的图象大致是（ ）7、如图，反比例函数()0>=k x k y 的图象与以原点（0，0）为圆心的圆交于A ，B 两点，且A （1，），图中阴影部分的面积等于 ．（结果保留π）8、反比例函数3k y x-=的图象，当0x >时，y 随x 的增大而增大，则k 的取值范围是（ ）A 、3k <B 、3k ≤C 、3k >D 、3k ≥9、如图，已知反比例函数()0k y x x=>，则k 的取值范围是（ ） A 、12k << B 、23k << C 、24k << D 、24k ≤≤。
【反比例函数复习与小结】《反比例函数：小结与思考》教学设计
【反比例函数复习与小结】《反比例函数：小结与思考》教学设计【反比例函数复习与小结】《反比例函数：小结与思考》教学设计作为一名教职工，可能需要进行教学设计编写工作，教学设计是把教学原理转化为教学材料和教学活动的计划。
我们应该怎么写教学设计呢？以下是小编收集整理的【反比例函数复习与小结】《反比例函数：小结与思考》教学设计，欢迎大家分享。
[教学目标]1．回顾反比例函数的概念．通过实际问题，进一步感受用反比例函数解决实际问题的过程与方法，体会反比例函数是分析、解决实际问题的一种有效的模型．2．归纳总结反比例函数的图象和性质，进一步体会形数结合的.数学思想方法．[教学过程]1．回顾、梳理本章的知识：如同已经学过的有关方程、函数的内容一样，本章内容分为3块：（1）从生活到数学：从问题到反比例函数，即建构实际问题的数学模型；（2）数学研究：反比例函数的图象与性质；（3）用数学解决问题：反比例函数的应用．2．可以设计一组问题，重点归纳、整理反比例函数的图象与性质，进一步感受形数结合的数学思想方法．例如：（1）由形到数——用待定系数法求反比例函数的关系式；由图象的位置或图象的部分确定函数的特征；（2）由数到形――根据反比例函数关系式或反比例函数的性质，确定图形的位置、趋势等；（3）形数结合——函数的图象与性质的综合应用2例如：如图，点Ｐ是反比例函数y？上的一点，ＰＤ垂直x轴于点Ｄ，则△xＰＯＤ的面积为________3．设计一个实际问题，让学生经历“问题情境一建立模型一求解一解释与应用”的基本过程．例如：为了预防“非典”，某学校对教室采用药薰法进行消毒．已知药物燃烧时．室内每立方米空气中的含药量y（mg）与时间x（min）成正比例，药物燃烧后，y与x成反比例（如图）．现测得药物8min燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为6mg。
（1）写出药物燃烧前、后y与x的函数关系式；（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1。
反比例函数整章知识点复习
在生物学中，反比例函数可用于描述种群数量与资 源之间的关系，如食物与捕食者数量等。
03
反比例函数的图像与性质
反比例函数的图像绘制
通过选择适当的x值，计算对应的y值 ，在坐标系上标出对应的点，连接各 点绘制出反比例函数的图像。
100%
经济问题
在经济学中，反比例函数可以用 来描述成本与产量的关系、供需 关系等。
80%
生态问题
在生态学中，反比例函数可以用 来描述种群数量与环境容量的关 系等。
05
反比例函数习题解析
基础题目解析
01
02
03
题目
已知点$P(x, y)$在反比例 函数$y = frac{k}{x}$的图 象上，若$x$与$y$的乘积 为$2k$，则$k$的值为 ____．
竞赛题目解析
01
k、a、b 的值；
02
k、a、b 的值；
03
k、a、b 的值；
04
k、a、b 的值；
THANK YOU
感谢聆听
反比例函数的计算方法
01
对于反比例函数
$f(x)
=
frac{k}{x}$，求值时只需将 $x$ 值
代入函数中即可。
02
若需要求 $f(x)$ 的导数或积分， 则需使用相应的微积分法则进行 计算。
反比例函数在实际问题中的应用
在物理学中，反比例函数可用于描述两个物理量之 间的反比关系，如电荷与电场强度、电流与电阻等 。
反比例函数的图像
图像特点
双曲线，分布在两个象限内，随着k的正负变化而分别分布在第一 、三象限或第二、四象限。
初三反比例函数归纳总结
初三反比例函数归纳总结反比例函数在初三数学中是一个重要的概念，也是常见的数学题型之一。
通过对反比例函数的归纳总结，我们可以更好地理解和应用它们。
本文将对初三反比例函数进行归纳总结，包括定义、图像、性质和应用等方面。
1. 定义反比例函数是指两个变量之间的关系，当一个变量增大时，另一个变量减小，二者的乘积保持不变的函数。
反比例函数常用符号表示为y=k/x，其中k为常数。
2. 图像反比例函数的图像一般是一个平面坐标系中通过原点的曲线。
当x 很大时，y很小；当x很小时，y很大。
曲线与坐标轴有两个渐近线，即当x趋于正无穷或负无穷时，对应的y趋于0。
3. 性质反比例函数具有以下性质：- 当x=0时，函数无定义；- 当x>0时，y>0；当x<0时，y<0；- 当x增大时，y减小；当x减小时，y增大；- 函数的图像关于一、三象限对称；- 函数的图像在第一象限上下凸，第二、四象限上下凹。
4. 反比例函数与导数反比例函数的导数恒为负数，在函数图像上表现为斜率始终为负值的直线。
这一性质使得反比例函数在一些应用中具有特殊的意义，例如在牛顿引力定律中，两个物体之间的引力与它们之间距离的平方成反比。
5. 应用反比例函数在实际问题中有广泛的应用，例如：- 速度和时间的关系：当物体的速度增大时，所用的时间减少；- 人均水平和人口数量的关系：当一个地区的人均水平提高时，人口数量减少；- 工人数量和完成工作的时间的关系：当工人数量增多时，完成工作的时间减少。
通过对这些应用问题的分析，可以将具体问题转化为反比例函数形式，从而更好地理解和解决问题。
总结起来，初三反比例函数是一种重要的数学概念，具有特殊的图像和性质。
了解反比例函数的定义、图像和性质，能够帮助我们更好地应用它们解决实际问题。
通过对反比例函数的归纳总结，我们可以更深入地理解其应用，为进一步学习和掌握数学知识打下坚实的基础。
以上就是初三反比例函数的归纳总结，通过对反比例函数的定义、图像、性质和应用的介绍，希望能帮助大家更好地理解和应用反比例函数，提升数学学习的效果。
反比例函数常用知识点总结
反比例函数常用知识点总结一、反比例函数的定义反比例函数也叫做倒数函数，通常用y=k/x表示，其中k为非零常数。
这种函数的图像是一个双曲线，具有对称轴。
二、反比例函数的性质1. 反比例函数的定义域和值域反比例函数的定义域为x≠0，值域为y≠0。
2. 反比例函数的奇偶性反比例函数通常不具有奇偶性。
3. 反比例函数的单调性反比例函数在定义域内单调递减或递增。
4. 反比例函数的渐近线反比例函数的图像有两条渐近线，分别是x轴和y轴。
5. 反比例函数的对称性反比例函数的图像关于原点对称。
6. 反比例函数的零点和极限反比例函数有唯一的零点，即x=±√k。
当x→0时，y→±∞。
三、反比例函数的图像1. 反比例函数的基本图像反比例函数的基本图像是一个双曲线，具有对称轴。
2. 反比例函数的平移和缩放改变k的值可以使反比例函数的图像进行平移和缩放。
3. 反比例函数的特殊情况当k为正数时，反比例函数的图像在第一和第三象限。
当k为负数时，反比例函数的图像在第二和第四象限。
四、反比例函数的应用1. 反比例函数在物理学中的应用反比例函数可以用来描述两个物理量之间的关系，比如牛顿定律中的万有引力定律就是一个反比例函数。
2. 反比例函数在经济学中的应用反比例函数可以用来描述供求关系，比如需求曲线和供给曲线都是反比例函数。
3. 反比例函数在工程学中的应用反比例函数可以用来描述工程中的一些量与距离的关系，比如声音的传播距离与声音的强度之间的关系。
五、反比例函数的解题方法1. 求反比例函数的定义域和值域根据函数的定义，可以求出反比例函数的定义域和值域。
2. 求反比例函数的零点和极限根据函数的性质，可以求出反比例函数的零点和极限。
3. 求反比例函数的图像可以根据函数的性质和图形变换的知识，画出反比例函数的图像。
4. 求反比例函数的应用问题可以根据反比例函数在物理学、经济学和工程学中的应用问题，解决实际问题。
六、反比例函数的常见错误1. 关于定义域和值域的错误很多学生容易忽略反比例函数的定义域和值域，导致在解题过程中出现错误。
第一章 反比例函数《小结与复习》(3)
常数，k≠0）的函数叫做反比例函数.其中 x是自变量，y是x的函数，k是比例系数.
k y x
-1 y=kx
xy=k
注意：(1)k为常数，k≠0；K的几何意义。 (2)自变量x的取值范围是x≠0的一切实数 ,且要使实际问题有意义。
2.反比例函数的图象和性质．
k 反比例函数 y (k 0) 是由两支曲线组成, x 当K>0时,两支曲线分别位于第一、三象限内，
10.近视眼镜的度数y(度)与镜片焦距x(米) 成反比例.已知400度近视眼镜的镜片焦距 为0.25米,则y与x的函数关系是 y 100 .
x
典型例题： 例1： 已知反比例函数y=
的图象与一次
函数y=kx+m的图象相交于点(2 , 1) (1)分别求出这两个函数的解析式.
(2) 试判断点P(-1,2)关于x轴的对称点P’
垂足为M，连结BM,若S△ABM＝2， 则k的值是 （A ） A．2 B ． m－2 C ． m D ． 4
2.如图，函数 y k 和y=－kx+1(k≠0)在同一坐标 x 系内的图象大致是 （ D ）
6
y
6
y
以前遇过吗？
4
4
2
2
．
-5
O
-2
5
x
-5
O
-2
5பைடு நூலகம்
x
-4
-4
A
6
B
6
y
y
4
4
方法：先假设某个 函数图象已经画好， 再确定另外的是否 符合条件.
x
7.已知：A是双曲线上的一点，过点A向 x轴作垂线，垂足为B，△AOB的面积 8 是4,则它的解析式为Y= 或y= 8 。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结一、反比例函数定义反比例函数是形如y = k/x (k ≠ 0，x ≠ 0) 的函数，其中 k 为常数，称为比例常数，x 为自变量，y 为因变量。
二、图象特征1. 反比例函数的图象是一组双曲线。
2. 当 k > 0 时，双曲线的两支分别位于第一象限和第三象限。
3. 当 k < 0 时，双曲线的两支分别位于第二象限和第四象限。
4. 双曲线的对称轴是 y 轴。
三、性质1. 反比例函数不是定义在全体实数上的函数，其定义域为 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。
2. 反比例函数的值域为全体实数 R。
3. 反比例函数是奇函数，具有对称性，其对称中心为原点 (0, 0)。
4. 当 x 的值增大时，y 的值减小；当 x 的值减小时，y 的值增大。
5. 反比例函数没有渐近线，但当 x 趋向于 0 时，y 趋向于无穷大或负无穷大。
四、运算法则1. 反比例函数的加法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 + y2 = (k1x2 + k2x1) / (x1x2)。
2. 反比例函数的减法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 - y2 = (k1x2 - k2x1) / (x1x2)。
3. 反比例函数的乘法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 * y2 = (k1 * k2) / (x1 * x2)。
4. 反比例函数的除法法则：若 y1 = k1/x1，y2 = k2/x2，则 y1 /y2 = (k1 / k2) * (x2 / x1)。
五、实际应用反比例函数在物理学、经济学、生物学等领域有广泛的应用。
例如，在电路分析中，电流与电阻的关系可以由欧姆定律表示为 I = V/R，其中 V 为电压，I 为电流，R 为电阻，这可以看作是反比例函数的一个特例。
六、常见问题及解析1. 问题：如何确定反比例函数的定义域和值域？解析：反比例函数的定义域为除去 0 的所有实数，即 (-∞, 0) ∪ (0, +∞)。
反比例函数知识点总结
反比例函数知识点总结反比例函数知识点归纳知识点1 反比例函数的定义反比例函数是指形如 y = k/x（k为常数，k≠0）的函数。
其中，自变量x的取值范围为x≠的一切实数，而函数值y的取值范围为y≠0.知识点2 用待定系数法求反比例函数的解析式由于反比例函数只有一个待定系数k，因此只要一组对应值，就可以求出k的值，从而确定反比例函数的表达式。
知识点3 反比例函数的图像及画法反比例函数的图像是双曲线，有两个分支，分别位于第一、第三象限或第二、第四象限，与原点对称。
由于自变量x≠，函数值y≠，所以它的图像与x轴、y轴都没有交点。
画反比例函数的图像应该先列表，再描点，最后用光滑的曲线连接。
知识点4 反比例函数的性质反比例函数的图像位置与函数值的增减情况与k的符号有关。
当k>0时，函数图像的两个分支分别在一、三象限，在每个象限内，y随着x的增大而减小；当k<0时，函数图像的两个分支分别在二、四象限，在每个象限内，y随着x的增大而增大。
反比例函数的图像位置和函数的增减性由反比例函数系数k的符号决定。
在每个象限内，当k>0时，y随x的增大而减小；当k0.反比例函数y=k/x中，k的几何意义可以通过双曲线上任一点P(x,y)分别作x轴、y轴的垂线，得到矩形OEPF的面积S=k=xy=x*y=PF*PE。
在反比例函数y=k/x中，k越大，双曲线y=k/x越小，离坐标原点越远；k越小，双曲线y=k/x越大，离坐标原点越近。
双曲线是中心对称图形，对称中心是坐标原点；双曲线又是轴对称图形，对称轴是直线y=x和直线y=-x。
练题：1、反比例函数是y=k/x，其中k≠0.2、函数y1=kx和y2=1/2x的图象如下所示，自变量x的取值范围相同的是第四象限。
3、函数y=m/x和y=mx-m(m≠0)在同一平面直角坐标系中的图像可能是第一象限和第三象限。
4、反比例函数y=k/x的图象的两个分支分别位于第一象限和第三象限。
九年级数学反比例函数知识点归纳总结
一、反比例函数的定义：
反比例函数是指其表达式可以表示为y=k/x（k≠0），其中k为常数，x≠0。
二、反比例函数的一般式：
1.y=k/x
2.k为比例系数，表示常数项。
三、反比例函数的图像特点：
1.垂直于y轴；
2.不过原点，但会经过x轴的正半轴和y轴的正半轴；
3.上升（k>0）或下降（k<0）。
四、反比例函数的性质：
1.定义域：x≠0，值域：y≠0
2.渐近线：x轴和y轴是反比例函数的渐近线。
3.对称性：关于y轴对称。
4.单调性：k>0时，单调递减；k<0时，单调递增。
五、反比例函数图像的平移：
1.y=k/(x-h)：左右平移h个单位；
2.y=k/(x)+v：上下平移v个单位。
六、反比例函数与直线的关系：
1. 反比例函数与直线y=kx的图像在一起；
2. 直线y=kx可以看做反比例函数的简化形式，即k=1
七、反比例函数的应用：
1.反比例函数在实际中常用于描述两个变量之间的比例关系，如一方
的量增大，另一方的量就会减小的规律。
2.可以用反比例函数解决实际问题，如物品的价格与销量之间的关系、速度与时间之间的关系等。
反比例函数知识点知识点总结
反比例函数知识点知识点总结反比例函数是数学中常见的一种函数形式，其表达式为y = k/x，其中k为常数，x和y为变量。
反比例函数在实际问题中经常出现，对于理解和应用反比例函数，掌握其相关知识点十分重要。
一、反比例函数的定义与特点反比例函数是指函数的值与其自变量之间成反比关系的函数。
具体来说，当自变量x与函数值y之间满足y = k/x时，我们称该函数为反比例函数，其中k为常数。
反比例函数的特点如下：1. 自变量x不能为0，否则函数无意义；2. 函数图像是关于y轴和x轴的一条双曲线；3. 随着自变量x的增大，函数值y会逐渐减小，反之亦然。
二、反比例函数的图像及性质反比例函数的图像是一条双曲线，具体形状取决于常数k的正负和大小。
当k大于0时，双曲线开口朝上；当k小于0时，双曲线开口朝下。
另外，反比例函数还具有以下性质：1. 对称性：反比例函数关于坐标原点对称；2. 渐近线：当自变量x趋近于正无穷大或负无穷大时，函数值y趋近于0；3. 零点：当函数值y为0时，自变量x不存在。
三、反比例函数的应用反比例函数在实际问题中有广泛的应用，以下列举几个常见的应用场景：1. 时间和速度关系：在某些任务中，完成任务所需的时间与速度成反比。
例如，一辆汽车行驶的时间与其速度成反比，速度越快，行驶的时间越短。
2. 人工成本与产量关系：在生产过程中，投入的人工成本和产量之间成反比关系。
当投入的人工成本增加时，产量会减少。
3. 电阻与电流关系：在电路中，电阻与电流成反比。
当电阻增大时，电流减小。
4. 倒数关系：某些情况下，两个量之间存在倒数关系，即一个量的值与另一个量的倒数成反比。
例如，某个任务的完成速度与所需时间呈反比关系。
总结：通过对反比例函数的定义、特点和应用进行了解和掌握，我们可以更好地理解和应用反比例函数。
反比例函数在数学中具有重要的地位，在实际问题中也有着广泛的应用。
因此，加深对反比例函数的理解对于数学学习和实际问题的解决都具有重要意义。
反比例函数小结与复习 (1)
3、家作：P21-22 A 组第 1-8 题 作业：P23 B 组第 12 题 学习反思
2
3
k k (k≠0)中比例系数 k 的几何意义，即过双曲线 y= (k≠0)上任意一点引 x x x
。
轴、y 轴垂线,所得矩形面积为
二、大胆质疑： 三、教师精讲：
例 1 为预防流感，某学校用药熏消毒法对教室进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米 空气中的含药量 y （毫克）与时间 x （分钟）成正比例；药物释放完毕后， y 与 x 成反比例， 如图所示．根据图中信息，解答下列问题： （1）写出从药物释放开始， y 与 x 之间的两个函数关 系式及自变量的取值范围； （2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.45 毫克以下时， 学生方可进入教室， 那么从药物释放开始， 至少需要经过多少小时后，学生才能进入教室？ O 12 9
y （毫克）
x（分钟）
1
四、合作探究：
a 专题一：函数 y ax a 与 y (a 0) 在同一直角坐标系中的图象可能是（ x
y y y y ） ．
O
x
O
x
O
x
O
x
A.
B.
C．
D．
专题二：如图，已知 A(-4，2)、B(n，-4)是一次函数 y kx b 的图象与反比例函数 y 图象的两个交点. (1) 求反比例函数和一次函数的解析式； (2) 根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的 x 的取值范围.
九年级上册数学学科教案
课 题
总第
课时
主能理解反比例函数的图象及性质。 2、能灵活运用反比例的图象及性质解决问题。 图象及性质及综合运用
课 题 教学目标
(完整版)反比例函数知识点归纳总结与典型例题
反比例函数知识点归纳总结与典型例题(一)反比例函数的概念：知识要点：1、一般地，形如y = — ( k是常数,k = 0 )的函数叫做反比例函数。
x注意：(1)常数k称为比例系数，k是非零常数；(2)解析式有三种常见的表达形式：(A) y = k (k w 0) , (B) xy = k (k 丰 0) (C) y=kx-1 (kw0)x例题讲解：有关反比例函数的解析式1 1 1 x 1 (1)下列函数，① x(y 2) 1②.y ——③y /④.y ——⑤y —⑥y —；其中是y关x 1 x 2x 2 3x 于x的反比例函数的有：。
a2 2 ....... …(2)函数y (a 2)x 是反比例函数,则a的值是( )A.—1B. — 2C. 2D.2 或—21 .................(3)若函数y 七彳勤是常数)是反比例函数，则m=,解析式为 .xk(4)反比例函数y — (k 0)的图象经过(一2, 5)和(J2 , n),x求1) n的值；2)判断点B ( 4J2 , 短)是否在这个函数图象上，并说明理由(二)反比例函数的图象和性质：知识要点：1、形状：图象是双曲线。
2、位置：(1)当k>0时双曲线分另位于第象限内；(2)当k<0时，双曲线分另位于第象限I 3、增减性：(1)当k>0 时,,y 随x的增大而 ;(2)当k<0时,,y随x的增大而。
4、变化趋势：双曲线无限接近于x、y轴，但永远不会与坐标轴相交5、对称性：(1)对于双曲线本身来说，它的两个分支关于直角坐标系原点; (2)对于k取互为相反数的两个反比例函数(如：y = 6和丫= ―)来说，它们是关于x轴，y轴。
x x例题讲解：反比例函数的图象和性质：(1)写出一个反比例函数，使它的图象经过第二、四象限m2 2⑵若反比例函数v (2m 1)x的图象在第二、四象限，则m的值是( )A—1或1； B、小于-的任意实数；C、一1; D、不能确定2(3)下列函数中，当x 0时，y随x的增大而增大的是( )1 一一4 _ 1A y 3x 4B y - x 2 C. y - D. y ——.3 x 2x2 ____ ,. 一 . 一(4)已知反比例函数y ——的图象上有两点A ( x1，y1)，B ( x2, y2),且x1 x2,则y i y 的值是（）A.正数B.负数C.非正数D.不能确定2 .（5）右点（x i, y 1）、（X 2, y 2）和（X 3,y 3）分别在反比例函数 y —的图象上，且X iX 2 0 X 3,x则下列判断中正确的是（）A . y i y y 3B . y 3 y i y 2C . y 2 y 3 y iD . y 3 y y ik 1 ................... 一 ...（6）在反比例函数 y --- 的图象上有两点（x1，y 1）和（x 2, y 2）,右x 10 x 2时，y i y 2 ,则k 的x取值范围是.（7）老师给出一个函数，甲、乙、丙三位同学分别指出了这个函数的一个性质：甲：函数的图象经过第二象限；乙:函数的图象经过第四象限；丙:在每个象限内，y 随x 的增大而增大.请你根据他们的叙述构造满足上述性质的一个函数 ：.（三）反比例函数与面积结合题型。
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第一章小结与复习
教学目标
1．掌握反比例函数的概念和性质，体会反比例函数与图形的联系.
2．通过对实际问题中数量关系得探索，掌握用函数的思想去研究其变化规律.
3．让学生参与知识的发现和形成过程，强化数学的应用与建模意识，提高分析问题和解决问题的能力.
重点难点
重点：反比例函数的图像和性质在实际问题中的运用.
难点：运用函数的性质和图像解综合题，要善于识别图形，勤于思考，获取有用的信息，灵活的运用数学思想方法.
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教学设计
一．复习导学
阅读教材P2-15的内容回答下列问题：
1. 一般地，形如（）的函数称为反比例函数.（其中，自变量x的取值范围为）反比例函数解析式还可以表示为和 .
2. 填表：
3. 利用反比例函数的知识解决实际问题，首先列出 ，利用 法求出解析式，再根据解析式解得.
^
引导学生复习第一章反比例函数的内容，进一步加强学生对基础知识的掌握程度.
二．探究展示
（一）合作探究
1. 下列函数：①31-=xy ； ②x y -=5； ③x y 52-=； ④)0(2≠=a a x
a y 为常数且；
2.已知反比例函数的图象经过点A （-6，-3）.
（1）求这个函数的解析式；
…
（3）这个函数的图象位于哪些象限函数值y 随自变量x 的增大如何变化
小组讨论，教师引导得出：（1）题用待定系数法求函数解析式；（2）把点的坐标对应的一组函数值代入函数解析式中即可知道该点是否在函数图象上；（3）根据K 值得正负即可知道函数图象的性质.
（二）展示提升
1. 已知物体的质量m （kg ）、密度ρ（kg/m 3）与体积V （m 3）满足关系式：m=ρV
（1）当质量m 一定时，物体的体积V 与它的密度ρ之间有怎样的函数关系
（2）质量均为1kg 的铁块与泡沫块，哪个体积大为什么（铁的密度大于泡沫的密度）
设计意图：让学生进一步体验反比例函数是有效地描述世界的重要手段，更进一步激励学生学习数学的欲望.
]
学生分小组活动，在小组内交流收获，然后由小组代表在全班交流展示.
三．知识梳理 本节课有什么收获
1.回顾本章内容，理清本章知识结构，加深对本章学习内容的理解.
2.通过思考与交流，让学生在梳理的过程中提高自己的归纳、概括的能力.
四．当堂检测
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1. 反比例函数x
Y 2-=的图象是 ，分布在第 象限，在每个象限内， y 都随x 的增大而 ；若 p1 (x1 , y1)、p2 (x2 , y2) 都在第二象限且x1<x2 , 则y 1 y 2.
2. 若A （a 1，b 1），B （a 2，b 2）是反比例函数x y 2-
=图象上的两个点，且a 1＜a 2，则b 1与b 2的大小关系是（ ）
A ．b 1＜b 2
B ．b 1 = b 2
C ．b 1＞b 2
D ．大小不确定 3．若函数132)1(+++=m m x m y 是反比例函数，则m 的值为 .
4. 某汽车的功率P 为一定值，汽车行驶时的速度v （米／秒）与
它所受的牵引力F （牛）
之间的函数关系如图所示：
（1）这辆汽车的功率是多少请写出这一函数的表达式；
（2）当它所受牵引力为1200牛时，汽车的速度为多少千米／时
》
五．教学反思
本节课旨在让学生通过思考与交流，梳理本章所学知识，加深对本章学习内容的理解，形成知识体系.同时，让学生在梳理的过程中提高自己的归纳、概括能力.教师在教学中要经常培养学生练习生活实际、运用数学知识解决问题的意识和能力.知识只有运用才能被学生真正掌握，也只有在实践运用中才能体现其价值.。