3．幂函数的性质
从上图可以观察到幂函数的特征如下：
x
y =
2x y =
3
x y =
2
1
x y =
1-=x y
定义域 R R R ),0[+∞ }0,|{≠∈x x x R
值域 R
),0[+∞
R
),0[+∞
}
0,|{≠∈y y y R 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇
单调性 增 ),0[+∞∈x 时，增 增 增 ),0(+∞∈x 时，减 ]0,(-∞∈x 时，
减 )0,(-∞∈x 时，减
定点
(1,1) (0,0)
(1,1) (0,0)
(1,1) (0,0)
(1,1) (0,0)
(1,1)
函 数 特
征 性
质
结合以上特征得幂函数的性质如下：
（1）所有的幂函数在),0(+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)；
（2）如果0>α，则幂函数的图象过原点，并且在区间),0[+∞上为增函数； （3）如果0<α，则幂函数的图象在区间),0(+∞上是减函数，在第一象限内，当x 从右边趋向于原点时，图象在y 轴右方无限地逼近y 轴，当x 趋向于∞+时，图象在x 轴上方无限地逼近x 轴；
（4）当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶函数，幂函数为偶函数。 4．求幂函数的定义域、值域
幂函数的定义域要根据解析式来确定，要保证解析式有意义，值域要在定义域范围内求解。
5．幂函数的单调性和奇偶性
幂函数的单调性与奇偶性与一般函数的单调性和奇偶性相同，在证明或判断时，主要应用定义法判断，有时也用幂函数的性质加以判断。
6．比较大小
比较大小问题一般是利用函数的单调性，当不便利用单调性时，可与0和1去比较，这种方法叫“搭桥”法。 二、经典例题
1.如图，幂函数a x y =在第一象限内的图象，已知a 取2
1
,2±
±四个值，则相应于曲线4321,,,C C C C 的a 依次为（ ）
A ．2,2
1,21,2-- B ．2,21,21,2--
C ．2
1,
2,2,21-- D ．2
1,2,21,2--
2.如图所示是函数),(且互质+∈=
N n m x y n
m 的图象，则（ ）
A ．n m ,是奇数，且
1m
B ．m 是偶数，n 是奇数，且1>n m
C ．m 是偶数，n 是奇数，且1D ．n 是偶数，m 是奇数，且.1>n
m
3.函数)1()
24(24
12
+-++++=-mx x m x mx y 的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围
是（ ）
A ．)2,15(-
B ．),15(+∞-
C ．)2,2(-
D ．)51,51(+---
4．如图所示，幂函数αx y =在第一象限的图象，比较0,4321,,,αααα,1的大小（ ）
.
A ．102431<<<<<αααα
B ．104321><<<<αααα
C ．134210αααα<<<<<
D ．142310αααα<<<<< 5．1
1
+-
=x y 的图象是（ ）
6．函数3
222)1(----=m m
x m m y 是幂函数，且),0(+∞∈x 时为减函数，则实数m 的值为（ ）
A ．1-=m 或2
B ．2
5
1±=
m C ．2=m D ．1-=m
7．给出下列说法：
①函数3x y =的图象关于原点成中心对称； ②函数4x y =的图象关于y 轴成轴对称； ③函数1-=x y 在),(+∞-∞上是减函数. 其中正确说法的个数是（ ） A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
8．函数3
4
x y =的图象是
（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
9．函数3
x y =和3
1x y =图象满足
（ ）
A ．关于原点对称
B ．关于x 轴对称
C ．关于y 轴对称
D ．关于直线x y =对称 10． 函数R x x x y ∈=|,|，满足
（ ）
A ．是奇函数又是减函数
B ．是偶函数又是增函数
