高三数学中档题训练
高三数学简答题中档题练习1(带答案)
高三数学中档题练习（一）
1．在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，C＝2A，
3 cos
4
A=，
（1）求cos C , cos B的值；（2）若
27
2
BA BC
⋅=，求边AC的长。
2．某次演唱比赛，需要加试综合素质，每位参赛选手需加答3个问题，组委会为每位选手都备有10道不同的题目可供选择，其中有6道艺术类题目，2道文学类题目，2道体育类题目，测试时，每位选手从给定的10道题中不放回地随机抽取3次，每次抽取一道题，回答完该题后，再抽取下一道题目作答。
（1）求某选手在3次抽取中，只有第一次抽到的是艺术类题目的概率；（2）求某选手抽到体育类题目数ξ的分布列和数学期望Eξ. 3．如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长都等于2，D在AC1
上，F为BB1中点，且FD⊥AC1。
（1）试求
1
AD
DC
的值；（2）求二面角F－AC1－C的大小；
（3）求点C1到平面AFC的距离.
4．数列{a n}的前n项和为S n，且*
11
15
2,2()
33
n n
a a a n n N
+
==++∈（1）若一等差数列{b n}恰使
数列{
n n
a b
+}是以
3
1
为公比的等比数列，求通项b n；（2）求通项a n及
2
lim n
n
S
n
→∞。
参考答案（一）。
2013—2014学年高三数学(苏教版)考前小练习：中档题训练
高三数学中档题训练一1．已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线， 则“α⊥β”是“m ⊥β” 的 ___ ____ 条件．（填“充分不必要”、 “必要不充分”、“充要”或“既不充分也不必要”）2．设函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，+∞)上单调递增，则满足不等式 f (1)＜f (lg(2x ))的x 的取值范围是 ______ ．3．在△ABC 中，已知∠BAC ＝90°，AB ＝6，若D 点在斜边BC 上，CD ＝2DB ，则AB →·AD →的值为 ______ ．4．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）上的点，以M 为圆心的圆与x 轴相切于椭圆的焦点F ，圆M 与y 轴相交于P ，Q 两点．若△PQM 是钝角三角形，则该椭圆离心率的取值范围是 ________ ．5．对于定义域内的任意实数x ，函数f (x )＝x 2+(a －1)x －2a +22x 2+ax －2a的值恒为正数，则实数a 的取值范围是 _______ ．6．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2b －3c 3a＝cos C cos A ． （1）求角A 的值；（2）若角6B π=，BC 边上的中线AM ABC ∆的面积．7．某商场为促销要准备一些正三棱锥形状的装饰品，用半径为10cm 的圆形包装纸包装．要求如下：正三棱锥的底面中心与包装纸的圆心重合，包装纸不能裁剪，沿底边向上翻折，其边缘恰好达到三棱锥的顶点，如图所示．设正三棱锥的底面边长为x cm ，体积为Vcm 3．在所有能用这种包装纸包装的正三棱锥装饰品中，V 的最大值是多少？并求此时x 的值．高三中档题训练二1. 若关于x 的不等式2230x x a -+<的解集为(),1m ，则实数m =．2. 已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且6AB BC ==，则棱锥O ABCD -的体积为 ．3. 已知锐角A ，B 满足)tan(tan 2B A A +=,则B tan 的最大值为 ．4. 已知双曲线:C 22221(0,0)x y a b a b-=>>的渐近线与圆22(2)1x y -+=相交，则双曲 线C 离心率的取值范围是 ．5. 设函数)102)(36sin(2)(<<-+=x x x f ππ的图像与x 轴交于点A ，过点A 的直线l 与函数()f x 的图像交于另外两点B 、C .O 是坐标原点，则()OB OC OA +u u u r u u u r u u r g = ．6.已知,(0,)2αβπ∈，且7sin(2)sin 5αβα+=． （1）求证：tan()6tan αββ+=； （2）若tan 3tan αβ=，求α的值．7．在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1（a ＞b ＞0）的离心率为32，两个顶点分别为A 1(－2，0)，A 2(2，0)．过点D (1，0)的直线交椭圆于M ，N 两点，直线A 1M 与NA 2的交点为G ．（1）求实数a ，b 的值；（2）当直线MN 的斜率为1时，若椭圆上恰有两个点P 1，P 2使得△P 1MN 和△P 2MN 的面积为S ，求S 的取值范围；。
高中数学中档题1,4
高三数学中档题训练(一)1、已知向量OA=3i-4j，OB=6i-3j，OC=(5-m)I-(3+m)j，其中i、j分别是直角坐标系内x轴与y轴正方向上的单位向量.①若A、B、C能构成三角形，求实数m应满足的条件；②若△ABC为直角三角形，且∠A为直角，求实数m的值.2、已知数列{a n}的前n项之和为S n，且S n=a(a n-1)(a≠0，a≠1，n∈N n)(1)求数列{a n}的通项公式；(2)数列{b n}=2n+b(b是常数)，且a1=b1，a2>b2，求a的取值范围.3、如图，在三棱锥P-ABC 中，PA ⊥底面ABC ，△ABC 为正三角形，D 、E 分别是BC 、CA 的中点.(1)证明：平面PBE ⊥平面PAC ； (2)如何在BC 上找一点F ，使AD//平面PEF ？并说明理由； (3)若PA=AB=2，对于(2)中的点F ，求三棱锥B-PEF 的体积.4、某种细菌两小时分裂一次，(每一个细菌分裂成两个，分裂所需的时间忽略不计)，研究开始时有两个细菌，在研究过程中不断进行分裂，细菌总数y 是研究时间t 的函数，记作y=f(t)(1)写出函数y=f(t)的定义域和值域；(2)在所给坐标系中画出y=f(t)；(0≤t<6)的图象；(3)写出研究进行到n 小时(n ≤0，n ∈Z)时细菌的总数有多少个(用关于n 的式子表示).答案在第9页A B D CFP高三数学中档题训练(二)1、求函数x x x f 4131)(3-=的单调区间，并求f(sinx)的最大值.2、数列{a n }共有k 项(k 为定值)，它的前n 项和S n =2n 2+n(1≤n ≤k ，n ∈N)，现从k 项中抽取一项(不抽首项、末项)，余下的k-1项的平均值是79.(1)求数列{a n }的通项.(2)求出k 的值并指出抽取的第几项.3、若一个三棱锥的三个侧面中有两个是等腰直角三角形，另一个是边长为1的正三角形，试求所有的满足上述条件的三棱锥的体积.4、某服装公司生产的衬衫，若每件定价80元，则在某市年销售量为8万件. 若该服装公司在该市设立代理商来销售该衬衫，代理商要收取代销费，代销费是销售额的p%(即每销售100元时收取p 元). 为此，该衬衫每件的价格要提高到%180p 元，而每年销售量将减少0.62p 万件.(1)设该衬衫每年销售额为y 元，试写y 与p 的函数关系式，并指出这个函数的定义域； (2)若代理商对衬衫每年收取的代理费不小于16万元，求p 的取值范围.高三数学中档题训练(三)1、已知：A 、B 是△ABC 的两个内角，j BA i b A m 2sin 252cos ++-=，其中i 、j 为互相垂地的单位向量. 若|m |=423，试求tanA ·tanB 的值.2、如图，直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中，AB=AC=4,∠BAC=90°，侧面ABB 1A 1为正方形，D 为正方形ABB 1A 1的中心，E 为BC 的中点.(1)求证：平面DB 1E ⊥平面BCC 1B 1； (2)求异面直线A 1B 与B 1E 所成的角.1A 1C BA C D1B E3、某银行准备新设一种定期存款业务，经预测，存款量与利率的平方成正比，比例系数为K(K>0)，货款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放货出去.(1)若存款的利率为x ，x ∈(0，0.048)，试写出存款量g(x)及银行应支付给储户的利息(x)；(2)存款利率定为多少时，银行可获得最大收益？4、已知函数f(x)=nxx a x a a n 2210a …++++(n ∈N n)，且y=f(x)的图象经过点(1，n 2)，数列{a n }(n ∈N +)为等差数列.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为奇函数时，设g(x)=)]()([21x f x f --,是否存在自然数m 和M ，使不等式m<g(21)<M 恒成立，若存在，求出M-m 的最小值；若不存在，说明理由.高三数学中档题训练(四)1、已知函数)R (2sin 3cos 2)(2∈++=a a x x x f ．（1）若x ∈R ，求f （x ）的单调递增区间；（2）若x ∈[0，2π]时，f （x ）的最大值为4，求a 的值，并指出这时x 的值．2、设两个向量1e 、2e ，满足|1e |＝2，|2e |＝1，1e 、2e 的夹角为60°，若向量2172e te +与向量21te e +的夹角为钝角，求实数t 的取值范围．3、如图，平面VAD ⊥平面ABCD ，△VAD 是等边三角形，ABCD 是矩形，AB ∶AD ＝2∶1，F 是AB 的中点．（1）求VC 与平面ABCD 所成的角；（2）求二面角V -FC -B 的度数；（3）当V 到平面ABCD 的距离是3时，求B 到平面VFC 的距离．4、已知数列{n a }中531=a ，112--=n n a a （n ≥2，+∈N n ），数列}{n b ，满足11-=n n a b（1）求证数列{n b }是等差数列；（2）求数列{n a }中的最大项与最小项，并说明理由； （3）记++=21b b S n …n b +，求1)1(+-n nS b n高三数学中档题训练(一)答案1、①当m ≠21时，A 、B 、C 三点能构成三角形； ②当m=47时，三角形ABC 为直角三角形，且∠A=90°.2、(1)n n a a a )1(-= (2))2,1()1,21(⋃3、(1) ∵PA ⊥底面ABC ，∴PA ⊥BE又∵△ABC 是正三角形，且E 为AC 的中点，∴BE ⊥CA又PA A CA =⋂，∴BE ⊥平面PAC ∵BE ⊂平面PBE ，∴平面PBE ⊥平面PAC. (2)取CD 的中点F ，则点F 即为所求. ∵E 、F 分别为CA 、CD 的中点，∴EF//AD 又EF ⊂平面PEF ，AD ⊄平面PEF ，∴AD//平面PEF. (3)43 4、 (1)函数y=f(t)的定义域为[0，+∞)；值域为{y|y=2n，n ∈N *} (2)(3)y=⎪⎩⎪⎨⎧⋅⋅-为奇数时当为偶数当n n n,22n ,22212 高三数学中档题训练(二)答案1、f(sinx)有最大值121. 2、(1)a n =4n-1(1≤n ≤k) (2)抽取的是第20项. 3、1 2 3 4 5 6x12 3 4 5 6 78y4、解：(1))31400p (0 )62.08(%180<<--=p p y(2)16100)6.08(%180≥⨯--pp p 10311000100411.32≤≤∴≤+-∴p p p高三数学中档题训练(二)答案1、91 2、(1)证明：延长B 1D 至A ，连结AE∵三棱柱为直三棱柱，∴平面BCC 1B 1⊥平面ABC 又△ABC 中AB=AC ，E 为AB 中点 ∴AE ⊥BC ∴AE ⊥平面BCC 1B 1又∵AC ⊂平面B 1DE ∴平面B 1DE ⊥平面BCC 1B 1 (2)63 3、(1)由题意，存款量g(x)=Kx 2，银行应支付的利息h(x)=x ·g(x)=Kx 36(2)存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益4、(1)据题意：f(1)=n 2 即a 0+a 1+a 2+……+a n =n 2令n=1 则a 0+a 1=1，a 1=1-a 0 令n=2 则a 0+a 1+a 2=22，a 2=4-(a 0+a 1)=4-1=3令n=3 则a 0+a 1+a 2+a 3=32，a 3=9-(a 0+a 1+a 2)=9-4=5 ∵{a n }为等差数列 ∴d=a 3-a 2=5-3=2 a 1=3-2=1 a 0=0 a n =1+(n-1)·2=2n-1(2)由(1)f(x)=a 1x 1+a 2x 2+a 3x 3+…+a n x nn 为奇数时，f(-x)=-a 1x 1+a 2x 2-a 3x 3+…+a n-1x n-1-a n x ng(x)=n n n n x a x a x a x a x a x f x f +++++=----22553311)]()([21n n n n g )21)(12()21)(52()21(9)21(5211)21(253-+-++⋅+⋅+⋅=-2753)21)(12()21)(52()21(9)21(5)21(1)21(41+-+-++⋅+⋅+⋅=n n n n g相减得 253)21)(12(])21()21()21[(4211)21(43+--++++⋅=n n n g∴n n n g )21(32)21(913914)21(+-= 令n n n C )21(32= ∵*1N n ,021)21(32∈≤-⋅⋅=-+n C C n n n ∴C n+1≤C n ，C n 随n 增大而减小 又n )21(913⋅随n 增大而减小 ∴g(21)为n 的增函数，当n=1时，g(21)=21 而914)21(32)21(913914<-⋅-n n n 914)21(21<≤∴g ∴使m<g(21)<M 恒成立的自然m 的最大值为0，M 最小值为2. M-m 的最小值为2.高三数学中档题训练(三)答案解析：1、（1）a x a x x x f +++=+++=1)6π2sin(212cos 2sin 3)(． 解不等式2ππ26π22ππ2+≤+≤-k x k ． 得)Z (6ππ3ππ∈+≤≤-k k x k∴ f （x ）的单调增区间为3ππ[-k ，)Z ](6ππ∈+k k ．（2）∵ 0[∈x ，2π]， ∴ 6π76π26π≤+≤x ．∴ 当2π6π2=+x 即6π=x 时，a x f +=3)(max ． ∵ 3＋a ＝4，∴ a ＝1，此时6π=x ． 2、解析：由已知得421=e ，122=e ，160cos 1221=⨯⨯=⋅ e e ．∴ 71527)72(2)()72(222212212121++=+++=++⋅t t te e e t te te e e te ． 欲使夹角为钝角，需071522<++t t ． 得 217-<<-t ． 设)0)((722121<+=+λte e i e te ． ∴ ⎩⎨⎧==λλt t 72，∴ 722=t ．∴ 214-=t ，此时14-=λ． 即214-=t 时，向量2172e te +与21te e +的夹角为π ． ∴ 夹角为钝角时，t 的取值范围是（-7，214-） （214-，21-）． 3、解析：（甲）取AD 的中点G ，连结VG ，CG ．（1）∵ △ADV 为正三角形，∴ VG ⊥AD ．又平面VAD ⊥平面ABCD ．AD 为交线，∴ VG ⊥平面ABCD ，则∠VCG 为CV 与平面ABCD所成的角．设AD ＝a ，则a VG 23=，a DC 2=． 在Rt △GDC 中， a a a GD DC GC 23422222=+=+=． 在Rt △VGC 中，33tan ==∠GC VG VCG ． ∴ 30=∠VCG ． 即VC 与平面ABCD 成30°．（2）连结GF ，则a AF AG GF 2322=+=． 而 a BC FB FC 2622=+=． 在△GFC 中，222FC GF GC +=． ∴ GF ⊥FC ．连结VF ，由VG ⊥平面ABCD 知VF ⊥FC ，则∠VFG 即为二面角V -FC -D 的平面角． 在Rt △VFG 中，a GF VG 23==． ∴ ∠VFG ＝45°． 二面角V -FC -B 的度数为135°．（3）设B 到平面VFC 的距离为h ，当V 到平面ABCD 的距离是3时，即VG ＝3． 此时32==BC AD ，6=FB ，23=FC ，23=VF ． ∴ 921==⋅∆FC VF S VFC ， 2321==⋅∆BC FB S BFC ． ∵ VCF B FCB V V V --=， ∴ VFC FBC S h S VG ∆∆⋅⋅⋅⋅=3131． ∴ 93123331⋅⋅=⨯⨯h ． ∴ 2=h 即B 到面VCF 的距离为2解析：（1）4、4、 4、1112111111-=--=-=---n n n n n a a a a b ， 而 1111-=--n n a b ， ∴ 11111111=-=-=-----n n n n n a a a b b ．)(+∈N n ∴ {n b }是首项为251111-=-=a b ，公差为1的等差数列． （2）依题意有n n b a 11=-，而5.31)1(25-=-+-=⋅n n b n ， ∴ 5.311-=-n a n ． 对于函数5.31-=x y ，在x ＞3.5时，y ＞0，0<y'，在（3.5，∞+）上为减函数． 故当n ＝4时，5.311-+=n a n 取最大值3 而函数5.31-=x y 在x ＜3.5时，y ＜0，0)5.3(12<--=x y'，在（∞-，3.5）上也为减函数．故当n ＝3时，取最小值，3a ＝-1． （3）2)5)(1(2)25225)(1(1-+=-+-+=+n n n n S n ，5.3-=n b n ，∴ ∞→+∞→=-+--=-n n n n n n n n S b n 2)5)(1()5.3)(1(2lim )1(lim 1．。
2015届高三理科数学二轮复习中档题压轴题训练10份
高考中档题训练(一)1.(2014嘉兴二模)在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,且=.(1)若C=π,求角B的大小;(2)若b=2,≤C<,求△ABC面积的最小值.解:(1)由正弦定理,得==,则sin B=sin 2C=sin π=.故B=(B=舍去).(2)由(1)中sin B=sin 2C,可得B=2C或B+2C=π.又B=2C时,≤C<,B≥π,即B+C≥π,不符合题意.所以B+2C=π,π-A-C+2C=π,即A=C.设△ABC的边AC上的高为h,则S△ABC=hb=tan C≥,即当C=时,S△ABC的最小值是.2.(2014浙江省“六市六校”联考)已知等差数列{an}的公差不为零,其前n项和为Sn ,若S5=70,且a2,a7,a22成等比数列,(1)求数列{an}的通项公式;(2)设数列{}的前n项和为Tn ,求证:≤Tn<.解:(1)设等差数列公差为d(d≠0), 由题知即解得a1=6,d=4或a1=14,d=0(舍去),所以数列的通项公式为an=4n+2.(2)由(1)得Sn=2n2+4n,则==(-),则Tn=(1-+-+-+…+-+-)=(1+--)=-(+),由(+)>0可知-(+)<,即Tn<,由Tn+1-Tn=(-)>0可知{Tn}是递增数列,则Tn≥T1=,可证得:≤Tn<.3.(2014浙江建人高复模拟)如图,在四棱锥P ABCD中,底面ABCD为直角梯形,AD ∥BC,∠ADC=90°,平面PAD⊥底面ABCD,Q为AD的中点,M是棱PC上的点,PA=PD=2,BC=AD=1,CD=.(1)求证:平面PQB⊥平面PAD;(2)若二面角M BQ C为30°,设=t,试确定t的值.(1)证明:法一∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°,即QB⊥AD.又∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴BQ⊥平面PAD.∵BQ⊂平面PQB,∴平面PQB⊥平面PAD.法二∵AD∥BC,BC=AD,Q为AD的中点,∴四边形BCDQ为平行四边形,∴CD∥BQ.∵∠ADC=90°,∴∠AQB=90°.∵ PA=PD,∴PQ⊥AD.∵PQ∩BQ=Q,∴AD⊥平面PBQ.∵ AD⊂平面PAD,∴平面PQB⊥平面PAD.(2)解:∵PA=PD,Q为AD的中点,∴PQ⊥AD.∵平面PAD⊥平面ABCD,且平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD.如图,以Q为原点建立空间直角坐标系.则平面BQC的一个法向量为n=(0,0,1);Q(0,0,0),P(0,0,),B(0,,0),C(-1,,0). 设M(x,y,z),则=(x,y,z-),=(-1-x,-y,-z),∵=t,∴∴在平面MBQ中,=(0,,0),=(-,,),∴平面MBQ的一个法向量为m=(,0,t).∵二面角M BQ C为30°,∴cos 30°===,∴t=3.高考中档题训练(二)1.(2014嘉兴一模)设数列{an }的前n项和为Sn,4Sn=+2an-3,且a1,a2,a3,a4,…,a11成等比数列,当n≥11时,an>0.(1)求证:当n≥11时,{an}成等差数列;(2)求{an }的前n项和Sn.(1)证明:由4Sn =+2an-3,4Sn+1=+2an+1-3,得4an+1=-+2an+1-2an,(an+1+an)(an+1-an-2)=0,当n≥11时,an >0,所以an+1-an=2,所以当n≥11时,{an}成等差数列.(2)解:由4a1=+2a1-3,得a1=3或a1=-1,又a1,a2,a3,a4,…,a11成等比数列,所以an+1+an=0(n≤10),q=-1,而a11>0,所以a1>0,从而a1=3.当1≤n≤10时,Sn==[1-(-1)n],当n≥11时,a11,a12,…,an成等差数列首项a11=3,公差d=2,于是Sn =S10+a11+…+an==n2-18n+80.所以Sn=2.(2013高考江苏卷)如图,游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C,另一种是先从A沿索道乘缆车到B,然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山,甲沿AC匀速步行,速度为50 m/min.在甲出发2 min后,乙从A乘缆车到B,在B处停留1 min后,再从B匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130 m/min,山路AC长为1260 m,经测量,cos A=,cosC=.(1)求索道AB的长;(2)问:乙出发多少分钟后,乙在缆车上与甲的距离最短?(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟,乙步行的速度应控制在什么范围内?解:(1)在△ABC中,因为cos A=,cos C=,所以sin A=,sin C=.从而sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=³+³=.由正弦定理=,得AB=²sin C=³=1040(m).所以索道AB的长为1040 m.(2)假设乙出发t min后,甲、乙两游客距离为d,此时,甲行走了(100+50t)m,乙距离A处130t m,所以由余弦定理得d2=(100+50t)2+(130t)2-2³130t³(100+50t)³=200(37t2-70t+50).由于0≤t≤,即0≤t≤8,故当t=(min)时,甲、乙两游客距离最短.(3)由正弦定理=,得BC=²sin A=³=500(m).乙从B出发时,甲已走了50³(2+8+1)=550(m),还需走710 m才能到达C.设乙步行的速度为v m/min,由题意得-3≤-≤3,解得≤v≤,所以为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3 min,乙步行的速度应控制在[,](单位:m/min)范围内.3.(2013高考北京卷)如图,在三棱柱ABC A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形,平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5.(1)求证:AA 1⊥平面ABC;(2)求二面角A 1BC 1B 1的余弦值;(3)证明:在线段BC 1上存在点D,使得AD ⊥A 1B.并求的值.(1)证明:因为AA 1C 1C 为正方形, 所以AA 1⊥AC.因为平面ABC ⊥平面AA 1C 1C,且AA 1垂直于这两个平面的交线AC, 所以AA 1⊥平面ABC.(2)解:由(1)知AA 1⊥AC, AA 1⊥AB.由题知AB=3,BC=5,AC=4, 所以AB ⊥AC.如图,以A 为原点建立空间直角坐标系A xyz, 则B(0,3,0),A 1(0,0,4),B 1(0,3,4),C 1(4,0,4). 设平面A 1BC 1的法向量为n=(x,y,z), 则即令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3).同理可得,平面B 1BC 1的一个法向量为m=(3,4,0). 所以cos<n,m>==.由题知二面角A 1BC 1B 1为锐角, 所以二面角A 1BC 1B 1的余弦值为. (3)证明:设D(x 1,y 1,z 1)是线段BC 1上一点, 且=λ.所以(x 1,y 1-3,z 1)=λ(4,-3,4).解得x1=4λ,y1=3-3λ,z1=4λ.所以=(4λ,3-3λ,4λ). 由²=0,得9-25λ=0, 解得λ=.因为∈[0,1],所以在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.此时,=λ=.高考中档题训练(三) 1.已知函数f(x)=4cos xsin(x+)-1.(1)求f(x)的最小正周期;(2)求f(x)在区间[-,]上的最大值和最小值. 解:(1)∵f(x)=4cos xsin(x+)-1=4cos x(sin x+cos x)-1=sin 2x+2cos2x-1=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),∴f(x)的最小正周期为π.(2)∵-≤x≤,∴-≤2x+≤.∴当2x+=时,即x=时,f(x)取得最大值2,当2x+=-,即x=-时,f(x)取得最小值-1.2.围建一个面积为360 m2的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙(利用的旧墙需维修),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口,如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/m,新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位:m),修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位:元).(1)将y表示为x的函数;(2)试确定x,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用.解:(1)如图,设矩形的另一边长为a m,则y=45x+180(x-2)+180²2a=225x+360a-360.由已知xa=360,得a=,∴y=225x+-360(x>0).(2)∵x>0,∴225x+≥2=10800.∴y=225x+-360≥10440.当且仅当225x=时,等号成立.即当x=24 m时,修建围墙的总费用最小.最小总费用是10440元.3.(2014温州期末)如图,四边形ABCD为矩形,∠AEB=,BC⊥平面ABE,BF⊥CE,垂足为F.(1)求证:BF⊥平面AEC;(2)已知AB=2BC=2BE=2,在线段DE上是否存在一点 P,使二面角P AC E为直二面角,如果存在,请确定P点的位置,如果不存在,请说明理由.解:以A为原点,AB为y轴,AD为z轴,建立直角坐标系.则A(0,0,0),B(0,2,0),C(0,2,1),D(0,0,1),E(,,0),F(,,),(1)∵=(,-,),=(0,2,1),=(,,0),∴²=0,²=0,所以BF⊥平面AEC.(2)设=t(0≤t≤1),∴=+t=(0,0,1)+t(,,-1)=(t,t,1-t),设平面APC的法向量为n=(x,y,z),∵=(0,2,1),∴令y=1,则z=-2,x=,而平面AEC的一个法向量是=(,-,),∴²--1=0,解得t=,所以存在点P,且DP=DE.高考中档题训练(四)1.(2014温州一模)在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin B+bcos A=0.(1)求角A的大小;(2)若a=,b=1,求△ABC的面积.解:(1)由asin B+bcos A=0得sin Asin B+sin Bcos A=0,tan A=-1,A=.(2)由=得=,sin B=,B=,sin C=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=³+³=,S △ABC =absin C=³³1³=.2.(2013江西南昌二模)如表所示是一个由正数组成的数表,数表中各行依次成等差数列,各列依次成等比数列,且公比都相等,已知a 1,1=1,a 2,3=6,a 3,2=8.a 1,1 a 1,2 a 1,3 a 1,4 … a 2,1 a 2,2 a 2,3 a 2,4 … a 3,1 a 3,2 a 3,3 a 3,4 … a 4,1 a 4,2 a 4,3 a 4,4 … … … … … … (1)求数列{a n,2}的通项公式; (2)设b n =+(-1)n a 1,n (n ∈N *),求数列{b n }的前n 项和S n .解:(1)设第一行依次组成的等差数列的公差是d,各列依次组成的等比数列的公比是q(q>0),则a 2,3=qa 1,3=q(1+2d)⇒q(1+2d)=6, a 3,2=q 2a 1,2=q 2(1+d)⇒q 2(1+d)=8,解得d=1,q=2,所以a 1,2=2,a n,2=2³2n-1=2n . (2)由(1)得a 1,n =n,所以b n =+(-1)n n,S n =(+++…+)+[-1+2-3+…+(-1)n n],记T n =+++…+,则T n =+++…+,两式相减得,T=+++…+-n=1-,=2-,所以Tn=+2-,所以n为偶数时,Sn=-+2-.n为奇数时,Sn3.(2013高考广东卷)如图①,在等腰直角三角形ABC中,∠A=90°,BC=6,D,E分别是AC,AB上的点,CD=BE=,O为BC的中点.将△ADE沿DE折起,得到如图②所示的四棱锥A′BCDE,其中A′O=.(1)证明:A′O⊥平面BCDE;(2)求二面角A′CD B的平面角的余弦值.解:(1)由题意,易得OC=3,AC=3,AD=2.连接OD,OE.在△OCD中,由余弦定理可得OD==.由翻折不变性可知A′D=2,所以A′O2+OD2=A′D2,所以A′O⊥OD.同理可证A′O⊥OE,又OD∩OE=O,所以A′O⊥平面BCDE.(2)法一(传统法)过O作OH⊥CD交CD的延长线于H,连接A′H,如图.因为A′O⊥平面BCDE,所以A′H⊥CD,所以∠A′HO为二面角A′CD B的平面角.结合OC=3,∠BCD=45°,得OH=,从而A′H==.所以cos∠A′HO==,所以二面角A′CD B的平面角的余弦值为.法二(向量法)以O点为原点,建立空间直角坐标系O xyz,如图所示,则A′(0,0,),C(0,-3,0),D(1,-2,0),所以=(0,3,),=(-1,2,).设n=(x,y,z)为平面A′CD的一个法向量,则即解得令x=1,得n=(1,-1,),即n=(1,-1,)为平面A′CD的一个法向量.由(1)知=(0,0,)为平面CDB的一个法向量,所以cos<n,>===,即二面角A′CD B的平面角的余弦值为.高考中档题训练(五)1.(2014嘉兴一模)已知函数f(x)=2sin(x+)cos x.(1)若x∈[0,],求f(x)的取值范围;(2)设△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知A为锐角,f(A)=,b=2,c=3,求cos (A-B)的值.解:(1)f(x)=(sin x+cos x)cos x=sin xcos x+cos2x=sin 2x+cos 2x+=sin(2x+)+,∵x∈[0,],∴2x+∈[,],-≤sin(2x+)≤1.∴f(x)∈[0,1+].(2)由f(A)=sin(2A+)+=,得sin(2A+)=0,又A为锐角,所以A=,又b=2,c=3,所以a2=4+9-2³2³3³cos =7,a=.由=,得sin B=,又b<a,从而B<A,cos B=.所以,cos (A-B)=cos Acos B+sin Asin B=³+³=.2.如图,长方体物体E在雨中沿面P(面积为S)的垂直方向做匀速移动,速度为v(v>0),雨速沿E移动方向的分速度为c(c∈R).E移动时单位时间内的淋雨量包括两部分:①P或P的平行面(只有一个面淋雨)的淋雨量,假设其值与|v-c|³S成正比,比例系数为;②其他面的淋雨量之和,其值为.记y为E移动过程中的总淋雨量.当移动距离d=100,面积S=时,(1)写出y的表达式;(2)设0<v≤10,0<c≤5,试根据c的不同取值范围,确定移动速度v,使总淋雨量y 最少.解:(1)由题意知,E移动时单位时间内的淋雨量为|v-c|+,故y=(|v-c|+)=(3|v-c|+10).(2)由(1)知,当0<v≤c时,y=(3c-3v+10)=-15;当c<v≤10时,y=(3v-3c+10)=+15.故y=①当0<c≤时,y是关于v的减函数,=20-.故当v=10时,ymin②当<c≤5时,在(0,c]上,y是关于v的减函数,在(c,10]上,y是关于v的增函数.=.故当v=c时,ymin3.(2014杭州外国语学校)在如图所示的几何体中,△ABC是边长为2的正三角形,AE>1,AE⊥平面ABC,平面BCD⊥平面ABC, BD=CD,且BD⊥CD.(1)若AE=2,求证:AC∥平面BDE;(2)若二面角A DE B为60°,求AE的长.(1)证明:分别取BC,BA,BE的中点M,F,P,连接DM,MF,FP,DP,则MF∥AC,FP∥AE,且FP=AE=1,因为BD=CD,BD⊥CD,BC=2,M为BC的中点,所以DM⊥BC,DM=1.又因为平面BCD⊥平面ABC,所以DM⊥平面ABC.又AE⊥平面ABC,所以DM∥AE,所以DM∥FP,且DM=FP,因此四边形DMFP为平行四边形,所以MF∥DP,所以AC∥DP.又AC⊄平面BDE,DP⊂平面BDE,所以AC∥平面BDE.(2)解:法一取BC中点M,过M作MN⊥ED,交ED的延长线于N,连接BN,AM,DM,因为BC⊥AM,BC⊥DM,所以BC⊥平面DMAE,因为ED⊂平面DMAE,所以BC⊥ED.所以ED⊥平面BMN,又BN⊂平面BMN,所以ED⊥BN.所以∠MNB为二面角A ED B的平面角,即∠MNB=60°,在Rt△BMN中,BM=1,则MN=,BN=.在Rt△MND中,DN=.设AE=h+1,则DE=,所以NE=+,又BE=,在Rt△BNE 中,BE2=BN2+NE2,即(h+1)2+22=()2+(+)2,解得h=,所以AE=+1.法二由(1)知DM⊥平面ABC,AM⊥MB,建立如图所示的空间直角坐标系M xyz.设AE=h,则M(0,0,0),B(1,0,0),D(0,0,1),A(0,,0),E(0,,h), =(-1,0,1),=(-1,,h),设平面BDE的法向量n1=(x,y,z),则所以令x=1,所以n1=(1,,1).又平面ADE的法向量n2=(1,0,0),所以cos<n1,n2>===. 解得h=+1, 即AE=+1.高考压轴题训练(一)1.某公司一下属企业从事某种高科技产品的生产.该企业第一年年初有资金2000万元,将其投入生产,到当年年底资金增长了50%.预计以后每年资金年增长率与第一年的相同.公司要求企业从第一年开始,每年年底上缴资金d 万元,并将剩余资金全部投入下一年生产.设第n 年年底企业上缴资金后的剩余资金为a n 万元.(1)用d 表示a 1,a 2,并写出a n+1与a n 的关系式;(2)若公司希望经过m(m ≥3)年使企业的剩余资金为4000万元,试确定企业每年上缴资金d 的值(用m 表示).解:(1)由题意得a 1=2000(1+50%)-d=3000-d, a 2=a 1(1+50%)-d=a 1-d=4500-d.a n+1=a n (1+50%)-d=a n -d.(2)由(1)得a n =a n-1-d=(a n-2-d)-d=()2a n-2-d-d=…=()n-1a 1-d[1++()2+…+()n-2].整理得a n =()n-1(3000-d)-2d[()n-1-1]=()n-1(3000-3d)+2d. 由题意,知a m =4000, 即()m-1(3000-3d)+2d=4000,解得d==.故该企业每年上缴资金d的值为时,经过m(m≥3)年企业的剩余资金为4000万元.2.(2014宁波二模)已知椭圆Γ:+=1(a>b>0)的离心率为,其右焦点F与椭圆Γ的左顶点的距离是3.两条直线l1,l2交于点F,其斜率k1,k2满足k1k2=-.设l1交椭圆Γ于A、C两点,l交椭圆Γ于B、D两点.2(1)求椭圆Γ的方程;的函数表达式,并求四边形ABCD的面积S的最(2)写出线段AC的长|AC|关于k1大值.解:(1)设右焦点F(c,0)(其中c=),依题意=,a+c=3,所以a=2,c=1.所以b==,故椭圆Γ的方程是+=1.(2)由(1)知,F(1,0).将通过焦点F的直线方程y=k(x-1)代入椭圆Γ的方程+=1,可得(3+4k2)x2-8k2x+(4k2-12)=0,其判别式Δ=(8k2)2-16(k2-3)(3+4k2)=144(k2+1).特别地,对于直线l1,若设A(x1,y1),C(x2,y2),则|AC|==|x1-x2|=² ,k 1∈R且k1≠0.又设B(x3,y3),D(x4,y4),由于B、D位于直线l1的异侧,所以k1(x3-1)-y3与k1(x4-1)-y4异号.因此B、D到直线l1的距离之和d=+===²|x3-x4|=².综合可得,四边形ABCD的面积S=|AC|²d=.因为k1k2=-,所以t=+≥2|k1k2|=,于是S=f(t) ==6=6当t∈[,+∞)时,f(t)单调递减,所以当t=,即或时,四边形ABCD的面积取得最大值.高考压轴题训练(二)1.设a为实数,函数f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.(1)若f(0)≥1,求a的取值范围;(2)求f(x)的最小值;(3)设函数h(x)=f(x),x∈(a,+∞),直接写出(不需给出演算步骤)不等式h(x)≥1的解集.解:(1)因为f(0)=-a|-a|≥1,所以-a>0,即a<0.由a2≥1知a≤-1,因此,a的取值范围为(-∞,-1].(2)记f(x)的最小值为g(a),则有f(x)=2x2+(x-a)|x-a|=错误！未找到引用源。
2014年高考数学有答案高三数学中档题2
高三数学中档题21．有3张奖券，其中2张可中奖，现有3个人按顺序依次从中抽一张，小明最后抽，则他抽到中奖券的概率是2．若函数a x x x f +-=3)(3有3个不同 的零点，则实数a 的取值范围是 ，3．已知函数⎩⎨⎧≥-<=)4(),1()4(,2)(x x f x x f x ，那么)5(f = ；4．如图所示的算法流程图中第3个输出的数 是 ；5．若a,b ≤恒成立，则m 的最小值是 ．6．已知函数x x f x2log )31()(-=，正实数a 、b 、c 成公差为正数的等差数列，且满足 0)()()(<c f b f a f ，若实数d 是方程0)(=x f的一个解，那么下列四个判断：①a d <；②b d >；③c d <；④c d >中，有可能成立的个数为7．已知椭圆C 以坐标原点为中心,坐标轴为对称轴,且椭圆C 以抛物线216x y =的焦点为焦点,以双曲线221169y x -=的焦点为顶点,则椭圆C 的标准方程为8．若直线022=+-by ax ),(R b a ∈始终平分圆014222=+-++y x y x 的周长，则ab 的最大值是9．函数)13(log )(222++-=a ax x x f 的定义域为A ，值域为B ； （1）若1∈A ，求a 的范围；（2）若B=R ，求a 的范围；D 1C 1A CBA10．长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别为AB 、A 1C 的中点。
（1）证明：E F ∥平面AA 1D 1D ；（2）当A 1A=AD 时，证明：E F ⊥平面A 1CD 。
11．如图所示，一条直角走廊宽为2米。
现有一转动灵活的 平板车，其平板面为矩形ABEF ，它的宽为1米。
直线EF 分别交直线AC 、BC 于M 、N ，过墙角D 作DP ⊥AC 于P ， DQ ⊥BC 于Q ；⑴若平板车卡在直角走廊内，且∠θ=CAB ，试求平板 面的长l (用θ表示)；⑵若平板车要想顺利通过直角走廊，其长度不能超过多 少米?AB中档题2答案1．32，2、（-2，2），3、8，4、2，5，6、3，7、2，8、0； 9、（1）a >2或a <1；（2）52≥a 或52-≤a11、（1）DM=θsin 2，DN=θcos 2，MF=θcot ，EN=θtan ，l =EF=DM+DN -MF -EN=θsin 2+θcos 2-θcot -θtan =θθθθcos sin 1)cos (sin 2-+ （20πθ≤≤）（2）“平板车要想顺利通过直角走廊”即对任意角θ（20πθ≤≤），平板车的长度不能超过l ，即平板车的长度min l <；记,cos sin t =+θθ 21≤≤t ，有θθcos sin =212-t ，l =θθθθcos sin 1)cos (sin 2-+=1242--t t =)(t f ，此后研究函数)(t f 的最小值，方法很多；如换元（记m t =-24，则42+=m t ）或直接求导，以确定函数)(t f 在]2,1[上的单调性；当2=t 时l 取得最小值224-。
2014高三数学文科中档小题练能力——不丢分(二)
中档小题(二)1．(2013·湖南省五市十校第一次联合检测)下列命题中是假命题的是( ) A ．∃α，β∈R ，使sin(α＋β)＝sin α＋sin βB ．∀φ∈R ，函数f (x )＝sin(2x ＋φ)都不是偶函数C ．∃m ∈R ，使f (x )＝(m －1)·xm 2－4m ＋3是幂函数，且在(0，＋∞)上单调递减D ．∀a >0，函数f (x )＝(ln x )2＋ln x －a 有零点 2．(2013·河北省普通高中教学质量检测)已知平面向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若|a |＝2，|b |＝3，a ·b ＝－6，则x 1＋y 1x 2＋y 2的值为( )A.23 B ．－23 C.56 D ．－56 3．(2013·高考广东卷)垂直于直线y ＝x ＋1且与圆x 2＋y 2＝1相切于第一象限的直线方程是( )A ．x ＋y －2＝0B ．x ＋y ＋1＝0C ．x ＋y －1＝0D ．x ＋y ＋2＝04．(2013·成都市第二次诊断性检测)函数f (x )＝log 2x ＋1x－1的零点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．35．(2013·洛阳市统一考试)已知函数f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1，若f (a )＝23，则f (－a )＝( )A.23 B ．－23 C.43 D ．－436．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )A ．180B ．200C ．220D ．240 7．(2013·高考湖北卷)将函数y ＝3cos x ＋sin x (x ∈R )的图象向左平移m (m ＞0)个单位长度后，所得到的图象关于y 轴对称，则m 的最小值是( )A.π12B.π6C.π3D.5π6 8．(2013·武汉市调研测试)某公司生产甲、乙两种桶装产品．已知生产甲产品1桶需耗A 原料1千克，B 原料2千克；生产乙产品1桶需耗A 原料2千克，B 原料1千克．每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元．公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗A ，B 原料都不超过12千克．通过合理安排生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是( )A ．1 800元B ．2 400元C ．2 800元D ．3 100元9．(2013·河北省普通高中质量监测)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2n －1B ．a n ＝2－13n －1C ．a n ＝12n －1D ．a n ＝13n －210．(2013·安徽省“江南十校”联考)已知抛物线y 2＝2px (p >0)的焦点F 恰好是双曲线x 2a2－y 2b 2＝1(a >0，b >0)的右焦点，且双曲线过点(3a 2p ，2b2p)，则该双曲线的离心率是( ) A ．2 B.104C.132D.264 11．(2013·安徽省“江南十校”联考)定义在R 上的函数f (x )、g (x )满足：对任意的实数x 都有f (x )＝f (|x |)，g (－x )＋g (x )＝0.当x >0时，f ′(x )>0，g ′(x )<0，则当x <0时，有( )A ．f ′(x )<0，g ′(x )<0B ．f ′(x )>0，g ′(x )<0C ．f ′(x )>0，g ′(x )>0D ．f ′(x )<0，g ′(x )>0 12．(2013·湖南省五市十校第一次联合检测)对于函数f (x )和g (x )，其定义域均为[a ，b ]．若对于任意的x ∈[a ，b ]，总有|1－g (x )f (x )|≤110，则称f (x )可被g (x )置换，那么下列给出的函数中能置换f (x )＝x ，x ∈[4,16]的是( )A ．g (x )＝2x ＋6，x ∈[4,16]B ．g (x )＝15(x ＋6)，x ∈[4,16]C ．g (x )＝13(x ＋8)，x ∈[4,16]D ．g (x )＝x 2＋9，x ∈[4,16]13．(2013·广东省惠州市第三次调研考试)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋12a －2，x ≤1a x －a ，x >1，若f (x )在(0，＋∞)上单调递增，则实数a 的取值范围为________．14．(2013·辽宁省五校第一联合体高三年级考试)已知函数f (x )＝kx ＋1，其中实数k 随机选自区间[－2,1]，则对∀x ∈[－1,1]，都有f (x )≥0恒成立的概率是________．15．(2013·武昌区联合考试)执行如图所示的程序框图，输出的S 的值为________．16．(2013·郑州市第一次质量检测)若x ，y 满足条件⎩⎪⎨⎪⎧3x －5y ＋6≥02x ＋3y －15≤0y ≥0，当且仅当x ＝y＝3时，z ＝ax －y 取得最小值，则实数a 的取值范围是________．备选题1．(2013·高考江苏卷)设D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，AD ＝12AB ，BE ＝23BC .若DE →＝λ1AB →＋λ2AC →(λ1，λ2为实数)，则λ1＋λ2的值为________．2．(2013·东北三校第一次联合模拟考试)已知函数f (x )＝ln x1－x，若f (a )＋f (b )＝0，且0<a <b <1，则ab 的取值范围是________．中档小题(二)1．【解析】选B.对于A ，当α＝0时，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立；对于B ，当φ＝π2时，f (x )＝sin(2x ＋φ)＝cos 2x 为偶函数；对于C ，当m ＝2时，f (x )＝(m －1)·x m 2－4m ＋3＝x －1＝1x，满足条件；对于D ，令ln x ＝t ，∀a >0，对于方程t 2＋t －a ＝0，Δ＝1－4(－a )>0，恒有解，故满足条件．2．【解析】选B.由已知得，向量a ＝(x 1，y 1)与b ＝(x 2，y 2)反向，3a ＋2b ＝0，即3(x 1，y 1)＋2(x 2，y 2)＝(0,0)，得x 1＝－23x 2，y 1＝－23y 2，故x 1＋y 1x 2＋y 2＝－23.3．【解析】选A.与直线y ＝x ＋1垂直的直线方程可设为x ＋y ＋b ＝0，由x ＋y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝1相切，可得|b |12＋12＝1，故b ＝±2.因为直线与圆相切于第一象限，故结合图形分析知b ＝－2，故直线方程为x ＋y －2＝0，故选A.4．【解析】选C.可将函数f (x )＝log 2x ＋1x －1的零点的个数看作函数y ＝log 2x 与y ＝－1x＋1的图象的交点个数，作出函数图象可得到交点有2个．5．【解析】选C.根据题意，f (x )＝x 2＋x ＋1x 2＋1＝1＋x x 2＋1，而h (x )＝xx 2＋1是奇函数，故f (－a )＝1＋h (－a )＝1－h (a )＝2－(1＋h (a ))＝2－f (a )＝2－23＝43.6．【解析】选D.由三视图知识知该几何体是底面为等腰梯形的直四棱柱．等腰梯形的上底长为2，下底长为8，高为4，腰长为5，直四棱柱的高为10，所以S 底＝12×(8＋2)×4×2＝40，S 侧＝10×8＋10×2＋2×10×5＝200，S 表＝40＋200＝240.7．【解析】选B.由于y ＝3cos x ＋sin x ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x －π6，向左平移m (m >0)个单位长度后得到函数y ＝2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋m －π6的图象．由于该图象关于y 轴对称，所以m －π6＝k π(k ∈Z ，m >0)，于是m ＝k π＋π6(k ∈Z ，m >0)，故当k ＝0时， m 取得最小值π6.8．【解析】选C.设甲产品，乙产品分别生产x ，y 桶，则线性约束条件为⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋2y ≤120≤2x ＋y ≤12x ，y ∈N，目标函数为z ＝300x ＋400y ，作图可得当x ＝4，y ＝4时 ，z max ＝2 800.9．【解析】选C.由题意得1a n ＋1＝2a n ＋1，则1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)，易知1a 1＋1＝2≠0，所以数列{1a n ＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，则1a n ＋1＝2n ，则a n ＝12n －1.10．【解析】选D.由题意知p 2＝c ，所以p ＝2c ，双曲线过点(3a 22c ，2b22c)，将点的坐标代入双曲线方程，得9a 24c 2－b2c 2＝1，即9a 2－4b 2＝4c 2.又b 2＝c 2－a 2，所以9a 2－4c 2＋4a 2＝4c 2，即13a 2＝8c 2，e ＝c a ＝264.11．【解析】选A.由题意可知，f (x )为偶函数，g (x )为奇函数，由于奇函数在对称区间上具有相同的单调性，偶函数在对称区间上具有相反的单调性．12．【解析】选B.由已知|1－g (x )f (x )|≤110解得，910≤g (x )f (x )≤1110，当g (x )＝15(x ＋6)，x ∈[4,16]时，g (x )f (x )＝x ＋65x ＝15(x ＋6x)，令t ＝x ，t ∈[2,4]，则g (x )f (x )∈[265，1110]，满足条件．13．【解析】由题意，得12＋12a －2≤0，则a ≤2，又a x －a 是增函数，故a >1，所以a的取值范围为1<a ≤2.【答案】(1,2] 14．【解析】f (x )＝kx ＋1过定点(0,1)，当且仅当k ∈[－1,1]时满足f (x )≥0在x ∈[－1,1]上恒成立，而区间[－1,1]、[－2,1]的区间长度分别是2、3，故所求的概率为23.【答案】2315．【解析】S ＝sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin 6×π3＋…＋sin 2 013×π3＝(sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＋sin 4×π3＋sin 5×π3＋sin 6×π3)×335＋sin 1×π3＋sin 2×π3＋sin 3×π3＝ 3.【答案】 3 16．【解析】画出可行域，如图，直线3x －5y ＋6＝0与2x ＋3y －15＝0交于点M (3,3)，由目标函数z ＝ax －y ，得y ＝ax －z ，纵截距为－z ，当z 最小时，－z 最大．欲使纵截距－z最大，则－23<a <35.【答案】(－23，35)备选题1．【解析】由题意DE →＝BE →－BD →＝23BC →－12BA →＝23(AC →－AB →)＋12AB →＝－16AB →＋23AC →，于是λ1＝－16，λ2＝23，故λ1＋λ2＝12.【答案】122．【解析】由题意可知ln a 1－a ＋ln b 1－b ＝0，即ln(a 1－a ×b 1－b )＝0，从而a 1－a ×b1－b＝1，化简得a ＋b ＝1，故ab ＝a (1－a )＝－a 2＋a ＝－(a －12)2＋14，又0<a <b <1，故0<a <12，故0<－(a －12)2＋14<14.【答案】(0，14)。
高考数学二轮复习 中档大题满分练(二)三角函数与解三角形(B组)-人教版高三全册数学试题
中档大题满分练2.三角函数与解三角形(B组)
中档大题集训练,练就慧眼和规X,筑牢高考满分根基!
1.已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且asinA+csinC-bsinB
=asinC.
(1)求角B的大小.
(2)设向量m=(cosA,cos2A),n=(12,-5),边长a=4,当m·n取最大值时,求b的长. 【解析】(1)由题意,asinA+csinC-bsinB=asinC,
所以a2+c2-b2=ac,
所以cos B===,B∈(0,π),所以B=.
(2)因为m·n=12cos A-5cos 2A
=-10+,
所以当cos A=时,m·n取最大值,
此时,sin A=.
由正弦定理得,b=a·= .
2.如图,在平面四边形ABCD中,∠ABC=π,AB⊥AD,AB=1.
(1)若AC=,求△ABC的面积.
(2)若∠ADC=,CD=4,求sin∠CAD.
【解析】(1)在△ABC中,由余弦定理得,
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos∠ABC,
即5=1+BC2+BC,解得BC=或-2(舍去),
所以△ABC的面积S△ABC=AB·BC·sin∠ABC=×1××=.
(2)设∠CAD=θ,在△ACD中,由正弦定理得,=,即=, 所以AC=.
在△ABC中,∠BAC=-θ,∠BCA=θ-,
则=,即=,
即4=sin θ,
整理得sin θ=2cos θ.
又因为sin2θ+cos2θ=1,
解得sin θ=,即sin∠CAD=.。
高三理科数学小题分层练3 中档小题保分练(1)
小题分层练三中档小题保分练1 建议用时：40分钟一、选择题1．角α的终边与单位圆交于点，则cos2α＝B．－D．－2．王老师给班里同学出了两道数学题，她预估做对第一道题的概率为，做对两道题的概率为，则预估做对第二道题的概率是A．．C．．3．2022·永州市三模下列函数中，与函数y＝2－2－的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是A．y＝sinB．y＝3C．y＝D．y＝log24．2022·全国卷Ⅰ直线l经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l的距离为其短轴长的，则该椭圆的离心率为5．2022·济南模拟要得到函数y＝sin的图象，只需将函数y＝sin2的图象A．向左平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向右平移个单位6．某几何体的三视图如图18所示，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是图18A．16＋πB．16＋π＋π＋π7．2022·淮南市一模在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b21－sin A，则A＝8．已知等差数列{a n}一共有9项，前4项和为3，最后3项和为4，则中间一项的值为C．9．直线a＋by－a－b＝0a≠0与圆2＋y2－2＝0的位置关系为A．相离B．相切C．相交或相切D．相交10．若点in＝min＝－e2＋1，选A]13答案：－2解析：[y′＝＝，将＝3代入，得曲线y＝在点3,2处的切线斜率＝－，故与切线垂直的直线的斜率为2，即－a＝2，得a ＝－2]14．答案：解析：[由题意，F10，c，F20，－c，不妨取A点坐标为，∴直线AF1的方程为y－c＝－，即2ac＋b2y－b2c＝0∵直线AF1与圆2＋y2＝相切，∴＝∴b2＝ac，∴e2－e－＝0，∵e>1，∴e＝]15．答案：解析：[由题意得∠BOC＝180°－＝120°，在△OBC中，BC2＝OB2＋OC2－2OB·OC·cos120°，即1＝OB2＋OC2＋OB·OC≥3OB·OC，即OB·OC≤，所以S△OBC＝OB·OC sin120°≤，当OB＝OC时取最大值．]16．答案：，2解析：[由f＋4＝f，即函数f的周期为4，因为当∈[－2,0]时，f＝－6，所以若∈[0,2]，则－∈[－2,0]，则f－＝－6＝3－6因为f是偶函数，所以f－＝3－6＝f，即f＝3－6，∈[0,2]，由f－log a＋2＝0得f＝log a＋2，作出函数f的图象如图所示．当a＞1时，要使方程f－log a＋2＝0恰有3个不同的实数根，则等价于函数f与g＝log a＋2有3个不同的交点，则满足即解得＜a＜2，故a的取值范围是，2．]。
高三数学试卷中档题目
1. 已知函数$f(x)=ax^2+bx+c$（$a\neq 0$）的图象的对称轴为$x=1$，且$f(0)=1$，$f(2)=9$，则下列选项中正确的是（）A. $a=1$，$b=0$，$c=1$B. $a=1$，$b=-2$，$c=1$C. $a=-1$，$b=2$，$c=1$D. $a=-1$，$b=-2$，$c=1$2. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，且$S_3=9$，$S_5=25$，则$a_1$的值为（）A. 1B. 2C. 3D. 43. 已知函数$f(x)=\sqrt{x^2+1}$，则下列选项中正确的是（）A. $f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递减B. $f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递增C. $f(x)$在$(-\infty,0)$上单调递增D. $f(x)$在$(0,+\infty)$上单调递减4. 若$\log_2(3a-2)+\log_2(2a-1)=1$，则实数$a$的值为（）A. $\frac{3}{2}$B. $\frac{5}{2}$C. $\frac{7}{2}$D. $\frac{9}{2}$5. 若$a>0$，$b>0$，则下列选项中正确的是（）A. $\sqrt{a}+\sqrt{b}\geq \sqrt{a+b}$B. $\sqrt{a}+\sqrt{b}\leq \sqrt{a+b}$C. $\sqrt{a}-\sqrt{b}\geq \sqrt{a-b}$D. $\sqrt{a}-\sqrt{b}\leq \sqrt{a-b}$6. 已知函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$，则下列选项中正确的是（）A. $f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递增B. $f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递减C. $f(x)$在$(-\infty,1)$上单调递减D. $f(x)$在$(1,+\infty)$上单调递增7. 已知等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1=2$，$a_4=16$，则$q$的值为（）A. $2$B. $4$C. $\frac{1}{2}$D. $\frac{1}{4}$8. 若$\sin\alpha+\cos\alpha=\frac{\sqrt{2}}{2}$，则$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha$的值为（）A. $\frac{1}{2}$B. $\frac{3}{4}$C. $\frac{5}{4}$D. $\frac{7}{4}$9. 已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(x)$的零点个数为（）A. 1B. 2C. 3D. 410. 若$a>0$，$b>0$，则下列选项中正确的是（）A. $\ln(a+b)\geq \ln a+\ln b$B. $\ln(a+b)\leq \ln a+\ln b$C. $\ln\frac{a}{b}\geq \ln a-\ln b$D. $\ln\frac{a}{b}\leq \ln a-\ln b$二、填空题（本大题共5小题，每小题10分，共50分）11. 已知等差数列$\{a_n\}$的公差为$d$，若$a_1=3$，$a_4=15$，则$a_7$的值为______。
2014年高考数学有答案高三数学中档题10
高三数学中档题101．若22πβαπ<<<-，则βα-的取只范围是2．等差数列{a n } 中，a 3 =2，则该数列的前5项的和为3．设α表示平面，b a ,表示直线，给定下列四个命题：①αα⊥⇒⊥b b a a ,//；②αα⊥⇒⊥b a b a ,//;③αα//,b b a a ⇒⊥⊥;④b a b a //,⇒⊥⊥αα. 其中正确命题的序号为4．已知正方形的边长为2，c AC b BC a AB ===,,+=5．设函数1(0)()0(0)1(0)x f x x x -<⎧⎪==⎨⎪>⎩，则当a b ≠时，()()2a b a b f a b ++-⋅-的值为6．F 1（-1，0）、F 2（1，0）是椭圆的两焦点，过F 1的直线l 交椭圆于M 、N ，若△MF 2N 的周长为8，则椭圆方程为 7．在ABC ∆中，ABC b A ∆=︒=∠,1,60的面积为23，则C B A c b a s i n s i n s i n ++++的值为 ．8．已知焦点在x 轴上的双曲线C 的两条渐近线过坐标原点，且两条渐近线与以点)2,0(A 为圆心，1为半径为圆相切，又知C 的一个焦点与A 关于直线y=x 对称.则双曲线C 的方程为 ； 9．已知函数2())2sin ()()612f x x x x R ππ=-+-∈（I ）求函数()f x 取得最大值的所有x 组成的集合. （II ）求函数()f x 在π,0[]上的单调递增区间。
10．已知数列{}n n a 12-的前n 项和n S n 69-=.（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式; （Ⅱ）设)3log 3(2nn a n b -=,求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1的前n 项和．11．已知函数321()(2)13f x ax bx b x =-+-+在1x x =处取得极大值，在2x x =处取得极小值，且12012x x <<<<．（1）证明0a >；（2）若z =a +2b ,求z 的取值范围。
2014高三数学文科中档小题练能力——不丢分(四)
中档小题(四)1．双曲线x 2a 2－y 2b2＝1(a >0，b >0)的一条渐近线平分圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝1的周长，此双曲线的离心率等于( )A.5 B ．2 C. 3 D. 2 2．(2013·郑州市第二次质量检测)在数列{a n }中，a n ＋1＝ca n (c 为非零常数)，前n 项和为S n ＝3n ＋k ，则实数k 为( )A ．－1B ．0C ．1D ．2 3．(2013·湖南省五市十校第一次联合检测)在斜三角形ABC 中，sin A ＝－2cos B ·cos C ，且tan B ·tan C ＝1－2，则角A 的值为( )A.π4B.π3C.π2D.3π4 4．(2013·高考湖南卷)已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )A.32 B ．1 C.2＋12D. 25．(2013·温州市第一次适应性测试)在△ABC 中，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( )A. 2 B ．2 C. 6 D ．6 6．(2013·福建省质量检测)已知点A (1,2)，B (3,2)，以线段AB 为直径作圆C ，则直线l ：x ＋y －3＝0与圆C 的位置关系是( )A ．相交且过圆心B ．相交但不过圆心C ．相切D ．相离 7．(2013·高考江西卷)阅读如下程序框图，如果输出i ＝5，那么在空白矩形框中应填入的语句为( )A ．S ＝2*i -2 B.S ＝2*i -1 C ．S ＝2*i D.S ＝2*i +4 8．(2013·山西省上学期诊断考试)已知函数f (x )＝M cos(ωx ＋φ)(M >0，ω>0,0<φ<π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC ＝BC ＝22，∠C ＝90°，则f (12)的值为( )A ．－12B.12 C ．－22D.229．(2013·南昌市第一次模拟测试)下列说法中，不正确的是( )A ．点(π8，0)为函数f (x )＝tan(2x ＋π4)的一个对称中心B ．设回归直线方程为y ^＝2－2.5x ，当变量x 增加一个单位时，y 大约减少2.5个单位 C ．命题“在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则△ABC 为等腰三角形”的逆否命题为真命题D ．对于命题p ：“x x －1≥0”，则綈p ：“xx －1<0”10．(2013·辽宁省五校第一联合体考试)函数f (x )＝x 3－bx 2＋1有且仅有两个不同零点，则b 的值为( )A.342 B.322C.3232 D ．不确定 11．(2013·高考重庆卷)已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg 2))＝( )A ．－5B ．－1C ．3D ．412．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)已知椭圆E ：x 2a 2＋y 2b2＝1(a >b >0)的右焦点为F (3,0)，过点F的直线交E 于A ，B 两点．若AB 的中点坐标为(1，－1)，则E 的方程为( )A.x 245＋y 236＝1B.x 236＋y 227＝1C.x 227＋y 218＝1D.x 218＋y 29＝1 13．(2013·北京市东城区统一检测)某种饮料分两次提价，提价方案有两种，方案甲：第一次提价p %，第二次提价q %；方案乙：每次都提价p ＋q2%，若p >q >0，则提价多的方案是________．14．(2013·洛阳市统一考试)将一颗骰子先后投掷两次分别得到点数a 、b ，则直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点的概率为________．15．(2013·安徽省“江南十校”联考)设动点P (x ，y )在区域 Ω：⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0y ≥xx ＋y ≤4上(含边界)，过点P 任意作直线l ，设直线l 与区域Ω的公共部分为线段AB ，则以AB 为直径的圆的面积的最大值为________．16．(2013·大连市双基测试)已知点A (－2，0)，点B (2，0)，且动点P 满足|P A |－|PB |＝2，则动点P 的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点的充要条件为k ∈________.备选题 1．(2013·高考重庆卷)设0≤α≤π，不等式8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，则α的取值范围为 ________.2．(2013·合肥市教学质量检测)下列命题中真命题的编号是________．(填上所有正确的编号)①向量a 与向量b 共线，则存在实数λ使a ＝λb (λ∈R )；②a ，b 为单位向量，其夹角为θ，若|a －b |>1，则π3<0≤π；③A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，若AB →·AC →＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD →＝0，则△BCD 一定是锐角三角形；④向量AB →，AC →，BC →满足|AB →|＝|AC →|＋|BC →|，则|AC →|与|BC →|同向； ⑤若向量a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c .中档小题(四)1．【解析】选A.因为双曲线的渐近线平分圆的周长，所以该渐近线过圆心，即y ＝bax过(1,2)，即b a ＝2，因为e ＝ca ＝a 2＋b 2a ，所以e ＝ 5.2．【解析】选A.依题意得，数列{a n }是等比数列，a 1＝3＋k ，a 2＝S 2－S 1＝6，a 3＝S 3－S 2＝18，则62＝18(3＋k )，由此解得k ＝－1.3．【解析】选A.由题意知，sin A ＝－2cos B ·cos C ＝sin(B ＋C )＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C ，在等式－2·cos B ·cos C ＝sin B ·cos C ＋cos B ·sin C 两边除以cos B ·cos C 得tan B ＋tan C ＝－2，tan (B ＋C )＝tan B ＋tan C 1－tan B tan C ＝－1＝－tan A ，所以角A ＝π4.4．【解析】选D.由于该正方体的俯视图是面积为1的正方形，侧视图是一个面积为2的矩形，因此该几何体的正视图是一个长为2，宽为1的矩形，其面积为 2.5．【解析】选C.∵AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|cos 120°＝－1，即|AB →|·|AC →|＝2，∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6，∴|BC →|min ＝ 6.6．【解析】选B.以线段AB 为直径作圆C ，则圆C 的圆心坐标C (2,2)，半径r ＝12|AB |＝12×(3－1)＝1，点C 到直线l ：x ＋y －3＝0的距离为|2＋2－3|2＝22<1，所以直线与圆相交，并且点C 不在直线l ：x ＋y －3＝0上．7．【解析】选C.当i ＝2时，S ＝2×2＋1＝5<10；当i ＝3时，仍然循环，排除D ；当i ＝4时，S ＝2×4＋1＝9<10；当i ＝5时，不满足S <10，即此时S ≥10，输出i .此时A 项求得S ＝2×5－2＝8，B 项求得S ＝2×5－1＝9，C 项求得S ＝2×5＝10，故只有C 项满足条件．8．【解析】选A.依题意，△ABC 是直角边长为22的等腰直角三角形，因此其边AB 上的高是12，函数f (x )的最小正周期是2，故M ＝12，2πω＝2，ω＝π，f (x )＝12cos(πx ＋φ)．又函数f (x )是奇函数，于是有φ＝k π＋π2，其中k ∈Z .由0<φ<π得φ＝π2，故f (x )＝－12sin πx ，f (12)＝－12sin π2＝－12. 9．【解析】选D.由y ＝tan x 的对称中心为(k π2，0)(k ∈Z )，知A 正确．由回归直线方程知B 正确．在△ABC 中，若sin A ＝sin B ，则A ＝B ，C 正确．10．【解析】选C.f ′(x )＝3x 2－2bx ＝x (3x －2b )，令f ′(x )＝0，则x ＝0，x ＝2b3.当曲线f (x )与x 轴相切时，f (x )有且只有两个不同零点，因为f (0)＝1≠0，所以f (2b 3)＝0，解得b ＝3232.11．【解析】选C.因为log 210与lg 2(即log 102)互为倒数，所以lg(log 210)与lg(lg 2)互为相反数．不妨令lg(log 210)＝x ，则lg(lg 2)＝－x ，而f (x )＋f (－x )＝(ax 3＋b sin x ＋4)＋[a (－x )3＋b sin(－x )＋4]＝8，故f (－x )＝8－f (x )＝8－5＝3，故选C.12．【解析】选D.设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则⎩⎨⎧x 21a 2＋y 21b2＝1， ①x 22a 2＋y22b 2＝1. ②①－②得(x 1＋x 2)(x 1－x 2)a 2＝－(y 1－y 2)(y 1＋y 2)b 2，∴y 1－y 2x 1－x 2＝－b 2(x 1＋x 2)a 2(y 1＋y 2). ∵x 1＋x 2＝2，y 1＋y 2＝－2，∴k AB ＝b 2a2.而k AB ＝0－(－1)3－1＝12，∴b 2a 2＝12，∴a 2＝2b 2， ∴c 2＝a 2－b 2＝b 2＝9， ∴b ＝c ＝3，a ＝32，∴E 的方程为x 218＋y 29＝1.13．【解析】设原价为a ，则方案甲提价后为a (1＋p %)(1＋q %)，方案乙提价后为a (1＋p ＋q 2%)2.由于(1＋p %)(1＋q %)<⎣⎡⎦⎤(1＋p %)＋(1＋q %)22＝(1＋p ＋q 2%)2，故提价多的是方案乙． 【答案】乙 14．【解析】依题意， 将一颗骰子先后投掷两次得到的点数所形成的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，共36种，其中满足直线ax ＋by ＝0与圆(x －2)2＋y 2＝2有公共点，即2aa 2＋b2≤2，a ≤b 的数组(a ，b )有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，…，(6,6)，共1＋2＋3＋4＋5＋6＝21种，因此所求的概率等于2136＝712.【答案】71215．【解析】如图，区域Ω为△MON 及其内部，A 、B 在区域Ω中，则|AB |的最大值为|OM |＝4.所以以AB 为直径的圆的面积的最大值为π·(42)2＝4π.【答案】4π 16．【解析】由已知得动点P 的轨迹为一双曲线的右支且2a ＝2，c ＝2，则b ＝c 2－a 2＝1，∴P 点的轨迹方程为x 2－y 2＝1(x >0)，其一条渐近线方程为y ＝x .若P 点的轨迹与直线y ＝k (x －2)有两个交点，则需k ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．【答案】(－∞，－1)∪(1，＋∞) 备选题 1．【解析】由题意，要使8x 2－(8sin α)x ＋cos 2α≥0对x ∈R 恒成立，需Δ＝64sin 2α－32cos2α≤0，化简得cos 2α≥12.又0≤α≤π，∴0≤2α≤π3或5π3≤2α≤2π，解得0≤α≤π6或5π6≤α≤π.【答案】⎣⎡⎦⎤0，π6∪⎣⎡⎦⎤5π6，π 2．【解析】①不是真命题，当b ＝0时，命题不成立；对于②，|a －b |＝a 2－2a ·b ＋b 2＝1－2cos θ＋1>1，解得cos θ<12，因为向量夹角范围是[0，π]，所以θ∈(π3，π]；对于③，易知，BD >AB ，CD >AC ，所以BD 2＋CD 2>AB 2＋AC 2＝BC 2，所以∠BDC 是锐角，同理可证其余两边所对的角都是锐角，所以△BCD 一定是锐角三角形；④不对，当C 点位于线段AB 上时，满足题设条件，但是两向量是反向的；⑤不对，当b ＝0时，命题就不成立．【答案】②③。
高三数学中档练习题
高三数学中档练习题一、选择题1. 已知集合A={1, 2, 3}，B={3, 4, 5}，则A∪B的结果是：A) {1, 2, 3, 4, 5}B) {1, 2, 3}C) {3, 4, 5}D) {1, 2}选择：_____2. 若函数f(x) = x^2 + 2x + 1，则f(-1)的值为：A) 1B) -1C) 0D) 2选择：_____3. 若log2(8x) = 4，则x的值为：A) 2B) 4C) 8D) 16选择：_____4. 已知三角形ABC，∠ACB = 90°，AB = 5 cm，BC = 12 cm，则AC的长度为：A) 7 cmB) 13 cmC) 17 cmD) 25 cm选择：_____5. 若p(x) = x^3 - 2x^2 + kx + 6，其中k为常数，若p(2) = 4，则k的值为：A) -8B) -6C) -4D) -2选择：_____二、填空题1. 解方程组：2x + 3y = 7x + 2y = 4x = _____, y = _____2. 已知函数f(x) = x^2 + bx + c，若f(1) = 0，f(-1) = 0，则b = _____，c = _____3. 从1、2、3、4、5、6、7、8、9中任选3个数字，不放回地抽取，若抽取的三个数字的和为12，则这三个数字可能是_____、_____、_____三、解答题1. 三角形ABC中，∠ACB = 90°，AB = 8 cm，BC = 15 cm。
求三角形ABC的面积。
解答：2. 已知函数f(x) = 2x^3 + 3x^2 - 4x + 1，求f'(x)。
解答：3. 解方程组：3x - 2y = 72x + 3y = 1解答：四、证明题证明：在任意三角形ABC中，角平分线和边所构成的角的两边比例相等。
证明：五、应用题一块长方形的地皮，长为20米，宽为15米，现需要在长方形的四周围上一圈环形花坛，假设花坛的宽度为1米，求花坛的面积。
2014年高考数学有答案高三数学中档题4
高三数学中档题41．已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1，点M 、N 分别在AB 1，BC 1上，且AM=BN ，那么： ①AA 1⊥MN ；②A 1C 1∥MN ，③MN ∥平面A 1B 1C 1D 1，以上三个结论中，正确的结论的序号 为 ；（填上你认为正确的结论的序号） 2．三角形ABC 中AP 为BC 边上的中线，||AB =3，2-=⋅AP ，则||= ； 3．已知函数()122++=x x x f ，若存在实数t ，当[]m x ,1∈时，()x t x f ≤+恒成立，则实数m的最大值为______________．4．函数xe x x xf )2()(2-=在]2,(-∞上的值域为5．设函数()2x f x x x =⋅+,0A 为坐标原点,n A 为函数()y f x =图像上横坐标为*()n n N ∈的点,向量11n n k k k A A -==∑a ,(1,0)=i ,设n θ为n a 与i 的夹角,则1tan n k k θ=∑= .6．在约束条件⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≤+≤+≥≥4200x y s y x y x 下,当53≤≤s 时，目标函数y x z 23+=的最大值的变化范围是________7．若函数2()lg 22f x x a x =⋅-+在区间(1,2)内有且只有一个零点，那么实数a 的取值范围是 ．8．设有限集合{|,,,}i A x x a i n i n +==≤∈∈+N N ，则1ni i a =∑叫做集合A 的和，记作.A S 若集合{|21,,4}P x x n n n +==-∈≤N ，集合P 的含有3个元素的全体子集分别为12k P P P 、、，则1kpi i S =∑= ．9．有一密闭容器，下端为圆柱形，上端为半球形（如图），设此容器的容积V 固定，问圆柱底半径r 与高h 为何值时， 该容器的表面积S 最小。
10．已知数列{a n }的前n 项为和S n ，点（n ，S n n ）在直线y ＝12 x ＋112上．数列{b n }满足：b n +2－2b n +1＋b n ＝0（n ∈N *），且b 3＝11，前9项和为153． （1）求数列{a n }，{b n }的通项公式；（2）设c n ＝ 3(2a n ―11)(2b n ―1)，数列{c n }的前n 项和为T n ，求使不等式T n ＞k57对一切n ∈N *都成立的最大正整数k 的值；（3）设n ∈N *，f （n ）＝ ⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数．问是否存在m ∈N *，使得f （m ＋15）＝5f （m ）成立？若存在，求出m 的值；若不存在，请说明理由．11．已知椭圆方程是22221(0)x y a b a b+=>>，12,F F 是它的左、右焦点，P 是椭圆上任一点．若12PF PF ⋅的取值范围是[2,3]．（1）求椭圆的方程．（2）设椭圆的左右顶点为A ，B ，l 是椭圆的右准线，P 是椭圆上任意一点，P A 、PB 分别交准线l 于M ，N 两点，求12MF NF ⋅的值．高三数学中档题4答案1．①③，2、5，3、4， 4、[2)12(2-+-e，2)12(2e-]5、0(,2)n n n A A n n n ==⋅+ a ,n θ即为向量0n A A 与x 轴的夹角,所以tan 21nn θ=+,所以211tan (22...2)22nn n k k n n θ+==++++=+-∑；6、[]8,7；7、 8．48 9．353πV h r ==，10、(1)点(n ，S n n )在直线y ＝12x ＋112上，∴S n n ＝12n ＋112，即S n ＝12n 2＋112n ，a n ＝n ＋5．∵b n +2－2b n +1＋b n ＝0(n ∈N *)，∴b n +2－b n +1＝ b n +1－b n ＝…＝ b 2－b 1．∴数列{b n }是等差数列，∵b 3＝11，它的前9项和为153，设公差为d ，则b 1＋2d ＝11，9b 1＋9×82×d ＝153，解得b 1＝5，d ＝3．∴b n ＝3n ＋2．(2)由(1)得，c n ＝ 3(2a n ―11)(2b n ―1)＝ 1(2n ―1)(2n ＋1)＝12(12n ―1－12n ＋1)，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝12(1－13)＋12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(12n ―1－12n ＋1)＝12(1－12n ＋1)．∵T n ＝12(1－12n ＋1)在n ∈N *上是单调递增的，∴T n 的最小值为T 1＝13． ∵不等式T n ＞k 57对一切n ∈N *都成立，∴k 57＜13．∴k ＜19．∴最大正整数k 的值为18．(3) n ∈N *，f (n )＝⎩⎨⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数＝⎩⎨⎧n ＋5，n 为奇数，3n ＋2，n 为偶数．当m 为奇数时，m ＋15为偶数；当m 为偶数时，m ＋15为奇数．若f (m ＋15)＝5f (m )成立，则有3（m ＋15）＋2＝5(m ＋5)(m 为奇数)或m ＋15＋5＝5（3m ＋2）(m 为偶数)．解得m ＝11．所以当m ＝11时，f (m ＋15)＝5f (m )． 11．解：（1）设1(,0),(,0)F c F c -，00(,)P x y ，则22212000000(,)(,)PF PF c x y c x y x y c ⋅=---⋅--=+- ，而2200x y +为椭圆上点P 到椭圆中心O的距离，则222200b x y a +≤≤．∴2222222200b c x y c a c b +--=-≤≤，即23b =，222b c -=，故21c =，24a =．∴所求的椭圆方程为22143x y +=．（2）12(4,),(4,)M y N y AP AM λ=，即010(2)6x y y +=， 同理，BP BN λ= ，即020(2)2x y y -=． ∴220120(4)12x y y y -=，∵00(,)P x y 在椭圆上，则22003(4)4y x =-，代入上式得129y y =-． ∴121212(5,)(3,)151596MF NF y y y y ⋅=--⋅--=+=-=。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高三数学天天练（20）
班级 姓名 日期
1、 已知双曲线22221y x a b
-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，P F 1⋅P F 2 =4ab ，则双曲线的离心率是 .
2、在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅
的取值范围是 .
3、已知函数1
()31
f x x a =
-+．若对x ∀∈Z 都有()(3)f x f ≥，则实数a 的取值范围
是 ．
4、已知(0,)2π
α∈,(,)2πβπ∈,7cos 29β=-,7
sin()9
αβ+=. (Ⅰ) 求cos β的值； (Ⅱ) 求sin α的值.
5、如图，在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且
PA PD AD ==
，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (Ⅰ) 求证：EF ∥平面PAD ； (Ⅱ) 求证：EF ⊥平面PDC .
6、已知等差数列{}n a 满足：158,0a a ==。
数列{}n b 的前n 项和为1
*1
2()2
n n S n N -=-
∈ （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）令2n a n c =，试问：是否存在正整数n ，使不等式1n n n n b c b c +>+成立？若存在，求 出相应n 的值；若不存在，请说明理由。
7、如图，已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +
=>>的长轴AB 长为4，离心率e =O 为坐标原
点，过B 的直线l 与x 轴垂直．P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足， 延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点． （1）求椭圆C 的方程；（2）证明Q 点在以AB 为直径的圆O 上；（3）试判断直线QN 与圆O 的位置关系．
1、[7,16) 3、(]1013， 4、解：（Ⅰ）因为(
,)2
π
βπ∈,cos 0β<…………………………2分
又2
7cos 22cos 19ββ=-=-
,所以1
cos 3
β=-……………6分
（Ⅱ）根据（Ⅰ），得sin β== 8
分
而
3(,)
22
ππ
αβ+∈,且
7sin()9
αβ+=
,所以
42cos()αβ+==分
故
sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+………………………12分
=
711()(93933⨯---⨯=…………………………………… 5、证明：（Ⅰ）连结AC ，则F 是AC 的中点，在△CPA 中，EF ∥PA
且P A ⊂平面P A D ，E F ⊄平面P A D ，∴E F ∥平面P A D
（Ⅱ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA
又，所以△PAD 是等腰直角三角形，且2APD π∠=，即PA ⊥PD
而C D ∩P D =D ，∴ P A ⊥平面P D C ，又E F ∥P A ，所以E F ⊥平面P D C
6、解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 由5114a a d =+，得12d =-，得210n a n =-+．…2分
由数列{}n b 的前n 和为()1122n n S n N -*=-
∈可知，当1n =时，111
2
b S ==， 当2n ≥时，212n n n n b S S --=-=， 22n n b -=当1n =时，得11
2
b =
， 故数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+,{}n b 的通项公式为22n n b -=．………………………6分
（2）假设存在正整数n 使不等式1n n n n b c b c +>+成立，即要满足(1)(1)0n n c b -->, 由10252
24n
a n n n c --===，22n n
b -=，
所以数列{}n c 单调减，数列{}n b 单调增，…………………………8分
①当正整数1,2n =时，2210n --≤，所以1n n n n b c b c +>+不成立；……………10分 ②当正整数34n =,
时，10,10n n c b ->->，所以1n n n n b c b c +>+成立；………………12分 ③当正整数5n ≥时，10,10n n c b ->-≤， 所以1n n n n b c b c +>+不成立. 综上所述，存在正整数34n =,
时，使不等式1n n n n b c b c +>+成立.………………14分
7、解：（1
）由题设可得24,
c a a ==
，解得2,a c ==，所以 1b =所以 椭圆C 的方程为2
214
x y +=． （2）设()00,P x y ，则2
20014
x y +=． 因为 HP PQ =，所以 ()00,2Q x y ．所以
2OQ =．所以 Q 点在以O 为圆心，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上． （3）设()00,P x y ()02x ≠±，则()00,2Q x y ，且2
20014x y +=． 又()2,0A -，所以 直线AQ 的方程为()0
0222
y y x x =++．
令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭．又()2,0B ，N 为MB 的中点，所以 0042,2y N x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
．
所以 ()00,2OQ x y = ，000022,2x y NQ x x ⎛⎫
=- ⎪+⎝
⎭ ．
所以 ()()()()22
00000000000000004242222222
x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -⋅=-+⋅=-+=-+
+++ ()()0000220x x x x =-+-=．
所以 OQ NQ ⊥
．所以 直线QN 与圆O 相切．。