高三数学中档题训练

高三数学天天练（20）
班级 姓名 日期
1、 已知双曲线22221y x a b
-=(0,0)a b >>的左、右焦点分别为F 1、F 2，P 是双曲线上一点，且PF 1⊥PF 2，P F 1⋅P F 2 =4ab ，则双曲线的离心率是 .
2、在周长为16的PMN ∆中，6MN =，则PM PN ⋅
的取值范围是 .
3、已知函数1
()31
f x x a =
-+．若对x ∀∈Z 都有()(3)f x f ≥，则实数a 的取值范围
是 ．
4、已知(0,)2π
α∈,(,)2πβπ∈,7cos 29β=-,7
sin()9
αβ+=. (Ⅰ) 求cos β的值； (Ⅱ) 求sin α的值.
5、如图，在四棱锥P ABCD
-中，底面ABCD 是正方形，侧面PAD ⊥底面ABCD ，且
PA PD AD ==
，若E 、F 分别为PC 、BD 的中点. (Ⅰ) 求证：EF ∥平面PAD ； (Ⅱ) 求证：EF ⊥平面PDC .
6、已知等差数列{}n a 满足：158,0a a ==。

数列{}n b 的前n 项和为1
*1
2()2
n n S n N -=-
∈ （1）求数列{}n a 和{}n b 的通项公式；
（2）令2n a n c =，试问：是否存在正整数n ，使不等式1n n n n b c b c +>+成立？若存在，求 出相应n 的值；若不存在，请说明理由。

7、如图，已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b +
=>>的长轴AB 长为4，离心率e =O 为坐标原
点，过B 的直线l 与x 轴垂直．P 是椭圆上异于A 、B 的任意一点，PH x ⊥轴，H 为垂足， 延长HP 到点Q 使得HP PQ =，连结AQ 延长交直线l 于点M ，N 为MB 的中点． （1）求椭圆C 的方程；（2）证明Q 点在以AB 为直径的圆O 上；（3）试判断直线QN 与圆O 的位置关系．
1、[7,16) 3、(]1013， 4、解：（Ⅰ）因为(
,)2
π
βπ∈,cos 0β<…………………………2分
又2
7cos 22cos 19ββ=-=-
,所以1
cos 3
β=-……………6分
（Ⅱ）根据（Ⅰ），得sin β== 8
分
而
3(,)
22
ππ
αβ+∈,且
7sin()9
αβ+=
,所以
42cos()αβ+==分
故
sin sin[()]sin()cos cos()sin ααββαββαββ=+-=+-+………………………12分
=
711()(93933⨯---⨯=…………………………………… 5、证明：（Ⅰ）连结AC ，则F 是AC 的中点，在△CPA 中，EF ∥PA
且P A ⊂平面P A D ，E F ⊄平面P A D ，∴E F ∥平面P A D
（Ⅱ）因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD=AD ，又CD ⊥AD ，所以CD ⊥平面PAD ，∴CD ⊥PA
又，所以△PAD 是等腰直角三角形，且2APD π∠=，即PA ⊥PD
而C D ∩P D =D ，∴ P A ⊥平面P D C ，又E F ∥P A ，所以E F ⊥平面P D C
6、解：（1）设数列{}n a 的公差为d ， 由5114a a d =+，得12d =-，得210n a n =-+．…2分
由数列{}n b 的前n 和为()1122n n S n N -*=-
∈可知，当1n =时，111
2
b S ==， 当2n ≥时，212n n n n b S S --=-=， 22n n b -=当1n =时，得11
2
b =
， 故数列{}n a 的通项公式为210n a n =-+,{}n b 的通项公式为22n n b -=．………………………6分
（2）假设存在正整数n 使不等式1n n n n b c b c +>+成立，即要满足(1)(1)0n n c b -->, 由10252
24n
a n n n c --===，22n n
b -=，
所以数列{}n c 单调减，数列{}n b 单调增，…………………………8分
①当正整数1,2n =时，2210n --≤，所以1n n n n b c b c +>+不成立；……………10分 ②当正整数34n =,
时，10,10n n c b ->->，所以1n n n n b c b c +>+成立；………………12分 ③当正整数5n ≥时，10,10n n c b ->-≤， 所以1n n n n b c b c +>+不成立. 综上所述，存在正整数34n =,
时，使不等式1n n n n b c b c +>+成立.………………14分
7、解：（1
）由题设可得24,
c a a ==
，解得2,a c ==，所以 1b =所以 椭圆C 的方程为2
214
x y +=． （2）设()00,P x y ，则2
20014
x y +=． 因为 HP PQ =，所以 ()00,2Q x y ．所以
2OQ =．所以 Q 点在以O 为圆心，2为半径的的圆上．即Q 点在以AB 为直径的圆O 上． （3）设()00,P x y ()02x ≠±，则()00,2Q x y ，且2
20014x y +=． 又()2,0A -，所以 直线AQ 的方程为()0
0222
y y x x =++．
令2x =，得0082,2y M x ⎛⎫ ⎪+⎝⎭．又()2,0B ，N 为MB 的中点，所以 0042,2y N x ⎛⎫
⎪+⎝⎭
．
所以 ()00,2OQ x y = ，000022,2x y NQ x x ⎛⎫
=- ⎪+⎝
⎭ ．
所以 ()()()()22
00000000000000004242222222
x x x y x y OQ NQ x x y x x x x x x x -⋅=-+⋅=-+=-+
+++ ()()0000220x x x x =-+-=．
所以 OQ NQ ⊥
．所以 直线QN 与圆O 相切．。