浅谈度量空间资料

度 量 空 间

摘要：度量空间是一类特殊的拓扑空间，并且它是理解拓扑空间的一个重要过

程. 因此，本文通过度量空间的基本概念，力图给出度量空间的一些重要性质. 并且引入一些度量空间的其它性质.

关键词: 度量空间 导集 闭集

正文：度量空间是现代数学中一种基本的、重要的、最接近于欧几里得空间的

抽象空间.19世纪末叶，德国数学家G .康托尔创立了集合论，为各种抽象空间的建立奠定了基础.20世纪初期,法国数学家M.-R.弗雷歇发现许多分析学的成果从更抽象的观点看来,都涉及函数间的距离关系,从而抽象出度量空间的概念.

1.度量空间的定义

度量空间是一类特殊的拓扑空间，它对于拓扑空间的理解起着非常重要的作用.因此，研究度量空间的一些性质是必要的.为了证明这些性质，首先介绍以下定义.

定义1.1 设X 是一个集合，若对于X 中任意两个元素y x ,都有唯一确定的实数()y x p ,与之对应，而且这一对应关系满足下列条件：

(1)正定性 ()0,≥y x p ,并且()y x p ,0=当且仅当y x =； (2)对称性 ()y x p , =()y x p ,；

(3)三角不等式 ()()()z y p y x p z x p ,,,+≤.则称p 是集合X 的一个度量，同时将()p X ,称为度量空间或距离空间. X 中的元素称为点，条件（3）称为三点不等式.

定义1.2 设()p X ,是一个度量空间，∈x X .对于任意给定的实数0>ε,集合(){}ε<∈y x p X y ,，记作()ε,x B ,称为一个以x 为中心，以ε为半径的球形邻域，简称为x 的一个球形邻域.

2 度量空间的一些例子

例2.1 离散的度量空间

设X 是任意的非空集合，对X 中的任意两点()X y x ∈,，令

()⎩⎨

⎧=≠=y

x y

x y x d 当当01, 容易验证()y x d ,满足关于距离的定义中的条件.我们称()d X ,为离散的度量空间.由此可见，在任何非空集合上总可以定义距离.使它成为度量空间.

例2.2 序列空间S

令S 表示实数列（或复数列）的全体，对S 中任意两点() ,,,,21n x εεε=及

() ,,,,21n y ηηη=，令

()i

i i

i i i

y x d ηεηε-+-=∑∞

=121,1， 易知()y x d ,满足距离条件

0),(,0),(=≥y x d y x d 的充要条件为y x =. (2.1)

下验证()y x d ,满足距离条件

),(,d ),(z y d z x y x d +≤）（对任意z 都成立. (2.2)

为此我们首先证明对任意两个复数a 和b ，成立不等式

.111b

b a

a b

a b a ++

+≤

+++

事实上，考察[)∞,0上的函数

()t

t

t f +=

1 由于在[)∞,0上，()()

011

2

'>+=

t t f .所以()t f 在[)∞,0上单调增加，由不等式

b a b a +≤+，我们得到

b

b a

a b

a b b

a a b

a b a b

a b a ++

+≤

+++

++=

+++≤

+++1111.11.

令() ,,,,21n z ξξξ=，,,i i i i b a ηξξε-=-=则i i b a ηε-=+，代入上面不等式，得

i

i i

i i i i i i i i i ηξηξξεξεηεηε-+-+

-+-≤-+-111. 由此立即可知()y x d ,满足距离条件(2.2)，即S 按()y x d ,或一度量空间.

例2.3 有界函数空间()A B

设A 是一给定的集合，令()A B 表示A 上的有界实值（或复值）函数全体，对()A B 中任意两点y x ,，定义

()()()t y t x y x d A

t -=∈sup ,.

下面验证()y x d ,满足条件(2.1)和(2.2).()y x d ,显然是非负的.又()0,=y x d 等价于对一切A t ∈，成立()()t y t x =，所以y x =，即()y x d ,满足(2.1)，此外，对所有的A t ∈成立

()()()()()()()()()()t y t z t z t x t y t z t z t x t y t x A

t A

t -+-≤-+-≤-∈∈sup sup .

所以

()()()()()()t y t z t z t x t y t x A

t A

t A

t -+-≤-∈∈∈sup sup sup .

即()y x d ,满足条件(2.2).特别地，当[]b a A ,=时，记()A B 为[]b a B ..

例2.4 可测函数空间)(X M

设)(X M 为X 上的实值（或复值）的Lebesgue 可测函数全体,m 为Lebesgue 测度，若 ∞<)(X m ，对任意两个可测函数 )(t f 及)(t g ，由于

1)

()(1)()(<-+-t g t f t g t f

所以这是X 上的可积函数，令