北京科技大学,北科,随机过程大作业—马氏链在市场占有率预测和促销决策中的应用_苏维
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实例分析如下 : 为了对重庆市沙坪坝区内各品牌牙膏的市场 占有率进行预测 ,2006 年 7 月底随机选取了区内 500 名消费者进行问卷调查. 其中购买高露洁的 124 人 (24. 8 %) ,佳洁士的 98 人 (19. 6 %) ,两面针 的 67 人 (13. 4 %) ,田七的 52 人 (10. 4 %) ,中华的 47 人 (9. 6 %) ,黑妹的 41 人 (8. 2 %) ,冷酸灵的 32 人 (6. 4 %) , 纳爱斯的 15 人 ( 3 %) , 蓝天的 10 人 (2 %) ,L G竹盐的 9 人 (1. 9 %) ,黑人的 5 人 (1 %) . 将市场占有率较少的纳爱斯 ,蓝天 ,L G 竹盐 , 黑人 4 个品牌归为一类 , 由此得初始分布 S0 =
51
不同品牌商品 , 列表示下一时刻 (t + 1 ) 消费者转
向购买的各种不同品牌商品. 例如 P01 = 0 .2 表示 第1期购买 A 品牌的消费者在第 2 期转向购买 B
品牌的概率为 0 .2 .
5 ) 预测. 第 1 期的市场占有率 :
S1
=Байду номын сангаас
S0
P=
{S
0 1
,S
0 2
,
∗
,S
0 N
}
·
P00 P01 ∗ P0 n
一步转移概率是系统某时刻处于状态 i , 经过 1 次发展演变后 (即下一时刻) , 它处于状态 j 的概 率 (记为 Pij) . 由状态空间中所有状态的一步转移 概率构成的二维矩阵称为一步转移概率矩阵 , 记 为 P = (Pij) .
P00 P01 P02 ∗
P10 P11 P12 ∗ P=
P20 P21 P22 ∗
如果离散参数的马尔可夫链 {X (t) , t ∈T} 还 满足 对 任 意 非 负 整 数 m 都 有 : P { X ( tm +1 ) = j| X (tm) = i} = P { X ( t1 ) = j| X (t0 ) = i} , 则 称 { X (t) ,t ∈T} 为离散参数齐次马尔可夫链 , 简称马 氏链. 以下讨论的都将是离散参数的齐次马尔可 夫链. 1 .2 转移概率矩阵 [3 ] 1 .2 .1 一步转移概率矩阵
K 1
,S
K 2
, ∗ ,SNK}
.
如果该马氏链是不可约且具有遍历性的 ,各
品牌商品的最终市场占有率即为平稳分布
{πk ,k
Ε 0 } , lim S K = K →∞
{π1 π, 2
, ∗π, Ν} .
3 市场占有率预测
运用马尔可夫模型对企业产品在销售市场的 占有率预测时 ,具体有以下 3 个步骤 : ①确定预测 对象出现的各种状态 ; ②做详尽的市场调查 ,获得 真实可靠的数据 ,通过获得的数据建立转移概率 矩阵 ; ③通过计算 ,预测产品在未来的市场占有 率.
Abstract : This paper introduces the basic principle of Markov chain , and predicts the market occupation rate for the selling process of toothpaste products by using Markov model . By providing scientific and rea2 sonable promotion strategy , this paper tries to help enterprises achieve the objective of the maximal expect2 ed profit according to different selling states. Key words : Markov chain ; transition probability matrix ; expected profit
0 引言
1 马尔可夫链理论
企业在生产 、经营 、决策过程中 ,经常会遇到 这样的状况 ,事物在未来发展演变的状态与事物 的当前状态紧密相关 ,而与事物过去的状态无关 或关联极其微小 ,我们把这种特性称为无后效性 或马尔可夫性. 因此 ,运用马尔可夫模型来对市场 占有率进行预测是可行的 ,同时可为企业作出科 学合理的促销决策提供理论依据[1] .
{0 .248 , 0 . 196 , 0 . 134 , 0 . 104 , 0 . 096 , 0 . 082 , 0 .064 , 0 .079 }. 又由 500 名消费者选择牙膏品牌 的流动情况得到转移概率矩阵
0 .616 0 .0168 0 .055 0 .028 0 .04 0 .025 0 .016 0 .052 0 .255 0 .506 0 .042 0 .031 0 .035 0 .043 0 .021 0 .067 0 .102 0 .095 0 .435 0 .064 0 .078 0 .059 0 .094 0 .073 0 .051 0 .098 0 .209 0 .413 0 .115 0 .089 0 .014 0 .016 P= 0 .128 0 .075 0 .072 0 .061 0 .512 0 .040 0 .038 0 .074 0 .145 0 .068 0 .070 0 .045 0 .102 0 .457 0 .023 0 .090 0 .073 0 .123 0 .064 0 .056 0 .092 0 .035 0 .520 0 .037 0 .160 0 .084 0 .039 0 .056 0 .087 0 .074 0 .093 0 .417 通过 Matlab6. 5 软件 ,可以计算出 : S1 = S0·P = {0 . 255 8 , 0 . 191 0 , 0 . 129 2 , 0 . 082 1 ,0 . 109 5 , 0 .081 2 , 0 .068 3 , 0 .087 3 } 8 月份各品牌牙膏的市场占有率为高露洁 25 .58 % , 佳洁士 19 . 10 % , 两面 针 12 . 92 % , 田 七 8 .21 % , 中 华 10 . 95 % , 黑 妹 8 . 12 % , 冷 酸 灵 6 .83 % ,其他品牌 8 .73 %. S2 = S0·P2 = {0 . 260 7 , 0 . 189 4 , 0 . 124 5 , 0 . 074 3 ,0 . 114 6 , 0 .079 9 ,0 .071 1 ,0 .091 2 } 9 月份各品牌牙膏的市场占有率为高露洁 26 .07 % , 佳洁士 18 . 94 % , 两面 针 12 . 45 % , 田 七 7 .43 % , 中 华 11 . 46 % , 黑 妹 7 . 99 % , 冷 酸 灵 7 .11 % ,其他品牌 9 .12 %. 同理可以计算出其他各月份的市场占有率 , 如果消费者的选择倾向按照如上规律 (即转移概 率矩阵具有稳定性) ,则可以计算出各品牌最终的 市场占有率. 显然由状态转移矩阵知道 ,该马氏链是非周 期和具有遍历性的 ,由平稳方程和正规方程 :
可推导出 P ( n) = Pn , 其中 P 为一步转移概率矩
阵. 这个公式揭示了 N 步转移概率矩阵与一步转
移概率矩阵之间的关系 :N 步转移概率矩阵是一
步转移概率矩阵的 n 次幂. 通过这个关系 , 可以在
获得一步转移概率矩阵的基础上 , 计算出 N 步转
移概率矩阵 , 从而预测过程在未来发展演变的情
The Application of Markov Chain in Market Occupation Rate and Promotion Decision Making
SU Wei
(School of Maths and Computer Science , Chongqing Normal University , Chongqing 400047 ,China)
摘要 :介绍了马氏链的基本原理 ,通过构造产品的状态转移矩阵 ,运用马尔可夫模型对牙膏产品 的销售过程进行了市场占有率的预测. 根据产品的不同销售状态 ,以寻求企业期望利润最大化为 目的 ,为企业提供了合理的促销决策. 关 键 词 :马氏链 ;转移矩阵 ;期望利润 中图分类号 :O242. 1 ;F224. 0 文献标识码 :A 文章编号 :1671 - 0924 (2007) 01 - 0049 - 04
假 定 状 态 空 间 为 I = {0 ,1 ,2 ∗∗}或 IN = {0 ,1 ,2 ∗∗N} , 参 数 集 T = {0 ,1 ,2 ∗∗} , 并 记 X (n) 为 Xn ,把“Xn = i" 说成为“过程在时刻 n 处于 状态 i" [2 ]. 1 .1 定义
设随机过程 {X (t) , t ∈T} 的状态空间为 I , 对 于 T 中任意 n 个参数 t1 < t2 < ∗ < tn , 以及使 P{ X (t0 ) = i0 , ∗ ,X ( tn - 1 ) = in - 1 } Ε 0 成立的任意
P10
P11
∗
P1 n
=
{S
1 1
,S
1 2
,
∗
,S
1 N
}
;
∗ ∗∗∗
Pn0 Pn1 ∗ Pnn
第 2 期的市场占有率为 :
S2
=
S1
P=
S0
P2
=
{S
2 1
,S
2 2
,
∗
,S
2 N
}
;
第 K 期的市场占有率为 :
S K = S K - 1 P = S K - 2 P2 = ∗= S0 PK =
{S
(Pij ( n) ) .
P00 (n) P01 (n) P02 (n) ∗
P10 (n) P11 (n) P12 (n) ∗ P(n) =
P20 (n) P21 (n) P22 (n) ∗
∗
∗
∗∗
由切普曼 - 柯尔莫哥洛夫方程 :
∞
Pij (m , h + k) = ∑pir (m , h) prj (m + h ,k) r=0
∗ ∗ ∗∗ 由概率的非负性和完备性知 : ① Pij Ε 0 , i ,j Ε 0 ② ∑Pij = 1 , i = 0 ,1 ,2 , ∗
j=0
一步转移概率是一个固定概率 ,它与系统在 什么时刻发生转移无关 ,只要系统由状态 i 转移到 状态 j 只经历一次发展演变 ,则这个转移过程发生 的概率就为 Pij. 因此转移概率矩阵揭示了事物各 状态演变转换的基本规律 , 它是马氏链的灵魂所 在. 1 .2 .2 N 步转移概率矩阵 P (n)
∞
氏 链 的 任 意 状 态 k 有 πk = ∑πj Pjk , k Ε 0 ,则 称 j=0
{πk ,k Ε 0 }为马氏链的平稳分布.
2 马尔可夫模型在商品的市场占有率预测 中的几点说明
1 ) 各种状态实际上就是消费者选购商品时能
够选择的不同品牌.
2 ) 在现实生活中 ,商品的品牌一般是有限的 ,
Ξ 收稿日期 :2006 - 09 - 30
作者简介 :苏维 (1983 - ) ,男 ,重庆渝北人 ,硕士 ,主要从事随机系统研究.
50
重庆工学院学报
状态 i0 , ∗ ,in - 1与 j 均有 : P{ X (tn) = j| X (tn - 1 ) = in - 1 , ∗ ,X (t0 ) = i0 } = P{ X (tn) = j| X (tn - 1 ) = in - 1 } 则称 {X (t) ,t ∈T} 为离散参数的马尔可夫链.
第 21 卷 第 1 期 Vol . 21 No. 1
【数理化科学】
重 庆 工 学 院 学 报 Journal of Chongqing Institute of Technology
2007 年 1 月 Jan. 2007
马氏链在市场占有率预测和促销决策中的应用Ξ
苏 维
(重庆师范大学 数学与计算机学院 ,重庆 400047)
4 ) 转移概率矩阵
A B C ∗ N
A P00 P01 P02 ∗ P0 n
B P10 P11 P12 ∗ P1 n P=
C P20 P21 P22 ∗ P2 n
∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗
N Pn0 Pn1 Pn2 ∗ Pnn 的行表示在某一时刻 (t) , 消费者选择购买的各种
苏 维 :马氏链在市场占有率预测和促销决策中的应用
N 步转移概率描述的是过程当前状态为 i , 经 过 n 次发展演变后它处于状态 j 的概率, 记为 Pij ( n) ,显然 Pij (n) = P{ X (tm + n) = j| X (tm) = i} , i ,
j , m , n Ε 0 .所有状态的 N 步转移概率构成的二维 矩阵称为 N 步转移概率矩阵, 记为 P (n) =
即状态有限. 在进行商品的市场占有率预测过程
中 ,如果出现的状态较多 , 可以将占有率很少的几
个状态进行合并.
3 ) 初始概率分布指当前各种品牌商品的市场
占有率. 记为 S0
=
{S
0 1
,S
0 2
,
∗
,S
0 N
}
,如
S
0 1
=
0 .4
表示
N
品牌
1
此刻的市场占有率为
40
%, 显然
∑S
0 1
=
i =1
1 .
况.
1 .3 遍历性与平稳分布
1 ) 遍历性. 若对于马氏链的一切状态 i ,j 都存
在不依赖于
i
的常数πj
,
使得
lim
k →∞
Pkij =πj , 则称该
马氏链具有遍历性. 具有遍历性的马氏链不论从
系统的哪个状态出发 , 经过相当长的时间后 , 系统
处于状态 j 的概率将稳定在πj. 2 ) 平稳分布. 若概率分布{πk , k Ε 0 }满足对马
51
不同品牌商品 , 列表示下一时刻 (t + 1 ) 消费者转
向购买的各种不同品牌商品. 例如 P01 = 0 .2 表示 第1期购买 A 品牌的消费者在第 2 期转向购买 B
品牌的概率为 0 .2 .
5 ) 预测. 第 1 期的市场占有率 :
S1
=Байду номын сангаас
S0
P=
{S
0 1
,S
0 2
,
∗
,S
0 N
}
·
P00 P01 ∗ P0 n
一步转移概率是系统某时刻处于状态 i , 经过 1 次发展演变后 (即下一时刻) , 它处于状态 j 的概 率 (记为 Pij) . 由状态空间中所有状态的一步转移 概率构成的二维矩阵称为一步转移概率矩阵 , 记 为 P = (Pij) .
P00 P01 P02 ∗
P10 P11 P12 ∗ P=
P20 P21 P22 ∗
如果离散参数的马尔可夫链 {X (t) , t ∈T} 还 满足 对 任 意 非 负 整 数 m 都 有 : P { X ( tm +1 ) = j| X (tm) = i} = P { X ( t1 ) = j| X (t0 ) = i} , 则 称 { X (t) ,t ∈T} 为离散参数齐次马尔可夫链 , 简称马 氏链. 以下讨论的都将是离散参数的齐次马尔可 夫链. 1 .2 转移概率矩阵 [3 ] 1 .2 .1 一步转移概率矩阵
K 1
,S
K 2
, ∗ ,SNK}
.
如果该马氏链是不可约且具有遍历性的 ,各
品牌商品的最终市场占有率即为平稳分布
{πk ,k
Ε 0 } , lim S K = K →∞
{π1 π, 2
, ∗π, Ν} .
3 市场占有率预测
运用马尔可夫模型对企业产品在销售市场的 占有率预测时 ,具体有以下 3 个步骤 : ①确定预测 对象出现的各种状态 ; ②做详尽的市场调查 ,获得 真实可靠的数据 ,通过获得的数据建立转移概率 矩阵 ; ③通过计算 ,预测产品在未来的市场占有 率.
Abstract : This paper introduces the basic principle of Markov chain , and predicts the market occupation rate for the selling process of toothpaste products by using Markov model . By providing scientific and rea2 sonable promotion strategy , this paper tries to help enterprises achieve the objective of the maximal expect2 ed profit according to different selling states. Key words : Markov chain ; transition probability matrix ; expected profit
0 引言
1 马尔可夫链理论
企业在生产 、经营 、决策过程中 ,经常会遇到 这样的状况 ,事物在未来发展演变的状态与事物 的当前状态紧密相关 ,而与事物过去的状态无关 或关联极其微小 ,我们把这种特性称为无后效性 或马尔可夫性. 因此 ,运用马尔可夫模型来对市场 占有率进行预测是可行的 ,同时可为企业作出科 学合理的促销决策提供理论依据[1] .
{0 .248 , 0 . 196 , 0 . 134 , 0 . 104 , 0 . 096 , 0 . 082 , 0 .064 , 0 .079 }. 又由 500 名消费者选择牙膏品牌 的流动情况得到转移概率矩阵
0 .616 0 .0168 0 .055 0 .028 0 .04 0 .025 0 .016 0 .052 0 .255 0 .506 0 .042 0 .031 0 .035 0 .043 0 .021 0 .067 0 .102 0 .095 0 .435 0 .064 0 .078 0 .059 0 .094 0 .073 0 .051 0 .098 0 .209 0 .413 0 .115 0 .089 0 .014 0 .016 P= 0 .128 0 .075 0 .072 0 .061 0 .512 0 .040 0 .038 0 .074 0 .145 0 .068 0 .070 0 .045 0 .102 0 .457 0 .023 0 .090 0 .073 0 .123 0 .064 0 .056 0 .092 0 .035 0 .520 0 .037 0 .160 0 .084 0 .039 0 .056 0 .087 0 .074 0 .093 0 .417 通过 Matlab6. 5 软件 ,可以计算出 : S1 = S0·P = {0 . 255 8 , 0 . 191 0 , 0 . 129 2 , 0 . 082 1 ,0 . 109 5 , 0 .081 2 , 0 .068 3 , 0 .087 3 } 8 月份各品牌牙膏的市场占有率为高露洁 25 .58 % , 佳洁士 19 . 10 % , 两面 针 12 . 92 % , 田 七 8 .21 % , 中 华 10 . 95 % , 黑 妹 8 . 12 % , 冷 酸 灵 6 .83 % ,其他品牌 8 .73 %. S2 = S0·P2 = {0 . 260 7 , 0 . 189 4 , 0 . 124 5 , 0 . 074 3 ,0 . 114 6 , 0 .079 9 ,0 .071 1 ,0 .091 2 } 9 月份各品牌牙膏的市场占有率为高露洁 26 .07 % , 佳洁士 18 . 94 % , 两面 针 12 . 45 % , 田 七 7 .43 % , 中 华 11 . 46 % , 黑 妹 7 . 99 % , 冷 酸 灵 7 .11 % ,其他品牌 9 .12 %. 同理可以计算出其他各月份的市场占有率 , 如果消费者的选择倾向按照如上规律 (即转移概 率矩阵具有稳定性) ,则可以计算出各品牌最终的 市场占有率. 显然由状态转移矩阵知道 ,该马氏链是非周 期和具有遍历性的 ,由平稳方程和正规方程 :
可推导出 P ( n) = Pn , 其中 P 为一步转移概率矩
阵. 这个公式揭示了 N 步转移概率矩阵与一步转
移概率矩阵之间的关系 :N 步转移概率矩阵是一
步转移概率矩阵的 n 次幂. 通过这个关系 , 可以在
获得一步转移概率矩阵的基础上 , 计算出 N 步转
移概率矩阵 , 从而预测过程在未来发展演变的情
The Application of Markov Chain in Market Occupation Rate and Promotion Decision Making
SU Wei
(School of Maths and Computer Science , Chongqing Normal University , Chongqing 400047 ,China)
摘要 :介绍了马氏链的基本原理 ,通过构造产品的状态转移矩阵 ,运用马尔可夫模型对牙膏产品 的销售过程进行了市场占有率的预测. 根据产品的不同销售状态 ,以寻求企业期望利润最大化为 目的 ,为企业提供了合理的促销决策. 关 键 词 :马氏链 ;转移矩阵 ;期望利润 中图分类号 :O242. 1 ;F224. 0 文献标识码 :A 文章编号 :1671 - 0924 (2007) 01 - 0049 - 04
假 定 状 态 空 间 为 I = {0 ,1 ,2 ∗∗}或 IN = {0 ,1 ,2 ∗∗N} , 参 数 集 T = {0 ,1 ,2 ∗∗} , 并 记 X (n) 为 Xn ,把“Xn = i" 说成为“过程在时刻 n 处于 状态 i" [2 ]. 1 .1 定义
设随机过程 {X (t) , t ∈T} 的状态空间为 I , 对 于 T 中任意 n 个参数 t1 < t2 < ∗ < tn , 以及使 P{ X (t0 ) = i0 , ∗ ,X ( tn - 1 ) = in - 1 } Ε 0 成立的任意
P10
P11
∗
P1 n
=
{S
1 1
,S
1 2
,
∗
,S
1 N
}
;
∗ ∗∗∗
Pn0 Pn1 ∗ Pnn
第 2 期的市场占有率为 :
S2
=
S1
P=
S0
P2
=
{S
2 1
,S
2 2
,
∗
,S
2 N
}
;
第 K 期的市场占有率为 :
S K = S K - 1 P = S K - 2 P2 = ∗= S0 PK =
{S
(Pij ( n) ) .
P00 (n) P01 (n) P02 (n) ∗
P10 (n) P11 (n) P12 (n) ∗ P(n) =
P20 (n) P21 (n) P22 (n) ∗
∗
∗
∗∗
由切普曼 - 柯尔莫哥洛夫方程 :
∞
Pij (m , h + k) = ∑pir (m , h) prj (m + h ,k) r=0
∗ ∗ ∗∗ 由概率的非负性和完备性知 : ① Pij Ε 0 , i ,j Ε 0 ② ∑Pij = 1 , i = 0 ,1 ,2 , ∗
j=0
一步转移概率是一个固定概率 ,它与系统在 什么时刻发生转移无关 ,只要系统由状态 i 转移到 状态 j 只经历一次发展演变 ,则这个转移过程发生 的概率就为 Pij. 因此转移概率矩阵揭示了事物各 状态演变转换的基本规律 , 它是马氏链的灵魂所 在. 1 .2 .2 N 步转移概率矩阵 P (n)
∞
氏 链 的 任 意 状 态 k 有 πk = ∑πj Pjk , k Ε 0 ,则 称 j=0
{πk ,k Ε 0 }为马氏链的平稳分布.
2 马尔可夫模型在商品的市场占有率预测 中的几点说明
1 ) 各种状态实际上就是消费者选购商品时能
够选择的不同品牌.
2 ) 在现实生活中 ,商品的品牌一般是有限的 ,
Ξ 收稿日期 :2006 - 09 - 30
作者简介 :苏维 (1983 - ) ,男 ,重庆渝北人 ,硕士 ,主要从事随机系统研究.
50
重庆工学院学报
状态 i0 , ∗ ,in - 1与 j 均有 : P{ X (tn) = j| X (tn - 1 ) = in - 1 , ∗ ,X (t0 ) = i0 } = P{ X (tn) = j| X (tn - 1 ) = in - 1 } 则称 {X (t) ,t ∈T} 为离散参数的马尔可夫链.
第 21 卷 第 1 期 Vol . 21 No. 1
【数理化科学】
重 庆 工 学 院 学 报 Journal of Chongqing Institute of Technology
2007 年 1 月 Jan. 2007
马氏链在市场占有率预测和促销决策中的应用Ξ
苏 维
(重庆师范大学 数学与计算机学院 ,重庆 400047)
4 ) 转移概率矩阵
A B C ∗ N
A P00 P01 P02 ∗ P0 n
B P10 P11 P12 ∗ P1 n P=
C P20 P21 P22 ∗ P2 n
∗∗ ∗ ∗ ∗ ∗
N Pn0 Pn1 Pn2 ∗ Pnn 的行表示在某一时刻 (t) , 消费者选择购买的各种
苏 维 :马氏链在市场占有率预测和促销决策中的应用
N 步转移概率描述的是过程当前状态为 i , 经 过 n 次发展演变后它处于状态 j 的概率, 记为 Pij ( n) ,显然 Pij (n) = P{ X (tm + n) = j| X (tm) = i} , i ,
j , m , n Ε 0 .所有状态的 N 步转移概率构成的二维 矩阵称为 N 步转移概率矩阵, 记为 P (n) =
即状态有限. 在进行商品的市场占有率预测过程
中 ,如果出现的状态较多 , 可以将占有率很少的几
个状态进行合并.
3 ) 初始概率分布指当前各种品牌商品的市场
占有率. 记为 S0
=
{S
0 1
,S
0 2
,
∗
,S
0 N
}
,如
S
0 1
=
0 .4
表示
N
品牌
1
此刻的市场占有率为
40
%, 显然
∑S
0 1
=
i =1
1 .
况.
1 .3 遍历性与平稳分布
1 ) 遍历性. 若对于马氏链的一切状态 i ,j 都存
在不依赖于
i
的常数πj
,
使得
lim
k →∞
Pkij =πj , 则称该
马氏链具有遍历性. 具有遍历性的马氏链不论从
系统的哪个状态出发 , 经过相当长的时间后 , 系统
处于状态 j 的概率将稳定在πj. 2 ) 平稳分布. 若概率分布{πk , k Ε 0 }满足对马