2021沪教版(上海)数学高三上册-16.5 二项式定理 课件 _4优秀课件PPT
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沪教版(上海)数学高三上册-16.5 二项式定理(一) 课件
沪教版（上海）数学高三上册-16.5 二项式定理（一） 课件
1.二项式定理：
(a
b)n
Cn0a n
Cn1a n1b
C
k n
a
n
k
b
k
Cnnbn (n
N
*
)
(1)二项式系数：
C
k n
(k 0,1,2,, n)
(2)二项展开式的通项：
Tk 1
C
k n
a
n
k
b
k
2．思想方法
(1) 从特殊到一般的数学思维方式. (2) 用计数原理分析二项式的展开过程. (3) 类比、等价转换的思想.
240x
的系数是多少？ 思考2：展开式的第３项
的二项式系数是多少？ 思考3：你能否直接求出
展开式的第３项的 系数是240，
二项式系数是15。
展开式的第３项？
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例2 求 (1 2的x)7展开式中的第4项的系数
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探究1
推导
(a b)3的展开式.
(a b)3 (a b)(a b)(a b)
① 项： a3 a2b ab2 b3
②
系数：C1
0 3
C
1 3
C
2 3
C
3 3
a 3k b k
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多项式乘法的再认识
➢问题1: (a1 a2 )(b1 b2 ) 的展开式是什么？ 展开式有几项？每一项是怎样构成的？
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3n
证明：左边 Cn0 20 Cn1 21 Cn2 22 Cnn1 2n1 Cnn 2n
Cn0 1n 20 Cn1 1n1 21 Cn2 1n2 22
C n1 n
11
2n1
Cnn
10
2n
1 2n 3n 右边
六、课堂小结 知识方面：二项式定理；
通项； 二项式系数；
思想方法：从特殊到一般；
七、学习情况反馈
自测1：求
的展开式。
自测2：求 (x 1)9 的二项展开式中 x3 项的系数。
x
自测3：求
2x2
1
12
的二项展开式中的常数项。
x
自测4：求证：1 2Cn1 4Cn2 2Cnn 1n
三、新课讲授
每个都不取b的情况有1种,即C40 ,则a4前的系数为C40 恰有1个取b的情况有C41种，则a3b前的系数为C41 恰有2个取b的情况有C42 种，则a2b2前的系数为C42 恰有3个取b的情况有C43 种，则ab3前的系数为C43 恰有4个取b的情况有C44种，则b4前的系数为C44 则 (a+b)4
13世纪杨辉在《详解九 章算法》中有引用了 “开方作法本源”图
三、新课讲授 问题1、(a b)(a b)(a b)(a b) 的展开(式a b)4 a4 4a3b 6a2b2 4ab3 b4 思考：(a+b)4展开后各项情势分别是什么？ a4 a3b a2b2 ab3 b4 用组合知识来考察
＝C40 a4 ＋C41 a3b ＋C42 a2b2 ＋C43 ab3 ＋C44 b4
三、新课讲授
问题2、(a b)1,a b2 ,a b3
的展开（式用组合数表示出各项系数）
a b1 C10a C11b
沪教版(上海)数学高三上册-16.5 二项式系数的性质 课件 优秀课件PPT
a100 x100 ,
(2) 已知(1 3 x)100 a0 a1 ( x 2) a2 ( x 2)2 a100 ( x 2)100 ,
求a1 a3 a99的值.
eg6
(1) 若(1 2 x)n 展开式中的二项式系数之和为 2048, 求展开式中系数最大项;
(2) 求(1 2 x)11的展开式中所有项系数之和;
§ 16.5(3) 二项式系数的性质
(a b)1
(a b)2 (a b)3 (a b)4 (a b)5 (a b)6
11 12 1 13 3 1 14 641 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
上面的表叫做二项式系数表.
也称为杨辉三角.
第n行共n 1个数,
分别为C
功地把自己推销给别人之前，你必须百分之百的把自己推销给自己。即使爬到最高的山上，一次也只能脚踏实地地迈一步。
C77和C
0 7
C72
C74
C76 .
eg4
设(1 2 x)8 a0 a1 x a2 x2 (1) a0 a1 a2 a8;
a8 x8 , 求 :
(2) a1 a3 a5 a7和a2 a4 a6 a8;
(3) a0 a1 a8 .
eg5
(1) 已知(1 3 x)100 a0 a1 x a2 x2 求a1 a3 a99的值;
n0、C
1、
n
、C
n n
二项式系数表规律
① 每行两端都是1
C
0 n
C
n n
1
② 每行对称,与首末两端"等距离"的数字相等
C
m n
C nm n
③ 每行都是先增大后减小
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课堂小结
知识小结：二项展开式定理、二项式系数、通项 方法小结：通项公式通常用来解决与二项式有关的哪些问 题？运用时有哪些注意点？
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作业：
由组合数性质可得原式= (a b)k 1 Ck01ak 1 Ck11akb Ck21ak 1b2 Ckk1abk Ckk11bk 1
所以，n=k+1时命题也成立。由1，2可得等式对所有的正整数都成立。
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(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2an2b2 Cnnb（n n N * )
上式所表示的定理叫做二项式定理。右边的多项式叫做 的二项式展开式。各项的系数 Cnr (r 0,1,2,, n) 叫做二项式系数。
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二项式展开式具有以下特征：
（1）它有n+1项
（2）各项的次数都等于二项式的次数n
（3）字母a按降幂排列，次数由n递减到0
习题册1，2，3，4
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二项式定理
问题：
(a1 a2 )(b1 b2 )(c1 c2 )(d1 d2 )
展开一共有多少不同的项？
若将式子改为
(a b)(a b)(a b)(a b) ，结果还一样吗？
想一想：展开式中有哪些项？各项的系数怎样？
(a b)1 C10a C11b (a b)2 C20a2 C21ab C22b2
例3：(1 ax)7 展开中 x 3 项的系数为-280，求实数 a
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16.5(1)二项式定理
问题 1:乘积(a1 a2 a3)(b1 b2 b3)(c1 c2 c3 +c4 c5 ) 展开式共有多少不同的项？你认为如何解决这一问题?
思考 1: 是否所有的多项式相乘求项数问题，都能类似问题1快 速求解?
探究发现
问题 2: 请同学们设计一个探究(a b)n展开式的思路.
知识建构
问题 3: (a b)n Cn0an Cn1an1b ...... Cnk ankbk ...... Cnnb（n n N *） 上述公式叫做二项式定理，右侧展开式称为二项展开式。 请同学们观察展开式，并回答下列问题： （1）展开式有多少项？ （2）各项次数是多少？ （3）展开式中 a,b的次数排列规律分别是什么？ （4）各项系数是多少？ （5）通项Cnk ankbk是展开式的第几项？
通项公式
T k 1
Cnk ankbk
(k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0,1,
2......n)
方法
乘法法则分析乘积项的 结构, 结合计数原理分析项数 和系数;
思想
特殊与一般、类比归纳、化归与转化等思想方法
作业布置 课时作业
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
问题 1:乘积(a1 a2 a3)(b1 b2 b3)(c1 c2 c3 +c4 c5 ) 展开式共有多少不同的项？你认为如何解决这一问题?
思考 1: 是否所有的多项式相乘求项数问题，都能类似问题1快 速求解?
探究发现
问题 2: 请同学们设计一个探究(a b)n展开式的思路.
知识建构
问题 3: (a b)n Cn0an Cn1an1b ...... Cnk ankbk ...... Cnnb（n n N *） 上述公式叫做二项式定理，右侧展开式称为二项展开式。 请同学们观察展开式，并回答下列问题： （1）展开式有多少项？ （2）各项次数是多少？ （3）展开式中 a,b的次数排列规律分别是什么？ （4）各项系数是多少？ （5）通项Cnk ankbk是展开式的第几项？
通项公式
T k 1
Cnk ankbk
(k
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
0,1,
2......n)
方法
乘法法则分析乘积项的 结构, 结合计数原理分析项数 和系数;
思想
特殊与一般、类比归纳、化归与转化等思想方法
作业布置 课时作业
用微笑告诉别人，今天的我，比昨天更强。瀑布跨过险峻陡壁时，才显得格外雄伟壮观。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。孤独是 每个强者必须经历的坎。有时候，坚持了你最不想干的事情之后，会得到你最想要的东西。生命太过短暂，今天放弃了明天不一定能得到。只有经历人生 的种种磨难，才能悟出人生的价值。没有比人更高的山，没有比脚更长的路学会坚强，做一只沙漠中永不哭泣的骆驼！一个人没有钱并不一定就穷，但没 有梦想那就穷定了。困难像弹簧，你强它就弱，你弱它就强。炫丽的彩虹，永远都在雨过天晴后。没有人能令你失望，除了你自己人生舞台的大幕随时都 可能拉开，关键是你愿意表演，还是选择躲避。能把在面前行走的机会抓住的人，十有八九都会成功。再长的路，一步步也能走完，再短的路，不迈开双 脚也无法到达。有志者自有千计万计，无志者只感千难万难。我成功因为我志在成功！再冷的石头，坐上三年也会暖。平凡的脚步也可以走完伟大的行程。 有福之人是那些抱有美好的企盼从而灵魂得到真正满足的人。如果我们都去做自己能力做得到的事，我们真会叫自己大吃一惊。只有不断找寻机会的人才 会及时把握机会。人之所以平凡，在于无法超越自己。无论才能知识多么卓著，如果缺乏热情，则无异纸上画饼充饥，无补于事。你可以选择这样的“三 心二意”：信心恒心决心；创意乐意。驾驭命运的舵是奋斗。不抱有一丝幻想，不放弃一点机会，不停止一日努力。如果一个人不知道他要驶向哪个码头， 那么任何风都不会是顺风。行动是理想最高贵的表达。你既然认准一条道路，何必去打听要走多久。勇气是控制恐惧心理，而不是心里毫无恐惧。不举步， 越不过栅栏；不迈腿，登不上高山。不知道明天干什么的人是不幸的！智者的梦再美，也不如愚人实干的脚印不要让安逸盗取我们的生命力。别人只能给 你指路，而不能帮你走路，自己的人生路，还需要自己走。勤奋可以弥补聪明的不足，但聪明无法弥补懒惰的缺陷。后悔是一种耗费精神的情绪，后悔是 比损失更大的损失，比错误更大的错误，所以，不要后悔！复杂的事情要简单做，简单的事情要认真做，认真的事情要重复做，重复的事情要创造性地做。 只有那些能耐心把简单事做得完美的人，才能获得做好困难事的本领。生活就像在飙车，越快越刺激，相反，越慢越枯燥无味。人生的含义是什么，是奋 斗。奋斗的动力是什么，是成功。决不能放弃，世界上没有失败，只有放弃。未跌过未识做人，不会哭未算幸运。人生就像赛跑，不在乎你是否第一个到 达终点，而在乎你有没有跑完全程。累了，就要休息，休息好了之后，把所的都忘掉，重新开始！人生苦短，行走在人生路上，总会有许多得失和起落。 人生离不开选择，少不了抉择，但选是累人的，择是费人的。坦然接受生活给你的馈赠吧，不管是好的还是坏的。现在很痛苦，等过阵子回头看看，会发 现其实那都不算事。要先把手放开，才抓得住精彩旳未来。可以爱，可以恨，不可以漫不经心。我比别人知道得多，不过是我知道自己的无知。你若不想 做，会找一个或无数个借口；你若想做，会想一个或无数个办法。见时间的离开，我在某年某月醒过来，飞过一片时间海，我们也常在爱情里受伤害。1、 只有在开水里，茶叶才能展开生命浓郁的香气。人生就像奔腾的江水，没有岛屿与暗礁，就难以激起美丽的浪花。别人能做到的事，我一定也能做到。不 要浪费你的生命，在你一定会后悔的地方上。逆境中，力挽狂澜使强者更强，随波逐流使弱者更弱。凉风把枫叶吹红，冷言让强者成熟。努力不不一定成 功，不努力一定不成功。永远不抱怨，一切靠自己。人生最大的改变就是去做自己害怕的事情。每一个成功者都有一个开始。勇于开始，才能找到成功的 路。社会上要想分出层次，只有一个办法，那就是竞争，你必须努力，否则结局就是被压在社会的底层。后悔是一种耗费精神的情绪后悔是比损失更大的 损失，比错误更大的错误所以不要后悔。每个人都有潜在的能量，只是很容易:被习惯所掩盖，被时间所迷离,被惰性所消磨。与其临渊羡鱼，不如退而结网。 生命之灯因热情而点燃，生命之舟因拼搏而前行。世界会向那些有目标和远见的人让路。不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海。骐骥一跃，不 能十步；驽马十驾，功在不舍。锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。若不给自己设限，则人生中就没有限制你发挥的藩篱。赚钱之道很多，但是 找不到赚钱的种子，便成不了事业家。最有效的资本是我们的信誉，它小时不停为我们工作。销售世界上第一号的产品——不是汽车，而是自己。在你成
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2
【点评】求展开式中的特定项通常是先假设所求的项是 r n－r r 第r＋1项，用通项公式Tr＋1＝ C n a b 求出该项，再根据条件 求出r的值，从而解决问题．
★互动变式1 的系数之比为－5，则n等于( ) (A)4． (B)6． (C)8． (D)10． r Cn 【解析】Tr＋1＝ 1r· 2n－r· · xn－2r， n 令n－2r＝－2，即r＝ ＋1， 2 n 1 n n 所以含 2 项的系数为A＝ 1 ＋1· 2 －1· C ＋1n， 2 x 2 2 n 令n－2r＝－4，即r＝ ＋2， 2 1 n n n 1 ＋ 2· 所以含 4 项的系数为B＝ 2 －2· C ＋2n， n x 2 2 2 2 A 2 于是 ＝－2· ＝－5，得n＝6． n B 1 2 [答案] B
主要考点剖析
考点一
通项公式的应用
命题规律 在高考中对用二项式定理求展开式的特定项
试题出现的频率较大，考试的题型是选择题或填空题． ●例1
1 已知 x 的展开式中，前三项系数的绝 4 2 x
n
对值依次成等差数列，则(1)n＝________； (2)展开式中所有的有理项共有________项．
1 1 2 1 【解析】由题意：2 C n ＝1＋C n ， 2 2 2 即n －9n＋8＝0，∴n＝8(n＝r1舍去)． 8 r 1 r 4 ∴Tr＋1＝C8 x 2 x r 8r r 1 r ＝ C8 x x 2 4 2 r C8 16 3r ＝ 1 r r x 0 r 8, r Z ． 2 4 16 3r 若Tr＋1是有理项，当且仅当 为整数， 4 ∵0≤r≤8，r∈Z，∴r＝0,4,8，即展开式中有三项有理 35 1 －2 4 项，分别是：T1＝x ，T5＝ x，T9＝ x ． 8 256 [答案] (1)8 (2)3
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(2)“至少”的含义是不低于，有两种解答方法，
方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有C42·C64种选法；5分 ②选3名外科专家，共有C43·C63种选法；6分 ③选4名外科专家，共有C44·C62种选法；7分 根据分类加法计数原理，共有
C42·C64＋C43·C63＋C44·C62＝185种抽调方法.8分
①判断；②转化；③求值；④作答．
(2)有限制条件的组合应用题
①“含”与“不含”问题，其解题思路是将限 制条件视为特殊元
素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其 余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反 面入手，寻找问题的突破口，即采用排除 法．解题时要注意分清“有且仅有”、“至 多”“至少”、“全是”、“都不是”、“不 都是”等词语的确切含义，准确把握分类标
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解析： (1)其中某一假货必须在内，则需从剩余的34 种商品中选取2种，不同的取法有C342＝34×2 33＝561(种)．
(2)其中某一假货不能在内，则需从剩余的34种商品中 选取3种，共有C343＝5 984(种)．
解析： (1)以黑色正方形的个数分类，
① 个 色形，若黑正则有色方有3正形个1方，种黑形．则色，有正则C方有61形＝C，562(＝则种有1)0；(C种4④3＝)；若4③种无若；黑有②色1若正个有方黑2
∴共4＋10＋6＋形相邻包括有2个黑色正方形 相邻，有3个黑色正方形相邻，有4个黑色正方形相邻，有5个 黑色正方形相邻，有6个黑色正方形相邻．
方法二：所有着色情况共有26＝64种，又由 上知互不相邻的着色方案有21种．
方法一(直接法)：按选取的外科专家的人数分类：
①选2名外科专家，共有C42·C64种选法；5分 ②选3名外科专家，共有C43·C63种选法；6分 ③选4名外科专家，共有C44·C62种选法；7分 根据分类加法计数原理，共有
C42·C64＋C43·C63＋C44·C62＝185种抽调方法.8分
①判断；②转化；③求值；④作答．
(2)有限制条件的组合应用题
①“含”与“不含”问题，其解题思路是将限 制条件视为特殊元
素和特殊位置，一般来讲，特殊要先满足，其 余则“一视同仁”．若正面入手不易，则从反 面入手，寻找问题的突破口，即采用排除 法．解题时要注意分清“有且仅有”、“至 多”“至少”、“全是”、“都不是”、“不 都是”等词语的确切含义，准确把握分类标
(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？
解析： (1)其中某一假货必须在内，则需从剩余的34 种商品中选取2种，不同的取法有C342＝34×2 33＝561(种)．
(2)其中某一假货不能在内，则需从剩余的34种商品中 选取3种，共有C343＝5 984(种)．
解析： (1)以黑色正方形的个数分类，
① 个 色形，若黑正则有色方有3正形个1方，种黑形．则色，有正则C方有61形＝C，562(＝则种有1)0；(C种4④3＝)；若4③种无若；黑有②色1若正个有方黑2
∴共4＋10＋6＋形相邻包括有2个黑色正方形 相邻，有3个黑色正方形相邻，有4个黑色正方形相邻，有5个 黑色正方形相邻，有6个黑色正方形相邻．
方法二：所有着色情况共有26＝64种，又由 上知互不相邻的着色方案有21种．
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(a b)n ? n N*
思考：快速展开(a b)n要解决哪些问题？
1.展开并化简后的项数
2.展开后各项的次数
3.各项的形式
4.各项的系数
3
探究二
(a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)
= _C_40_a4 + _C__41a3b + _C_42_a2b2 + _C_43_ab3 + _C_4_4 b4
8100 =(7+1)100
C0 100
7100
C1 100
799
C 7 r 100r 100
1 （7 C1000 799 C19090）
C99 100
71
C100 100
7
Hale Waihona Puke 例1. 求（1 2x)5的展开式,并回答:
(1)第3项的系数是 40 (2)第3项的二项式系数是 C52 10
（1 2x)5 C50(2x)0 C15(-2x)1 C52(2x)2
(a b)n ?
4
二项式定理
(a b)n Cn0an Cn1an1b
Cnranrbr Cnnbn (n N *)
n N , 0 r n
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式 ，
其中
C
r n
（r=0,1,2,……,n）叫做
二项式系数
，
Cnr anr br
叫做二项展开式的__通__项__，
用 Tr +1 表示，该项是指展开式的第 r +1 项，
Tr 1
C
r n
a
n
r
b
r
思考：快速展开(a b)n要解决哪些问题？
1.展开并化简后的项数
2.展开后各项的次数
3.各项的形式
4.各项的系数
3
探究二
(a b)4 (a b)(a b)(a b)(a b)
= _C_40_a4 + _C__41a3b + _C_42_a2b2 + _C_43_ab3 + _C_4_4 b4
8100 =(7+1)100
C0 100
7100
C1 100
799
C 7 r 100r 100
1 （7 C1000 799 C19090）
C99 100
71
C100 100
7
Hale Waihona Puke 例1. 求（1 2x)5的展开式,并回答:
(1)第3项的系数是 40 (2)第3项的二项式系数是 C52 10
（1 2x)5 C50(2x)0 C15(-2x)1 C52(2x)2
(a b)n ?
4
二项式定理
(a b)n Cn0an Cn1an1b
Cnranrbr Cnnbn (n N *)
n N , 0 r n
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式 ，
其中
C
r n
（r=0,1,2,……,n）叫做
二项式系数
，
Cnr anr br
叫做二项展开式的__通__项__，
用 Tr +1 表示，该项是指展开式的第 r +1 项，
Tr 1
C
r n
a
n
r
b
r
(上海)数学高三上册-16.5 二项式定理 课件
二项式定理有5点注意事项：
①不得随意变更展开式中各项的顺序；
②二项展开式项数：有n＋1项 ；
③系数依次为
Cn0
,
Cn1
,
C
2 n
,
Cnn ；
④a的指数依次递减，而b的指数依次递增；
⑤a、b可以是数，也可以是式(单项式，多项式，
分式，根式等)．
例1 (1) 求( x 1 )4的二项展开式 x
(2) 已知x 2 1,
杨辉
回家作业
1.书P72 练习16.5（1）/1,2,3,4 2.好书，就是和许多高尚的人谈话，同学们应该多读书，读好书。——康玲 所谓惊喜就是你苦苦等候的兔子来了，后面却跟着狼。 教师进行劳动和创造的时间好比一条大河,要靠许多小的溪流来滋养它。教师时常要读书,平时积累的知识越多,上课就越轻松。——苏霍姆林斯 基 在强者的眼中，没有最好，只有更好。
一棵小草，也许永远不能成为参天大树，但它可能做最绿最坚强的小草；一滴水，也许永远不能像长江大河一样奔腾，但它可以成为所有水中 的最纯的那一滴 带着知识走向学生，不如带着学生走向知识。——牛传明 不要垂头丧气，即使失去一切，明天仍在你的手里。——王尔德 动则生，静则乐。 工欲善其事，必先利其器。——《论语·卫灵公》 永不言败，是成功者的最佳品格。 内外相应，言行相称。——韩非 我们若已接受最坏的，就再没有什么损失。——卡耐基
艾萨克·牛顿
二项式系数表
（贾宪三角、杨辉三角）
(a b)1 a b (a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 (a b)4 (a b)5 (a b)6
11 121 13 3 1 1 464 1 1 5 10 10 5 1 1 6 15 20 15 6 1
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Ckk bk 1
Ck01ak 1 Ck11ak b
C a b m1 k m m1 k 1
即 n=k+1 时，命题也成立. 由1 2 得，命题对 n N 都成立.
Ckk11bk 1
阅读课本70页例1-例5， 然后完成课前预习作业
活动一：分享微课内容， 回顾二项式定理的推导过程
任务一：研究 a ba ba b a b 的展开式
（1）请写出上述展开式_______________________________________________ （2）展开式中有哪些项？每一项前面的系数是多少？如何得到？
（3）请用组合数作为系数写出 (a b)5 的展开式_________________________________ 任务二：试写出 (a b)n 的展开式____________________________________
(a b)n ?
二项式定理早在公元前3世纪就已出现萌芽， 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷2中对 (a+b)2=a2+2ab+b2进行了描述。在成书于公 元50-100年的《九章算术》第四卷内出现了公 式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 。13世纪杨辉 在《详解九章算法》中有引用了“开方作法本 源”图(杨辉三角)。15世纪，阿拉伯数学家阿 尔卡西在《算数之钥》中也给出了9次幂二项式 定理系数表。法国科学家帕斯卡在1654年也发 现了这个结果。可见，二项式定理的发现，在 我国比在欧洲至少要早300年。在1665年,牛顿 把二项式定理推广到n为分数与负数的情形。
37.人生旅程中，平坦顺畅也好，泥泞低谷也罢，都应该坦然面对！ 85.不夺桂冠誓不回，那怕销得人憔悴。 46.死亡教会人一切，如同考试之后公布的结果——虽然恍然大悟，但为时晚矣！ 75.不管前方的路有多苦，只要走的方向正确，不管多么崎岖不平，都比站在原地更接近幸福。 43.自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。 107.宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 7.所有漂亮的结果都是在行动中收获的！你不需要很厉害才能开始，但你需要开始，才能变得很厉害！ 15.你今天的努力，是幸运的伏笔，当下的付出，是明日的花开。 11.人生，没有永远的伤痛，再深的痛，在切之时，伤口总会痊愈。 74.不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落亦是如此。每件事到最后 一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。
现在，让我们一起来探究(a+b)n的展开式。
回顾：
（a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 (a b)(a b)(a b) (a b)(a2 ab ba b2 )
a3 a2b aba ab2 ba2
bab b2a b3
a3 3a2b 3ab2 b3
探求得:
（ a b)1 C10a1 C11b1 （ a b )2 C02a2 C12a b C22b2 （ a b )3 C30a3 C13a2b C32a b2 C33b3 （ a b )4 C04a4 C14a3b C24a2b2 C34a b3 C44b4
，
其中
Cnr
aCnrnr（brr =0,1,叫2,…做…二,项n）展叫开做式二的项通式项系，数用
， Tr+1
表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有
_n_+__1_个项.
Tr 1
C
r n
a
n
r
br
(r 0,1, 2,
n)
二项式定理
（a＋b）n＝C0n
a
n＋C1n
a
n－1b＋C
2 n
a
n－2
b
2＋
＋C
n n
b
n
二项展开式的特点
①项数：共n＋1项
②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中 a、b的指数和为n
③系数：第r＋1项的二项式系数为
C
r n
（r＝0，1，2，…，n）
C
r n
二项式定理的证明 对于这样一个关于正整数n的命题，我们可以采用什么方法 进行证明？
数学归纳法
求证：(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnr anrbr Cnn1abn1 Cnnbn
（a b)n C0nan C1nan-1b Cnran-rbr Cnnbn
二项式定理:
一般地，对于n N*，有：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a n2b2 Cnr anr br Cnnbn
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式
11
的展开式中，
（1） 求 x2 项的二项式系数；
1
（2） x 3 项是第几项；并求这项的系数;
（3） 问展开式中共有多少有理项。
14.吃别人吃不了的苦，忍别人受不了的气，付出比别人更多的，才会享受的比别人更多。 3.自己想要的东西，要么奋力直追，要么干脆放弃。不要做思想上的巨人，行动上的矮子！别总是逢人就喋喋不休的表决心或者哀怨不断，做 别人茶余饭后的笑点。
证明： 1 当 n=1 时， a b1 a b ，命题成立.
2 假设当 n k 时等式成立，即
(a b)k Ck0ak Ck1ak1b
那么当 n k 1时，
Ckmak mbm
Ckkbk
(a b)k1 (a b)k (a b) (Ck0ak Ck1ak 1b
Ckmak mbm
Ckkbk )(a b)
Ck0 ak 1 Ck1 a k b
Ckm a k m1bm
Ckk abk
Ck0 ak b Ck1a k 1b2
Ckm a k mbm1
Ck0ak 1 (Ck1 Ck0 )ak b (Ckm1 Ckm )ak b m m1 Ckk bk 1
（1）展开式中一共有几项？有哪些项？每一项的系数是多少？ （2）上述展开式，通项的表达式为________，通项是展开式的第______项
活动2：点评预习作业，巩固提高学习成果
巩固题组 1. 在 (x 3)10 的展开式中 x6 的系数为
2. 求 3b 2a6 的展开式的第 3 项.
3. 用二项式定理展开 (a 3 b )5 ；
(a b)4 ？
尝试二项式定理的发现:
（a b)4 (a b)(a b)(a b（) a b)
C 04 a 4
C14a3b
C
2 4
a
2b2
C
3 4
a
C 44 b 4
a4 a3b a2b2 ab3 b4
C
0 4
C14
C24
C
3 4
C
4 4
（a b)n C0n、 C1n、 C2n、 Cnn-1、 Cnn
4. 用二项式定理展开 ( x 2 )5 . 2x
活动3：探究新知应用，领悟具体与抽象
探究 1 (1)今天是星期五，那么 7 天后的这一天是星期几呢? (2)如果是 15 天后的这一天呢？ (3)如果是 100 天后的这一天呢？
(4)如果是 8100 天后的这一天呢？
探究 2
在 3 x
2 x