2021沪教版(上海)数学高三上册-16.5 二项式定理 课件 _4优秀课件PPT
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现在，让我们一起来探究(a+b)n的展开式。
回顾：
（a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 (a b)(a b)(a b) (a b)(a2 ab ba b2 )
a3 a2b aba ab2 ba2
bab b2a b3
a3 3a2b 3ab2 b3
37.人生旅程中，平坦顺畅也好，泥泞低谷也罢，都应该坦然面对！ 85.不夺桂冠誓不回，那怕销得人憔悴。 46.死亡教会人一切，如同考试之后公布的结果——虽然恍然大悟，但为时晚矣！ 75.不管前方的路有多苦，只要走的方向正确，不管多么崎岖不平，都比站在原地更接近幸福。 43.自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。 107.宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 7.所有漂亮的结果都是在行动中收获的！你不需要很厉害才能开始，但你需要开始，才能变得很厉害！ 15.你今天的努力，是幸运的伏笔，当下的付出，是明日的花开。 11.人生，没有永远的伤痛，再深的痛，在切之时，伤口总会痊愈。 74.不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落亦是如此。每件事到最后 一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。
（1）展开式中一共有几项？有哪些项？每一项的系数是多少？ （2）上述展开式，通项的表达式为________，通项是展开式的第______项
活动2：点评预习作业，巩固提高学习成果
巩固题组 1. 在 (x 3)10 的展开式中 x6 的系数为
2. 求 3b 2a6 的展开式的第 3 项.
3. 用二项式定理展开 (a 3 b )5 ；
，
其中
Cnr
aCnrnr（brr =0,1,叫2,…做…二,项n）展叫开做式二的项通式项系，数用
， Tr+1
表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有
_n_+__1_个项.
Tr 1
C
r n
a
n
r
br
(r 0,1, 2,
n)
二项式定理
（a＋b）n＝C0n
a
n＋C1n
a
n－1b＋C
2 n
a
n－2
(a b)n ?
二项式定理早在公元前3世纪就已出现萌芽， 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷2中对 (a+b)2=a2+2ab+b2进行了描述。在成书于公 元50-100年的《九章算术》第四卷内出现了公 式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 。13世纪杨辉 在《详解九章算法》中有引用了“开方作法本 源”图(杨辉三角)。15世纪，阿拉伯数学家阿 尔卡西在《算数之钥》中也给出了9次幂二项式 定理系数表。法国科学家帕斯卡在1654年也发 现了这个结果。可见，二项式定理的发现，在 我国比在欧洲至少要早300年。在1665年,牛顿 把二项式定理推广到n为分数与负数的情形。
Ckk bk 1
Ck01ak 1 Ck11ak b
C a b m1 k m m1 k 1
即 n=k+1 时，命题也成立. 由1 2 得，命题对 n N 都成立.
Ckk11bk 1
阅读课本70页例1-例5， 然后完成课前预习作业
活动一：分享微课内容， 回顾二项式定理的推导过程
任务一：研究 a ba ba b a b 的展开式
(a b)4 ？
尝试二项式定理的发现:
（a b)4 (a b)(a b)(a b（) a b)
C 04 a 4
C14a3b
C
2 4
a
2b2
C
3 4
a
b3
C 44 b 4
a4 a3b a2b2 ab3 b4
C
0 4
C14
C24
C
3 4
C
4 4
（a b)n C0n、 C1n、 C2n、 Cnn-1、 Cnn
（a b)n C0nan C1nan-1b Cnran-rbr Cnnbn
二项式定理:
一般地，对于n N*，有：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a n2b2 Cnr anr br Cnnbn
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式
探求得:
（ a b)1 C10a1 C11b1 （ a b )2 C02a2 C12a b C22b2 （ a b )3 C30a3 C13a2b C32a b2 C33b3 （ a b )4 C04a4 C14a3b C24a2b2 C34a b3 C44b4
b
2＋
＋C
nwenku.baidu.comn
b
n
二项展开式的特点
①项数：共n＋1项
②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中 a、b的指数和为n
③系数：第r＋1项的二项式系数为
C
r n
（r＝0，1，2，…，n）
C
r n
二项式定理的证明 对于这样一个关于正整数n的命题，我们可以采用什么方法 进行证明？
数学归纳法
求证：(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnr anrbr Cnn1abn1 Cnnbn
4. 用二项式定理展开 ( x 2 )5 . 2x
活动3：探究新知应用，领悟具体与抽象
探究 1 (1)今天是星期五，那么 7 天后的这一天是星期几呢? (2)如果是 15 天后的这一天呢？ (3)如果是 100 天后的这一天呢？
(4)如果是 8100 天后的这一天呢？
探究 2
在 3 x
2 x
（1）请写出上述展开式_______________________________________________ （2）展开式中有哪些项？每一项前面的系数是多少？如何得到？
（3）请用组合数作为系数写出 (a b)5 的展开式_________________________________ 任务二：试写出 (a b)n 的展开式____________________________________
11
的展开式中，
（1） 求 x2 项的二项式系数；
1
（2） x 3 项是第几项；并求这项的系数;
（3） 问展开式中共有多少有理项。
14.吃别人吃不了的苦，忍别人受不了的气，付出比别人更多的，才会享受的比别人更多。 3.自己想要的东西，要么奋力直追，要么干脆放弃。不要做思想上的巨人，行动上的矮子！别总是逢人就喋喋不休的表决心或者哀怨不断，做 别人茶余饭后的笑点。
证明： 1 当 n=1 时， a b1 a b ，命题成立.
2 假设当 n k 时等式成立，即
(a b)k Ck0ak Ck1ak1b
那么当 n k 1时，
Ckmak mbm
Ckkbk
(a b)k1 (a b)k (a b) (Ck0ak Ck1ak 1b
Ckmak mbm
Ckkbk )(a b)
Ck0 ak 1 Ck1 a k b
Ckm a k m1bm
Ckk abk
Ck0 ak b Ck1a k 1b2
Ckm a k mbm1
Ck0ak 1 (Ck1 Ck0 )ak b (Ckm1 Ckm )ak b m m1 Ckk bk 1
回顾：
（a b)2 a2 2ab b2
(a b)3 (a b)(a b)(a b) (a b)(a2 ab ba b2 )
a3 a2b aba ab2 ba2
bab b2a b3
a3 3a2b 3ab2 b3
37.人生旅程中，平坦顺畅也好，泥泞低谷也罢，都应该坦然面对！ 85.不夺桂冠誓不回，那怕销得人憔悴。 46.死亡教会人一切，如同考试之后公布的结果——虽然恍然大悟，但为时晚矣！ 75.不管前方的路有多苦，只要走的方向正确，不管多么崎岖不平，都比站在原地更接近幸福。 43.自己打败自己是最可悲的失败，自己战胜自己是最可贵的胜利。 107.宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 7.所有漂亮的结果都是在行动中收获的！你不需要很厉害才能开始，但你需要开始，才能变得很厉害！ 15.你今天的努力，是幸运的伏笔，当下的付出，是明日的花开。 11.人生，没有永远的伤痛，再深的痛，在切之时，伤口总会痊愈。 74.不管怎样，生活还是要继续向前走去。有的时候伤害和失败不见得是一件坏事，它会让你变得更好，孤单和失落亦是如此。每件事到最后 一定会变成一件好事，只要你能够走到最后。
（1）展开式中一共有几项？有哪些项？每一项的系数是多少？ （2）上述展开式，通项的表达式为________，通项是展开式的第______项
活动2：点评预习作业，巩固提高学习成果
巩固题组 1. 在 (x 3)10 的展开式中 x6 的系数为
2. 求 3b 2a6 的展开式的第 3 项.
3. 用二项式定理展开 (a 3 b )5 ；
，
其中
Cnr
aCnrnr（brr =0,1,叫2,…做…二,项n）展叫开做式二的项通式项系，数用
， Tr+1
表示，该项是指展开式的第 r+1 项，展开式共有
_n_+__1_个项.
Tr 1
C
r n
a
n
r
br
(r 0,1, 2,
n)
二项式定理
（a＋b）n＝C0n
a
n＋C1n
a
n－1b＋C
2 n
a
n－2
(a b)n ?
二项式定理早在公元前3世纪就已出现萌芽， 古希腊数学家欧几里得在《几何原本》卷2中对 (a+b)2=a2+2ab+b2进行了描述。在成书于公 元50-100年的《九章算术》第四卷内出现了公 式：(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3 。13世纪杨辉 在《详解九章算法》中有引用了“开方作法本 源”图(杨辉三角)。15世纪，阿拉伯数学家阿 尔卡西在《算数之钥》中也给出了9次幂二项式 定理系数表。法国科学家帕斯卡在1654年也发 现了这个结果。可见，二项式定理的发现，在 我国比在欧洲至少要早300年。在1665年,牛顿 把二项式定理推广到n为分数与负数的情形。
Ckk bk 1
Ck01ak 1 Ck11ak b
C a b m1 k m m1 k 1
即 n=k+1 时，命题也成立. 由1 2 得，命题对 n N 都成立.
Ckk11bk 1
阅读课本70页例1-例5， 然后完成课前预习作业
活动一：分享微课内容， 回顾二项式定理的推导过程
任务一：研究 a ba ba b a b 的展开式
(a b)4 ？
尝试二项式定理的发现:
（a b)4 (a b)(a b)(a b（) a b)
C 04 a 4
C14a3b
C
2 4
a
2b2
C
3 4
a
b3
C 44 b 4
a4 a3b a2b2 ab3 b4
C
0 4
C14
C24
C
3 4
C
4 4
（a b)n C0n、 C1n、 C2n、 Cnn-1、 Cnn
（a b)n C0nan C1nan-1b Cnran-rbr Cnnbn
二项式定理:
一般地，对于n N*，有：
(a b)n Cn0an Cn1an1b Cn2a n2b2 Cnr anr br Cnnbn
这个公式表示的定理叫做二项式定理，公式
右边的多项式叫做 (a+b) n的 展开式
探求得:
（ a b)1 C10a1 C11b1 （ a b )2 C02a2 C12a b C22b2 （ a b )3 C30a3 C13a2b C32a b2 C33b3 （ a b )4 C04a4 C14a3b C24a2b2 C34a b3 C44b4
b
2＋
＋C
nwenku.baidu.comn
b
n
二项展开式的特点
①项数：共n＋1项
②指数：a按降幂排列，b按升幂排列，每一项中 a、b的指数和为n
③系数：第r＋1项的二项式系数为
C
r n
（r＝0，1，2，…，n）
C
r n
二项式定理的证明 对于这样一个关于正整数n的命题，我们可以采用什么方法 进行证明？
数学归纳法
求证：(a b)n Cn0an Cn1an1b Cnr anrbr Cnn1abn1 Cnnbn
4. 用二项式定理展开 ( x 2 )5 . 2x
活动3：探究新知应用，领悟具体与抽象
探究 1 (1)今天是星期五，那么 7 天后的这一天是星期几呢? (2)如果是 15 天后的这一天呢？ (3)如果是 100 天后的这一天呢？
(4)如果是 8100 天后的这一天呢？
探究 2
在 3 x
2 x
（1）请写出上述展开式_______________________________________________ （2）展开式中有哪些项？每一项前面的系数是多少？如何得到？
（3）请用组合数作为系数写出 (a b)5 的展开式_________________________________ 任务二：试写出 (a b)n 的展开式____________________________________
11
的展开式中，
（1） 求 x2 项的二项式系数；
1
（2） x 3 项是第几项；并求这项的系数;
（3） 问展开式中共有多少有理项。
14.吃别人吃不了的苦，忍别人受不了的气，付出比别人更多的，才会享受的比别人更多。 3.自己想要的东西，要么奋力直追，要么干脆放弃。不要做思想上的巨人，行动上的矮子！别总是逢人就喋喋不休的表决心或者哀怨不断，做 别人茶余饭后的笑点。
证明： 1 当 n=1 时， a b1 a b ，命题成立.
2 假设当 n k 时等式成立，即
(a b)k Ck0ak Ck1ak1b
那么当 n k 1时，
Ckmak mbm
Ckkbk
(a b)k1 (a b)k (a b) (Ck0ak Ck1ak 1b
Ckmak mbm
Ckkbk )(a b)
Ck0 ak 1 Ck1 a k b
Ckm a k m1bm
Ckk abk
Ck0 ak b Ck1a k 1b2
Ckm a k mbm1
Ck0ak 1 (Ck1 Ck0 )ak b (Ckm1 Ckm )ak b m m1 Ckk bk 1