§8.4 线性系统的可控性和可观测性

可控性与可观测性的概念，是用状态空间描述系统引申出来的新概念，在现代控制理论 中起着重要的作用。可控性、可观测性与稳定性是现代控制系统的三大基本特性。
下面举几个例子直观地说明系统的可控性和可观测性。
（a）
(b)
(c)
图 8-20 电路系统可控性和可观测性的直观判别
对图 8-20 所示的结构图，其中，由图 8.20（a）显见， x1 受 u 的控制，但 x2 与 u 无关， 故系统不可控。系统输出量 y = x1 ，但 x1 是受 x2 影响的， y 能间接获得 x2 的信息，故系统 是可观测的。图 8.20（b）中所示的 x1 、, x2 均受 u 的控制，故系统可控，但 y 与 x2 无关，故 系统不可观测。图 8.20（c）中所示的 x1 、 x2 均受 u 的控制，且在 y 中均能观测到 x1 、 x2 ，
=
⎢⎢⎢−21
⎢2
⎢ ⎢⎣
1
1 2 −1
1 2
−1 2 1
2
0
⎤ ⎥⎥⎥⎥⎥⎢⎢⎢⎣⎡−−−1422⎥⎥⎥⎦⎤ ⎥⎦
=
⎡− 5⎤
⎢ ⎢
11
⎥ ⎥
⎢⎣− 8⎥⎦
若令 x(2) = 0 ，即解方程组
⎡ 1 1⎤
⎡− 2⎤
⎢⎢− 2 ⎢⎣ −1
10⎥⎥⎥⎦⎢⎣⎡uu((10))⎥⎦⎤
=
⎢⎢− 6⎥⎥ ⎢⎣ 0 ⎥⎦
374
⎡−2 2 −1⎤ ⎡0 0⎤
Φ
=
⎢ ⎢
0
−2
0
⎥ ⎥
,
G
=
⎢⎢0
1⎥⎥
⎢⎣ 1 −4 0 ⎥⎦ ⎢⎣1 0⎥⎦
试判断可控性，设初始状态为[ -1 0 2 ] T ，研究使 x(1) = 0 的可能性。
⎡0 0 −1 2 2 − 4⎤
解
S2 = [G ΦG Φ 2G] = ⎢⎢0 1 0 − 2 0
8.4 线性系统的可控性和可观测性
8.4.1 可控性和可观测性的概念
8.3 节介绍了系统的稳定性，本节中介绍系统的另外两个重要特性，即系统的可控性和 可观测性，这两个特性是经典控制理论中所没有的。在用传递函数描述的经典控制系统中， 输出量一般是可控的和可以被测量的，因而不需要特别地提及可控性及可观测性的概念。现 代控制理论用状态方程和输出方程描述系统，输出和输入构成系统的外部变量，而状态为系 统的内部变量。系统就好比是一块集成电路芯片，内部结构可能十分复杂，物理量很多，而 外部只有少数几个引脚，对电路内部物理量的控制和观测都只能通过这为数不多的几个引脚 进行。这就存在着系统内的所有状态是否都受输入控制和所有状态是否都可以从输出反映出 来的问题，这就是可控性和可观测性问题。如果系统所有状态变量的运动都可以通过有限的 控制点的输入来使其由任意的初态达到任意设定的终态，则称系统是可控的，更确切地说是 状态可控的；否则，就称系统是不完全可控的，简称系统不可控。相应地，如果系统所有状 态变量的任意形式的运动均可由有限测量点的输出完全确定出来，则称系统是可观测的，简 称系统可观测；反之，则称系统是不完全可观测的，简称系统不可观测。
u(2) ；研究使 x(2) = 0 的可能性。
解 由题意知
⎡1 0 0⎤
⎡1⎤
Φ
=
⎢ ⎢
0
2 −2⎥⎥ ,
g = ⎢⎢0⎥⎥
⎢⎣−1 1 0 ⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
373
⎡1 1 1 ⎤ rank S1 = rank[g Φ g Φ 2 g] = rank ⎢⎢0 − 2 − 2⎥⎥ = 3 = n
⎢⎣1 −1 − 3 ⎥⎦
多输入线性定常离散系统的状态转移过程一般可少于 n 个采样周期（见例 8-21）。
例 8-20 设单输入线性定常散离系统状态方程为
⎡1 0 0⎤
⎡1⎤
x(k
+ 1)
=
⎢ ⎢
0
2
−2⎥⎥ x(k) + ⎢⎢0⎥⎥ u(k)
⎢⎣−1 1 0 ⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
试判断可控性；若初始状态 x(0) = [2 1 0]T ，确定使 x(3) = 0 的控制序列 u(0) , u(1) ,
方程中有 n 个未知数 u(0),L, u(n − 1) 。由线性方程组解的存在定理可知，当矩阵 S1 的秩与
[ ] 增广矩阵 S1 M x(0) 的秩相等时，方程组有解（在此尚有唯一解），否则无解。注意到在 Δx
为任意的情况下，要使方程组有解的充分必要条件是：矩阵 S1 满秩，即
rank S1 = n
写成矩阵形式，有
Δ x = Φ n−1gu(0) +Φ n−2 gu(1) + L+Φ gu(n −1)
⎡ u(n −1) ⎤
= ⎡⎣ g
Φg
L
Φ
n−1
g
⎤⎦
⎢⎢u ⎢
(n − M
2)⎥⎥ ⎥
⎢ ⎣
u(0)
⎥ ⎦
记
（8-90）
S1 = [ g Φ g L Φ n−1g]
（8-91）
称 n × n 方阵 S1 为单输入离散系统的可控性矩阵。式（8-90）是一个非齐次线性方程组，n 个
故该系统可控。
按式（8-96）求出 u(0) , u(1) , u(2) 。下面则用递推法来求控制序列。令 k=0，1，2，可
得状态序列
⎡ 2 ⎤ ⎡1⎤
x(1)
=
Φ
x(0)
+
gu(0)
=
⎢ ⎢
2
⎥ ⎥
+
⎢⎢0⎥⎥
u(0)
⎢⎣−1⎥⎦ ⎢⎣1⎥⎦
⎡2⎤ ⎡ 1 ⎤
⎡1⎤
x(2) = Φ x(1) + gu(1) = ⎢⎢6⎥⎥ + ⎢⎢−2⎥⎥ u(0) + ⎢⎢0⎥⎥ u(1)
有限时间间隔 t ∈ [t0 , t f ] 内，如果存在无约束的分段连续控制函数 u(t) ，能使系统从任意初
态 x(t0 ) 转移至任意终态 x(t f ) ，则称该系统是状态完全可控的，简称是可控的。
设状态方程为
x& = Ax + bu
（8-99）
终态解为
∫ x(t f ) = eA(t f −t0 ) x(t0 ) +
（8-94）
可控性矩阵为
S2 = ⎡⎣G Φ G L Φ n-1G ⎤⎦
（8-95）
⎡u(n −1)⎤
Δ x = ⎣⎡G
ΦG
L
Φ n−1G ⎤⎦
⎢ ⎢
M
⎥ ⎥
⎢⎣u(0) ⎥⎦
（8-96）
该阵为 n × np 矩阵，由于列向量 u(n −1),L, u(0) 构成的控制列向量是 np 维的，式（8-96） 含有 n 个方程和 np 个待求的控制量。由于 Δx 是任意的，根据解存在定理，矩阵 S2 的秩为 n
1．离散系统的可控性 （1）单输入离散系统的状态可控性。 n 阶单输入线性定常离散系统状态可控性定义为：
在有限时间间隔 t ∈ [0, nT ] 内，存在无约束的阶梯控制序列 u（0），…，u（n-1），能使系统
从任意初态 x（0）转移至任意终态 x（n），则称该系统状态完全可控，简称可控。 下面导出系统可控性的条件。设单输入系统状态方程为
⎡ 1 1 − 2⎤ 容易看出其系数矩阵的秩为 2，但增广矩阵 ⎢⎢− 2 0 − 6⎥⎥ 的秩为 3，两个秩不等，方程
⎢⎣ −1 1 0 ⎥⎦
组无解，意为不能在第二个采样周期内使给定初态转移至原点。若该两个秩相等时，便意味 着可用两步完成状态转移。
例 8-21 多输入线性定常离散系统的状态方程为 x(k +1) = Φ x(k ) + Gu(k )
（8-92）
或矩阵 S1 的行列式不为零，或矩阵 S1 是非奇异的，即
det S1 ≠ 0
（8-93）
式（8-92）和式（8-93）都称为可控性判据。
当 rank S1＜n 时，系统不可控，表示不存在能使任意 x(0) 转移至任意 x(n) 的控制。
从以上推导看出，状态可控性取决于Φ 和 g，当 u(k ) 不受约束时，可控系统的状态转
x(k +1) = Φ x(k) + gu(k)
（8-87）
其解为 定义
k −1
∑ x(k) = Φ k x(0) + Φ k−1−i gu(i) i=0 Δ x = x(n) −Φ n x(0)
（8-88） （8-89）
由于 x(0) 和 x(n) 的取值都可以是任意的，因此 Δ x 的取值也可以是任意的。将式(8-89)
⎢⎢− 2
−2
0⎥⎥ ⎢⎢ u (1)
⎥ ⎥
=
⎢⎢− 12⎥⎥
⎢⎣− 3 −1 1⎥⎦⎢⎣u(2)⎥⎦ ⎢⎣ − 4 ⎥⎦
其系数矩阵即可控性矩阵 S1，它的非奇异性可给出的解为
⎡u(0)⎤ ⎡ 1
⎢⎢ u(1)
⎥ ⎥
=
⎢⎢−
2
⎢⎣u(2)⎥⎦ ⎢⎣− 3
1 −2 −1
⎡1
1⎤ −1 0⎥⎥ 1⎥⎦
⎡−2⎤ ⎢⎢− 12⎥⎥ ⎢⎣ − 4 ⎥⎦
时，方程组才有解。于是多输入线性定常散离系统状态可控的充分必要条件是
rank S2 = rank[G Φ GLΦ n−1G] = n
（8-97）
或
det S2 S2T ≠ 0
（8-98）
矩阵 S2 的行数总小于列数，在列写矩阵 S2 时，若能知道 S2 的秩为 n ，便不必把 S2 的 其余列都计算和列写出来。另外，用式（8-98）计算一次 n 阶行列式便可确定可控性了，这 比可能需要多次计算矩阵 S2 的 n 阶行列式要简单些。
372
移过程至多以 n 个采样周期便可以完成，有时状态转移过程还可能少于 n 个采样周期。
上述过程不仅导出了单输入离散系统可控性条件，而且式（8-90）还给出了求取控制输 入的具体方法。
（2）多输入离散系统的状态可控性。 单输入离散系统可控性的判断方法可推广到多输 入系统，设系统状态方程为
x(k +1) = Φ x(k) + Gu(k)
⎡ u0 ⎤
n−1
∑ e− Atf Δ x = Ambum = ⎡⎣b m=0
Ab
L
An−1b ⎤⎦
⎢ ⎢ ⎢
u1 M
⎥ ⎥ ⎥
⎢⎣un
−1
⎥ ⎦
(8-103)
记
S3 = ⎡⎣b Ab L An−1b⎤⎦
(8-104)
S3 为单输入线性定常连续系统可控性矩阵，为 n × n 矩阵。可以证明：由于各α m(τ )
⎢⎣0⎥⎦ ⎢⎣−1⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
⎡2⎤ ⎡1⎤
⎡1⎤
⎡1⎤
x(3) = Φ x(2) + gu(2) = ⎢⎢12⎥⎥ + ⎢⎢−2⎥⎥ u(0) + ⎢⎢−2⎥⎥ u(1) + ⎢⎢0⎥⎥ u(2)
⎢⎣ 4 ⎥⎦ ⎢⎣−3⎥⎦
⎢⎣ −1⎥⎦
⎢⎣1⎥⎦
令 x(3) = 0 ，即解方程组
⎡ 1 1 1⎤⎡u(0)⎤ ⎡ − 2 ⎤
0⎥ ⎥
−2⎥⎦
⎡0 ⎢⎢0 ⎢⎣1
0⎤ 1⎥⎥ 0⎥⎦
⎡u1(0) ⎤
⎢⎣u2
(0)
⎥ ⎦
=
⎡−1 ⎢ ⎢0 ⎢ ⎢⎣ 2
2⎤
1 2
⎥ ⎥ ⎥
⎡u1(0) ⎤
⎢⎣u2
(0)
⎥ ⎦
−3⎥⎦
设初始状态为 [−1
0
⎡−1
2]T ，由于
⎢ rank ⎢
0
⎢⎣ 2
2⎤ 1⎥ −23⎥⎥⎦ =
⎡−1 ⎢ rank ⎢ 0 ⎢ ⎢⎣ 2
有
（8-101）
375
∫ ∑ ∑ ∫ Δx = eAtf
tf t0
n−1
αm (τ ) Ambu(τ )dτ
m=0
= eAt f
n−1 m=0
Amb
⎡ ⎢⎣
tf t
0
α
m
(τ
)u
(τ
)dτ
⎤ ⎥⎦
令
∫ um =
tf t0
α
m
(τ
)u(τ
)dτ
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(m = 0,1,L, n −1)
（8-102）
考虑到 um 是标量，有
故系统是可控可观测的。 只有少数简单的系统可以从结构图或信号流图直接判别系统的可控性与可观测性。如果
系统结构复杂，就只能借助于数学方法进行分析与研究，才能得到正确的结论。
371
8.4.2 线性定常系统的可控性
可控性分为状态可控性和输出可控性，若不特别指明，一般指状态可控性。状态可控性 只与状态方程有关，与输出方程无关。下面分别对离散、连续定常系统的可控性加以研究， 先从单输入离散系统入手。
t f e A(t f −τ )bu(τ )dτ
t0
（8-100）
定义
Δ x = x(t f ) − eA(t f −t0 ) x(t0 )
∫ 显然，Δ x 的取值也是任意的。于是有 Δ x = tf eA(tf −τ )bu(τ )dτ t0
利用凯莱-哈密顿定理的推论
n −1
∑ e− Aτ = αm (τ ) Am m=0
4
⎥ ⎥
⎢⎣1 0 0 − 4 −1 10 ⎥⎦
由前三列组成的矩阵的行列式不为零，故该系统可控，一定能求得控制使系统从任意初态
在三步内转移到原点。由 x(1) = Φ x(0) + Gu(0) = 0 ，给出
⎡0 ⎢ x(0) = −Φ −1Gu(0) = − ⎢0 ⎢ ⎢⎣1
−2 −1
2 3
1⎤ ⎥
2
1 2 −3
−1⎤ ⎥
0 ⎥ =2，可求得 ⎥
2 ⎥⎦
u1(0) = 1, u2 (0) = 0 ，在一步内使该初态转移到原点。当初始状态为[2 1 2 −3]T 时亦然，
只是 u1 (0) = 0, u2 (0) = 1。但本例不能在一步内使任意初态转移到原点。
2．连续系统的可控性
（1）单输入连续系统的状态可控性。 单输入线性连续定常系统状态可控性定义为：在