2014高考调研理科数学课时作业讲解_课时作业25

课时作业(二十五)
1．f (x )＝(1－3tan x )cos x ＋2的最小正周期为 ( )
A ．2π B.3π2 C ．π D.π2
答案 A
解析 f (x )＝(1－3sin x
cos x )cos x ＋2 ＝cos x －3sin x ＋2＝2cos(x ＋π
3)＋2， ∴T ＝2π.
2．函数y ＝2cos 2x 的一个单调增区间是 ( )
A ．(－π4，π
4) B ．(0，π
2) C ．(π4，3π4) D ．(π
2，π)
答案 D
解析 y ＝2cos 2x ＝1＋cos2x ， ∴递增区间为2k π＋π≤2x ≤2k π＋2π. ∴k π＋π
2≤x ≤k π＋π. ∴k ＝0时，π
2≤x ≤π.选D.
3．(2013·西城区期末)下列函数中，即为偶函数又在(0，π)上单调递增的是
( )
A ．y ＝tan|x |
B ．y ＝cos(－x )
C ．y ＝sin(x －π2)
D ．y ＝－cos2x 答案 C
4．(2013·衡水调研卷)已知f (x )＝sin 2(x ＋π4)．若a ＝f (lg5)，b ＝f (lg 1
5)，则( ) A ．a ＋b ＝0
B ．a －b ＝0
C ．a ＋b ＝1
D ．a －b ＝1
答案 C
解析 利用降幂公式化简f (x )，再利用对数的性质计算a ＋b 或a －b .因为f (x )＝sin 2(x ＋π4)＝
1－cos (2x ＋π
2)
2
＝
1＋sin2x 2，令lg5＝t ，则lg 1
5＝－t ，所以a ＝f (lg5)
＝1＋sin2t 2，b ＝f (lg 15)＝1－sin2t
2，所以a ＋b ＝1，故应选C.
5．已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)在x ＝π
4处取得最小值，则( ) A ．f (x ＋π
4)一定是偶函数 B ．f (x ＋π
4)一定是奇函数 C ．f (x －π
4)一定是偶函数 D ．f (x －π
4)一定是奇函数
答案 A
解析 f (x ＋π4)是f (x )向左平移π4个单位得到的，f (x )图像关于x ＝π
4对称，则f (x ＋π4)图像关于x ＝0对称，故f (x ＋π
4)为偶函数．
6．定义在R 上的函数f (x )既是奇函数又是周期函数，若f (x )的最小正周期为π，且当x ∈[－π2，0)时，f (x )＝sin x ，则f (－5π
3)的值为
( )
A ．－12 B.12 C ．－3
2 D.32
答案 D
解析 据题意，由函数的周期性及奇偶性知：f (－5π3)＝f (－5π3＋2π)＝f (π
3)＝－f (－π3)＝－sin(－π3)＝32.
7．函数y ＝－x cos x 的部分图像是
( )
答案 D
解析 方法一 由函数y ＝－x cos x 是奇函数，知图像关于原点对称． 又由当x ∈[0，π
2]时，cos x ≥0，有－x cos x ≤0. 当x ∈[－π
2，0]时，cos x ≥0，有－x cos x ≥0.∴应选D. 方法二 特殊值法，由f (±
π
2)＝0， ∵f (π4)＝－π4·cos π4<0，由图像可排除A 、B ， 又∵f (－π4)＝π4·cos π4>0，排除C ，故选D. 8．关于x 的函数f (x )＝sin(πx ＋φ)有以下命题： ①∀φ∈R ，f (x ＋2π)＝f (x )； ②∃φ∈R ，f (x ＋1)＝f (x )； ③∀φ∈R ，f (x )都不是偶函数； ④∃φ∈R ，使f (x )是奇函数． 其中假命题的序号是 ( )
A ．①③
B ．①④
C ．②④
D ．②③
答案 A
解析 对命题①，取φ＝π时，f (x ＋2π)≠f (x )，命题①错误；如取φ＝2π，则f (x ＋1)＝f (x )，命题②正确；对于命题③，φ＝π
2时f (x )＝f (－x )，则命题③错误；如取φ＝π，则f (x )＝sin(πx ＋π)＝－sinπx ，命题④正确．
9．(2011·全国课标理)设函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π
2)的最
小正周期为π，且f (－x )＝f (x )，则
( )
A ．f (x )在(0，π
2)单调递减 B ．f (x )在(π4，3π
4)单调递减 C ．f (x )在(0，π
2)单调递增 D ．f (x )在(π4，3π
4)单调递增 答案 A
解析 y ＝sin(ωx ＋φ)＋cos(ωx ＋φ)＝2sin(ωx ＋φ＋π
4)，由最小正周期为π，得ω＝2，又由f (－x )＝f (x )可知f (x )为偶函数，|φ|<π2可得φ＝π
4，所以y ＝2cos2x ，在(0，π
2)单调递减．
10．已知函数y ＝sin w x 在[－π3，π
3]上是减函数，则w 的取值范围是( ) A ．[－3
2，0) B ．[－3,0) C ．(0，3
2] D ．(0,3]
答案 A
解析 由题意可知，ω<0，且有⎪⎪⎪⎪⎪⎪π3ω≤π
2.
∴－3
2≤ω<0.
11．函数f (x )＝M sin(ωx ＋φ)(ω>0)在区间[a ，b ]上是增函数，且f (a )＝－M ，f (b )＝M ，则函数g (x )＝M cos(ωx ＋φ)在[a ，b ]上
( )
A ．是增函数
B ．是减函数
C ．可以取得最大值M
D ．可以取得最小值－M 答案 C
解析 方法一(特值法)：取M ＝2，w ＝1，φ＝0画图像即得答案．
方法二：T ＝2πw ，g (x )＝M cos(w x ＋φ)＝M ·sin(w x ＋φ＋π2)＝M ·sin[w (x ＋π
2w )＋φ]，
∴g (x )的图像是由f (x )的图像向左平移π2w (即T
4)得到的
由b －a ＝T
2，可知，g (x )的图像由f (x )的图像向左平移b －a 2得到的． ∴得到g (x )图像如图所示．选C.
12．设f (x )＝x sin x ，若x 1、x 2∈[－π2，π
2]，且f (x 1)>f (x 2)，则下列结论中，必成立的是
( )
A ．x 1>x 2
B ．x 1＋x 2>0
C ．x 1<x 2
D ．x 21>x 2
2
答案 D
13．(2012·衡水调研卷)将函数y ＝sin(6x ＋π
4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，再向右平移π
8个单位，得到的函数的一个对称中心是
( )
A ．(π
2，0) B ．(π
4，0) C ．(π
9，0) D ．(π
16，0)
答案 A
解析 将函数y ＝sin(6x ＋π
4)图像上各点的横坐标伸长到原来的3倍，得到函数y ＝sin(2x ＋π4)的图像，再向右平移π8个单位，得到函数f (x )＝sin[2(x －π8)＋π4]＝sin2x 的图像，而f (π
2)＝0，故选A.
14．(2011·山东文)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间[0，π
3]上单调递增，在区间
[π3，π
2]上单调递减，则ω＝
( )
A.2
3 B.32 C ．2 D ．3
答案 B
解析 由于函数f (x )＝sin ωx 的图像经过坐标原点，根据已知并结合函数图像可知，π3为这个函数的四分之一周期，故2πω＝4π3，解得ω＝3
2.
15．将函数y ＝sin(ωx ＋φ)(π2<φ<π)的图像，仅向右平移4π3，或仅向左平移2π
3，所得到的函数图像均关于原点对称，则ω＝________.
答案 1
2
解析 注意到函数的对称轴之间距离是函数周期的一半，即有T 2＝4π3－(－2π
3)＝2π，T ＝4π，即2πω＝4π，ω＝12.
16．已知函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的图像的一条对称轴是x ＝5π
3，则函数g (x )＝a sin x ＋cos x 的初相是________．
答案 2
3π
解析 f ′(x )＝cos x －a sin x ，∵x ＝5π
3为函数f (x )＝sin x ＋a cos x 的一条对称轴， ∴f ′(5π3)＝cos 5π3－a sin 5π3＝0，解得a ＝－33. ∴g (x )＝－33sin x ＋cos x ＝233(－12sin x ＋3
2cos x ) ＝233sin(x ＋2π3)．
17．已知函数f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1(x ∈R )． (1)求函数f (x )的周期、对称轴方程； (2)求函数f (x )的单调增区间．
答案 (1)T ＝π，对称轴方程为x ＝k π2＋π
6(k ∈Z )
(2)[k π－π3，k π＋π
6](k ∈Z )
解析 f (x )＝2cos 2x ＋23sin x cos x －1＝3sin2x ＋cos2x ＝2sin(2x ＋π
6)． (1)f (x )的周期T ＝π，函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π
6(k ∈Z )． (2)由2k π－π2≤2x ＋π6≤2k π＋π2(k ∈Z )，得kx －π3≤x ≤k π＋π
6(k ∈Z )． ∴函数f (x )的单调增区间为[k π－π3，k π＋π
6](k ∈Z )． 18．已知f (x )＝2sin(x ＋θ2)·cos(x ＋θ2)＋23cos 2(x ＋θ
2)－ 3. (1)化简f (x )的解析式，并求其最小正周期； (2)若0≤θ≤π，求θ，使函数f (x )为偶函数；
(3)在(2)成立的条件下，求满足f (x )＝1，x ∈[－π，π]的x 的集合． 解析 (1)f (x )＝sin(2x ＋θ)＋3cos(2x ＋θ) ＝2sin(2x ＋θ＋π3)， ∴T ＝2πω＝2π2
＝π.
(2)由于θ∈[0，π]要使f (x )为偶函数， ∴θ＋π3＝π2，∴θ＝π6.
(3)在(2)成立的条件下，f (x )＝2cos2x . 由2cos2x ＝1，∴cos2x ＝1
2，∵x ∈[－π，π]， ∴x ＝－π6或x ＝π
6.
∴x ∈⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
－π6，π6.
19．(2012·北京)已知函数f (x )＝
(sin x －cos x )sin2x
sin x
.
(1)求f (x )的定义域及最小正周期； (2)求f (x )的单调递减区间．
解析 (1)由sin x ≠0，得x ≠k π(k ∈Z )．
故f (x )的定义域为{x ∈R |x ≠k π，k ∈Z }． 因为f (x )＝(sin x －cos x )sin2x
sin x ＝2cos x (sin x －cos x ) ＝sin2x －cos2x －1 ＝2sin(2x －π
4)－1，
所以f (x )的最小正周期T ＝2π
2＝π.
(2)函数y ＝sin x 的单调递减区间为[2k π＋π2，2k π＋3π
2](k ∈Z )． 由2k π＋π2≤2x －π4≤2k π＋3π
2，x ≠k π(k ∈Z )， 得k π＋3π8≤x ≤k π＋7π
8(k ∈Z )．
所以f (x )的单调递减区间为[k π＋3π8，k π＋7π
8](k ∈Z )．
1．(2013·东北四校模拟)已知函数f (x )＝－2sin(2x ＋φ)(|φ|<π)，若f (π
8)＝－2，则f (x )的一个单调递增区间可以是
( )
A ．[－π8，3π8]
B ．[5π8，9π8]
C ．[－3π8，π
8] D ．[π8，5π8]
答案 D
解析 f (π
8)＝－2， ∴－2sin(2×π
8＋φ)＝－2， 即sin(π
4＋φ)＝1. ∵|φ|<π，∴φ＝π
4. ∴f (x )＝－2sin(2x ＋π
4)．
由2k π＋π2≤2x ＋π4≤2k π＋3π
2，得 k π＋π8≤x ≤k π＋5π
8(k ∈Z )． 当k ＝0时，π8≤x ≤5π
8.
2．已知函数y ＝2sin(w x ＋θ)为偶函数(0<θ<π)，其图像与直线y ＝2的某两个交点横坐标为x 1、x 2，若|x 2－x 1|的最小值为π，则
( )
A ．w ＝2，θ＝π
2 B ．w ＝－12，θ＝π
2 C ．w ＝12，θ＝π
4 D ．w ＝2，θ＝π
4
答案 A
解析 ∵y ＝2sin(w x ＋θ)为偶函数，∴θ＝π
2. ∵图像与直线y ＝2的两个交点横坐标为 x 1，x 2，|x 2－x 1|min ＝π，即T ＝π.
3．已知函数y ＝sin πx
3在区间[0，t ]上至少取得2次最大值，则正整数t 的最小值是
( )
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
答案 C
解析 周期T ＝2ππ3
＝6.由题意，T ＋T
4≤t ，得t ≥7.5.故选C.
4．函数g (x )＝sin 22x 的单调递增区间是 ( )
A ．[k π2，k π2＋π
4](k ∈Z ) B ．[k π，k π＋π
4](k ∈Z ) C ．[k π2＋π4，k π2＋π
2](k ∈Z ) D ．[k π＋π4，k π＋π
2](k ∈Z )
答案 A
5．(2012·冀州中学模拟)如果关于x 的不等式f (x )<0和g (x )<0的解集分别为(a ，b )，(1b ，1a )，那么称这两个不等式为“对偶不等式”，如果不等式x 2－43x ·cos2θ
＋2<0与不等式2x 2＋4x sin2θ＋1<0为“对偶不等式”，且θ∈(π
2，π)，那么θ＝________.
答案 5π
6
解析 设x 2－43x cos2θ＋2<0解集为(a ，b )， 则2x 2＋4x sin2θ＋1<0解集为(1b ，1
a )． ∴a ＋
b ＝43cos2θ，ab ＝2， 1a ＋1
b ＝－2sin2θ.
又1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝43cos2θ2＝23cos2θ，
∴23cos2θ＝－2sin2θ. ∴tan2θ＝－ 3.
又θ∈(π
2，π)，∴2θ∈(π，2π)． ∴2θ＝5π3，θ＝5π6.
6．已知函数f (x )＝m sin x ＋n cos x ，且f (π
4)是它的最大值(其中m ，n 为常数且mn ≠0)，给出下列命题：
①f (x ＋π
4)为偶函数；
②函数f (x )的图像关于点(7π
4，0)对称； ③f (－3π
4)是函数f (x )的最小值；
④函数f (x )的图像在y 轴右侧与直线y ＝m
2的交点按横坐标从小到大依次记为P 1，P 2，P 3，P 4，…，则|P 2P 4|＝π；
⑤m n ＝1.
其中真命题是________．(写出所有正确命题的序号)
答案 ①②③⑤
解析 由题意得f (x )＝m sin x ＋n cos x ＝m 2＋n 2sin(x ＋φ)(tan φ＝n m )．
因为f (π4)是它的最大值，
所以π4＋φ＝2k π＋π2(k ∈Z )，φ＝2k π＋π4.
所以f (x )＝m 2＋n 2sin(x ＋2k π＋π4) ＝m 2＋n 2sin(x ＋π4)．
且tan φ＝n m ＝tan(2k π＋π4)＝1，
即n m ＝1.故f (x )＝2|m |sin(x ＋π4)．
①f (x ＋π4)＝2|m |sin(x ＋π4＋π4)＝2|m |cos x ，为偶函数，①正确；
②当x ＝7π4时，f (7π4)＝2|m |sin(π4＋7π4) ＝2|m |sin2π＝0，
所以f (x )的图像关于点(7π4，0)对称，②正确；
③f (－3π4)＝2|m |sin(π4－3π4)＝－2|m |sin π2 ＝－2|m |，取得最小值，③正确；
④根据f (x )＝2|m |sin(x ＋π4)可得其周期为2π，
由题意可得P 2与P 4相差一个周期2π，即|P 2P 4|＝2π，④错误；
⑤m n ＝1，显然成立，⑤正确．
7．已知函数f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋23sin x cos x ＋1.
(1)求函数f (x )的最小正周期及单调递减区间；
(2)当x ∈[－π6，π3]时，f (x )－3≥m 恒成立，试确定m 的取值范围．
答案 (1)π [π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z ) (2)(－∞，－3]
解析 (1)f (x )＝cos 2x －sin 2x ＋23sin x cos x ＋1＝3sin2x ＋cos2x ＋1＝2sin(2x ＋π6)＋1.
因此函数f (x )的最小正周期为2π2＝π.
由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π(k ∈Z )，
得π6＋k π≤x ≤2π3＋k π(k ∈Z )．
故函数f (x )的单调递减区间为[π6＋k π，2π3＋k π](k ∈Z )．
(2)当x ∈[－π6，π3]时，2x ＋π6∈[－π6，5π6]，
所以－1≤2sin(2x ＋π6)≤2，因此0≤f (x )≤3.
因为f (x )－3≥m 恒成立，
所以m ≤f (x )min －3＝0－3＝－3.
故m 的取值范围是(－∞，－3]．
8．已知函数f (x )＝3(sin 2x －cos 2x )－2sin x cos x .
(1)求f (x )的最小正周期；
(2)设x ∈[－π3，π3]，求f (x )的值域和单调递增区间．
解析 (1)∵f (x )＝－3(cos 2x －sin 2x )－2sin x cos x ＝－3cos2x －sin2x
＝－2sin(2x ＋π3)，
∴f (x )的最小正周期为π.
(2)∵x ∈[－π3，π3]，
∴－π3≤2x ＋π3≤π，∴－32≤sin(2x ＋π3)≤1.
∴f (x )的值域为[－2，3]．
∵当y ＝sin(2x ＋π3)单调递减时，f (x )单调递增，
∴π2≤2x ＋π3≤π，即π12≤x ≤π3.
故f (x )的单调递增区间为[π12，π3]．
9．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图像(如下图)．
(1)求f (x )的最小正周期及解析式；
(2)设g (x )＝f (x )－cos2x ，求函数g (x )在区间[0，π2]上的最大值和最小值．
解析 (1)由题图可得A ＝1，T 2＝2π3－π6＝π2.
所以T ＝π.所以ω＝2.
当x ＝π6时，f (x )＝1，可得sin(2×π6
＋φ)＝1. 因为|φ|<π2，所以φ＝π6.
所以f (x )的解析式为f (x )＝sin(2x ＋π6)．
(2)g (x )＝f (x )－cos2x ＝sin(2x ＋π6)－cos2x
＝sin2x cos π6＋cos2x sin π6－cos2x ＝32sin2x －12cos2x ＝sin(2x －π6)．
因为0≤x ≤π2，所以－π6≤2π－π6≤5π6.
当2x －π6＝π2，即x ＝π3时，g (x )有最大值，最大值为1；
当2x －π6＝－π6，即x ＝0时，g (x )有最小值，最小值为－12.
10．已知函数f (x )＝sin x cos φ＋cos x sin φ(其中x ∈R,0<φ<π)．
(1)求函数f (x )的最小正周期；
(2)若函数y ＝f (2x ＋π4)的图像关于直线x ＝π6对称，求φ的值．
解析 (1)∵f (x )＝sin(x ＋φ)，
∴函数f (x )的最小正周期为2π.
(2)函数y ＝f (2x ＋π4)＝sin(2x ＋π4＋φ)，
y ＝sin x 的图像的对称轴为x ＝k π＋π2(k ∈Z )，
令2x ＋π4＋φ＝k π＋π2，k ∈Z ，
将x ＝π6代入上式，得φ＝k π－π12(k ∈Z )．
∵0<φ<π，∴φ＝11π12.
11．(2011·浙江文
)
已知函数f (x )＝A sin(π3x ＋φ)，x ∈R ，A >0,0<φ<π2.y ＝f (x )的部分图像如图所示，
P ，Q 分别为该图像的最高点和最低点，点P 的坐标为(1，A )．
(1)求f (x )的最小正周期及φ的值；
(2)若点R 的坐标为(1,0)，∠PRQ ＝2π3，求A 的值．
解析 (1)由题意，得T ＝2ππ3
＝
6.
因为P (1，A )在y ＝A sin(π3x ＋φ)的图像上，
所以sin(π3
＋φ)＝1. 又因为0<φ<π2，
所以φ＝π
6.
(2)设点Q的坐标为(x0，－A)．
由题意可知π
3x0＋
π
6＝
3π
2，得x0＝4，所以Q(4，－A)．
如图，连接PQ，在△PRQ中，∠PRQ＝2π
3，由余弦定理，得
cos∠PRQ＝RP2＋RQ2－PQ2
2RP·RQ＝
A2＋9＋A2－(9＋4A2)
2A·9＋A2
＝－
1
2，解得A
2＝3.
又A>0，所以A＝ 3.。