牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法 2

§3.4 牛顿迭代法

牛顿迭代法也称为牛顿-拉夫森(Newton-Raphson)迭代法，它是数值分析中最重要的方法之一，它不仅适用于方程或方程组的求解，还常用于微分方程和积分方程求解。

3.4.1 牛顿迭代法

用迭代法解非线性方程时，如何构造迭代函数是非常重要的，那么怎样构造的迭代函数才能保证迭代法收敛呢？牛顿迭代法就是常用的方法之一，其迭代格式的来源大概有以下几种方式：

1设

],[)(2b a C x f ∈，对)(x f 在点],[0b a x ∈作泰勒展开： !2))((''))((')()(2

0000x x f x x x f x f x f -+-+=ξ

略去二次项，得到)(x f 的线性近似式：

))((')()(000x x x f x f x f -+≈。 由此得到方程=)(x f 0的近似根(假定

≠)('0x f 0)，)(')(000x f x f x x -= 即可构造出迭代格式(假定≠)('k x f 0)：)(')

(1k k k k x f x f x x -=+ 公式(3.4.1)

这就是牛顿迭代公式，若得到的序列{k x }收敛于α，则α就是非线性方程的根。

2 牛顿迭代法也称为牛顿切线法，这是由于)(x f 的线

性化近似函数)(x l ＝))((')(000x x x f x f -+是曲线y ＝

)(x f 过点))(,(00x f x 的切线而得名的，求)(x f 的零点代之

以求)(x l 的零点，即切线)(x l 与x 轴交点的横坐标，如右图

所示，这就是牛顿切线法的几何解释。实际上，牛顿迭代法

也可以从几何意义上推出。利用牛顿迭代公式，由k x 得到1+k x ，从几何图形上看，就是过点))(,(k k x f x 作函数)(x f 的切线k l ，切线k l 与x 轴的交点就是1+k x ，所以有

1)()('+-=k k k k x x x f x f ，整理后也能得出牛顿迭代公式：

)(')

(1k k k k x f x f x x -=+。

3 要保证迭代法收敛，不管非线性方程=)(x f 0的形式如何，总可以构造：

)()()(x f x k x x x -==ϕ )0)((≠x k ？

作为方程求解的迭代函数。因为：)(')()()('1)('x f x k x f x k x --=ϕ 而且)('x ϕ在根α附近越小，其局部收敛速度越快，故可令：0)('=αϕ

若≠)('αf 0(即根α不是=)(x f 0的重根)，则由0)('=αϕ得：)('1)(ααf k =， 因此可令)('1)(x f x k =，则也可以得出迭代公式：

)(')(1k k k k x f x f x x -=+。 4 迭代法的基本思想是将方程0)(=x f 改写成等价的迭代形式)(x x ϕ=，但随之而来的问题却是迭代公式不一定收敛，或者收敛的速度较慢。运用前述加速技巧，对于简单迭代过程)(1n n n x f x x +=+，其加速公式具有形式：

θθϕ--=+1)(1n n n x x x )(111n n n x x x --+=++θθ，其中)(1

n n x x ϕ=+ 记1-=θL ，上面两式可以合并写成：

L x f x x n n n )

(1-=+ 这种迭代公式称作简单的牛顿公式，其相应的迭代函数是：

L x f x x )

()(-=ϕ。 需要注意的是，由于L 是)('x ϕ的估计值，若取)()(x f x x +=ϕ，则)('x ϕ实际上便是)('x f 的估计值。假设0)('≠x f ，则可以用)('x f 代替上式中的L ，就可得到牛顿法的迭代公式：

)(')(1n n n n x f x f x x -

=+。

牛顿迭代法实质上是一种线性化方法，其基本思想是将非线性方程逐步归结为某种线性方程来求解。

3.4.2 牛顿迭代法的收敛性 牛顿迭代公式可以看成是由

)(')()(x f x f x x -

=ϕ而获得的不动点迭代格式。这样就可以应用

不动点迭代的收敛原则，只须证明在根α附近的迭代函数是一个压缩映象。由于：222)]('[)(")()]('[)(")()]('[1)('x f x f x f x f x f x f x f x =--=ϕ，

这里的根α是单根，即0)(=αf 且0)('≠αf ，于是：0)]('[)(")()('2==ααααϕf f f 。

那么由)('x ϕ的连续性可知，存在一个邻域),(δαδα+-，对这个邻域内的一切x ，有：q

x <)('ϕ，其中O ＜q ＜1，因此)(x ϕ为区间),(δαδα+-上的一个压缩映象，于是有以下

结论： 定理 3.4.1 设

],[)(2b a C x f ∈，*x 是0)(=x f 的精确解，且0*)('≠x f ，则存在*x 的δ邻域)*,*(δδ+-x x ，对于任何迭代初值)*,*(0

δδ+-∈x x x ，迭代序列}{n x 收敛于*x 。

牛顿迭代法具有较高的收敛速度，它的收敛阶数为p ＝2；而牛顿迭代法的局部收敛性较

强，只有初值充分地接近*

x，才能确保迭代序列的收敛性。为了放宽对局部收敛性的限制，必须再增加条件建立以下收敛的充分条件。

定理 3.4.2设

]

,

[

)

(2b

a

C

x

f∈，且满足：在区间]

,

[b

a上，

⑴

)

(

)

(<

b

f

a

f；⑵0

)

('≠

x

f；

⑶

)

("x

f不变号；⑷]

,

[

b

a

x∈

，满足条件：

)

("

)

(

>

x

f

x

f

则牛顿迭代序列

}

{

n

x

，单调地收敛于方程

)

(=

x

f的唯一解*

x。

由条件⑴至条件⑷可归结为四种情形：

①

)

(<

a

f，0

)

(>

b

f，0

)

('>

x

f，0

)

(">

x

f；

②

)

(<

a

f，0

)

(>

b

f，0

)

('>

x

f，0

)

("<

x

f；

③

)

(>

a

f，0

)

(<

b

f，0

)

('<

x

f，0

)

(">

x

f；

④

)

(>

a

f，0

)

(<

b

f，0

)

('<

x

f，0

)

("<

x

f。

对定理的几何意义作如下说明：条件⑴保证了根的存在性；条件⑵表明函数单调变化，在

区间

]

,

[b

a内有惟一的根；条件⑶表示函数图形在区间]

,

[b

a上的凹向不变。条件⑶和条件⑷

一起保证了每一次迭代值都界于区间

]

,

[b

a内。

在不满足上述收敛充分条件时，有可能导致迭代值远离所求根的情况或死循环的情况(如下图所示)。