《导数及其简单应用》含答案

《导数及其简单应用》测试题

一．选择题（共50分）

1.一质点做直线运动,由始点起经过t s 后的距离为s =

4

1t 4- 4t 3 + 16t 2

, 则速度为零的时刻是 （ D ） A.4s 末 B.8s 末 C.0s 与8s 末 D.0s,4s,8s 末 2.已知f(x)=3x ·sinx ，则'(1)f =( B ) A.

31+cos1 B. 31sin1+cos1 C. 3

1

sin1-cos1 D.sin1+cos1 3.若函数3

()33f x x bx b =-+在区间(0,1)内有极小值，则（ A ）

A.01b <<

B.1b <

C. 0b >

D. 1

2

b <

4.已知对任意实数x ，有()()()()f x f x g x g x -=--=，，且0x >时，

()0()0f x g x ''>>，，则0x <时（ B ）

A ．()0()0f x g x ''>>，

B ．()0()0f x g x ''><，

C ．()0()0f x g x ''<>，

D ．()0()0f x g x ''<<，

5. f (x )与g(x )是定义在R 上的两个函数，若()()f x g x ''=,则f (x )与g (x )一定满足（ B ） A.f (x )=g (x ) B .f (x )－g (x )=C （C 为常数） C. f (x )+g (x )=C （C 为常数）D. f (x )=g (x )=0

6. 函数3

2

(),f x ax bx =+（a 、b 为常数）在1x =处有极大值3，那么此函数在[]-1,1上的

最大值为（ C ）

A. 3

B.0

C. 15

D. 1 7.以下是对连续函数f(x)在区间(),a b 上的定积分⎰b

a

dx x f )(的值的符号的叙述，其中正

确的个数是( B )

①一定是正的 ②若()0f x >则定积分值必为正 ③若()0f x <则定积分值必为负 ④若定积分值为0，则必有()0f x = A.1 B.2 C. 3 D. 4

8. 若2

1()ln(2)2

f x x b x =-

++∞在(-1,+)上是减函数，则b 的取值范围是（ C ) A. [1,)-+∞ B. (1,)-+∞ C. (,1]-∞- D. (,1)-∞-

9. 以下定积分计算正确的个数是（ D ）

①1

20ln 2

12

x dx x =+⎰ ②22012x dx -=⎰

③

2

2π-=⎰

④3(cos )a

a

x x dx -⋅=⎰0 (0)a >其中

A.1

B.2

C. 3

D. 4 10.函数(3)1y x x x =-+ ( B )

A ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝1

B ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (3)＝1

C ．极大值为f (2)＝5，极小值为f (0)＝f (3)＝1

D ．极大值为f (2)＝5，无极小值

[解析] y ＝x |x (x －3)|＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧ x 3－3x 2＋1 (x <0或x >3)－x 3＋3x 2＋1 (0≤x ≤3)∴y ′＝⎩

⎪⎨⎪⎧

3x 2

－6x (x <0或x >3)

－3x 2

＋6x (0≤x ≤3) x 变化时，f ′(x )，f (x )变化情况如下表：

极大极小

二．填空题（共25分）

11. 函数f(x)=ax 3＋x ＋1在实数集R 上有极值的充要条件是__________ a<0

12.已知)(x f 为一次函数，且10

()2

()f x x f t dt =+⎰

，则

)(x f =______ x-1

13.如图，曲线y ＝x 2(x ≥0)在点A （1,1）处的切线与x 轴交于C 点，图中阴影部分的面积是 .

112

14.周长为20cm 的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值是__________3

cm .

4000

27

π

15. 已知函数3

()3,f x x x =-若过点(1,)(2)A m m ≠-可作曲线()y f x =的三条切线，则

实数m 的取值范围是 . 32

m -<<-

三．解答题（共75分）

16. 点M (1,1)位于椭圆22

142

x y +=内，过点 M 的直线与椭圆交于两点A 、B ，且M 点为

线段AB 的中点，求直线AB 的方程。

答案：230x y +-=

17. 三棱锥被平行于底面ABC 的平面所截得的几何体如图所示，截面为111A B C ，

90BAC ∠= ，1A A ⊥平面ABC ，11A A =，3AB =，3AC =，111A C =，

1

2

BD DC =．

（Ⅰ）求异面直线1A D 和AC 所成角的余弦值； （Ⅱ）求二面角1A CC B --的余弦值．

答案：（1

（2）平面ACC 1法向量是()3,0,0AB = ，平面BCC 1B 1法向量是()1,1,2n =

二面角1A CC B --

18.已知函数2

2()(1),(1)x b

f x x x -=

≠-

（1）求导函数()f x '；（2）对b 讨论确定()f x 的单调区间。

解答（1）[]3

2(1)()(1)

x b f x x ---'=

-

A 1

A C 1

B 1

B

D

C