2019年上海市高考数学(理科)试卷及答案(word版)
2019年高考数学真题及答案(含全国1卷,全国2卷,全国3卷共3套)
绝密★启用前 全国卷Ⅰ2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷共4页，23小题，满分150分，考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。
用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡的相应位置上。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。
答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。
不按以上要求作答无效。
4．考生必须保证答题卡的整洁。
考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合}242{60{}M x x N x x x =-<<=--<，，则M N =A ．}{43x x -<<B ．}42{x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．221(1)x y +=-C ．22(1)1y x +-=D ．22(+1)1y x +=3．已知0.20.32log 0.220.2a b c ===，，，则 A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105 cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos ++x xx x在[,]-ππ的图像大致为 A ． B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A ．516B ．1132C ．2132D ．11167．已知非零向量a ，b 满足||2||=a b ，且()-a b ⊥b ，则a 与b 的夹角为A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A ．A =12A+ B ．A =12A+C ．A =112A+D ．A =112A+9．记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则A ．25n a n =-B ． 310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 10．已知椭圆C 的焦点为121,01,0F F -()，()，过F 2的直线与C 交于A ，B 两点．若22||2||AF F B =，1||||AB BF =，则C 的方程为A ．2212x y += B ．22132x y += C ．22143x y += D ．22154x y += 11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]-ππ有4个零点 ④f (x )的最大值为2其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，P A =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F分别是P A ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ． D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
(完整版)2019年高考理科数学全国2卷(附答案)
n g 12B-SX-0000020绝密★启用前2019年普通高等学校招生全国统一考试理科数学 全国II 卷本试卷共23小题，满分150分，考试用时120分钟(适用地区：内蒙古/黑龙江/辽宁/吉林/重庆/陕西/甘肃/宁夏/青海/新疆/西藏/海南)注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上。
写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每个小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ={x |x 2-5x +6>0}，B ={ x |x -1<0}，则A ∩B =A ．(-∞，1)B ．(-2，1)C ．(-3，-1)D ．(3，+∞)2．设z =-3+2i ，则在复平面内对应的点位于z A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．已知=(2,3)，=(3，t )，=1，则=ABAC BC AB BC A ．-3 B ．-2 C ．2D ．34．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L 2点的轨道运行．L 2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离：- - - - - - - - 密封线 -n g e ts o12B-SX-0000020R ，点到月球的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，地月连线的2L延长线上．设地球质量为M １，月球质量为M ２，地月距离为R ，点到月球2L 的距离为r ，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：.121223()()M M M R r R r r R +=++设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r R α=α34532333(1)ααααα++≈+r 的近似值为A B CD 5．演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分，得到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，不变的数字特征是A ．中位数 B ．平均数C ．方差D ．极差6．若a >b ，则A ．ln(a −b )>0B ．3a <3bC ．a 3−b 3>0D ．│a │>│b │7．设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A ．α内有无数条直线与β平行 B ．α内有两条相交直线与β平行 C ．α，β平行于同一条直线D ．α，β垂直于同一平面221x y +=A ．2B ．3C ．4D ．89．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是2π4π2πA ．f (x )=│cos 2x │B ．f (x )=│sin 2x │C ．f (x )=cos│x │D ．f (x )= sin│x │10．已知α∈(0，)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=2πA ．B15C ．D ．11．设F 为双曲线C ：的右焦点，为坐标原点，以22221(0,0)x y a b a b -=>>O 为直径的圆与圆交于P ，Q 两点.若，则C 的离OF 222x y a +=PQ OF =心率为A ．B C ．2D ．12．设函数的定义域为R ，满足，且当()f x (1) 2 ()f x f x +=时，.若对任意，都有(0,1]x ∈()(1)f x x x =-(,]x m ∈-∞，则m 的取值范围是8()9f x ≥-A ．B ．9,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦7,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦n g a gs 12B-SX-0000020C ．D ．5,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦8,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅱ)(含解析版)
M2 2M13α r绝密★启用前2019 年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅱ）一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=A．(-∞，1) B．(-2，1)C．(-3，-1) D．(3，+∞)2.设z=-3+2i，则在复平面内z 对应的点位于A.第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3.已知AB =(2,3)，AC =(3，t)，BC =1，则AB ⋅BC =A．-3 B．-2C．2 D．34．2019 年1 月3 日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日L2点的轨道运行．L2点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，L2 点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r 满足方程：M1 +M2 = (R +r)M1 .(R +r)2r2R3α=r α3α3+ 3α4+α5≈3设，由于R 的值很小，因此在近似计算中(1+α)2，则的近似值为A.M2 RM1B.RD ．3M2 R 3M15.演讲比赛共有9 位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9 个原始评分中去掉1 个最高分、1 个最低分，得到7 个有效评分.7 个有效评分与9 个原始评分相比，不变的数字特征是A.中位数B．平均数C．方差D．极差6.若a>b，则A.ln(a−b)>0 B．3a<3bC．a3−b3>0 D．│a│>│b│7.设α，β为两个平面，则α∥β的充要条件是A.α内有无数条直线与β平行B．α内有两条相交直线与β平行C．α，β平行于同一条直线D．α，β垂直于同一平面8.若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆x y2+=1 的一个焦点，则p= 3 p pA．2 B．3 C．4 D．8π 9.下列函数中，以2ππ为周期且在区间( ，4 2)单调递增的是A．f(x)=│cos 2x│B．f(x)=│sin 2x│C．f(x)=cos│x│D．f(x)= sin│x│π10.已知α∈(0，2 A.15)，2sin 2α=cos 2α+1，则sin α=B.5C.3x2 y2 D.2 5511.设F 为双曲线C：a2 -=1(a > 0, b > 0) 的右焦点，O 为坐标原点，以OF 为直径的b2圆与圆x2+y2=a2交于P，Q 两点.若PQ =OF A．，则C 的离心率为B．C．3 3M2 RM15 3232C．2 D．12.设函数f (x) 的定义域为R，满足f (x +1) = 2 f (x) ，且当x ∈ (0,1] 时，f (x) =x(x -1) .若对任意x ∈(-∞, m] ，都有f (x) ≥-8，则m 的取值范围是9A．⎛-∞,9 ⎤B．⎛-∞,7 ⎤4 ⎥ 3 ⎥ ⎝⎦C．⎛-∞,5 ⎤⎝⎦D．⎛-∞,8 ⎤2 ⎥ 3⎥ ⎝⎦⎝⎦二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．13.我国高铁发展迅速，技术先进.经统计，在经停某站的高铁列车中，有10 个车次的正点率为0.97，有20 个车次的正点率为0.98，有10 个车次的正点率为0.99，则经停该站高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为.14.已知f (x) 是奇函数，且当x < 0 时，f (x) =-e ax.若f (ln 2) = 8 ，则a =.15.△ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c .若b = 6, a = 2c, B =π，则△ABC 的面积3为.16.中国有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体，但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”（图1）.半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2 是一个棱数为48 的半正多面体，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上，且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有个面，其棱长为（.本题第一空2 分，第二空3 分.）三、解答题：共70 分。
2019年高考理科数学(全国1卷)答案详解(附试卷)
P 20 5 64 16
PS：其实可以对题目进行抽象：即有 A、B 两种字母，填 6 个位置，求恰有 3 个 A 的概率.这样更
容易求解.
【答案】A
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7．（平面向量）已知非零向量 a，b 满足 | a | 2 | b | ，且 (a b) b ，则 a 与 b 的夹角为
头顶至肚脐的长度小于 68.07cm，所以身高小于 68.07+68.07÷0.618=178.21cm. 所以选答案 B.
【答案】B
5．（函数）函数
f
(x)
sin x x cos x x2
在[, ] 的图像大致为
A．
B．
C．
D．
【解析】∵
f (x)
sin x x cos x x2
A． (x+1)2 y 2 1 B． (x 1)2 y2 1 C． x2 ( y 1)2 1 D． x2 ( y+1)2 1
【解析】由题意得 z i x ( y 1)i ，∵ z i =1 ，∴ x2 ( y 1)2 1 ，即 x2 ( y 1)2 1
【答案】D
6．（概率统计）我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的 6 个爻 组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“— —”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦 恰有 3 个阳爻的概率是
5
A．
16
11
B．
32
21
C．
32
11
D．
16
【解析】所有重卦的个数为 26 64 ，恰有 3 个阳爻的个数为 C36C33 20 ，因此恰有 3 个阳爻的概率为
完整版)2019上海高考数学试卷及答案
完整版)2019上海高考数学试卷及答案2019年上海市高考数学试卷一、填空题1.已知集合A=(-∞,3)，B=(2,+∞)，则A∩B的区间表示为__________。
2.已知z∈C，且满足|z-5|=1，则z的取值范围为__________。
3.已知向量a=(1,0,2)，b=(2,1,0)，则a与b的夹角为__________°。
4.已知二项式展开式(2x+1)^5，则展开式中含x^2项的系数为__________。
5.已知x、y满足x+y≤2，求z=2x-3y的最小值为__________。
6.已知函数f(x)周期为1，且当0<x≤1，f(x)=log2x，则f(1/4)=__________。
7.若x,y∈R+，且x+y=2，则xy的最大值为__________。
8.已知数列{an}前n项和为Sn，且满足Sn+an=2，则S5=__________。
9.过曲线y^2=4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y^2=4x交于A、B，A在B上方，M为抛物线上一点，OM=λOA+(λ-2)OB，则λ=__________。
10.某三位数密码，每位数字可在-9到9这19个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是__________。
11.已知点Pn(n,an)在双曲线x^2-y^2=1上，an=3n/2，则lim|PnPn+1|=__________。
12.已知f(x)=|2-a|(x-1)，f(x)与x轴交点为A，若对于f(x)图像上任意一点P，在其图像上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|=|AQ|，则a=__________。
二、选择题13.已知直线方程2x-y+c=0的一个方向向量d可以是（）。
A。
(2,-1) B。
(2,1) C。
(-1,2) D。
(1,2)14.一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）。
2019年上海市高考数学试卷和答案
2019年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）.1．（4分）已知集合A＝（﹣∞，3），B＝（2，+∞），则A∩B＝．2．（4分）已知z∈C，且满足＝i，求z＝．3．（4分）已知向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则与的夹角为．4．（4分）已知二项式（2x+1）5，则展开式中含x2项的系数为．5．（4分）已知x，y满足，则z＝2x﹣3y的最小值为．6．（4分）已知函数f（x）周期为1，且当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，则f（）＝．"7．（5分）若x，y∈R+，且+2y＝3，则的最大值为．8．（5分）已知数列{a n}前n项和为S n，且满足S n+a n＝2，则S5＝．9．（5分）过曲线y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与曲线y2＝4x交于A，B，A在B上方，M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则λ＝．10．（5分）某三位数密码，每位数字可在0﹣9这10个数字中任选一个，则该三位数密码中，恰有两位数字相同的概率是．11．（5分）已知数列{a n}满足a n＜a n+1（n∈N*），P n（n，a n）（n≥3）均在双曲线﹣＝1上，则|P n P n+1|＝．12．（5分）已知f（x）＝|﹣a|（x＞1，a＞0），f（x）与x轴交点为A，若对于f（x）图象上任意一点P，在其图象上总存在另一点Q（P、Q异于A），满足AP⊥AQ，且|AP|＝|AQ|，则a＝．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．（5分）已知直线方程2x﹣y+c＝0的一个方向向量可以是（）]A．（2，﹣1）B．（2，1）C．（﹣1，2）D．（1，2）14．（5分）一个直角三角形的两条直角边长分别为1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得到的两个圆锥的体积之比为（）A．1 B．2 C．4 D．815．（5分）已知ω∈R，函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，使f（x+a）为偶函数，则ω的值可能为（）A．B．C．D．16．（5分）已知tanα•tanβ＝tan（α+β）．有下列两个结论：①存在α在第一象限，β在第三象限；②存在α在第二象限，β在第四象限；\则（）A．①②均正确B．①②均错误C．①对②错D．①错②对三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．（14分）如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M为BB1上一点，已知BM＝2，CD＝3，AD＝4，AA1＝5．（1）求直线A1C和平面ABCD的夹角；（2）求点A到平面A1MC的距离．18．（14分）已知f（x）＝ax+，a∈R．\（1）当a＝1时，求不等式f（x）+1＜f（x+1）的解集；（2）若f（x）在x∈[1，2]时有零点，求a的取值范围．19．（14分）如图，A﹣B﹣C为海岸线，AB为线段，为四分之一圆弧，BD＝39.2km，∠BDC＝22°，∠CBD＝68°，∠BDA＝58°．（1）求的长度；（2）若AB＝40km，求D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离．（精确到0.001km）20．（16分）已知椭圆+＝1，F1，F2为左、右焦点，直线l过F2交椭圆于A，B两点．（1）若直线l垂直于x轴，求|AB|；—（2）当∠F1AB＝90°时，A在x轴上方时，求A、B的坐标；（3）若直线AF1交y轴于M，直线BF1交y轴于N，是否存在直线l，使得S＝S，若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．21．（18分）数列{a n}（n∈N*）有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，若a k与前n项中某一项相等，则称a k具有性质P．（1）若a1＝1，d＝2，求a4所有可能的值；（2）若{a n}不为等差数列，求证：数列{a n}中存在某些项具有性质P；（3）若{a n}中恰有三项具有性质P，这三项和为c，使用a，d，c 表示a1+a2+…+a100．2019年上海市高考数学试卷/答案与解析一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7~12题每题5分）.1．【分析】根据交集的概念可得．【解答】解：根据交集的概念可得A∩B＝（2，3）．故答案为：（2，3）．2．【分析】把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．【解答】解：由＝i，得z﹣5＝，即z＝5+＝5﹣i．故答案为：5﹣i．,3．【分析】直接利用向量的夹角公式的应用求出结果．【解答】解：向量＝（1，0，2），＝（2，1，0），则，，所以：cos＝，故：与的夹角为．故答案为：4．【分析】先求得二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得含x2项的系数值．【解答】解：二项式（2x﹣1）5的展开式的通项公式为T r+1＝C5r•25﹣r•x5﹣r，…令5﹣r＝2，求得r＝3，可得展开式中含x2项的系数值为C53•22＝40，故答案为：40．5．【分析】画出不等式组表示的平面区域，由目标函数的几何意义，结合平移直线，可得所求最小值．【解答】解：作出不等式组表示的平面区域，由z＝2x﹣3y即y＝，表示直线在y轴上的截距的相反数的倍，平移直线2x﹣3y＝0，当经过点（0，2）时，z＝2x﹣3y取得最小值﹣6，故答案为：﹣6．"6．【分析】由题意知函数f（x）周期为1，所以化简f（）再代入即可．【解答】解：因为函数f（x）周期为1，所以f（）＝f（），因为当0＜x≤1时，f（x）＝log2x，所以f（）＝﹣1，故答案为：﹣1．7．【分析】根据基本不等式可得．【解答】解：3＝+2y≥2，∴≤（）2＝；故答案为：8．【分析】由已知数列递推式可得数列{a n}是等比数列，且，再由等比数列的前n项和公式求解．…【解答】解：由S n+a n＝2，①得2a1＝2，即a1＝1，+a n﹣1＝2（n≥2），②且S n﹣1①﹣②得：（n≥2）．∴数列{a n}是等比数列，且．∴．故答案为：．9．【分析】直接利用直线和抛物线的位置关系的应用求出点的坐标，进一步利用向量的运算求出结果．!【解答】解：过y2＝4x的焦点F并垂直于x轴的直线分别与y2＝4x交于A，B，A在B上方，依题意：得到：A（1，2）B（1，﹣2），设点M（x，y），所以：M为抛物线上一点，＝λ+（λ﹣2），则：（x，y）＝λ（1，2）+（λ﹣2）（1，﹣2）＝（2λ﹣2，4），代入y2＝4x，得到：λ＝3．故答案为：3?10．【分析】分别运用直接法和排除法，结合古典概率的公式，以及计数的基本原理：分类和分步，计算可得所求值．【解答】解：方法一、（直接法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中恰有两位数字相同的个数为C C＝270，则其中恰有两位数字相同的概率是＝；方法二、（排除法）某三位数密码锁，每位数字在0﹣9数字中选取，总的基本事件个数为1000，其中三位数字均不同和全相同的个数为10×9×8+10＝730，{可得其中恰有两位数字相同的概率是1﹣＝．故答案为：．11．【分析】法一：根据两点之间的距离和极限即可求出，法二：根据向量法，当n→+∞时，P n P n+1与渐近线平行，P n P n+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，即可求出．【解答】解：法一：由﹣＝1，可得a n＝，∴P n（n，），∴P n+1（n+1，），∴|P n P n+1|＝＝@∴求解极限可得|P n P n+1|＝，方法二：当n→+∞时，P n P n+1与渐近线平行，P n P n+1在x轴的投影为1，渐近线倾斜角为θ，则tanθ＝，故P n P n+1＝＝故答案为：．12．【分析】本题根据题意对函数f（x）分析之后可画出f（x）大致图象，然后结合图象可不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，联立直线与曲线的方程可得P点坐标，同理可得Q点坐标．再分别算出|AP|、|AQ|，再根据|AP|＝|AQ|及k的任意性可解得a的值．【解答】解：由题意，可知：令f（x）＝|﹣a|＝0，解得：x＝+1，∴点A的坐标为：（+1，0）．\则f（x）＝．∴f（x）大致图象如下：由题意，很明显P、Q两点分别在两个分段曲线上，不妨设点P在左边曲线上，点Q在右边曲线上．设直线AP的斜率为k，则l AP：y＝k（x﹣﹣1）．联立方程：，整理，得：kx2+[a﹣k（+2）]x+k（+1）﹣a﹣2＝0．"∴x P+x A＝﹣＝+2﹣．∵x A＝+1，∴x P＝+2﹣﹣x A＝1﹣．再将x P＝1﹣代入第一个方程，可得：y P＝﹣a﹣．∴点P的坐标为：（1﹣，﹣a﹣）．∴|AP|＝＝【＝．∵AP⊥AQ，∴直线AQ的斜率为﹣，则l AQ：y＝﹣（x﹣﹣1）．同理类似求点P的坐标的过程，可得：点Q的坐标为：（1﹣ak，a+）．∴|AQ|＝＝＝~∵|AP|＝|AQ|，及k的任意性，可知：＝a2，解得：a＝．故答案为：．二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13．【分析】先根据直线方程得直线的一个法向量，再根据法向量可得直线的方向向量．【解答】解：依题意，（2，﹣1）为直线的一个法向量，∴方向向量为（1，2），故选：D．14．【分析】直接利用圆锥的体积公式求得两个圆锥的体积，作比得答案．{【解答】解：如图，则，，∴两个圆锥的体积之比为．故选：B．15．【分析】直接利用三角函数的性质的应用和函数的奇偶性的应用求出结果．【解答】解：由于函数f（x）＝（x﹣6）2•sin（ωx），存在常数a∈R，f（x+a）为偶函数，！则：f（x+a）＝（x+a﹣6）2•sin[ω（x+a）]，由于函数为偶函数，故：a＝6，所以：，当k＝1时．ω＝故选：C．16．【分析】考虑运用二次方程的实根的分布，结合导数判断单调性可判断①；运用特殊值法，令tanα＝﹣，结合两角和的正切公式，计算可得所求结论，可判断②．【解答】解：由tanα•tanβ＝tan（α+β），:即为tanα•tanβ＝，设m＝tanα，n＝tanβ，可得n2m2+n（1﹣m）+m＝0，若m＞0，可得上式关于n的方程有两个同号的根，若为两个正根，可得n＞0，即有m＞1，考虑△＝f（m）＝（1﹣m）2﹣4m3，f′（m）＝2m ﹣2﹣8m2＝﹣8（m﹣）2﹣，当m＞1时，f（m）递减，可得f（m）＜f（1）＝﹣4＜0，则方程无解，β在第三象限不可能，故①错；可令tanα＝﹣，由tanα•tanβ＝tan（α+β），$即为tanα•tanβ＝，可得﹣tanβ＝，解得tanβ＝﹣6±，存在β在第四象限，故②对．故选：D．三、解答题（本大题共有5题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17．【分析】（1）由题意可得A1C与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，判断△A1CA为等腰三角形，即可求出，（2）如图建立坐标系，根据向量的关系可得点A到平面A1MC的距离d＝，求出法向量即可求出．【解答】解：（1）依题意：AA1⊥平面ABCD，连接AC，则A1C 与平面ABCD所成夹角为∠A1CA，'∵AA1＝5，AC＝＝5，∴△A1CA为等腰三角形，∴∠A1CA＝，∴直线A1C和平面ABCD的夹角为，（2）（空间向量），如图建立坐标系，则A（0，0，0），C（3，4，0），A1（0，0，5），M（3，0，2），：∴＝（3，4，0），＝（3，4，﹣5），＝（0，4．﹣2），设平面A1MC的法向量＝（x，y，z），由，可得＝（2，1，2），∴点A到平面A1MC的距离d＝＝＝．18．【分析】（1）直接利用转换关系，解分式不等式即可．（2）利用分离参数法和函数的值域的应用求出参数的范围．【解答】解：（1）f（x）＝ax+（a∈R）．当a＝1时，f（x）＝x+．·所以：f（x）+1＜f（x+1）转换为：x++1，即：，解得：﹣2＜x＜﹣1．故：{x|﹣2＜x＜﹣1}．（2）函数f（x）＝ax+在x∈[1，2]时，f（x）有零点，即函数在该区间上有解，即：，即求函数g（x）在x∈[1，2]上的值域，…由于：x（x+1）在x∈[1，2]上单调，故：x（x+1）∈[2，6]，所以：，故：19．【分析】（1）由题意可求BC，及弧BC所在的圆的半径R，然后根据弧长公式可求；（2）根据正弦定理可得，，可求sinA，进而可求A，进而可求∠ABD，根据三角函数即可求解．【解答】解：（1）由题意可得，BC＝BDsin22°，弧BC所在的圆的半径R＝BCsin＝，弧BC的长度为＝＝＝16.310km；…（2）根据正弦定理可得，，∴sinA＝＝0.831，A＝56.2°，∴∠ABD＝180°﹣56.2°﹣58°＝65.8°，∴DH＝BD×sin∠ABD＝35.750km＜CD＝36.346km∴D到海岸线A﹣B﹣C的最短距离为35.750km20．【分析】（1）由题意方程求得右焦点坐标，进一步求得A，B的坐标，则|AB|可求；（2）设A（x1，y1），由∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），利用数量积为0求得x1与y1的方程，再由A在椭圆上，得x1与y1的另一方程，联立即可求得A的坐标．得到直线AB的方程，与椭圆方程联立即可求得B的坐标；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），直线l：x＝my+2，联立直线方程与椭圆方程，结合S＝S，得2|y1﹣y2|＝|y3﹣y4|，再由直线AF1的方程：，得M 纵坐标，由直线BF1的方程：，得N的纵坐标，结合根与系数的关系，得||＝4，解得m值，从而得到直线方程．；【解答】解：（1）依题意，F2（2，0），当AB⊥x轴时，则A（2，），B（2，﹣），得|AB|＝2；（2）设A（x1，y1），∵∠F1AB＝90°（∠F1AF2＝90°），∴＝，又A在椭圆上，满足，即，∴，解得x1＝0，即A（0，2）．直线AB：y＝﹣x+2，联立，解得B（，﹣）；（3）设A（x1，y1），B（x2，y2），M（0，y3），N（0，y4），…直线l：x＝my+2，则，．联立，得（m2+2）y2+4my﹣4＝0．则，．由直线AF1的方程：，得M纵坐标；由直线BF1的方程：，得N的纵坐标．若S＝S，即2|y 1﹣y2|＝|y3﹣y4|，|y3﹣y4|＝||＝||＝||＝2|y1﹣y2|，∴|（my1+4）（my2+4）|＝4，|m2y1y2+4m（y1+y2）+16|＝4，代入根与系数的关系，得||＝4，解得m＝．∴存在直线x+或满足题意．21．【分析】（1）根据a1＝1，d＝2逐一求出a2，a3，a4即可；（2）{a n}不为等差数列，数列{a n}存在a m使得a m＝a m﹣1+d不成立，根据题意进一步推理即可证明结论；（3）去除具有性质P的数列{a n}中的前三项后，数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，求a1+a2+…+a100即可．【解答】解：（1）∵数列{a n}有100项，a1＝a，对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，∴若a1＝1，d＝2，则当n＝2时，a2＝a1+d＝3，当n＝3时，i∈[1，2]，则a3＝a1+d＝3或a3＝a2+d＝5，当n＝4时，i∈[1，3]，则a4＝a1+d＝3或a4＝a2+d＝5或a4＝a3+d ＝（a1+d）+d＝5或a4＝a3+d＝（a2+d）+d＝7∴a4的所有可能的值为：3，5，7；（2）∵{a n}不为等差数列，∴数列{a n}存在a m使得a m＝a m﹣1+d不成立，∵对任意n∈[2，10]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]；∴存在p∈[1，n﹣2]，使a m＝a p+d，则对于a m＝a i+d，i∈[1，n﹣q﹣1]，存在p＝i，使得a m﹣q＝a m，﹣q因此{a n}中存在具有性质P的项；（3）由（2）知，去除具有性质P的数列{a n}中的前三项，则数列{a n}的剩余项均不相等，∵对任意n∈[2，100]，存在a n＝a i+d，i∈[1，n﹣1]，则一定能将数列{a n}的剩余项重新排列为一个等差数列，且该数列的首项为a，公差为d，∴a1+a2+…+a100＝＝97a+4656d+c．。
2019年上海高考数学试卷及答案
2019年上海高考数学试卷一、填空题(每小题 4分，满分56分)1 11 .函数f(x)的反函数为f (X ) ______________ .x 22 若全集 U R ，集合 A {x x 1} U{x|x 0}，则 C U A _________________23. 设m 是常数，若点F(0,5)是双曲线mx 14.不等式 ______________ 3的解为x(结果用反三角函数值表示)之间的距离为 千米.7.若圆锥的侧面积为 2 ，底面面积为，则该圆锥的体积为 _____________8. 函数v sin x cos x 的最大值为2 69.马老师从课本上抄录一个随机变量 的概率分布律如下表：请小牛同学计算 的数学期望.尽管“！ ”处完全无法看清，且两个“”处字迹模糊，但能断 定这两个“”处的数值相同.据此，小牛给出了正确答案E = ____________ .a b 10.行列式 ____________________________________________________ (a,b,c,d{ 1,1,2})所有可能的值中，最大的是 __________________________________________ . c duuu mur11. 在正三角行 ABC 中，D 是BC 上的点 若AB=3，BD=1，则ABgAD ___________ .12. 随机抽取的9位同学中，至少有2位同学在同一月份出生的概率为 _____________ 默认每个月 的天数相同，结果精确到 ).1的一个焦点，则 m= __________5.在极坐标系中，直线(2COS sin )2与直线 cos 1的夹角大小为 _________________6.在相距2千米的A 、B 两点处测量目标点C ,若 CAB 75： CBA 60o ，则 A C 两点13.设g(x)是定义在R上，以1为周期的函数，若函数f(x) x g(x)在区间［3,4］上的值域为［2,5］，贝U f （x ）在区间［10,10］上的值域为 _________14.已知点0（0,0）、Q （0,1）和点R o （3,1）,记Q o R O 的中点为 P i ,取Q o P i 和P i R o 中的一条，记其 端点为Q 1、R 1,使之满足|OQ 1I 2 |OR I 2 0，记Q 1R 1的中点为P 2,取Q 1P 2和P 2RI中的一条，记其端点为Q 2、R 2,使之满足 |OQ 2| 2 |OR 2 I 2P,P 2丄,P n ,L ，则 n im QRI0成立的点M 的个数为（三、解答题（本大题满分 74 分） 19. （本大题满分12分）已知复数 乙满足（乙 2）（1 i ） 1 i （i 为虚数单位），复数Z 2的虚部为2,且乙Z 2是(A ) ｛a n ｝是等比数列.(B )4 ,a3 丄,a 2n 1,L 或 a ?, a 4 ,L ,a 2n 丄 是等比数列. (C ) a 1, a 3,L,a 2n 1,L 和a 2,a 4丄 ,a 2n ,L均是等比数列.(D )4,a3 丄,a2n 1,L 和 a 2, a 4,L,a2n 丄 均是等比数列，且公比相同｛A n ｝为等比数列的充要条件是（)0.依次下去，得到二、选择题 （每小题 5分，满分20分） 15.若 a, bR ，且ab 0，则下列不等式中，恒成立的是（(A) a 22b 2ab . ( B ) a b1 (C)—a、abb a 小(D )a b 2.16.下列函数中，既是偶函数，又是在区间(0,）上单调递减的函数是（(A) y In 丄|x|(B ) y x 3.(C )2|x|.(D ) yCOSX .17.设A,A 2,A 3, A 4, A s 是平面上给定的5个不同点, uiuu 则使MA , uuu MA >uuu MA 3 iuuuMA mur MA 5(A ) 0.(B ) 1.(C ) 5.(D ) 10.18.设｛a n ｝是各项为正数的无穷数列,A 是边长为a i ,a i 1的矩形的面积（i1,2,L ），则实数，求z 2.20. (本大题满分12分，第1小题满分4分，第二小题满分 8分)xx已知函数f(x) a 2 b 3 ,其中常数a,b 满足a b 0(1 )若a b 0，判断函数f (x)的单调性;(2)若a b 0，求f (x 1) f (x)时的x 的取值范围.21. (本大题满分14分，第1小题满分6分，第二小题满分 8分)已知ABCD A 1B 1C 1D 1是底面边长为1的正四棱柱，。
2019年上海市高考数学真题试卷(Word版,含解析)
2019年上海市高考数学真题试卷（Word版，含解析）2019年普通高等学校招生全国统一考试（上海卷）数学一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则．2．（4分）计算．3．（4分）不等式的解集为．4．（4分）函数的反函数为．5．（4分）设为虚数单位，，则的值为6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为．7．（5分）在的展开式中，常数项等于．8．（5分）在中，，，且，则．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有种（结果用数值表示）10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为．11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为．12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，值域为，的是A．B．C．D．14．（5分）已知、，则“”是“”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥中，．（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体积．18．（14分）已知数列，，前项和为．（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．年份卫生总费用（亿元）个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重201228119.009656.3234.3410030.7035.678431.9829.99201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14201435312.4011295.4131.9913437.7538.0510579.2329.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：．（1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系．21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．2019年上海市春季高考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）1．（4分）已知集合，2，3，4，，，5，，则，．【解答】解：集合，2，3，4，，，5，，，．故答案为：，．2．（4分）计算2．【解答】解：．故答案为：2．3．（4分）不等式的解集为．【解答】解：由得，即故答案为：，．4．（4分）函数的反函数为．【解答】解：由解得，故答案为5．（4分）设为虚数单位，，则的值为【解答】解：由，得，即，．故答案为：．6．（4分）已知，当方程有无穷多解时，的值为．【解答】解：由题意，可知：方程有无穷多解，可对①，得：．再与②式比较，可得：．故答案为：．7．（5分）在的展开式中，常数项等于15．【解答】解：展开式的通项为令得，故展开式的常数项为第3项：．故答案为：15．8．（5分）在中，，，且，则．【解答】解：，由正弦定理可得：，由，可得：，，由余弦定理可得：，解得：．故答案为：．9．（5分）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派4人参加连续5天的志愿者活动，其中甲连续参加2天，其他人各参加1天，则不同的安排方法有24种（结果用数值表示）【解答】解：在五天里，连续的2天，一共有4种，剩下的3人排列，故有种，故答案为：24．10．（5分）如图，已知正方形，其中，函数交于点，函数交于点，当最小时，则的值为．【解答】解：由题意得：点坐标为，，点坐标为，，当且仅当时，取最小值，故答案为：．11．（5分）在椭圆上任意一点，与关于轴对称，若有，则与的夹角范围为，．【解答】解：设，则点，椭圆的焦点坐标为，，，，，，结合可得：，故与的夹角满足：，故，故答案为：，12．（5分）已知集合，，，，存在正数，使得对任意，都有，则的值是1或．【解答】解：当时，当，时，则，，当，时，则，，即当时，；当时，，即；当时，，当时，，即，，解得．当时，当，时，则，．当，，则，，即当时，，当时，，即，即当时，，当时，，即，，解得．当时，同理可得无解．综上，的值为1或．故答案为：1或．二、选择题（本大题共4题，每题5分，共20分）13．（5分）下列函数中，值域为，的是A．B．C．D．【解答】解：，的值域为，故错，的定义域为，，值域也是，，故正确．，的值域为，故错，的值域为，，故错．故选：．14．（5分）已知、，则“”是“”的A．充分非必要条件B．必要非充分条件C．充要条件D．既非充分又非必要条件【解答】解：等价，，得“”，“”是“”的充要条件，故选：．15．（5分）已知平面、、两两垂直，直线、、满足：，，，则直线、、不可能满足以下哪种关系A．两两垂直B．两两平行C．两两相交D．两两异面【解答】解：如图1，可得、、可能两两垂直；如图2，可得、、可能两两相交；如图3，可得、、可能两两异面；故选：．16．（5分）以，，，为圆心的两圆均过，与轴正半轴分别交于，，，，且满足，则点的轨迹是A．直线B．圆C．椭圆D．双曲线【解答】解：因为，则，同理可得，又因为，所以，则，即，则，设，则为直线，故选：．三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+16+18＝76分）17．（14分）如图，在正三棱锥中，．（1）若的中点为，的中点为，求与的夹角；（2）求的体积．【解答】解：（1），分别为，的中点，，则为与所成角，在中，由，，可得，与的夹角为；（2）过作底面垂线，垂直为，则为底面三角形的中心，连接并延长，交于，则，．．．18．（14分）已知数列，，前项和为．（1）若为等差数列，且，求；（2）若为等比数列，且，求公比的取值范围．【解答】解：（1），，；（2），存在，，存在，且，，，，或，公比的取值范围为，，．19．（14分）改革开放40年，我国卫生事业取得巨大成就，卫生总费用增长了数十倍．卫生总费用包括个人现在支出、社会支出、政府支出，如表为2012年年我国卫生货用中个人现金支出、社会支出和政府支出的费用（单位：亿元）和在卫生总费用中的占比．年份卫生总费用（亿元）个人现金卫生支出社会卫生支出政府卫生支出绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重绝对数（亿元）占卫生总费用比重201228119.009656.3234.3410030.7035.678431.9829.99201331668.9510729.3433.8811393.7935.989545.8130.14201435312.4011295.4131.9913437.7538.0510579.2329.96201540974.6411992.6529.2716506.7140.2912475.2830.45（数据来源于国家统计年鉴）（1）指出2012年到2015年之间我国卫生总费用中个人现金支出占比和社会支出占比的变化趋势：（2）设表示1978年，第年卫生总费用与年份之间拟合函数研究函数的单调性，并预测我国卫生总费用首次超过12万亿的年份．【解答】解：（1）由表格数据可知个人现金支出占比逐渐减少，社会支出占比逐渐增多．（2）是减函数，且，在上单调递增，令，解得，当时，我国卫生总费用超过12万亿，预测我国到2028年我国卫生总费用首次超过12万亿．20．（16分）已知抛物线方程，为焦点，为抛物线准线上一点，为线段与抛物线的交点，定义：．（1）当时，求；（2）证明：存在常数，使得；（3），，为抛物线准线上三点，且，判断与的关系．【解答】解：（1）抛物线方程的焦点，，，的方程为，代入抛物线的方程，解得，抛物线的准线方程为，可得，，；（2）证明：当时，，设，，，则，联立和，可得，，，则存在常数，使得；（3）设，，，则，由，，则．21．（18分）已知等差数列的公差，，数列满足，集合．（1）若，求集合；（2）若，求使得集合恰好有两个元素；（3）若集合恰好有三个元素：，是不超过7的正整数，求的所有可能的值．【解答】解：（1）等差数列的公差，，数列满足，集合．当，集合，0，．（2），数列满足，集合恰好有两个元素，如图：根据三角函数线，①等差数列的终边落在轴的正负半轴上时，集合恰好有两个元素，此时，②终边落在上，要使得集合恰好有两个元素，可以使，的终边关于轴对称，如图，，此时，综上，或者．（3）①当时，，集合，，，符合题意．②当时，，，，或者，等差数列的公差，，故，，又，2当时满足条件，此时，1，．③当时，，，，或者，因为，，故，2．当时，，1，满足题意．④当时，，，所以或者，，，故，2，3．当时，，满足题意．⑤当时，，，所以，或者，，，故，2，3当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，，，不符合条件．当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有，，不是整数，不符合条件．当时，因为对应着3个正弦值，故必有一个正弦值对应着3个点，必然有或者，，或者，此时，均不是整数，不符合题意．综上，，4，5，6．。
2019年高考数学全国卷1(文理科试题及答案)
2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷1）理科数学2019年聊通高筲学枝IW 上全国统与试理科数学1. 善巻啊.蛊生务愛耨自已的蚪化、齐生号霁垃q 在善變节*1弑嘗搭电他*上.2. 阿巻就卄虺uh 迤出禅小町善丽，用樹笔把仔国鬥tlSJ ■貝曲唇塞标号找事，如蒂改圍”用 檢皮崔「浄后・再选涂其它袴索标号"凤祎非选择期时.特嘗案耳在答理卡匕耳左血试卷匕无牡・3-苇试姑柬斤，将事试卷和書岂卡一弁宦回°、业獎砸：本翹弍垃小SL 爼水粗占分.共⑷分.在毎小題箱出的四个选亚中.人有--助超胡倉饉 目贾康的"】.己如能會M ■徉4< JT 莖工｝, N = |x -r-6<o|» HA/nJV =(A. [.r|-4 < x <3. (r-4 < x < -2^C.[ .v -1 < J <D. (JL |2 < A <d 试耳烈：満足：一F| = l*匚料珏罪血内时咻的戌対(斗y)・确r 】A.(x-i) +3'： =1B (J -1 + >2 - IC t' +( i -l)J =i D.r +(.V + 1)3 = 1弘已刘iM = 】Qg ；0£ b 二 0 • e-o^1' ・剧 i JA,.ti<h<ce. < f < bCvai^bu.Zt <c<a朽一]4,古希雅时朗.人怕认为星类人井的齊哺至肚睛的绘度勺肚1ft 帘足底的氏度之比是七一吕首的-瞬嘗聲抽飓・便艮则此Jtt>K 摊羌人体的久3证1%1/5噸的快度与咽麻奇tt 席酋长嵐之比也呈坐二.拧卓人厲址h.ifffif 黄童井制比桝.105cm.AJMSIF f F 韻的叹度为Mcrm 则K 甘岳町施址(1A,]lKcm B.l 75cm 匚185cm5,i 炯柱小｝壬二町・屁訂的側粉打)ccs r +□ 190cm*： 0.611!.轧爲竝；：寸乩比隣.*"tty氐我岡古代典攜（周SP用H卄”推述打物的堂比邯一“直5K山从卜之1齐列的EG弦爼获.Jt分为團爻■■一 -•- ■■右圈就是M・也所有重計中融机取£幷’则谍啃料惜盯于个们爻的栅率¥（〕5 II 2\IIA.—&.—C,— D.—16 竝竝169.记旺为:字衣吐列仏｝的前』」1杷L1畑二=0・山二5.驅CA.叫= 2rt 5B. = 3n 10CS =2n:D.S =-ft-2nh °2ltt已如«•■<；的世点为^（-W） . FW 过珂的fL^'j C丸于礼H阳点雷|娠卜2|两国,\AH=2|占F，則亡的力糧为（>①丿足腾咕救②/|町任邂的|彳，用）单闊理增③f （x I住区间［一亿訂f：F个-匸?.i ④/V）的赧（伯X-j 22/5 三三A,—Uu b）-i・则：与石的夹甬沟<fiSMEB・图中空白框*■ I丄rL缶航朗是求二己知羊零向鐵：* &WM 22/711.艾干诵豹f ix）= sin J* |>in A'| f」下述四个馆论t匚①④埠巴如三检推F —川封匸的四牛I 加的用商上，PA^PB^PC, AX5CMlt£^2 rn 止-M t £尸介別兄加「祐的中九 ZCEF = 90 ’则球O 的休机为（ t34vf )zr二 填空嵐：本鹽找4「|咂.毎小駆S 井”其加分达曲凹7 = 3（屮7片在点（（｝期社儿•:叫川沟 ________________ .地记屯为等比栽手|｛叫｝的前萌项和,若納二y tr? = a..则员= _____________________ .Je.屮.乙洒賦诜恬槪球比賽.光用七场西胜制.幄捲訓期比赛成细，屮认的主客甬安排粮抚旳"主主客 峯L 客广.设甲阻主场即胜的柢率为06辉场駅胖的觀率肯血窑（1各场比赛靖黑梱互1M 則甲駅以4： 1塡腔的槪率 ________________ .J甲W 已知或曲険C:肴-舊 “BI" 0）的底右儒点分別为耳迅.迁片的血线二匸的两最潮瓦钱甘 ^TA y B^F [A = AB. FR 化 S 則卍的离也那肯 ________________________________ .三' 解善題：M7C^・聲笞应写出文字说明、证明过程亚演算步骑L 第E1锂为必考麵.毎『试饉 老生都必顼作啤 闕瞬” 口罚为选老題・老主喂西英求作?£• （一）叱老證匸別分"17. <12山I&C 的内ftX.JJ,C 的柑边分别是ng 设（sin£ —sinQ 『 =sin 2/I-sm ffsiuC,ti ）求右；2）?7 ^2a + 6 = 2c .求*nJ “IS. （12 *、 斗呃直网檢哇卫处Q-月風CD 的虑曲是菱器*.11, = 41 AB = 2 ・ £BAD =■ 6O P . E,M r N^\^BC.RH 、 J Q ；勺中止”丸①②④-Ci5 / 36i）旺明i .,WA P//2)求_i加傩卫一址气一用的止強值.19”〔12 分｝己却删为尸，期卓为斗的直教却C的蛉伪小总，S轴的仝山为"Xi11務|/<尸| + 0F卜£ 求*的力軒;2*越乔二［两.求\AU .30.(12^)dfti^Si/(r)=(mx-hi(l + T). f(x)^i/(r)的#敷就削：⑴『匕)杞皿’—】.亍存杞唯…的极人值点；⑵血工”相农有2卒毒丸21- C12 分〉为冷疗革种臥両”研制了甲、乙两种折科，需型知洞那种軒药更TT故・为此进打动梅实越真验收fill心毎轮逸取詡卿自臥对貞1效进荷对比试鑿.对F闊！！勺就・RI机选•射只施氐乙罚. M MB HINNIA ffiBI卜--轮试戦.当齐中--忡童称直的白嵐出另咐> i门二h、；.： a」一- 就碎止试驰丼从曲治倉只數命的荊史有玆・为了方便描述问臥的定*对于厘Flit魅・若itu甲药的白艮治載且16玖兀药的白損耒谢蠢惰甲蘇禅I分，二药斜-】血若施以乙药时口瞬泊JftlL施以屮葯的白亂走冶愈刚乙罚堺lih甲冊-】4h若欄治竈诚暮水治壷嘲两种眦均鮒0分耳、£两种拘闱治愈率廿别记如和". 熾试猫申甲的的咼灯记沖Y.1)哦JV的少舟列t⑵ 若甲药、乙t?孫试验幵始时都瞋"井.期"=0J,2…問老示存甲苟的當计得分知仇最终儿为屮知比乙热屯白％”的槻典刖地=0，仇=1+冏=即严如+甲⑴(：=】2 <7｝,儿中芒=尸(,丫=0), f) -P(.¥ -0), < = P( A J/7-0>.:i)hi小—瓦｝"二12…⑺为鼻比故処；门门求齐.井規揣円的您駢痒试种试誥方當的合證性.4/5(二)粧电瓯：it 10^.请弋生在察2叭為赣中作讐.如睾第妣・则按所憎的策一晅计分.22.［选悔V 坐标集与題數晒(10井】"为需歎)息堂标底成O为駆点.石轴在帆角坐标纂呦冲*曲爼C的辩数方押为f -1 ~止半稱为槻轴建立璇坐标系.的概生桩方租为2“顷旧 + JJpsin日+丨1・0,11)*匚与』的直箱坐栋方程I:空痕匚上财点到F跑寄的最小值.21[4iU-5t不芳氏注讲]10 5Z)已抑臥he为壬敕・且胃足nhc- I.证弗(1)丄4■丄+丄羞应『卜胪+『和a b c!2)(a + ^)J + (A+r)- +(c+<J)' >245/58 / 362019年査通爲零学校招化全国统一考试文科数学注卷車顶：1.售卷前・考牛•务感将口己的姓洛号空号黑填垢在割S卡铀试卷指建位胃匕.孔河答址择期i・h旌出毎小童答案冶*期铅里把菩匙轻对应題目鸚I■如需盘4h用也皮攥「-净后.再选洙其它答慕标h昇回霜4延择题时.瘙椁家写隹粹朗卡上.写芒本试卷L：无效"3.考试轴束已将体试程和剳冒卡一件交同―、选擇慙；本駆共12小怂"程小融弓分*共60分在毎小融绐出的四个进念中* 口右一砺星轩合豔目要求的=2B.V3 c. 41ai1L1知#0U =①狛从氐7}・A ={234・5；,Z?二h・3百・7}・A=(】A ；L6（B-{1J| C. {6.7} D. {1,6,7} 乱已知a = lo^r DN・h = 2a2, c = 0.2in. IM t )A.ii <h<f R.ti<c<hC.c<ti<hD.^ <4 一古乖聊时训”人心认为於兀人侏的义顶至肚M的山A乌丄情孚足呸的li哽之比兄"匚‘^5-1*0.618.林为黄金分割比榊人着呂的•斷惮醴抽斯”良足JU此,此外.扯k扎障的久顶至啥2喉的fei44i咽喉至It脐的怪度立比也昱｛口+若臬人涌匸丨述两个扯金分削比悯*巨腿圧为KScm’2张顼奎聆『卜-端的悅度为265・耻其身禹町能足（>^lGSem B.175cm CJBScm D.190em 去汝嚼数/｛巧二竺斗■理［饥厅］的轻|他为（-COS J + X立科軸学10 / 36氐某学栈为r 解1 Q00宕新生怕刖悻當际将这些学牛編弓为眞2+ -+ 1000.^^^＜k 屮用系统抽枠 的加i 等距抽9U00名手空进行测试.若輻号学牛被抽轧 则下面4名宁主中被抽取的址（）A.B :^^T. B 200 号学中- C 616 ^4^1：D 81S 号即上&己划 忤向施.匸祸斗：=平.11币一和丄乳则门示的夹旳,1LAXSC 的内脚扎鼠匸的时处务刑是鸟氏c LliuasiiM- bsia&-4ca\nC . e«j» J = - T M* =4 cA.6B.5C.d a.3区L 2掠瞬闘匚的囁点为林一 1、创・rtkOl ・过巧的起缕耳匚交：■-」/ 九忆苦I”； =2|/'；^・I 姐=2）昭|・则（7的方程为＜）11 T 丁*■* 1 x'2 .犷 y .工” y .匕 A ' v .A . — + r = I玫一 + J 匸】匚一+ — = I& - -+ — = I232435 4-＞才空题；本题共4小題，霽小題5井，共20分.= ^x~ +扌片件点（0X ）牡的切纯方出为 ________________ .皿记比为等比數时就｝的斛丹顷和.若坷丄・衬=毎.则乂二 _______________________ .17. un 255 =【Rg 号学生 B 200号学生 C616号供主0415 v^tB. - ? ■ v'?i€-2"D 2 + V3■右— 的程序帼用.圈屮空口框屮应塡入］■応础戟（？:二—吴三财＞0上M ）的一柚f 近线的幢料角为口0 .则匕的离心莘为＜ abA. 2 sin 4(}B. 2 cos 40sin 50D. ---------cos 502 + 4CA =1*2#甲2/515 医靈/(P v)=siml v 4-—)-Jcnsx 的瑕小恆为_______________________值已如ZJCB二90’・P为芈迪A&C外规FC = 2 ■点尸到^ACB两边"G AB的距离均A I J5.廉么P到辛祈冲占“的护离为 ______________________ .三i離答孤共7C^解答內写出文字说馭证明讨幻走洁草梅第1严21孤为必老黑.岛个试耶不生都必须件答“第2氛刀就为选青！L电生觸据聲求作答.C-)必书迩；60分*17.(1Z 时)臬南场为提1W务櫛孟驰机调查了和粕男贼客神疔「窑立顒罂毎忖蹊客村谨商场恂审务给出満总戍平满意的泮比眸到下列列联祐D分別估计职女岡客对谐商场服务满强的槪執C2)能否有95%的把握认為?b女陵第对谁斷炀服务的评价有館异? 附宀——凹」竺——(tj + h)(c^-ii )(/T-*-L')(/J +18 <12 ^f)记&为零龙:数列®」的前舟驷h曲0罠=—令*1> 阻％軒帆｝他通项公戌*(2)若>?0・頼購£ 土斗術I刀取苟小范鬧.立理數学13 / 3619. (12如& 豐四變柱ABCD -叫垃3的旳如辛菱厢-AA,= 4 (AH-2. r£4匚*分别晁/?「.11歇..4、D的中点.[D 证I则v.w/TmcDFi[?＞求点＜到平[tic,n£的距离,竹、Ml 朗数 f (x) - 2 sin v - .vcos x~x , f f(x)为f(x)的冷 ft.[|＞证罔：_f{-r)托IK间®.JT)存序吋-话点t⑵占上£[0卫]时，/(.r)＞ax T求“的収價小也囤20, ＜12 分)已姐山彳.F艾尸叶函:口。
2019年全国高考理科数学试卷(全国III卷)及答案
2019年全国高考理科数学试卷（全国III 卷）及答案一、选择题1.已知集合}1|{},2,1,0,1{2≤=-=x x B A ，则=⋂B A （）A.}1,0,1{-B. B.{0,1}C. C.}1,1{-D.D.}2,1,0{2.若i i z 2)1(=+，则=z （）A.i--1B.i+-1C.i-1D.i+13.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（）A.5.0B.6.0C.7.0D.8.04.42)1)(21(x x ++的展开式中3x 的系数为（）A.12B.16C.20D.245.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（）A.16B.8C.4D.26.已知曲线x x ae y x ln +=在点)1(ae ，处的切线方程为b x y +=2，则（）A.e a =,1-=b B.e a =,1=bC.1-=e a ,1=b D.1-=e a ,1-=b 7.函数3222x x x y -=+在[6,6]-的图像大致为（）A.B.C. D.8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面⊥ECD 平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（）A.EN BM =，且直线EN BM ,是相交直线B.EN BM ≠，且直线EN BM ,是相交直线C.EN BM =，且直线EN BM ,是异面直线D.EN BM ≠，且直线EN BM ,是异面直线9.执行右边的程序框图，如果输出ε为01.0，则输出s 的值等于（）A.4212-B.5212-C.6212-D.7212-10.双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线的点，O 为坐标原点.若||||PO PF =则PFO ∆的面积为（）A:324B:322C:22D:3211.若()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则（）A.233231(log )(2)(2)4f f f -->>B.233231(log )(2)(2)4f f f -->>C.233231(2)(2)(log )4f f f -->>D.233231(2)(2)(log )4f f f -->>12.设函数()()sin 05f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，下述四个结论：○1()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点○2()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点○3()f x 在0,10π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递增○4ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是A.○1○4 B.○2○3 C.○1○2○3 D.○1○3○4二.填空题13.已知a ，b 为单位向量，且0a b ⋅=，若2c a =- ，则cos ,a c =.答案：23解析：∵()22222459c a a b b =-=+-⋅= ，∴3c = ，∵()2222a c a a a b ⋅=⋅=⋅= ，∴22cos ,133a c a c a c ⋅===⨯⋅ .14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S =.15.设1F 、2F 为椭圆1203622=+y x C ：的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则M 的坐标为________.16.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅰ)(含解析版)
即 ，可得 ．
由于 ，所以 ，故
．
18．解：（1）连结B1C，ME．
因为M，E分别为BB1，BC的中点，
所以ME∥B1C，且ME= B1C．
又因为N为A1D的中点，所以ND= A1D．
由题设知A1B1 DC，可得B1C A1D，故ME ND，
因此四边形MNDE为平行四边形，MN∥ED．
1.已知集合 ，则 =
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题．
【详解】由题意得， ，则
．故选C．
【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分．
2.设复数z满足 ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则
A． B． C． D．
11．关于函数 有下述四个结论：
①f(x)是偶函数②f(x)在区间（ , ）单调递增
③f(x)在 有4个零点④f(x)的最大值为2
其中所有正确结论的编号是
A．①②④B．②④C．①④D．①③
12．已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，PB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为 （t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 ．
（1）求C和l的直角坐标方程；
（2）求C上的点到l距离的最小值．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
2019年高考数学真题试卷 理科数学 (全国 III 卷) (含答案)
2019年普通高等学校招生全国统一考试（全国III 卷）理科数学一、 选择题1.已知集合}1|{},2,1,0,1{2≤=-=x x B A ，则=⋂B A （ ） A. }1,0,1{- B. B.{0,1} C. C.}1,1{- D. D.}2,1,0{2.若i i z 2)1(=+，则=z （ ）A.i --1B.i +-1C.i -1D.i +13.《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著，某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为（ ） A.5.0 B.6.0 C.7.0 D.8.04.42)1)(21(x x ++的展开式中3x 的系数为（ ） A.12 B.16 C.20 D.245.已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a =（） A. 16 B. 8 C. 4 D.26.已知曲线x x ae y xln +=在点)1(ae ，处的切线方程为b x y +=2，则（ ）A.e a =,1-=bB.e a =,1=bC.1-=e a ,1=bD.1-=e a ,1-=b7.函数3222x xx y -=+在[6,6]-的图像大致为（ ） A.B.C.D.8.如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面⊥ECD 平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则（ ）A.EN BM =，且直线EN BM ,是相交直线B.EN BM ≠，且直线EN BM ,是相交直线C.EN BM =，且直线EN BM ,是异面直线D.EN BM ≠，且直线EN BM ,是异面直线9.执行右边的程序框图，如果输出ε为01.0，则输出s 的值等于（ ）A.4212-B.5212- C.6212-D.7212-10.双曲线C ：22142x y -=的右焦点为F ，点P 为C 的一条渐近线的点，O 为坐标原点.若||||PO PF =则PFO ∆的面积为（ ）A: 324 B:322C: 22 D:3211.若()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则（ ）A. 233231(log )(2)(2)4f f f -->> B. 233231(log )(2)(2)4f f f -->>C. 233231(2)(2)(log )4f f f -->>D.233231(2)(2)(log )4f f f -->>12.设函数()()sin 05f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，已知()f x 在[]02π，有且仅有5个零点，下述四个结论：○1()f x 在()0,2π有且仅有3个极大值点 ○2()f x 在()0,2π有且仅有2个极小值点 ○3()f x 在0,10π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 ○4ω的取值范围是1229,510⎡⎫⎪⎢⎣⎭其中所有正确结论的编号是A. ○1○4B.○2○3C.○1○2○3D.○1○3○4 二.填空题13.已知a r ，b r 为单位向量，且0a b ⋅=r r，若2c a =r r ，则cos ,a c =r r.答案：23解析：∵()22222459c a a b b =-=+-⋅=r r r r r ，∴3c =r，∵()2222a c a a a b ⋅=⋅=⋅=r r r r r r ，∴22cos ,133a c a c a c ⋅===⨯⋅r rr r r r . 14.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若10a ≠，213a a =，则105S S = . 15.设1F 、2F 为椭圆1203622=+y x C ：的两个焦点，M 为C 上一点且在第一象限，若21F MF ∆为等腰三角形，则M 的坐标为________.16.学生到工厂劳动实践，利用3D 打印技术制作模型。
2019年全国统一高考数学试卷(理科)(新课标ⅲ)-解析版
2019年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（5分）已知集合{1A =-，0，1，2}，2{|1}B x x = ，则(A B = )A ．{1-，0，1}B ．{0，1}C ．{1-，1}D ．{0，1，2}【解答】解：因为{1A =-，0，1，2}，2{|1}{|11}B x x x x ==- ，所以{1A B =- ，0，1}，故选：A ．2．（5分）若(1)2z i i +=，则(z =)A ．1i--B ．1i-+C ．1i -D ．1i+【解答】解：由(1)2z i i +=，得22(1)12i i i z i -==+1i =+．故选：D ．3．（5分）《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并成为中国古典小说四大名著．某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为()A ．0.5B ．0.6C ．0.7D ．0.8【解答】解：某中学为了了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，作出韦恩图，得：∴该学校阅读过《西游记》的学生人数为70人，则该学校阅读过《西游记》的学生人数与该学校学生总数比值的估计值为：700.7100=．故选：C ．4．（5分）24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为()A ．12B ．16C ．20D ．24【解答】解：24(12)(1)x x ++的展开式中3x 的系数为：3311133414311121112C C C C ⨯⨯⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=．故选：A ．5．（5分）已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3(a =)A ．16B ．8C ．4D ．2【解答】解：设等比数列{}n a 的公比为(0)q q >，则由前4项和为15，且53134a a a =+，有231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎪⎨=+⎪⎩，∴112a q =⎧⎨=⎩，∴2324a ==，故选：C ．6．（5分）已知曲线x y ae xlnx =+在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，则()A ．a e =，1b =-B ．a e =，1b =C ．1a e -=，1b =D ．1a e -=，1b =-【解答】解：x y ae xlnx =+的导数为1x y ae lnx '=++，由在点(1,)ae 处的切线方程为2y x b =+，可得102ae ++=，解得1a e -=，又切点为(1,1)，可得12b =+，即1b =-，故选：D ．7．（5分）函数3222x xx y -=+在[6-，6]的图象大致为()A ．B ．C ．D ．【解答】解：由32()22x x x y f x -==+在[6-，6]，知332()2()()2222x x x xx x f x f x ----==-=-++，()f x ∴是[6-，6]上的奇函数，因此排除C又f （4）1182721=>+，因此排除A ，D ．故选：B ．8．（5分）如图，点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，则()A ．BM EN =，且直线BM ，EN 是相交直线B ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是相交直线C ．BM EN =，且直线BM ，EN 是异面直线D ．BM EN ≠，且直线BM ，EN 是异面直线【解答】解： 点N 为正方形ABCD 的中心，ECD ∆为正三角形，平面ECD ⊥平面ABCD ，M 是线段ED 的中点，BM ∴⊂平面BDE ，EN ⊂平面BDE ，BM 是BDE ∆中DE 边上的中线，EN 是BDE ∆中BD 边上的中线，∴直线BM ，EN 是相交直线，设DE a =，则2BD a =，2235244BE a a a =+=，62BM a ∴=，223144EN a a a =+=，BM EN ∴≠，故选：B ．9．（5分）执行如图所示的程序框图，如果输入ò为0.01，则输出的s 值等于()A ．4122-B ．5122-C ．6122-D ．7122-【解答】解：第一次执行循环体后，1s =，12x =，不满足退出循环的条件0.01x <；再次执行循环体后，112s =+，212x =，不满足退出循环的条件0.01x <；再次执行循环体后，211122s =++，312x =，不满足退出循环的条件0.01x <；⋯由于610.012>，而710.012<，可得：当261111222s =++++⋯，712x =，此时，满足退出循环的条件0.01x <，输出2661111122222s =+++⋯=-．故选：C ．10．（5分）双曲线22:142x y C -=的右焦点为F ，点P 在C 的一条渐近线上，O 为坐标原点，若||||PO PF =，则PFO ∆的面积为()A ．4B ．2C ．D ．【解答】解：双曲线22:142x y C -=的右焦点为F 0)，渐近线方程为：y =，不妨P 在第一象限，可得2tan 2POF ∠=，P ，所以PFO ∆的面积为：1224=．故选：A ．11．（5分）设()f x 是定义域为R 的偶函数，且在(0,)+∞单调递减，则()A ．233231(log )(2)(2)4f f f -->>B ．233231(log (2)(2)4f f f -->>C ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>D ．233231(2)(2)(log )4f f f -->>【解答】解：()f x 是定义域为R 的偶函数∴331(log )(log 4)4f f =，33log 4log 31>= ，2303202221--<<<<=，23323022log 4--∴<<<()f x 在(0,)+∞上单调递减，∴233231(2)(2)()4f f f log -->>，故选：C ．12．（5分）设函数()sin(0)5f x x πωω=+>，已知()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点．下述四个结论：①()f x 在(0,2)π有且仅有3个极大值点②()f x 在(0,2)π有且仅有2个极小值点③()f x 在(0,)10π单调递增④ω的取值范围是12[5，29)10其中所有正确结论的编号是()A ．①④B ．②③C ．①②③D ．①③④【解答】解：当[0x ∈，2]π时，[55x ππω+∈，25ππω+，()f x 在[0，2]π有且仅有5个零点，5265πππωπ∴+< ，∴1229510ω<，故④正确，因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，下面判断③是否正确，当(0,10x π∈时，[55x ππω+∈，(2)]10ωπ+，若()f x 在(0,)10π单调递增，则(2)102ωππ+<，即3ω<，1229510ω<，故③正确．故选：D ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
2019年上海市高考数学试题附答案
20． ________________.
三、解答题
21．已知曲线C的参数方程为 （a参数），以直角坐标系的原点为极点，x正半轴为极轴建立极坐标系.
A．(2,0)B．(0,-2)C．(-2,0)D．(0,2)
8．函数 的图象关于( )
A．x轴对称B．原点对称C．y轴对称D．直线 对称
9．下表提供了某厂节能降耗技术改造后在生产 产品过程中记录的产量 （吨）与相应的生产能耗 （吨）的几组对应数据，根据表中提供的数据，求出 关于 的线性回归方程为 ，则下列结论错误的是（）
3．C
解析：C
【解析】
【分析】
设第一张卡片上的数字为 ，第二张卡片的数字为 ，问题求的是 ，
首先考虑分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，有多少种可能，再求出 的可能性有多少种，然后求出 .
【详解】
设第一张卡片上的数字为 ，第二张卡片的数字为 ，分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，共有 种情况，
2019年上海市高考数学试题附答案
一、选择题
1．函数 的大致图象是（ ）
A． B． C． D．
2． 的部分图象大致是（ ）
A． B．
C． D．
3．从分别写有数字1，2，3，4，5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数字不大于第二张卡片的概率是（ ）
A． B． C． D．
14．已知 的展开式中含有 项的系数是54，则n=_____________.
2019年全国高考理科数学试题分类汇编4：数列
一、选择题1 ．（2019年高考上海卷（理））在数列{}n a 中,21nn a =-,若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++,(1,2,,7;1,2,,12i j ==L L )则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为( )(A)18 (B)28(C)48(D)63【答案】A.2 ．（2019年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））已知数列{}n a 满足12430,3n n a a a ++==-,则{}n a 的前10项和等于(A)()10613--- (B)()101139-- (C)()10313-- (D)()1031+3-【答案】C3 ．（2019年高考新课标1（理））设n n n A B C ∆的三边长分别为,,n n n a b c ,n n n A B C ∆的面积为n S ,1,2,3,n =L ,若11111,2b c b c a >+=,111,,22n n nnn n n n c a b a a a b c +++++===,则( ) A.{S n }为递减数列 B.{S n }为递增数列C.{S 2n -1}为递增数列,{S 2n }为递减数列D.{S 2n -1}为递减数列,{S 2n }为递增数列【答案】B4 ．（2019年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））函数=()y f x 的图像如图所示,在区间[],a b 上可找到(2)n n ≥个不同的数12,...,,n x x x 使得1212()()()==,n nf x f x f x x x x 则n 的取值范围是(A){}3,4 (B){}2,3,4 (C) {}3,4,5 (D){}2,3【答案】B5 ．（2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））已知等比数列{}n a 的公比为q,记(1)1(1)2(1)...,n m n m n m n m b a a a -+-+-+=+++*(1)1(1)2(1)...(,),n m n m n m n m c a a a m n N -+-+-+=•••∈则以下结论一定正确的是( ) A.数列{}n b 为等差数列,公差为mq B.数列{}n b 为等比数列,公比为2mqC.数列{}n c 为等比数列,公比为2m q D.数列{}n c 为等比数列,公比为mm q【答案】C6 ．（2019年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））等比数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知12310a a S +=,95=a ,则=1a(A)31 (B)31- (C)91(D)91-【答案】C7 ．（2019年高考新课标1（理））设等差数列{}n a 的前n 项和为11,2,0,3n m m m S S S S -+=-==,则m =( )【答案】C8 ．（2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））下面是关于公差0d>的等差数列()n a 的四个命题:{}1:n p a 数列是递增数列；{}2:n p na 数列是递增数列； 3:n a p n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭数列是递增数列； {}4:3n p a nd +数列是递增数列；其中的真命题为(A)12,p p (B)34,p p (C)23,p p (D)14,p p【答案】D9 ．（2019年高考江西卷（理））等比数列x,3x+3,6x+6,..的第四项等于【答案】A二、填空题10．（2019年高考四川卷（理））在等差数列{}n a 中,218a a -=,且4a 为2a 和3a 的等比中项,求数列{}n a 的首项、公差及前n 项和.【答案】解:设该数列公差为d ,前n 项和为n s .由已知,可得()()()21111228,38a d a d a d a d +=+=++.所以()114,30a d d d a +=-=,解得14,0a d ==,或11,3a d ==,即数列{}n a 的首相为4,公差为0,或首相为1,公差为3.所以数列的前n 项和4n s n =或232n n ns -=11．（2019年普通高等学校招生统一考试新课标Ⅱ卷数学（理）（纯WORD 版含答案））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知10150,25S S ==,则n nS 的最小值为________.【答案】49-12．（2019年高考湖北卷（理））古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数.如三角形数1,3,6,10,,第n 个三角形数为()2111222n n n n +=+.记第n 个k 边形数为(),N n k ()3k ≥,以下列出了部分k 边形数中第n 个数的表达式: 三角形数 ()211,322N n n n =+ 正方形数 ()2,4N n n = 五边形数 ()231,522N n n n =- 六边形数 ()2,62N n n n =-可以推测(),N n k 的表达式,由此计算()10,24N =___________. 选考题【答案】100013．（2019年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））在正项等比数列}{n a 中,215=a ,376=+a a ,则满足n n a a a a a a ΛΛ2121>+++的最大正整数n 的值为_____________.【答案】1214．（2019年高考湖南卷（理））设n S 为数列{}n a 的前n 项和,1(1),,2n n n n S a n N *=--∈则 (1)3a =_____; (2)12100S S S ++⋅⋅⋅+=___________.【答案】116-;10011(1)32- 15．（2019年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版））当,1x R x ∈<时,有如下表达式:211.......1n x x x x+++++=- 两边同时积分得:11111222222011.......1ndx xdx x dx x dx dx x+++++=-⎰⎰⎰⎰⎰从而得到如下等式:23111111111()()...()...ln 2.2223212n n +⨯+⨯+⨯++⨯+=+ 请根据以下材料所蕴含的数学思想方法,计算:122311111111()()...()_____2223212nn n n n n n C C C C +⨯+⨯+⨯++⨯=+ 【答案】113[()1]12n n +-+16．（2019年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案））已知{}n a 是等差数列,11a =,公差0d ≠,n S 为其前n 项和,若125,,a a a 成等比数列,则8_____S =【答案】6417．（2019年上海市春季高考数学试卷(含答案)）若等差数列的前6项和为23,前9项和为57,则数列的前n项和n =S __________.【答案】25766n n - 18．（2019年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷（纯WORD 版））在等差数列{}n a 中,已知3810a a +=,则573a a +=_____ 【答案】2019．（2019年高考陕西卷（理））观察下列等式:211=22123-=- 2221263+-=2222124310-+-=-照此规律, 第n 个等式可为___)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（Λ____. 【答案】)1(2)1-n 1--32-1121-n 222+=+++n n n （）（Λ 20．（2019年高考新课标1（理））若数列{n a }的前n 项和为S n =2133n a +,则数列{n a }的通项公式是n a =______.【答案】n a =1(2)n --.21．（2019年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））如图,互不-相同的点12,,,n A A X K K和12,,,n B B B K K 分别在角O 的两条边上,所有n n A B 相互平行,且所有梯形11n n n n A B B A ++的面积均相等.设.n n OA a =若121,2,a a ==则数列{}n a 的通项公式是_________.【答案】*,23N n n a n∈-= 22．（2019年高考北京卷（理））若等比数列{a n }满足a 2+a 4=20,a 3+a 5=40,则公比q =_______;前n 项和S n =___________.【答案】2,122n +- 23．（2019年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版））已知等比数列{}n a 是递增数列,n S 是{}n a 的前n 项和,若13a a ，是方程2540x x -+=的两个根,则6S =____________.【答案】63 三、解答题24．（2019年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版））设函数22222()1(,)23nn n x x x f x x x R n N n=-+++++∈∈K ,证明:(Ⅰ)对每个nn N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =;(Ⅱ)对任意np N ∈,由(Ⅰ)中n x 构成的数列{}n x 满足10n n p x x n+<-<.【答案】解: (Ⅰ) 224232224321)(0nx x x x x x f n x y x nn n ++++++-=∴=>ΛΘ是单调递增的时，当是x 的单调递增函数,也是n 的单调递增函数. 011)1(,01)0(=+-≥<-=n n f f 且.010)(],1,0(321>>>≥=∈⇒n n n n x x x x x f x Λ，且满足存在唯一x x x x x x x x x x x x x f x n n n -⋅++-<--⋅++-=++++++-≤∈-1141114122221)(,).1,0(2122242322Λ时当]1,32[0)23)(2(1141)(02∈⇒≤--⇒-⋅++-≤=⇒n n n n n n n n x x x x x x x f综上,对每个nn N ∈,存在唯一的2[,1]3n x ∈,满足()0n n f x =;(证毕)(Ⅱ) 由题知04321)(,012242322=++++++-=>>≥+nxx x x x x f x x nn n n n n n n pn n Λ0)()1(4321)(2212242322=+++++++++++-=+++++++++++p n x n x nx x x x x x f pn pn n pn np n p n p n p n p n p n p n ΛΛ上式相减:22122423222242322)()1(432432p n x n x n x x x x x n x x x x x pn p n n p n n p n p n p n p n p n nnn n n n ++++++++++=++++++++++++++ΛΛΛ）（）（2212244233222)()1(-4-3-2--p n x n x nx x x x x x x x x x pn pn n pn nnn p n np n np n np n p n n +++++++++=+++++++++ΛΛ nx x n p n n p n n 1-111<⇒<+-=+. 法二:25．（2019年高考上海卷（理））(3 分+6分+9分)给定常数0c >,定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+,数列123,,,a a a L 满足*1(),n n a f a n N +=∈.(1)若12a c =--,求2a 及3a ;(2)求证:对任意*1,n n n N a a c +∈-≥,;(3)是否存在1a ,使得12,,,n a a a L L 成等差数列?若存在,求出所有这样的1a ,若不存在,说明理由.【答案】:(1)因为0c >,1(2)a c =-+,故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=,3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+(2)要证明原命题,只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立,()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++若0x c +≤,显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立;若0x c +>,则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立综上,()f x x c ≥+恒成立,即对任意的*n N ∈,1n n a a c +-≥(3)由(2)知,若{}n a 为等差数列,则公差0d c ≥>,故n 无限增大时,总有0n a > 此时,1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++ 即8d c =+故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++, 即1112|4|||8a c a c a c ++=++++,当10a c +≥时,等式成立,且2n ≥时,0n a >,此时{}n a 为等差数列,满足题意; 若10a c +<,则11|4|48a c a c ++=⇒=--,此时,230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+L 也满足题意; 综上,满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--.26．（2019年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分10分.设数列{}122,3,3,34444n a L ：，-，-，-，-，-，-，，-1-1-1-1k k k k k 644474448L 个（），，（）,即当1122k k k k n -+<≤（）（）()k N +∈时,11k n a k -=（-）,记12n n S a a a =++L ()n N +∈,对于l N +∈,定义集合{}l P 1n n n S a n N n l +=∈≤≤是的整数倍，，且 (1)求集合11P 中元素的个数; (2)求集合2000P 中元素的个数.【答案】本题主要考察集合.数列的概念与运算.计数原理等基础知识,考察探究能力及运用数学归纳法分析解决问题能力及推理论证能力. (1)解:由数列{}n a 的定义得:11=a ,22-=a ,23-=a ,34=a ,35=a ,36=a ,47-=a ,48-=a ,49-=a ,410-=a ,511=a ∴11=S ,12-=S ,33-=S ,04=S ,35=S ,66=S ,27=S ,28-=S ,69-=S ,1010-=S ,511-=S∴111a S •=,440a S •=,551a S •=,662a S •=,11111a S •-= ∴集合11P 中元素的个数为5(2)证明:用数学归纳法先证)12()12(+-=+i i S i i 事实上,① 当1=i 时,3)12(13)12(-=+•-==+S S i i 故原式成立② 假设当m i =时,等式成立,即)12()12(+•-=+m m S m m 故原式成立 则:1+=m i ,时,2222)12(}32)(1(}1)1(2)[1()22()12()12()22()12(+-+++-=+-++==++++++m m m m m m S S S m m m m m m)32)(1()352(2++-=++-=m m m m综合①②得:)12()12(+-=+i i S i i 于是)1)(12()12()12()12(22}12(}12)[1(++=+++-=++=+++i i i i i i S S i i i i由上可知:}12(+i i S 是)12(+i 的倍数而)12,,2,1(12}12)(1(+=+=+++i j i a j i i Λ,所以)12()12()12(++=+++i j S S i i j i i 是)12,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i Λ的倍数又)12)(1(}12)[1(++=++i i S i i 不是22+i 的倍数, 而)22,,2,1)(22(}12)(1(+=+-=+++i j i a j i i Λ所以)22()1)(12()22()12)(1()12)(1(+-++=+-=+++++i j i i i j S S i i j i i 不是)22,,2,1(}12)(1(+=+++i j a j i i Λ的倍数故当)12(+=i i l 时,集合l P 中元素的个数为2i 1-i 231=+++）（Λ 于是当）（1i 2j 1j )12(+≤≤++=i i l 时,集合l P 中元素的个数为j i 2+ 又471312312000++⨯⨯=）（故集合2000P 中元素的个数为100847312=+27．（2019年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版））在公差为d 的等差数列}{n a 中,已知101=a ,且3215,22,a a a +成等比数列.(1)求n a d ,; (2)若0<d ,求.||||||||321n a a a a ++++Λ【答案】解:(Ⅰ)由已知得到:22221311(22)54(1)50(2)(11)25(5)a a a a d a d d d +=⇒++=+⇒+=+224112122125253404611n n d d d d d d d a n a n==-⎧⎧⇒++=+⇒--=⇒⎨⎨=+=-⎩⎩或; (Ⅱ)由(1)知,当0d<时,11n a n =-,①当111n ≤≤时,123123(1011)(21)0||||||||22n n n n n n n a a a a a a a a a +--≥∴++++=++++==g g g g g g②当12n ≤时,1231231112132123111230||||||||()11(2111)(21)212202()()2222n n n n a a a a a a a a a a a a n n n n a a a a a a a a ≤∴++++=++++-+++---+=++++-++++=⨯-=g g g g g g g g g g g g g g g所以,综上所述:1232(21),(111)2||||||||21220,(12)2n n n n a a a a n n n -⎧≤≤⎪⎪++++=⎨-+⎪≥⎪⎩g g g ;28．（2019年高考湖北卷（理））已知等比数列{}n a 满足:2310a a -=,123125a a a =. (I)求数列{}n a 的通项公式;(II)是否存在正整数m ,使得121111ma a a +++≥L ?若存在,求m 的最小值;若不存在,说明理由.【答案】解:(I)由已知条件得:25a =,又2110a q -=,13q ∴=-或,所以数列{}n a 的通项或253n n a -=⨯(II)若1q =-,12111105m a a a +++=-L 或,不存在这样的正整数m ; 若3q =,12111919110310mm a a a ⎡⎤⎛⎫+++=-<⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦L ,不存在这样的正整数m .29．（2019年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,且424S S =,221n n a a =+. (Ⅰ)求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ)设数列{}n b 前n 项和为n T ,且 12n n na T λ++=(λ为常数).令2n n cb =*()n N ∈.求数列{}nc 的前n 项和n R .【答案】解:(Ⅰ)设等差数列{}n a 的首项为1a ,公差为d ,由424S S =,221n n a a =+得11114684(21)22(1)1a d a d a n a n d +=+⎧⎨+-=+-+⎩,解得,11a =,2d = 因此21n a n =-*()n N ∈(Ⅱ)由题意知:12n n n T λ-=-所以2n ≥时,112122n n n n n n n b T T ----=-=-+故,1221221(1)()24n n n n n c b n ---===- *()n N ∈所以01231111110()1()2()3()(1)()44444n n R n -=⨯+⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯, 则12311111110()1()2()(2)()(1)()444444n nn R n n -=⨯+⨯+⨯+⋅⋅⋅+-⨯+-⨯两式相减得1231311111()()()()(1)()444444n nn R n -=+++⋅⋅⋅+--⨯ 11()144(1)()1414n nn -=---整理得1131(4)94n n n R -+=-所以数列数列{}n c 的前n 项和1131(4)94n n n R -+=-30．（2019年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题））本小题满分16分.设}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和.记cn nS b n n +=2,*N n ∈,其中c 为实数. (1)若0=c ,且421b b b ，，成等比数列,证明:k nk S n S 2=(*,N n k ∈) (2)若}{n b 是等差数列,证明:0=c .【答案】证明:∵}{n a 是首项为a ,公差为d 的等差数列)0(≠d ,n S 是其前n 项和 ∴d n n na S n 2)1(-+= (1)∵0=c ∴d n a n S b n n 21-+== ∵421b b b ，，成等比数列 ∴4122b b b = ∴)23()21(2d a a d a +=+∴041212=-d ad ∴0)21(21=-d a d ∵0≠d ∴d a 21= ∴a d 2= ∴a n a n n na d n n na S n 222)1(2)1(=-+=-+= ∴左边=a k n a nk S nk 222)(== 右边=a k n S n k 222=∴左边=右边∴原式成立(2)∵}{n b 是等差数列∴设公差为1d ,∴11)1(d n b b n -+=带入cn nS b n n +=2得: 11)1(d n b -+cn nS n +=2 ∴)()21()21(11121131b d c n cd n d a d b n d d -=++--+-对+∈N n 恒成立∴⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==+--=-0)(0021021111111b d c cd d a d b d d 由①式得:d d 211= ∵ 0≠d ∴ 01≠d 由③式得:0=c法二:证:(1)若0=c ,则d n a a n )1(-+=,2]2)1[(a d n n S n +-=,22)1(a d n b n +-=. 当421b b b ，，成等比数列,4122b b b =, 即:⎪⎭⎫ ⎝⎛+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+2322d a a d a ,得:ad d 22=,又0≠d ,故a d 2=. 由此:a n S n 2=,a k n a nk S nk 222)(==,a k n S n k 222=.故:k nk S n S 2=(*,N n k ∈). (2)cn ad n n c n nS b n n ++-=+=22222)1(, cn a d n c a d n c a d n n ++--+-++-=2222)1(22)1(22)1( c n a d n c a d n ++--+-=222)1(22)1(. (※) 若}{n b 是等差数列,则Bn An b n +=型.观察(※)式后一项,分子幂低于分母幂,故有:022)1(2=++-cn ad n c,即022)1(=+-a d n c ,而22)1(a d n +-≠0, 故0=c . 经检验,当0=c 时}{n b 是等差数列.31．（2019年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,已知232=S a ,且124,,S S S 成等比数列,求{}n a 的通项式.【答案】32．（2019年普通高等学校招生统一考试天津数学（理）试题（含答案））已知首项为32的等比数列{}n a 不是递减数列, 其前n 项和为(*)n S n ∈N , 且S 3 + a 3, S 5 + a 5, S 4 + a 4成等差数列. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式;(Ⅱ) 设*()1n n nT S n S ∈=-N , 求数列{}n T 的最大项的值与最小项的值. 【答案】33．（2019年高考江西卷（理））正项数列{a n }的前项和{a n }满足:222(1)()0n n s n n s n n -+--+= (1)求数列{a n }的通项公式a n ;(2)令221(2)n n b n a +=+,数列{b n }的前n 项和为n T .证明:对于任意的*n N ∈,都有564n T < 【答案】(1)解:由222(1)()0n n S n n S n n -+--+=,得2()(1)0nn S n n S ⎡⎤-++=⎣⎦.由于{}n a 是正项数列,所以20,n n S S n n >=+. 于是112,2a S n ==≥时,221(1)(1)2n n n a S S n n n n n -=-=+----=.综上,数列{}n a 的通项2n a n =.(2)证明:由于2212,(2)n n nn a n b n a +==+. 则222211114(2)16(2)n n b n n n n ⎡⎤+==-⎢⎥++⎣⎦. 222222222111111111111632435(1)(1)(2)n T n n n n ⎡⎤=-+-+-++-+-⎢⎥-++⎣⎦… 222211111151(1)162(1)(2)16264n n ⎡⎤=+--<+=⎢⎥++⎣⎦. 是等比数列.。
2019年高考全国1卷理科数学试题和答案
2019年全国统一高考数学试卷（理科)（新课标Ⅰ)第I 卷（选择题)一、单选题1．已知集合{}}242{60M x x N x x x =-<<=--<，，则M N ⋂=A ．}{43x x -<<B ．}{42x x -<<-C ．}{22x x -<<D ．}{23x x <<2．设复数z 满足=1i z -，z 在复平面内对应的点为(x ，y )，则A ．22+11()x y +=B ．22(1)1x y -+=C ．22(1)1x y +-=D ．22(+1)1y x += 3．已知0.20.32log 0.2,2,0.2a b c ===，则A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．b c a <<4．古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是512-（512-≈0.618，称为黄金分割比例)，著名的“断臂维纳斯”便是如此．此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是512-．若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26 cm ，则其身高可能是A ．165 cmB ．175 cmC ．185 cmD ．190cm5．函数f (x )=2sin cos x xx x ++在[—π，π]的图像大致为A ．B ．C ．D ．6．我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化．每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“——”和阴爻“——”，如图就是一重卦．在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有3个阳爻的概率是A．516B．1132C．2132D．11167．已知非零向量a，b满足a=2b，且（a–b）⊥b，则a与b的夹角为A．π6B．π3C．2π3D．5π68．如图是求112122++的程序框图，图中空白框中应填入A．A=12A+B．A=12A+C．A=112A+D．A=112A+9．记nS为等差数列{}na的前n项和．已知4505S a==，，则A．25na n=-B．310na n=-C．228nS n n=-D．2122nS n n=-10．已知椭圆C的焦点为121,01,0F F-()，()，过F2的直线与C交于A，B两点.若222AF F B=││││，1AB BF=││││，则C的方程为A．2212xy+=B．22132x y+=C．22143x y+=D．22154x y+=11．关于函数()sin |||sin |f x x x =+有下述四个结论：①f (x )是偶函数 ②f (x )在区间（2π,π）单调递增③f (x )在[,]ππ-有4个零点 ④f (x )的最大值为2 其中所有正确结论的编号是 A ．①②④B ．②④C ．①④D ．①③12．已知三棱锥P -ABC 的四个顶点在球O 的球面上，PA =PB =PC ，△ABC 是边长为2的正三角形，E ，F 分别是PA ，PB 的中点，∠CEF =90°，则球O 的体积为A ．B ．C ．D第II 卷（非选择题)13．曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为___________．14．记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=____________．15．甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以4∶1获胜的概率是____________．16．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为F 1，F 2，过F 1的直线与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点．若1F A AB =，120F B F B ⋅=，则C 的离心率为____________．17．ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，设22(sin sin )sin sin sin B C A B C -=-．（1）求A ；（2）2b c +=，求sin C ．18．如图，直四棱柱ABCD –A 1B 1C 1D 1的底面是菱形，AA 1=4，AB =2，∠BAD =60°，E ，M ，N 分别是BC ，BB 1，A 1D 的中点．（1）证明：MN ∥平面C 1DE ； （2）求二面角A-MA 1-N 的正弦值． 19．已知抛物线C ：y 2=3x 的焦点为F ，斜率为32的直线l 与C 的交点为A ，B ，与x 轴的交点为P ． （1）若|AF |+|BF |=4，求l 的方程； （2）若3AP PB =，求|AB |．20．已知函数()sin ln(1)f x x x =-+，()f x '为()f x 的导数．证明：（1）()f x '在区间(1,)2π-存在唯一极大值点； （2）()f x 有且仅有2个零点．21．为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠比另一种药治愈的白鼠多4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题，约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得1分，乙药得1-分；若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得1分，甲药得1-分；若都治愈或都未治愈则两种药均得0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为X ．（1）求X 的分布列；（2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予4分，(0,1,,8)i p i =表示“甲药的累计得分为i 时，最终认为甲药比乙药更有效”的概率，则00p =，81p =，11i i i i p ap bp cp -+=++(1,2,,7)i =，其中(1)a P X ==-，(0)b P X ==，(1)c P X ==．假设0.5α=，0.8β=．(i)证明：1{}i i p p +-(0,1,2,,7)i =为等比数列；(ii)求4p ，并根据4p 的值解释这种试验方案的合理性． 22．[选修4-4：坐标系与参数方程]在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为2221141t x t t y t ⎧-=⎪⎪+⎨⎪=⎪+⎩，（t 为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2cos sin 110ρθθ+=． （1）求C 和l 的直角坐标方程； （2）求C 上的点到l 距离的最小值． 23．[选修4-5：不等式选讲]已知a ，b ，c 为正数，且满足abc =1．证明： （1）222111a b c a b c++≤++； （2）333()()()24a b b c c a +++≥++ 参考答案1．C 【解析】 【分析】本题考查集合的交集和一元二次不等式的解法，渗透了数学运算素养．采取数轴法，利用数形结合的思想解题． 【详解】由题意得，{}{}42,23M x x N x x =-<<=-<<，则{}22M N x x ⋂=-<<．故选C ．【点睛】不能领会交集的含义易致误，区分交集与并集的不同，交集取公共部分，并集包括二者部分． 2．C 【解析】 【分析】本题考点为复数的运算，为基础题目，难度偏易．此题可采用几何法，根据点（x ，y ）和点(0，1)之间的距离为1，可选正确答案C ． 【详解】,(1),z x yi z i x y i =+-=+-1,z i -则22(1)1x y +-=．故选C ．【点睛】本题考查复数的几何意义和模的运算，渗透了直观想象和数学运算素养．采取公式法或几何法，利用方程思想解题． 3．B 【解析】 【分析】运用中间量0比较,a c ，运用中间量1比较,b c 【详解】22log 0.2log 10,a =<=0.20221,b =>=0.3000.20.21,<<=则01,c a c b <<<<．故选B ．【点睛】本题考查指数和对数大小的比较，渗透了直观想象和数学运算素养．采取中间变量法，利用转化与化归思想解题． 4．B【分析】理解黄金分割比例的含义，应用比例式列方程求解． 【详解】设人体脖子下端至肚脐的长为x cm ，肚脐至腿根的长为y cm ，则2626105x x y +==+，得42.07, 5.15x cm y cm ≈≈．又其腿长为105cm ，头顶至脖子下端的长度为26cm ，所以其身高约为42．07+5．15+105+26=178．22，接近175cm ．故选B ． 【点睛】本题考查类比归纳与合情推理，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取类比法，利用转化思想解题． 5．D 【解析】 【分析】先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 【详解】 由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x -+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称．又221422()1,2()2f πππππ++==>2()01f πππ=>-+．故选D ． 【点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题． 6．A 【解析】本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题，渗透了传统文化、数学计算等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有3个阳爻是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算． 【详解】由题知，每一爻有2中情况，一重卦的6爻有62情况，其中6爻中恰有3个阳爻情况有36C ，所以该重卦恰有3个阳爻的概率为3662C =516，故选A ．【点睛】对利用排列组合计算古典概型问题，首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还是组合问题．本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题． 7．B 【解析】 【分析】本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由()a b b -⊥得出向量,a b 的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角． 【详解】因为()a b b -⊥，所以2()a b b a b b -⋅=⋅-=0，所以2a b b ⋅=，所以cos θ=22||12||2a b b a b b ⋅==⋅，所以a 与b 的夹角为3π，故选B ． 【点睛】对向量夹角的计算，先计算出向量的数量积及各个向量的摸，在利用向量夹角公式求出夹角的余弦值，再求出夹角，注意向量夹角范围为[0,]π．【解析】 【分析】本题主要考查算法中的程序框图，渗透阅读、分析与解决问题等素养，认真分析式子结构特征与程序框图结构，即可找出作出选择． 【详解】执行第1次，1,122A k ==≤是，因为第一次应该计算1122+=12A +，1k k =+=2，循环，执行第2次，22k =≤，是，因为第二次应该计算112122++=12A +，1k k =+=3，循环，执行第3次，22k =≤，否，输出，故循环体为12A A=+，故选A ．【点睛】秒杀速解 认真观察计算式子的结构特点，可知循环体为12A A=+． 9．A 【解析】 【分析】等差数列通项公式与前n 项和公式．本题还可用排除，对B ，55a =，44(72)1002S -+==-≠，排除B ，对C ，245540,25850105S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除C ．对D ，24554150,5250522S a S S ==-=⨯-⨯-=≠，排除D ，故选A ．【详解】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，故选A ．【点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，在适当计算即可做了判断． 10．B 【解析】 【分析】由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，得12AF n =，在1AF B △中求得11cos 3F AB ∠=，再在12AF F △中，由余弦定理得n =从而可求解. 【详解】法一：如图，由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在1AF B △中，由余弦定理推论得22214991cos 2233n n n F AB n n +-∠==⋅⋅．在12AF F △中，由余弦定理得2214422243n n n n +-⋅⋅⋅=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ． 法二：由已知可设2F B n =，则212,3AF n BF AB n ===，由椭圆的定义有121224,22a BF BF n AF a AF n =+=∴=-=．在12AF F △和12BF F △中，由余弦定理得2221222144222cos 4,422cos 9n n AF F n n n BF F n⎧+-⋅⋅⋅∠=⎨+-⋅⋅⋅∠=⎩，又2121,AF F BF F ∠∠互补，2121cos cos 0AF F BF F ∴∠+∠=，两式消去2121cos cos AF F BF F ∠∠,，得223611n n +=，解得n =22224312,a n a b a c ∴==∴=∴=-=-=∴所求椭圆方程为22132x y +=，故选B ．【点睛】本题考查椭圆标准方程及其简单性质，考查数形结合思想、转化与化归的能力，很好的落实了直观想象、逻辑推理等数学素养． 11．C 【解析】 【分析】化简函数()sin sin f x x x =+，研究它的性质从而得出正确答案． 【详解】()()()()sin sin sin sin ,f x x x x x f x f x -=-+-=+=∴为偶函数，故①正确．当2x ππ<<时，()2sin f x x =，它在区间,2π⎛⎫π ⎪⎝⎭单调递减，故②错误．当0x π≤≤时，()2sin f x x =，它有两个零点：0,π；当0x π-≤<时，()()sin sin 2sin f x x x x =--=-，它有一个零点：π-，故()f x 在[],-ππ有3个零点：0-π,,π，故③错误．当[]()2,2x k k k *∈ππ+π∈N 时，()2sin f x x =；当[]()2,22x k k k *∈π+ππ+π∈N 时，()sin sin 0f x x x =-=，又()f x 为偶函数，()f x ∴的最大值为2，故④正确．综上所述，①④ 正确，故选C ． 【点睛】画出函数()sin sin f x x x =+的图象，由图象可得①④正确，故选C ．12．D 【解析】 【分析】先证得PB ⊥平面PAC ，再求得2PA PB PC ===，从而得P ABC -为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】 解法一:,PA PB PC ABC ==∆为边长为2的等边三角形，P ABC ∴-为正三棱锥，PB AC ∴⊥，又E ，F 分别为PA 、AB 中点， //EF PB ∴，EF AC ∴⊥，又EF CE ⊥，,CEAC C EF =∴⊥平面PAC ，PB ⊥平面PAC ，2PAB PA PB PC ∴∠=90︒,∴===，P ABC ∴-为正方体一部分，22226R =++=，即364466,633R V R =∴=π=⨯=ππ，故选D ．解法二:设2PA PB PC x ===，,E F 分别为,PA AB 中点，//EF PB ∴，且12EF PB x ==，ABC ∆为边长为2的等边三角形， 3CF ∴=又90CEF ∠=︒213,2CE x AE PA x ∴=-==AEC ∆中余弦定理()2243cos 22x x EAC x+--∠=⨯⨯，作PD AC ⊥于D ，PA PC =，D 为AC 中点，1cos 2AD EAC PA x ∠==，2243142x x x x+-+∴=， 221221222x x x ∴+=∴==，2PA PB PC ∴===又===2AB BC AC ，,,PA PB PC ∴两两垂直，22226R ∴=++=，6R ∴=，34466633V R ∴=π==π，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 13．30x y -=. 【解析】 【分析】本题根据导数的几何意义，通过求导数，确定得到切线的斜率，利用直线方程的点斜式求得切线方程 【详解】详解：/223(21)3()3(31),x x xy x e x x e x x e =+++=++ 所以，/0|3x k y ===所以，曲线23()e xy x x =+在点(0,0)处的切线方程为3y x =，即30x y -=． 【点睛】准确求导数是进一步计算的基础，本题易因为导数的运算法则掌握不熟，二导致计算错误．求导要“慢”，计算要准，是解答此类问题的基本要求． 14．1213. 【解析】 【分析】本题根据已知条件，列出关于等比数列公比q 的方程，应用等比数列的求和公式，计算得到5S ．题目的难度不大，注重了基础知识、基本计算能力的考查． 【详解】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式分式计算，部分考生易出现运算错误． 15．0.216. 【解析】 【分析】本题应注意分情况讨论，即前五场甲队获胜的两种情况，应用独立事件的概率的计算公式求解．题目有一定的难度，注重了基础知识、基本计算能力及分类讨论思想的考查．【详解】前四场中有一场客场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是30.60.50.520.108,⨯⨯⨯= 前四场中有一场主场输，第五场赢时，甲队以4:1获胜的概率是220.40.60.520.072,⨯⨯⨯= 综上所述，甲队以4:1获胜的概率是0.1080.0720.18.q =+= 【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是思维的全面性是否具备，要考虑甲队以4:1获胜的两种情况；易错点之三是是否能够准确计算． 16．2. 【解析】 【分析】通过向量关系得到1F A AB =和1OA F A ⊥，得到1AOB AOF∠=∠，结合双曲线的渐近线可得21,BOF AOF ∠=∠02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=从而由0tan 603ba==可求离心率. 【详解】 如图，由1,F A AB =得1.F A AB =又12,OF OF =得OA 是三角形12F F B 的中位线，即22//,2.BF OA BF OA =由120F B F B =，得121,,F B F B OA F A ⊥⊥则1OB OF =有1AOB AOF∠=∠， 又OA 与OB 都是渐近线，得21,BOF AOF ∠=∠又21BOF AOB AOF π∠+∠+∠=，得02160,BOF AOF BOA ∠=∠=∠=．又渐近线OB 的斜率为0tan 603ba==所以该双曲线的离心率为2c e a ===． 【点睛】本题考查平面向量结合双曲线的渐进线和离心率，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养．采取几何法，利用数形结合思想解题．17．（1）3A π=；（2）sin C =【解析】 【分析】（1）利用正弦定理化简已知边角关系式可得：222b c a bc +-=，从而可整理出cos A ，根据()0,A π∈可求得结果；（2）sin 2sin A B C +=，利用()sin sin B A C =+、两角和差正弦公式可得关于sin C 和cos C 的方程，结合同角三角函数关系解方程可求得结果.【详解】（1）()2222sin sin sin 2sin sin sin sin sin sin B C B B C C A B C -=-+=-即：222sin sin sin sin sin B C A B C +-= 由正弦定理可得：222b c a bc +-=2221cos 22b c a A bc +-∴==()0,πA ∈3Aπ（2）22a b c +=，由正弦定理得sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 2C C C +=整理可得：3sin C C =22sin cos 1C C += (()223sin 31sin C C ∴=-解得：sin 4C =或4因为sin 2sin 2sin 02B C A C ==->所以sin 4C >，故sin 4C =. （2）法二：22a b c +=，由正弦定理得sin 2sin A B C +=又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，3A π=1sin 2sin 222C C C ++=整理可得：3sin C C =，即3sin 6C C C π⎛⎫=-= ⎪⎝⎭sin 62C π⎛⎫∴-= ⎪⎝⎭由2(0,),(,)3662C C ππππ∈-∈-，所以,6446C C ππππ-==+sin sin()46C ππ=+=【点睛】本题考查利用正弦定理、余弦定理解三角形的问题，涉及到两角和差正弦公式、同角三角函数关系的应用，解题关键是能够利用正弦定理对边角关系式进行化简，得到余弦定理的形式或角之间的关系.18．（1）见解析；（2【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线和11//A D BC 可证得//ME ND ，证得四边形MNDE 为平行四边形，进而证得//MN DE ，根据线面平行判定定理可证得结论；（2）以菱形ABCD 对角线交点为原点可建立空间直角坐标系，通过取AB 中点F ，可证得DF ⊥平面1AMA ，得到平面1AMA 的法向量DF ；再通过向量法求得平面1MA N 的法向量n ，利用向量夹角公式求得两个法向量夹角的余弦值，进而可求得所求二面角的正弦值.【详解】（1）连接ME ，1B CM ，E 分别为1BB ，BC 中点 ME ∴为1B BC ∆的中位线 1//ME BC ∴且112ME B C = 又N 为1A D 中点，且11//A D BC 1//ND BC ∴且112ND B C = //ME ND ∴ ∴四边形MNDE 为平行四边形//MN DE ∴，又MN ⊄平面1C DE ，DE 平面1C DE//MN ∴平面1C DE（2）设ACBD O =，11111AC B D O =由直四棱柱性质可知：1OO ⊥平面ABCD 四边形ABCD 为菱形 AC BD ∴⊥则以O 为原点，可建立如下图所示的空间直角坐标系：则：()3,0,0A，()0,1,2M ，)13,0,4A ，D （0，-1,0）31,222N ⎛⎫-⎪ ⎪⎝⎭取AB 中点F ，连接DF ，则01,2F ⎫⎪⎪⎝⎭四边形ABCD 为菱形且60BAD ∠= BAD ∴∆为等边三角形 DF AB ∴⊥ 又1AA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD 1DFAA ∴⊥DF ⊥∴平面11ABB A ，即DF ⊥平面1AMADF ∴为平面1AMA 的一个法向量，且33,,022DF ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭设平面1MA N的法向量(),,n x y z =，又()13,1,2MA =-，33,022MN⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭13203302n MA xy z n MN x y ⎧⋅=-+=⎪∴⎨⋅=-=⎪⎩，令x 则1y =，1z =-()3,1,1n ∴=-cos ,15DF n DF n DF n⋅∴<>===⋅10sin ,DF n ∴<>=∴二面角1A MA N --的正弦值为【点睛】本题考查线面平行关系的证明、空间向量法求解二面角的问题.求解二面角的关键是能够利用垂直关系建立空间直角坐标系，从而通过求解法向量夹角的余弦值来得到二面角的正弦值，属于常规题型. 19．（1）12870x y --=；（2. 【解析】 【分析】（1）设直线l ：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y ；根据抛物线焦半径公式可得121x x =+；联立直线方程与抛物线方程，利用韦达定理可构造关于m 的方程，解方程求得结果；（2）设直线l ：23x y t =+；联立直线方程与抛物线方程，得到韦达定理的形式；利用3AP PB =可得123y y =-，结合韦达定理可求得12y y ；根据弦长公式可求得结果.【详解】（1）设直线l 方程为：3y =x m 2+，()11,A x y ，()22,B x y 由抛物线焦半径公式可知：12342AF BF x x +=++= 1252x x ∴+=联立2323y x m y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：()229121240x m x m +-+= 则()2212121440m m ∆=--> 12m ∴<121212592m x x -∴+=-=，解得：78m =-∴直线l 的方程为：3728y x =-，即：12870x y --= （2）设(),0P t ，则可设直线l 方程为：23x y t =+ 联立2233x y t y x⎧=+⎪⎨⎪=⎩得：2230y y t --= 则4120t ∆=+> 13t ∴>-122y y ∴+=，123y y t =-3AP PB = 123y y ∴=- 21y ∴=-，13y = 123y y ∴=-则AB ===【点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及到平面向量、弦长公式的应用.关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，通过韦达定理构造等量关系. 20．（1）见解析；（2）见解析 【解析】 【分析】（1）求得导函数后，可判断出导函数在1,2π⎛⎫-⎪⎝⎭上单调递减，根据零点存在定理可判断出0x ∃∈()00g x '=，进而得到导函数在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上的单调性，从而可证得结论；（2）由（1）的结论可知0x =为()f x 在(]1,0-上的唯一零点；当0,2x 时，首先可判断出在00,x 上无零点，再利用零点存在定理得到()f x 在0,2x π⎛⎫ ⎪⎝⎭上的单调性，可知()0f x >，不存在零点；当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，利用零点存在定理和()f x 单调性可判断出存在唯一一个零点；当(),x π∈+∞，可证得()0f x <；综合上述情况可证得结论.【详解】（1）由题意知：()f x 定义域为：()1,-+∞且()1cos 1f x x x '=-+令()1cos 1g x x x =-+，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭()()21sin 1g x x x '∴=-++，1,2x π⎛⎫∈- ⎪⎝⎭ ()211x +在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减，1111,7n n a a +-=在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减()g x '∴在1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上单调递减又()0sin0110g '=-+=>，()()2244sin 102222g ππππ⎛⎫'=-+=-< ⎪⎝⎭++00,2x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()00g x '=∴当()01,x x ∈-时，()0g x '>；0,2x x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0g x '<即()g x 在()01,x -上单调递增；在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减则0x x =为()g x 唯一的极大值点 即：()f x '在区间1,2π⎛⎫- ⎪⎝⎭上存在唯一的极大值点0x .（2）由（1）知：()1cos 1f x x x '=-+，()1,x ∈-+∞①当(]1,0x ∈-时，由（1）可知()f x '在(]1,0-上单调递增()()00f x f ''∴≤= ()f x ∴在(]1,0-上单调递减又()00f =0x ∴=为()f x 在(]1,0-上的唯一零点②当0,2x π⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x '在00,x 上单调递增，在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()00f '= ()00f x '∴>()f x ∴在00,x 上单调递增，此时()()00f x f >=，不存在零点 又22cos 02222f ππππ⎛⎫'=-=-< ⎪++⎝⎭10,2x x π⎛⎫∴∃∈ ⎪⎝⎭，使得()10f x '=()f x ∴在()01,x x 上单调递增，在1,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减又()()000f x f >=，2sin ln 1ln ln102222ef ππππ⎛⎫⎛⎫=-+=>= ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭()0f x ∴>在0,2x π⎛⎫⎪⎝⎭上恒成立，此时不存在零点③当,2x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，sin x 单调递减，()ln 1x -+单调递减()f x ∴在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减 又02f π⎛⎫> ⎪⎝⎭，()()()sin ln 1ln 10f ππππ=-+=-+<即()02f f ππ⎛⎫⋅< ⎪⎝⎭，又()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减∴()f x 在,2ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上存在唯一零点④当(),x π∈+∞时，[]sin 1,1x ∈-，()()ln 1ln 1ln 1x e π+>+>=()sin ln 10x x ∴-+<即()f x 在(),π+∞上不存在零点综上所述：()f x 有且仅有2个零点【点睛】本题考查导数与函数极值之间的关系、利用导数解决函数零点个数的问题.解决零点问题的关键一方面是利用零点存在定理或最值点来说明存在零点，另一方面是利用函数的单调性说明在区间内零点的唯一性，二者缺一不可.21．（1）见解析；（2）（i ）见解析；（ii ）41257p =. 【解析】【分析】（1）首先确定X 所有可能的取值，再来计算出每个取值对应的概率，从而可得分布列；（2）（i ）求解出,,a b c 的取值，可得()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅，从而整理出符合等比数列定义的形式，问题得证；（ii ）列出证得的等比数列的通项公式，采用累加的方式，结合8p 和0p 的值可求得1p ；再次利用累加法可求出4p .【详解】（1）由题意可知X 所有可能的取值为：1-，0，1()()11P X αβ∴=-=-；()()()011P X αβαβ==+--；()()11P X αβ==-则X 的分布列如下：（2）0.5α=，0.8β=0.50.80.4a ∴=⨯=，0.50.80.50.20.5b =⨯+⨯=，0.50.20.1c =⨯=（i ）()111,2,,7i i i i p ap bp cp i -+=++=⋅⋅⋅ 即()110.40.50.11,2,,7i i i i p p p p i -+=++=⋅⋅⋅整理可得：()11541,2,,7ii i p p p i -+=+=⋅⋅⋅ ()()1141,2,,7i i i i p p p p i +-∴-=-=⋅⋅⋅ {}1i i p p +∴-()0,1,2,,7i =⋅⋅⋅是以10p p -为首项，4为公比的等比数列（ii ）由（i ）知：()110144i i i i p p p p p +-=-⋅=⋅78714p p p ∴-=⋅，67614p p p -=⋅，……，01014p p p -=⋅作和可得：()880178011114414441143p p p p p ---=⋅++⋅⋅⋅+===- 18341p ∴=- ()4401234401184144131144441434141257p p p p p --∴=-=⋅+++==⨯==--+ 4p 表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为0.5，乙药治愈率为0.8时，认为甲药更有效的概率为410.0039257p =≈，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理. 【点睛】本题考查离散型随机变量分布列的求解、利用递推关系式证明等比数列、累加法求解数列通项公式和数列中的项的问题.本题综合性较强，要求学生能够熟练掌握数列通项求解、概率求解的相关知识，对学生分析和解决问题能力要求较高.22．（1）22:1,(1,1]4y C x x +=∈-；:2110l x +=；（2【解析】【分析】（1）利用代入消元法，可求得C 的直角坐标方程；根据极坐标与直角坐标互化原则可得l 的直角坐标方程；（2）利用参数方程表示出C 上点的坐标，根据点到直线距离公式可将所求距离表示为三角函数的形式，从而根据三角函数的范围可求得最值.【详解】（1）由2211t x t -=+得：210,(1,1]1x t x x -=≥∈-+，又()2222161t y t =+()()222116141144111xx y x x x x x -⨯+∴==+-=--⎛⎫+ ⎪+⎝⎭ 整理可得C 的直角坐标方程为：221,(1,1]4y x x +=∈- 又cos x ρθ=，sin y ρθ=l ∴的直角坐标方程为：2110x +=（2）设C 上点的坐标为：()cos ,2sin θθ则C 上的点到直线l的距离d == 当sin 16πθ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭时，d 取最小值则min d =【点睛】本题考查参数方程、极坐标方程与直角坐标方程的互化、求解椭圆上的点到直线距离的最值问题.求解本题中的最值问题通常采用参数方程来表示椭圆上的点，将问题转化为三角函数的最值求解问题.23．（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）利用1abc 将所证不等式可变为证明：222a b c bc ac ab ++≥++，利用基本不等式可证得()2222222a b c ab bc ac ++≥++，从而得到结论；（2）利用基本不等式可得()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，再次利用基本不等式可将式转化为()()()333a b b c c a +++++≥在取等条件一致的情况下，可得结论. 【详解】 （1）1abc = 111111abc bc ac ab a b c a b c ⎛⎫∴++=++⋅=++ ⎪⎝⎭()()()()2222222222222a b c a b b c c a ab bc ac ++=+++++≥++当且仅当a b c ==时取等号 ()22211122a b c a b c ⎛⎫∴++≥++ ⎪⎝⎭，即：222111a b c a b c ++++≥ （2）()()()()()()3333a b b c c a a b b c c a +++++≥+++，当且仅当a b c ==时取等号又a b +≥b c +≥，a c +≥当且仅当a b c ==时等号同时成立）()()()3333a b b c c a ∴+++++≥⨯= 又1abc()()()33324a b b c c a ∴+++++≥ 【点睛】 本题考查利用基本不等式进行不等式的证明问题，考查学生对于基本不等式的变形和应用能力，需要注意的是在利用基本不等式时需注意取等条件能否成立.0 0050。
2019年上海市秋季高考数学试卷word版含参考答案与解析
上海市2019届秋季高考数学考试卷、选择题：(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分)1. 已知集合A ,3、B 2, ，则AB _______________________ .12. 已知z C 且满足—5 i ，求z ______________ .z3. 已知向量a (1,0,2) , b (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ______________ .54. 已知二项式 2x 1 ，则展开式中含X 2项的系数为 ______________ .x 05. 已知x 、y 满足 y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为 ____________________ .x y 236. 已知函数f x 周期为1，且当0 x 1， f x log 2x ，则f(?) ______________________ .7. 若x 、y R ，且-2y 3，则y 的最大值为 ______________________ .xx8. 已知数列a n 前n 项和为S n,且满足S na n 2，则S 5_______ .229. 过y 4x 的焦点F 并垂直于x 轴的直线分别与y 4x 交于A 、B ，A 在B 上方，M 为抛物线上一点， OM OA 2 OB ，贝y ________ .10. 某三位数密码锁，每位数字在0 9数字中选取，其中恰有两位数字相同的概率是2 211. 已知数列a n满足a na n 1 ( n N ), R n,a n 在双曲线 x y1上，则6 2limP n P n 1n12. 已知f x2 ax 1,a 0，若 a a 0 , f x 与 x 轴交点为 A , f x 为曲x 1线L ，在L 上任意一点P ，总存在一点Q ( P 异于A )使得AP AQ 且AP AQ ，则a 。
________________4题，每题5分，共20分)y c 0的一个方向向量d 可以是((2,1) C. ( 1,2) D.1和2，将该三角形分别绕其两个直角边旋转得x ，存在常数a R ，使得f x a 为偶函D. —5①对，②错； D. ①错，②对;14. 一个直角三角形的两条直角边长分别为 到的两个圆锥的体积之比为()A. 1B. 2 C .4 D. 815. 已知 R ，函数 f x2x 6sin数, 则 可能的值为()A.2B.3C.4 16. 已知 tan tantan().①存在 在第一象限， 角在第三象限；②存在 在第二象限， 角 在第四象限;二.选择题(本大题共 13.已知直线方程2x A. (2, 1) B.)(1,2)A.①②均正确；B.①②均错误；C.三•解答题（本大题共 5题，共76分）17.（本题满分 14分）如图，在长方体 ABCD A 1B 1C 1D 1中，M 为BB ,上一点，已知BM 2，AD 4，CD 3，AAA 5.（1） 求直线AQ 与平面ABCD 的夹角； （2） 求点A 到平面AMC 的距离.19.（本题满分14分）如图，A B C 为海岸线，AB 为线段，B C 为四分之一圆弧, BD 39.2km ，BDC 22°， CBD 68°， BDA 58o .（1） 求Be 长度； （2） 若AB 40km ，求D 到海岸线 ABC 的最短距离.（精确到0.001km ）椭圆于A 、B 两点. （1 ）若AB 垂直于x 轴时，（2 ）当 F 1AB 90° 时，（3）若直线AF 1交y 轴于M 直线BF 1交y 轴于N 是否存在直线I 若存在，求出直线I 的方程；若不存在，请说明理由 . 21.（本题满分18分）数列4有100项，a 1 a ，对任意n 2,100 ,存在a n q d,i 1,n 1，若a k 与前n 项中某一项相等，则称 a k 具有性质P . （1 ）若a 1 1，求a 4可能的值；（2）若a n 不为等差数列，求证： a n 中存在满足性质 P ；18.（本题满分14分）已知f x（1 ）当a 1时，求不等式f x 1 f x 1的解集； （2）若x 1,2时，f x 有零点，求a 的范围.ax—(aR).16分） 2已知椭圆—（本题满分 2—1 , F 1, F 2 为左、4右焦点，直线I 过F 2交AB ；A 在x 轴上方时，求A,B 的坐标;，使S A F 1AB S A F 1MN ,20.(3)右a n 中恰有二项具有性质 P ，这二项和为C ，使用a, d, c 表示a ia ? La ioo.上海市2019届秋季高考数学考试卷参考答案与试题解析一、选择题：(本大题共12题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54 分) 1.已知集合A ,3、B 2, ，则A B _______________________.【思路分析】然后根据交集定义得结果. 【解析】：根据交集概念，得出：(2,3). 【归纳与总结】本题主要考查集合的基本运算，比较基础.12.已知z C 且满足—5 i ，求z ______________ .z【思路分析】解复数方程即可求解结果.5 i 5 1 .i (5 i)(5 i) 26 26【归纳与总结】本题主要考查复数的基本运算，比较基础.. ° r r3.已知向量a (1,0,2) , b (2,1,0)，则a 与b 的夹角为 ______________1【解析】：—【思路分析】根据夹角运算公式cosab 求解【解析】：cos 【归纳与总结】本题主要考查空间向量数量积，比较基础.5 4.已知二项式 2x 1 ，则展开式中含x 2项的系数为 【思路分析】根据二项式展开式通项公式求出取得含【解析】：T r 1 C 5r (2x)5 r 1r C 5r 25 r x 5 r 令 5 r 2，则 r 3, x 2 系数为 C ； 22 40.2 x 项的的项，再求系数. 【归纳与总结】本题主要考查项式展开式通项公式的应用， x 0 5.已知x 、y 满足 y 0 ，求z 2x 3y 的最小值为 x y 2 【思路分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截 式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案.【解析】：线性规划作图：后求出边界点代入求最值， 当x 0 , yZ min 6.【归纳与总结】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题.3 log 2x ，则 £) _ 6.已知函数f x 周期为1,且当0 x 1 , f x 比较基础. J •2时， n3 【思路分析】直接利用函数周期为 1，将转2到已知范围0 x 1内，代入函数解析式即可. 2.，3 2 2 【归纳与总结】本题考查函数图像与性质，是中档题. 7.若x 、y R ，且丄2y 3，则-的最大值为 x x 【解析】：f (-) f (-) log 2- 1 2 【思路分析】利用已知等式转化为一个变量或者转化为函有 y的式子求解x【解析】：法一:1 1 y 3 ；2y 2 x2y 」；3 22 1 法二：由一3x 【归纳与总结】本题考查基本不等式的应用，是中档题.8.已知数列a n 前n 项和为S n ,且满足S n a n 2，则S【思路分析】将和的关系转化为项的递推关系，得到数列为等比数列S n a n 21【解析】：由 n n得：a n一 a n 1 ( n 2)S n 1 a n 12( n 2) n2 n1 V丿2y , - (3 2y) y 2y 2 x 3y ( 0 9 ； 8-)，求二次最值2y xmaxa 。
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高考数学精品复习资料2019.5上海市秋季高考理科数学一、填空题1．计算：20lim ______313n n n →∞+=+ 2．设m R ∈，222(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =3．若2211x x x y y y =--，则______x y += 4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 5．设常数a R ∈，若52a x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的二项展开式中7x 项的系数为10-，则______a = 6．方程1313313x x -+=-的实数解为________ 7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示）9．设AB 是椭圆Γ的长轴，点C 在Γ上，且4CBA π∠=，若AB=4，BC =Γ的两个焦点之间的距离为________10．设非零常数d 是等差数列12319,,,,x x x x 的公差，随机变量ξ等可能地取值12319,,,,x x x x ，则方差_______D ξ=11．若12cos cos sin sin ,sin 2sin 223x y x y x y +=+=，则sin()________x y += 12．设a 为实常数，()y f x =是定义在R 上的奇函数，当0x <时，2()97a f x x x=++，若()1f x a ≥+对一切0x ≥成立，则a 的取值范围为________13．在xOy 平面上，将两个半圆弧22(1)1(1)x y x -+=≥和22(3)1(3)x y x -+=≥、两条直线1y =和1y =-围成的封闭图形记为D ，如图中阴影部分．记D 绕y 轴旋转一周而成的几何体为Ω，过(0,)(||1)y y ≤作Ω的水平截面，所得截面面积为48π，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出Ω的体积值为__________14．对区间I 上有定义的函数()g x ，记(){|(),}g I y y g x x I ==∈，已知定义域为[0,3]的函数()y f x =有反函数1()y f x -=，且11([0,1))[1,2),((2,4])[0,1)f f --==，若方程()0f x x -=有解0x ，则0_____x =二、选择题15．设常数a R ∈，集合{|(1)()0},{|1}A x x x a B x x a =--≥=≥-，若A B R ⋃=，则a 的取值范围为（ ）(A) (,2)-∞ (B) (,2]-∞ (C) (2,)+∞ (D) [2,)+∞16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）(A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分也非必要条件17．在数列{}n a 中，21n n a =-，若一个7行12列的矩阵的第i 行第j 列的元素,i j i j i j a a a a a =⋅++，（1,2,,7;1,2,,12i j ==）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）(A)18 (B)28 (C)48 (D)6318．在边长为1的正六边形ABCDEF 中，记以A 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,a a a a a ；以D 为起点，其余顶点为终点的向量分别为12345,,,,d d d d d .若,m M 分别为()()i j k r s t a a a d d d ++⋅++的最小值、最大值，其中{,,}{1,2,3,4,5}i j k ⊆,{,,}{1,2,3,4,5}r s t ⊆,则,m M 满足（ ）.(A) 0,0m M =>(B) 0,0m M <> (C) 0,0m M <= (D) 0,0m M <<三、解答题19.（本题满分12分）如图，在长方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，AB=2,AD=1,A 1A=1，证明直线BC 1平行于平面DA 1C ，并求直线BC 1到平面D 1AC 的距离.C 11A20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x +-元.(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润.21．（6分+8分）已知函数()2sin()f x x ω=，其中常数0ω>；（1）若()y f x =在2[,]43ππ-上单调递增，求ω的取值范围；（2）令2ω=，将函数()y f x =的图像向左平移6π个单位，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图像，区间[,]a b （,a b R ∈且a b <）满足：()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的[,]a b 中，求b a -的最小值．22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线221:12x C y -=，曲线2:||||1C y x =+，P 是平面上一点，若存在过点P 的直线与12,C C 都有公共点，则称P 为“C 1—C 2型点”．(1)在正确证明1C 的左焦点是“C 1—C 2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；(2)设直线y kx =与2C 有公共点，求证||1k >，进而证明原点不是“C1—C 2型点”；(3)求证：圆2212x y +=内的点都不是“C 1—C 2型点”．23．（3 分+6分+9分）给定常数0c >，定义函数()2|4|||f x x c x c =++-+，数列123,,,a a a 满足*1(),n n a f a n N +=∈.（1）若12a c =--，求2a 及3a ；（2）求证：对任意*1,n n n N a a c +∈-≥，；（3）是否存在1a ，使得12,,,n a a a 成等差数列？若存在，求出所有这样的1a ，若不存在，说明理由.参考答案一、填空题1．13． 2． 2m =-． 3．0x y +=． 4．1arccos 3C π=- 5．2a =- 6．3log 4x =． 7．12． 8．1318． 9．3． 10．|D d ξ=． 11．2sin()3x y +=． 12．87a ≤-． 13．2216ππ+． 14．02x =． 15．B ． 16．B ． 17．A ． 18．D ．三、解答题19．因为ABCD-A 1B 1C 1D 1为长方体，故1111//,AB C D AB C D =，故ABC 1D 1为平行四边形，故11//BC AD ，显然B 不在平面D 1AC 上，于是直线BC 1平行于平面DA 1C ；直线BC 1到平面D 1AC 的距离即为点B 到平面D 1AC 的距离设为h 考虑三棱锥ABCD 1的体积，以ABC 为底面，可得111(12)1323V =⨯⨯⨯⨯=，而1AD C ∆中，11AC DC AD ===，故132AD C S ∆=， 所以，13123233V h h =⨯⨯=⇒=，即直线BC 1到平面D 1AC 的距离为23． 20．(1)根据题意，33200(51)30005140x x x x+-≥⇒--≥ 又110x ≤≤，可解得310x ≤≤(2)设利润为y 元，则4290031161100(51)910[3()]612y x x x x =⋅+-=⨯--+ 故6x =时，max 457500y =元． 21．(1)因为0ω>，根据题意有34202432ππωωππω⎧-≥-⎪⎪⇒<≤⎨⎪≤⎪⎩ (2) ()2sin(2)f x x =，()2sin(2())12sin(2)163g x x x ππ=++=++ 1()0sin(2)323g x x x k πππ=⇒+=-⇒=-或7,12x k k Z ππ=-∈，即()g x 的零点相离间隔依次为3π和23π， 故若()y g x =在[,]a b 上至少含有30个零点，则b a -的最小值为2431415333πππ⨯+⨯=． 22．：（1）C 1的左焦点为(F ，过F的直线x =C 1交于(2±，与C 2交于(1))±，故C 1的左焦点为“C 1-C 2型点”，且直线可以为x =（2）直线y kx =与C 2有交点，则(||1)||1||||1y kx k x y x =⎧⇒-=⎨=+⎩，若方程组有解，则必须||1k >； 直线y kx =与C 2有交点，则2222(12)222y kx k x x y =⎧⇒-=⎨-=⎩，若方程组有解，则必须212k < 故直线y kx =至多与曲线C 1和C 2中的一条有交点，即原点不是“C 1-C 2型点”。
（3）显然过圆2212x y +=内一点的直线l 若与曲线C 1有交点，则斜率必存在； 根据对称性，不妨设直线l 斜率存在且与曲线C 2交于点(,1)(0)t t t +≥，则 :(1)()(1)0l y t k x t kx y t kt =+=-⇒-++-=直线l 与圆2212x y +=2< 化简得，221(1)(1)2t tk k +-<+。
① 若直线l 与曲线C 1有交点，则2222211()2(1)(1)10212y kx kt t k x k t kt x t kt x y =-++⎧⎪⇒-++-++-+=⎨-=⎪⎩ 22222214(1)4()[(1)1]0(1)2(1)2k t kt k t kt t kt k ∆=+---+-+≥⇒+-≥- 化简得，22(1)2(1)t kt k +-≥-， ② 由①②得，222212(1)(1)(1)12k t tk k k -≤+-<+⇒< 但此时，因为2210,[1(1)]1,(1)12t t k k ≥+-≥+<，即①式不成立；当212k =时，①式也不成立 综上，直线l 若与圆2212x y +=内有交点，则不可能同时与曲线C 1和C 2有交点， 即圆2212x y +=内的点都不是“C 1-C 2型点” ． 23．：（1）因为0c >，1(2)a c =-+，故2111()2|4|||2a f a a c a c ==++-+=， 3122()2|4|||10a f a a c a c c ==++-+=+（2）要证明原命题，只需证明()f x x c ≥+对任意x R ∈都成立， ()2|4|||f x x c x c x c x c ≥+⇔++-+≥+，即只需证明2|4|||+x c x c x c ++≥++，若0x c +≤，显然有2|4|||+=0x c x c x c ++≥++成立；若0x c +>，则2|4|||+4x c x c x c x c x c ++≥++⇔++>+显然成立，综上，()f x x c ≥+恒成立，即对任意的*n N ∈，1n n a a c +-≥；（3）由（2）知，若{}n a 为等差数列，则公差0d c ≥>，故n 无限增大时，总有0n a >， 此时，1()2(4)()8n n n n n a f a a c a c a c +==++-+=++，即8d c =+， 故21111()2|4|||8a f a a c a c a c ==++-+=++，即1112|4|||8a c a c a c ++=++++，当10a c +≥时，等式成立，且2n ≥时，0n a >，此时{}n a 为等差数列，满足题意； 若10a c +<，则11|4|48a c a c ++=⇒=--，此时，230,8,,(2)(8)n a a c a n c ==+=-+也满足题意；综上，满足题意的1a 的取值范围是[,){8}c c -+∞⋃--．。